colegio de bachilleres de tabasco sistema de enseñanza abierta

COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO
SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA
GUÍA DE APRENDIZAJE
MATEMATICAS
Índice
Presentación
Introducción
Pág.
2
3
4
Carta al docente
5
Características de las Asignaturas
5
Contenido temático
Desarrollo temático Bloque I: Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.
6
11
Desarrollo temático Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas I.
Desarrollo temático Bloque III. Resuelve ecuaciones lineales I.
15
21
Desarrollo temático Bloque IV. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras.
Desarrollo temático Bloque V resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la
circunferencia
Desarrollo temático Bloque VI aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la
probabilidad
25
29
32
Anexo 1 guía de ejercicios
1
Presentación
Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, la Dirección General del
Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media
Superior, RIEMS) cuyos propósitos son consolidar la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y
subsistemas, además de brindar una educación pertinente que posibilite establecer una relación entre la escuela,
contexto social, histórico, cultural y globalizado en el que actualmente vivimos.
A continuación te presentamos el Cuadernillo de Actividades de Aprendizaje de la asignatura de Matemáticas I y II, que
pertenece al campo disciplinar de Matemáticas; la cual tiene como finalidad desarrollar en ti competencias relacionadas
con la comprensión y aplicación de las funciones, en los campos de estudio de las ciencias naturales, las disciplinas
económico-administrativas y las ciencias sociales.
En el Bachillerato General se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando
el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de las Matemáticas, por ello, la asignatura de
Matemáticas IV mantiene una relación vertical y horizontal con el resto de las asignaturas: Matemáticas I y Matemáticas
II que pertenecen al componente de formación básica; abordan aprendizajes y herramientas fundamentales de las
matemáticas con relación a Aritmética y Álgebra en la primera, y de Geometría y Trigonometría en la segunda; asimismo
también incluyen elementos básicos de la Probabilidad y la Estadística.
Matemáticas III permite al alumnado la interpretación y diseño de las diversas figuras geométricas que sirven para el
análisis de diversas funciones, motivo de estudio de la asignatura de Matemáticas IV.
Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje están estructurados a partir de cuatro
secciones en cada bloque de aprendizaje:
Desarrollando competencias. En esta sección se describen las actividades de aprendizaje para desarrollar las
competencias señaladas en el programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constantes
por aprender
¿Qué he aprendido? En esta sección te presentamos actividades de consolidación o integración del bloque que te
permitirán verificar cuál es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada bloque de aprendizaje.
Quiero aprender más. En esta sección la consulta de diversas fuentes actualizadas ocupa el papel principal para
complementar y consolidar lo aprendido.
Acabamos de presentar un panorama general de la asignatura y las características de los Cuadernillos de Actividades de
Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú inicies el estudio formal de Matemáticas.
2
Introducción
Esta guía didáctica de aprendizaje es tu herramienta metodológica, estructurada para acompañarte durante el desarrollo
del curso de matemáticas iii y iv, ubicada en el área de las matemáticas. En ella tienes a tu alcance, ejercicios y
actividades didácticas para el conocimiento de las matemáticas en el aula y en tu entorno, teniendo como base las
competencias a desarrollar, los indicadores de desempeño de cada bloque y los objetos de aprendizaje establecidos en
el programa de estudio de la asignatura.
Las competencias que desarrollas a través del trabajo de la guía son las genéricas que te permiten obtener una
formación integral, pues se desarrollan de manera transversal en las asignaturas que cursaras en todo tu bachillerato y
que te permiten desarrollar aptitudes para poder armonizar con los que convives y compartes cada rasgo de tu vida. de
igual forma abordas lo necesario para el desarrollo de las competencias disciplinares básicas establecidas para el campo
de las matemáticas, y las extendidas que implica la complejidad que necesitas para poder seguir estudiando a nivel
superior, en este caso las ciencias experimentales.
Las actividades que se señalan en cada sesión tienen como finalidad que desarrolles la creatividad, emplees el
pensamiento lógico y critico mediante el razonamiento, utilizando la información que este a tu alcance y te lleven a la
construcción de conocimientos, habilidades, actitudes y valores; además te sumerge en la resolución de problemas, para
que sus aplicaciones tengan una trascendencia fuera del ámbito escolar.
Las gráficas y figuras que conforman las actividades fueron creadas y elaboradas por el equipo disciplinario, con el
propósito de tener un acercamiento más al contexto de aplicación, acorde al nivel de complejidad que pretende razonar
el objeto de aprendizaje que aborda cada bloque. el contenido de la guía está formado por ocho bloques.
3
CARTA AL DOCENTE
La guía didáctica de aprendizaje, es un material diseñado para que pueda utilizarse a manera de secuencias didácticas,
teniendo los tres momentos de aplicación: apertura, desarrollo y cierre. El desarrollo de las sesiones tiene una
metodología establecida en la relación existente entre los desempeños al concluir el bloque, los objetos de aprendizaje,
las competencias a desarrollar y el nivel taxonómico que se pretende lograr, los cuales llegan al último nivel de
concreción, que es el aula. La guía es un apoyo que permite y facilita la interacción entre los estudiantes y los contenidos
como argumentación de los conocimientos significativos; en las actividades a realizar, sin embargo, reconocemos que
sin usted no podría llevarse a cabo dicho proceso, por tanto, está en sus manos enriquecer y facilitar el aprendizaje.
Al inicio de cada bloque se le presentan los aspectos a evaluar, los porcentajes y los criterios para cada evaluación los
dejamos a su consideración.
Recuerde:
1. Expondrá temas antes, durante y después de cada sesión, con el fin de comprobar que los desempeños se han
logrado.
2. En esta Guía es importante tomar en cuenta todas y cada una de las actividades a desarrollar.
3. Esta guía no sustituye al Programa de Estudios.
4. No es un libro de texto.
5. Es una herramienta de apoyo para el aprendizaje.
6. Se sugiere una bibliografía complementaria.
7. Se sugieren los enlaces como consulta electrónica.
8. Los instrumentos de evaluación sugeridos también permiten conocer los atributos de las competencias a desarrollar.
Esperando que este material cumpla con la intención para el cual fue diseñado, le deseamos buen éxito en su aplicación.
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Características de las Asignaturas
Las matemáticas están presentes en todos los aspectos de la vida del hombre: en el arte, la ciencia y la cultura. Su
relación con otras ciencias es de carácter teórico instrumental porque genera modelos que permiten representar la
realidad.
El campo de conocimiento matemático se concibe como una ciencia formal, debido a que en su desarrollo histórico ha
construido métodos, lenguajes y procedimientos sistemáticos que posibilitan la representación simbólica de los
fenómenos del entorno.
La importancia del campo es trascendental ya que sus aplicaciones en la vida cotidiana son múltiples e inevitables ya
que la aritmética más sencilla la utilizamos al hacer nuestras compras diarias o efectuar una transacción financiera en un
cajero automático, la geometría elemental nos es útil en circunstancias comunes como en la de elegir en forma
adecuada el camino que debe llevarnos a un destino determinado, así como para el diseño de vehículos terrestres o
aéreos cada vez más cómodos, rápidos y eficientes; también la matemática nos ayuda a generar estructuras bioquímicas
para realizar investigaciones en la biología molecular, sin embargo gran parte de la población desconoce que algunos de
los problemas que se presentan en la arqueología, biología, inmunología, ingeniería genética pueden ser descritos en
forma eficiente y práctica en términos matemáticos.
El enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas resulta esencial para el aprendizaje de otras
ciencias. Su incorporación para el trabajo en el aula amplia la visión que deben desarrollar los alumnos al participar
activamente en el análisis de temas y problemas que afectan a su comunidad.
Contenido temático
DISTRIBUCIÓN DE BLOQUES
BLOQUE I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
BLOQUE II
Realizas Transformaciones algebraicas
BLOQUE III
Resuelves ecuaciones lineales y cuadráticas
BLOQUE IV
Resuelve problemas de congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras
BLOQUE V
Resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la circunferencia
BLOQUE VI
Aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la probabilidad
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Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros,
fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.
 Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
 Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
 Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
 Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.
 Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa
 Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.
 Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
Desarrollando competencias
Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos
Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Nosotros representamos los números
mediante unos símbolos o signos denominados cifras.
Inicia participando en una lluvia de ideas sobre la representación de relaciones entre magnitudes, modelos aritméticos y
algebraicos. Recuerda participar activamente.
En equipos de 3 personas elaboren ejemplos en los deben identificar y representar la relación entre diversas
magnitudes. Dichos ejemplos deben estar centrados en recursos o situaciones que forman parte de tu vida diaria.
Toma nota detallada de la forma en que las relaciones entre magnitudes pueden ser expresadas.
Al terminar cada equipo propondrá dos o tres ejemplos para que el resto del grupo encuentre la solución.
Participa activamente con el equipo ayudando a la resolución de los ejercicios (ver anexo 1) y en la propuesta de nuevos
ejemplos al grupo entero. Toma nota tanto de los aciertos como de los errores, para corregir estos últimos y consolidar
los primeros.
Propongan modelos aritméticos o algebraicos para dar solución a las situaciones propuestas por el o la asesor.
Investiguen o inventen otros ejemplos en los que puedas consolidar lo aprendido.
En esta actividad se empleara la coevaluación entre los miembros de cada equipo.
Participa activamente en equipos de máximo 4 personas en la solución de los problemas (ver anexo 1) propuestos por el
asesor sobre la representación de relaciones entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos.
Identifica aquellos aspectos que no queden suficientemente claros para solicitar el apoyo correspondiente por parte del
asesor o de tus compañeras y compañeros de equipo.
Emplea la calculadora para estimar la solución numérica o algebraica y/o verificar los resultados obtenidos.
Elaboren una lista de cotejo, que les permita evaluar la resolución de los problemas que resolvieron.
El profesor presenta al grupo (imágenes, diapositivas, volantes, trípticos entre otros), de centros comerciales o tienda
más cercana, o de algunas tiendas departamentales para investigar los precios de algunos productos y el porcentaje de
descuento que se otorga.
A partir de la información, diseña dos o tres problemas que involucren construir e interpretar modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para que comprendas y
analices situaciones reales como el caso de las hipotéticas.
6
Los problemas que propongas formarán parte de tu portafolios de evidencias. (ver anexo 1)
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Investiga sobre series o sucesiones numéricas aritméticas y geométricas y elabora un mapa conceptual sobre el tópico.
Solicite se integren en equipos y socialicen su mapa conceptual y menciona ejemplos
Aprovecha la exposición de tu asesor, relacionada con las sucesiones aritméticas y geométricas. (Ver anexo 1), los
ejercicios formarán parte de tu portafolios de evidencias.
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES.
Desarrollando competencias
En el tema anterior trabajaste con números positivos únicamente pero no son los únicos, ellos pertenecen a un conjunto
más extenso de números llamado el conjunto de los números reales.
Realiza en compañía de tres alumnos una investigación en los medios bibliográficos que tengan a su alcance, ya sea en
la biblioteca o en Internet sobre estos temas:
• Números naturales
• Números racionales
• Números irracionales
• Números reales
• Números complejo
Elabora para cada tipo de número una ficha de trabajo con información precisa, clara y con 5 ejemplos de cada tipo de
número. Anexa tus fichas de trabajo a tu portafolios de evidencias.
Diseña a partir de la información recabada, un mapa conceptual en el que organices la información, haciendo énfasis en
la relación entre los diversos tipos de números.
Resuelve, colaborando activamente en el equipo, los ejercicios propuestos por el o la asesor. (ver anexo 1. Para la
evaluación de esta actividad intercambien los resultados de los ejercicios entre los integrantes del equipo.
Los conceptos de tasas, razones y proporciones se aplican en la resolución de diversos problemas por eso aprovecha la
exposición del asesor.
Asimismo, participa de forma activa y entusiasta en equipo, resolviendo los problemas propuestos (ver anexo 1) de tasa,
razones y proporciones, colaborando en el aprendizaje de las y los integrantes del mismo.
Concluyan con una reflexión acerca de cómo estos procesos contribuyen a la comprensión de fenómenos sociales
SITIOS EN INTERNET
El huevo de chocolate
Se hace saber
Junta de Andalucía
Números reales. Tasa,
razones y proporciones
Disfruta las matemáticas
Eduteka.org
Red Escolar.ilce.edu.mx
http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm [consulta: 28/01/2014]
http://www.sehacesaber.org/profesores/galeriaimagenes?idcategoria=7080&paginaact
ual=1 [consulta: 28/01/2014]
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/4eso
soluciolibro-a.htm [consulta: 28/01/2014]
http://investigacionmatematica.wikispaces.com/ [consulta: 28/01/2014]
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
28/01/2014]
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/pattern1.html
28/01/2014]
http://redescolar.ilce.edu.mx [consulta: 28/01/2014]
[consulta:
[consulta:
7
¿Qué he aprendido?
Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos
Hasta aquí, aprendiste las características básicas de los números, resuelve los siguientes ejercicios para reafirmar este
aprendizaje.
Para los siguientes problemas, formen 5 equipos dividiendo equitativamente al grupo para resolverlos. Presenta tus
resultados en una exposición a todo el salón. Al finalizar lleven a cabo el ejercicio de retroalimentación a fin de mejorar el
desempeño académico de cada uno.
1.



Juan quiere vender un lote de 50 cajas de plumas donde cada caja tiene 12 plumas. Si tiene las siguientes
propuestas: la primera le ofrecen $2.50 por pluma más $30 y en la segunda $2.70 por pluma. Si Juan compró
el lote completo por $1600 que sucede si:
Acepta la primera propuesta ¿gana o pierde dinero? ¿Cuánto gana o pierde?
Acepta la segunda propuesta ¿gana o pierde dinero? ¿Cuánto gana o pierde?
¿A quién tendría que venderle Juan, para tener la mayor ganancia?
2.
En un depósito, el lunes había 3000 litros de agua y estaba lleno. El martes se gastos 1/6 del depósito. El
miércoles se sacaron 1250 litros. ¿Cuántos litros quedan?
3.
Un depósito de agua tiene tres tomas de agua. Si se abren las tres, el depósito se llena en 2 horas. Abriendo
las dos primeras, el depósito se llena en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría la tercera en llenar el depósito?
4.
Un taxista cambia el aceite de su vehículo cada 3500 Km y le hace una revisión general cada 8000 Km ¿Cada
cuantos kilómetros coinciden ambas operaciones de mantenimiento?
5.
Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que visita vende la mitad de las
naranjas más media. En la segunda casa vende la mitad de las que le quedaban mas media. En la tercera y en
la cuarta casa, repite la misma operación, con lo que se le agota la mercancía. ¿Cuántas naranjas llevaba?
NOTA: en ningún momento parte naranjas.
¿Qué he aprendido?
Realiza sumas y sucesiones de números
Forma parejas y resuelvan los siguientes ejercicios, al finalizar intercambien sus respuestas con otra pareja, para evaluar
resultados diferentes a los que elaboraron.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1.
Elabora una lista en donde clasifiques los siguientes números en: Naturales , Enteros , racionales e
Irracionales . Recuerda que un número puede tener varias clasificaciones.
2.
Relaciona las columnas, indicando que operación le corresponde a su propiedad.
2+(5+3)= (2+5)+ 3
2+0=2
(8) 1/8 = 1
7+(-7)= 0
9x1=9
4+6=6+4
3.
(
(
(
(
(
(
) Neutro Aditivo
) Inverso Aditivo
) Neutro Multiplicativo
) Asociativa
) Conmutativa
) Inverso Multiplicativo
Un motor gira 36 revoluciones en 3 segundos. ¿Cuántas revoluciones girara en 1 minuto?
8
4.
Un refrigerador fue vendido en $4000 luego de aplicarle un 20% de descuento. ¿Cuál es el precio original del
refrigerador?
5.
Una fábrica de televisores estima que 3 de cada 1000 resultan ser defectuosos, si se producen 2800
televisores ¿Cuántos serán defectuosos?
Después de haber terminado los ejercicios intercambia con otra pareja tus resultados y asigna un punto por
cada respuesta correcta que hayan tenido.
Si obtuviste 5 puntos ¡Excelente! Has aprendido el concepto de los números reales, propiedades, reglas, aplicaciones y
el manejo correcto de sus elementos.
Si obtuviste de 4 puntos ¡Bien! Tienes la idea principal de cómo se relacionan los elementos de los números reales,
continua estudiando el tópico para que alcances un aprendizaje mayor.
Si obtuviste 3 o menos puntos ¡A mejorar! Repasa de nueva cuenta el tópico, recuerda que de los errores se aprende.
¿Qué he aprendido?
Utiliza magnitudes y números reales.
Es importante que repases lo aprendido con respecto a series y sucesiones, aritmética y geométricas.
Te presentamos 5 problemas, para resolverlos el grupo se dividirá en 5 equipos de forma equitativa y elegirán uno de
los problemas para resolverlo y exponer su procedimiento ante todos los compañeros y compañeras. Posteriormente
realizarán el ejercicio de retroalimentación del final.
1.
El patio de una casa tiene forma de trapezoide. El patio tiene 20 hileras de ladrillo. Si en la primera hilera tiene
14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, determina el número de ladrillos que hay en el patio.
2.
Un objeto que cae libremente recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies en el siguiente, 80 pies en el
tercero y así sucesivamente. Determina la distancia que cae el objeto durante el sexto segundo y la distancia
total que cae durante los primeros 6 segundos.
3.
En una ciudad de 200,000 habitantes la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima la población dentro
de 30 años.
4.
Una empresa ofrece como salario las siguientes alternativas:
Propuesta A: sueldo mensual equivalente al 32% de 120, 000
Propuesta B: Pagarte un centavo por el primer día, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así
sucesivamente hasta 22 días. El número que resulte del término 22 de la sucesión anterior será tu salario
mensual.
¿Cuál plan te conviene más?
5.
800 gr de sustancia radiactiva esta desintegrándose de tal manera que al final de cada año quedo 4/5 de la
que había al inicio de cada año. ¿Qué cantidad quedara al final de 6 años?

Si el equipo obtuvo 5 “SÍ” merece el reconocimiento de todo el grupo por su gran aprovechamiento y
aprendizaje.
Si el equipo obtuvo 4 “SÍ” merece una felicitación por su trabajo, donde deberá esforzarse un poco más para
alcanzar su máximo aprovechamiento.
Si el equipo obtuvo 3 o menos “SÍ” merece se alentado a que estudie con más ahincó otra vez los conceptos
abordados para que logre un aprendizaje pleno.


Quiero aprender más
Relación entre magnitudes, modelos aritméticos y algebraicos
Completa el siguiente cuadro donde aparecen las principales características de las progresiones
Progresiones
Aritmética
Geometría
9
Definición:
Elementos
Expresión del termino n-enésimo
Expresión de la suma n-termino
Forma de su grafica
Definición:
Elementos
Expresión del termino n-enésimo
Expresión de la suma n-termino
Forma de su grafica
Quiero aprender más…
Realiza sumas y sucesiones de números
Al terminar elijan a uno de los equipos para que presente ante el resto del grupo sus resultados y procedimientos.
Recuerda participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando.
1. En un rancho hay 1400 vacas y hay alimento para 10 días, si se compran 600 vacas más ¿Cuánto tiempo
durara el alimento?
2.
35 de 50 estudiantes compraron chocolates en la cooperativa de la escuela ¿Qué porcentaje no compraron
chocolates?
Quiero aprender más…
Utiliza magnitudes y números reales
1.
Contestar problemas del anexo 1
2.
Forma equipos de 3 personas y resuelvan las siguientes operaciones, aplica lo que has aprendido hasta el
momento (jerarquía y propiedades de las operaciones, leyes de los signos, etc.)
a)
2+ (2-8) =
b)
3+(4+3)-2(6-3) =
c)
1-(-6+3)+2(5+5) =
d)
3 [3 2(6-5) - 4(8-6)] =
10
Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas .
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable.
 Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable.
 Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.
 Comprende las diferentes técnicas de factorización, como, de extracción de factor común y agrupación; de
trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos.
 Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.
 Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos. Reconoce
trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma a x2 bx + c o x2 + bx + c a ≠ 0, 1 como un
producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas.
Desarrollando competencias
Realiza transformaciones algebraicas I.
La diferencia fundamental del álgebra con respecto a la aritmética es que esta última utiliza números concretos para
efectuar sus operaciones, mientras que en el álgebra se utilizan además de números concretos las letras del alfabeto
para representar cantidades conocidas o desconocidas, o sea, los símbolos que utiliza el algebra para representar
cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto.
Elabora de forma individual un resumen acerca de los polinomios de una variable en el que se identifiquen los elementos
de un polinomio y cómo se llaman cada uno de ellos. Propongan una lista de cotejo para coevaluar los resúmenes que
elaboren.
Ante tu grupo se enunciarán problemas en los que se planteen situaciones hipotéticas o reales de tu entorno para hallar
perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas que puedas encontrar en:
• El salón de clases
• El plantel
• La comunidad
Utilizarás suma, resta y multiplicación, para obtener la solución de problemas de tu entorno.
Una vez resueltos los ejercicios intercámbienlos para poder llevar a cabo una coevaluación, misma que se integrará junto
con los problemas resueltos a tu portafolios de evidencias.
Al multiplicar algunos tipos de expresiones algebraicas se obtienen productos en que se distinguen algunos rasgos
notables, los cuales nos permiten efectuar dichas operaciones en forma rápida al aplicar la regla correspondiente. Dichos
productos reciben el nombre de Productos Notables.
Por otro lado, factorizar una expresión algebraica es reescribirla como el producto de sus factores. La multiplicación
algebraica consiste en encontrar el producto de dos o más factores. Ahora aprenderás el problema inverso; esto significa
que dado un producto determinaremos sus factores.
Efectúa las operaciones básicas con polinomios de una variable, productos notables y factorizaciones (VER ANEXO 1).
11
Utiliza tu creatividad, pertinencia, consistencia y formula en equipos de 3 personas problemas relacionados con
problemas ecológicos de tu entorno, interpretando soluciones y argumentando cómo estás utilizando las formas de
representación matemática.
Realiza transformaciones algebraicas II
La factorización es uno de los tópicos más utilizados a través de todo el estudio de Matemáticas, forma parte del
procedimiento de muchas aplicaciones.
Es por esto que en este apartado extenderemos más este tópico. Anteriormente aprendiste los tipos de factorización
de Factor Común, Agrupación, Diferencia de cuadrados y Trinomio Cuadrado Perfecto, estos pueden encontrarse de
forma no perfecta, asimismo su forma de factorización cambia.
Escriban en parejas trinomios de la forma y/o como un producto de binomios con:
a) factores enteros
b) factores no enteros.
Existen muchos polinomios que para poder descomponerlos en todos sus factores debes aplicar varias de las técnicas
de factorización que has aprendido.
Elige entre varias técnicas posibles, la más apropiada para factorizar varias expresiones algebraicas (ver anexo 1).
Has aprendido varias técnicas de factorización, y hay veces que necesitas combinar estas para poder factorizar
polinomios más complejos.
Plantea problemas relativos a fenómenos sociales u otros ámbitos que actualmente ocurren en tu entorno, en los que
debes de interpretar las soluciones y argumentarlas, utilizando distintas formas que implican el uso y/o de
transformaciones de expresiones algebraicas, las deberás incluir en tu portafolios de evidencias.
Intercambia los problemas de la actividad anterior a fin de contrastar los resultados
SITIOS EN INTERNET [consultadas: 28/01/2014]
Nueva Alejandría
http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-004-htm
Rubistar
http://www.rubistar.com
Sector matemática
http://www.sectormatematica.cl/ppt.htm
Factorización
www.math.com.mx/docs/sec/sec_0016_Factorizacion.pdf
http://www.slideshare.net/victordancristiancen/factorizaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
Platea.
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm
Fracciones algebraicas
http://www.vitutor.net/1/38.html
¿Qué he aprendido?
Realiza transformaciones algebraicas I.
1.
Calcula el perímetro y el área del siguiente cuadro
(5X-1)
Se desea construir una caja donde el cm3 cuesta $3, tomando en cuenta la siguiente la siguiente figura, obtén
una expresión algebraica para calcular el volumen y el costo total de la caja.
X +3
2X + 5
3X + 2
2.
12
3.



Durante una carrera tres amigos lograron las siguientes distancias en el mismo tiempo.
Carlos 5x3 + 2x metros
Jorge 6x2 + 5x
Luis 10x2 – x
Determina una expresión algebraica para la suma de las distancias.
Si x=2 metros ¿Cuántos metros recorrió cada uno? ¿Cuánto recorrieron juntos?
Realiza transformaciones algebraicas II
La Factorización de trinomios y polinomios, así como las fracciones algebraicas son un tópico importante para el
aprendizaje.
Forma 6 equipos de manera equitativa con todo el grupo y seleccionen los ejercicios, correspondientes al equipo que les
haya tocado. Resuélvanlos y presente al resto del grupo sus resultados y procedimientos.
13
Asigna un punto por cada respuesta correcta
9 Puntos
¡Muy Bien! Continúa con ese
aprovechamiento y aprendizaje
que has obtenido hasta el
momento.
7 Puntos
¡Muy Bien! Continúa con ese
aprovechamiento y aprendizaje que
has obtenido hasta el momento.
5 Puntos.
¡Bien! Has conseguido un nivel de
aprendizaje aceptable, esfuérzate
un poco más y obtendrás el
máximo de tu aprovechamiento.
¡Adelante! Necesitas dedicarle más tiempo de estudio a los tópicos
presentados en el Bloque, concéntrate en los puntos básicos para que
puedas desarrollar posteriormente los más complejos.
Quiero aprender más
Realiza transformaciones algebraicas I.
1. Calcula el área de la siguiente figura
X
2X
+6
14
2.
Calcula el volumen de las siguientes figuras en función de las longitudes a y b, que en ocasiones coinciden
con sus aristas. En este caso a es cuatro veces b. Después completa la tabla con las expresiones algebraicas
correspondientes al volumen de cada figura.
FIGURA
EXPRESION ALGEBRAICA
1
2
3
4
3. Completa los siguientes cuadros correspondientes a Factorización. Una vez finalizada la actividad anterior
elaboren sus conclusiones, mismas que van a presentar al resto del grupo, comenten sus diferencias para
enriquecer el tópico revisado.
Como lo reconozco
Cuales son pasos para factorizarlo
Ejemplo
Factor común
Factorización por agrupación
Trinomio cuadrado perfecto
Diferencia de cuadros
Realiza transformaciones algebraicas II
4. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pesos Si se hubieran comprado tres gomas más, el
comerciante habría hecho un descuento de 1 peso en cada una, y el precio total habría sido el mismo.
¿Cuántas gomas se compraron?
5. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5
horas más que el otro?
6. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calculen el área y perímetro del
cuadrado inicial.
BLOQUE :III
RESUELVE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas.
 Reconoce a Y = mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal.
 Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.
15












Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal.
Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una
variable y/o funciones lineales.
Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o
funciones lineales; tanto algebraica como gráfica.
Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.
Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal.
Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.
Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa
Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa por la fórmula general
Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con
una variable completas.
Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias.
Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas
Desarrollando competencias
Resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas
Probablemente ya has escuchado hablar sobre las ecuaciones en cursos anteriores, de hecho si nos remontamos a tu
paso por la secundaria, en algún momento las estudiaste.
Una ecuación lineal es “una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o
variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas”
De manera más sencilla una ecuación es: una expresión que indica que dos cantidades son iguales.
Existen distintos tipos de ecuaciones que dependen del número de variables o del grado de las mismas, en
este apartado estudiarás las ecuaciones de una variable de primer grado.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita puede ser planteada y utilizada para resolver múltiples
problemas de tu vida diaria, en la escuela, en la industria, etc.
Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación
de primer grado, se requiera obtener una única solución, la cual, obviamente no puede determinarse con
sólo una ecuación; es decir se requiere de dos o más ecuaciones, las cuales en su conjunto constituyen lo
que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se
puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.
Las ecuaciones cuadráticas se conocen también como “ecuaciones de segundo grado” porque el máximo
exponente de la incógnita es 2 y las soluciones que las resuelven también son dos.





Investiga las características y propiedades de un sistema de ecuaciones simultáneas de dos incógnitas y la
forma o formas para solucionar problemas algebraicos de este tipo.
Realicen una investigación sobre las ecuaciones de segundo grado y entreguen en fichas de trabajo la
información buscada.
Investiguen las características y propiedades de un sistema de ecuaciones simultáneas de dos incógnitas y
la forma o formas para solucionar problemas algebraicos de este tipo.
El profesor presenta gráficos, cuadros, para se analizados e interpretados y extraer información, en lluvia
de ideas socialización la información
Mediante una lista de cotejo evalúen las fichas de trabajo que elaboraron.
SITIOS EN INTERNET [consultadas: 28/01/2014]
Sistema de ecuaciones
http://jime-sistemasdeecuaciones.blogspot.mx/2011/05/para-agilizar-unpoco-la-mentevamos.html
Ecuaciones lineales y cuadráticas
http://www.slideshare.net/Christiam3000/ecuacion-lineal-y-cuadratica
16
Tutorial matemáticas
http://www.vitutor.net/algebra.html
¿Qué he aprendido?
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Las siguientes actividades las realizarán de manera individual:
1.
La Sra. Hernández va a una tienda departamental que está de promoción y pagó $3,400 por sombreros de $80 y
zapatos de $150.
a) Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema
b) Traza una gráfica con la expresión encontrada donde los zapatos dependan del número de sombreros.
c) ¿Cuántas y cuáles soluciones son posibles?
d) Pero la tienda tiene la restricción de vender como máximo 25 artículos de promoción. ¿Cuál sería la solución más
conveniente?
2.
Una florista usa $640 para comprar ramos de rosas a $30 cada uno y ramos de gladiolas a $50 cada uno. (Solo
compra ramos enteros).
a) Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema
b) Traza una gráfica con la expresión encontrada donde las gladiolas dependan del número de rosas.
c) ¿Cuántas y cuales soluciones son posibles?
d) Si solo puede transportar 18 ramos en total, ¿Cuál sería la respuesta adecuada?
Un ganadero compro caballos y vacas por $ 410,000. Cada caballo costo $4600 y cada vaca $4400.
Encuentra una expresión algebraica que te ayude a resolver el problema.
Traza una gráfica con la expresión encontrada donde las vacas dependan del número de caballos.
¿Cuántas y cuales soluciones son posibles?
Si sólo pueden transportarse máximo 92 animales, ¿Cuál sería la respuesta más adecuada?
3.
a)
b)
c)
d)
4.
Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre
Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no
contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió
correctamente?
5.
En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada
clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas)
6.
Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de trigo se vende por $4, el de la cebada
por $2 y el de mijo por $0.5.
a) Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta $100, ¿cuántos volúmenes de cada especie se
venden?
7. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
• El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
• El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
• El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
a)
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34
g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
8.
¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 2,200 m un automóvil si su desplazamiento está dado por la ecuación: d=50t + 3t2
donde t representa el tiempo en minutos y d la distancia en metros?
9.
Calcula la longitud de los lados de un rectángulo de área 192 cm2 inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.
17
10. Grafiquen las siguientes ecuaciones cuadráticas, y encuentren todos sus elementos soluciones, vértice, concavidad,
punto máximo o mínimo y eje de simetría.
-2x2 - 27=0
-2x2 - 28=0
X2 = 6x
25x2 = 5x
X2 - 6 = 58
3X2-35 = 73
Quiero aprender más
Ecuaciones lineales y cuadráticas
1. En la siguiente figura la balanza esta en equilibrio.
¿Qué puedes hacer para mantener el equilibrio de la
balanza? Ten en cuenta las siguientes propuestas y
determina en cada una si se mantiene la igualdad o no.
a) Pasar 4 kg del platillo.
b) Añadir 5 kg a cada platillo.
c) Quitar 6 kg de cada platillo.
d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho.
e) Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del
derecho.
f) Quitar un bote de cada platillo.
Pero y ¿Cuánto pesa cada bote? Para eso tendremos que
plantear una ecuación
2.
3.
La suma de 3 números enteros positivos es igual a 66 ¿Cuál es el número mayor?
Manuel tiene el doble de la edad de Fabián. Si dentro de 12 años Fabián tendrá 9 años menos que Manuel ¿Qué
edad tiene Manuel?
4.
Dado el sistema
al
resolverlo se obtuvo la gráfica de la izquierda
que puedes decir de su solución, es ¿Única, no
tiene solución o tiene múltiples soluciones?
¿Por
qué?___________________________________
______________________________________
_______________________________________
5.
En cartulinas, cartoncillo, papel cascaron, etc. Cualquier material que sea más rígido que el papel común y realicen
la siguiente actividad.
CASO 1.
En los rectángulos de 10x20 realiza un corte
vertical,
Corta 2 rectángulos de 10x20 cm justo a la mitad como se ve en la figura.
Corta 1 rectángulo de 15 x25
cm de diferente color.
Al rectángulo de 15x25 hazle un corte en
de cruz a la mitad de 10x20, como se
muestra. ¡Cuidado de no cortar por completo
extremos!
forma
los
18
Después únelos, por donde
hiciste los cortes.
6.
Resuelve 2x2 – 50 = 0

Ahora que ya tienes la intersección de tus
planos._____________________________________________________

¿Qué tipo de solución representa? _______________________________

¿Cómo llegaste a esa conclusión? ______________________________

¿Es una ecuación cuadrática completa o incompleta?
______________________________________________________
¿De qué tipo es? ________________________________________
¿Cuál es el valor de los coeficientes a, b, c? a: _____, b:______ , c:_______
¿Qué método o métodos podrías aplicar para resolverla?
______________________________________________________
Resuelve la ecuación cuadrática por el método que hayas elegido
____________________________________________________




7.
En forma individual, determina el valor de la discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas, la naturaleza
de sus raíces y sus respuestas si es que son reales.
19
8.
Analiza las siguientes gráficas y ecuaciones en parejas, participa de manera activa para obtener las respuestas y
enriquecer el tópico.
¿Cuál es el eje de la parábola?
¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?
¿Dónde tiene su punto mínimo?
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?
¿Cómo determinas su concavidad?
¿Cuál es la naturaleza de sus ecuaciones?
20
¿Cuál es el eje de la parábola?
¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?
¿Dónde tiene su punto mínimo?
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?
¿Cómo determinas su concavidad?
¿Cuál es la naturaleza de sus ecuaciones?
21
BLOQUE :IV
PITÁGORAS
RESUELVE PROBLEMAS DE CONGRUENCIA,SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Utilizas los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí.
 Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia.
 Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.
 Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza.
 Aplica los teoremas de Tales y de Pitágoras.
 Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando el teorema de Tales y Pitágoras.
DESARROLLANDO COMPETENCIAS
Como primera actividad, el profesor presentará al grupo la clasificación de ángulos y triángulos (o tú puedes realizar una
búsqueda en diversas fuentes) y deberás realizar una investigación sobre las características de los diferentes ángulos y
triángulos.
En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están
relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de
translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño,
aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas
o correspondientes
La/el docente realizará una breve explicación sobre los criterios de congruencia (o tú puedes realizar una búsqueda en
fuentes bibliográficas o electrónicas al respecto):
• L, L, L
• L, A, L
• A, L, A
Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la
congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo
ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer
criterio
de
congruencia: LLL
Dos triángulos son
congruentes si sus tres
lados son
respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng
A’B'C’
Segundo criterio de
congruencia: LAL
Dos triángulos son
congruentes si son
respectivamente
iguales dos de sus
lados y el ángulo
comprendido entre
ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng
A’B'C’
Tercer criterio de
congruencia: ALA
Dos triángulos son
congruentes si tienen un
lado congruente y los
ángulos con vértice en los
extremos de dicho lado
también congruentes. A
estos ángulos se los llama
adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng
A’B'C’
Cuarto criterio de
congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes
si tienen dos lados
respectivamente congruentes y
los ángulos opuestos al mayor
de los lados también son
congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
22
Comenzaremos con la siguiente actividad: El docente describirá brevemente los criterios de semejanza de triángulos (o
tú puedes realizar una búsqueda en, al menos, dos fuentes bibliográficas y en dos páginas electrónicas sobre esta
información).
El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no necesariamente de igual tamaño.
Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial).
En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.
caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de
sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base /
altura).
En el Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'.
Para denotar que dos triángulos ABC y DEF
son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la
correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto
las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos
semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes
Los ángulos están presentes en nuestra vida diaria, las manecillas de los relojes forman constantemente ángulos de
todos los tipos, las paredes y el techo de tu casa forman ángulos variados, incluso en este mismo cuadernillo se
encuentran en todas las hojas. De igual forma, los triángulos se ven cotidianamente en muchos de nuestros contextos.
Como verás, el estudio de estos tópicos debe ser tratado por las matemáticas.
Resuelven ejercicios de proporcionalidad. Por ejemplo, al comparar los lados de un triángulo con otro. Si es posible,
entre todo el grupo, medir la altura de un árbol, edificio, en la ciudad, considerando la sombra que proyecta el sol.
Asimismo, apliquen el teorema de Tales en ejercicios y/o problemas relacionados con situaciones relevantes de su
entorno. En plenaria, comenten sobre esta experiencia y retroalimenten a los otros integrantes del grupo. Recuerda que
es importante mencionar los aspectos positivos y de mejora.
Realicen una investigación documental sobre los elementos y propiedades de un polígono, asimismo, recolecten recortes
de polígonos y reconozcan los elementos y propiedades de diferentes polígonos, obteniendo el número de diagonales
desde un vértice y el número total de diagonales (desde todos los vértices). Compartan con otra pareja cómo
identificaron las propiedades y características de los diversos polígonos y evalúen con una guía de observación la
identificación de las propiedades y características de los diversos polígonos.
ELECTRÓNICA:
http://triangulossemejantesycongruentes.blogspot.mx/
http://www.vitutor.com/geo/coni/gactividades.html
http://www.geocities.com/geometriaanalitica/
http://www.geoan.com/
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html
http://geometriaparatodos.blogspot.com/2009/blog-post.html
http://www.disfrutalasmatemeticas.com/geometria/parabola.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/geometria/diferencial/curvas/enelplano/conicas/elipse.htm
¿Qué he aprendido?
Mauritis Cornelius Escher nació el 17 de junio de 1898, en Leeuwarden, Holanda. Ya desde pequeño se intuían sus
especiales dotes para el arte.
Comenzó los estudios de Arquitectura pero acabó especializándose en técnicas gráficas y trabajos sobre madera.
Escher viajó por diversos países de Europa. Precisamente en España encontró una de sus mayores fuentes de
inspiración: la Alhambra. Los preciosos e intrincados detalles ornamentales fueron la viva imagen de los esquemas
geométricos que tanto le entusiasmaron. Se puede decir que a raíz de su visita a la Alhambra y a la mezquita de
23
Córdoba la obra de Escher, que hasta entonces se había basado en la representación de paisajes, varió su rumbo hacia
los dibujos matemáticos que tan famoso le han hecho.
Tras una larga estancia en Roma (1924 - 1934) se trasladó a Suiza, luego a Bruselas y más tarde a su país natal, donde
residió hasta su muerte en 1972. Su prodigiosa visión abstracta nos legó una interesante y extensa obra en la que se
conjugan el arte y las matemáticas de forma asombrosa. Su trabajo fue logrando reconocimiento, sobre todo durante sus
últimos años de su vida.
(Tomado de http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Ana%20Labate/Teselac_Escher.htm)
Observa como Escher modificaba polígonos para hacer mosaicos complementarios. Toma esto de modelo, y diseña en
equipos nuevos mosaicos de este tipo. Presenta tus diseños ante el grupo, tus compañeros y compañeras evaluarán su
producto con una rúbrica diseñada entre todo el grupo.
En esta sección deberás hacer el dibujo de una botella del tamaño de una hoja carta. ¿Cuál es el
mínimo de triángulos que caben dentro de la botella y qué tipos de triángulos son? Muestra ante
el grupo tu dibujo y comenta tus conclusiones.
Los ángulos se emplean en ámbitos diferentes a
las matemáticas, por ejemplo se utilizan para
determinar alturas, construir casas y edificios y
hasta en pinturas artísticas. La perspectiva es la
técnica usada por los pintores, arquitectos,
ingenieros, entre otros, para simular la profundidad
(tercera dimensión) en un solo plano, partiendo del
principio de que los objetos más lejanos parecen
ser más pequeños que los cercanos. Una forma
para establecer la perspectiva en un plano es el
“punto de fuga”, que es donde confluyen todas las
líneas rectas proyectadas paralelas en una
dirección.
Esta ilusión de profundidad la puedes observar en
fotos o dibujos de un camino recto, vías del tren u
otros planos donde se muestre el horizonte.
La perspectiva es una aplicación gráfica de los
ángulos. Ahora investiga sobre el origen del uso de
la perspectiva y cómo se utilizan los ángulos en la
conformación de dicha técnica. Escribe los
resultados de tu investigación y compártelos con
tus compañeros en plenaria. Te recomendamos el
siguiente sitio:
http://www.worldofescher.com/gallery/
Los criterios para establecer si dos triángulos son congruentes, son las reglas que los matemáticos han deducido para
saber si dos triángulos son iguales tanto en el grado de sus ángulos como en la medida de sus lados.
Estos descubrimientos han pasado a nosotros a través de las generaciones, lo cual implica que los matemáticos nos han
ahorrado mucho esfuerzo. Ahora, lo que nos toca es desarrollar competencias para aplicar lo aprendido a ejercicios y
problemas relevantes para nosotros.
Aquí encontrarás las herramientas para resolver ejercicios sobre la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos
de los triángulos, y emplearlas a situaciones reales.
Tu profesor te proporcionará un plano cartesiano y solicitará que localices puntos donde se expresarán figuras
geométricas. deberás localizar los elementos de una pareja ordenada, a partir de una situación del mundo real,
expresada en una tabla, diagrama, gráfica o mapa.
En esta sección proponemos las siguientes actividades:
24
Busca 6 objetos que utilizas a diario que cumplan con las características para aplicarles el teorema de Pitágoras y otras
6 que no lo hagan. Comenten en plenaria sus hallazgos y compartan sus puntos de vista al respecto.
Si es posible, lleven a la discusión los objetos para que puedan ejemplificar el teorema.
Resuelva el siguiente problema: ¿A qué distancia deben estar dos espejos, de distinto tamaño y puestos uno frente al
otro, para que no se haga el efecto de que la imagen es infinita? Comenten en plenaria sus conclusiones.
Ahora que has revisado las características y propiedades de los ángulos y triángulos, estudiaremos figuras más
complejas.
Los polígonos son básicamente figuras geométricas que se componen por muchos
lados; incluso la palabra “polígono” se divide en dos raíces griegas que juntas
significan “muchos ángulos”. Más aún, el número de lados que posee un polígono es lo
que determina su nombre, sin importar si es regular o irregular.
Por ejemplo:
Pentágono.- Se refiere a un polígono de cinco lados.
Hexágono.- Se refiere a un polígono de seis lados.
Tetradecágono.- Se refiere a un polígono de catorce lados.
El decente solicitará al grupo que:
 Obtengan la (sumatoria) Σ de los ángulos centrales, interiores y exteriores de polígonos (deberás buscar estos
ejemplos en diversas fuentes).
 Elaboren un dibujo, mural ,retrato o pintura relacionada con un hecho historico donde se muestren diferentes
polígonos.
 Presenten al grupo sus trabajos sobre utilización de polígonos.
 Obtener el perímetro y área de diferentes polígonos regulares e irregulares, por diferentes técnicas, haciendo
énfasis en los irregulares (triangulación del polígono).
 Resolver los problemas (ver anexo 1)
Quiero aprender más
Fuentes de información
BÁSICA:
BORNELL, C., (2000). La divina proporción, las
formas geométricas. México: Alfa-Omega Grupo
Editor.
CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª
ed.). México: Pearson Prentice Hall.
CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II:
Geometría y Trigonometría (2ª ed.). México:
McGraw-Hill.
GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y
Trigonometría. (décima reimpresión). México:
Publicaciones Cultural.
JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª
Ed.). México: Pearson Educación de México.
MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y
Trigonometría (1ª ed.). México: McGraw-Hill.
MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.).
México: Santillana.
PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para
preuniversitarios. (1ª ed.). México: Esfinge.
SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ, A., A.
Y. (2006) Matemáticas 2 (2ª ed.). México: Nueva
Imagen.
VELASCO, S., G. (2010). Geometría y
Trigonometría (1ª ed.). México: Trillas.
ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y
Trigonometría (1ª ed.). México: ST Editorial.
ELECTRÓNICA: [CONSULTADAS 28-01-2014]
Te recomendamos algunos sitios electrónicos en los cuales podrás continuar con el aprendizaje
de este tópico:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=137527
http://www.matematica.laguia2000.com/general/congruencia-de-triangulos
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSe
mejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

http://www.132.248.17.238/geometria/t_2_002/t_2_002_m.html

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/3_poligonos.htm

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir
1.htm

http://www.educaplus.org/play-177-Teorema-de-Pit%C3%A1goras.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_2.html
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Geometria/semejanza-detriangulos.pdf

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mpyth.htm

http://www.disfrutalasMATEMÁTICAS.com/geometria/teorema-pitagoras.html
http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Geometria/teoremadepitagoras.pdf
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSe
mejanza/SemejanzadeTriangulos.htm

http://www.artamendi.es/GeoGebra_F/GG_Asturias/ES2/2eso11.pdf
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_semeja
nza_teorema_pitagoras/2esoquincena7.pdf

http://www.icg.edu.mx/mate_paco/mate_paco/TM20204-07.pdf
25
BLOQUE :V
RESUELVE PROBLEMAS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y DE LA
CIRCUNFERENCIA.
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma.
 Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas
 Emplea las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco,
secantes y tangentes en la resolución de problemas.
 Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia
En las unidades pasadas tuviste la oportunidad de iniciar el estudio de una relación algebraica-geométrica al identificar
segmentos y rectas como el lugar geométrico, determinado por conjuntos de puntos cuyas coordenadas en el plano
cartesiano se relacionan de manera especial. En este Bloque determinarás la ecuación ordinaria de una circunferencia a
partir de las coordenadas de su centro y la medida de su radio, las coordenadas de su centro y un punto de la misma
circunferencia o las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros.
Asimismo podrás obtener los elementos de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación;
trazarás la gráfica de una circunferencia y a partir de su ecuación explicarás la influencia de los parámetros más
importantes de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma.
Realizarás la transformación de una forma de la ecuación de la circunferencia a otra. Comprenderás las posibilidades
analíticas y geométricas de determinar una circunferencia conocidos tres de sus puntos. Aplicarás las formas de la
ecuación de la circunferencia como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas.
Y por último, ejecutarás los cortes convenientes para obtener las cónicas y resolverás problemas teóricos o prácticos
relativos a la circunferencia, a partir de su caracterización como lugar geométrico, aplicando e integrando sus
propiedades y ecuaciones ordinaria y general, recuperando conceptos, técnicas y procedimientos, geométricos y
analíticos, sobre puntos, rectas y segmentos.
Desarrollando competencias
leer el siguiente párrafo y comentar
Historia de un Círculo y un Cuadrado
(Fragmento)
En la página de un libro de geometría que había firmado Comberousse se encontraban un
cuadrado y un círculo. Como el libro era poco consultado, los dos se aburrían y
generalmente disputaban.
-Yo soy más grande –decía el primero-, pues un círculo es un cuadrado cuyos ángulos
han sido recortados.
-Es todo lo contrario justamente –replicaba el segundo-, pues un círculo es un cuadrado
en el cual se ha soplado y así se ha hinchado.
Como no podían ponerse de acuerdo sobre la superficie, pasaron a hablar de la belleza.
-Yo soy el símbolo de la solidez –decía el Cuadrado. –La igualdad de mis cuatro lados y
sobre todo mis ángulos, mis ángulos de ochenta grados (este cuadrado no era muy
sabio), confieren a mi figura una armonía vigorosa y segura.
El Círculo respondía:
-En la solidez que tanto alabas, no veo sino vulgaridad. Tu vigor primario no me seduce
nada. Te considero como una medida de superficie y nada más. En cuanto a mí, de todas
las curvas soy la que mejor está hecha. Los astros adoptaron mi contorno, los artistas
siempre recurrieron a mi curvatura y los hombres andan alrededor…http://lacasadelpoio.wordpress.com/2008/06/08/historia-de-un-circulo-y-un-cuadrado/
A través del tiempo, la figura del círculo ha representado más que un lugar geométrico; la gente le ha asignado
propiedades de perfección, ha formado parte de un sinnúmero de logotipos y hasta se han nombrado sociedades con su
nombre.
26
En esta actividad, es necesario que el asesor presente conos hechos con papel (pueden ser con material reciclado), y
realizar cortes a los diferentes conos de papel para que obtengas diversas secciones cónicas.
El asesor mostrara:
 Como determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia a partir de su
ecuación.
 Como desarrollar la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos (o tú también puedes buscar en
diversas fuentes).
El alumno debe:
 Resolver ejercicios para obtener la ecuación de una circunferencia conocidos tres de sus puntos, por distintos
métodos.
 Buscar información y ejercicios para obtener la ecuación general de una circunferencia a partir de la ecuación
ordinaria o viceversa.
 Expongan los resultados de los ejercicios ante el grupo (por ejemplo: de monumentos locales, iglesias,
puentes, casas, kioscos, entre otros).
Fuentes de información
BÁSICA:
BORNELL, C., (2000). La divina proporción, las formas geométricas.
México: Alfa-Omega Grupo Editor.
CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: Pearson
Prentice Hall.
CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (2ª
ed.). México: McGraw-Hill.
GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y Trigonometría. (décima
reimpresión). México: Publicaciones Cultural.
JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª Ed.). México:
Pearson Educación de México.
MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México:
McGraw-Hill.
MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.). México: Santillana.
PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para preuniversitarios. (1ª ed.).
México: Esfinge.
SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ, A., A. Y. (2006) Matemáticas
2 (2ª ed.). México: Nueva Imagen.
VELASCO, S., G. (2010). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México:
Trillas.
ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México: ST
Editorial.
ELECTRÓNICA: [CONSULTADAS 28-01-2014]
http://www.geolay.com/circuloycircunf.htm
http://www.ditutor.com/geometria/circunferencia.html
http://www.redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/conciencia/fisica/medicion/
meteratostenes.htm
http://www.aaamatematicas.com/geo612x4.htm
http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm
¿Qué he aprendido?
Continuamos con la siguiente actividad; investiguen en diversas fuentes de consulta.




Concepto y elementos asociados a una circunferencia.
Invento de la rueda y sus consecuencias.
Características y propiedades de los ángulos asociados a una circunferencia
Socialicen la información a través de lluvia de ideas.
27
Aplicar las propiedades de los elementos de la circunferencia en la formulación de ejercicios y/o teóricos o prácticos
relacionados con problemáticas reales que se presentan en su comunidad.
1.
Determina las coordenadas del
centro y del radio de las
circunferencias
x2 + y2 – 4x -6y – 12 = 0
x2 + y2 +3x +y +10 = 0
4x2 + 4y2 – 4x + 12 y – 6 = 0
4x2 + 4y2 – 4x - 8y – 11 = 0
Calcular la longitud de una rueda de 90
cm de diámetro.
Obtener el perímetro y área de la
circunferencia
1º A partir del diámetro
2º A partir del radio
2.
Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales, el terreno del cual dispone se presta para construir el
corral de distintas formas, él analiza las siguientes con las medidas que se adjuntan considerando que cuenta con
60 m de alambre y en cuál se cubre mayor superficie y por lo mismo cuál puede albergar a mayor cantidad de
animales, en cuál se podría aprovechar más la superficie de acuerdo a la forma.
Todas las formas tienen de perímetro 60 metros
De 20 m en cada lado


Con lados de 15 m
El lado menor de 10 m y el
mayor de 20 m
De perímetro
aproximado a 60 m
Analiza las posibilidades de cada corral de acuerdo a los criterios entregados y agregan otra posibilidad a la
forma del corral.
Propón la forma que puede tener el corral y fundamenten tu elección
28
3.
Completa la siguiente tabla:
radio
perímetro
área
1 cm
2 cm
16p
4 cm
9p
6 cm
10 cm
24p
4.
La tierra está a una distancia del sol de 155 millones de km. aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor
del Sol es casi circular.
¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año?
Para realizar los cálculos ¿Qué valor es conveniente usar para p ? ¿Por qué?
¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita?
Contrastar los resultados de los ejercicios, aplicando una lista de cotejo
Quiero aprender más
Te sugerimos los siguientes links para que continúes con los aprendizajes del presente bloque: [consultadas:
28/01/2014]
http://www.educarm.es/cnice/descartes/Esp/Geometria/rectas_angulos_circunferencia/UD1JLR.htm
http://filemon.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=%C3%81ngulos_en_las_circunferencias
29
BLOQUE :VI
APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL Y EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE
LA PROBABILIDAD
Desempeño del estudiante al concluir el bloque
 Identifica el significado de población y muestra.
 Reconoce las medidas de tendencia central y de dispersión.
 Aplica las medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y no agrupados
 Distingue entre eventos deterministas y aleatorios.
 Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades
Para describir de mejor manera las características de un conjunto de elementos y tomar decisiones sobre ellas, las
personas que estudian las matemáticas han desarrollado herramientas que nos brindan información de manera válida y
resumida.
Supongamos que queremos brindar un servicio de transporte para el alumnado, pero no sabemos cuál es el tamaño del
vehículo que tenemos que comprar, y por lo tanto, tampoco conocemos el gasto de gasolina que tendríamos que
considerar. A primera instancia es una cuestión que no genera muchas dificultades, sin embargo, debemos tomar en
cuenta varios elementos.
Una forma de llegar a la conclusión para tomar una decisión, sería saber el número y las características de los alumnos y
alumnas que estarían interesados en acceder a dicho servicio; asimismo, deberíamos conocer la distancia entre la
escuela y la vivienda, el costo que estarían dispuestos a pagar por el servicio, incluso el peso y estatura de los
interesados, entre otras cuestiones.
Finalmente, tendríamos que idear un método para recabar dicha información y sistematizar los datos.
Así, para estar un poco más seguros de que nuestras decisiones serán las correctas, debemos basarnos en
conclusiones de datos veraces y relevantes. Generalmente estos datos están representados en términos estadísticos,
las medidas de tendencia central y de dispersión son parámetros que nos ayudan a conocer mejor los fenómenos.
Al final del bloque podrás establecer dichos parámetros y aplicarlos a problemas cada vez más complejos.
Seguramente tú haces uso del concepto de probabilidad o al menos, lo has oído mencionar. Por ejemplo “¿qué
probabilidad hay de que me caiga un rayo?”, o “es probable que nos vaya mal en el partido de futbol”. Sin embargo
podemos decir que, en términos generales, es menos probable que te caiga un rayo a que te vaya mal en un partido de
futbol.
Desarrollando competencias




Como primera actividad deberás investigar :
Población
Muestra
medidas de tendencia central y de dispersión de datos agrupados y no agrupados.
También será necesario que describas 5 ejemplos de cada uno. Procuren que sean situaciones contextualizadas;
asimismo, interpreten y contrasten los datos con la realidad.
Entonces la probabilidad nos ayudaría a representar en términos numéricos la ocurrencia o no de un evento. Por
ejemplo, si en tu escuela hubiera 100 personas y a cada una le preguntaras por su preferencia entre las asignaturas de
Matemáticas II y Taller de Lectura y Redacción II, podrías obtener el siguiente resultado:
• 20 personas prefieren la asignatura de Taller de Lectura y Redacción II
• 80 personas prefieren la asignatura de Matemáticas II
Es decir, tendrías una probabilidad de 0.8 de que la primera persona que entrevistaras en tu escuela tuviera una
preferencia para Matemáticas II. Esto podría ayudarte a tomar decisiones futuras en temas escolares.
Asimismo, verás que tendrás que aplicar procedimientos distintos según la naturaleza de los eventos, por ejemplo, si hay
acontecimientos que tengan que ver unos con otros o si son independientes.
lo aprendido te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes aditiva y multiplicativa de
las probabilidades.
30
Seguramente tú haces uso del concepto de probabilidad o al menos, lo has oído mencionar. Por ejemplo “¿qué
probabilidad hay de que me caiga un rayo?”, o “es probable que nos vaya mal en el partido de futbol”. Sin embargo
podemos decir que, en términos generales, es menos probable que te caiga un rayo a que te vaya mal en un partido de
futbol.
Fuentes de información
BÁSICA:
BORNELL, C. (2000). La divina proporción, las formas geométricas.
México: Alfa-Omega Grupo Editor.
CONAMAT, (2009). Geometría y Trigonometría (1ª ed.). México:
Pearson Prentice Hall.
CUELLAR, J., A. (2010). Matemáticas II: Geometría y Trigonometría
(2ª ed.). México: McGraw-Hill.
FUENLABRADA, De la Vega., S. (2008) Probabilidad y Estadística.
(3ª ed.). México: McGraw-Hill.
GAMIZ, E., B. (2008). Probabilidad y Estadística con Prácticas con
Excel (2ª ed.). México: Just in Time Press.
GUZMAN, H., A. (1999). Geometría y Trigonometría. (décima
reimpresión). México: Publicaciones Cultural.
JIMENEZ, I. (2007). Geometría y Trigonometría, (1ª Ed.). México:
Pearson Educación de México.
MAGAÑA, C., L. (1995) Probabilidad y Estadística (2ª ed.). México:
Nueva Imagen.
MARTINEZ, A., M. (1997). Geometría y Trigonometría (1ª ed.).
México: McGraw-Hill.
MENDEZ, H., A. (2010). Matemáticas 2, (1ª ed.). México: Santillana.
PEREZ, M. J., (2010). Matemáticas 2 para preuniversitarios. (1ª
ed.). México: Esfinge.
PORTA DE BRESSAN, A., M. (2008) Probabilidad Y Estadística
Como Trabajar Con Niños Y Jóvenes (1ª ed.). México: EDC
Novedades Educativas. SALAZAR, V., P. SANCHEZ, G., JIMENEZ,
A., A. Y. (2006) Matemáticas 2 (2ª ed.). México: Nueva Imagen.
SANCHEZ, E. (2010). Probabilidad y Estadística con CD (3ª ed.).
México: McGraw-Hill Interamericana.
VELASCO, S., G. (2010). Geometría y Trigonometría (1ª ed.).
México: Trillas.
ZAMORA, M., S. (2007). Geometría y Trigonometría (1ª ed.).
México: ST Editorial.
ELECTRÓNICA: [consultadas: 28/01/2014]
http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.html
http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario/def_poblacion.html
Probabilidad
http://www2.uiah.fi/projekti/metodi/280.htm#keskil
http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_4.ht
m
http://www.eumed.net/libros/2007a/239/4a.htm
http://www.mitecnologico.com/Main/ProbabilidadYEstadistica
http://www.lc.fie.umich.mx/~camarena/ClasesProbEst.pdf
¿Qué he aprendido?
1.
Organiza grupos y elaboren una caja que contenga: 8 bolas rojas, 5 bolas amarillas y 7 verdes (recuerda que
puedes utilizar diferentes materiales reciclados para elaborar la caja y las bolas). Si se extrae una bola al azar,
calculen la probabilidad de que:
• Sea roja
• Sea verde
• Sea amarilla
• No sea roja
• No sea amarilla
• Habiendo sacado una bola roja, la siguiente sea una verde
• Habiendo sacado una bola amarilla, la siguiente sea una amarilla
• Habiendo sacado una bola roja, la siguiente sea una amarilla
Elaboren una bitácora grupal donde plasmen el desarrollo de la actividad. Al finalizar comenten en plenaria los resultados
y los ámbitos de la vida cotidiana donde tiene implicaciones la probabilidad.
31
2.
Los países que se mencionan a continuación pertenecen a las diez principales economías del Mundo:
Orden
Países
Población (millones.)
3
Alemania
82
8
Brasil
166
9
Canadá
31
7
China
960
10
España
39
1
Estados Unidos
270
4
Francia
59
6
Italia
58
2
Japón
126
5
Reino Unido
59
Fuente: Elaboración propia a partir de BANCO MUNDIAL (1999), “Informe
sobre el desarrollo mundial 1999-2000”, Washington D.C.
a)
b)
c)
d)
e)
Ordene los países de menor a mayor cantidad de población.
Calcule el porcentaje de población para cada uno de los países
Determine cuál es la población promedio para los mismos.
Determine cuál es el país hasta donde se ubica el 25 % menos de población y el país a partir del cual está el
25 % de mayor cantidad de población.
¿Cuál es el país más poblado?
3.
95 personas fueron pesadas, los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg.
6 0 ; 6 6 ; 7 7 ; 7 0 ; 6 6 ; 6 8 ; 5 7 ; 7 0 ; 6 6 ; 5 2 ; 7 5 ; 6 5 ; 69 ; 7 1 ; 5 8 ; 6 6 ; 6 7 ; 7 4 ; 6 1 ;
6 3 ; 6 9 ; 8 0 ; 5 9 ; 6 6 ; 7 0 ; 6 7 ; 7 8 ; 7 5 ; 6 4 ; 7 1 ; 8 1 ; 62 ; 6 4 ; 6 9 ; 6 8 ; 7 2 ; 8 3 ; 5 6 ;
6 5 ; 7 4 ; 6 7 ; 5 4 ; 6 5 ; 6 5 ; 6 9 ; 6 1 ; 6 7 ; 7 3 ; 5 7 ; 6 2 ; 67 ; 6 8 ; 6 3 ; 6 7 ; 7 1 ; 6 8 ; 7 6 ;
6 1 ; 6 2 ; 6 3 ; 7 6 ; 6 1 ; 6 7 ; 6 7 ; 6 4 ; 7 2 ; 6 4 ; 7 3 ; 7 9 ; 58 ; 6 7 ; 7 1 ; 6 8 ; 5 9 ; 6 9 ; 7 0 ;
6 6 ; 6 2 ; 6 3 ; 6 6; 7 5; 87: 9 0; 9 2; 9 3; 8 7; 7 4; 54; 52; 5 9; 6 0; 7 2; 6 3; 5 6; 5 2;
a)
b)
c)
Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55].
Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg.
¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?
Quiero aprender más
Te proporcionamos los siguientes sitios electrónicos para que continúes con los aprendizajes del presente bloque:
www.matematicas.reduaz.mx/home/Docentes/ltrueba/.../Probabilidad1.ppt
http://www.eumed.net/libros/2007a/239/4a.htm
http://www.ucm.es/info/socivmyt/paginas/profesorado/benitacompostela/apuntes_estadistica1/Estadistica_Tema%206_pr
obydist_08.pdf
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp
http://www.mitecnologico.com/Main/TeoriaElementalProbabilidad
32
ANEXO 1: GUIA DE EJERCICIOS
Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos.
Objetos de Aprendizaje
Descripción
Identifica formas diferentes de Ejemplo. El número decimal 0.20 equivale
representar números positivos, a una quinta parte (1/5 ) o sea el 20% es la quinta parte de un entero.
decimales
en
distintas
formas.(enteros,
fracciones, ¾ = 0.75 o al 75%
porcentajes)
Jerarquiza operaciones numéricas
Es el resultado de la siguiente operación
⟦(3 − 2) + 3 (4 − 2) − 2( 4 − 1)⟧
Se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis, se realizan las
multiplicaciones que indican los paréntesis y se suman los números.
[ 1 +3(2) -2(3)] = 1+6 -6 = 1
Calcula porcentajes descuentos e En una tienda se da el 25% de descuento en toda la ropa.
intereses
Si María compra una blusa de $350 y un pantalón de $230 pesos.
¿Cuánto le se ahorró en la compra?
Su compra fue de $350 + $230 = $580(.25) = $145 fue el descuento
Utiliza magnitudes y números reales.
Ubica en la recta numérica números Identifica el valor de los números representados con letras
reales y sus simétricos
en la recta numérica.
En una recta numérica los número a la derecha del cero son positivos y a
la izquierda son negativos.
Los simétricos serán los del mismo valor pero de signo contrario:
a. está a la izquierda del cero pero no llega al -2 por lo que puede ser
un -1.7.
b. está ligeramente a la izquierda del cero pero no llega a la mitad
de entre o y -1 por lo que puede valer aproximadamente -0.2.
c . Está a la derecha en medio del 0 y 1 por lo que puede ser ½ o 0.5.
d. está en 2 o puede ser un equivalente como 4/2 o +√4
Utiliza tasas razones, proporciones
y variaciones, modelos de variación
proporcional directa e inversa
La variación directa es cuando ambas variables suben o bajan su valor; por
ejemplo :
Un auto a la velocidad de 40 km/h en una hora avanza 40 kilómetros en 3
horas. avanza 120 kilómetros es proporción directa
X
3 horas
40 km 1 hora
40 km ( 3 Horas)
1 hora
Tres albañiles construyen una casa en doce días. 6 albañiles la construirán en
6 días porque es una variación inversa
Combina cálculos de porcentaje,
descuentos intereses, capitales,
ganancias, pérdidas, ingresos,
amortizaciones, usando distintas
X
6 albañiles
12días( 3 albañiles) = 6 días
12 días
6 albañiles
El Banco Serafín cobra un 4% anual de comisión por cada tarjeta de crédito. Si
este año tubo 230 000. ¿Cuánto dinero ganó el banco?
230 000 (0.04) = $ 920 pesos ganó por comisión de tarjetas.
33
representaciones.
Realizas sumas y sucesiones de números.
Realiza cálculos obteniendo el Encuentra los tres primeros número se la sucesión cuyo enésimo
enésimo término y el valor de número sea 2n + 3
cualquier término en una sucesión La solución es 5,7,9 porque siempre se empieza sustituyendo
aritmética y geométrica tanto el número 1 2(1) +3 = 5, 2(2)+3= 7
mediante
las
fórmulas 2(3) + 3 = 9
correspondientes.
Determina patrones de series y Son los números que faltan en la siguiente serie. 2,4 _, __ 32
sucesiones
La correcta es 8, 16
porque el factor es 2 2, 2(2), 2(2)(2) ,(2)(2)(2)2), (2)(2)(2)(2)(2)
Emplea la calculadora para
verificación de resultados en los Se debe utilizar la calculadora para verificar los valores de las series.
cálculos de obtención de términos
de las sucesiones.
Bloque II. Realiza transformaciones algebraicas .
Identifica las operaciones de suma Es el valor que satisface la siguiente ecuación
resta multiplicación de polinomios
de una variable
2x -10 = 0
El resultado es 5 porque 2(5) – 10 = 0;
10-10 = 0
La suma de 3x3 –x2 +4x – 2 con -2x2+x +8 equivale a:
Comprende las diferentes técnicas
de factorización, como factor
común, trinomio cuadrado perfecto,
diferencia de cuadrados.
3x3-3x2+5x +6 Porque los términos semejantes (misma variable y mismo
exponente) se suman algebraicamente. 3x3–x2-2x2+4x +x – 2 +8
La regla es: signos iguales se suman y queda el mismo signo
Signos diferentes se restan y queda el signo del de mayor valor.
Ejemplo.
Relaciona ambas columnas según sea la factorización del producto.
1.- y2 +5y +6
a) (x-4 ) ( x + 4)
2.- 6x3-4x2 +2x
b) (2x-3) ( 2x – 3)
3.- (x2- 16)
c) ( x +2) ( x +3)
4.- 4x2-12x +9
d) 2x (3x2-2x +1 )
Resultado 1.c ; 2d, 3a, 4 b
1 Factorización dos números que sumados den el número 5 y multiplicados el
6.
2.- Factor común 2x. Cada término se divide entre 2x y queda lo que está
dentro del paréntesis.
3.-Ambos términos tienen raíz cuadrada, por lo tanto diferencia de cuadrados.
4.-Los términos de los extremos tienen raíz cuadrada 2x y 3 y su multiplicación
6x es la mitad del término de en medio, por lo que es un trinomio cuadrado
perfecto.
Emplea productos notables para
determinar y expresar el resultado
de multiplicaciones de binomios
Soluciona problemas algebraicos y
aritméticos
Sea la base de un rectángulo su valor 3x-2 y
el valor de su altura x+1.
Determina el área de esta figura. Resultado: 3x2+x -2
Se multiplica 3x(x) = 3x2; 3x (1) = 3x;
-2(x) = -2x; -2(1)= -2 3x2+3x-2x-2 = 3x2+x-2
Un triángulo que tiene sus tres lados iguales, uno de sus lados mide x+2.
Identifica la ecuación de su perímetro. Resultado: 3x+6
porque x+2 es un lado, perímetro son tres veces lo mismo
3(x+2) = 3x + 6
34
BLOQUE III Resuelves ecuaciones lineales y cuadráticas
Resuelve ecuaciones lineales
Usa diferentes técnicas para Juana y Ana van a comprar un arreglo de flores por 480. Pero Ana tiene 24
resolver ecuación lineal en una pesos menos que Juana. ¿Qué expresión representa el dinero de cada una?
variable
Resultado: x +x-24 = 480
Identifica gráficamente si un
sistema de ecuaciones simultáneas
tiene una, ninguna o infinitas
soluciones.
Reconoce el modelo algebraico de
un sistema de ecuaciones de tres
incógnitas
Es una ecuación de primer grado de una variable porque la cantidad de dinero
de Ana se puede relacionar con la de Juana y juntas compran las flores, lo que
indica que suman su dinero.
Un sistema como y = 5x -3 y= -6x+9
Se grafican , en el punto donde se intercepten es la solución
Si son paralelas no tienen solución
Si son concurrentes tienen infinidad de soluciones.
Si se compran tres tipos de frutas.
Lo que costó la primera y la segunda excedió 18 pesos
a la tercera. La suma de la primera con la tercera exceden
50 a la segunda y la tercera con la segunda exceden
102 al primero
X Primera fruta
x+ y = z + 18
Y segunda fruta
x+ z = y + 50
Z tercera fruta
y + z = x + 102
Resuelve ecuaciones cuadráticas.
Identifica que toda función Y= x2 El término x2 cuando es positivo en una función cuadrática , grafica una
cuadrática es una parábola que parábola cóncava hacia arriba
puede ser cóncava hacia arriba o
cóncava hacia abajo
Y= - x2 El término cuadrático negativo en una función cuadrática, grafica una
curva cóncava hacia abajo.
Bloque IV. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras.
Utiliza triángulos: ángulos y relaciones métricas.
Construye e interpreta modelos Clasifica los ángulos:
geométricos
de
ángulos
y  Por la posición de sus lados
triángulos, al resolver problemas  ·Opuestos por el vértice
derivados de situaciones reales,  Adyacentes
hipotéticas o teóricas
 Formados por dos rectas secantes o paralelas y una secante
Cuantifica y representa magnitudes  Por la medida de sus ángulos: Complementarios, Suplementarios
angulares y de longitud en ángulos  Visualizar distintos tipos de ángulos y triángulos en objetos y figuras
y triángulos identificados en  Interpreta las propiedades de los ángulos de cualquier triangulo como son
situaciones reales, hipotéticas o
la suma de ángulos interiores y exteriores
teóricas
 Clasifica los triángulos por la medida de los sus ángulos y de sus lados
Ejemplo:
35
Reconoce lugares geométricos.
Reconoce las relaciones entre
variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar
geométrico
Reconoce las relaciones entre
variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar
geométrico
¿Cuál es el área del triángulo formado por los puntos de coordenadas A (-4,0),
B (0,5) Y (0,0)?
Respuesta: 10
Al ubicar los puntos en un plano cartesiano, el alumno puede distinguir un
triángulo rectángulo de base 4 y 5 de altura, con los que puede sustituir en la
fórmula de área de un triángulo A= bh 2
Indica las coordenadas de los puntos A, B, C
A) A (-4, 1), B (5, 0), C (2, -3)
El alumno sabe ubicar las coordenadas
de un punto. Abscisa (valor sobre el
eje x. Ordenada valor sobre el eje y).
A
B
C
Reconoce parejas ordenadas, la
igualdad entre ellas y su
representación gráfica.
Identifica las características de un
sistema de ejes coordenados
Reconoce las relaciones entre
variables que conforman las parejas
ordenadas para determinar un lugar
geométrico
Determina y selecciona la función algebráica que representa la siguiente
relación de pares ordenados, {(1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13) y (5, 16},
Resultado: f(x) = 3x + 1
Al sustituir el valor x se obtiene el valor y
f(x) = 3(1) + 1=4 (1,4)
f(x) = 3(2) + 1= 7 (2,7)
f(x) = 3 (3) +1= 10 (3,10)
En un plano cartesiano, la distancia entre los puntos A (1, 0) y B (-6, 0) es:
A) 7
B) 3
C) 5
D) 9
De acuerdo con la figura, relaciona la función que le corresponda y señala el
orden correcto.
a
b
c
d
(
(
(
(
)
)
)
)
f(x) = x2 – 1
f(x) = x2 + 1
f(x) = x2
f(x) = x2 – 0.5
A)
B)
C)
D)
a, b, c, d
b, a, c, d
d, c, a, b
c, b, d, a
36
Reconoce la relación entre el
ángulo de inclinación y la pendiente
de una recta.
¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) de la recta
que se muestra en la gráfica?
Resultado: m = - ½, b = 2
La pendiente = tangente del ángulo que forma la recta
2/4 negativo porque es decreciente la recta.
B es el punto que corta la recta en el eje y que es 2.
Transforma ecuaciones de una
forma a otra
Dada la ecuación general 3x +5y -15 = 0, identifica su forma simétrica
x
y
A + =1
5
3
El alumno identificará las diferentes formas de ecuación de la recta.
General : Ax + B y + C
Punto pendiente: x-x1= m( y – y1)
Simétrica: x + y = 1
a b
Aplicación de los diversos criterios
de semejanza, el teorema de Tales
o el teorema de Pitágoras, así como
la justificación de los elementos
necesarios para su utilidad en la
resolución de problemas de su
entorno.
Pendiente ordenada al origen : y = mx +b
Ecuación de recta con 2 puntos: y-y1= ( y2-y1) (x – x1)
( x2 –x1)
 Enuncia y comprende los criterios de semejanza de triángulos:
Dos ángulos iguales A = A
Tres lados proporcionales a/à = b /`b = c /`c
Dos lados proporcionales y el ángulos comprendido igual a /à = b /`b y C = `C


Enuncia y comprende el teorema de Tales
Aplica los criterios de semejanza de triángulos para la resolución de
problemas
 Aprecia la utilidad del teorema de Tales y de Pitágoras
Describe las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos.
Construye e interpreta modelos en  Obtener los valores de las funciones trigonométricas empleando tablas o
los que se identifican las relaciones
calculadora para ángulos entre 0º y 90º.
trigonométricas
en
triángulos
rectángulos en representaciones  Obtiene los valores de funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º
en dos y tres dimensiones al aplicar
y 60º y múltiplos de 15º sin ayuda de calculadora o tablas matemáticas.
las funciones trigonométricas en la
resolución de problemas que se  Aplica las funciones trigonométricas directas y reciprocas en la solución de
derivan en situaciones relacionadas
problemas
con estas funciones.
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante

Identifica las unidades de medida de ángulos y
describe las
37
diferencias conceptuales entre ellas:
Angulares
Cíclicas
Aplica las funciones trigonométricas.
Construye e interpreta modelos en
los que se identifican las relaciones
trigonométricas de ángulos de
cualquier medida en el plano
cartesiano empleando las funciones
trigonométricas para ángulos de
cualquier medida en la resolución
de problemas que derivan en
situaciones
relacionadas
con
funciones trigonométricas
Cuantifica y representa magnitudes
angulares y lineales a partir de la
aplicación
de
funciones
trigonométricas
Aplica las leyes de los senos y cosenos.
Construye e interpreta modelos en
los que se identifican las relaciones
trigonométricas
en
triángulos
oblicuángulos a partir de las
aplicaciones de las leyes de senos
y cosenos en la resolución de
problemas que se derivan en
situaciones relacionadas con la
aplicación de estas leyes
Cuantifica y representa magnitudes
angulares y lineales a partir de la
aplicación de las leyes de senos y
cosenos

Realiza conversiones de medidas de ángulos, de grados a radianes y
viceversa

Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano
cartesiano.

Ubica el ángulo de referencia para ángulos situados en los
cuadrantes II, III, IV.

Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario como
funciones en un segmento.

Establece el comportamiento de las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente en los cuatro cuadrantes.

Construye las identidades pitagóricas de las funciones en el plano
cartesiano o en el círculo trigonométrico

Identifica las leyes de senos y cosenos así como los elementos
necesarios para la aplicación de una u otra.

Distingue las situaciones en las que es posible aplicar las ley de
seno y coseno identificando los requerimientos de cada una
BLOQUE V Resuelve problemas aplicando las propiedades de los polígonos y la circunferencia
Construye e interpreta modelos en
 Clasifica los polígonos:
los que se identifican los elementos Regulares
de los polígonos, mediante la Irregulares
aplicación de sus propiedades, en Cóncavos
la resolución de problemas que se Convexos
derivan de situaciones reales,
 Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos:
hipotéticas o teóricas
Radio
Apotema
Diagonales
Numero de diagonales desde un vértice
Numero de diagonales totales
 Reconoce las relaciones y propiedades de los ángulos en los
polígonos regulares:
Central
Interior
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Exterior
Suma de ángulos centrales
Suma de ángulos interiores
Suma de ángulos exteriores
 Utiliza las propiedades y relaciones de los polígonos para calcular la
medida de ángulos o suma de ángulos así como la cantidad de segmentos
relevantes en la resolución de problemas
Emplea la circunferencia.
Construye e interpreta modelos en
los que se identifican los elementos
de la circunferencia, mediante la
aplicación de las propiedades de la
circunferencia a partir de la
resolución de problemas que se
derivan en situaciones reales,
hipotéticas o teóricas
Reconoce las curvas que se
obtienen al realizar cortes a un
cono mediante un plano
 Describe la propiedades de los elementos asociados a una circunferencia
Radio
Diámetro
Cuerda
Arco
Tangente
Secante
 Identifica las características y propiedades de los diversos tipos de
ángulos en la circunferencia:
Central
Inscrito
Semiinscrito
De acuerdo con la figura, relaciona la sección cónica que le corresponda según
el corte realizado en ella.
d
b
a
c
parábola
elipse
circunferencia
hipérbola
a
b
c
d
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola.
Reconoce la ecuación ordinaria y Son caracteristicas de la siguiente ecuación de la parábola
general de la parábola
(y -3 )2 = 12(x-2)
I
II
III
IV
V
vértice fuera del origen
El eje de la parábola es el eje Y
la parábola abre hacia arriba
El eje de la parábola es paralelo al eje X
La parábola abre hacia la derecha
A) I, IV, V
El alumno conoce los elementos que caracterizan a una parábola con vértice
fuera del origen para reconocer su ecuación.
BLOQUE VI Aplica la estadística elemental y empleas los conceptos elementales de la probabilidad
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Construye e interpreta modelos que
representan
fenómenos
o
experimentos
de
manera
estadística, aplicando las medidas
de tendencia central y de dispersión
Uso de las técnicas de conteo
Se les denomina técnicas de conteo
a:
las
combinaciones,
permutaciones y diagrama de árbol,
las que a continuación se
explicarán y hay que destacar que
éstas
nos
proporcionan
la
información de todas las maneras
posibles en que ocurre un evento
determinado.
Las bases para entender el uso de
las técnicas de conteo son el
principio multiplicativo y el aditivo,
los que a continuación se definen y
se hace uso de ellos.
Cuantifica y representa magnitudes
mediante la representación en
tablas y graficas en información
proveniente de diversas fuentes
 Conceptos básicos estadísticos:
Población
Muestra
Variable
Dato
Experimento
Parámetro
Estadístico
Distribución de frecuencia
En Un Centro Educativo Hay 150 Alumnos( 45 De Ingeniería Química, 30 De
Biología Y 75 Medicina)

¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si se
desea formar comisiones de ocho alumnos?

a)
¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas
si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería
Química?,
se desea que el presidente sea un químico?.
se desea que el presidente y tesorero sean químicos?
b)
c)
Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once
alumnos.

¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora,
una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos
diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7
modelos diferentes de licuadoras?
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
 Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono
de frecuencias.
El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente
serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1,
1, 1, 2, 2, 4, 1.
 Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama
de barras.
Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre
50, en un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26,
20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
 Construir la tabla de frecuencias.
 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias
40
Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:




La moda, la mediana y la media.
La desviación media, la varianza y la desviación típica.
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 2º y 7º.
El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de
Bachillerato es el siguiente:
a)
b)
c)
d)
e)
Formar la tabla de la distribución.
Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
Calcular la moda.
Hallar la mediana.
¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más
pesados
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