Tema 2. Cinemática

TEMA 2. CINEMÁTICA
OBJETIVOS
Definir y relacionar las variables que describen el movimiento
de una partícula (desplazamiento, velocidad y aceleración).
Justificar la necesidad del carácter vectorial de las variables
cinemáticas.
Resolver problemas de Cinemática de la partícula.
Comprender el movimiento acelerado, tanto por un cambio
en el módulo de la velocidad (aceleración tangencial) como por
una variación de su dirección (aceleración normal).
Distinguir entre sistemas inerciales y no inerciales
TEMA 2. CINEMÁTICA
ÍNDICE
2.1 El movimiento en una dimensión
2.2 El movimiento en dos y tres dimensiones
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
2.1.2 Aceleración
2.1.3. Movimiento con aceleración constante
2.1.4. Integración
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Un automovil que se mueve en línea recta. El eje OX coincide con
dicha dirección
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Gráfico de posición frente a tiempo de un automóvil que acelera (0 s<t<10 s),
luego frena (10 s<t<14,3 s) y después se detiene (t>14,3 s)
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
t1=8,0 s
t2=14,3 s
x1=130 m
x2=272 m
La velocidad promedio en el intervalo entre t1=8,0 s y t2=14,3 s es la
pendiente de la línea recta P1 y P2
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Gráfica de posición frente a tiempo para un automóvil que se mueve
a velocidad constante
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Gráfica de posición frente a tiempo para un automóvil que se mueve
con velocidad variable. En un intervalo de tiempo pequeño, la
gráfica puede aproximarse por una línea recta corta (azul)
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
La línea recta tangente a la gráfica en t=4,0 s sube 34 m en 2 s, esto
es, tiene una pendiente de 34 m/2 s = 17 m/s
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Para hallar las velocidades instantáneas a tiempos diferentes, se
trazan tangentes a la gráfica en estos tiempos y se miden sus
pendientes
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a
partir de un método gráfico
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
0 s<t<10 s
t1=3,9995 s
x1=35,3195 s
t2=4,0005 s
x2=35,3365 s
Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a partir de un método
numérico
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
0 s<t<10 s
t1=3,9998 s
x1=35,3246 s
t2=4,0002 s
x2=35,3314 s
Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a partir de un método
numérico
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.1 Desplazamiento y velocidad
Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida por derivación
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.2 Aceleración
Si vx y ax tienen el mismo signo, el módulo de la velocidad aumenta. Si
vx y ax tienen signos opuestos, el módulo de la velocidad disminuye. Si
ax es cero, vx es constante.
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.2 Aceleración
La aceleración promedio en el intervalo entre t1=0,0 s y t2=10,0 s es
la pendiente de la línea recta Q1 y Q2
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.2 Aceleración
La aceleración instantánea en t=4,0 s es la pendiente de la tangente
en ese punto
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.2 Aceleración
Aceleración instantánea en función del tiempo
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Diagrama del movimiento
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
am x = ax
Velocidad final
vx = v0x + Δv = v0x + am x Δt
vx = v0x + Δv = v0x + ax Δt
Gráfico v(t) con aceleración constante
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Cálculo del desplazamiento Δx cuando la aceleración es nula
Δx = v0x Δt
(ax = 0)
Gráficos del movimiento a velocidad constante
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Cálculo del desplazamiento Δx en un movimiento general
Δxi ≈ vi Δti
Δx ≈ Σ Δxi = Σ vi Δti
i
i
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Cálculo del desplazamiento Δx cuando la aceleración es constante
Gráficamente:
Δx = v1x Δt + (1/2) ax (Δt)2
Si t1 = 0 y t2 = t
x – x0 = v0x t + (1/2) ax t2
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Otras ecuaciones cinemáticas
Despejando:
Al sustituir:
t = (vx – v0x) / ax
Δx = v0x ((vx – v0x) / ax) + (1/2) ax ((vx – v0x) / ax)2
De donde:
v2x = v20x + 2 ax Δx
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Otras ecuaciones cinemáticas
Δx = vm x Δt
vm x = (1/2) (v1x + v2x)
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.3 Movimiento con aceleración constante
Movimiento con aceleración constante
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.4 Integración
Teorema fundamental del cálculo
t2
Si f(t) = dF(t) / dt, entonces, F(t2) – F(t1) = ∫ f(t) dt
∫tn dt = (tn+1 / (n + 1)) + C, n ≠ – 1
t1
En este caso:
t2
Δvx = vx(t2) – vx(t1) = lim (Σ aix Δti) = ∫ ax dt
Δt → 0 i
t1
t2
Δx = x(t2) – x(t1) = lim (Σ vix Δti) = ∫ vx dt
Δt → 0 i
t1
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.4 Integración
Al integrar, con t1 = 0 y t2 = t, resulta:
t2
vx(t2) – vx(0) = ax ∫ dt = ax (t2 – 0)
0
t2
x(t2) – x(0) = ∫ (v0x + ax t) dt = v0x t2 + (1/2) ax t22
0
Si se hace t2 = t, resulta:
vx = v0x + ax t
x = x0 + v0x t + (1/2) ax t2
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.4 Integración
El área bajo la curva vx – t es el desplazamiento Δx = x(t2) – x(0)
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2.1 El movimiento en una dimensión
2.1.4 Integración
Definición alternativa de velocidad media
Δx = vm x Δt
t2
Δx = ∫ vx dt
t1
t2
vm x = (1/Δt) ∫ vx dt
t1
Δt = t2 – t1
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
2.2.2 Movimiento de proyectiles
2.2.3 Movimiento circular uniforme
2.2.4 Movimiento curvilíneo
2.2.5 Movimiento relativo
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
Trayectoria de un vehículo por
las calles de una ciudad
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
En un pequeño intervalo de tiempo Δt, el desplazamiento es P1P2 y los
cambios en las coordenadas x e y son dx y dy
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
Aceleraciones promedio e instantáneas en las direcciones x e y.
Aceleración instantánea total. Existe aceleración siempre que
cambie cualquiera de las componentes de la velocidad
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
En un pequeño intervalo de tiempo, el vector desplazamiento, 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝚤𝚤⃗ + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝚥𝚥⃗ ,
es tangente a la trayectoria de la partícula, al igual que el vector velocidad 𝑣𝑣⃗
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2.2 El movimiento en tres dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
El movimiento en tres dimensiones viene caracterizado por los vectores
correspondientes
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.2 Movimiento con aceleración constante
Los movimientos en las direcciones x e y son independientes entre si
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración
Fotografía estroboscópica de dos pelotas lanzadas simultáneamente. Las
líneas horizontales rojas indican la coincidencia de la posición vertical de
ambos objetos. Las líneas azules verticales muestran que la componente
horizontal de la pelota amarilla es constante
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.2 Movimiento de proyectiles
Componentes de
v0x = v0 cos θ0
v0y = v0 sen θ0
Los movimientos en las direcciones x e y son
independientes entre si
:
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.2 Movimiento de proyectiles
Trayectoria con indicación de los vectores velocidad en diferentes
instantes del tiempo
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.2 Movimiento de proyectiles
Trayectorias con el mismo valor del vector velocidad
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.3 Movimiento circular uniforme
Vectores velocidad instantánea para una partícula en movimiento circular
uniforme
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.3 Movimiento circular uniforme
La diferencia entre los
vectores velocidad y
es
Vectores de posición y en dos momentos con un intervalo Δt.
La diferencia entre ambos es
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.3 Movimiento circular uniforme
Valor de la aceleración en un movimiento circular uniforme
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.3 Movimiento circular uniforme
Vectores aceleración instantánea para una partícula en movimiento
circular uniforme
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.4 Movimiento curvilíneo
Componentes de la aceleración en un movimiento curvilíneo
TEMA 2. CINEMÁTICA
2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.5 Movimiento relativo
El sistema de coordenadas x’-y’ (azul) del barco se mueve en relación
con el sistema de coordenadas x-y (verde) de la costa
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2.2 El movimiento en dos dimensiones
2.2.5 Movimiento relativo
Transformación galileana de velocidades en movimiento relativo. En sistemas
de referencia con movimiento uniforme relativo, la aceleración es única