Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Práctica 2. Solución analógica del problema del potencial
2.1. Objeto de la práctica
El objeto de la práctica es analizar, para distintas configuraciones geométricas, la distribución de potencial
en el espacio entre dos conductores inmersos en un medio óhmico y sometidos a una diferencia de potencial.
Figura 2.1: Dispositivo experimental.
2.2. Fundamento teórico
El potencial electrostático producido como consecuencia de la existencia de conductores cargados en el
vacı́o verifica la ecuación de Poisson:
ρ(~r)
∇2 φ(~r) = −
(2.1)
ε0
siendo :
∇2 V (~r) = laplaciano del potencial en un punto dado por ~r.
ρ(~r) = densidad de carga eléctrica (volumétrica).
ε0 = constante dieléctrica para el vacı́o.
y para aquellos puntos en los que no exista carga tenemos la ecuación de Laplace
∇2 φ(~r) = 0
(2.2)
2-2
Por otra parte se cumple que para corrientes estacionarias (que no dependen del tiempo) y medios óhmicos
~ r) = σ E(~
~ r) = −σ∇φ(~r)
J(~
(2.3)
siendo:
~ r) = densidad de corriente eléctrica en un cierto punto.
J(~
σ = conductividad del medio.
~ r) = campo eléctrico en un cierto punto.
E(~
φ(~r) = potencial en un cierto punto.
y como a su vez
~ r) = 0
∇ · J(~
(2.4)
∇ · (σ∇φ(~r)) = 0
(2.5)
se tiene, sustituyendo
es decir que si consideramos σ homogéneo (en muchos casos es ası́), se llega a
∇2 φ(~r) = 0
(2.6)
Esto quiere decir que la distribución de potenciales utilizando corrientes estacionarias (corriente continua)
responde a la misma ecuación que la distribución de potenciales electrostáticos en aquellos puntos en los que
no hay carga. También las condiciones de contorno en los conductores, potencial fijado en su superficie, son
las mismas si la conductividad del medio es mucho menor que la de los cuerpos en los que se establecen los
valores del potencial (usualmente metales).
La única diferencia entre el problema de conductores en el vacı́o y el modelado mediante un sistema de
corrientes se encuentra en la frontera exterior del sistema. En un sistema real, la condición que se impone
usualmente es que el potencial decaiga a cero en el infinito. En un sistema de corrientes, la condición es que
la densidad de corriente no puede fluir hacia el exterior (ya que al llegar al borde, las cargas no pueden seguir
adelante). Matemáticamente, esto equivale a anular la densidad de corriente normal a la frontera o, en términos
del potencial,
∂φ
= n · ∇φ = 0
(2.7)
∂n
Con esta salvedad, podremos por tanto estudiar por analogı́a distribuciones de potenciales electrostáticos,
utilizando corrientes continuas.
Si la configuración de conductores presenta simetrı́a traslacional respecto de una dirección en el espacio,
que elegiremos como eje OZ, el problema no dependerá de la coordenada z, y podremos hacerlo corresponder
con un problema bidimensional (en el plano perpendicular a OZ ). De esta forma es posible establecer la analogı́a entre una configuración plana en un medio conductor, que es el dispositivo experimental que usaremos,
con un problema de potencial tridimensional en el vacı́o.
2.2.1.
Dispositivo experimental
Para realizar este modelado del sistema emplearemos el llamado papel Teledeltos, que posee una baja
conductividad. Sobre este papel se traza diversas figuras con una pintura altamente conductora. Estas figuras
pueden ser conectadas a fuentes de potencial que fijan su voltaje. La alta conductividad de la pintura hace que las
figuras puedan considerarse equipotenciales, mientras que el papel representa el espacio entre los conductores,
ya que, según se ha visto, en él se verifica la ecuación de Laplace en dos dimensiones.
2.2 Fundamento teórico
2-3
Figura 2.2: Esquema de los efectos de borde.
2.2.2.
Condensador de placas planas y paralelas
El sistema más sencillo que vamos a ver es el correspondiente a dos conductores planos situados paralelamente a una distancia a. Para ello, trazamos dos lı́neas sobre el papel semiconductor. Estas lı́neas representan,
según hemos dicho, placas que se extienden indefinidamente en la dirección perpendicular al papel.
El problema del potencial entre dos placas puede resolverse exactamente si se desprecian los llamados
efectos de borde. Estos efectos corresponden a la curvatura del campo en los extremos del sistema. Despreciar
estos efectos equivale a admitir que las lı́neas de campo van siempre en la dirección perpendicular a las placas.
En este caso, si suponemos una placa en y = −a/2 a potencial V0 y otra en y = a/2 a tierra, el potencial
entre ellas es aproximadamente
V0 a
V =
−y .
(2.8)
a 2
En particular, en x = 0 (el plano central) resulta V = V0 /2. Por su parte, el campo eléctrico vale, en todos los
puntos entre las placas.
~ = V0 ~ux .
(2.9)
E
a
Esta situación ideal no es la que se tiene en la práctica, ya que los electrodos tienen una extensión finita. Sin
embargo, a lo largo de la lı́nea x = 0, el valor del campo es, con muy buena aproximación, el valor uniforme
dado en (2.9). En el las lı́neas x = ±L/2 (siendo L la longitud de los electrodos) los efectos de borde no
pueden despreciarse y el campo ya no es uniforme.
2.2.3.
Configuración de cilindros conductores coaxiales
En esta parte se va a hallar la dependencia del potencial con la posición para dos cilindros coaxiales de
radios c y d (c < d), cuando el interior se encuentra a potencial V0 y el exterior a tierra.
La solución de la ecuación de Laplace para este problema, admitiendo que el potencial sólo depende de la
distancia r al eje común es
V0 ln(r/d)
φ(r) = −
ln(d/c)
Cuando medimos r, c y d en las mismas unidades, este potencial puede escribirse como
φ(r) =
V0
V0 ln(d)
−
ln(r) = a + b ln(r)
ln(d/c)
ln(d/c)
Esta última expresión permite ajustar una recta de φ frente a ln(r) por el método de mı́nimos cuadrados.
(2.10)
2-4
Generador
Potenciómetro
Papel grafitado conductor
Sonda
Galvanómetro
Voltímetro
A
G
V
Figura 2.3: Esquema de montaje y del circuito
2.3. Descripción de los aparatos
Para la realización de la práctica son necesarios los siguientes elementos:
Fuente de tensión continua regulable.
Papel grafitado óhmico (Teledeltos ).
Voltı́metro.
Galvanómetro (detecta el paso de corriente, pero no mide su intensidad).
Potenciómetro (resistencia con un tercer contacto intermedio móvil).
Sonda y cables de conexión.
Para medir el potencial al cual está un punto cualquiera del papel grafitado cuando se conectan las lı́neas de
pintura a los bornes de un generador, realizamos el montaje de la figura. Disponemos el potenciómetro también
2.4 Realización de la práctica
2-5
entre los bornes del generador. El contacto móvil del potenciómetro permite elegir el potencial al cual está el
punto A, y se puede leer en el voltı́metro que hemos dispuesto. Al tocar con la sonda en el punto del papel donde
queremos medir el potencial pasará en general corriente a través de ella, que será detectada por el galvanómetro
dispuesto en serie. Sólo cuando el punto A y el punto del papel tengan el mismo potencial dejará de pasar
corriente, y ello se consigue manipulando el contacto móvil del potenciómetro. Una vez conseguido que la
aguja del galvanómetro no se desvı́e, el potencial del punto será la lectura del voltı́metro.
Aunque este montaje es más complicado que un simple voltı́metro (de alta resistencia interna) más la sonda,
resulta más exacto porque no hay corriente de fuga a través de la sonda que pueda distorsionar el régimen de
corrientes.
Figura 2.4: Sistema de referencia en el condensador con efectos de borde
2.4. Realización de la práctica
2.4.1.
Condensador de placas planas y paralelas
1. Conecta el sistema de dos lı́neas con efectos de borde. Observa que en el papel hay una cuadricula pintada.
El espaciado entre las lı́neas es hx = hy = 1 cm. A la hora de hacer los cálculos, puedes considerar que
el error en la medida de este espaciado es el de una regla, es decir hx = hy = 1.00 ± 0.05 cm.
2. Establece la diferencia de potencial entre las lı́neas en V0 = 10 V. Para medir este voltaje, coloca el
contacto móvil del potenciómetro en el extremo que abarca toda la resistencia y anota la lectura del
voltı́metro.
3. Mide el potencial en puntos equiespaciados 1 cm sobre la recta vertical que une los centros de las dos
lı́neas conductoras (x = 0). Para ello, usa la cuadrı́cula y coloca la sonda en cada punto SIN PRESIONAR DEMASIADO SOBRE EL PAPEL. Desliza el potenciómetro hasta conseguir que la aguja
del galvanómetro no se desvı́e de cero y anota la lectura del voltı́metro. Tienes que incluir también los
dos puntos situados sobre los conductores.
4. Representa en una gráfica el potencial frente a la coordenada y. ¿Es lineal el comportamiento?. A partir
de la pendiente de la recta de mejor ajuste calcula el valor de la componente vertical del campo eléctrico.
2-6
´´ ´ ´ ´ ´´
Figura 2.5: Esquema de las dos circunferencias y los puntos de medida
5. Haz las mismas medidas para una lı́nea vertical que una los bordes de las lı́neas conductoras (x = L/2).
6. Representa sobre la misma gráfica que antes, en otro color, los puntos correspondientes a la lı́nea que une
los bordes. ¿Es lineal el comportamiento? ¿Por qué?. Une mediante segmentos rectos los puntos consecutivos de esta representación. ¿Que información podemos obtener de las pendientes de estos segmentos?
7. Gráficas
Recta de mejor ajuste Φ = a + b y con los puntos de la lı́nea central.
En la misma gráfica que la anterior, y con otro color, los valores correspondientes a la lı́nea que une
los bordes de los conductores, trazando segmentos rectilı́neos entre los puntos.
2.4.2.
Condensador coaxial
1. Usa la hoja en la que se encuentran dos circunferencias concéntricas, siendo la interior de radio 2 cm
aproximadamente.
2. Mide el diámetro exterior de la circunferencia pequeña y el interior de la grande. A partir de estas medidas
halla los radios respectivos, c y d.
3. Conecta la circunferencia exterior a tierra y la interior a una tensión V0 = 10 V.
4. Mide la tensión en la circunferencia interior.
5. Mide la tensión en una serie de puntos espaciados 1 cm a lo largo de un radio, de acuerdo con la cuadrı́cula
trazada sobre el papel.
6. Ajusta una recta de mı́nimos cuadrados para Φ como función de ln(r). Calcula, a partir de la ecuación
(2.10), los valores teóricos de a y b y compara el resultado con el del ajuste.
7. Gráficas
2.4 Realización de la práctica
2-7
Representa gráficamente la curva φ = φ(r) para los puntos medidos (incluyendo los propios conductores).
Recta de regresión φ frente a ln(r).
2.4.3.
Estimación del campo eléctrico en el punto central de la lı́nea x = L/2
La derivada de una función mide la rapidez con que la función varı́a en función de la variable independiente.
La definición matemática es
f ′ (y) = lı́m
∆y→0
f (y + ∆y) − f (y)
∆f
= lı́m
∆y→0 ∆y
∆y
En nuestro caso, el campo eléctrico es el gradiente del potencial. En concreto, la componente vertical del campo
eléctrico es la derivada parcial respecto a y del potencial
Ey (x, y) = −
∂Φ
Φ(x, y + ∆y) − Φ(x, y)
∆Φ
= − lı́m
= − lı́m
∆y→0
∆y→0 ∆y
∂y
∆y
A partir de los datos experimentales no podemos determinar la función Φ(x, y), ya que sólo hemos medido el
potencial en puntos discretos. Por tanto no podemos calcular exactamente su derivada. Pero si podemos estimar
su valor a partir de las medidas realizadas.
La figura muestra un ejemplo de gráfica experimental que
representa los valores medidos de una función f (y) para tres
valores de y. Para estimar la derivada calculamos el cociente de
los incrementos de la función y de la variable independiente, esto
es
∆f
f ′ (y) ≃
∆y
En este caso podemos calcular dos cocientes, entre el punto P y el
P+ por un lado, y entre el punto P− y el P por el otro
f+′ =
fP+ − fP
∆y
f−′ =
fP − fP−
∆y
Ahora podemos estimar la derivada en el punto P como el
promedio de estos dos valores
fP′ =
fP − fP−
1
1 ′
f+ + f−′ =
fP+ − fP + fP − fP− = +
2
2∆y
2∆y
Aplicando esto a la estimación de la componente vertical del campo eléctrico en el punto central de la lı́nea
que une los bordes de las lı́neas conductoras, el punto P es el punto central, el punto P+ el inmediatamente
superior y el punto P− el inmediatamente inferior. El valor aproximado de Ey es
Ey ≃ −
ΦP+ − ΦP−
2hy
2-8