EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD EN LA MECÁNICA

CRÍTICA, Revista Hispanoamericana de Filosofía. Vol. 35, No. 103 (abril 2003): 3–41
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
EN LA MECÁNICA ESTADÍSTICA
O LIMPIA L OMBARDI
CONICET
Universidad Nacional de Quilmes
[email protected]
RESUMEN : El propósito del presente artículo es evaluar en qué sentido y bajo
qué condiciones la ergodicidad es relevante para explicar el éxito de la mecánica estadística. Se objeta la posición de quienes sostienen que la ergodicidad
es irrelevante para tal explicación, y se señala que las propiedades ergódicas desempeñan diferentes papeles en la mecánica estadística del equilibrio
y en la descripción de la evolución hacia el equilibrio: es posible prescindir
de la ergodicidad en el primer caso pero no en el segundo. Sobre esta base,
se reformularán las definiciones de ergodicidad y mezcla, relativizándolas a
la macrovariable particular cuya evolución irreversible se desea describir. Finalmente, se enfatiza la importancia de tomar en cuenta la elaboración de
modelos para evaluar la utilización de los métodos de Gibbs.
PALABRAS CLAVE :
irreversibilidad, Boltzmann, Gibbs, modelos
SUMMARY : The aim of this paper is to consider in what sense and under
what conditions ergodicity is relevant for explaining the success of Statistical
Mechanics. We argue against those who claim that ergodicity is irrelevant
to this explanation, by noting that ergodic properties play different roles
in equilibrium Statistical Mechanics and in the description of the approach to
equilibrium: it is possible to do without it in the first case but not in the
second one. On this basis, we reformulate the definitions of ergodicity and
mixing, relativizing them to the particular macrovariable whose irreversible
evolution is to be described. Finally, we stress the relevance of taking into
account model-construction for evaluating the use of Gibbs’ methods.
KEY WORDS :
irreversibility, Boltzmann, Gibbs, models
1 . Introducción
Aún hoy, la mecánica estadística continúa generando profundos
debates respecto de sus fundamentos teóricos. En este ámbito,
uno de los problemas centrales consiste en justificar la introducción de probabilidades en un contexto clásico determinista.
Precisamente para dar respuesta a este problema, Ludwig Boltzmann introdujo en 1871 la llamada “hipótesis ergódica”, según
4
OLIMPIA LOMBARDI
la cual un sistema aislado recorre, en su evolución, todos los
estados compatibles con su energía: en un sistema ergódico,
cualquier punto representativo de su estado en el espacio de las
fases pasa, a lo largo del tiempo, por todos los puntos de la
hipersuperficie de energía constante. La idea es que, dado que
en un sistema ergódico el punto representativo no queda “atrapado” en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía
constante sino que recorre toda su extensión, todos los puntos de dicha hipersuperficie son igualmente probables. De este
modo, Boltzmann intentaba brindar una justificación dinámica
de la equiprobabilidad sobre la región del espacio de las fases
accesible al sistema.
Hoy se sabe que, por consideraciones dimensionales, la hipótesis ergódica en su formulación original no puede ser verdadera: dado que cualquier trayectoria en el espacio de las fases es
unidimensional, no puede “cubrir” la hipersuperficie de energía
constante cuya dimensión es superior a uno. No obstante, la
idea implícita en el supuesto de Boltzmann puede conservarse
mediante la hipótesis cuasiergódica que reemplaza la exigencia
de que el punto representativo pase por todos los puntos de
la hipersuperficie de energía constante por la exigencia de que
pase por toda subregión de volumen finito incluida en la hipersuperficie de energía constante, y aclarando que la condición se
cumple para los puntos pertenecientes a casi toda subregión de
tal hipersuperficie excepto las subregiones de medida nula. De
este modo se cumple que el punto representativo no permanezca
atrapado en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía
constante, evitando la condición demasiado exigente de que pase
por todos sus puntos a lo largo del tiempo.
En 1901, Josiah Willard Gibbs presentó un enfoque elegante
y sistemático de la mecánica estadística que permitía derivar las
relaciones entre variables termodinámicas a partir de las leyes
dinámicas fundamentales sin introducir supuestos acerca de los
detalles de las interacciones intermoleculares. Por su sencillez y
elegancia, la formulación de Gibbs se convirtió con el tiempo
en la herramienta teórica estándar en la mecánica estadística,
cuya fecundidad en el tratamiento de problemas típicos de este
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
5
ámbito es difícilmente cuestionable; en particular, el cálculo de
los valores de equilibrio de las variables macroscópicas termodinámicas como promedios sobre el ensemble representativo es
una estrategia de la cual ningún físico prescinde. Además de su
función teórica original, en el enfoque gibbsiano la ergodicidad
adquiere un nuevo papel al intervenir en la explicación de la
evolución de los sistemas hacia el equilibrio termodinámico.
En la actualidad, la teoría ergódica se ha convertido en una
teoría matemática que estudia las propiedades de los sistemas
dinámicos desde una perspectiva exclusivamente formal. Sus
resultados han permitido volver a analizar, con herramientas
teórico-formales más precisas, el papel que cumple la ergodicidad en los fundamentos de la mecánica estadística. A la luz
de estos resultados, durante las últimas décadas diversos autores comenzaron a cuestionar la relevancia explicativa que se
asignaba a la ergodicidad desde la perspectiva tradicional. Este
artículo se inserta en este contexto de discusión; su principal
objetivo consiste en esclarecer en qué sentido y bajo qué restricciones la ergodicidad cumple un papel explicativo del éxito
de la mecánica estadística de Gibbs. Para ello será necesario
comenzar recordando los aspectos teóricos sobre los cuales se
fundamenta la formulación gibbsiana pues, en algunos casos, el
olvido de ciertas cuestiones básicas conduce a problemas conceptuales aparentemente irresolubles.
2 . Mecánica y termodinámica
La mecánica estadística surge cuando se intenta explicar la termodinámica macroscópica en términos mecánicos microscópicos, bajo el supuesto de que las regularidades macroscópicas
son resultado de las regularidades que rigen los componentes
microscópicos de un sistema. Por lo tanto, cuando en este contexto se habla del sistema termodinámico y del sistema mecánico, no se alude a dos entidades independientes; por el contrario,
se trata de un único sistema bajo diferentes descripciones: como
un sistema termodinámico S T o como un sistema mecánico S M .
A fin de simplificar la discusión, me concentraré en sistemas ais-
6
OLIMPIA LOMBARDI
lados, esto es, sistemas que no intercambian materia ni energía
con el medio.
2 . 1 . Descripción mecánica
Sea S M un sistema mecánico aislado que, por tanto, conserva
su energía mecánica EM constante a través del tiempo. Si S M
está compuesto por N subsistemas idénticos, cada uno de los
cuales posee n grados de libertad (traslacional, rotacional, etc.),
su estado queda determinado por el valor de 2nN variables. Llamando qi a las coordenadas generalizadas y pi a los momentos
cinéticos generalizados de cada subsistema, el estado mecánico
instantáneo m(t) del sistema S M (microestado mecánico) queda
definido por el valor de las 2nN variables de estado:
m(t) = (qi (t), pi (t)) = (q1 (t), q2 (t), ..., qnN (t), p1 (t), p2 (t), ..., pnN (t))
El estado instantáneo de S M suele representarse en el espacio
de las fases correspondiente: espacio euclídeo abstracto de tantas
dimensiones como variables de estado posea el sistema. En este
caso, se trata de un espacio de las fases Γ de 2nN dimensiones,
donde cada punto x(t) representa un estado mecánico posible
del sistema.
En el caso particular en el cual S M está compuesto por N
partículas puntuales de masa m, el estado mecánico de cada partícula queda determinado por el valor de seis variables: tres por
sus coordenadas posicionales qi y tres por las componentes de
su momento cinético pi = mqi ’. Por lo tanto, el estado mecánico
instantáneo m(t) de S M queda definido por el valor de las 6N
variables de estado:
m(t) = (qi (t), pi (t)) = (q1 (t), q2 (t), ..., q3N (t), p1 (t), p2 (t), ..., p3N (t))
La evolución temporal de S M se encuentra regida por las
ecuaciones de Hamilton:
dqi /dt = ∂ H/∂ pi
dpi /dt = −∂ H/∂ qi
donde el hamiltoniano H (qi , pi ) representa la energía mecánica
total EM del sistema S M . Las soluciones qi (t) y pi (t) representan la evolución temporal del sistema, dadas las condiciones iniciales qi0 y pi0 . Puede demostrarse que tales ecuaciones
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
7
cumplen las condiciones necesarias para asegurar la existencia
y unicidad de sus soluciones para cada condición inicial:1 dado
(qi0 , pi0 ), existe una única solución (qi (t), pi (t)) de dichas ecuaciones, solución que describe la evolución mecánica del sistema.
En el espacio de las fases Γ, tal evolución queda representada
por una trayectoria que pasa por el punto x0 = (qi0 , pi0 ) en
t = 0; las condiciones de existencia y unicidad también pueden
expresarse en lenguaje geométrico: para cada punto representativo del estado inicial, la trayectoria que en él se inicia existe
y es única; además, dado que no hay restricciones para fijar el
estado inicial del sistema S M , las trayectorias no pueden cortarse
en ningún punto, es decir, no existe ningún estado mecánico a
partir del cual el sistema evolucione temporalmente según dos
o más trayectorias posibles.
Dado que S M es un sistema aislado, H (qi , pi ) = EM es una
constante de movimiento del sistema que define una hipersuperficie ΓE ⊂ Γ de dimensión d − 1, donde d = 2nN es la
dimensión del espacio de las fases:
ΓE = {x = (q, p) : H (q, p) = EM }
Por lo tanto, todas las posibles evoluciones del sistema estarán
representadas por trayectorias incluidas en ΓE . En algunas ocasiones resulta conveniente representar la evolución dinámica del
sistema S M mediante un operador Ut tal que:
(qi (t), pi (t)) = Ut (qi0 , pi0 )
En el lenguaje del espacio de las fases:
x(t) = Ut x0
1
Dada una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, si se cumplen
las siguientes condiciones: (i) puede expresarse en su forma normal dx/dt =
F(x, t); (ii) F(x, t) y dF/dx son continuas en cierto dominio D del plano Oxt;
y (iii) (x0 , t0 ) es un punto de tal dominio, entonces existe una solución única
x(t) de tal ecuación diferencial que satisface x = x0 para t = t0 (cfr. Piskunov
1994).
8
OLIMPIA LOMBARDI
Un importante resultado que se cumple en este tipo de sistemas mecánicos —conservativos— es el teorema de Liouville.
Sea ρ(q, p) una función que define una medida µ sobre Γ tal
que:
• µ(∅) = 0
• µ(Γ) = 1
• Si A ⊂ Γ y B ⊂ Γ y A ∩ B = ∅, entonces µ(A ∪ B) =
µ(A) + µ(B)
La medida de un conjunto A ⊂ Γ se define:
µ(A) = ∫A ρ(q, p)d Γ
donde d Γ = dqi d pi
El teorema de Liouville demuestra que:
P
∂ρ/∂ t = − (∂ρ/∂ qi dqi /dt + ∂ρ/∂ pi d pi /dt) = 0
Esto implica que la medida µ se preserva a través de la evolución:
µ(Ut A) = µ(A)
Intuitivamente, si se parte de una densidad ρ cuyo soporte se
encuentra confinado en cierta región del espacio de las fases,
a través de la evolución tal región inicial puede deformarse y
tornarse tan “filamentosa” como para extenderse hasta zonas
distantes en el espacio de las fases, pero su volumen permanece
siempre constante.
2 . 2 . Descripción termodinámica
Sea S T un sistema termodinámico aislado; por lo tanto, su energía termodinámica U se mantiene constante con el tiempo. El
estado termodinámico M (t) de S T en el instante t queda definido por un conjunto de variables termodinámicas, entre las
cuales pueden distinguirse dos grupos:
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
9
• Las variables Ci consideradas independientes en tanto controlables experimentalmente: su valor es fijado externamente con independencia de la situación particular en la
que se encuentra S T . Tales variables, que funcionan como
parámetros, se denominan vínculos [constraints]: un ejemplo típico es el volumen de un sistema confinado en un
recipiente rígido.
• Las variables dependientes Fi , cuyo valor se ajusta al de
las primeras según ciertas relaciones termodinámicas conocidas. Ejemplos de tales variables son la presión y la densidad de un sistema.
Se define como equilibrio termodinámico al estado Meq para
el cual las variables termodinámicas Fi mantienen su valor constante con el tiempo: dFieq /dt = 0. Se define la entropía S del
sistema en el estado de equilibrio Meq como:
dS = dU/T
donde T es la temperatura absoluta y dU representa un incremento diferencial de energía que conduciría al sistema a través
de sucesivos estados de equilibrio.
Empíricamente se observa que cualquier sistema termodinámico aislado S T inicialmente fuera del equilibrio, evoluciona
irreversiblemente hacia el equilibrio: las variables termodinámicas Fi (t) varían su valor con el transcurso del tiempo hasta
alcanzar su valor de equilibrio Fieq , y a partir de allí mantienen
su valor constante; nunca se observa la evolución inversa. En
termodinámica se cuenta con distintas ecuaciones dinámicas no
t-invariantes2 (por ejemplo, la ley de Fourier de difusión del
2
Una ley dinámica (ecuación) es t-invariante si es invariante ante la inversión del signo de la variable t, y de todas las variables dinámicas involucradas. El concepto de t-invariancia también puede caracterizarse en términos
de las evoluciones dinámicamente posibles respecto de una ley dinámica, esto
es, soluciones de la ecuación correspondiente. Una evolución —secuencia de
estados— ei → e j es dinámicamente posible respecto de la ley L si es consistente con L, es decir, si queda representada por una solución de L. Llamando
T(e) al estado temporalmente invertido respecto de e, la ley L es t-invariante
10
OLIMPIA LOMBARDI
calor o la ley de Fick de difusión de materia) que describen la
variación temporal irreversible del valor de las variables termodinámicas Fi (t).
El segundo principio de la termodinámica expresa de un modo general la evolución irreversible de los sistemas termodinámicos aislados. Si el sistema S T evoluciona desde un estado de
equilibrio Meq1 con entropía S1 hasta un estado de equilibrio
Meq2 con entropía S2 , se cumple que:
S2 > S1
donde S1 y S2 son funciones de estado del sistema, esto es, no
dependen de la particular evolución temporal que describe el
sistema al pasar de Meq1 a Meq2 .
2 . 3 . Conexión de ambas descripciones
Bajo el supuesto de que ambas descripciones refieren a un único
sistema, se impone el intento de relacionar de algún modo las
variables termodinámicas macroscópicas de S T con las variables
mecánicas microscópicas de S M , de modo tal que las evoluciones temporales de las Fi así como las relaciones entre ellas
puedan explicarse en términos de las qi y pi y sus evoluciones
temporales.
Aquí es importante recordar que si bien contamos con dos
descripciones de un mismo sistema, sólo tenemos acceso empírico directo a las variables macroscópicas, cuyo valor puede
determinarse por medición sobre el sistema (o calcularse de
modo directo a partir de variables directamente medibles). Por
el contrario, las variables microscópicas no pueden ser medidas
debido al carácter inobservable de los subsistemas componentes;
a ello se agrega el elevado número de grados de libertad del sistema —bajo su descripción S M — en la mayor parte de los casos
de aplicación. Por lo tanto, sólo nos resta construir un modelo
mecánico del sistema: se postula cierta estructura del sistema,
cuando se cumple lo siguiente: la evolución ei → e j es dinámicamente posible respecto de L sii la evolución temporalmente invertida T(e j ) → T(ei )
es también dinámicamente posible respecto de L (cfr. Savitt 1995). Sobre el
concepto de irreversibilidad nos detendremos más adelante.
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
11
así como las características de los subsistemas componentes.
La relación que se establezca entre el plano macroscópico y
el microscópico será, entonces, una relación entre la descripción macroscópica S T del sistema y la descripción microscópica
S M de un modelo mecánico de dicho sistema (volveremos sobre
este punto en la sección 8).
El primer paso para conectar ambas descripciones consiste en
comprobar que ciertas variables termodinámicas pueden identificarse sin inconvenientes con variables definidas en el plano
mecánico. Por ejemplo, el volumen del sistema termodinámico
S T puede asimilarse al volumen dentro del cual queda confinado el movimiento mecánico de los subsistemas componentes del
sistema mecánico S M . Sin embargo, en otros casos la relación no
es tan directa: es necesario postular una asociación físicamente
significativa entre las variables termodinámicas y las variables
mecánicas. Un ejemplo sencillo es el de la energía en un sistema aislado: dado que no existe intercambio de energía con
el entorno, la energía termodinámica de S T puede asimilarse a
la energía mecánica de S M —energía cinética de movimiento
más energía potencial de interacción. Otro ejemplo es el de la
presión: si se considera el sistema bajo un modelo mecánico de
partículas que colisionan con las paredes del recipiente que las
contiene, la presión termodinámica de S T puede asociarse con
la velocidad de transferencia de momento cinético a las paredes
del recipiente por unidad de área y unidad de tiempo, debida
al choque de las partículas de S M . En general, se supone que
el valor de las variables termodinámicas Fi queda unívocamente
determinado por el microestado mecánico del sistema; por lo
tanto, a cada Fi de S T (con excepción de la temperatura absoluta y la entropía) se asocia una función del estado mecánico de
S M . En otras palabras, para cada Fi se define sobre el espacio
de las fases Γ una función de fase [phase function] fi : Γ → <
tal que asigne a cada punto de Γ el valor de Fi correspondiente.
Dada su definición, f (x) es una función de muchos-a-uno, pues
toma el mismo valor para muchos microestados diferentes, esto
es, para muchos puntos del espacio de las fases.
12
OLIMPIA LOMBARDI
A fin de aclarar los conceptos, concentraremos la atención en
un ejemplo físico particular. Sea un gas confinado en la mitad
izquierda de un recipiente rectangular de paredes perfectamente aislantes. Empíricamente se observa que, al retirar el tabique
divisor entre las dos mitades, el gas comienza a difundirse de
modo tal que, luego de cierto intervalo —tiempo de relajación
del sistema— acaba distribuyéndose en todo el volumen accesible y en esta situación permanece; nunca se observa la evolución
inversa —el gas concentrándose espontáneamente en la mitad
izquierda del recipiente.
Según la descripción termodinámica, nos encontramos ante
un sistema S T , inicialmente en el estado de equilibrio Meq1 ,
confinado en un volumen VT1 y con energía termodinámica U;
un tiempo después de retirado el tabique divisor, S T adopta
un nuevo estado de equilibrio Meq2 con volumen VT2 y manteniendo el valor de U constante. Una variable macroscópica que
pone de manifiesto el comportamiento irreversible del sistema
es la densidad δ del gas en la mitad izquierda del recipiente:
en el estado de equilibrio inicial, tendrá un valor δ(Meq1 ); al
retirar el tabique divisor, irá disminuyendo con el tiempo hasta
alcanzar el valor δ(Meq2 ) inferior al inicial. Sobre la base del
segundo principio puede afirmarse que:
S (Meq2 ) > S (Meq1 )
Suponiendo que se trata de un gas altamente diluido, podría
postularse el siguiente modelo mecánico del sistema: S M es un
sistema aislado respecto de fuerzas exteriores, compuesto por N
partículas puntuales de igual masa que no colisionan entre sí,
pero que lo hacen contra las paredes del recipiente de volumen
VM que las contiene. Si se desprecia la interacción gravitatoria
entre partículas y se supone que las colisiones contra las paredes del recipiente son perfectamente elásticas, cada partícula se
mueve a cierta velocidad constante entre colisiones, las cuales
modifican la dirección y el sentido de la velocidad pero no su
módulo. El microestado mecánico del sistema en el instante t
queda representado por un punto x(t) = (qi (t), pi (t)) en el
espacio de las fases Γ de 6N dimensiones, y su evolución queda
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
13
representada por una trayectoria en dicho espacio, confinada en
la hipersuperficie ΓE correspondiente a la energía mecánica total
del sistema, EM .
En la situación particular planteada, al retirarse el tabique
divisor entre las dos mitades del recipiente, el movimiento mecánico de las partículas, inicialmente restringido a un volumen
VM1 , pasa a encontrarse restringido a un volumen VM2 > VM1 .
Aquí, el volumen VT del gas puede identificarse con el volumen
VM en el que se encuentra confinado el movimiento mecánico
de las partículas (VT = VM = V ). Dado que el sistema se encuentra perfectamente aislado, la energía termodinámica U puede asociarse con la energía mecánica total EM (U = EM = E ).
A su vez, bajo el modelo mecánico dado, la densidad δ del
gas en la mitad izquierda del recipiente en cada instante puede
asociarse a la masa total por unidad de volumen en dicha mitad, n(t)m/(V/2), donde n(t) es el número de partículas que
se encuentran en la mitad izquierda del recipiente en el instante t. Dado que n(t) queda unívocamente determinado por
el microestado del sistema, puede definirse una función de fase
fδ (x) que adjudica a cada punto del espacio de las fases el valor
correspondiente de δ .
3 . El enfoque de Gibbs
La estrategia de Gibbs se basa en describir el comportamiento
del ensemble representativo del sistema bajo estudio. Un ensemble es un conjunto de sistemas que poseen la misma microestructura que el modelo mecánico del sistema bajo estudio, que
están sometidos a los mismos vínculos externos, pero que se
encuentran distribuidos sobre los diferentes microestados posibles. El microestado instantáneo de cada sistema del ensemble
se representa mediante un punto en el espacio de las fases; la
situación del ensemble como un todo queda representada por
una “nube” de tales puntos representativos, uno por cada sistema del ensemble. Si el número N de sistemas del ensemble es
suficientemente alto, la situación del ensemble en cada instante
puede especificarse mediante la densidad ρ(t) de distribución
de los puntos representativos en el espacio de las fases:
14
OLIMPIA LOMBARDI
ρ(t) = ρ(qi , pi , t)
cumpliéndose que:
N = ∫ . . . ∫ ρ(qi , pi , t) dqi dpi
En general, ρ se considera normalizada a la unidad:
1 = ∫ . . . ∫ ρ(qi , pi , t) dqi dpi
En este caso, ρ define una medida que brinda la probabilidad
por unidad de volumen de que un punto representativo de un
sistema cualquiera del ensemble se encuentre en las diferentes
regiones del espacio de las fases.
La función ρ hace posible calcular los promedios, sobre todos
los sistemas del ensemble, de cualquier magnitud que dependa
de los microestados de tales sistemas. Por ejemplo, si consideramos una magnitud mecánica que define una función de fase
f: Γ → <, su promedio en fase en un instante dado se calcula:
< f (qi , pi )> p = ∫ . . . ∫ f(qi , pi )ρ(qi , pi ) dqi dpi = ∫ f(x) ρ(x) dx
Desde este enfoque, se define equilibrio estadístico como la
situación en la cual la probabilidad representada por ρ y los
promedios en fase son independientes del tiempo. Un modo
sencillo de asegurar el equilibrio estadístico es construir un
ensemble para el cual ρ se distribuye uniformemente sobre todo
el espacio de las fases:
ρ(qi , pi ) = cte → ∂ρ/∂ qi = ∂ρ/∂ pi = 0 → ∂ρ/∂ t = 0
En particular, para representar un sistema aislado —donde E es
una constante de movimiento— Gibbs recurre al ensemble microcanónico, que suele definirse de un modo totalmente general
como:
ρ(x) = cte para x ∈ ΓE
ρ(x) = 0
para x ∈
/ ΓE
Sin embargo, en las presentaciones del tema no suele señalarse
con suficiente claridad que, cuando nos referimos a un sistema
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
15
aislado en particular, con los vínculos Ci impuestos externamente, sus microestados posibles no son los representados por
los puntos pertenecientes a ΓE : los sistemas del ensemble deben distribuirse uniformemente sobre los posibles microestados
representados por puntos pertenecientes a ΓEC ⊂ ΓE , región
accesible del espacio de las fases. Por lo tanto, en cada situación, dados los particulares vínculos impuestos al sistema bajo
estudio, el ensemble microcanónico se define como:
ρ(x) = cte
ρ(x) = 0
para x ∈ ΓEC
para x ∈
/ ΓEC
En este caso, el promedio en fase de cualquier función de fase
f (x) se calcula como:
< f (x)> p = ∫ΓEC f (x)ρ(x) dΓ
Con estos elementos, el valor de equilibrio de una variable macroscópica se calcula en términos del promedio en fase de su
función de fase asociada: a cada variable macroscópica Fi (t) del
sistema termodinámico S T —con excepción de la entropía y la
temperatura absoluta— le corresponde una función de fase fi (x)
sobre el espacio de las fases de S M tal que, para el ensemble
microcanónico representado por ρ(x), se cumple:
Fieq = < fi (x)> p = ∫ΓEC fi (x)ρ(x) dΓ
Por su parte, en estado de equilibrio estadístico, la entropía de
Gibbs SG se calcula como:
SG = −k ∫Γ ρ(x) log ρ(x) dΓ
Hasta aquí nos hemos referido a la situación de equilibrio.
Pero, ¿cómo dar cuenta, desde la perspectiva gibbsiana, de la
macroevolución de un sistema aislado hacia el equilibrio?3 Supóngase un sistema sometido a ciertos vínculos C0 , inicialmente
3
Es cierto que la mecánica estadística de Gibbs trata esencialmente de la
situación de equilibrio. No obstante, ya en su Elementary Principles in Statistical Mechanics Gibbs (1902) considera el caso de un sistema aislado en su
evolución hacia el equilibrio, y su idea original la continuaron posteriormente
otros autores. Como veremos más adelante, en la actualidad continúa el debate
16
OLIMPIA LOMBARDI
en equilibrio termodinámico; en esta situación, el sistema es
adecuadamente representado por un ensemble microcanónico
definido por:
ρ(x) = cte
ρ(x) = 0
para x ∈ ΓECO
para x ∈
/ ΓECO
y la entropía de Gibbs será:
SG = −k ∫ΓEC0 ρ(x) log ρ(x) dΓ
Si en t0 se modifican los vínculos aplicados al sistema (por
ejemplo, en el caso del gas confinado en la mitad izquierda del
recipiente, se elimina el tabique divisor), el macroestado originalmente de equilibrio se convierte en un macroestado de no
equilibrio que evoluciona hacia un nuevo macroestado de equilibrio determinado por los nuevos vínculos C1 impuestos al sistema. En la descripción de Gibbs, el ensemble microcanónico
original representado por ρ(x) se convierte, en t0 , en un ensemble de no equilibrio representado por ρ0 (x, t) cuyo soporte se
encuentra confinado en ΓEC0 . Este ensemble de no equilibrio
debería evolucionar hacia un nuevo ensemble microcanónico
definido por:
ρ1 (x) = cte
ρ1 (x) = 0
para x ∈ ΓEC1
para x ∈
/ ΓEC1
donde ΓEC1 es la nueva hipersuperficie accesible dados los nuevos vínculos impuestos, y siendo ΓEC1 > ΓEC0 . En otras palabras, luego de un tiempo t superior al tiempo de relajación,
debería darse la evolución ρ0 (x, t0 ) → ρ0 (x, t) = ρ1 (x).
entre los defensores de un enfoque boltzmanniano y los continuadores del enfoque de Gibbs (para una comparación entre ambos enfoques, cfr. Lombardi
2000). Puesto que en este artículo no adopto una perspectiva histórica, formularé el problema en términos conceptuales tal como se presenta en nuestros
días (para detalles históricos, cfr. Brush 1976).
17
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
ρ1(x)
ρ0(x, t0)
ΓEC0
ΓEC1
t
Sin embargo, tal situación no es posible. Los sistemas del ensemble inicial evolucionan según las leyes de la mecánica cumpliendo el teorema de Liouville de constancia de la medida en
el espacio de las fases: la región ΓEC0 podrá deformarse y extenderse en la nueva región accesible del espacio de las fases
pero, al mantener su volumen constante, no podrá cubrir de un
modo efectivo la región ΓEC1 correspondiente al nuevo estado
de equilibrio. En consecuencia, dada la validez del teorema de
Liouville, la entropía SG se mantiene constante durante toda
la evolución y, por lo tanto, no puede representar la entropía
termodinámica S regida por el segundo principio.
ρ1(x)
ρ0(x, t0)
t
ΓEC0
ρ0(x, t)
ΓEC1
En el enfoque de Gibbs, lo que en realidad sucede es que
la región inicial se ha distribuido y ramificado hasta el punto
de cubrir de un modo aparentemente uniforme la región ΓEC1
correspondiente al nuevo macroestado de equilibrio. A fin de
18
OLIMPIA LOMBARDI
dar cuenta de la creciente deformación de la región ΓEC0 inicial,
puede definirse una entropía de grano grueso [coarse grain]
Scg : divídase el espacio de las fases en celdas y asígnese una
probabilidad Pi a cada una de ellas —probabilidad de que el
punto representativo del microestado del sistema se encuentre
en la celda i; Scg se define como:
Scg = −k Σ Pi log Pi
y puede esperarse que aumente a través de la evolución, a medida que la región inicial vaya ingresando en mayor cantidad de
celdas. No obstante, si un observador “perfecto” describiera la
evolución del sistema inicialmente fuera del equilibrio a través
del comportamiento de su ensemble representativo, observaría
la creciente distorsión y ramificación en el espacio de las fases
de la región ΓEC0 correspondiente al macroestado inicial, pero
podría comprobar la validez del teorema de Liouville: nunca se
alcanza una distribución uniforme sobre la región ΓEC1 asociada
al nuevo macroestado de equilibrio, pues el volumen de la región inicial permanece invariante durante toda la evolución. En
consecuencia, el aumento de la entropía termodinámica S que
enuncia el segundo principio sólo puede asociarse al aumento de
entropía de grano grueso Scg , y ello implica una interpretación
gnoseológica de la irreversibilidad.
En las discusiones acerca de la relevancia de la ergodicidad
en la fundamentación de la mecánica estadística suele pasarse
por alto que, en el contexto gibbsiano, las propiedades ergódicas cumplen un doble papel. En primer lugar, la ergodicidad
justifica la elección de un ensemble microcanónico para representar el estado de equilibrio termodinámico, donde la función
de distribución ρ(x) adopta un valor constante en toda la región
del espacio de las fases accesible al sistema. En segundo lugar,
la ergodicidad interviene en la explicación de la evolución hacia
el equilibrio: para que se produzca el aumento de la entropía
de grano grueso Scg , es necesario que el sistema sea mezclador,
esto es, que la región inicial se deforme a través de la evolución;
pero, a su vez, esto exige que el sistema sea ergódico, puesto
que la propiedad de mezcla involucra un grado de inestabilidad
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
19
superior a la ergodicidad, es decir, mezcla implica ergodicidad
pero no a la inversa (cfr. Lebowitz y Penrose 1973).
4 . El problema de la ergodicidad
Las discusiones acerca del papel que cumple la ergodicidad en
el esquema explicativo de Gibbs suelen circunscribirse al ámbito de la mecánica estadística del equilibrio, en particular, a
la justificación de la estrategia gibbsiana de asimilar el valor de
equilibrio de una macrovariable con el promedio en fase de su
función de fase asociada mediante el ensemble microcanónico.
Tradicionalmente, tal justificación se basa en el siguiente argumento: Dado que las mediciones macroscópicas insumen cierto
tiempo, la magnitud medida no es el valor instantáneo de una
variable macroscópica sino su promedio temporal. El intervalo
de medición puede ser considerado muy corto a escala macroscópica, pero es muy largo a escala microscópica; por lo tanto, el
promedio temporal sobre un intervalo finito puede asimilarse
al promedio temporal infinito. A su vez, el teorema de Birkhoff
asegura que, si el sistema es ergódico, para casi todo microestado inicial x0 , el promedio temporal infinito y el promedio en
fase tienen el mismo valor. La idea que subyace al teorema es
que, si el sistema es ergódico y se encuentra en su macroestado
de equilibrio, la microevolución recorrerá, para t → ∞, casi
todos los puntos pertenecientes a la región del espacio de las
fases accesible al sistema; por lo tanto, el promedio temporal
de f (x) para t → ∞ puede igualarse a su promedio en fase.
En consecuencia, el valor medido de la variable macroscópica
puede aproximarse al promedio en fase de su función de fase
correspondiente.
Este argumento tradicional, que suele incluirse en los textos
sobre mecánica estadística, ha sido objeto de dos críticas principales:
• La cláusula “para casi todo x0 ” en el teorema de Birkhoff
excluye los conjuntos de medida nula. Si el sistema se
encuentra en un microestado representado por un punto
perteneciente a tales conjuntos, el promedio temporal no
20
OLIMPIA LOMBARDI
está definido y, por tanto, el teorema de Birkhoff pierde
su aplicabilidad. Ya Tolman (1938, pp. 68–69) objeta el
papel del teorema de Birkhoff desde un punto de vista físico, al imaginar un gas confinado en un recipiente
rectangular, y compuesto por partículas que se mueven
paralelamente entre sí y respecto de dos de las caras del
recipiente: el punto representativo de su microestado sólo
podría recorrer una parte limitada de la región del espacio
de las fases accesible al sistema. En consecuencia, a lo sumo podría afirmarse que la ergodicidad explica el éxito
de los métodos de Gibbs en un sentido probabilístico, en
particular, con probabilidad igual a uno.
• El intervalo que requiere una medición macroscópica no
sólo no es infinito, sino que no puede considerarse como
tal. En efecto, observamos la evolución de los sistemas hacia el equilibrio y efectuamos mediciones de magnitudes
macroscópicas fuera del equilibrio: esto sería imposible si
las mediciones siempre requirieran intervalos muy superiores al tiempo de relajación del sistema.
Estas objeciones fueron ya claramente formuladas por Sklar
(1973), para luego ser retomadas por otros autores (cfr. Malament y Zabell 1980; Leeds 1989; Earman y Rédei 1996). Sklar
(1973, p. 209) agrega una nueva crítica cuando señala que el
argumento tradicional no exige que el sistema posea un alto
número de grados de libertad: un sistema de dos esferas en una
caja es ergódico y, por tanto, responde al teorema de Birkhoff;
sin embargo, no es un sistema al que pueda aplicarse la mecánica estadística de Gibbs. Otros autores que defienden un enfoque
boltzmanniano de la mecánica estadística también manifiestan
su insatisfacción frente al esquema explicativo de Gibbs por
motivos análogos; por ejemplo, Bricmont (1995) insiste en la
imposibilidad de brindar un sentido físico a la distinción micromacro en sistemas con pocos grados de libertad.
Pero entonces, ¿por qué funcionan los métodos de Gibbs? Malament y Zabell (1980) admiten que la asimilación de intervalos
finitos a un intervalo infinito resulta inaceptable; no obstante,
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
21
adjudican a la ergodicidad un papel limitado pero importante
en la explicación del éxito predictivo de los promedios en fase.
Según estos autores, el punto que debe justificarse es que la
función de distribución microcanónica realmente representa la
densidad de probabilidad de encontrar el sistema bajo estudio
en un microestado particular. En efecto, ρ(x) define una medida
µ(A) sobre los subconjuntos A de la región ΓEC del espacio de
las fases accesible al sistema, tal que:
• es absolutamente continua, es decir, µ(A) = 0 para todos
los subconjuntos A de volumen nulo sobre ΓEC .
• es invariante bajo la evolución Ut , es decir, para todo
subconjunto medible A, µ(A) = µ(Ut A).
Malament y Zabell concentran su atención en un corolario del
teorema de Birkhoff según el cual, si el sistema es ergódico, la
medida µ correspondiente al ensemble microcanónico es la única medida absolutamente continua e invariante sobre la región
del espacio de las fases accesible al sistema. Sobre esta base,
Malament y Zabell (1980, p. 345) concluyen que la ergodicidad
brinda un importante argumento para considerar que el ensemble microcanónico efectivamente representa la probabilidad
de que el sistema se encuentre en sus diferentes microestados
posibles.4
Si bien altamente plausible, este argumento es criticado por
Earman y Rédei (1996), quienes admiten la validez de la estrategia de Malament y Zabell pero niegan su aplicabilidad a
los sistemas macroscópicos de interés. En particular, Earman y
Rédei (1996, p. 69) señalan que muchos de los sistemas típicos
estudiados en la mecánica estadística son no ergódicos; y aun
cuando el sistema bajo estudio sea sólo “un poco” no ergódico
4
Malament y Zabell también señalan la importancia de que el sistema
posea un elevado número de grados de libertad para el éxito de los métodos
de Gibbs. En efecto, sobre la base de un resultado de Khinchin (1949) se
demuestra que, si f (x) tiene pequeña dispersión respecto de la medida µ,
la probabilidad de que su promedio en fase < f > p difiera de su promedio
temporal < f >t también será muy baja y, por tanto, será altamente probable
que los métodos de Gibbs “funcionen”.
22
OLIMPIA LOMBARDI
—esto es, en una ínfima región del espacio de las fases—, el
resultado de Birkhoff acerca de la unicidad de µ falla por completo y no sólo “un poco” (p. 71). De aquí, Earman y Rédei
concluyen que “el uso de promedios en fase calculados sobre la
medida microcanónica funciona; por lo tanto, la explicación de
por qué funciona debe invocar mecanismos y propiedades no
ergódicos” (Earman y Rédei 1996, p. 70).
El problema de determinar el papel que cumple la ergodicidad en la explicación del éxito de los métodos gibbsianos
también fue abordado por otros autores. Por ejemplo, luego de
una extensa crítica a la relevancia física del teorema de Birkhoff,
Tolman (1938, pp. 63–70) abandona el argumento ergódico para
justificar la equiprobabilidad y prefiere adoptar, como postulado adicional de la mecánica estadística, el principio de indiferencia, esto es, la hipótesis de iguales probabilidades a priori
para regiones de igual medida en el espacio de las fases; este
método “tiene la justificación a posteriori de conducir a conclusiones que concuerdan con los hechos empíricos” (Tolman
1938, p. 65). Esta estrategia de justificación adopta un carácter
explícitamente pragmático en la argumentación de Sklar (1973):
la distribución de los estados iniciales en las muestras de gas
existentes en el mundo es tal que el esquema gibbsiano funciona mediante la medida microcanónica; “ésta es una cuestión
de hecho, no de ley. Estos ‘hechos’ explican el éxito del método
de Gibbs. Dicho claramente, constituyen la única explicación
legítima de tal éxito” (Sklar 1973, p. 210). Si bien Sklar no
lo menciona, su estrategia parece seguir la línea metodológica
adoptada originalmente por el propio Gibbs con su actitud pragmática respecto de la mecánica estadística: el valor de la teoría
reside exclusivamente en su capacidad de concordar con los resultados de la termodinámica fenomenológica; sobre esta base,
la introducción de probabilidades no requiere otra explicación
más que la utilidad de la teoría resultante (cfr. Guttmann 1999,
pp. 21–25).
La estrategia pragmática para justificar el éxito de los métodos gibbsianos prescindiendo de conceptos ergódicos puede
resultar convincente en el marco de la mecánica estadística del
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
23
equilibrio. Sin embargo, cuando se pasa a considerar la evolución hacia el equilibrio desde el marco teórico de Gibbs, no
es tan sencillo prescindir de la ergodicidad. En equilibrio, el
problema consiste en justificar un método que ha demostrado
ampliamente su capacidad predictiva; si se prescinde de la hipótesis ergódica, puede adoptarse otro tipo de justificación sin que
ello atente contra el éxito de tal método. Pero en el contexto
de la evolución hacia el equilibrio, éste no es el caso, pues la
explicación gibbsiana de la irreversibilidad depende esencialmente del carácter mezclador del sistema: si el sistema no es
ergódico —y, por tanto, no es mezclador— el esquema teórico
de Gibbs predice que no se producirá el aumento de la entropía
de grano grueso asociada con la entropía macroscópica; en otras
palabras, no se producirá el aumento de entropía postulado por
el segundo principio. Por lo tanto, prescindir de la ergodicidad
aquí no conduce simplemente, como en el caso del equilibrio, a
conservar el método gibbsiano pero con una nueva justificación;
en el contexto de la evolución hacia el equilibrio, prescindir de
la ergodicidad equivale a rechazar la explicación gibbsiana de
la irreversibilidad, esto es, a considerar incorrecta la asociación
entre la entropía macroscópica y la entropía de grano grueso Scg .
Esto explica la razón por la cual quienes adoptan, en una
u otra variante, la línea teórica de Gibbs siempre subrayan la
necesidad de que la microestructura del sistema posea un alto grado de inestabilidad para que se manifieste el fenómeno
de la irreversibilidad. Uno de los primeros autores en señalar
el papel esencial que cumple la inestabilidad dinámica para la
irreversibilidad fue el físico ruso Krylov, al afirmar que “el proceso de mezcla es indispensable para que exista la relajación
de los sistemas físicos, esto es, para hacer posible la existencia
de una ley probabilística de la distribución de los estados que
sea independiente del estado inicial y esté determinada por la
fórmula de la fluctuación” (Krylov 1979, p. 19).5 Pero la idea de
mezcla, si bien carente por completo de definición formal, fue
5
Los trabajos de Krylov fueron originalmente publicados en la década de
1940. Una interesante discusión acerca de las tesis de este físico ruso puede
encontrarse en Batterman 1990.
24
OLIMPIA LOMBARDI
ya introducida por Gibbs en el capítulo XII de su Elementary
Principles in Statistical Mechanics con su famosa analogía de
la gota de tinta en un vaso de agua (Gibbs 1902, pp. 144–145).6
En su ya clásico texto, Tolman retoma explícitamente la misma
idea:
esta disminución [de k Σ Pi log Pi ] es resultado de la incapacidad
de los puntos representativos del ensemble, originalmente presentes en alguna particular región pequeña pero finita δq1 . . . δ p f con
densidad uniforme ρ, de moverse juntos como un todo compacto
sin cambiar la “forma” de la extensión que ocupan. [ . . . ] las diferentes densidades de grano fino ρ, dentro de una celda del espacio
de las fases correspondiente a un rango E a E + δE, finalmente
se mezclan como para darnos una densidad de grano grueso P
aproximadamente uniforme dentro de ese rango. (Tolman 1938,
pp. 177–178)
Es interesante notar cómo Gibbs y Tolman, careciendo de elementos teóricos para relacionar ergodicidad y mezcla, creen posible prescindir de la ergodicidad en la situación de equilibrio
para el cálculo del valor de las macrovariables como promedios
en fase pero, no obstante, consideran la propiedad de mezcla
como un elemento indispensable para la evolución irreversible
del sistema hacia el equilibrio. Los matemáticos necesitaron más
de treinta años para traducir en términos formales la intuición
física de Gibbs; cuando finalmente lo hicieron, sus resultados
iluminaron muchos aspectos relevantes para la discusión acerca
del problema de la ergodicidad.
Sin embargo, también respecto de los procesos irreversibles
surge el disenso cuando se intenta establecer el papel que cumple la ergodicidad. Algunos autores rechazan la explicación de
Gibbs de la evolución hacia el equilibrio y prefieren adoptar la
línea boltzmanniana, según la cual un sistema evoluciona desde
6
Es interesante notar que el tratamiento que hace Gibbs de la irreversibilidad en el capítulo XII parece contradecir los primeros capítulos de su
obra, donde el autor asume una actitud crítica frente al poder explicativo de
la ergodicidad y asume una actitud pragmática acerca de la justificación de sus
propios métodos.
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
25
sus macroestados menos probables hacia sus macroestados más
probables. Por ejemplo, Lebowitz (1993) desacredita la entropía
de Gibbs como magnitud física relevante en la medida en que
permanece constante durante la evolución del sistema; según
el autor, sólo la entropía de Boltzmann —definida como una
medida del número de microestados compatibles con cierto macroestado de equilibrio— captura la distinción entre las escalas
microscópica y macroscópica. Desde una perspectiva similar,
Bricmont (1995) sostiene que todo intento de “forzar” el aumento de la entropía de Gibbs mediante particiones de grano grueso
genera la incorrecta impresión de que la irreversibilidad depende de tales particiones y, por tanto, es un fenómeno subjetivo.
Según este autor, la ergodicidad no es condición ni necesaria
ni suficiente para la irreversibilidad. No es condición suficiente
puesto que hay sistemas ergódicos de pocos grados de libertad para los cuales no tiene sentido hablar de comportamiento
irreversible. Pero la afirmación más fuerte es que la ergodicidad tampoco es condición necesaria, ya que existen evoluciones
que, sin ser ergódicas, manifiestan un carácter inequívocamente
irreversible. Lebowitz se refiere a los procesos irreversibles en
un sentido análogo: “las características esenciales de la evolución no dependen de propiedades dinámicas específicas, como
la positividad de los exponentes de Lyapounov, la ergodicidad
o la mezcla” (Lebowitz 1993, p. 32).
En resumen, si bien es posible prescindir de la ergodicidad
para explicar el éxito de los métodos de Gibbs en el contexto de
la mecánica estadística del equilibrio, cuando se intenta explicar
la evolución hacia el equilibrio el problema queda planteado
con toda claridad. Mientras desde la perspectiva gibbsiana es
indispensable que el sistema sea mezclador para manifestar un
comportamiento irreversible, algunos autores sostienen que la
ergodicidad no es condición necesaria para la irreversibilidad e
incluso afirman la existencia de sistemas dinámicos no ergódicos
que describen evoluciones irreversibles hacia el equilibrio.
26
OLIMPIA LOMBARDI
5 . Conceptos básicos de la teoría ergódica
Para tratar el problema de la ergodicidad en términos actuales,
es necesario contar con los principales conceptos y resultados
que suministra la teoría ergódica en su presentación formal.
Sea un sistema dinámico S definido por:
• El espacio de las fases Γ, compacto y metrizable.
• El flujo Ut : Γ → Γ, con t ∈ <, tal que para todo A ⊆ Γ,
−1
U0 A = A, Ut+s A = Us (Ut A) y Ut A = U−
t A.
• La medida µ sobre Γ, normalizada e invariante bajo el
flujo Ut , y tal que para todo A ⊆ Γ, µ(Ut A) = µ(A) para
todo t.
Def. 1: El sistema S es ergódico sii para todo A ⊆ Γ tal que
µ(A) 6= ∅ y para casi todo x ∈ Γ (excepto para conjuntos de
medida nula), se cumple {Ut x} ∩ A 6= ∅ para algún t.
Def. 2: El sistema S es descomponible sii Γ puede particionarse
en dos o más regiones invariantes de medida no nula; por ejemplo, existen A, B ⊂ Γ tales que A ∩ B = ∅, A ∪ B = Γ, µ(A) 6= ∅,
µ(B) 6= ∅ y, para todo t, Ut A ⊆ A y Ut B ⊆ B.
Teorema 1: El sistema S es ergódico sii es no descomponible.
Def. 3: Sea el sistema S y sea f : Γ → < una función de fase
integrable:
– el promedio en fase de
∫Γ f (x)µ(x)dΓ
f
se define: < f > p =
– el promedio temporal de
lim T →∞ 1/T ∫t0t0+T f (Ut x)dt
f
se define: < f >t
=
Teorema 2 (teorema de Birkhoff ): Sea el sistema S y f (x) una
función de fase integrable sobre Γ:
• Para casi todo x ∈ Γ (excepto para conjuntos de medida nula), el promedio temporal de f , < f >t , existe y es
independiente del instante inicial t0 .
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
27
• Si el sistema S es ergódico, para casi todo x ∈ Γ (excepto para conjuntos de medida nula) se cumple que
< f > p =< f >t .
Def. 4: El sistema S es mezclador sii, para todo A, B ⊆ Γ, se
cumple que lim|t|→∞ µ(Ut A ∩ B) = µ(A)µ(B).
Teorema 3: Sea el sistema S, f (x) una función de fase integrable
sobre Γ y ρ una medida absolutamente continua respecto de µ
(esto es, para todo A ⊆ Γ, µ(A) = 0 ⇒ ρ(A) = 0). Se define
ρt (A) = ρ(Ut A). Si el sistema es mezclador, ρt converge a µ
(ρt → µ) para |t| → ∞ en el sentido de que se cumple:
lim|t|→∞ ∫Γ f (x)ρt (x)dΓ = ∫Γ f (x)µ(x)dΓ
6 . ¿Sistemas no ergódicos?
¿En qué tipo de sistema piensan los autores que, como Earman
y Rédei, afirman que los sistemas típicos estudiados en mecánica
estadística son no ergódicos? Tal vez un ejemplo de este tipo de
sistema sea el caso de un gas cuyo modelo mecánico consiste
en un conjunto de partículas puntuales que no colisionan entre
sí, pero que lo hacen elásticamente con las paredes del recipiente que las contiene.7 Si el gas se encuentra originalmente
confinado en la mitad izquierda del recipiente, al retirarse el
tabique divisor el valor de la densidad en dicha mitad disminuirá —salvo condiciones iniciales microscópicas excepcionales—
hasta alcanzar un nuevo valor de equilibrio. No obstante, el
sistema no es ergódico: dado que las partículas no colisionan
entre sí, mantienen invariante el módulo de su velocidad; por
lo tanto, no todas las regiones pertenecientes a la región ΓEC
accesible al sistema son recorridas por el punto representativo.
7
Un caso conocido de este tipo de modelo mecánico es el llamado “gas
de Lorentz”, compuesto de un gran número de partículas que no interactúan
entre sí y que se mueven en un plano entre un arreglo periódico de dispersores
[scatterers], ubicados de modo tal que una partícula no puede recorrer más
que una distancia especificada entre colisiones.
28
OLIMPIA LOMBARDI
Sin embargo, en este caso la pregunta clave es: ¿esta forma
de no ergodicidad es relevante respecto de la densidad? Para
que la densidad en la mitad izquierda del recipiente disminuya
hasta su valor de equilibrio sólo es relevante la posición de
las partículas: la velocidad que posean las partículas en cada
instante no influye en el valor de la densidad en dicho instante.
Desde el punto de vista gibbsiano, la evolución irreversible
de la densidad en la mitad izquierda del recipiente sólo exige
que, a través del tiempo, el microestado del sistema adquiera
—casi— todos sus posibles valores de posición. En el lenguaje
del espacio de las fases, el punto representativo del microestado
del sistema no debe permanecer confinado en ninguna subregión
de medida no nula, ya no de la región accesible ΓEC en su
totalidad, sino de una región Γ p incluida en ΓEC y de dimensión
inferior a ΓEC ; tal región Γ p es resultado de la intersección
entre ΓEC y el hipercilindro definido por el valor constante del
módulo de la velocidad de las partículas. En definitiva, si bien
el sistema no es ergódico respecto de toda la región accesible
ΓEC , sí es ergódico y, por tanto, no descomponible respecto de
la subregión Γ p ⊂ ΓEC .
Si bien en el contexto restringido de la mecánica estadística
del equilibrio, Earman y Rédei (1996, p. 74) se aproximan a esta
idea cuando afirman que, a fin de preservar un papel explicativo
para la ergodicidad, ya no es necesario referirse a ergodicidad
y mezcla completas [full ergodicity, full mixing], sino a una
ergodicidad “finita” y a una mezcla “finita”, esto es, referidas
a un conjunto finito de observables {Oi }. Los autores definen
mezcla finita del siguiente modo:
Def. 5: El sistema definido por (ΓE , Ut , µ) es mezclador respecto
del conjunto finito de observables {Oi } sii para toda medida
ρ absolutamente continua respecto de µ y tomando ρt (A) =
ρ(Ut A), se cumple:
lim|t|→∞ ∫ΓE fOi (x) ρt (x) dΓE = ∫ Γ fOi (x) µ(x) dΓE
y si bien no definen ergodicidad finita, es fácil suponer que lo
harían del siguiente modo:
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
29
Def. 6: El sistema definido por (ΓE , Ut , µ) es ergódico respecto
del conjunto finito de observables {Oi } sii para casi todo x ∈ ΓE
(excepto para conjuntos de medida nula) se cumple que:
< fOi > p = < fOi >t → ∫ΓE fOi (x)µ(x) dΓ = limT→∞ 1/T ∫toto+T fOi (Ut x)dt
En nuestro ejemplo, en lugar de ser completamente ergódico
y mezclador, el sistema deberá ser ergódico y mezclador respecto del observable —macrovariable— ‘densidad en la mitad
izquierda del recipiente’ para que el sistema explicativo gibbsiano funcione.
En primer lugar, cabe señalar que la posición que aquí adoptan Earman y Rédei no parece consistente con su afirmación
anterior, según la cual la justificación del éxito de los métodos
de Gibbs debe invocar “mecanismos y propiedades no ergódicos” (1996, p. 70): salvo que la ergodicidad finita y la mezcla
finita sean consideradas “propiedades no ergódicas”, no puede
negarse que, aun desde esta perspectiva, ergodicidad y mezcla
siguen cumpliendo un importante papel en la fundamentación
de los métodos gibbsianos.
Pero un aspecto más interesante de la discusión es establecer el motivo por el cual Earman y Rédei consideran necesario
introducir una diferencia conceptual entre ergodicidad y mezcla
completas y ergodicidad y mezcla finitas. Los autores parecen
considerar que la ergodicidad y la mezcla exigidas por el enfoque de Gibbs se refieren a toda la hipersuperficie ΓE del espacio
de las fases; a fin de ajustar esta exigencia a las definiciones generales de ergodicidad y mezcla (definiciones 1 y 3), en lugar
de definir el sistema dinámico mediante su espacio de las fases
Γ completo, lo hacen mediante la hipersuperficie ΓE (definiciones 5 y 6). Con ello, las definiciones de ergodicidad y mezcla
completas (definiciones 1 y 3) como de ergodicidad y mezcla finitas (definiciones 5 y 6) se refieren al sistema dinámico S =
(ΓE , Ut , µ), donde µ se define sobre ΓE . Si bien esta estrategia no es objetable matemáticamente, desde un punto de vista
físico parece bastante artificial: en el caso de nuestro sistema
de partículas que no interactúan entre sí, al cambiar su energía
total no nos encontraríamos ante el mismo sistema con diferente
energía, sino ante un sistema diferente. La artificialidad de este
30
OLIMPIA LOMBARDI
enfoque se manifiesta claramente si se aplica al sencillo sistema
de una única partícula libre en movimiento acelerado: en tanto
su velocidad varía instantáneamente, su energía también se modifica, y la partícula cambiaría su identidad instante a instante.
Sin embargo, la estrategia matemática de Earman y Rédei
se torna más difícilmente aceptable al recordar que, como fue
señalado, cuando nos referimos a un sistema aislado en particular, con sus propios vínculos Ci impuestos externamente, los
microestados en los que puede encontrarse el sistema no son
los representados por todos los puntos pertenecientes a ΓE ; por
el contrario, los sistemas del ensemble microcanónico deben
distribuirse uniformemente sobre los posibles microestados representados por puntos pertenecientes a ΓEC ⊂ ΓE , donde ΓEC
es la región del espacio de las fases accesible al sistema dados su
energía total y los vínculos que le son impuestos. En otras palabras, la región del espacio de las fases que resulta relevante no
es toda la hipersuperficie ΓE , sino la región accesible ΓEC ⊂ ΓE :
sólo sobre ella la mezcla y, por tanto, la ergodicidad se presentan
como condición necesaria para el comportamiento irreversible
del sistema. Pero ΓEC queda definida por los vínculos impuestos
externamente. Por lo tanto, si adoptáramos la estrategia de Earman y Rédei de definir el sistema mediante la región del espacio
de las fases relevante en cada caso, deberíamos aceptar que toda
modificación en los vínculos impuestos modifica la identidad del
sistema: en nuestro ejemplo, al eliminar el tabique divisor entre
las dos mitades del recipiente, no diríamos que ha cambiado el
volumen accesible al movimiento de los elementos del sistema,
sino que nos encontramos ante otro sistema. Pero esta decisión
metodológica se enfrenta al modo en que suele considerarse la
identidad de los sistemas en la práctica científica: en nuestro
ejemplo, al retirar el tabique divisor, el físico no considera que
se encuentra ante un nuevo sistema, sino que el mismo sistema
ha cambiado su volumen al modificarse uno de los vínculos
impuestos desde el exterior y, con ello, se ha modificado la
región del espacio de las fases accesible al sistema. Y aún más:
si se aceptara que no se preserva la identidad del sistema con la
modificación de los vínculos, sería necesario justificar por qué
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
31
una ley física como el segundo principio establece una relación
entre estados de equilibrio entre sistemas diferentes.
Sobre la base de estos argumentos, desde un punto de vista
físico parece mucho más razonable definir un sistema dinámico
mediante su espacio de las fases Γ completo, cuyas características quedan determinadas por el número de grados de libertad
del sistema y por las particulares coordenadas generalizadas de
sus elementos componentes. A su vez, dado que la ergodicidad
y la mezcla relevantes en esta discusión nunca se refieren al espacio de las fases Γ completo, resulta más adecuado relativizar
la definición misma de los conceptos de ergodicidad y mezcla
respecto de cierta subregión Γα de Γ, del siguiente modo:
Def. 7: Dado un sistema S definido por (Γ, Ut ), y dada una
región Γα ⊆ Γ sobre la cual se define una medida µ, S es
ergódico sobre Γα sii para todo A ⊆ Γα tal que µ(A) 6= ∅ y
para casi todo x ∈ Γα (excepto para conjuntos de medida nula),
se cumple {Ut x} ∩ A 6= ∅ para algún t.
Def. 8: Dado un sistema S definido por (Γ, Ut ), y dada una
región Γα ⊆ Γ sobre la cual se define una medida µ, S es
mezclador sobre Γα sii para todo A, B ⊆ Γα se cumple que
lim|t|→∞ µ(Ut A ∩ B) = µ(A)µ(B).
Esta relativización de los conceptos de ergodicidad y mezcla,
no sólo preserva la identidad del sistema frente a modificaciones de los vínculos impuestos, sino que permite concentrar la
atención en la subregión del espacio de las fases relevante en
cada situación. Tal subregión puede quedar definida exclusivamente por los vínculos o, como en nuestro ejemplo, también
por la particular relación entre la macrovariable de interés y las
microvariables que definen el microestado del sistema.
Desde este nuevo punto de vista es posible comprender nuestro ejemplo de la densidad en la mitad izquierda de un recipiente desde una perspectiva diferente de la propuesta por Earman
y Rédei. Para estos autores, tal densidad es el observable relevante y, por tanto, es necesario definir el concepto de mezcla
—y de ergodicidad— finita respecto de tal observable como un
concepto diferente del de mezcla —y de ergodicidad— com-
32
OLIMPIA LOMBARDI
pleta. Desde nuestra perspectiva, por el contrario, no hay aquí
dos conceptos diferentes de mezcla —y de ergodicidad—, sino
un único concepto que se aplica a la región del espacio de las
fases relevante en cada caso; en nuestro ejemplo se trata de la
región Γ p , incluida en la región accesible ΓEC y definida por el
valor del módulo de la velocidad de las partículas que componen el sistema. En otras palabras, desde el enfoque gibbsiano,
la irreversibilidad exige como condición necesaria que el sistema sea mezclador —ergódico— sobre Γ p según la definición 8
—definición 7—, donde Γα = Γ p .
En definitiva, en la formulación teórica de Gibbs las propiedades ergódicas del sistema —relativas a la región relevante
del espacio de las fases— cumplen un importante papel en la
explicación de la evolución irreversible hacia el equilibrio termodinámico en términos de la microdinámica subyacente. A su
vez, dado que el sistema conserva sus propiedades ergódicas una
vez alcanzado el equilibrio, la aplicabilidad del teorema de Birkhoff también adquiere su justificación. Por lo tanto, objetar la
exigencia de ergodicidad para el éxito de los métodos de Gibbs
señalando la existencia de sistemas típicos que no son siquiera
ergódicos sobre ΓE resulta sumamente engañoso:8 es verdad que
tales sistemas no son ergódicos ni mezcladores sobre toda la hipersuperficie ΓE , pero sí lo son sobre una región más restringida
del espacio de las fases, y ésta es la única condición necesaria
de mezcla y ergodicidad que exige el enfoque de Gibbs.
7 . Volviendo al núcleo del problema
Esta discusión acerca de las propiedades ergódicas que exige
la perspectiva de Gibbs pone de manifiesto la importancia de
no sucumbir a la seducción del formalismo matemático olvidando el problema físico que se intenta resolver. Earman y
8
Esta crítica a los defensores del enfoque de Boltzmann se refiere exclusivamente al problema de la ergodicidad, pero no implica una completa
adhesión al enfoque gibbsiano, el cual posee sus propias limitaciones como,
por ejemplo, la necesidad de justificar la utilización de ensembles para explicar el comportamiento de sistemas singulares, o el carácter gnoseológico de la
entropía de Gibbs.
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
33
Rédei aceptan sin cuestionamiento la definición formal y totalmente general de mezcla que les suministra la teoría ergódica,
y tratan de aplicarla a los sistemas para los cuales el enfoque de
Gibbs ha mostrado su eficacia; al comprobar que tales sistemas
no responden a la definición, inventan una nueva propiedad de
mezcla definida a semejanza ya no de la definición general que
brinda la teoría ergódica (definición 4), sino de una consecuencia
de tal definición (teorema 3), consecuencia que, precisamente,
asegura el éxito de la explicación gibbsiana. ¿Cómo se justifica la
introducción de esta nueva propiedad? En la argumentación de
los autores no parece haber otra justificación que el mero hecho
de que la nueva propiedad asegura el éxito de los métodos de
Gibbs. En otras palabras, si la pregunta es: “¿Por qué la mecánica estadística del equilibrio funciona?” (Earman y Rédei 1996,
p. 74), una respuesta basada en una nueva propiedad cuya introducción se justifica exclusivamente en permitir que la mecánica
estadística funcione resulta sospechosamente circular. Quienes
consideramos que los problemas físicos exigen soluciones en
términos físicos difícilmente podemos sentirnos satisfechos con
tal respuesta.
Desde nuestra perspectiva, por el contrario, no es necesario
definir una nueva propiedad de mezcla, sino sólo aplicar el
concepto general de mezcla a una región particular del espacio
de las fases. Aquí la pregunta relevante es: ¿cómo se justifica
físicamente la elección de tal región? Sin duda, no apelando
al éxito de la formulación gibbsiana. Para ello es necesario
volver al núcleo del problema de la ergodicidad y recordar que
el disenso adquiere el carácter de dificultad conceptual en el
contexto de la evolución irreversible hacia el equilibrio. Por lo
tanto, en primer lugar debe clarificarse el sentido preciso de
los conceptos de reversibilidad e irreversibilidad que entran en
juego en la discusión.
A diferencia del concepto de t-invariancia, aplicable a ecuaciones dinámicas, el concepto de reversibilidad no se aplica a
ecuaciones o leyes sino a procesos. Un proceso P compuesto
por la sucesión temporal de eventos a1 , a2 , . . . , an es reversible
si tal sucesión puede presentarse en ese orden o en el orden
34
OLIMPIA LOMBARDI
inverso; es irreversible si tal sucesión siempre se presenta en
ese orden temporal, y nunca se observa en el sentido inverso
an , . . . , a2 , a1 . Cuando los conceptos de reversibilidad e irreversibilidad se expresan de este modo, los eventos ai son aspectos
parciales de los estados de un sistema. Por ejemplo, en la mecánica, si los eventos considerados son las sucesivas posiciones
de una partícula, la evolución temporal de la posición de la
partícula es un proceso reversible; en la termodinámica, si los
eventos considerados son las sucesivas densidades de un gas
inicialmente confinado en la mitad izquierda de un recipiente
a partir del momento en que se retira el tabique divisor entre
las dos mitades, la evolución temporal de dicha densidad es un
proceso irreversible. Es importante insistir en que los conceptos
de reversibilidad e irreversibilidad no se refieren a los estados
de un sistema, sino a la evolución temporal de alguna magnitud representada por una de las variables que define el estado
del sistema. Esto es particularmente claro en la mecánica: si
la sucesión de posiciones de una partícula en el tiempo es x1 ,
x2 , . . . , xn , tal sucesión puede presentarse en sentido temporal
inverso, xn , . . . , x2 , x1 ; en este caso, la ocurrencia de la sucesión
inversa requiere la inversión temporal de los estados mecánicos
de la partícula, de modo tal que la secuencia temporalmente
invertida de estados no se compone de los estados originales
sino de los estados temporalmente invertidos respecto de ellos:
T (en ), . . . , T (e2 ), T (e1 ). Por ello, el proceso del cual debería
predicarse estrictamente la reversibilidad es la evolución temporal de la posición de la partícula, y no la evolución temporal de
sus estados mecánicos.
En el caso termodinámico, el proceso al cual se aplica el predicado “irreversible” es la evolución temporal hacia el equilibrio
de alguna propiedad observable representada por una variable
macroscópica del sistema.9 En nuestro ejemplo, el predicado
9
Si bien tradicionalmente el problema de la irreversibilidad suele plantearse en términos del aumento de entropía, parece más natural hacerlo en
términos de la evolución hacia el equilibrio de alguna propiedad observable
del sistema, puesto que observamos cómo la densidad de un gas se vuelve uniforme o cómo se mezclan dos fluidos, pero no observamos en forma directa el
flujo de entropía.
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
35
irreversible se aplica al proceso generado por los sucesivos valores de la variable macroscópica ‘densidad en la mitad izquierda
del recipiente’, valores que disminuyen progresivamente desde
el instante en que se retira el tabique hasta alcanzar la situación
de equilibrio. Pero cada variable dinámica macroscópica se asocia con una función de algunas de las variables microscópicas
que definen el microestado del sistema, si bien no necesariamente con todas ellas; por ejemplo, si la macrovariable es la
densidad, sólo son relevantes las posiciones de las partículas;
pero si la macrovariable es la temperatura, las microvariables relevantes son las velocidades de las partículas. En consecuencia,
en la explicación de la evolución irreversible de cierta variable
macroscópica no es necesario que la propiedad de mezcla se
refiera a todas las microvariables del sistema, incluidas aquellas
que resultan irrelevantes respecto de la macrovariable considerada; por el contrario, sólo es necesario que el sistema sea
mezclador respecto de las microvariables que intervienen en la
función asociada a la macrovariable cuya evolución irreversible
se pretende explicar.
El lenguaje del espacio de las fases permite expresar la misma
condición en términos geométricos. Sea un sistema S aislado
con su descripción macroscópica S T y su descripción microscópica S M . Sea F (t) una variable macroscópica de S T . Sean
x1 , . . . , xd las d microvariables que definen el microestado de
S M y mediante las cuales se construye el espacio de las fases Γ
de dimensión d. Supóngase que la macrovariable F se asocia con
una función de las primeras k microvariables de estado: f (xi ),
con 1 ≤ i ≤ k y k < d. Para que el enfoque de Gibbs explique
la evolución irreversible de F (t) es condición necesaria que S M
sea mezclador sobre una región Γk incluida en la región ΓEC accesible al sistema, donde Γk es resultado de la intersección entre
ΓEC y la hipersuperficie definida por todas las combinaciones de
los valores posibles de las restantes microvariables de estado x j ,
con k ≤ j ≤ d. Un modo tal vez más sencillo de visualizar
la misma condición consiste en descomponer el espacio de las
fases Γ en dos subespacios Γi y Γ j construidos mediante las microvariables xi y x j , respectivamente; para explicar la evolución
36
OLIMPIA LOMBARDI
irreversible de F (t) es condición necesaria que la propiedad de
mezcla se cumpla sobre la región ΓiEC accesible al sistema, ahora
definida sobre el subespacio Γi . En nuestro ejemplo, para que
el esquema teórico de Gibbs explique la evolución irreversible
de la densidad del gas en la mitad izquierda del recipiente es
condición necesaria que la propiedad de mezcla se cumpla sobre
p
la región ΓEC definida por la energía y los vínculos del sistema,
p
pero donde ΓEC es una región del subespacio de posición Γ p obtenido de descomponer el espacio de las fases Γ correspondiente
al sistema.
Esta argumentación pone de manifiesto que la discusión acerca de la relevancia de las propiedades ergódicas en la teoría de
Gibbs no puede perder de vista el problema físico que intenta
resolver. La teoría ergódica, en cuanto formalismo matemático,
brinda una excelente herramienta para precisar los conceptos involucrados en el debate, pero esto no implica que pueda utilizársela de un modo indiscriminado. Como toda teoría matemática,
la teoría ergódica no puede brindar por sí misma la respuesta
a un problema físico: su aplicación sólo será fructífera si previamente sus términos formales se interpretan con precisión a
la luz de los aspectos fácticos del fenómeno físico bajo estudio.
Cuando esta precaución metodológica se pierde entre la maraña
de argumentos puramente formales, fácilmente pueden extraerse conclusiones inadecuadas o, al menos, irrelevantes respecto
del problema físico en cuestión.
8 . El papel de los modelos
Una pregunta totalmente diferente de las formuladas en las secciones anteriores es la que se refiere a las características de los
sistemas físicos reales estudiados en la mecánica estadística en
cuanto a su grado de inestabilidad: ¿cómo se aplican los resultados de la teoría ergódica en la práctica científica? Los críticos
de la relevancia de la ergodicidad están en lo cierto cuando
afirman que muchos sistemas estudiados en la mecánica estadística no son ergódicos y, por tanto, son descomponibles. En
algunas situaciones, la descomponibilidad posee manifestaciones
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
37
observacionalmente accesibles; éste es el caso, por ejemplo, de
una fase sólida en equilibrio con una fase líquida o, en general,
de cualquier fase en equilibrio con otra. En estas situaciones,
los métodos de Gibbs se aplican no sobre toda la región del
espacio de las fases accesible al sistema, sino sobre cada una de
las subregiones en las cuales aquélla se descompone. No obstante, en muchos casos el sistema no manifiesta observacionalmente
señal alguna de descomponibilidad; ¿cómo actúa el físico cuando
se enfrenta a este tipo de sistemas? La estrategia usual es aplicar,
de todos modos, los métodos de Gibbs bajo el supuesto de que
el sistema es ergódico y posee las propiedades ergódicas más
fuertes. Sin duda, esta estrategia no asegura el éxito predictivo.
Si los métodos gibbsianos funcionan, ello brindará elementos en
favor del supuesto de ergodicidad. Pero, ¿qué sucede cuando las
predicciones no se confirman empíricamente? En este caso, la
reacción del físico no será abandonar drásticamente el enfoque
de Gibbs, sino buscar argumentos adicionales en favor de la
descomponibilidad del espacio de las fases en subregiones donde los métodos de Gibbs sigan siendo aplicables. Como señala
Quay:
un ejemplo clásico de este tipo de fracaso de la mecánica estadística se encuentra en los primeros tratamientos del H2 puro.
Como resultado de las marcadas diferencias entre la teoría y los
resultados experimentales, se encontró que el espacio de las fases
del H2 debía dividirse en dos subespacios correspondientes al orto
y al para hidrógeno. (Quay 1978, p. 54)
Estas consideraciones nos conducen a recordar un aspecto
que frecuentemente se pasa por alto en las discusiones en torno a los fundamentos de la mecánica estadística. Cuando se
intenta conectar la descripción mecánica S M y la descripción
termodinámica S T de un mismo sistema, sólo se tiene acceso
empírico directo a las variables macroscópicas correspondientes
a S T . Por el contrario, la descripción mecánica S M refiere a
un modelo mecánico del sistema, construido sobre la base de
postular cierta estructura microscópica, así como las caracterís-
38
OLIMPIA LOMBARDI
ticas de los subsistemas componentes. Por lo tanto, cuando nos
enfrentamos a un sistema a cuya descripción termodinámica S T
podemos acceder empíricamente y pretendemos aplicar los métodos de Gibbs, debemos necesariamente postular un modelo
mecánico microscópico al cual referirá la descripción S M . La
construcción del modelo depende del conocimiento previo o de
conjeturas acerca de la microestructura del sistema.
Esta etapa descriptiva permite aplicar los métodos de Gibbs,
pero aún no asegura su éxito predictivo: bien puede suceder
que no se obtengan resultados satisfactorios. Frente a esto, la
situación más favorable sería aquella en la que pudiéramos demostrar formalmente que nuestro modelo es ergódico, e incluso
que posee las propiedades ergódicas más fuertes; en este caso,
la estrategia más razonable consistiría en intentar reformular el
modelo, tal vez haciéndolo más complejo e incluyendo factores
considerados irrelevantes en el modelo original. Pero, lamentablemente, en la práctica la situación dista de ser tan sencilla: la
demostración formal de que un sistema posee ciertas propiedades ergódicas es una tarea de enorme complejidad matemática, y
sólo se ha logrado en casos altamente idealizados a través de procedimientos sumamente complejos. Por lo tanto, prácticamente
siempre trabajamos con modelos mecánicos cuyas propiedades
ergódicas no podemos demostrar. Frente a ello habría dos actitudes posibles. Si, atendiendo a las críticas, prescindiéramos por
completo del supuesto de ergodicidad, deberíamos renunciar a
utilizar una poderosa herramienta teórica como la gibbsiana para
explicar las propiedades y, principalmente, el comportamiento
dinámico del sistema macroscópico en su evolución hacia el
equilibrio. Pero éste es un precio demasiado alto que los físicos
suelen no estar dispuestos a pagar, al menos no desde el comienzo. Por ello, la estrategia más frecuente consiste en suponer
que las propiedades ergódicas se cumplen y aplicar los métodos
de Gibbs esperando obtener predicciones exitosas; si esto no
sucede, se intenta reformular el modelo mecánico a la luz de
argumentos físicos adicionales. De todos modos, esta estrategia
tampoco asegura que se alcanzará una adecuación predictiva: si
bien la mecánica estadística de Gibbs ha demostrado su capaci-
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
39
dad para abordar múltiples y disímiles situaciones, hay muchos
casos en los cuales aún no se ha podido aplicar exitosamente.10
Estos argumentos, referidos a la práctica científica en el contexto de la mecánica estadística, permiten afirmar que el supuesto de ergodicidad no constituye un ingrediente superfluo o
estéril en la teoría gibbsiana. Por el contrario, el fracaso predictivo de los métodos de Gibbs bajo el supuesto de ergodicidad
—no descomponibilidad— brindan información extremadamente útil acerca de la estructura microscópica del sistema, e incluso
puede conducir a conjeturar ciertas propiedades inobservables
de los subsistemas microscópicos componentes.
A su vez, los mismos argumentos permiten evaluar bajo una
nueva luz el debate acerca del papel explicativo de la ergodicidad en el marco teórico de Gibbs. En las discusiones suele
enfatizarse el éxito predictivo de los métodos gibbsianos pero
olvidando sus limitaciones. Si bien tal éxito es innegable, no
pueden ignorarse los casos en los que los resultados no son
los previstos. Las críticas al papel explicativo de la ergodicidad
basadas en la existencia de sistemas no ergódicos olvidan que,
cuando el sistema es no descomponible, los métodos gibbsianos
no son aplicables sobre toda la región del espacio de las fases
accesible al sistema, sino que sólo lo son sobre cada una de
las subregiones que resultan de la descomposición. Por consiguiente, la no ergodicidad de muchos sistemas de interés para
la mecánica estadística no impugna el papel de las propiedades
ergódicas en el marco explicativo de Gibbs. En definitiva, la
exigencia de ergodicidad y de mezcla que impone el enfoque
de Gibbs no asegura el carácter ergódico y mezclador de todos
los sistemas relevantes en la mecánica estadística, sino sólo de
aquellos donde se aplica exitosamente. Por lo tanto, mientras
muchos autores formulan el problema preguntando “¿Por qué
los métodos de Gibbs funcionan?”, en realidad la pregunta adecuada es “¿Por qué los métodos de Gibbs funcionan cuando
funcionan?”, y en su respuesta las propiedades ergódicas cumplen un importante papel.
10
Por ejemplo, los métodos gibbsianos todavía no se han podido aplicar
exitosamente a fluidos de muy alta densidad.
40
OLIMPIA LOMBARDI
9 . Conclusiones
Sin duda, los resultados formales de la teoría ergódica han permitido discutir los problemas asociados con la fundamentación
de la mecánica estadística mediante argumentos mucho más precisos que los esgrimidos por los padres fundadores de la teoría.
Sin embargo, en muchas discusiones tales resultados formales se
aplican de un modo completamente general y no se relativizan
a la luz del fenómeno físico que se pretende explicar. El poder
de la herramienta matemática ha oscurecido la cuestión física.
La posición formulada en este artículo acerca del papel que
cumplen las propiedades ergódicas en el esquema teórico de
Gibbs cierra el camino a argumentos basados en la demostración “limpia” de teoremas generales. Nuestra perspectiva exige
considerar, en cada sistema de interés, los argumentos físicos
que conducen a escoger cierto modelo mecánico y los resultados
predictivos que se obtienen de tal elección. Además, para cada
modelo mecánico asociado al sistema bajo estudio, se impone
el análisis del comportamiento de las microvariables relevantes respecto de la macrovariable cuya evolución se pretende
describir. Es innegable que la incorporación de estos aspectos
conceptuales y metodológicos hace más complejos los términos
del debate. Pero si olvidamos el núcleo del problema físico de la
ergodicidad, corremos el riesgo de extraviarnos en discusiones
puramente formales acerca de propiedades abstractas y generales que, finalmente, los sistemas físicos suelen no poseer.
BIBLIOGRAFÍA
Batterman, R.W., 1990, “Irreversibility and Statistical Mechanics: A
New Approach?”, Philosophy of Science, vol. 57, pp. 395–419.
Bricmont, J., 1995, “Science of Chaos or Chaos in Science?”, Physicalia Magazine, vol. 17, pp. 159–208.
Brush, S., 1976, The Kind of Motion We Call Heat, North Holland,
Amsterdam.
Earman, J. y M. Rédei, 1996, “Why Ergodic Theory Does Not Explain
the Success of Equilibrium Statistical Mechanics”, British Journal
for the Philosophy of Science, vol. 47, pp. 63–78.
EL PROBLEMA DE LA ERGODICIDAD
41
Gibbs, J.W., 1902, Elementary Principles in Statistical Mechanics,
Yale University Press, New Haven.
Guttmann, Y.M., 1999, The Concept of Probability in Statistical
Physics, Cambridge University Press, Cambridge.
Khinchin, A.I., 1949, Mathematical Foundations of Statistical Mechanics, Dover, Nueva York.
Krylov, N.S., 1979, Works on the Foundations of Statistical Physics,
Princeton University Press, Princeton.
Lebowitz, J.L., 1993, “Boltzmann’s Entropy and Time’s Arrow”,
Physics Today, vol. 46, pp. 32–38.
Lebowitz, J.L. y O. Penrose, 1973, “Modern Ergodic Theory”, Physics
Today, vol. 26, pp. 23–29.
Leeds, S., 1989, “Malament and Zabell on Gibbs Phase Averages”,
Philosophy of Science, vol. 56, pp. 325–340.
Lombardi, O., 2000, “La interpretación de la irreversibilidad: Prigogine versus Gibbs”, Diálogos, año XXXV, pp. 37–56.
Malament, D.B. y S.L. Zabell, 1980, “Why Gibbs Phase Averages
Work —The Role of Ergodic Theory”, Philosophy of Science,
vol. 47, pp. 339–349.
Piskunov, N., 1994, Cálculo diferencial e integral, Limusa, México.
Quay, P.M., 1978, “A Philosophical Explanation of the Explanatory
Functions of Ergodic Theory”, Philosophy of Science, vol. 45,
pp. 47–59.
Sklar, L., 1973, “Statistical Explanation and Ergodic Theory”, Philosophy of Science, vol. 40, pp. 194–212.
Savitt, S.F., 1995, “Introduction”, en S.F. Savitt (comp.), Time’s
Arrows Today, Cambridge University Press, Cambridge.
Tolman, R.C., 1938, The Principles of Statistical Mechanics, Clarendon Press, Oxford.
Recibido el 13 de septiembre de 2002; aprobado el 8 de enero de 2003.