Optica geométrica vs. Física en medios anisotrópicos

Revista Mexicana de Física 43, No. 6 (1997) 1027-1043
,
Optica geométrica vs. Física en medios
anisotrópicos
A.L. RIVERA; SERGEY M. CHUMAKOV y K.B. WOLF
Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas
Unive,.sidad Nacional A utónoma de México
Apar.tado postal 48-3, 62251 Guemavaca, Mor., Mexico
Recibido el 25 de febrero de 1997; aceptado el 17 de abril de 1997
RESUMEN. Estudiamos los rayos de la óptica geométrica en medios anisotrópicos que requieren
que el Índice de refracción dependa de la dirección del rayo. Usamos el formalismo hamiltoniano
con la longitud de arco por parámetro de evolución. Comparamos los resultados con los obtenidos
de las ecuaciones de l\.laxwellen el límite de longitudes de onda pequeñas.
1
RESU1tEN. \Ve study the rays of geometrical optics in allisotropic which allow the refractive index
to depend OIlthe ray directioll. \Ve use the hamiltonian formalism with arc-Iength for evolution
parameter. \Ve compare the results with those obtailled from the rvlaxwellequatioIls in the smal1
wavelength limit.
PACS: 42.15.Gs; 4l.20.Bt
l.
INTRODUCCIÓN
En este artículo cOIuparamos las formula.ciones geométricas de la óptica de Inedias anisotrópicos con la que deriva ele las ecuaciones de Maxwell en el límite ele longitudes de onda
pequeíias. Las formulaciones geométricas son la lagrangiana. basada en el principio var¡acional de Fennat y la hamiltoniana que conduce a ecuaciones diferenciales; la priInera
es global, es decir, propone un criterio para elegir entre toelas las posibles trayectorias
que seguiría un rayo entre dos puntos separados; la segunda es local, pues parte desde el
inicio leyes de movimiento entre puntos infinitcsimahnente cercanos. La óptica maxwelIiana, en contraste, se basa en las leyes físicas del electromagnetismo, particularizadas
para canlpos oscilatorios que se mueven en un medio material.
La óptica geométrica como límite de la ondulatoria ha sido ampliamente estudiada [1,2] en el caso de medios inhomogéncos pero isc)trópicos. Para los medios anisotrópicos, donde el índice de refracción depende no sólo de las coordenadas de posición,
sino de la dirección del rayo, no encontramos un tratamiento adecuado en la literatura.
Mejor dich0 los tratamientos geométricos privilegian el principio de Fenuat el cual tiene
un sentido matemático muy claro y fructífero, pero cnyos resultados requieren ser comparados críticaIueute con la.s predicciollc~ del tratamiento llla.xwelliano. Este últüuo, recordeIllos, reconoce la interacción entre los campos eléctrico y magnético de la luz con las
1
1
1
•Elcctronic mail: rivera@c(..ifisicalll.Ullam.mx
1
1028
A.L.
RIVERA
ET AL.
propiedades dieléctricas de la materia en la cual se mueven. La formulación matemática,
en cambio, no hace referencia a los campos eléctrico y magnético que constituyen la luz.
Simplemente generalizan resultados correctos a un ámbito más amplio.
El tratamiento matemático se resume en la Seco2, escogiendo por parámetro de evolución la longitud de arco medida sobre el rayo. Torres del Castillo [31 ha estudiado
también la formulación lagrangiana y hamiltoniana de sistemas ópticos anisotrópicos utilizando como parámetro de evolución el tiempo. En la Ref. 4 nosotros escogimos un eje
óptico en el espacio (el eje z) como parámetro de evolución; esto validó los resultados que
aquípresentamos solamente sostenidos por argumentos breves. La longitud de arco nos
parece más conveniente como parámetro de evolución porque lleva a fórmulas covariantes
y sencillas; con él se introduce de manera natural un vector de anisotropía [4,5], que en algunos aspectos adquiere el papel del potencial vectorial del campo electromagnético. Sin
embargo, la longitud de arco tiene la desventaja de que cn el límite de medios isotrópicos,
la formulación lagrangiana se vuelve singular. Su formulación hamiltoniana, en cambio,
sigue siendo perfectamente clara y atractiva su interpretación. La teoría matemática
de la luz en medios anisotrópicos ha merecido tratamientos más abstractos basados en
geometría simpléctica desarrollados por Cariñena y Nasarre [6]. Hemos encontrado que
solamente Kravtsov y Orlov [7) presentan un tratamiento completo de los medios anisotrópicos, demostrando resultados geométricos corno caso límitc de la teoría ondulatoria.
Por ello consideramos de interés comparar las predicciones puramente geométricas con
las que provienen de la óptica maxwelliana.
En la Seco3, en el marco de lo permitido para el Índice de refracción, clasificamos los
medios ópticos por su multipolaridad, es decir, por la dependencia angular de su anisotropía. así evidenciarnos que la óptica geométrica, como otras estructuras matemáticas,
nos da más libertad que la física. Por otro lado, la física nos presenta fenómenos que
la matemática no puede prever a partir de los axiomas elegidos: así corno ante discontinuidades del medio se generan en general dos rayos (el rcfractado y el reflejado), en
medios anisotrópicos se mueven también dos rayos: el ordinario y el extraordinario. Esta
predicción no deriva de los axiomas del modelo geométrico.
La Seco4 resume el tratamiento geométrico maxwelliano que predice la existencia
e índices de refracción efectivos para estos dos rayos; en cristales uniaxiales, el rayo
ordinario 'no siente' la anisotropÍa del medio; el rayo extraordinario es su complemento
inseparable. Finalmente, la Seco5 ofrece algunas conclusiones sobre la semejanza y las
diferencias entre las dos teorías.
2. ÓPTICA
2.1.
PRINCIPIO
GEOMÉTRICA
EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS
DE FERMAT
El principio de Fermat propone que la trayectoria de un
y P2 cs tal que su tiempo de propagación es estacionario.
se nlcnciona éste como un principio de mínima acción,
el tiempo es máximo: véase por cjemplo Luneburg [8J.
ecuación variacional [9]:
rayo de luz entre dos puntos PI
En la literatura frecuentemente
pero si considerarnos reflexión,
Este principio se exprcsa cn la
ÓPTICA
vs.
GEOMÉTRICA
ó
l
P'
FÍSICA
EN MEDIOS
ANISOTRÓPICOS
1029
(1)
dt = O.
PI
Sea s E R la longitud medida a lo largo de la trayectoria indicada por el vector tridimensional r(s), sea ds su elemento de longitud, y r = dr(s)/ds SIl vector tangente de norma
unidad: Irl = 1. El Índice de refracción n(r, r) es la razón de la velocidad clásica c de un
"grano de luz" en el vacío newtoniano, a su velocidad en el medio ds/dt, en el punto r y
con la dirección r. Por definición, entonces, la dependencia de n(r, r) en r es solamente
en la dirección del vector velocidad r sobre la esfera, y no de la norma del vector de
velocidad. Cuando n ds = cdt se reemplaza en la Ec. (1), ésta toma la forma [4]
Ó
l
P'
dsn(r,r)
= O.
(2)
PI
2.2.
PROBLEMA
CON
LA FORMULACIÓN
LAGRANGIANA
Como vemos en la Ec. (2), la función lagrangiana
a lo largo del rayo es el índice de refracción:
.c
= n(r,r)
de la óptica respecto del parámetro s
.
Esto debemos compararlo con el lagrangiano común de la mecánica clásica, cuya forma
es energía cinética menos energía potencial: r2/2m - V(r). Las ecuaciones de EulerLagrange [10, 11] que satisface el integrando son
(3)
De acuerdo con esta formulación, el momento del sistema, que indicaremos adelante
por p, está dado por el vector de anisotropía del medio,
o.c
A = Dr .
Como r . oL/or = Irl a.c/Dlrl
dirección del rayo:
=
(4)
O, el vector de anistropía es ortogonal al vector de
r.
A = O.
(5)
Cuando el medio es isotrópico, A = Oy el miembro derecho de la ecuaciones de EulerLagrange es cero; el formalismo lagrangiano deja de ser válido, pues un lagrangiano
independiente de la velocidad (o de la energía cinética en mecánica) puede extraerse
del integrando en (2), y entonces esta formulación pierde su capacidad de distinguir la
trayectoria estacionaria de entre todas las posibles.
1030
A.L.
RIVERA ET AL.
,,
,
,
,
,
,
,,
,
,
ni'
,
,
,
,
,
,,,
,
,
p
,
,
,
,
,
FIGURA 1. En un medio anisotrópico, mientras el vector ¡. genera la esfera unitaria, ni' dibuja
la superficie del rayo (línea punteada) y el vector de momento p recorre el ovoide de Descartes
(línea continua).
2.3.
FORMULACIÓN HAMILTONIANA
Dado que el límite isotrópico de la formulación lagrangiana es singular, evitaremos el uso
de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3), pasando a la formulación hamiltoniana mediante
la transformación de Legendre. Esto nos sugiere construir la función hamiltoniana del
sistema como función de las coordenadas y los momentos. Esperamos que la función
hamiltoniana siga teniendo la forma de la transformación de Legendre
1-l=p.r-C,
(6)
y sabemos que será constante bajo evolnción del parámetro s, longitnd de arco. En esta
ecuación vale C = n y la propiedad (5); para satisfacerla, postulamos el vector momento
del sistema
l' = nr+A.
(7)
Porque l' . r = n, su reemplazo en (6) da una función hamiltoniana 1-l = n-n
idénticamente cero para toda trayectoria.
La restricción de las trayectorias a la superficie 1-l = O se hace patente notando que
la Ec. (7), leída nr = l' - A, tiene norma
11'- Al
= n(r,r).
(8)
Es decir, la conservación del hanültoniano restringe al vector Ill00uento p a moverse sobre
lo que llamaremos el ovoide de Descarte.' ilustrado en la Fig. 1. En el caso isotrópico,
A = O y la Ec. (8) se reduce a 11'1 = n(r). Esta construcción generaliza el concepto de
esfera de Descartes de los medios isotrópicos a los anisotrópicos.
ÓPTICA
GEO:-'lÉTRICA
vs.
FÍSICA
EN ~lEDIOS
ANISOTRÓPICOS
1031
Hacemos notar aquí que la Ec. (8) es, de hecho, la ecuación de Hamilton-Jacobi de
la óptica geométrica anisotrópica. Recordemos que l' = \1S es el gradiente de la función
eikoflal. La formulación de la mecánica mediante la ecnación de Hamilton y Jacobi es la
tercera fonuulacióll, además de la lagrangiana y halniltoniana, que puede ser extendida
a la óptica geométrica.
2.4.
OVOIDES
lJE DESCARTES
Recordemos que la teoría de la refracción desarrollada por Descartes [121 explica el quiebre
de las trayectorias de la luz al cruzar la interfase entre mcdios de índices de refracción
diferentes con la condición de conservación de la componente del vector momento que
es tangente a la. interfase en el punto de contacto, COlnosi el grano de luz estuviese
acompañado por una esfera cuyo radio cambia con el índice de refracción local, y cuyo
vector tangente debe acomodarse de talluanera que su componente normal a la superficie
(en general ortogonal al gradiente local del índice) se mantuviesc constante [13].
En medios ópticos inhomogéneos y anisotrópicos cuyo índicc dc refracción es n(r, r)
sc puede repetir la interpretación de Descartes. Sólo se requicrc de una definición más
cuidadosa de las cantidades que a continuación restlluimos:
• El rayo tiene un vector tangente r de norma unidad quc dctcrmina la trayectoria
r(s), por intcgración de la primera igualdad en
(9)
• El rayo ticne un vector de momento óptico l' dado por (7), y éste responde a la
inhomogcneidad dcl mcdio obedeciendo la primcra igualdad cn
dI'
a}{
-=\ln= --o
ds
dr
( lO)
El medio prcsenta, pues, un campo vectorial que describe su inhomogeneidad, \In =
y otro que dcscribe su anisotropía, A =
cumpliendo r. A = O. En el
ovoide de Descartes, el vector mOlllcllto se acomoda de tal manera que su cOlllponente
tangencial a la., superficies n = constante se conserva: dI' x \In = O.
En efecto, las afirmaciones anteriores pueden postular", como axiomas y las segundas
igualdades de las dos cxpresiones anteriores provccn la., dos ecuaciones de Hamilton de
la óptica allisotrópica, con la función hamiltoniana
anlar,
anlar
}{ =
11' - Al -
71 ,
(11)
cuyo valor sobre las traycctorias ópticas es nulo [5].
Como mostramos cn la Fig. 2, cuando los rayos cruzan la interfase plana entre dos
medios anisotrópicos diferentes, con índices de refracción n(r) y n'(r) diferentes, trazamos
las curva., dondc se mucven n(r)r y n'(r')r' c indicamos SIlS tangentcs A(r) y A'(r'). Estas
últimas llevan a. los ovoides de Descartes de los momentos en los dos lllCdios. Podenlos
dibujar/computar su refracción de la siguiente manera:
1032
A.L.
RIVERA
ET
AL.
/
,
/
,
,,
,.
. ',
,
,
.,
nr, ,
,
n
1,'"
n' .
,
I
,
I
'.',,.
.
,
,,
,
,,
FIGURA 2. Diagrama de Descartes para la construcción de los ángulos de refracción en la interfase
entre dos medios anisotrópicos cuadrupolares con Índices de refracción n y n'. Los semicírculos
corresponden al vector ¡., mientras que la línea continua da el ovoide de Descartes en el cual
descansa el vector momento P, la línea punteada es la superficie de rayo dibujada por ni-. La
línea continua quebrada es la trayectoria del rayo refractado cuya construcción se describe en el
texto.
• Dada la dirección del rayo entrante r, ubicamos el rayo en la curva nr correspondiente y seguimos la tangente A hasta encontrar el vector momento p correspondiente .
• Proyectamos el momento p sobre el plano tangente a la interfase para encontrar p;
éste es el momento conservado .
• Dibujamos el momento p' del rayo saliente sobre el segundo ovoide de Descartes,
de tal manera que su proyección sobre el plano tangente a la interfase sea igual a p.
• En el segundo ovoide de Descartes seguimos el vector A' hasta el punto correspondiente en la curva de nr'; ésta última tiene la dirección r' del rayo saliente.
3. ANISOTROPÍA GEOMÉTRICA
Aquií clasificaremos sistemáticamente las dependencias angulares del índice de refracción
que permite el modelo geométrico: medios ópticos dipolares, cuadrupolares y, genéricamente, multipolares. En adelante soslayaremos la inhomogeneidad.
ÓPTICA
FIGURA
GEOMÉTRICA
vs.
FÍSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS
3. En un medio anisotrópico dipolar, mientras el vector
r
1033
recorre la esfera unitaria, A
dibuja una superficie tipo cardioide (línea punteada) y el vector de momento p genera una esfera
con centro en D (línea continua).
3.1.
MEDIO
DIPOLAR
Consideremos primero el caso cuando el vector de anisotropía (4) de un medio óptico es
constante, es decir, cuando existe una dirección privilegiada en el medio indicada por un
vector D. El índice de refracción puede entonces depender sólo linealmente del vector de
dirección del rayo:
Llamaremos a n(O) la parte monopolar del medio, a n(l) la parte dipolar, y a D su vector
dipolar.
El vector de anisotropía del medio dipolar que obtenemos de la Ec. (4) es
A(l) =
on I
= (1 - rr.)D
= D - n(l)(rjr = (r x D) x r,
(12)
or Irl=1
donde usamos la notación diádica [(1- vv. )D)j = Dj -vj(v.D).
El vector de anisotropÍa
dipolar A (1) esta en el plano de r y D y es ortogonal a la dirección del rayo r. El vector
de momento óptico en un medio dipolar es:
p = n(O)r
+D.
Entonces, mientras la dirección del rayo r está sobre la esfera de radio unidad centrada
en el origen, el vector momento tiene por ovoide de Descartes una esfera de radio n(O)
con centro en D. Esto está ilustrado en la Fig. 3.
1034
3.2.
MEDIO
A.L.
RIVERA
ET AL.
CUADRUPOLAR
Consideremos ahora el caso cuando el índice de refracción depende cuadráticamente
la dirección del rayo:
de
(13)
x,y,z
T
T
Preparamos la notación v . entre un vector v y una matriz o tensor
para indicar
contracción respecto de su primer Índice. Llamamos a n(2) la parte cuadrupolar y a
su
tensor (matriz) cuadrupolar.
Como la matriz cuadrupolar
en (13) colinda con el mismo vector r a ambos lados,
es suficiente considerarla como simétrica; como Irl = 1, basta que tenga traz~ nula.
Conforme r genera una esfera, n(r) traza un elipsoide porque es una función cuadrática
en r. Hay cinco parámetros: dos razones entre los tres semi-ejes del elipsoide, y tres
que especifican su orientación respecto de las coordenadas x, y, z. Los tres parámetros de
orientación de la figura no son esenciales porque mediante rotaciones de los ejes podemos
referir el elipsoide a sus ejes principales, es decir, llevar su matriz cuadrupolar
a forma
diagonal,
O
O
Q
Q =
Qx
O
(
O
O O)
Qy
O
O
donde
Qx
+ Qy + Qz
= O.
Qz
Calculamos el vector de anisotropÍa cuadrupolar utilizando D(v. Tv)/Dv
restricción a Ivl = 1 es, como en la Ec. (12),
A(2) =
DQ
I
= 2(1- rr. )Or = 2 [O - rPl(r)] r.
=
2Tv. Su
(14)
Dr Irl=1
El vector momento es
l'
= [n(r) +2(1- rr.
)0]
r=
(n(O)
+ 20
-ro Or)r.
(15 )
Cuando r se mueve sobre su esfera de direcciones, l' dibuja el ovoide de Descartes del
medio cuadrupolar, como indicamos en la Fig. 4. Porque la dirección r y la anisotropía
A son ortogonales, el cuadrado de (15) es
El ovoide de Descartes de un medio cuadrupolar
11'1 = y'n(r)2 - A(r)2 '" n(r) - A(rf
/2n(0)
-
...
,
difiere del elipsoide n(r) en un término proporcional al cuadrado y potencias más altas
del vector de anisotropía. Si la anisotropía es débil, A(r) « 11.(0), éstas últimas pueden
ser despreciadas.
ÓPTICA
GEOMÉTRICA
VS.
FíSICA
EN MEDIOS
ANISOTRÓPICOS
1035
FIGURA 4. En un medio anisotrópico cuadrupolar, mientras el vector nOr recorre la esfera de
radio nO, nr genera la superficie de forma de cacahuate r el momento p dibuja el ovoide.
Medio cuadrupolar
llniaxial
Un caso particulm pero importante de anisotropía cnadrupolar es el medio con un eje de
simetría; una dirección alrededor de la cual el medio se ve y actúa igual: el medio uniaxial.
Denotamos
las coruponentes de r por (x, y, z) y alineamos el eje de sitnetrÍa con el eje z,
mientras x y y están en el plano transverso invariante bajo rotaciones. En este caso, el
ovoide de Descartes de la Fig. 1 es una figura de revolución que puede dibujarse en el
plano de la página. El Índice de refracción, de ac;¡erdo con la Ec. (13) para Qx = Qy = 1/
Y Q, = -21/, es:
O
n(i-)
= ,,(O) + (i:,y,z)
( ~
O
1/
O
O
-21/
)( )
i:
Y
Z
= ,,(O) + 1/(i:2 + y2) _ 21/z2 = n(O) + 1/ _ 31/z2
= ,,(O) _ 21/ + 31/ sen2 (j = ,,(O) + 1/ - 31/ cos2 (j,
donde
n(O) es la parte
lIlollopolar, v es el coeficiente
última expresión bemos introducido el ángulo
cos2 (j = 1 - sen2 f).
f)
de anisotropía
( 16)
clladrupolar; en la
entre i- y el eje z, escribiendo
z2
1036
A.L.
RIVERA
ET AL.
Para escribir el momento p en términos de las componentes del vector de dirección
y su ángulo () explícitamente, obtenemos de (15)
[
\/Pi + P~ ]
= [
Pz
- 3vsen2
2v - 3v sen2
(n(O)
+ 4v
())
(n(O)
-
())
r
sen() ]
cos ()
Conforme () recorre la esfera, el vector p se mueve en una superficie ovoidal superior,
el cual difiere de un elipsoide en términos de orden v2, e intercepta el eje z (() = O) en
pz = :J:(n(O) - 2v), y un eje transverso x, yen :J:(n(O) + v). El ovoide es oblato si v > O
Y prolato si v < O. En efecto, en modelos de óptica en dos dimensiones sólo éste caso de
anisotropía es permitida. Nos referiremos a estos resultados en la Seco4 para comparar
las predicciones de la óptica geométrica y la maxwelliana.
3.3.
MEDIOS
MULTIPOLARES
Funciones suaves sobre la esfera se pueden desarrollar en la serie multipolar [14]:
n(r, r) =
¿ n(m)(r),
m~O
donde cada sumando es un polinomio homógeneo de grado m = 0,1,2, ... en las componentes de r. La parte monopolar n(O)(r) = n(O), la dipolar n(l) y la cuadrupolar n(2)
fueron vistas en las dos subsecciones anteriores. Genéricamente,
il, ...im
n~~¿,
...
donde los coeficientes
,i
forman un tensor de rango m que, por las mismas razones
m
dadas para el cuadrupolo, es simétrico y de traza nula en todas las parejas de índices y
por ello contiene 2m + 1 coeficientes independientes; la última igualdad define el vector
¿
(m)
..
n,',',2, ... ,"m ri,ri"
..
.
Timl
cuyas componentes son polinomios homogéneos de grado m - 1 en las componentes de r.
Calculamos ahora el vector de anisotropía usando 8n(m)(v)/8v
= mN(m)(v) y restringiendo el argumento sobre la esfera. Encontramos
y el vector momento es
p
= nr + ¿ A(m) =
m2:1
donde los sumandos m
coeficientes son cero.
=
OYm
¿ [mN(m)(r)
- (m - 1)n(m)(r) r],
m2:0
=
1 no dependen de
r
y están ausentes cuando sus
ÓPTICA
4. ANISOTROPÍA
vs.
GEOMÉTRICA
FÍSICA
EN MEDIOS
1037
ANISOTRÓPICOS
MAXWELLIANA
La óptica geométrica también se puede obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell [15]
tomando el límite de longitudes de onda pequeñas. Examinaremos con atención especial
las consecuencias de la anisotropía del medio.
4.1.
VECTORES.
ÍNDICES
Y ECUACIONES
DE MAXWELL
Proponemos campos eléctricos y magnéticos que sean soluciones a las ecuaCIOnes de
Maxwell con la forma compleja [2]
E(r, t) = e(r) exp[i("S(r)
- wt)],
H(r, t) = h(r) exp[i("S(r)
- wt)),
(17)
donde S es la función conocida como eikona/; es una función escalar y real de la posición;
en mecánica su análogo es la acción; el número de onda es n. = 21r/..\ = w/c donde..\ f.'fl
la longitud de onda, w es la frecuencia angular, y e es la velocidad de la luz en el vado.
Las superficies S(r) = constante son los frentes de onda geométricos. Los vectores e(r)
y h(r) son funciones de la posición y pueden ser complejos. En el caso de ondas planas
con vector normal unitario u, la función eikonal es lineal en las componentes del vector
r: "S (r) = (w / vI') U . r, donde vI' es la velocidad de propagación de los frentes de fase en
el medio, llamada la velocidad de fase.
Las ecuaciones de Maxwell relacionan las divergencias, rotacionales y derivadas respecto del tiempo de los vectores de campo eléctrico y magnético, de desplazamient.o e
inducción: E, H, D Y B según la notación establecida. Se complementan con las llamadas
relaciones rnateriales
1
B = I,H .
D =tE,
( 18)
por las permitividades eléctrica t y magnética
de la dirección y sólo contienen la
inhomogeneidad del medio. En medios anisotrópicos pueden ser tensores de rango dos que
se representan por matrices; se demuestra que la conservación de la energía iruplica que
estas matrices son simétricas; en medios de interés óptico, la permeabilidad magnética l'
es múltiplo de la matriz unidád y solamente t = (f;,j) es el tensor de tomar en cuenta [2].
Eu IllCdios allisotrópicos,
las ondas plana.:;; (17) presentan un vector de onda HarInal
La anisotropía del medio está determinada
1'" En medios isotrópicos, t y l' son independientes
p = '\IS,
( 19)
cuya magnitud
(20)
es la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad VI' de los frentes de onda en el
Inedia que depende de la dirección en la que se mueven los frentes. LlaIllaIllOS np al "índice
de fase" oh tenido de su razón, y adelantanlos que el vector de onda p se corresponde con
1038
A.L.
RIVERA
ET AL.
su vector homónimo de momento en la óptica geométrica. Ante una discontinuidad en el
índice del medio, y por las mismas razones que en los medios isotrópicos, el valor de las
fases de los campos y de sus derivadas tangenciales a ambos lados de la discontinuidad
implica que se conserva la componente tangencial del vector p.
Las mismas ondas planas (17) tienen su vector de Poynting,
s = -=-E
41r
x H =
ISI ¡.,
(21)
que indica la dirección de propagación de la energía electromagnética;
vector unitario
en esa dirección,
adelantando
que se corresponde
indicamos por ¡. el
con su vector homónirllo
de dirección del rayo en óptica geométrica. La energía electromagnética tiene una velocidad de propagación (llamada velocidad de rayo [2]) en el medio que indicamos por
VT1
Y
nr=
e
(22)
-,
Vr
es el índice de refracción que previamente llamamos n. (Véase la Fig. 5b.) Al sustituir
(17) en las ecuaciones de Ma.xwell sin corrientes ni cargas, las derivadas espaciales y
temporales actuando sobre el exponente resultan en factores iK y -iw; dividimos entre
esta cantidad. Al tomar el límite .\ -+ O [2], desaparecen las derivadas de e(r) y h(r), y
obtenemos (=;.) las siguientes conclusiones que, junto con las relaciones materiales (18),
determinan el modelo ma.xwelliano geométrico:
V'.D=O
=;.
p 1- d = i e,
(23)
V'.B=O
=;.
p 1- b = I,h,
(24)
=0
=;.
ie=hxp,
(25)
= O
=;.
ILh = P x e,
(26)
aD
at
aB
e at
1
V' x H- -e
1
V' x E + --
donde d y b son los vectores de desplazamiento e inducción definidos de la misma manera
que e y h en (17).
4.2.
ECUACIÓN
DE RAYO DE FRESNEL
Bajo el límite .\ -+ O, el vector de rayo ¡. mantiene claro su significado geométrico (9);
el vector de onda p (ahora el momento)
parece persistir un tanto falltasIuahncnte co1110 vector
"piloto" del "grano de luz". Es él, sin etnbargo, el que determina el efecto
de interfases refractantes del medio sobre el rayo, y genéricamente inhomogeneidades,
obedeciendo a (10). Esto proviene del hecho que en cada interfase se debe conservar el
campo eléctrico y el magnético (17) para los valores de p. r, tal y como sucede en medios
iso trópicos con su correspondiente
esfera de Descartes.
ÓPTICA
GEOMÉTRICA
USo
FÍSICA
EN MEDIOS
8
ANISOTRÓPICOS
1039
E
H
o
s
nr
E
p
(b)
(a)
FIGURA 5. (a) Los vectores electromagnéticos en un medio allisotrápico. La dirección del momento óptico p no coincide con la dirección de propagación de la energía S (el vector de Poynting),
sino que forma un ángulo o: con ella. (b) Los frentes de onda son perpendiculares a la dirección del
momento óptico p; el vector ni' está a lo largo del vector de Poynting S; el vector de anisotropía
A relaciona los dos; DJ. es la proyección del vector de desplazamiento D sobre el vector de campo
eléctrico E.
En este modelo, p es ortogonal a d y b, mientras r es ortogonal a e y h, como está
indicado en las Figs. 5a y 5b. Tiene gran ntilidad conocer el ángulo n entre ellos, en
particular las siguientes igualdades:
cosa
V
= -p
n,.
e.d
Id"1 p.r
= -- =-lelldl
Idl
np
n~ lel
l' Idl .
= - = -Vr
np•
(27)
La,;;cinco prinleras expresiones son pUfmnelltc geolllétricas, basadas en el arg\unento
que las distancias recorridas por un frente de onda guardan esa proporci6n, los Índices
de refracción la proporción inversa; el producto escalar de e y d entre sus luagllitudes,
o la razón de la proyección d" sobre e de d; y el producto escalar de p con el vector
nnitario r, consistente con la relación geométrica propuesta en la Ec. (7). Las últimas dos
expresiones se obtienen a partir de las ecuaciones de Maxwell; en efecto: substituyendo
h de (26) en (25) y multiplicando escalannente por (25) obtenemos l,d2 = p2e . d, de
donde se sigue la penúltima igualdad de (27); la última deriva de ésa y las anteriores.
Anotamos también que de la última igualdad se deriva una relación de reciprocidad entre
los Índices de refracción asociados al momento y a la direcci6n:
nl'n,. = l'
I[el
¡,;r .
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A.L.
RIVERA ET AL.
En adelante, trabajaremos exclusivamente con el índice de refracción del rayo, nro
que indicaremos simplemente por n, sabiendo que se trata de la misma cantidad a la que
se refieren las primeras dos secciones de este artículo.
A continuación mostraremos cómo de las igualdades (27) se obtendrá el Índice de
refracción anisotrópico n(¡') en términos de los parámetros físicos del medio, las permitividades Ei, i = x, y, Z, y /1. En efecto, del quinto y del último término de (27) sigue la
igualdad vectorial dlln2 = el/1; además, la proyección de d en la dirección de e puede
escribirse usando el vector ortogonal unitario ¡. como dl = (1 - ¡. ¡. . ) d. Referido a ejes
donde el tensor de permitividad eléctrica es diagonal, E = (Ei), podemos eliminar las
componentes de e y escribir
¡. . d .
¡tEi
di =
11,
2
ri,
Jl£i
-
Ahora, con objeto de eliminar las componentes de d de nuestra expresión final, multiplicamos cada ecuación por ri y sumamos sobre i para obtener ¡. . d en ambos lados de la
ecuación; dividimos por esta cantidad y obtenemos la ecttación de rayo de Fresnel (Ver
Ec. 14.2 en Ref. 2),
r.2
lJ,cx
11,2 -
JLéx
+
x
¡LEy
n2
-
¡LEy
r.2
+
Y
2
n
¡tEz
-
.2
¡tEz
rz=-l.
Llamando
r;,
y recordando que 1 = r; + r~+
recolectamos las componentes de
segunda forma de la ecuación de rayo de Fresnel,
r para
escribir una
(28)
Esta es una ecuación de segundo grado en n2, como puede verse multiplicando (28) por
sus denominadores. Su forma es (n2j2 + Bn2 + e = o, con
(29)
donde trE =
Ex
+ Ey + Ez
es la traza de E, y E-1 = diag
(E;;l,
E;;I,E;;I).
Las últimas
expresiones para B y e son independientes de la orientación de los ejes del espacio
respecto a los ejes principales del Inedia. En éstos ténninos, la teoría geométrica de
Maxwell predice dos Índices de refracción [16]:
(30)
ÓPTICA
4.3.
ANISOTIlOPÍA
GEOMÉTRICA
USo
FÍSICA
EN MEDIOS
ANISOTIlÓPICOS
1041
PEQUEÑA
Con objeto de comparar los Índices de refracción maxwellianos con los del modelo geométrico cuadrupolar (13), conviene considerar que la anisotropÍa es pequeña, es decir,
proponer
E = diag("o + '1""0 + 'Iy,"o + '1,) = "oi + i¡, IIJiI« "o.
Como Tr E = 3"0' Tr i¡ = O Y n(r)
reduce a
n,,(r) = n(O)
n(O)
=
> O, si despreciamos términos en '12, la Ec. (30) se
+ n~)(r) + 0('12),
J,'''o,
n~)(r) = 4,::0) (r. i¡r 'f )(r.
i¡r)2 - 4r' rjr) ,
donde rj = diag('1y'lz,I/z'l.,'1x'ly). Notemos que el grado de homogeneidad de n~)(r) en
'/ (dentro y fuera de la raíz cuadrada) es uno.
Particularicemos uuestro tratamiento analizando un medio cuadrupolar uniaxia/, cuyo
resultado a partir del tratamiento hamiltoniano ya conocemos de la Ec. (16). Cuando
'Ir = 'Iy = '1 Y '1, = -2'1, el discriminante B2 - 4C en (29) se vuelve el cuadrado perfecto
de 3/11/(1 - 1';). Los cuadrados de los Índices de refracción [c! Ec. (30)1 son entonces
n~ = J.L("0
+ 11)
,
n:.(r) = n~ - 31"1(1 -
1';) .
El primer Índice de refracción, "+, es insensible a la anisotropÍa del medio (pues no
depende de r); el rayo que lo sigue se llama el rayo ordinario y el Índice de refracción
que obedece es
"o = "+ =
Por otra parte, el rayo extraordinario
(16). Para 1', = cosO Y 1/« "o,
)/'("0 + '1) .
obedece a
"e = ,,_(O) ::e "+
"e = I!-(r),
que debemos comparar con
31111
2
- -seu O,
211+
y esto lleva a identificar los parámetros de (16) cou los parámetros
siguientes equivalencias:
físicos según las
Como ejemplo numérico apuntamos que, para la longitud de onda A = 404.7 nm y
1, los valores de los Índices de refracción y parámetros de anisotropía para el cuarzo
son "o = 1.55716 Y Ile = 1.56671 [17J. Entonces ,,(O) = 1.56353 Y v = 0.00318. La
aproximación que desarrolla ne en potencias de v/no :::::::
2 x 10-3, pennite despreciar
términos de orden 0(10-6).
Ji =
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A.L.
RIVERA ET AL.
5. CONCLUSIONES
El modelo de la óptica geométrica de medios anisotrópicos propuesto por nosotros y otros
autores, parte de la generalización -por demás sencilla- de permitir que el índice de
refracción dependa de la dirección de los rayos. Genera un esquema matemáticamente
consistente y atractivo. Permite apreciar también el problema que presenta la longitud
de arco cuando se usa como parámetro de evolución en modelos donde el sistema original
(la óptica isotrópica) no se presta para formular el principio de Fermat; la formulación
hamiltoniana sortea esta dificultad mejor que la lagrangiana. Las Refs. 3 y 4 en efecto
utilizaron parámetros de evolución distintos (el tiempo y el eje óptico) para llegar a los
mismos resultados.
Sin embargo, es imperativo preguntarse si el esquema matemático propuesto describe
correctamente a la naturaleza, que obedece a las ecuaciones vectoriales de Maxwell. En
su régimen lineal, éstas explican el fenónemo de la birrefringencia por la interacción de
los campos eléctricos y magnéticos con el medio a través de la anisotropía del tensor
dieléctrico. En el límite geométrico de longitudes de onda pequeñas, este tensor sólo
permite cuadrupolaridad a primer orden en las direcciones de los rayos.
La utilidad de un modelo matemático estriba en la sencillez que su manejo permite y en la claridad con que pueden enunciarse sus fundamentos. Sabemos que la óptica
geométrica ordinaria (en medios isotrópicos) no predice que bajo refracción en una discontinuidad del índice exista a fortiori también un rayo reflejado. Similarmente, el modelo
que manejamos aquí no predice que los rayos en un medio anisotrópico se dividan en
dos, cada uno obedeciendo un índice de refracción distinto. Tampoco tiene nada que
decir sobre los vectores ortogonales de campo eléctrico y magnético que acompañan la
trayectoria de luz, porque éstos no han sido incluidos entre los axiomas contenidos en (9)
y (10). A cambio de ello, predice correctamente el ángulo de refracción y el papel que
juega el momento óptico dentro de su contexto hamiltoniano.
Los materiales anisotrópicos se usan cada vez más para el Inanejo eficiente de infonnación por medios ópticos. Es útil contar con una teoría gCOlnétrica que reproduzca ciertos
aspectos relevantes del fenómeno y se preste para producir, por ejemplo, los algoritmos
necesarios para el diseño óptico basado en técnicas de desarrollo en serie de aberraciones.
Para esto es importante conocer el rango de validez del modelo.
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ÓPTICA
GEOMÉTRICA
VS.
FíSICA
EN MEDIOS
ANISOTRÓPICOS
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