Sistemas de referencia con interés en Dinámica de Fluidos

Sistemas de referencia con interés en Dinámica de
Fluidos Geofísicos. Ecuación del movimiento
Los fluidos geofísicos participan, en parte, del movimiento de la Tierra; de
ellos los que en un principio se consideran son la rotación alrededor de su eje y la
traslación relativa al Sol.
Un sistema de referencia a derechas, S, geocéntrico, con eje z en la dirección del
eje del mundo y ejes x e y en el plano del ecuador, apuntando hacia dos estrellas
lejanas fijas, se considera como una referencia inercial. Quiere esto decir que se
puede prescindir del movimiento de traslación y, consecuentemente, a partir de
ahora solo se tendrá en cuenta que el movimiento de los fluidos de la Tierra queda
afectado por la rotación.
Si una partícula fluida situada en P se mueve (figura 1), la observación desde el sistema S y desde otro cualquiera S � , por lo general serán distintas. Las
aceleraciones medidas en las dos referencias están relacionadas por
�ac
�
��
�
�a = �aO� + �a � + 2 ω
� × �u � + ω
� × (�ω × �r � ) + Dt ω
� × �r �
�
= �aa + �a + �ac
%" !
r'
!
r
!
rO'
!"
(1)
!#"
$#"
$
Figura 1: Una partícula fluida P en movimiento, observado desde un sistema de
referencia, S, geocéntrico, y desde otro, S � , en movimiento respecto a S.
con
�a = Dt (Dt�r)
�aO� = Dt (Dt�rO� )
�a � = Dt (Dt�r � )
� �� �
�
u�
1
(2)
La ecuación (1) expresa que la aceleración �a observada en el sistema de referencia S, absoluta, se expresa como la suma de tres aceleraciones: aceleración de
arrastre
�aa = �aO� + ω
� × (�ω × �r � ) + Dt ω
� × �r �
identificada en (1) por los términos que se mantienen aunque no se observe movimiento en S � , o sea �u � y �a � nulas; aceleración de Coriolis
�ac = 2 ω
� × �u �
que requiere, necesariamente, movimiento relativo (en la referencia S � ) y aceleración relativa �a � , la tercera de (2), tal como determinaría un observador en S � al
seguir el movimiento de P .
El vector ω
� que figura en (1) es la velocidad angular de rotación con respecto
a S de una referencia con origen en O y paralela en cada instante a S � .
En (2) se identifican algunas de la aceleraciones que aparecen en (1). Se ha usado la notación Dt para el operador derivada substancial, siguiendo el movimiento
de una partícula fluida. En realidad, en la segunda de las igualdades, para la aceleración de O� no se requiere que haya ninguna partícula fluida cuyo movimiento
se siga, sino que se obtendría a partir de la velocidad de dicho punto.
Es corriente trabajar con un sistema S � , denominado local, con origen en un
punto de la Tierra, O� , con los dos primeros ejes situados en el plano horizontal
y orientados, respectivamente, a lo largo del paralelo del lugar hacia el E, a lo
largo del meridiano hacia el N con el tercero vertical hacia arriba; sentidos que son
adecuados para el hemisferio norte (figura 2).
� la velocidad angular de rotación de la
En estas condiciones, designando con Ω
Tierra, considerada constante, se tiene
�
� × Ω
� × �rO�
�aO� = Ω
y como consecuencia
�
� × Ω
� × �r
�aa = Ω
�
�
que no es otra cosa que la aceleración normal, o centrípeta, del punto P .
�
En efecto, si para el vector de posición �r de dicho punto se considera �r = �h + R,
�
�
�
con h paralelo a Ω y R en el plano del paralelo de P , se tiene
�
�
� × Ω
� ×R
� = −Ω2 R
�
�aa = Ω
Despejando la aceleración relativa �a � de (1), un observador en S � debe interpretar la aceleración
� × �u � −Ω
� × (Ω
� × �r)
�a � = a� −2
Ω
(3)
�
��
�
f. Coriolis
2
�
��
f. centrífuga
�
!
!
&"#
$#
$"#
!
r'
!"#
!
rO '
!
r
!
%"#
'#
&#
%#
Figura 2: Sistemas de referencia geocéntrico y local.
como tres contribuciones: la aceleración absoluta, �a, y las dos fuerzas de inercia
(por unidad de masa), de Coriolis y centrífuga.
La aceleración absoluta se podrá expresar como la fuerza, por unidad de masa,
que actúa sobre la partícula fluida en P que, para un sistema inercial, viene dada
por la ley de Navier-Stokes, generalización de la Segunda Ley de Newton para el
movimiento de los fluidos. La ecuación (3) se puede escribir entonces
�
�
1
� × �u � + f� − Ω
� × Ω
� × �r + 1 ∇ · ⇒
�a � = − ∇p − 2 Ω
τ
(4)
ρ
ρ
1
donde los términos que no habían aparecido son: la fuerza bárica, − ∇p, la fuerza
ρ
1
⇒
externa, f�, y la fuerza debida a los esfuerzos cortantes, ∇ · τ . Para esta última
ρ
⇒
se admite que el tensor de esfuerzo τ está relacionado con la velocidad relativa de
la misma forma que lo está con la velocidad absoluta.
En relación con la fuerza externa, f�, se acostumbre a tener en cuenta únicamente la gravitación newtoniana terrestre �gT . La gravedad se define mediante
�
�
� × Ω
� × �r = �gT + Ω2 R
�
�g = �gT − Ω
(5)
Suponiendo que la Tierra fuera esférica con distribución uniforme de masa, la
gravitación newtoniana sería, para puntos exteriores al planeta
M
�gT = −G 3 �r
r
3
aunque en realidad el geoide (aP = 6357 km y aE = 6378 km) es casi un elipsoide
con superficie y volumen aproximados al de una esfera de radio a = 6371 km.
La gravitación newtoniana �gT deriva de un potencial
�
1
1
φT = GM
−
aP
r
�
cuyas superficies equipotenciales son esferas.
� el potencial es
Por su parte, para la fuerza centrífuga Ω2 R
1
φcf = − Ω2 R2
2
con cilindros como superficies equipotenciales.
La gravedad terrestre (5) deriva por tanto de un potencial
�
�
1
1
1
φ = GM
−
− Ω2 R 2
aP
r
2
(6)
denominado geopotencial, cuya expresión (6) sería válida solo para puntos exteriores al geoide. Aunque las superficies equipotenciales de φ no son esferas, es poco
importante el error que se comete al considerar la dirección radial coincidente, en
las proximidades de la superficie terrestre, con la vertical del lugar.
A partir de (5), e introducido el geopotencial (6), la aceleración relativa (4) se
puede escribir
�a �
1
� × �u � + �g + 1 ∇ · ⇒
= − ∇p − 2 Ω
τ =
ρ
ρ
1
� × �u � − ∇φ + 1 ∇ · ⇒
= − ∇p − 2 Ω
τ
ρ
ρ
(7)
La fuerza de Coriolis, fuerza de inercia debida el movimiento relativo en una
referencia en rotación, admite varias interpretaciones en los sistemas de referencia
ligados a la Tierra. De su expresión
� × �u � = 2 �u � × Ω
�
� = −2 Ω
C
(8)
se deduce directamente
� yace en el plano del paralelo de la partícula
Por ser perpendicular a Ω
Por ser perpendicular a �u � solo modifica su dirección, pero no su módulo, al
ser nula la potencia desarrollada sobre la partícula
4
Si se hace la descomposición
�u � = �u �Ω + �u �E
� (8) queda
con el primer vector paralelo y el segundo perpendicular a Ω,
�
� = 2 �u � × Ω
C
E
(9)
cuyo módulo es C = 2u�E Ω.
La expresión (9) indica que, para un observador en el hemisferio norte, la fuerza
�
C desvía la partícula hacia la derecha del vector �u �E , proyección de �u � sobre el plano
ecuatorial.
En la referencia local (figura 2), que se
modifica ahora (figura 3) para que quede
!"
claro cómo se puede obtener el valor de la
#" !
fuerza de Coriolis (8), se considerarán para
!
!"
la velocidad relativa �u � las componentes
(u, v, w) en los tres ejes de coordenadas y,
$"
para la velocidad angular



Ωx
!"
Ωy



Ωz
=0
= Ω cos ϕ
= Ω sin ϕ
Las componentes según cada eje están
Figura 3: Descomposición de la velocidad
� en un sistema local de coorde- expresadas en función de la latitud, ϕ, del
angular Ω
lugar donde se sitúe el origen del sistema
nadas.
local de coordenadas.
Se debe hacer notar que se ha modificado la notación referida al sistema referencia no inercial S � . Como se considera
que siempre se observará el movimiento del fluido desde un sistema no inercial
se han suprimidos las primas, tanto en los ejes coordenados, como en las componentes de la velocidad relativa y de la velocidad angular de rotación de la Tierra;
estos cambios se aplicarán también a partir de ahora, a todas las variables que
aparezcan, a fin de simplificar la notación.
El resultado que se obtiene para la fuerza de Coriolis en estos ejes es


2 Ω (v sin ϕ − w cos ϕ)

� = −2 Ωu sin ϕ
� = 2 �u × Ω
C



2 Ωu cos ϕ
lo que lleva a las siguientes conclusiones:
5
�i
�j
�k
(10)
1. Cuando se tiene flujo hacia el E, v = w = 0 ; u > 0, se produce una desviación
de la corriente hacia el S y hacia arriba. Para flujo hacia el W se invierten
los sentidos
2. Cuando se tiene flujo hacia el N, u = w = 0 ; v > 0, se produce una desviación
de la corriente hacia el E. Para flujo hacia el S la desviación es hacia el W
3. Cuando se tiene flujo hacia arriba, u = v = 0 ; w > 0, se produce una
desviación de la corriente hacia el W. Para flujo hacia abajo la desviación es
hacia el E
4. Cuando se tiene flujo horizontal, experimenta los efectos superpuestos indicados en 1 y 2.
En el caso de considerar el movimiento relativo de la atmósfera se acostumbra
a indicar la dirección de donde viene el viento. Así, por ejemplo, viento del W
significa que sopla hacia el E.
Para el sistema local de coordenadas, las ecuaciones del movimiento (7) prescindiendo de los esfuerzos cortantes quedan, en componentes,
















∂t u + u∂x u + v∂y u + w∂z u =
1
= − ∂x p + 2Ω (v sin ϕ − w cos ϕ)
ρ
v̇ ≡
∂t v + u∂x v + v∂y v + w∂z v =
1

= − ∂y p − 2Ωu sin ϕ



ρ




ẇ
≡
∂
w
+
u∂
w + v∂y w + w∂z w =
t
x




1


= − ∂z p + 2Ωu cos ϕ − g

ρ
u̇ ≡
(11)
A modo de resumen, y de forma vectorial, la ecuación de Navier-Stokes que incluye las diferentes posibilidades para un sistema no inercial, conduce a la ecuación
del movimiento









1
⇒


∇· τ



�
�
�
�
ρ


˙�u ≡ Dt�u
1
�
g
1
�
2
= − ∇p−2 Ω×�u +
+
ν∇ �u + ν∇ (∇ · �u)


−∇φ
∂t�u + �u · ∇�u
ρ


3




4 2
1



 ν∇ �

u + ν∇ × (∇ × �u) 
3
3
(12)
donde ν es la viscosidad cinemática, definida a partir del coeficiente de viscosidad
µ como ν = µ/ρ. En el desarrollo del último término se ha considerado que los
fluidos geofísicos se pueden considerar fluidos de Stokes.
6
Los diferentes términos de (12), o incluso de (11), son de muy diversos órdenes
de magnitud y es lícito prescindir de algunos de ellos según el tipo de movimiento
que se estudia.
En los movimientos de las fluidos geofísicos a escala planetaria no es correcto
utilizar un sistema local de coordenadas. Basta fijarse en que un movimiento horizontal, siguiendo la figura de la Tierra, a medida que se aleja una partícula fluida
del origen del sistema de referencia, y debido a la geometría del problema, adquiere
componente vertical, w < 0, de la velocidad. A nivel intuitivo es posible pensar en
un “sistema local en cada punto” que la partícula fluida en movimiento ocupe. De
esta forma se tendría en cuenta la figura de la Tierra. Como es aproximadamente
esférica, lo lógico es usar coordenadas esféricas en versión geográfica, o sea (λ, ϕ, r)
con: λ, longitud geográfica; ϕ, latitud y r, distancia al centro de la Tierra.
Si se efectúa un cambio de coordenadas a un sistema curvilíneo, las componentes de la aceleración relativa de la partícula fluida, referidas finalmente al sistema
local en cada punto son

 u̇ + uw − uv tan ϕ




r
r


�a :

















v̇ +
vw u2
+
tan ϕ
r
r
(13)
u2 + v 2
r
lo que pone de manifiesto el papel de la curvatura y permite llegar a un sistema equivalente al (11), no considerando tampoco la contribución de los esfuerzos
cortantes, que resulta

 u̇ + uw − uv tan ϕ = − 1 ∂ p + 2Ω (v sin ϕ − w cos ϕ)


x


r
r
ρ





















v̇ +
ẇ −
1
− ∂y p − 2Ωu sin ϕ
ρ
vw u2
+
tan ϕ =
r
r
(14)
u2 + v 2
1
=
− ∂z p + 2Ωu cos ϕ − g
r
ρ
Los sistemas (11) y (14), pese a ser semejantes, son conceptualmente muy
diferentes. En el primero de los sistemas, las coordenadas (x, y, z) que se usan son
rectilíneas y las coordenadas geográficas que pudieran emplearse estarían referidas
al origen del sistema local de referencia utilizado como, en concreto, la latitud
ϕ que explícitamente aparece. Por el contrario, en (14), las coordenadas (x, y, z)
son curvilíneas y las coordenadas geográficas (λ, ϕ, r) están referidas a la partícula
fluida en movimiento.
ẇ −
7
Ecuaciones de gobierno
Reciben este nombre las ecuaciones básicas que rigen la evolución de un fluido.
En el caso de los fluidos de la Tierra, reciben radiación procedente del Sol, lo que
constituye, casi en su totalidad, la fuente de energía que cambia sus propiedades termodinámicas y los pone en movimiento. Como se verá, las ecuaciones de
gobierno constituyen un sistema de ecuaciones termohidrodinámicas, con lo que
se quiere indicar que combinan la termodinámica con la dinámica de fluidos. Las
ecuaciones deben ser aplicables al movimiento en un sistema de referencia no inercial, dependiente de la rotación de la Tierra. Hay que tener en cuenta, además,
que los Fluidos Geofísicos están estratificados como consecuencia de la influencia
de la gravedad. Aunque la atmósfera y el océano tienen propiedades físicas muy
diferentes, lo anterior es válido para ambos, lo que da pié al tratamiento termohidrodinámico común.
La primera ecuación que se debe considerar es la del movimiento. Es decir, la
ecuación de Navier-Stokes expresada en un referencia ligada a la Tierra. La forma
más general, que ya hemos tratado, viene dada por la ecuación (12), independiente
del sistema concreto de coordenadas. La forma que adopta, con la restricción de
no considerar la actuación de esfuerzos cortantes, es decir, de tratar los fluidos
como ideales, sin viscosidad, se expresa en un sistema local por medio de (11)
o, empleando coordenadas esféricas, geográficas, mediante (14). Estas ecuaciones,
son en realidad tres ecuaciones independientes. Como entre sus términos aparecen
derivadas respecto del tiempo, tienen capacidad predictiva para tres variables,
supuesto que son conocidas todas las demás junto con condiciones iniciales y de
contorno. Sin embargo, hay que indicar que las ecuaciones diferenciales implicadas
contienen todos los ingredientes para que únicamente se puedan integrar de forma
numérica. Muchas veces se dice que estas ecuaciones expresan la conservación del
“momentum” ya que son realmente una generalización de la 2ª Ley de Newton.
La siguiente ecuación expresa la conservación de la masa siguiendo el movimiento de una partícula fluida. Es decir, en representación lagrangiana. También
la ecuación del movimiento está expresada lagrangianamente pero, si se desarrolla
el operador derivada substancial, se pasa fácilmente a la representación euleriana,
que resulta más práctica. La forma lagrangiana de la ecuación de continuidad, que
es el nombre que recibe, es
Dt ρ + ρ∇ · �u = 0
(15)
Esta forma de la ecuación de continuidad pone de manifiesto que flujo incompresible y movimiento solenoidal (no divergente) son físicamente equivalentes. La
forma euleriana de (15) es
∂t ρ + ∇ · (ρ�u) = 0
(16)
Las dos formas (15) y (16) de la ecuación de continuidad incluyen variables que
8
ya aparecían en las ecuaciones del movimiento. En consecuencia, se tienen ahora
cuatro ecuaciones independientes con capacidad predictiva.
Si se consideran como variables del problema u, v, w, p, ρ faltaría una quinta
ecuación independiente.
Conviene indicar aquí que, en realidad, estamos simplificando de forma muy
importante el problema. Si se piensa, por ejemplo, en el océano, el fluido implicado
es agua salada. En consecuencia, en el mejor de los casos, habría que considerar
un sistema binario de agua y sal, lo que implica que, al menos, se necesita otra
variable para expresar la concentración de sal, o salinidad. Por su parte la atmósfera complica más el problema. En principio diríamos que se trata de un sistema
constituido por “aire seco” (a su vez una mezcla de gases) y agua. Pero el agua, en
condiciones naturales en la atmósfera, se puede encontrar en fase gaseosa, líquida
y sólida, con la particularidad de que se pueden producir de forma espontánea todos los cambios de fase. Es evidente que, entonces, no bastan cinco variables como
se ha dicho. Son necesarias muchas más, incluyendo concentraciones del agua, o
índices de humedad en el caso del vapor de agua. No obstante esto, consideraremos
que solo es necesaria una ecuación más, independiente de las cuatro mencionadas
con anterioridad.
La ecuación que buscamos expresa la conservación de la energía. El punto de
partida para llegar a ella es una de las formas incluidas en (12) y la ecuación de
continuidad, (15). Multiplicando escalarmente la ecuación del movimiento por �u,
se puede obtener
Dt
�
�
�
1 2
1
1�
⇒
|�u| = �u · �u˙ = − �u · ∇p −�u · ∇φ +
∇ · τ · �u
� �� �
2
ρ
ρ
(17)
�
u·�g
que expresa el cambio substancial de la energía cinética por unidad de masa. Se
hace notar que no hay en esta ecuación un término para la fuerza de Coriolis.
Los distintos términos de (17) se pueden desarrollar en la forma:
�
�u · ∇p = ∇ · (p�u) − p∇ · �u
�
∇ · τ · �u =
⇒
(∂i τij ) uj =
= ∂i (τ
ij uj )� −τij ∂i uj =
�⇒
⇒
= ∇ · τ · �u
− τ : ∇�u
(18)
(19)
A (18) se llega de forma directa. No así a (19).La expresión de partida debe
dar un resultado independiente del sistema de coordenadas. Para la deducción más
sencilla se ha usado un sistema cartesiano y se ha hecho uso del criterio de sumación
de Einstein. Si el sistema fuera curvilíneo no ortogonal se debería usar derivadas
covariantes y, según el caso, las componentes covariantes o contravariantes. El
resultado final sería el mismo que en (19).
9
En el último término de (19) se ha introducido el doble producto escalar de
tensores, en este caso del tensor de esfuerzos por el gradiente de velocidad, cuya
⇒ ⇒
expresión general es A : B = Aij Bij , escalar con interpretación inmediata a partir
de la representación matricial.
La expresión (17) se puede transformar en una ecuación que explique el cambio
local de energía cinética por unidad de volumen. Para ello se multiplica (17) por ρ
y se emplea la ecuación de continuidad. Si se tiene en cuenta lo deducido en (18)
y (19), se llega a
∂t
�
�
�
�
�
1
1
ρ |�u|2 = −∇ ·
ρ |�u|2 �u −∇ · (p�u) −p (−∇ · �u)
�
��
� �
��
�
2��
2
�
�
��
�
A
�
B�
⇒
− −∇ · τ · �u
�
��
E
��
�
C
D
−
τ : ∇�u
� �� �
+ρ�u · �g
⇒
F
(20)
� �� �
G
donde los diferentes términos representan
A. El ritmo de aumento local de energía cinética por unidad de volumen
B. Potencia incorporada por convergencia del flujo advectivo de energía cinética
C. Potencia desarrollada debido a la presión en los alrededores
D. Ritmo reversible de conversión de energía mecánica en energía interna por
unidad de volumen
E. Potencia aportada por la fuerzas viscosas
F. Ritmo irreversible de conversión de energía mecánica a energía interna por
unidad de volumen
G. Potencia debida a la aceleración de la gravedad
En el término F, τ : ∇�u siempre es positivo. Para verlo hay que tener en cuenta
que el gradiente de velocidad, como todo tensor, se puede escribir como suma
⇒
de un tensor simétrico, tensor de deformación D, y otro antisimétrico, tensor de
⇒
vorticidad Ω, como se denominan en este caso. O sea
⇒
⇒
⇒
∇�u = D + Ω
Además, para un fluido de Stokes
⇒
⇒
2
τ = 2 µD − µ∇ · �u U
3
⇒
10
⇒
con U tensor unidad. Es fácil ver entonces que
�
�⇒
⇒
�
τ : ∇�u = 2 µ tra D · D −
⇒
⇒
�
⇒
1
tra2 D
3
��
Si los valores propios de D son λ1 > λ2 > λ3 , resulta
�
4 �
⇒
τ : ∇�u = µ (λ1 − λ2 ) (λ1 − λ3 ) + (λ2 − λ3 )2 ≥ 0
3
Como consecuencia, el término F siempre produce una disipación de energía,
debida al rozamiento viscoso.
La ecuación (20) se puede transformar en una expresión integral para un volumen substancial, V, resultando
D
Dt
˚ �
V
�
1 2
ρV + ρφ dV =
2
˚
Dυ
+
ρp
dV
Dt
˚
−
∇ · p�
u dV
V
V
˚
˚
�⇒
�
⇒
+
∇ · τ · �u dV −
τ : ∇�u dV
V
(21)
V
donde V = |�u| es el módulo del vector velocidad, φ el geopotencial y υ = 1/ρ el
volumen específico. La ecuación (21) se puede simplificar aplicando el teorema de
la divergencia e introduciendo las energías cinética, Ek , y potencial, Ep . Queda
entonces para su suma, energía mecánica,
D
(Ek + Ep) =
Dt
˚
�
V
�
S
Dυ
ρp
dV
Dt
��
Gp
˚
⇒
−
τ : ∇�u dV
�
�
V
�
S
��
�
��
�
Dτ
(22)
¨
¨
⇒
+
− �n · p�u dS + �n · τ · �u dS
��
Sp
�
Sτ
con S, superficie cerrada que limita a V, �n vector unitario normal a la superficie,
apuntando hacia fuera, y
Ek =
˚
V
1 2
ρV dV
2
11
Ep =
˚
V
ρφ dV
En (22) los diferentes términos se interpretan de la siguiente forma:
Gp : Generación de energía mecánica dentro del volumen V, asociada a la
presión, como consecuencia de la compresibilidad
Dτ : Disipación de energía mecánica dentro de V como consecuencia del rozamiento viscoso
Sp : Generación de energía mecánica, por trabajo debido a la presión en los
límites S del volumen de integración, asociada al movimiento
Sτ : Generación de energía mecánica, por trabajo de las fuerzas viscosas en
la superficie S
Excepto Dτ , los demás términos pueden ser positivos o negativos. En un caso
sencillo, con una distribución uniforme de presión, se puede demostrar que es
Gp + Sp = 0. En ese caso la energía mecánica solo sufre cambio por la acción de las
fuerzas de rozamiento. En caso contrario, distribuciones no uniformes de presión
pueden hacer cambiar la energía mecánica.
No hay que perder de vista que el objetivo era encontrar una ecuación para
la energía que fuera independiente de las anteriores ecuaciones de gobierno. Hasta
aquí no ha sido así, pues (22) se ha obtenido a partir de las ecuaciones del movimiento y continuidad. Se puede escribir una ecuación más general, para la energía
total, que incluya la energía interna. Por unidad de masa la designaremos por �.
Siguiendo el movimiento substancial de una porción de fluido, se puede escribir
˚ �
�
D
1 2
ρ V + φ + � dV
=
Dt
2
V
¨
¨
¨
n
�
�
=
− �n · �q dS + T · �u dS
− �n ·
µ̃i ϕ
� i dS
�
S
��
�
A
�
S
��
B
�
�
S
i=1
��
C
�
(23)
En el primer miembro de (23) aparecen tres formas de energía. Las dos primeras, ya comentadas con anterioridad, se deben interpretar macroscópicamente;
esto es, referidas al centro de masa del elemento fluido considerado, o sea, haciendo
abstracción de aspectos microscópicos. Por el contrario, el término de la energía
interna se refiere a la estructura microscópica, molecular, del fluido. Además, en
(23), los términos del segundo miembro representan:
A. Flujo no advectivo de energía (por conducción y radiación) a través de S
12
B. Potencia debida al esfuerzo, T� , actuando en cada punto de la superficie S.
Recordando su relación con el tensor de esfuerzos y la consideración de esfuerzos normales y tangentes, se tiene
⇒
⇒
T� = �n · σ = −p�n + �n · τ
C. Flujo no advectivo de energía debido a la difusión de masa. En este término
µ̃i es el potencial químico de la substancia i del sistema y ϕ
� i el flujo de
materia por difusión de esa substancia
Si a continuación se realiza el proceso inverso al seguido con la energía mecánica,
es posible llegar a una ecuación local, equivalente a (20), resultando
∂t ρ
�
1 2
V
2
+�
�
� �
= −∇ · ρ
1 2
V
2
� �
+ � �u
+ρ�g · �u
−∇ · �q
�⇒
+∇ · τ · �u
�
�
−∇ · Q
−∇ · p�u
(24)
� expresa la contribución de los flujos difusivos correspondientes
donde el vector Q
al término C de (23).
A partir de (24) y (20) se puede obtener la ecuación, independiente, de la
energía que se buscaba. La forma lagrangiana de la ecuación termodinámica de la
energía es
D�
� − p∇ · �u + ⇒
ρ
= −∇ · �q − ∇ · Q
τ : ∇�u
(25)
Dt
La ecuación (25) es una versión generalizada del Primer Principio de la Termodinámica que incluye el flujo de calor por conducción y radiación, por difusión
de masa, el trabajo debido a las fuerzas de presión por expansión reversible y el
aumento irreversible de energía interna debido al rozamiento.
Si ahora se introdujera la entropía y se interpretaran los potenciales químicos,
el último término, siempre positivo, de (25) conduciría al Segundo Principio de la
Termodinámica.
La ecuación (25) se puede escribir de una forma más útil para los fluidos geofísicos. Es fácil llegar a
ρ
D�
Dυ
= −pρ
+ k∇2 T + ρQ + χ
Dt
Dt
(26)
donde
υ es el volumen específico
k∇2 T es el flujo de calor por conducción con k la conductividad térmica
χ es la potencia calorífica suministrada por disipación irreversible debida a
la viscosidad
13
Q es la potencia suministrada por unidad de masa por todos los demás
procesos (fuentes internas, calor latente, radiación, etc.)
En el caso del aire, su comportamiento como gas ideal permite escribir la ecuación
de estado p = ρRT donde R = 287.05 J kg −1 K −1 es la constante específica del
aire, considerado seco, como gas ideal. En función de los cambios de temperatura
y presión, (26) se puede escribir
cp
DT
Dp
k
1
−υ
= ∇2 T + Q + χ
Dt
Dt
ρ
ρ
(27)
o, si se introduce la temperatura potencial
θ=T
�
p00
p
�R/cp
con p00 = 1000 hP a y cp = 1005 J kg −1 K −1 , también resulta
Dθ
θ
=
Dt
cp T
�
k 2
1
∇ T +Q+ χ
ρ
ρ
�
(28)
De (28) se deduce que, si se prescinde de los intercambios (reversibles e irreversibles) de calor, la temperatura potencial θ es una magnitud conservativa pues
su derivada siguiendo el movimiento es nula.
En el caso de un líquido puro, la ecuación de estado se puede escribir
ρ = ρ0 [1 − α (T − T0 )]
y el Primer Principio se puede escribir, prescindiendo del efecto viscoso
Dρ
αρ0
= κ∇2 ρ −
Q
Dt
cp
(29)
k
la difusividad térmica.
ρcp
En el caso del mar, la ecuación de estado se complica por la presencia de sal
en disolución. Como ecuación de estado se acostumbra a utilizar
siendo κ =
ρ = ρ0 [1 − αT (T − T0 ) + αS (S − S0 )]
y se necesita adicionalmente una ecuación que exprese el balance de sal, de la
forma
DS
= F (S)
Dt
donde con F (S) se representan todas las fuentes y sumideros de sal.
14
Vorticidad y circulación
Como se sabe, la vorticidad es el rotacional del vector velocidad o mejor, del
campo de velocidad. En consecuencia es, a su vez, un campo vectorial que se
obtiene a partir de la descripción euleriana del movimiento del fluido. Si se usa
un sistema de referencia no inercial, como en Dinámica de Fluidos Geofísicos, se
tendría para la velocidad relativa
ζ� = ∇ × �u
(30)
cuya interpretación en el caso de una rotación como sólido rígido es, como se sabe,
el doble de la velocidad angular de rotación. Por medio del teorema de Stokes se
puede generalizar esta interpretación ya que, para cualquier superficie S de área
A cuyo contorno C tenga de longitud L, se cumple
¨
˛
�
�
ζ · �n dS =
�u · d�
S
C
�
��
�
circulación, Γ
de donde, aplicando el teorema del valor medio, se llega a
L
ζ˜n = ūt
A
Si se considera para C una circunferencia de radio a, el valor medio de la
componente normal a S cumple
ūt
ζ˜n = 2
a
donde ūt es el valor medio de la componente tangente a C y entonces, evidentemente, ūt /a representaría la velocidad angular media vista desde el centro de C. Se
debe poner de manifiesto que en realidad no se requiere rotación para que exista
vorticidad.
Considerando los sistema de referencia geocéntrico (inercial) y local, la velocidad absoluta �uabs conduce a una vorticidad absoluta
ζ�abs = ξ� = ∇ × �uabs
cuyo valor es
ξ�
vorticidad absoluta
= ∇ × (�u + Ω × �r) =
ζ�
vorticidad relativa
15
+
2Ω
����
�
vorticidad planetaria
(31)
La componente vertical de la vorticidad planetaria, que se denomina parámetro
de Coriolis, es
f = 2 �Ω · �k = 2Ω sin ϕ
(32)
Las dos vorticidades (30) y (31) son vectores solenoidales, lo cual, como se verá,
tiene gran importancia.
Una línea de torbellino (vortex line o vortex filament) cumple la condición de
ser en cada punto tangente al vector vorticidad en ese punto. Las asociadas a
la vorticidad planetaria son rectas paralelas al eje del mundo. Las asociadas al
movimiento absoluto son una distorsión de estas debida al movimiento relativo.
Un tubo de torbellino (vortex tube) está formado por la superficie obtenida a
partir de todas las líneas de torbellino que pasan por una curva cerrada C.
Como para cualquier volumen se cum!
ple
˚
#"
!
∇ · ξ� dV = 0
n
!
V
tomando para V el volumen encerrado por
el tubo de torbellino entre A y A� (figura
4) se debe cumplir
˚
¨
�
0=
∇ · ξ dV =
�nS · ξ� dS
=
=
V
¨
Slat
�
�nSlat
¨ NULO
+ �nA� · ξ� dA�
o sea
!
n'
!"
#$"
Figura 4: Tubo de torbellino.
S
¨
�
· ξ dSlat + �nA · ξ� dA +
��
����
!$"
�
A
����
�
n
n�
A� −�
¨
A
�n · ξ� dA =
¨
A�
�n� · ξ� dA�
(33)
La expresión (33) se usa para definir la intensidad o flujo en un tubo de torbellino como
¨
Γabs =
�n · ξ� dA
(34)
A
que es constante a lo largo del tubo y coincidente con la circulación a lo largo
cualquier curva cerrada que abrace el tubo. Una consecuencia de la constancia de
la intensidad a lo largo del tubo es que ni los tubos ni las líneas de torbellino
pueden “nacer” o “morir” en puntos del fluido; deben cerrarse sobre sí mismos,
16
o nacer o morir en los límites del fluido. Lo mismo se aplica para el campo de
vorticidad relativa con
¨
Γ=
�n · ζ� dA
(35)
A
Los flujos (34) y (35) están relacionados por (31), resultando
¨
�
�
� dA =
Γabs =
�n · ζ� + 2Ω
A
=Γ+
¨
A
� dA
2 �n · Ω
=
(36)
= Γ + 2ΩAn
donde An es la proyección del área A sobre sobre una superficie perpendicular
� por ejemplo, sobre el ecuador
a la velocidad angular de rotación de la Tierra, Ω;
(figura 5).
Si se adopta el criterio, muy utilizado en campos vecto!
riales, de representar las líneas de torbellino con una densi!
!
dad tal que una unidad de área, perpendicular a las líneas,
n
sea atravesada por un número de líneas proporcional al
valor del campo, la interpretación de (36) es muy intuitiva. Admitiendo que el campo de vorticidad planetaria es
!" $"
un campo uniforme, de (36) se deduce que la diferencia
Γabs − Γ es proporcional al número de líneas de torbellino
abrazadas por las curva C, contorno de A, o Cn , contorno
$#"
de An .
!#"
Supongamos ahora que C es una curva substancial, esto
es, formada siempre por las mismas partículas fluidas. En
Figura 5: Proyección, este caso se puede calcular la derivada de la circulación, Γ,
An , sobre el plano ecua- siguiendo el movimiento, o sea, la derivada substancial
˛
˛
˛
torial de un área A.
˙
�
�
�
Dt Γ = Dt �u · d� = �u · d� + �u · Dt d�
(37)
C
C
C
Para obtener el valor del último sumando de (37) se considera un elemento de
la curva substancial C (figura 6). El resultado es
� = Dt [�r(s + ds) − �r(s)] = �u(s + ds) − �u(s) = d�u
Dt d�
(38)
� coincide con el
El resultado (38) expresa que el ritmo al que se deforma d�
� Llevando ahora (38) a (37)
cambio de la velocidad �u de origen a extremo de d�.
17
!
u (s + ds )
!
u (s )
$#"
!
d"
% #
!
r (s )
!"
!
r (s + ds )
Figura 6: Deformación de un elemento de curva substancial.
resulta
Dt Γ =
˛
C
� +
�u˙ · d�
˛
C
�u · d�u =
˛
C
� +
�u˙ · d�
1
dV 2 =
2
˛
C
�
��
NULO
˛
�
C
�
�u˙ · d�
(39)
La expresión (39) que conceptualmente se lee la aceleración de la circulación
coincide con la circulación de la aceleración constituye el teorema cinemático de
la circulación de Kelvin.
Se puede obtener el teorema dinámico de la circulación, debido a Bjerknes, por
medio de la ecuación del movimiento. De (39) y (12) se deduce
˛ �
˛
˛
�
1
� × �u · d�
� −
� + 1 F� · d�
�
Γ̇ = −
2Ω
∇p · d�
(40)
ρ
ρ
�
C
��
�
(I)
�
C
��
(II)
�
C
�
��
(III)
�
donde se ha simplificado la notación introduciendo la fuerza por unidad de volumen
⇒
debida a los esfuerzos cortantes, F� = ∇ · τ . Hay que hacer notar que el término
de gravedad no aparece en (40) ya que, al tratarse de un campo conservativo,
su circulación es nula. A continuación se discuten cada uno de los tres términos
obtenidos de forma independiente, como si los otros dos fueran nulos.
(I)
Se considera una curva C en la que existe un flujo saliente. En el hemisferio norte
se tiene (figura 7)
˛ �
�
� × �u · d�
� <0
−
2Ω
C
18
!
u
! !
!2" # u
!
d"
!
!
!"
Figura 7: Interpretación del término de Coriolis de (40) para un flujo saliente en
el hemisferio norte.
en consecuencia sería para el primer miembro de (40), Γ̇ < 0. Por ejemplo, habría
generación por este efecto, si inicialmente fuera nula, de circulación en el sentido
de las agujas del reloj (“cum sole” o anticiclónica).
También se puede interpretar dicho término de
esta otra forma. De la figura 8 se deduce
!"
!
!
�
�
�
�
�
�
� × �u ·d�
� = −2Ω·
� �u × d�
� = −2Ω·�
� nA u⊥ ��d�
� ��
− 2Ω
!
nA !
(41)
d"
!
En un tiempo dt se producirá un barrido, exu
presado
en función de la componente de �u �perpen�
u!
� �� con
dicular a la curva, u⊥ , como δA = u⊥ dt ��d�
un vector unitario normal �nA . El �ritmo
al que se
�
Figura 8: Interpretación del tér- produce el barrido es Dt δA = u⊥ ��d�
� �� lo que lleva
mino de Coriolis de (40) a partir a poder escribir para (41)
del área barrida por el vector ve�
�
locidad.
� × �u · d�
� = −2Ω Dt δAn
− 2Ω
(42)
� por ejemplo, sobre
con δAn proyección de δA sobre un plano perpendicular a Ω,
el plano del ecuador. Si ahora se integra (42) a lo largo de C queda finalmente
˛ �
�
� × �u · d�
� = −2Ω Dt An
−
2Ω
(43)
C
19
donde An es la proyección sobre el ecuador del área A, encerrada por la curva
C. O sea, en presencia de vorticidad planetaria, un aumento del área An tiende
a hacer disminuir Γ. En términos de la intensidad del tubo de torbellino que C
define, un aumento de la intensidad asociada a la vorticidad planetaria induce una
disminución de Γ, de forma semejante a la inducción de corriente eléctrica. La
discusión se puede hacer también en términos de la variación del número de líneas
de torbellino de la vorticidad planetaria abrazadas por C.
(II)
2"#$%&
!"#$%&
!! " !p
!!
()*&+%,*-&
()*&./0%1-&
'&
!p
!! > 0
Figura 9: Interpretación del término (II) de (40). Se representan las superficies
isobaras e isopicnas indicando el sentido de crecimiento de ambas variables.
El segundo término de (40), a veces denominado solenoidal, se puede entender
mejor si se escribe, por medio del teorema de Stokes, de forma
�
�
˛
¨
¨
1
1
∇ρ × ∇p
�
−
∇p · d� = − ∇ ×
∇p ·�n dS =
·�n dS
(44)
ρ
ρ
ρ2
C
S
S
En la figura 9 se representan superficies isopicnas e isobaras, con sus gradientes,
y la curva a lo largo de la que se calcula la circulación expresada por (44). Si
las superficies isobaras e isopicnas no coinciden, el estado del fluido se denomina
baroclino. El vector solenoidal, ∇ρ × ∇p, será no nulo y la circulación Γ cambiará
con el tiempo si el valor medio de la componente normal a S del vector anterior
en diferente de cero.
Debido a este efecto, el fluido más ligero tenderá a ascender con mayor aceleración que el más denso, apareciendo circulación antihoraria alrededor de C que
tiende a alinear las superficies isopicnas e isobaras.
20
Si las superficies de p=cte y ρ= cte coinciden, es posible definir una relación
ρ = ρ(p) y se dice que el fluido es barotropo. En estas condiciones se cumple
˛
˛
1
� = − dp = 0
∇p · d�
ρ
ρ(p)
C
C
(III)
El término final de (40) es, en general, de interpretación difícil. En el caso de fluido
de Stokes con viscosidad cinemática ν constante
˛
˛ �
�
1 � �
�
F · d� = ν
∇2�u · d�
(45)
ρ
C
A partir de la identidad vectorial
$"
!z
!
d"
C
∇ × (∇ × �u) = ∇ (∇ · �u) − ∇2�u
�
%
#
��
ζ�
�
(45) se puede escribir
˛
˛ �
!"
�
1 � �
�
F · d� = −ν
∇ × ζ� · d�
(46)
ρ
Figura 10: Interpretación del térC
C
mino (III) de (40) para analiSe hace notar que, tanto en (45) como en (46),
zar el papel de la viscosidad en
presencia de una distribución no no aparece la circulación del gradiente de la divergencia ya que es nula.
uniforme de vorticidad.
En el caso simplificado representado en la figura 10 se tiene una distribución de vorticidad tal
que
!! < 0
�
�
� = ∂y ζz dx > 0
∇ × ζ� · d�
Si esta condición se cumple en promedio para toda la curva C, la tendencia es
a que sea Γ̇ < 0, o sea, que el efecto de la viscosidad es reducir la intensidad o flujo
del tubo de vórtice (circulación) debido a la no uniformidad de la vorticidad. Este
proceso es semejante al de difusión en el flujo de calor consecuencia del gradiente de
temperatura. Se dice, a veces, que la acción de la viscosidad es difundir vorticidad
tendiendo a establecer una distribución uniforme.
21
A partir de lo visto hasta aquí, que puede deducir un teorema de gran importancia histórica. Se trata del teorema de conservación de la circulación absoluta
de Kelvin. De (31) y de la interpretación (43) del papel del término de Coriolis, se
puede escribir
˛
˛
1
� + 1 F� · d�
�
Γ̇abs = −
∇p · d�
ρ
ρ
C
C
Si el fluido es barotropo (o se puede considerar así sobre la curva C) y se puede
despreciar la fuerza viscosa, resulta
Dt Γabs = 0
(47)
o sea que, siguiendo el movimiento, la circulación absoluta se conserva. En términos de la intensidad del tubo de torbellino, un aumento (disminución) de la
intensidad planetaria o relativa produce una disminución (aumento) de la otra. El
mecanismo responsable de este intercambio es la “inducción” de vorticidad. Siendo
C una curva substancial se moverá y deformará pero siempre definirá un tubo de
torbellino de intensidad absoluta constante. Por tanto, si la sección del tubo aumenta (disminuye) el módulo de ξ� deberá disminuir (aumentar) para que el flujo
sea constante.
Este razonamiento se puede aplicar a cualquier curva substancial, inversamente,
si se cumple el teorema de Kelvin, cualquier tubo de vorticidad absoluta es una
superficie substancial y, en el límite, las líneas de torbellino (o filamentos de vórtice)
son líneas substanciales: se mueven con el fluido.
Se debe recordar que el teorema de Kelvin se cumple bajo condiciones de barotropía y sin rozamiento. En general la viscosidad difunde vorticidad mientras que
la baroclinidad puede producir nuevos filamentos.
Teorema de la vorticidad
Aunque la circulación es una medida de la vorticidad puede perderse información debido al carácter escalar de aquella frente al vectorial de esta. En lo que
sigue, para evitar la posible debilidad de la circulación, se va a obtener directamente una ecuación para la evolución temporal de la vorticidad que, por otra parte,
es a la dinámica de fluidos lo que la ecuación del momento cinético a los sistemas
de masas puntuales.
La identidad vectorial
�
�
1
�u × (∇ × �u) = ∇ V 2 − �u · ∇�u
� �� �
2
ζ�
22
permite escribir la ecuación del movimiento (12) en la forma
�
�
�
� × �u = − 1 ∇p − ∇ 1 V 2 + φ + 1 F�
∂t�u + ζ� + 2Ω
ρ
2
ρ
�
(48)
Aplicando el operador ∇× a la ecuación anterior, (48), y teniendo en cuenta
la identidad
�
�
�×B
� =A
�∇·B
� +B
� · ∇A
�−B
� ∇·A
�−A
� · ∇B
�
∇× A
se llega tras algunos pasos a
�
˙
˙
� · �u + ∇ρ × ∇p + ∇ × F
ζ� = ξ� = ξ� · ∇�u − ξ∇
ρ2
ρ
(49)
Los dos últimos términos de (49) son ya conocidos al estar presentes en los
teoremas de la circulación. Los dos primeros del último miembro merecen atención
especial.
Se considera una línea de torbellino que, en el
!
origen del sistema de coordenadas, solo tiene com!
#"
ponente z (figura 11). Los dos términos aludidos
de (49) son
!
!
� · �u =
ξ� · ∇�u� − ξ∇
�
%"
= ξ∂z u�i + v�j + w�k − ξ�k (∂x u + ∂y v + ∂z w) =
!"
= ξ∂z u�i + ξ∂z v �j − ξ�k (∂x u + ∂y v)
(50) $"
Considerando solo la componente z, se deduce
de (49) y (50) para la vorticidad relativa
Dt ζz = −ξz (∂x u + ∂y v)
(51)
Figura 11: Línea de torbellino
Los dos primeros sumando de la divergencia
tangente al eje z en el origen de
∇ · �u, que aparecen en (51) se acostumbran a decoordenadas.
nominar “divergencia bidimensional”. 1
Se deduce entonces que la convergencia (por el
signo − en (51)) bidimensional intensifica la vorticidad o, intuitivamente, el movimiento convergente hacia z hace que se junten los filamentos de vórtice. Este efecto está en
concordancia con el teorema de Kelvin.
1
Si el plano xy es horizontal, se denomina divergencia horizontal. En realidad se trata en
ambos casos de una licencia, dado el carácter escalar de la divergencia.
23
Como en un flujo incompresible una reducción en la sección (del tubo de torbellino obligada por la convergencia) implica extensión longitudinal, este efecto se
denomina alargamiento (stretching).
También se puede interpretar la contribución a las otras componentes, la x,
por ejemplo. Para la vorticidad absoluta sería, de (49) y (50), Dt ξx = ξ∂z u. Considerando lo que ocurre en un pequeño intervalo de tiempo δt, con la ayuda de la
figura 12, se tiene
δξx
δx
= ∂z u δt =
= tan γ
ξz
δz
#"
!
!
'!"
$%#&"
'#"
!
! (t )
!" x
("
!
! (t + "t )
!"
Figura 12: Inclinación de una línea de torbellino como consecuencia de la cizalladura.
La nueva vorticidad ξ� (t + δt) tendrá componente perpendicular a la vorticidad
inicial ξ� (t), por lo que se habrá inclinado con respecto a esta ultima. Por esta
razón este efecto se denomina inclinación (tilting). También en este caso existe
concordancia con el teorema de Kelvin ya que las líneas de torbellino son materiales
y se desplazan con el movimiento.
Combinando los cuatro efectos presentes en el teorema de la vorticidad (49),
el cambio de vorticidad depende de
1. Baroclinidad
2. Difusión de vorticidad
3. Stretching del tubo de vórtice por convergencia de filamentos
4. Tilting por variación a lo largo del filamento de la componente de la velocidad
perpendicular a la vorticidad.
24
Vorticidad potencial
El teorema de la vorticidad potencial de Ertel, más general que el teorema de
Kelvin, proporciona una restricción muy importante al movimiento de los fluidos
geofísicos. Se obtiene, en principio, de combinar el teorema de la vorticidad y la
ecuación de continuidad, eliminando la divergencia de (49) por medio de (15). El
resultado se puede escribir, para la vorticidad absoluta
Dt
�
�
1�
1
∇ρ × ∇p 1
F�
ξ = ξ� · ∇�u +
+
∇
×
ρ
ρ
ρ3
ρ
ρ
(52)
Consideremos a continuación un escalar cualquiera λ que represente alguna
propiedad del fluido en movimiento. En general λ cambiará siguiendo el movimiento generándose, mediante algún proceso o fuente, a un ritmo qλ . Se podrá
escribir entonces
Dt λ = ∂t λ + �u · ∇λ = qλ
de donde se deduce, tomando el gradiente y operando
Dt ∇λ + ∇�u · ∇λ = ∇qλ
(53)
Las ecuaciones (52) y (53) se pueden combinar sin más que multiplicar la
�
primera escalarmente por ∇λ (por la derecha del tensor ∇�u) y la segunda por ξ/ρ
(por la izquierda de ∇�u). El resultado es
Dt
�

�

1�
1
∇ρ × ∇p 1
F� 
∇ ×
ξ · ∇λ = ξ� · ∇qλ + ∇λ ·
+
∇λ
·
ρ
ρ
ρ3
ρ
ρ
(54)
La importancia de esta ecuación se pone de manifiesto cuando se consideran
algunas condiciones que afectan a las variables del segundo miembro, como son
1. El escalar λ es conservativo: qλ = 0
2. El rozamiento se puede considerar despreciable: F� = 0
3. Alternativamente, una de las siguientes:
a) Barotropía: ∇ρ × ∇p = 0
b) El escalar λ cumple λ (ρ, p), con lo cual su gradiente es ∇λ = (∂p λ) ∇p+
(∂ρ λ) ∇ρ
25
En esas condiciones, el segundo miembro de (54) es nulo y, en consecuencia, se
obtiene el teorema de conservación
Dt
�
�
�
1�
ξ · ∇λ = 0
ρ
��
(55)
�
Π
para la función del paréntesis Π, denominada vorticidad potencial, cuya expresión
es
�
�
�
�
�
ζ
+
2
Ω
· ∇λ
ξ · ∇λ
Π=
=
(56)
ρ
ρ
La vorticidad potencial, Π, incluye, entre otras, información sobre la componente de la vorticidad absoluta ξ� a lo largo de ∇λ.
Se puede llegar al mismo teorema (55) mediante otra deducción con mayor
contenido físico (figura 13).
'"/-#0!+-&1231&&
∇1&
∇/&
∇4&
37&
!
n !!
38&
∇46∇/&
&
15!)-&
!"#$%&'"(')%*!+%,&-,-.-*)%,&
Figura 13: Tubo de torbellino y vector solenoidal para deducir teorema de conservación de la vorticidad potencial (ver texto).
Si λ es una propiedad conservativa, la superficie λ = cte es una superficie
substancial y si es λ (ρ, p), su gradiente, ∇λ, está en el plano de ∇ρ y ∇p, con lo
que
�n · (∇ρ × ∇p) = 0
(57)
con
�n =
∇λ
|∇λ|
26
La ecuación (57) significa que el flujo del vector solenoidal a través de la superficie λ = cte es nulo. Si además se prescinde del rozamiento, se cumple el teorema de
Kelvin. Aplicado al área elemental δA delimitada por la curva substancial indicada
en la figura 13, permite escribir
�
�
Dt �n · ξ� δA = Dt
�
�
∇λ �
· ξ δA = 0
|∇λ|
(58)
Por otra parte, el tubo de torbellino elemental es también substancial, luego se
conserva su masa δm = ρ δA δh. Además δλ = �n · ∇λ δh = |∇λ| δh, con lo que se
puede escribir
δm |∇λ|
δA =
δλ ρ
Sustituyendo el elemento de área δA en (58) se llega a misma expresión para
la conservación de la vorticidad potencial (55), ya que δm/δλ es invariante.
Esta forma de deducción de la conservación de la vorticidad potencial se debe a
Rossby, que la llevó a cabo para el caso particular de la atmósfera, empleando como
propiedad conservativa la temperatura potencial. Ha sido imposible reconstruir la
historia del origen de esta importante variable por lo que se admite que Ertel y
Rossby la plantearon de forma independiente y simultánea en las años 40 del siglo
XX. Sí parece estar claro, sin embargo, que el término “potencial” se debe a Rossby
y se interpreta por el hecho de que todo ocurre como si, en un empaquetamiento de
las superficies λ = cte, se tuviera almacenada componente ξn de ξ� normal a dichas
superficies. De esta forma, si se alejan las superficies entre sí, disminuye |∇λ| y
debe entonces aumentar ξn /ρ que, con la densidad aproximadamente constante,
conduce a un aumento de ξn .
El teorema de conservación de la vorticidad potencial representa una ligadura
muy importante al movimiento de los fluidos geofísicos. Las variables que inter� ρ y λ (en el caso de la atmósfera, temperatura potencial, θ; la propia
vienen ξ,
densidad ρ,para el océano) tienen su propia dinámica pero la vorticidad potencial(56), supuestas las condiciones indicadas previamente a (55), debe mantenerse
invariante siguiendo el movimiento del fluido.
Además, desde la década de los 80 pasados se ha visto que la vorticidad potencial goza de unas propiedades muy interesantes, que hacen que el uso de mapas
de vorticidad potencial en meteorología se haya convertido en algo rutinario. De
hecho, una gran parte de la dinámica de fluidos geofísicos se puede basar en la discusión y evolución de esta variable. Se ha introducida para esta forma de discusión
el término PV thinking que estaría fundamentado en:
I. La existencia, bajo ciertas condiciones, de un teorema de invertibilidad. O
sea, que a partir de Π se pueden deducir los demás campos de variables físicas
27
y, en consecuencia, si se conoce la vorticidad potencial se conocen todas las
variables.
II. El estudio detallado de las consecuencias de que λ no sea estrictamente conservativa y el rozamiento no despreciable, manteniendo la condición λ(ρ, p).
El teorema de Ertel, teniendo en cuenta esto último, es
�
�
1
1
Dt Π = ξ� · ∇qλ + ∇λ · ∇ × F�
ρ
ρ
(59)
donde se ha empleado F� para la fuerza viscosa por unidad de masa F� = F� /ρ, con
la vorticidad potencial, Π, dada por (56).
La ecuación (59) se puede transformar fácilmente teniendo en cuenta
�
�
�
�
ξ� · ∇qλ = ∇ · qλ ξ� − qλ ∇ · ξ� = ∇ · qλ ξ�
y
�
�
�
NULO
�
(60)
�
∇λ · ∇ × F� = ∇ · F� × ∇λ + F� · (∇ × ∇λ) = ∇ · F� × ∇λ
Llevando (60) y (61) a (59) se tiene
con
� �� �
�
��
NULO
�
�
(61)
1
�Π
Dt Π = − ∇ · N
ρ
(62)
� Π = −qλ ξ� − F� × ∇λ
N
(63)
1
�χ
Dt χ = − ∇ · N
ρ
(64)
El vector (63) recibe el nombre de “flujo” o “transporte” no advectivo de
vorticidad potencial, Π.
El hecho de que el teorema de Ertel adopte la forma (62) ha obligado a precisar
la nomenclatura. Se dice muchas veces que la vorticidad potencial se puede considerar como un trazador. Esta denominación se ha tomado de la química, en que se
llama así a una substancia, a veces radioactiva, que se emplea para estudiar trayectorias en un fluido (en el aire, por ejemplo) al ser transportada. La concentración,
χ, de la substancia cambia siguiendo el movimiento según
� χ incluye los efectos de la difusión molecular, de la
donde el flujo no advectivo N
sedimentación o deposición y de “lavado”.
28
En realidad la substancia es conservativa con lo que el segundo miembro de
(64) no es, en sentido estricto, un término fuente. Solo lo hay cuando se producen
reacciones que originan una substancia haciendo desaparecer otra u otras.
Tanto (62) como (64) son ecuaciones de conservación, en un sentido amplio,
que admiten expresiones en la forma de flujo. Por ejemplo, (62), se puede escribir,
operando y usando la ecuación de continuidad, en la forma
�Π
∂t (ρΠ) + ∇ · (ρΠ�u) = −∇ · N
Introduciendo el flujo neto (advectivo y no advectivo)
� Π = ρΠ�u − qλ ξ� − F� × ∇λ
J�Π = ρΠ�u + N
(65)
∂t (ρΠ) + ∇ · J�Π = 0
(66)
se puede escribir el teorema de Ertel en su forma de flujo
La ecuación (64) se escribiría para la concentración, χ, similarmente a (66),
� χ.
con un flujo neto J�χ = ρχ�u + N
Se debe añadir, finalmente, que son conceptualmente de gran importancia los
llamados teoremas de conservación e impermeabilidad de la vorticidad potencial y
el denominado símil eléctrico para la vorticidad potencial basado en la semejanza
de (66) con la ecuación de continuidad en electricidad.
Análisis de escala en las ecuaciones del movimiento de los fluidos geofísicos. Aproximaciones geostrófica e hidrostática
Las ecuaciones de gobierno deducidas son aplicables a cualquier movimiento
que se produzca en los fluidos geofísicos. Sin embargo, la atmósfera y los océanos
son sede de movimientos de muy diferentes escalas, que van desde la turbulencia
al “clima”.
Analizando las órdenes de magnitud de las diferentes términos de las ecuaciones es posible, dependiendo de la escala baja estudio, prescindir de los más
pequeños y obtener así ecuaciones simplificadas válidas para la escala concreta
que se considere.
El método ha sido especialmente fructífero para estudiar, en latitudes medias,
el movimiento en la llamada escala sinóptica, lo que ha dado lugar a la Dinámica
Cuasigeostrófica.
Se considera, para empezar, la ley de conservación del “momentum”, (12),
representada en componentes y usando coordenadas esféricas
29
uw
uv
1
1
− tan ϕ = − ∂x p + 2Ω(v sin ϕ − w cos ϕ) + Fx
r
r
ρ
ρ
vw
u2
1
1
v̇
+
+ tan ϕ =
− ∂y p − 2Ωu sin ϕ
+ Fy

r
r
ρ
ρ



2
2

u
+
v
1
1


 ẇ −
=
− ∂z p + 2Ωu cos ϕ − g
+ Fz
r
ρ
ρ









u̇
+
(67)
Se debe recordar que las derivadas son curvilíneas y que las coordenadas
(λ, ϕ, r) corresponden a la partícula móvil.
A continuación se procede a ponderar los diferentes términos, proceso que recibe
el nombre de análisis de escala o “escalado”. Empezamos por los primeros
miembros de las dos primeras ecuaciones de (67).
Se definen para las variables unos valores característicos, o escalas
u, v U
x, y L
t
T =
L
U
w W
r R ∼ 107 m
tan ϕ ∼ sin ϕ ∼ cos ϕ ∼ 1
para latitudes medias
La escala de tiempo que se ha introducido T = L/U se denomina advectiva
para indicar que depende de las escalas cinemáticas del movimiento. De no se
así, habría que introducir una escala característica propia para las dependencias
temporales.
En la llamada escala sinóptica las escalas características para los dos fluidos
son
U
L
T
W
10 ms−1
103 km = 106 m
105 s ∼ 1 dia
10−2 − 10−1 ms−1
Atmósfera
1ms−1
102 km = 105 m
10−3 − 10−2 ms−1
Océano
Los órdenes de magnitud de los términos indicados, expresados en unidades SI,
resultan
30
U2
L
UW
R
U2
R
10−4
10−5
↑
10−8 − 10−7
10−10 − 10−9
10−5
10−6
↑
Comparando las columnas tercera y primera, se obtiene la relación
U 2 /R
L
=
U 2 /L
R
lo que indica que los términos de curvatura analizados son despreciables frente a
L
la aceleración si
� 1. En este caso las ecuaciones son formalmente iguales a los
R
locales, aunque se �
debe� recordar que son conceptualmente diferentes.
L
Sólo cuando O
= 1 no se pueden tomar las ecuaciones en su forma local.
R
Esta condición se cumple en la denominada escala global.
En escala sinóptica, que es inferior, se puede escribir
1
1
∂t u + u∂x u + v∂y u + w∂z u = − ∂x p + 2Ω(v sin ϕ − w cos ϕ) + Fx
ρ
ρ
1
1


 ∂t v + u∂x v + v∂y v + w∂z v = − ∂y p − 2Ωu sin ϕ + Fy
ρ
ρ




(68)
Para realizar ahora la ponderación de los términos necesitamos otras escalas:
ρ
ρa
∼ 1 kg m−3 (para el agua103 kg m−3 )
z
D
∼ 10 km = 104 m
−4 −1
2Ω ∼ 10 s
además, recordando que para fluidos de Stokes
1
F� = µ∇2�u + µ∇(∇ · �u)
3
se tiene una fuerza por unidad de masa
1 �
1
F = ν∇2�u + ν∇(∇ · �u)
ρ
3
La viscosidad cinemática, ν, vale para los dos fluidos:
31
Aire:
ν=
1,71 × 10−5 kg m−1 s−1
= 1,71 × 10−5 m2 s−1 (a 0 ºC)
1 kg m−3
Agua:
1,01 × 10−3 kg m−1 s−1
= 1,01 × 10−6 m2 s−1 (a 20 ºC)
103 kg m−3
Los órdenes de magnitud para los diferentes términos de (68), en unidades SI,
ν=
son
1
U2
L
2
U2
L
3
U2
L
4
UW
D
10−4
10−4
10−4
10−5
5
P
ρa L
↑
6
2ΩU (2ΩW )
P = 2Ωρa U L
10−3 (10−6 − 10−5 )
↑
7
U
ν 2
D
10−12
Se observa que los distintos términos ponderados son de diversos órdenes de
magnitud, incluso algunos son muy diferentes. Es importante recordar que, en
una ecuación física, la propiedad de homogeneidad se debe cumplir también para
órdenes de magnitud. En concreto, los dos miembros de la ecuación deben cumplir
esa condición, lo que obliga a que no pueda haber un único término que tenga
orden de magnitud superior a los demás; al menos debe haber dos términos con
órdenes coincidentes.
El mayor orden de magnitud es el que corresponde a la columna 6, de la fuerza
de Coriolis. El de la columna 5 no se ha incluido el valor numérico. Se trataría de
ponderar la fuerza bárica, que incluye al gradiente de presión. Eso quiere decir que
lo que importa es el cambio espacial de la presión. En consecuencia, la escala P de
la columna 5 representa lo que cambia la presión a lo largo de la escala espacial
(horizontal), L. Teniendo en cuenta los demás órdenes de magnitud, no que da
más remedio que los los correspondientes a las columnas 5 y 6, señaladas, sean
coincidentes. De ahí, como se indica, P = 2Ωρa U L con un orden de magnitud,
para la atmósfera
O(P ) = 10−4 s−1 × 1 kg m−3 × 10 m s × 106 m =
= 103 P a = 10 hP a
Es importante destacar que el valor obtenido no es el de la presión atmosférica
en superficie (del orden de 1000 hP a) sino lo que típicamente cambia la presión atmosférica en unos 1000 km. De forma semejante se puede proceder para el océano.
32
El término de la columna 7, el menor de todos, corresponde a considerar la
viscosidad molecular. En el caso de régimen turbulento se trabaja, en lugar de
ν, con los denominados coeficientes de intercambio turbulento varias órdenes de
magnitud superiores a ν, que hacen el término mayor.
Se podrá despreciar dependiendo de la relación, en orden de magnitud
�
νU/D2
O
2ΩU
�
=
ν
= Ek
2ΩD2
que permite introducir un número adimensional, denominado de Ekman, Ek (para
la viscosidad).
Manteniendo en (68) los términos de mayor orden de magnitud, pero conservando la capacidad predictiva de las ecuaciones queda
1
u̇ = − ∂x p + f v
ρ
1


 v̇ = − ∂y p − f u
ρ




(69)
con f = 2Ω sin ϕ, parámetro de Coriolis.
Se podría prescindir de las aceleraciones dependiendo del orden de magnitud
�
�
�
�
u̇
v̇
U 2 /L
U
O
=O
=
=
= Ro
(70)
fv
fu
fU
fL
que sirve para introducir el número de Rossby, Ro. Más adelante, por comodidad,
se representará por �.
Si Ro � 1, se puede prescindir en (69) de las aceleraciones, perdiendo el carácter predictivo y convirtiéndose en ecuaciones de diagnóstico. Se habla en estas
condiciones de la aproximación geostrófica. El vector velocidad que resulta,
denominado viento geostrófico (o corriente geostrófica, para el caso
del mar), es

1



u
∂y p
g = −


ρf

(71)


1



∂x p
 vg =
ρf
y se trata de una primera aproximación al viento real.
Las ecuaciones (68), manteniendo los términos de mayor orden de magnitud,
se suelen denominar ecuaciones del movimiento horizontal que, en forma vectorial,
se pueden escribir
1
�u˙ H = �v˙ = − ∇z p − f �k × �v
ρ
33
(72)
donde se ha considerado un vector velocidad bidimensional (horizontal) �uH = �v
de componentes (u, v), el vector unitario vertical �k y el operador nabla horizontal
∇z de componentes (∂x , ∂y ). De (72) se puede deducir la velocidad geostrófica en
forma vectorial
1 �
k × ∇z p
(73)
ρf
De cumplir el viento real (73), seguiría las isobaras y las fuerzas básicas y de
Coriolis (horizontales) estarían equilibradas. En el caso real, el “desequilibrio” se
expresa mediante el viento ageostrófico
�vg =
�v = �vg + �v �
que cumple O(�v ) = Ro U .
A continuación se procede al escalado de la tercera ecuación de (67), prescindiendo de la fuerza viscosa, con valores numéricos en SI
�
UW
L
U2
R
10−6 − 10−7
10−5
1
O(∂z p)
ρa
2ΩU
g
10−3
10
↑
↑
Al igual que ocurría en el movimiento horizontal, los órdenes de magnitud para
esta ecuación, del movimiento vertical, son muy diversos. Igualando las columnas
marcadas debe ser
O(∂z p) = ρa g
lo que implica O(∂z p) = 10 P a/m ≡ 1000 hP a/10 km.
Este valor es consistente (figura 14) con una
presión en el fondo (superficie, en el caso de la atmósfera) PB = ρa gD, obviamente diferente de la
escala la presión, P , para el movimiento horizontal. O sea, que para el movimiento vertical
&
!"
)*"
'("
PB
D
Figura 14: Esquema vertical del Si en la ecuación del movimiento vertical se manfluido, por ejemplo la atmósfera, tiene el término de Coriolis, siguiente en orden de
que permite relacionar el espesor magnitud, queda la ecuación
D con la presión en el fondo PB .
34
#$%"
O(∂z p) =
1
− ∂z p + 2Ωu cos ϕ − g = 0
ρ
(74)
que representa una pequeña corrección a la ecuación que resulta de conservar los
dos términos mayores y que no es otra que la ecuación hidrostática
1
− ∂z p − g = 0
ρ
(75)
Se puede interpretar el término adicional de (74) con respecto a (75) como una
consecuencia de la dinámica.
Para investigar este efecto dinámico se puede admitir para p y ρ la descomposición
�
p(x, y, z, t) = ps (z) + p� (x, y, z, t)
ρ(x, y, z, t) = ρs (z) + ρ� (x, y, z, t)
(76)
con ps y ρs valores que se establecerían por estratificación en el caso estático.
Cumplirían por lo tanto (75)
∂z ps = −ρs g
(77)
Por otra parte, si se tiene en cuenta (76), se cumple
∇z p = ∇z p�
lo cual tiene consecuencias en el escalado horizontal y permite ponderar p� :
�
ρa f U = O(∂y p� ) = O(∂x p� )
O(p� ) = ρa f U L = P
Si llevamos (76) a (74) queda
−∂z p� + 2ρΩucosϕ − gρ� = 0
Se podrá prescindir del término de Coriolis dependiendo del cumplimiento para
los órdenes de magnitud
�
2ρΩu cos ϕ
O
∂z p�
�
=
ρa f U
D
=
=δ�1
P/D
L
35
o sea, cuando la relación de aspecto δ = D/L sea muy pequeña. También se puede
ponderar ρ� . De O(∂z p� ) = g O(ρ� ) se deduce
O(ρ� ) =
P
ρa f U L
=
gD
gD
con lo que se cumple
�
ρ�
O
ρ
�
�
ρ�
=O
ρs
�
P
p�
=
=O
PB
ps
�
�
�
fUL
fL
=
= Ro √
gD
gD
�
p�
=O
p
�
�
��
F
�2
=
�
(78)
En (78) se ha introducido un número de Froude
�
fL
F= √
gD
�2
�
L
= √
gD/f
�2
�
L
=
LR
�2
donde LR es el denominado radio de deformación (externo) de Rossby
√
gD
LR =
f
(79)
(80)
En las condiciones en que se está trabajando se deduce (p� , ρ� ) ∼ 10−2 (p, ρ), o
sea p� � ps y ρ� � ρs .
Como consecuencia del análisis de escala se cumple para las ecuaciones del
movimiento en escala sinóptica y latitudes medias lo siguiente
1. La ecuación vertical no proporciona información sobre w, sino que se convierte en la ecuación hidrostática. El límite de aplicabilidad estaría en w
suficientemente pequeña para no recorrer el espesor D en la escala de tiempo
T:
� �
w
W
D/T
D
O
=
≤
=
=δ�1
u
U
L/T
L
2. El movimiento horizontal está en primera aproximación equilibrado entre
estas proyecciones de la fuerza bárica y de Coriolis (geostrofía) semejante
a lo que ocurre en la vertical entre la fuerza bárica y la gravedad.
36
Adimensionalización de las ecuaciones de gobierno.
Aproximación cuasigeostrófica
A continuación se llevará a cabo un proceso mediante el cual se obtienen unas
ecuaciones utilizables para variables adimensionales - es decir, a escala - de las variables reales. Si este proceso, de adimensionalización, se iniciara con las ecuaciones
del movimiento expresadas en coordenadas esféricas, se obtendrían ecuaciones dependientes de un conjunto de números adimensionales (Rossby, Froude, Ekman,
...). Estas ecuaciones serían aplicables a cualquier movimiento (de cualquier escala)
de los fluidos geofísicos sin más que seleccionar adecuadamente, de acuerdo con
los números adimensionales, los términos importantes.
El método tiene su origen en la ingeniería hidráulica, en la que, para llevar a cabo simulaciones con modelo físicos a escala, se deben deducir ecuaciones aplicables
tanto a la realidad como a los modelos físicos.
Aquí no se comenzará con las ecuaciones generales sino que ya se parte de
algunas de las aproximadas, ya vistas, para aplicarlas a la escala sinóptica en
latitudes medias.
Cada variable se expresará como producto de una “escala” por la equivalente
variable adimensional. La escala llevará el orden de magnitud y las unidades de
la variable, de tal forma que la variable adimensional expresa el número de veces
que la dimensional contiene a la escala. Si el escalado está bien hecho la variable
adimensionalizada deberá ser O(1), a lo sumo. Lo dicho es equivalente a aplicar
las siguientes transformaciones
(u, v) → U (u, v)
(x, y, z) → (Lx, Ly, Dz)
1
(∂x , ∂y ) →
(∂x , ∂y )
L
1
∂z →
∂z
D
1
U
∂t →
∂t = ∂t
T
L
Este proceso se llevará a cabo sobre un plano tangente en una latitud central
de la zona bajo estudio, ϕ0 (figura 15). Dicho plano está orientado con el eje x
según el paralelo y el eje y según el meridiano.
El parámetro de Coriolis se podrá expresar (todavía con variables dimensionales)
37
�
∂f
f = f0 +
∂ϕ
�
∆ϕ = f0 + β0 y
(81)
ϕ0
donde
2Ω cos ϕ0
β0 =
R
%"&"!"$!"
(82)
se denomina parámetro de Rossby. Su
valor para la superficie de la Tierra a una
latitud ϕ0 = 45º es
!"
$!"
!#"
β0 = 1,61 × 10−11 m−1 s−1
o sea O(β0 ) = 10−11 m−1 s−1 .
Atendiendo a la aproximación introdu- Figura 15: Arco de meridiano a una laticida en (81) para el parámetro de Coriolis tud ϕ0 a fin de introducir las aproximaf , se acostumbra a considerar dos casos: ciones plano-f y plano-β.
Aproximación plano-f , cuando se puede considerar f constante, con valor f0
a la latitud ϕ0
Aproximación plano-β, con f0 y β0 contantes, con valores definidos a la latitud ϕ0
Para iniciar el proceso de adimensionalización se considera en primer lugar la ecuación (72) que, después de tener en cuenta (76), se puede escribir en la denominada
aproximación de Boussinesq, en la forma
1
�v˙ = − ∇z p� − f �k × �v
ρs
(83)
Como la ecuación (83) es bidimensional, se advierte que se usará explícitamente
la velocidad vertical w, la cual, como ya se vio, se podrá escalar mediante la relación
de aspecto δ a un valor máximo
W =
D
D
D
=
= U = δU
T
L/U
L
(84)
A partir de ahora se procederá a un cambio de notación. Las variables serán
adimensionales salvo que se indique lo contrario. En este caso se usarán con un
38
subíndice * para distinguirlas de las adimensionales, que se representarán generalmente por medio de las mismas variables que hasta ahora se usaban para las
dimensionales.
Por otra parte, p� de (83), según lo visto se escala a alguna de las siguientes
alternativas
O(p� ) = P = O (ρs ) O (f ) U L = ρa f0 U L
(85)
con lo que, aplicando además (81) y (84)
U2
U2
U D/L
∂t�v +
�v · ∇�v +
U w∂z �v =
L
L
� D�� �
U 2 /L
= −f0 U ∇p − f0 U �k × �v − β0 LU y �k × �v
(86)
donde se ha suprimido el subíndice z que indicaba el carácter bidimensional (horizontal) del operador ∇. Además se debe hacer hincapié en la notación para la
presión adimensional, p, de (86), que proviene de la dimensional p� de (83) y no, como podría parecer, de la anterior presión dimensional, p, por ejemplo de la primera
ecuación de (76).
Decidiendo los dos miembros de (86) por f0 U queda
β0 L �
�Dt�v = −∇p − �k × �v −
y k × �v
f0
(87)
donde se ha introducido, como se había indicado, con el fin de simplificar la notación
�=
U
≡ Ro
f0 L
para el número de Rossby y, además, el operador derivada substancial adimensional
Dt = ∂t + �v · ∇ + w∂z
donde todo son variables y operadores adimensionales.
Los órdenes de magnitud de cada término de (87) quedan determinados por
los respectivos coeficientes ya que, con un escalado correcto, los demás valores son
a lo sumo de O(1).
El coeficiente del último término de (87) tiene orden de magnitud, en latitudes
medias,
39
O
�
β0 L
f0
�

2Ω cos ϕ0 
� �
L

L
R
=O
= O
cot ϕ0 �
 2Ω sin ϕ 
R
0
�
L
�O
R
�
y para nuestro caso
�
�
L
O
= 10−1 = O(�)
R
Por conveniencia se puede escribir entonces
β0 L
= �β
f0
(88)
siendo
β=
β0 L
β0 L2
=
�f0
U
y, por lo tanto, O(β) = 1.
Llevando (88) a (87) se tiene
�Dt�v = −∇p − �k × �v − �βy k × �v
(89)
ecuación en la que se mezclan términos de O(1) y O(�), como se deduce de los
coeficientes respectivos.
Para escalar la ecuación del movimiento vertical hay que volver un poco atrás
a fin de mantener en ella la capacidad predictiva y escribirla en una versión equivalente a la del movimiento horizontal (83), mediante la aproximación de Boussinesq. Se parte para ello de la tercera ecuación de (67) de la que, atendiendo a
las aproximaciones que se están considerando, se prescinde tanto de los términos
de curvatura como de las fuerzas de rozamiento y de Coriolis. Además se tiene en
cuenta la descomposición (76).
Respecto a la parte estática se debe cumplir la ecuación hidrostática estricta,
(77), resultando entonces para la parte dinámica
ẇ = −
1
ρ�
∂z p� − g
ρs
ρs
(90)
Teniendo en cuenta (78) y (84), y siguiendo el mismo procedimiento de adimensionalización que anteriormente, (90) se puede escribir
40
U
1 f0 U L
δU Dt w = −
∂z (ρs p) − �F gρ
L
ρs D
de donde se deduce la ecuación adimensional
1
∂z (ρs p) − ρ
(91)
ρs
siendo δ, como anteriormente, la relación de aspecto y ρ la adimensionalización de
la parte de la densidad, ρ� , que proviene de la segunda ecuación de (76). Además,
hay que tener en cuenta que para llegar a (91), a diferencia de lo que se deduciría
de (85), se ha tenido en cuenta la dependencia que ρs tiene con z en el escalado
de p� . Obviamente, si se prescinde de ella, el primer término del segundo miembro
de (91) se simplifica.
La siguiente ecuación que interesa escalar es la de continuidad. Para que el
proceso fuera más preciso se debería partir de la ecuación de continuidad expresada en coordenadas esféricas. Sin embargo, con las aproximaciones que se están
realizando, se puede tomar la correspondiente a coordenadas locales
�δ 2 Dt w = −
Dt ρ + ρ(∂x u + ∂y v +∂z w) = 0
�
��
∇·�v
�
con variables dimensionales. Se ha señalado la denominada divergencia horizontal
∇ · �v .
Para la adimensionalización se debe tener en cuenta que, para la densidad
dimensional, de (76) y (78) se deduce
ρ∗ = ρs (1 + �F ρ)
(92)
donde ahora, en (92), la densidad ρ es adimensional.
La ecuación de continuidad se puede escribir al introducir las escalas
U
ρs �F Dt ρ
L
δU
w∂z ρs
+
D
�
�
U
δU
+ ρs (1 + �F ρ)
∇ · �v +
∂z w
=0
L
D
+ (1 + �F ρ)
o, simplificando
�
�
1
�F Dt ρ + (1 + �F ρ) ∇ · �v + ∂z (ρs w) = 0
ρs
(93)
Para completar el sistema de ecuaciones de gobierno, ahora en versión adimensional, necesitamos una ecuación termodinámica de la energía. En primer lugar
41
se trata el caso atmosférico. Se consideran, mientras no se indique lo contrario,
variables dimensionales.
Cuando existe un flujo de calor hacia la atmósfera se produce un cambio en el
estado termodinámico que puede afectar, por ejemplo, a la densidad y a los movimientos verticales. Dicho de otra forma, modifica la flotabilidad (“buoyancy”) del
aire. Se sabe que la variable relevante para analizar este hecho es la temperatura
potencial, θ; o mejor, su variación vertical ∂z θ. Se puede discutir el concepto de estabilidad estática a partir de dicha variación vertical o de la denominada frecuencia
de Brunt-Väisälä
�
g
N=
∂z θ
(94)
θ
La temperatura potencial se obtiene a partir de la temperatura T y la presión
p del aire según
θ=T
�
p00
p
�R/cp
(95)
con p00 = 1000 hP a, R = 287.05 J kg −1 K −1 y cp = 1005 J kg −1 K −1 .
Además, el cambio substancial de la temperatura potencial permite obtener el
intercambio de calor
Dθ
θ
=
Dt
cp T
�
�
k 2
1
θ
∇ T +Q+ χ =
H
ρ
ρ
cp T
(96)
donde H, potencia calorífica por unidad de masa, incluye todas las fuentes de calor.
Para adimensionalizar (96) es necesario escribir la temperatura potencial (95)
de forma similar a la densidad (92). Aplicando la ecuación de estado p = ρRT a
(95) se puede escribir, marcando ahora el carácter dimensional de las variables con
*
p∗
θ∗ =
Rρ∗
�
(ps + ρs f0 U Lp)1/X
=K
ρs (1 + �F ρ)
�R/cp
p∗ 1/X
=
ρ∗
�
�1/X
ρs f0 U Lp
1+
ps
ps 1/X
=K
ρs
1 + �F ρ
p00
p∗
�
=K
��
θs (z)
que, en primera aproximación, se puede escribir
�
θ∗ = θs (1 + �F θ)
(97)
1 ρs gD
p−ρ
X ps
(98)
con
θ=
42
Conviene, antes de continuar, precisar algo de lo realizado para llegar a (97)
y (98). En la deducción, K agrupa las constantes que han aparecido al operar y
X = cp /cv es la relación de los calores específicos del aire, de valor X = 1,4. A
continuación, hay que tener en cuenta que las variables sin marcar θ, p y ρ son
adimensionales, correspondiendo a desviaciones, dinámicas, respecto a los valores
estáticos.
La ecuación (98) indica que, para p = 0 (la presión es la estática), θ y ρ son
iguales y opuestas. Quiere esto decir que si una porción de atmósfera es anómalamente cálida, θ > 0, también es anómalamente ligera, ρ < 0, entendido esto con
respecto a los valores estáticos. Si no fuera p = 0, lo anterior no tiene porqué ser
cierto.
Ahora estamos ya en condiciones de adimensionalizar la ecuación termodinámica de la energía, (96). Conviene insistir que en esa expresión las variables son
dimensionales, lo que conduce a
U
U
θ∗
θs �F Dt θ + (1 + �F θ) w∂z θs =
H∗
L
L
cp T∗
o sea, tras simplificar
∂z θs
θ∗
�Dt θ + (1 + �F θ)
w =
Fθ
θs
� �� s�
�
S
�
H∗
cp T∗
��
�H
�
L
FU
(99)
�
Para escalar la potencia calorífica, en el segundo miembro, se ha introducido
�H por razones que se verán posteriormente, con
θ∗
H=
θs
�
H∗
c p θ∗
�
gD
f0 U 2
(100)
El término adimensional identificado por S, que multiplica a w en (99), es un
número de Burguer, característico de la estratificación
S=
�
∂z θs
N 2 D2
RD
= s2 2 =
F θs
f0 L
L
�2
(101)
Para llegar a (101) se ha introducido la frecuencia de Brunt-Väisälä, Ns , según
(94) pero para las variables estáticas yRD , con dimensiones de distancia, que se
denomina radio de deformación (interno) de Rossby, de expresión
√ �
Ns D
gD
RD =
=
(102)
f0
f0
43
que
√ permite comparar RD de (102) con el radio de deformación externo LR =
gD/f0 , definido en (80). En la última igualdad de (102) se ha introducido una
gravedad “reducida”
g � = Ns2 D =
gD ∂θs
θs ∂z∗
(103)
consecuencia del efecto de flotabilidad.
Finalmente queda como ecuación termodinámica adimensional
�Dt θ + (1 + �F θ)Sw = �H
(104)
con O(S) = 1 para movimientos atmosféricos de escala sinóptica.
La ecuación (104) merece algún comentario. El segundo miembro está adimensionalizado, como se ve a continuación para la escala sinóptica. Quiere esto decir,
de acuerdo con lo anterior, que la potencia calorífica adimensional, introducida en
(100), debe cumplir O(H) = 1 o, lo que es lo mismo, que el segundo miembro de
(104)es de orden �. De acuerdo con (100), y teniendo en cuenta que en la atmósfera
se cumple
O(θs ) = O(θ∗ )
O(gD) = O(cp T∗ )
debe ser O(H∗ ) = f0 U 2 . Quiere esto decir que el calentamiento compatible con el
escalado empleado para llegar al segundo miembro de (104) es
O(H∗ ) = 10−2 W kg −1
Calentamientos mayores no podrían ser escalados como se ha hecho, con lo
que el segundo miembro no sería de orden � sino de orden 1. Esto tendría gran
influencia en las velocidades verticales contempladas en (104).
El segundo comentario es referente al producto Sw y su dependencia con el
segundo miembro. Es evidente que el efecto de la estratificación está incluido en
S, que son función creciente uno del otro, a igualdad de todo lo demás. Si, como en
escala sinóptica, O(S) = 1, de (104) se deduce que debe ser O(w) = �, y disminuyendo si S aumenta. En estas condiciones, lo que ocurre es que la escala empleada
D
para w, W =
= δU , es demasiado grande o, alternativamente, que con esa
L/U
escala la velocidad vertical es nula en primera aproximación. Posteriormente se
verá esto de otra forma.
A modo de resumen, las ecuaciones (89), (91), (93) y (104) constituyen el punto
de partida de la dinámica cuasigeostrófica. Con las simplificaciones ya utilizadas,
44
dependen de los parámetros �, β, F, δ y S, cuyos valores típicos para escala sinóptica
ya se han indicado.
A continuación se aplicará a dichas ecuaciones un método general de análisis de las órdenes de magnitud que conduce, en primer lugar, a la aproximación
geostrófica del movimiento y, posteriormente, a las ecuaciones de la aproximación
cuasigeostrófica.
Para ello se desarrollan todas las variables adimensionales en serie de potencias
de � (con � < 1). Si se designa, de forma genérica, con h a una de esas variables
� �
h = h(0) + �h(1) + O �2
(105)
Dt G = [Dt G] (0) + � [Dt G](1) + ...
(106)
Tanto h(0) como h(1) son de O(1) y dependen de las coordenadas espaciales y
del tiempo, pero no de �. Además pueden ser funciones implícitas de relaciones
entre los otros parámetros y �, que no pueden modificar el orden de magnitud de
h(0) y h(1) .
La ventaja de trabajar con h(1) en lugar de con �h(1) es que se ve la perturbación
que el término representa frente a h(0) como con una lupa de aumento �−1 .
Entre los términos adimensionales a desarrollar según (105) aparecen las derivadas de la forma Dt G, donde G es una variable geofísica cualquiera. Se debe
poder desarrollar entonces en la forma
Como la derivada substancial es
�
�
Dt G = ∂t G(0) + �G(1) + ... +
+
+
�
�
�
�
�v (0) + ��v (1) + ... · ∇ G(0) + �G(1) + ... +
�
�
�
�
w(0) + �w(1) + ... ∂z G(0) + �G(1) + ...
agrupando términos en (107) y comparando con (106) se tiene
[Dt G](0) = ∂t G(0) + �v (0) · ∇G(0)
(107)
(108)
En (108) se ha tenido en cuenta
La igualdad de términos que van multiplicados por la misma potencia de �.
Que en primera aproximación (geostrófica) es w(0) = 0. Esta posibilidad ya
se ha comentado tras (104) y posteriormente se justificará.
45
De (108) resulta evidente que
(0)
[Dt G](0) = [dt G](0) = dt G(0)
(109)
donde se ha introducido la derivada siguiendo el movimiento horizontal
dt G = ∂t G + �v · ∇G
y en orden 0
(0)
dt = ∂t + �v (0) · ∇
(110)
En (109) hay tres “físicas” distintas. La primera igualdad representa que, en
O(1), la derivada substancial y la derivada siguiendo el movimiento horizontal
coinciden. Se verá que la velocidad �v (0) es geostrófica, luego el último término
de (109) es la derivada de G en O(1) siguiendo el movimiento geostrófico, como
se tiene en (110). La ecuación (109) expresa entonces la igualdad de esas tres
derivadas temporales en O(1) .
De (107) y (106) se deduce para O(�)
[Dt G](1) = ∂t G(1) + �v (0) · ∇G(1) +�v (1) · ∇G(0) +
+w(1) ∂z G(0)
(111)
o bien
[Dt G](1) = [dt G](1) + w(1) ∂z G(0)
En este caso no se puede hacer algo como en (110) y tampoco como en el último
miembro de (109).
También se pueden deducir expresiones para derivadas de productos.
Interesan, asimismo, derivadas espaciales y, en concreto, de las derivadas substanciales. Se dan directamente los siguientes resultados, fáciles de deducir
∇ [Dt G](0) = [Dt ∇G](0) + ∇�v (0) · ∇G(0)
∂z [Dt G]
(0)
∇ [Dt G]
(1)
= [Dt ∂z G]
= [Dt ∇G]
(0)
(1)
(112)
+ ∂z �v (0) · ∇G(0)
+ ∇�v
(0)
�
· ∇G
+ ∇�v (1) · ∇G(0) + ∇w(1)
(1)
��
(113)
+
∂z G(0)
∂z [Dt G](1) = [Dt ∂z G](1) + ∂z �v (0) · ∇G(1) +
�
+ ∂z �v (1) · ∇G(0) + ∂z w(1)
46
��
�
(114)
�
(115)
∂z G(0)
Se podrían obtener de forma semejante desarrollo en O (�2 ) y superior, pero
no se hace por carecer de interés práctico. Para las aproximaciones que se ven a
continuación es suficiente con O(1) y O(�).
Además, de forma similar a lo hecho para llegar a (108) y (111), supondremos
que los términos de las ecuaciones de gobierno son idénticamente iguales para cada
orden de aproximación. Por ejemplo, de (89) se deduce
�
�
� [Dt�v ](0) + � [Dt�v ](1) + ...
�
�
−�k × �v (0) + ��v (1) + ...
�
�
= −∇ p(0) + �p(1) + ...
�
�
+ �βy�k × �v (0) + ��v (1) + ...
de donde, al igualar los términos que multiplican a �0 , o sea de O(1), resulta
0 = −∇p(0) − �k × �v (0)
que expresa el equilibrio geostrófico. Se puede ver que es así, transformando la
ecuación anterior en su versión dimensional
0 = −L∇∗
= −
(0)
(0)
p∗
�v∗
− �k ×
=
ρs f0 U L
U
1
∇∗ p(0) − �k × �v∗(0)
ρs f0
de donde
�v∗(0) =
1 �
k × ∇∗ p(0)
∗
ρs f0
En O(1), para las ecuaciones (89), (91), (93) y (104) se tiene
�v (0) = �k × ∇p(0)
�
1 �
ρ(0) = − ∂z ρs p(0)
ρs
�
�
1
∇ · �v (0) +
∂z ρs w(0) = 0
ρs
w(0) = 0
(116)
(117)
(118)
(119)
La ecuación (119) aparece como consecuencia de la estratificación y del escalado
efectuado el término de calentamiento de la ecuación termodinámica (104). Desde
un punto de vista más general se podía haber mantenido un término adimensional
H , y en lugar de (119) se hubiera obtenido
47
Sw(0) = H (0)
Sin embargo, tiene que ser necesariamente w(0) = 0, pues de (116), al ser
∇ · �v (0) = 0, y de (118), que quedaría
�
�
∂z ρs w(0) = 0
se deduce que, si en algún nivel es w(0) = 0 (por ejemplo, junto al suelo), debe ser
w(0) = 0 a todos los niveles.
La consecuencia es que en O(1) es imposible determinar velocidades verticales
(degeneración geostrófica, ya vista). Esto quiere decir que
�
w(0) = 0
w
= �w(1) + O(�2 )
(120)
Como consecuencia, entonces debe ser H (0) = 0, lo que justifica el escalado
que sin justificación inicial se adoptó para ese término. Esto implica, además, que
en O(1) los procesos se pueden considerar adiabáticos.
La ecuación (117), que no es otra cosa que la ecuación hidrostática, puede ser
también analizada en profundidad. El procedimiento es combinarla con la variable termodinámica θ, temperatura potencial adimensional, dada por (98) y que
desarrollada en serie del número de Rossby, �, queda para O(1)
θ(0) =
1 ρs gD (0)
p − ρ(0)
X ps
(121)
Eliminando ρ(0) de (121) y de (117) se tiene, después de operar
θ
(0)
= ∂z p
(0)
�
�
1 ∂z ps
1
−
− ∂z ρs p(0)
X ps
ρs
(122)
donde se ha tenido en cuenta la ecuación hidrostática para la estratificación estática, que para la coordenada z adimensional se escribe
∂z ps = −ρs gD
Además, en la estratificación estática se deduce de (95), para la temperatura
potencial θs en función de la presión ps y la densidad ρs
p00
θs =
Rρs
�
y por derivación logarítmica
48
ps
p00
�1/X
1
1
1 ∂z ps
∂z θs = − ∂z ρs +
θs
ρs
X ps
Si ahora se lleva esto último a (122) se tiene
θ(0) = ∂z p(0) −
SI
1
∂z θs
θs
Por otra parte, se sabe que en la atmósfera O(N ) = 10−2 s−1 , luego en unidades
�
�
�
1
D ∂θs
O
∂z θs = O
θs
θs ∂z∗
�
�
DN 2
=O
g
�
=
104 × 10−4
= 10−1 ∼ �
10
con lo que, en O(1), debe ser
θ(0) = ∂z p(0)
(123)
que reemplaza a (117) como ecuación hidrostática en O(1).
La interpretación física de (123) es importante pues indica que cuando se tiene
anomalía positiva de temperatura (a un nivel dado, temperatura potencial θ∗ > θs )
las anomalías de presión, consecuencia de la dilatación, crecen con la altura, de tal
forma que, para un estrato de espesor geométrico dado δz, la anomalía debe ser
mayor arriba que abajo (figura 16).
!()!*+&
!('&!*+&
!*+&
!-&
! *&
!-&
"#$%&'$&
!()!*&
!"#$%&'$&
#-!#$%&'$&
!,#$%&)$&
Figura 16: Anomalías positivas de temperatura potencial hacen que las anomalías
de presión crezcan con la altura.
Se observa también que para una misma diferencia de presión, como consecuencia de la dilatación, aumenta el espesor del estrato.
La ecuación (123) tiene además consecuencias dinámicas. Derivando verticalmente la ecuación geostrófica (116) y aplicando (123) se deduce
49
∂z �v (0) = �k × ∇θ(0)
(124)
Esta ecuación, que se denomina del viento térmico es, formalmente, como
la del viento geostrófico, pero consecuencia de la no uniformidad horizontal de θ(0) .
Como (124) da la variación del viento geostrófico con la altura, como caso
particular, crece hacia arriba si tiene aire más frío a la izquierda que a la derecha.
Es el caso de las corrientes en latitudes medias.
!
v 2(0)
z2
!
k
!! (0)
!
v 1(0)
!
!
k ! "! (0) = #zv (0)
z1
#"
!"
Figura 17: La ecuación del viento térmico expresa el crecimiento con la altura del
viento geostrófico cuando el aire es más frío a la izquierda que a la derecha. En la
figura, por ejemplo, viento del W con temperaturas mayores al S.
La ecuación (124) se puede interpretar en términos de la vorticidad ya que
esa cizalladura implica existencia de vorticidad horizontal, siendo la baroclinidad
(∇θ(0) �= 0) la causa que la produce.
De la misma forma que se han obtenido las ecuaciones de la aproximación geostrófica, o en O(1), se pueden deducir ecuaciones en O(�) a partir de las ecuaciones
de gobierno adimensionales, sin mas que igualar los términos que multiplican a �
en el desarrollo de las ecuaciones (87), (91), (93), y (104). Se trata entonces de la
aproximación cuasigeostrófica, siendo las ecuaciones
50
[Dt�v ](0) = −∇p(1) − �k × �v (1) − βy �k × �v (0)
1
ρ(1) = − ∂z (ρs p(1) )
ρs
1
∇ · �v (1) +
∂z (ρs w(1) ) = 0
ρs
[Dt θ](0) + Sw(1) = H
(125)
(126)
(127)
(128)
Para llegar a dichas ecuaciones se han considerado las condiciones O(δ) < �,
O(F ) = � y O(β) = O(S) = 1.
Hay que destacar
1. Aparece el efecto β, que en O(1) no estaba. En O(1) son equivalentes las
aproximaciones plano-f y plano-β pero no en O(�).
(0)
2. Como consecuencia de [Dt�v ](0) = dt �v (0) , el viento geostrófico es “geostróficamente” acelerado debido a la existencia de viento ageostrófico.
3. Los órdenes de aproximación en las variables aparecen mezclados (hay
(1)
simultáneamente); o sea, hay interacción.
(0)
y
4. Las velocidades verticales, que son O(�), se pueden determinar en aproximación cuasigeostrófica.
Este último punto es de trascendental importancia para los Fluidos Geofísicos ya
que hay fenómenos meteorológicos y oceanográficos que están condicionados por
la presencia de ascendencias (mal tiempo atmosférico y afloramiento -upwellingen el océano). La determinación en O(1) es imposible como se ha visto, lo cual es
razonable pensando en que se trata de determinar ascendencias para una capa de
D
fluido escalado a δ =
� 1.
L
De la ecuación termodinámica (128) se puede deducir la velocidad vertical
1
S
1
=
S
w(1) =
�
�
(0)
�
H − dt θ(0) =
H − ∂t θ(0) − �v (0) · ∇θ(0)
�
con lo cual, conocida la fuente de calor en O(�) y con las demás variables en O(1) se
puede determinar la velocidad vertical en O(�). Si se considera, como es corriente,
que los procesos son adiabáticos, H = 0, queda para la velocidad vertical
w(1) = −
�
1 � (0)
∂t θ + �v (0) · ∇θ(0)
S
51
Tanto si se considera el caso adiabático como si no, la deducción de la velocidad
vertical w(1) por esta vía, presenta la dificultad del término de la derivada local
∂t θ(0) que no es de fácil determinación. Más adelante se verá un procedimiento para
evitar estimar dicho término cuando se necesite determinar velocidades verticales.
La advección de la temperatura potencial θ(0) por el viento geostrófico �v (0)
admite una representación matemática aplicable a otros términos homólogos. A
partir de (116) se tiene
�v (0) · ∇θ(0) =
�
�
�k × ∇p(0) · ∇θ(0) =
�
= �k · ∇p(0) × ∇θ(0)
�
�
= J p(0) , θ(0)
�
=
(129)
donde se ha introducido el jacobiano bidimensional de p(0) y θ(0) que, en general,
para dos variables X, Y es
�
�
�
�
�
∂ X ∂x Y
J (X, Y ) = x
∂y X ∂y Y
�
�
�
�
�
Se puede combinar (figura 18) la interpretación física de la advección con la matemática dada (129) por medio del jacobiano. En el caso de la izquierda, la velocidad
�v (0) , que sigue las isobaras de p(0) = cte, da lugar a una advección grande de temperatura potencial θ(0) al formar las dos familias de curvas intersecciones claras
con ángulos cercanos a π/2. No es así en la parte derecha, donde los ángulos son
pequeños.
Hay que hacer notar que (129) se puede generalizar para cualquier término que
represente una advección geostrófica
�
�
�v (0) · ∇(•) = J p(0) , (•)
(130)
Es evidente que (130) se puede evaluar numéricamente de forma sencilla conociendo la distribución espacial de p(0) y de la variable genérica (•).
Volviendo a las ecuaciones de la aproximación cuasigeostrófica (125)-(128), el
hecho de estar mezcladas variables de O(1) y O(�) implica que existen restricciones
al movimiento en una y otra aproximación. Esto se puede poner de manifiesto, como se verá mas adelante, al eliminar todas las variables en O(�) de esas ecuaciones,
con lo que se obtiene una ecuación que condiciona el movimiento en O(1).
Además, conviene remarcar que esas ecuaciones adimensionales son igualmente
válidas para la atmósfera y para el océano (con tal de saber obtener todas las
variables equivalentes con el orden de aproximación necesario) ya que los números
52
! (0) = cte
p (0) = cte
! (0) = cte
p (0) = cte
Figura 18: Representación de dos familias de funciones p(0) (en azul) y θ(0) (en
rojo) para dos casos diferentes. A la izquierda el cambio de una de ellas a lo largo
de una curva de la otra constante en grande. A la derecha, el cambio es pequeño.
adimensionales que aparecen son del mismo orden para los dos fluidos de la Tierra.
En particular se cumple para latitudes medias para los dos que O(β) = O(S) = 1.
Muchas veces se dice que la escala sinóptica queda determinada en realidad
por O(�) < 1 y O(S) = 1, condiciones que cumplen los dos fluidos geofísicos.
Ecuaciones cuasigeostróficas de diagnóstico: ecua�
ción de la tendencia y ecuación omega. Vector Q
Se puede obtener una ecuación para la vorticidad a partir de (125) aplicando
el operador �k · [∇ × (•)]. Del primer miembro se deduce
�
�
∇ × [Dt�v ](0) = ∇ × ∂t�v (0) + �v (0) · ∇�v (0) =


= ∂t ∇
× �v (0)  + ∇ × (�v (0) · ∇�v (0) )
� �� �
A
�
��
�
B
(131)
La expresión señalada con A en (131) es la vorticidad geostrófica relativa (adimensional), cuyo valor, a partir de la velocidad geostrófica (116), es
�
�
ζ�(0) = ∇ × �v (0) = ∇ × �k × ∇p(0) = �k ∇2 p(0)
53
(132)
cuya componente vertical es
ζ (0) = �k · ζ�(0) = ∇2 p(0)
(133)
con lo cual, conocida la distribución de la presión se puede calcular su laplaciana
y queda entonces determinada la vorticidad geostrófica relativa.
Como se sabe, numéricamente, a partir del método de diferencias finitas, la
laplaciana de una función tiene una interpretación sencilla2 , que se puede aplicar
a (133). Así, en las proximidades del centro de una baja, la laplaciana de p(0) es
positiva y, por lo tanto, la vorticidad ζ (0) también, lo que concuerda con el resultado de realizar el cálculo directo del rotacional de la velocidad en aproximación
geostrófica y con el de la circulación. De forma semejante se puede proceder para
el caso de un alta.
Para deducir el término indicado con B en (131) se debe tener en cuenta
�v
y entonces
(0)
�
�
�
�
1
× ζ�(0) = �v (0) × ∇ × v (0) = ∇ �v (0) · �v (0) − �v (0) · ∇�v (0)
2
�
�
�
�
∇ × �v (0) · ∇�v (0) = ∇ × ζ�(0) × �v (0) =
= ζ�(0) ∇
v (0)� + v (0) · ∇ζ�(0) − �v (0) ∇ · ζ�(0) − ζ�(0) · ∇ �v (0)
� ·���
� �� �
nulo, (116)
nulo
con lo cual (131) queda para la componente vertical
�
�k · ∇ × [Dt�v ](0)
�
� �� �
nulo, (132)
(0)
= dt ζ (0) = [dt ζ](0) = [Dt ζ](0)
(134)
Aplicando ahora el operador �k · [∇ × (•)] a los términos del segundo miembro
de (125) resulta
�
�
�
�
�k · ∇ × −∇p(1)
�
�
��
�k · ∇ × −�k × �v (1)
=0
��
�k · ∇ × −βy�k × �v (0)
(135)
= −∇ · �v (1)
��
(136)
(0)
= −β�v (0) · ∇y = −dt (βy)
(137)
Reagrupando (134), (135), (136) y (137) se tiene
2
La laplaciana en un punto es positiva (negativa) si en los alrededores de ese punto la función
toma valores mayores (menores).
54
(0)
dt
�
�
ζ (0) + βy = −∇ · �v (1)
(138)
En el segundo miembro de (138) se puede usar la ecuación de continuidad,
(127), lo que lleva a
(0)
dt
�
�
ζ (0) + βy =
�
1 �
∂z ρs w(1)
ρs
(139)
Tanto (138) como (139) son expresiones de la ecuación cuasigeostrófica de la
vorticidad.
El primer miembro representa la derivada de siguiendo el movimiento geostrófico de la vorticidad geostrófica absoluta que, en realidad y dimensionalmente, sería
(0)
(0)
ζ∗ + f0 + β∗ y∗ ; pero como dt f0 = 0 , solo tiene derivada no nula, adimensionalmente, ζ (0) + βy.
Los segundos miembros de ambas ecuaciones representan, respectivamente, la
convergencia de líneas de torbellino y el alargamiento. No aparecen, sin embargo,
términos de verticalización ni baroclinos.
Teniendo en cuenta (133), (139) se puede escribir
�
�
∇2 ∂t p(0) + �v (0) · ∇ ∇2 p(0) + βy −
�
1 �
∂z ρs w(1) = 0
ρs
(140)
El término ∂t p(0) representa, en O(1), y adimensionalmente, la tendencia de
presión, que se designará χ(0) . Vamos a ver que en la ecuación cuasigeostrófica de
la energía (128), también aparece dicha tendencia χ(0) .
En primer lugar, el término de la izquierda se puede escribir
(0)
[Dt θ](0) = dt θ(0) = ∂t θ(0) + �v (0) · ∇θ(0)
que, con la ecuación hidrostática en la forma (123), permiten expresar (128) en la
forma
∂z ∂t p(0) + �v (0) · ∇∂z p(0) + Sw(1) = H
(141)
Si (140) y (141) se escriben para la tendencia χ(0) , desaparece explícitamente
la dependencia temporal y queda
55





�
1 �
∂z ρs w(1) = 0
ρs
∂z χ(0) + �v (0) · ∇∂z p(0) + Sw(1) − H = 0
∇2 χ(0) + �v (0) · ∇(∇2 p(0) + βy) −
(142)
Se observa en el sistema (142)
1. Conocido p(0) , los términos advectivos se pueden determinar
2. La velocidad vertical w(1) se puede eliminar entre las dos ecuaciones
Si se supone además
a) Movimiento adiabático, H = 0
b) Variabilidad espacial de ρs y S con poca influencia en (142)
1
se puede eliminar w(1) aplicando a la segunda de (142) el operador ∂z y sumando
S
a la primera, lo que conduce a
�
�
�
�
�
1 2
1 �
∇ + ∂zz
χ(0) = −�v (0) · ∇ ∇2 p(0) + βy + ∂z −�v (0) · ∇∂z p(0)
S
�
��
� �S
��
�
2
A
(143)
B
La expresión (143) se denomina ecuación de la tendencia y se trata de
una ecuación de diagnóstico para esa variable. Conocido en un cierto instante
la distribución de presión p(0) , se determina el segundo miembro y, entonces, in1 2
virtiendo el operador elíptico ∇2 + ∂zz
por un método de relajación, dadas unas
S
condiciones de contorno para χ(0) , se puede determinar su distribución en todo el
espacio.
Los términos A y B de (143) tienen un claro significado físico:
A es la advección por el viento geostrófico de la vorticidad (geostrófica relativa
más planetaria).
B es algo más complicado. Se le denomina término de advección diferencial. El paréntesis representa la advección geostrófica de “temperatura hidrostática”, en el sentido discutido a partir de (123). Por tanto, B da cuenta de la
variación vertical de dicha advección.
Con las mismas hipótesis que para llegar a (143) se puede eliminar χ(0) en el
sistema (142). Tomando ∂z de la primera, ∇2 de la segunda y restando queda
56
�




�
1 2
∇ + ∂zz
w(1) =
S

2


�
�
��
�
�
1
=−
∂z −�v (0) · ∇ ∇2 p(0) + βy − ∇2 −�v (0) · ∇∂z p(0)
S


��
� �
��
�
�

A
B
(144)
expresión que se denomina ecuación omega. La razón hay que buscarla en la
meteorología. Es corriente utilizar la presión como coordenada vertical generalizada
y usar la terna (x, y, p). La velocidad vertical generalizada ṗ se designa ω = ṗ. De
ahí el nombre, pues originalmente (144) se dedujo para ω y no para w.
La ecuación (144) tiene ciertas semejanzas con la (143). Estas son:
a) Es una ecuación de diagnóstico para w(1)
b) Conocida la presión, p(0) , se puede calcular el segundo miembro
c) El operador del primer miembro es el mismo. En consecuencia, como allí,
por inversión se puede determinar w(1) en todo el espacio
d) El término A es una advección diferencial de vorticidad absoluta (geostrófica).
El término B es nuevo. Se denomina de focalización de la advección de temperatura. Es diferente de cero cuando existe heterogeneidad horizontal en la advección
de temperatura hidrostática.
La ecuación omega, (144), es una de las más estudiadas en meteorología y, por
semejanza, también en oceanografía. Permite determinar velocidades verticales a
partir únicamente del campo de presión. Sin embargo, los términos A y B suelen
estar bastante compensados pues acostumbran a ser de signo diferente y de parecido valor. Esto hace que cualquier pequeño error en la determinación individual
de cada uno de los dos términos, pueda afectar de forma importante al valor del
segundo miembro; incluso, cambiar de signo.
En aproximación plano-f , el segundo miembro se puede escribir de forma más
� de Hoskins. La ecuación (144) se transsencilla por medio del llamado vector Q,
forma en
�
�
1 2
2
� (0)
∇ + ∂zz
w(1) = ∇ · Q
S
S
2
siendo
57
(145)
� (0) = −∇�v (0) · ∇θ(0)
Q
(146)
�
versión adimensional y en O(1) del vector Q.
� (0) es difícil
El proceso para llegar a (145) es largo. Por otra parte, aunque Q
de interpretar, se puede calcular con relativa facilidad. La gran ventaja es que su
divergencia permite determinar el movimiento vertical con mayor seguridad con la
versión de la ecuación omega (145) que a partir de (144).
Pronóstico cuasigeostrófico. Vorticidad potencial
cuasigeostrófica
En el apartado anterior se ha visto como a partir de las ecuaciones cuasigeostróficas se pueden diagnosticar los campos de tendencia de presión χ(0) y de velocidad
vertical w(1) .
Ambos se determinan “simplemente” invirtiendo un operador, conocidas condiciones de contorno y forzamientos (segundos miembros), dependientes solo de
p(0) .
Como es χ(0) = ∂t p(0) , además, conocidas condiciones iniciales para p(0) , integrando en el tiempo se puede determinar el campo futuro de p(0) , con lo que
diagnosticando χ(0) y w(1) a partir de la presión futura, nuevamente se tienen pronósticos de estas variables. En principio el proceso se puede repetir sucesivamente
y determinar campos futuros de las variables implicadas.
Para ver formalmente que esto es así, se puede volver a las ecuaciones cuasigeostrófica de la vorticidad (139)y de la energía (128). Se trata ahora de eliminar
w(1) de esas dos ecuaciones sin introducir tantas simplificaciones como las consideradas para deducir la ecuación de la tendencia (143). Basta despejar w(1) de (128)
y substituir en la ecuación (139).
Se tiene entonces para el segundo miembro de (139)
�
�
�
�
1 �
1
ρs �
(0)
∂z ρs w(1) = ∂z
H − dt θ(0) =
ρs
ρs
S
�
�
��
�
�
(0)
1
ρs H
1
(0) ρs θ
= ∂z
− ∂z dt
ρs
S
ρs
S
(0)
(147)
Los operadores ∂z y dt del término final se pueden invertir haciendo uso de
(113) y (124). Operando en (147) y sustituyendo en (139), resulta
58
(0)
dt
�
ζ
(0)
+ βy
�
�
1
ρs H
=
∂z
ρs
S
�
�
1 (0)
ρs θ(0)
− dt ∂z
ρs
S
�
−
que, tras reagrupar términos, se transforma en
(0)
dt
�
�
1
ρs θ(0)
ζ (0) + βy + ∂z
ρs
S
��
�
�
1 ��
k × ∇θ(0) · ∇θ(0)
S�
��
�
1
ρs H
= ∂z
ρs
S
nulo
�
(148)
La expresión (148) es la ecuación cuasigeostrófica de la vorticidad
potencial, variable que, en O(1) y adimensional, resulta ser
(0)
Π
=ζ
(0)
�
1
ρs θ(0)
+ βy + ∂z
ρs
S
�
(149)
De (148) se deduce que la vorticidad potencial (149) se conserva en ausencia
de calentamiento, o sea
(0)
dt
�
ζ
(0)
�
1
ρs θ(0)
+ βy + ∂z
ρs
S
��
=0
(150)
En esta ecuación, (150), está expresada la restricción al movimiento en O(1)
que impone la aproximación cuasigeostrófica. Además, con (116), (123) y (133), y
haciendo para simplificar
ψ = p(0)
se puede escribir explícitamente (150) en la forma
[∂t + (∂x ψ)∂y − (∂y ψ)∂x ]
�
2
∂xx
ψ
+
2
∂yy
ψ
�
1
ρs
+ βy + ∂z
∂z ψ
ρs
S
��
=0
(151)
A partir de (151), conocidas para la variable ψ condiciones de contorno y
condiciones iniciales, se puede determinar en todo el espacio y para todo instante
futuro el valor de ψ. En general, (151) sólo se puede resolver numéricamente ya
que se trata de una ecuación diferencial en derivadas parciales, no lineal y de orden
superior.
Una vez determinada ψ = p(0) por integración de (151), se deducen todos los
demás campos de variables a partir de las ecuaciones en O(1) dadas por (116),
(117) y (123).
59