R2 (-1/3) - Departamento de Ciencias Básicas

METODOS NUMERICOS
UNIDAD 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En la unidad anterior se determinaba el valor de x que satisface a una sola ecuación f(x)=0.
Ahora se trata el caso de determinar los valores x1, x2, x3…….xn, que satisfaga
simultáneamente un conjunto de ecuaciones.
f1 ( x1 , x2 ,.......xn )  0
Tales sistemas pueden ser tanto lineales
como no lineales.
f 2  ( x1 , x2 ,.......xn )  0
..
..
f n  ( x1 , x2 ,.......xn )  0
En esta
son de la FORMA GENERAL
unidad se trata de ecuaciones algebraicas lineales que
a11 x1 + a12 x2 +.............+ a1n x n  c1
a21 x1 + a 22 x2 +.............+ a 2n x n  c2
.
.
.
.
.
an1 x1 + a n2 x2 +..............+ a nn x n  cn
Donde a= son
constantes.
c= son constantes.
n= es el numero de ecuaciones.
coeficientes
La resolución de sistemas de casi cualquier número de ecuaciones es una realidad hoy gracias
a las computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las técnicas de soluciones
directas e iterativas.
Sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos básicos sobre matrices,
ortogonalizacion de vectores y la existencia y unicidad de las soluciones.
Ing. Ada Paulina Mora González
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METODOS NUMERICOS
MATRICES
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas como:
a11 + a12 +.............+ a 1n
a21 + a 22 +.............+ a 2n
.
.
.
am1 + a m2 +..............+ a mn
Los elementos “a” son números reales. Al conjunto horizontal de elementos se le llama renglón
y al conjunto vertical se le llama columna. Al primer subíndice denota el número de renglón y el
segundo subíndice denota la columna por ejemplo: a21 está en el renglón 2 y columna 1.
Cuando se hace referencia a una matriz es conveniente especificar el número de filas (m) y
columnas(n), así la expresión m x n, indica que se trata de un matriz con m y n dimensiones.
Las matrices con dimensión m=1 en el renglón como:
[B]= [b1, b2,…..bn]
se le llama vectores de renglón.
Las matrices con dimensión n=1 en la columna, como:
c1
[C]= c2
cm
TIPOS DE MATRICES
A las matrices donde m=n se les llama matrices cuadradas. Porque tienen el mismo número de
filas y columnas. Por ejemplo, una matriz 4x4 es
 a11 a12 a13 a14

 a21 a22 a 23 a 24
 a31 a 32 a 33 a 34

 a41 a 42 a 43 a44
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





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METODOS NUMERICOS
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal
principal son iguales a cero, como en
 a11

 a22

a 33

a44

[A]=






Una matriz identidad es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1, como en:
[I]=
1



1



1

El símbolo [I] denota la matriz identidad.
Una matriz triangular superior es aquella donde todos sus elementos bajo la diagonal principal
son cero, como:
 a11




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a12
a22
a13 

a23 
a33 
Página 3
METODOS NUMERICOS
Una matriz triangular inferior es aquella donde todos sus elementos arriba de la diagonal
principal son ceros, como:
 a11

 a21
a
 31
a22
a32



a33 
REGLAS DE OPERACIÓN SOBRE MATRICES
Para sumar dos matrices A y B han de ser de las mismas dimensiones; la suma es una matriz
C de iguales dimensiones que A y B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos
correspondientes de A y B.
Ejemplos:
Sumar las matrices
 4 8.5 3 


 2 1.3 7 




y
  1 2 4 


5 8 3




3
=
7
=
10.5
6.7
4-1
2+5
8.5+2 -3-4
-1.3+8 7+3
-7 

10 
MULTIIPLICACION DE MATRICES POR UN ESCALAR.
Se puede formar el producto de un número real  y una matriz. El resultado denotado de A  ,
es la matriz cuyos elementos de A multiplicados por  .
  a11  a12  a13 


  a 21  a 22  a 23 
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Página 4
METODOS NUMERICOS
Ejemplo: Multiplicar la matriz A α= 2
1 -3 4 2 
 2 -6 8 4 




3
7
4
6

2
A

6
14
8
12




A= 



-2
9
1
4
-4
18
2
8




MULTIPLICACION DE MATRICES
Al producto escalar de a y b, esta dado por a*b, necesitamos que a y b tengan el mismo
número de componentes.
 b1 
 
 b2 
(a1, a2, ….., an) *  .  = a1 b1 + a2 b2 + ……….. + an bn
 
. 
 bn 
 
Ejemplo:
1.
1 
Sean a=  2  y b =
3 
 
3 
 
 2 
4 
 
Calcule a*b
Solución a*b = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(4)= 2 +4 + 12 = 19
2.
1 
 
2
Sean a= (2, -3, 4, -6) y b =   Calcule a*b
0
 3 
 
Solución a*b = (2)(1) + (-3)(2) +(4)(0) + (-6)(3)= 2 – 6 + 0 – 18 =
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-22
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METODOS NUMERICOS
3. Suponga que un fabricante produce 4 artículos. La demanda para los artículos está dada
por el vector de demanda d= (30, 20, 40, 10). Los precios unitarios para los artículos
dados por el vector de precios p= ($20, $15, $18, $40). Si satisface su demanda,
¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?.
Solución: La demanda del primer artículo es de 30 y el fabricante recibe $20 por cada unidad
vendida del primer artículo. Por lo tanto recibe, (30)(20) = $600 por la venta del primer artículo.
Continuando con este razonamiento vemos que el total de dinero será de d*p. Así sus entradas
son (30)(20) + (20)(15) + (40)(18) + (10)(40) = 600 + 300 + 720 + 400 = $2020.
Producto de dos matrices. Sea A=(aij) una matriz de m x n cuyo i-esimo renglón denotamos por
ai. Sea B =(bij) una matriz de n x p cuya j-esima columna denotamos por bj. Entonces el
producto de A y B es una matriz C= (cij) de m x p. donde cij= ai * bj
Dos matrices pueden multiplicarse solo si el numero de columnas de la primera es igual al
número de renglones de la segunda.
 3 2 
 CALCULE A*B
6
 1 3
A= 
 y B= 
 2 4 
5
3

 = 3+15 = 18

 2 
C12= ( 1 3 ) * 
 = -2+18 = 16
 6

3 
C21= (-2 4) * 
 = -6+20 = 14
5 
 2 
C22= (-2 4) * 
 = 4 + 24 = 28
 6

Entonces c11= ( 1 3) * 
5
 18 16 

28 
C= 
 14
Matlab
A=[1 3; -2 4];
B=[3 -2; 5 6];
disp('C= A*B'); disp(A*B)
disp('C=B*A'); disp(B*A)
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PROGRAMA EN MATLAB
A= [1 3; -2 4]
B= [3 -2; 5 6]
disp(‘C= A*B’)
C= A*B
disp(‘C = B*A’)
C=B*A
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METODOS NUMERICOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Objetivo: El estudiante debe ser capaz de resolver la mayor parte de problemas que impliquen
utilizar ecuaciones algebraicas lineales y poder visualizar sus aplicaciones. Y debe dominar
varias técnicas y valorar la confiabilidad de los mismos.
Eliminación de incógnitas
La eliminación de incógnitas es un esquema algebraico donde se puede ilustrar para un
conjunto de ecuaciones
a11 x1 + a12 x2 +.............+ a1n x n  c1
a21x1 + a 22 x2 +.............+ a 2n x n  c2
Donde aij y bj, son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea
recta. Una solución al sistema es un par de números denotados (x,y).
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente. Si las dos rectas no son
paralelas entonces se intersectan en un solo punto y se dice que tiene una solución; si son
paralelas entonces nunca se intersectan o son la misma recta se dice que no tienen solución o
tienen un numero infinito de soluciones.
Solución única
A) Rectas no paralelas; un punto de intersección.
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METODOS NUMERICOS
Sin solución.
B) Rectas paralelas; sin puntos de intersección.
Numero infinito de soluciones.
C) Rectas que coinciden, numero infinito de puntos de
intersección.
La estrategia básica es multiplicar las ecuaciones por constantes para que alguna de las
incógnitas se elimine al combinar las ecuaciones. El resultado es entonces una ecuación que
se pueda resolver para la incógnita restante.
Este valor se puede sustituir en alguna de las ecuaciones originales para calcular la otra
incógnita.
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METODOS NUMERICOS
Por ejemplo si multiplicamos la primera ecuación por a21 y la segunda ecuación por a11
tendremos:
a11a21 x1  a12 a21 x2  c1a21
a11a21 x1  a11a22 x2  c2 a11
Restando ahora la segunda ecuación por la primera se elimina el término x2, de las ecuaciones
para obtener:
x2 
a11c2  a21c1
a11a22  a12 a21
Este último resultado se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener
el valor de x1.
La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas grandes de ecuaciones, teniendo
en cuenta algunas reglas básicas de operación. Este método extendido se denomina
ELIMINACION GAUSSIANA, donde es fácilmente programable.
ELIMINACION GAUSSIANA
El procedimiento consta de dos pasos:
1. Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se
despea el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las
demás incógnitas.
La eliminación gaussiana es una de las técnicas más comunes.
El procedimiento está planeado para resolver un conjunto de n ecuaciones.
a11 x1 + a12 x2 +.............+ a1n x n  c1
a21 x1 + a 22 x2 +.............+ a 2n x n  c2
.
.
.
.
.
an1 x1 + a n2 x2 +..............+ a nn x n  cn
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METODOS NUMERICOS
Eliminación hacia delante de incógnitas.
La primera fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El
paso inicial consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita
a :
11
X1 
a
a12
c
X 2  ....  1n X n  1
a11
a11
a11
A este procedimiento se le conoce como normalización y tiene como finalidad convertir el
primer coeficiente de la ecuación normalizada en 1.
En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda
ecuación , a
21
 a 
 a 
c
a21 x1   a21 12  X 2  ....   a21 1n  X n  a21 1
a11
 a11 
 a11 
Nótese que el primer término de la primera ecuación es idéntico al primer término de la
segunda ecuación. Por consiguiente se puede eliminar la primera incógnita de la segunda
ecuación restando la ecuación para obtener:


a1n 
a12 
c1
 a22  a21
 X 2  ....   a2 n  a21
 X n  c2  a21
a11 
a11 
a11


Ó
a '22 X 2  ....  a '2n X n  c '2
En donde el apostrofe indica que los elementos han cambiado su valores originales.
El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuaciones restantes. La
ecuación normalizada se multiplica por a31 y el resultado se resta de la tercera ecuación para
obtener:
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METODOS NUMERICOS
a '32 X 2  a '33 X 3....  a '3n X n  c '3
Se repite el proceso para eliminar la segunda incógnita de las ecuaciones a partir de la tercera
ecuación. Para hacerlo, se usa la segunda ecuación normalizándola multiplicando por el primer
coeficiente de la tercera ecuación, a32 y restando este resultado de la tercera ecuación , se
elimina la segunda incógnita x2. Se sigue eliminando de este modo la segunda incógnita de las
restantes ecuaciones y luego se normaliza la tercera ecuación y se elimina la tercera incógnita
desde la cuarta ecuación en adelante.
El procedimiento se puede continuar hasta llegar a la (n-1)-esima ecuación para eliminar la
incógnita Xn-1 de la n-esima ecuación. En este momento el sistema se transforma en un
sistema triangular superior.
a11 X 1  a
12
X 2  a 13 X 3  ....  a
1n
X n  c1
a '22 X 2  a '23 X 3  ..  a '2 n X n  c '2
a '33 X 3  ..  a '3n X n  c ''3
( n 1)
a (n-1)
nn X n  cn
SUSTITUCION HACIA ATRÁS
La ecuación última del sistema anterior se puede resolver para Xn:
( n 1)
a (n-1)
nn X n  cn
cn( n 1)
X n  (n-1)
a nn
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Página 11
METODOS NUMERICOS
Ejemplo: Por el método de Gauss resolver la siguiente matriz
 1 2 3  11
 4 1 1 4 -4R1+R2


-2R1+R3
 2 1 3  10
-2R2+R1
-9R2+R3
1 2 3  11
 0 9 13 40 R2→R3


(1/3)R2
 0 3 3  12
1 0 1  3
 0 1 1 4


 0 0 4  4
(1/4)
Sustitución hacia atrás:
X3=1
X2-X3=-4
X2= -4+X3
X2= -4+1 = -3
X1+X3= 3
X1= 3 –X3
X1=3 – 1= 2
1 0 1 
R3  0 1 1


 0 0 1 
X1=2,
1 2 3  11
0 1
1  4

 0 9 13 40
3
4
1
X2= -3, X3= 1
Algoritmo Matlab:
%Método de Gauss en matriz de 3x3
format short
A=input('Dame la matriz en corchete por filas: ')
A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)
A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)*A(1,:)
A(3,:)=A(3,:)-A(3,1)*A(1,:)
%COLUMNA 1 LISTA
A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)
A(3,:)=A(3,:)-A(3,2)*A(2,:)
%COLUMNA 2 LISTA
A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)
disp('LAS INCOGNITAS SON: ')
x3=A(3,4);
x2=A(2,4)-A(2,3)*x3;
x1=A(1,4)-A(1,2)*x2-A(1,3)*x3;
disp('
x3
x2
x1 '); disp([x3 x2
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x1])
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METODOS NUMERICOS
Resuelva por el método de Gauss para encontrar las soluciones de los sistemas dados:
1 2 3 11
 4 1 1 4 


 2 1 3 10 




R1 (-4)+R2
A=1
0
2
-2
9
-1
3
-13
3
11
-40
10
-2
9
3
3
-13
-3
11
-40
-12
-2
1
3
3
-13/9
-3
11
-40/9
-12
-2
1
0
3
-13/9
4/3
11
-40/9
4/3
-2
1
0
3
-13/9
1
11
-40/9
1
R1 (-2)+R3
A=1
0
0
R2 (1/9)
A=1
0
0
R2 (-3)+R3
A=1
0
0
R3 (3/4)
A =1
0
0
SOLUCION UNICA
X3=1
X2-13/9X3= -40/9
X2= -40/9+ 13/9(1)=
X2= -3
X1-2X2+3X3= 11
X1= 11+2(-3)-3(1)
X1=2
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Página 13
METODOS NUMERICOS
−2
5
3
1
0
2
6 18
8 −16
−1 −3
R1 (-1/2)
A =1
5
3
-1/2
0
2
-3
8
-1
-9
-16
-3
R1 (-5)+R2
A=1
0
3
-1/2
5/2
2
-3
23
-1
-9
29
-3
-1/2
5/2
7/2
-3
23
8
-9
29
24
-1/2
1
7/2
-3
46/5
8
-9
58/5
24
-3
46/5
-121/5
-9
58/5
-83/5
-3
46/5
1
-9
58/5
83/121
R1 (-3)+R3
A=1
0
0
R2 (2/5)
A =1
0
0
R2 (-7/2)+R3
A =1
0
0
-1/2
1
0
R3 (-5/121)
A =1
0
0
-1/2
1
0
SOLUCION UNICA
X3= 83/121
X2+ (46/5) X3= 58/5
X2= (58/5)-(46/5) (83/121)
X2= 640/121
X1-(1/2) X2-3X3 = -9
X1= -9 + (1/2) (640/121)+3(83/121)
X1= -520/121
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Página 14
METODOS NUMERICOS
 3 6 6 9 
 2 5 4 6 


 1 16 14 3
R1 (1/3)
A =1
2
-1
2
-5
16
-2
4
-14
3
6
-3
-2
8
-14
3
0
-3
2
-9
18
-2
8
-16
3
0
2
1
18
-2
-8/9
-16
3
0
0
-2
-8/9
0
3
0
0
R1 (-2)+R2
A=1
0
-1
2
-9
16
R1 (1)+R3
A =1
0
0
0
R2 (-1/9)
A =1
0
0
R2 (-18)+R3
A =1
0
0
2
1
0
Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe:
X3
X2=8/9X3
X1=3- 2X2+2X3
X1= 3-2(8/9) X3+ 2X3
X1= 3+ 2/9X3
(Para cualquier valor de X3 quedaría:
Si X3=10
X2=80/9
X1=47/9
TIENE INFINITAS SOLUCIONES
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Página 15
METODOS NUMERICOS
 3 6 6  9
 2 5 4  6


 5 28 26  8
R1 (1/3)
A=1
2
5
2
-5
28
-2
4
-26
3
6
-8
-2
8
-26
3
0
-8
2
-9
18
-2
8
-16
3
0
-23
2
1
18
-2
-8/9
-16
3
0
-23
R1 (-2)+R2
A=1
0
5
2
-9
28
R1 (-5)+R3
A=1
0
0
R2 (-1/9)
A=1
0
0
R2 (-18)+R3
A=1
0
0
2
1
0
-2
-8/9
0
3
0
-23
0X3= -23 es imposible ya que 0≠-23.
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION.
El sistema es inconsistente.
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Página 16
METODOS NUMERICOS
1 1 3 7
 4 1 5  4


 2 2 3 0
R1 (-4)+R2
A=1
0
2
1
-5
2
-1
9
-3
7
-24
0
1
-5
0
-1
9
-1
7
-24
-14
1
1
0
-1
-9/5
-1
7
24/5
-14
1
1
0
-1
-9/5
1
7
24/5
14
R1 (-2)+R3
A =1
0
0
R2 (-1/5)
A=1
0
0
R3 (-1)
A =1
0
0
SOLUCION UNICA
X3= 14
X2 – 9/5X3= 24/5
X2= 24/5 + (9/5) (14)
X2= 30
X1+ X2 –X3 =7
X1= 7 –X2 + X3
X1= 7 -30 + 14
X1= -9
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Página 17
METODOS NUMERICOS
 1 1 1 7
 4 1 5  4


 6 1 3  18
R1 (-4)+R2
A=
1
0
6
1
-5
1
-1
9
3
7
-24
18
1
-5
-5
-1
9
9
7
-24
-24
1
1
-5
-1
-9/5
9
7
24/5
-24
-1
-9/5
0
7
24/5
0
R1 (-6)+R3
A=
1
0
0
R2 (-1/5)
A=
1
0
0
R2 (5)+R3
A=
1
0
0
1
1
0
Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe:
X3
X2=24/5+ 9/5X3
X1=7-X2+X3
X1=7- ((24/5)+ (9/5) X3) + X3
X1= 11/5 – 4/5X3
(Para cualquier valor de X3 quedaría:
Si X3=3
X2=51/5
X1= -1/5
TIENE INFINITAS SOLUCIONES
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 18
METODOS NUMERICOS
 1 1 1 7
 4 1 5  4


 6 1 3  20
R1 (-4)+R2
A=
1
0
6
1
-5
1
-1
9
3
7
-24
20
1
-5
-5
-1
9
9
7
-24
-22
1
1
-5
-1
-9/5
9
7
24/5
-22
-1
-9/5
0
7
24/5
2
R1 (-6)+R3
A=
1
0
0
R2 (-1/5)
A=
1
0
0
R2 (5)+R3
A=
1
0
0
1
1
0
0X3= -23 es imposible ya que 0≠-23.
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION.
El sistema es inconsistente.
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 19
METODOS NUMERICOS
 1 2 3  0
 4 1 1 0


 2 1 3  0
R1 (-4)+R2
A =1
0
2
-2
9
-1
3
-13
3
0
0
0
-2
9
3
3
-13
-3
0
0
0
-2
1
3
3
-13/9
-3
0
0
0
-2
1
0
3
-13/9
4/3
0
0
0
-2
1
0
3
-13/9
1
0
0
0
R1 (-2)+R3
A =1
0
0
R2 (1/9)
A =1
0
0
R2 (-3)+R3
A =1
0
0
R3(3/4)
A=1
0
0
X3=0
X2= 13/9X3
X2= 13/9(0)
X2=0
X1= 2X2-3X3
X1= 0
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 20
METODOS NUMERICOS
0 2 5  6
 1 0 2  4


 2 4 0  2
Para iniciar una matriz se usa el pivoteo parcial que se selecciona el componente de la primera
columna con el valor absoluto mayor, a este se le llama pivote.
Se rearreaglan los renglones y empieza hacer el procedimiento de reducción de renglones. Se
puede hacer el pivoteo en cada uno de los renglones consecuentes con la segunda, tercera
columna sucesivamente.
R3 →R1
 2 4 0  2
 1 0 2  4


 0 2 5  6
R1 (1/2)
A=
1
1
0
2
0
2
0
-2
5
-1
4
6
R1 (-1)+R2
A=
1
2
0
-2
0
2
0
-2
5
-1
5
6
R2 (-1/2)
A=
1
0
0
2
1
2
0
1
5
-1
-5/2
6
R2 (-2)+R3
A=
1
2
0
1
0
0
0
1
3
-1
-5/2
11
R3 (1/3)
A=
1
0
0
0
1
1
-1
-5/2
11/3
2
1
0
SOLUCION UNICA
X3= 11/3 X2= -5/2 – X3
Ing. Ada Paulina Mora González
X2= -37/6
X1= -1 -2X2
X1= -1 -2(-37/6) = 34/3
Página 21
METODOS NUMERICOS
MATRICES QUE NO SON CUADARADAS APLICANDO EL METODO DE GAUSS EN LA
SOLUCION DE LOS SISTEMAS:
1 2 1  4
3 4 2 7


R1 (-3) +R2
A=
1 2
0 -2
-1 4
1 -5
R2 (-1/2)
A=
1 2 -1 4
0 1 -1/2 5/2
R2 (-2)+R1
A=
1 0 0
-1
0 1 -1/2 5/2
INFINITAS SOLUCIONES
X2= 5/2 +1/2X3
X1= -1
X3
Es x3 una incógnita arbitraria. Se puede escoger cualquier valor.
Si x3= -1
La solución seria:
X3= -1
X2= 2
X1= -1
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 22
METODOS NUMERICOS
1 2 4  4
2 4 8 8


R1 (2)+R2
A=
1 2
0 0
-4
0
4
0
TIENE INFINITAS SOLUCIONES
Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe:
(Para cualquier valor de X3, X2 quedaría:
X3, X2 pueden tomar cualquier valor
X1= 4-2X2+ 4X3
Si x2=2 y
X3= 4
X1= 16
(16, 2,4)
1 2 4  4
2 4 8 9


R1 (2)+R2
A=
1 2 -4 4
0 0 0 -1
0X3= -1 es imposible ya que 0≠ −1
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION.
El sistema es inconsistente.
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 23
METODOS NUMERICOS
2
6 4 2 4
1
0 1 1 5
3 2 2 0 2
R1 (1/2)
1 3 -2 1 2
1 0 -1 1 5
-3 2 -2 0 -2
R1 (-1)+R2
R1 (3)+R3
1
0
0
3
-3
11
-2
1
-8
1
0
3
2
3
4
R2 (-1/3)
R2 (-11)+R3
R2 (-3)+R1
1
0
0
0
1
0
-1
1
-1/3
0
-13/3 3
5
-1
15
R3 (-3/13)
1
0
0
0
1
0
-1
-1/3
1
1
5
0
-1
-9/13 -45/13
SOLUCION INFINITA
X4 es arbitraria puede tomar cualquier valor.
X3= -45/13 +9/13X4
X2= -1 +1/3 x3
X2= -1 + 1/3(-45/13 + 9/13x14)
X2= -28/13 +3/13X4
X1= 5 +X3 –X4
X1= 5 + (-45/13 +9/13X4) – X4
X1= 20/13 -4/13X4
SI X4 = -2
X3=-63/13
X2= -34/13
X1= 28/13
Ing. Ada Paulina Mora González
(28/13, -34/13, -63/13, -2)
Página 24
METODOS NUMERICOS
DIFICULTADES EN LOS METODOS DE ELIMINACION
Hay muchos sistemas de ecuaciones que se pueden resolver con la eliminación de Gauss
simple, existen algunas dificultades.
 DIVISION ENTRE CERO
Durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división
entre cero. También se pueden presentar problemas cuando un coeficiente esta muy cercano a
cero. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas.
 ERRORES DE REDONDEO
Cuando se usan números decimales, existe una pequeña discrepancia en el resultado. Se
debe al uso de cifras significativas que se manejan durante los cálculos. Si se usan mas
cifras significativas, el error en los resultados se reduce considerablemente.
 SISTEMAS MAL CONDICIONADOS
Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más
coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solución. Y los sistemas mal
condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan
grandes cambios en la solución.
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 25
METODOS NUMERICOS
METODO DE GAUSS- JORDAN
Este método es una variación de la eliminación de Gauss. La principal diferencia es que
cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordán, esta se elimina de todas
las otras ecuaciones. Además todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su
elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez
de una triangular. No es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Aunque el método de Gauss-Jordán y de eliminación gaussiana puede parecer casi idéntico, el
primero requiere el 50% más de operaciones. Por lo tanto la eliminación gaussiana es el
método por excelencia para la obtención de soluciones exactas de los sistemas de ecuaciones
lineales.
En un sistema de 3 ecuaciones lineales como el que se muestra se hizo:
1. Se dividió la primera ecuación para hacer el coeficiente de x1 en ella, igual a 12. Se eliminaron los términos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los
coeficientes de estos términos se hicieron cero multiplicando la primera ecuación por los
números adecuados y sumándola a la segunda y tercera ecuación.
3. Se dividió la segunda ecuación para hacer el coeficiente x2 igual a 1 y después se uso la
segunda ecuación para eliminar los términos en x2 de la primera y tercera ecuación.
4. Se dividió la tercera ecuación para hacer el coeficiente de x3 igual a 1 y después se uso
esta tercera ecuación para eliminar los términos en x3 de la primera y segunda
ecuación.
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 26
METODOS NUMERICOS
EJEMPLO:
Use el método de Gauss-Jordán para resolver el problema:
1
[4
2
1
−1
2
−1 7
5 ]4
−3 0
-4R1+R2
-2R1+R3
(-1/5)R2
-1R2+R1
(-4/5)R3+R1
(9/5)R3+R2
-1R3
1
0
0
1
-5
0
-1
9
-1
7
-24
-14
1
0
0
0
1
0
4/5
-9/5
-1
11/5
24/5
-14
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-9
30
14
Solución:
X1= -9,
X2= 30, X3= 14
Algoritmo en Matlab:
%Método de Gauss-Jordán en matriz de 3x3
format rat
A=input('Dame la matriz en corchete por filas: ')
%HACER UNO EL PRIMER TERMINO A(1,1) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(2,1) Y A(3,1)
A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)
A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)*A(1,:)
A(3,:)=A(3,:)-A(3,1)*A(1,:)
%HACER UNO EL TERMINO A(2,2) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(1,2) Y A(3,2)
A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)
A(1,:)=A(1,:)-A(1,2)*A(2,:)
A(3,:)=A(3,:)-A(3,2)*A(2,:)
%HACER UNO EL TERCER TERMINO A(3,3) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(1,3) Y A(2,3)
A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)
A(1,:)=A(1,:)-A(1,3)*A(3,:)
A(2,:)=A(2,:)-A(2,3)*A(3,:)
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 27
METODOS NUMERICOS
EJEMPLO DE APLICACIONES
Ejemplo 1
Suponga que un fabricante produce 4 artículos. La demanda para los artículos está dada por el
vector de demanda d= (30, 20, 40, 10). Los precios unitarios para los artículos dados por el
vector de precios p= ($20, $15, $18, $40). Si satisface su demanda, ¿Cuánto dinero recibirá el
fabricante?.
Solución: La demanda del primer artículo es de 30 y el fabricante recibe $20 por cada unidad
vendida del primer artículo. Por lo tanto recibe, (30)(20) = $600 por la venta del primer artículo.
Continuando con este razonamiento vemos que el total de dinero será de d*p. Así sus entradas
son (30)(20) + (20)(15) + (40)(18) + (10)(40) = 600 + 300 + 720 + 400 = $2020.
Ejemplo 2
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona 3 tipos de comida a un lago que
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un
promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada
pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y
5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del
alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporciona al lago
25000 unidades de alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que
los peces comen todo el alimento. ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el
lago?
Solución: Sean x1, x2, y x3 el numero de peces de cada especie que hay en el lago. Utilizando
la información del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades
del alimento 1, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 del alimento 1. Entonces x1 + 3x2 +
2x3 = 25000 = suministro total por semana del alimento 1. Si se obtiene una ecuación similar
para los otros dos alimentos se llega a:
x1  3x2  2 x3  25000
x1  4 x2  x3  20000
2 x1  5 x2  5 x3  55000
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 28
METODOS NUMERICOS
Después de resolver se obtiene
 1 3 2  25000


 1 4 1  20000
 2 5 5  55000


R1(-1)+R2
R1(-2)+R3
2
1 3

 0 1 1
 0 1
1

 25000

 5000
 5000

R2(-3) + R1
R2 + R3
Se tiene un número infinito de soluciones
X1= 40000- 5x3
X2= x3- 50000
5000<x3< 8000
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 29
METODOS NUMERICOS
Un ingeniero supervisa la producción de 4 tipos de computadoras. Se requieren 4 clases de
recursos: horas/hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos; en la producción. Se
resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada
tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas / hombre, 1970kg de metal, 970
kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede
construir por día? ¿Cuál seria la ganancia por cada computadora producida. Y el total de
ganancia?
Computadora
Horas-hombre
1
2
3
4
3
4
7
20
Metales
kg/computadora
20
25
40
50
Plásticos
kg/computad.
10
15
20
22
Componentes,
u/computadora
10
8
10
15
La cantidad producida de cada computadora esta restringida al total de recursos disponibles en
cada categoría diariamente. Estos recursos totales se distribuyen entre los 4 tipos de
computadoras.
Sea x1, x2, x3, x4 la cantidad total de computadoras producidas diariamente de cada clase. Se
sabe que la cantidad total de horas/hombre es de 504. Por lo tanto, la suma de las
distribuciones de horas-hombres en la producción de cada uno de las computadoras debe ser
menor o igual a 504.
Ganancias por cada
computadora
3 x1  4 x2  7 x3  20 x4  504
En los recursos de material quedaria:
20x1  25 x2  40 x3  50 x4  1970
10 x1  15 x2  20 x3  22 x4  970
10 x1  8 x2  10 x3  15 x4  601
Ing. Ada Paulina Mora González
Computad.
1
2
3
4
$
1000
700
1100
400
Página 30
METODOS NUMERICOS
Solución con el Algoritmo en Matlab:
%Método de Gauss-Jordán en matriz de 4x4
format short
B=input('Dame la matriz en corchete por filas')
s=length(B)
if s==5
B(1,:)=B(1,:)/B(1,1)
B(2,:)=B(2,:)-B(2,1)*B(1,:)
B(3,:)=B(3,:)-B(3,1)*B(1,:)
B(4,:)=B(4,:)-B(4,1)*B(1,:)
%COLUMNA 1 LISTA
B(2,:)=B(2,:)/B(2,2)
B(1,:)=B(1,:)-B(1,2)*B(2,:)
B(3,:)=B(3,:)-B(3,2)*B(2,:)
B(4,:)=B(4,:)-B(4,2)*B(2,:)
%COLUMNA 2 LISTA
B(3,:)=B(3,:)/B(3,3)
B(1,:)=B(1,:)-B(1,3)*B(3,:)
B(2,:)=B(2,:)-B(2,3)*B(3,:)
B(4,:)=B(4,:)-B(4,3)*B(3,:)
%COLUMNA 3 LISTA
B(4,:)=B(4,:)/B(4,4)
B(1,:)=B(1,:)-B(1,4)*B(4,:)
B(2,:)=B(2,:)-B(2,4)*B(4,:)
B(3,:)=B(3,:)-B(3,4)*B(4,:)
else
disp('La matriz original no es de 4x4')
end
Ing. Ada Paulina Mora González
Página 31
METODOS NUMERICOS
B=
3
20
10
10
20
50
22
15
504
1970
970
601
B=
168
1970
970
601
B=
4
25
15
8
7
40
20
10
4/3
25
15
8
7/3
40
20
10
20/3
50
22
15
4/3
-5/3
15
8
7/3
-20/3
20
10
20/3
168
-250/3
-1390
22
970
15
601
B=
4/3
-5/3
5/3
8
7/3
-20/3
-10/3
10
20/3
168
-250/3
-1390
-134/3
-710
15
601
B=
1
0
0
0
4/3
-5/3
5/3
-16/3
7/3
-20/3
-10/3
-40/3
20/3
168
-250/3
-1390
-134/3
-710
-155/3
-1079
B=
1
0
0
0
4/3
1
5/3
-16/3
7/3
20/3
168
4
50
834
-10/3
-134/3
-710
-40/3
-155/3
-1079
B=
1
0
0
0
0
1
5/3
-16/3
-3
-60
-944
4
50
834
-10/3
-134/3
-710
-40/3
-155/3
-1079
B=
1
0
0
0
0
1
0
-16/3
-3
-60
-944
4
50
834
-10
-128
-2100
-40/3
-155/3
-1079
B=
1
0
0
0
0
1
0
0
B=
1
20
10
10
B=
1
0
10
10
B=
1
0
0
10
B=
B=
B=
B=
B=
-3
4
-10
8
-60
50
-128
215
Ing. Ada Paulina Mora González
-944
834
-2100
3369
1
0
0
0
0
1
0
0
-3
4
1
8
-60
50
64/5
215
-944
834
210
3369
1
0
0
0
0
1
0
0
0
4
1
8
-108/5
50
64/5
215
-314
834
210
3369
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
8
-108/5
-6/5
64/5
215
-314
-6
210
3369
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-108/5
-6/5
64/5
563/5
-314
-6
210
1689
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-108/5
-6/5
64/5
1
-314
-6
210
15
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-6/5
64/5
1
10
-6
210
15
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
64/5
1
10
12
210
15
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
10
12
18
15
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METODOS NUMERICOS
METODO GAUSS-SEIDEL
Es un método iterativo que es una alternativa a los métodos de eliminación, para aproximar la
solución. Este método es el más comúnmente usado. Para una matriz de 3x3, y los elementos
de la diagonal principal no son todos ceros, se inicia con las primeras ecuaciones donde a x2 y
x3 se les da como valor inicial cero ya después los resultados calculados se utilizan en cada
ecuación a resolver. (Si la matriz aumenta de tamaño se usa el mismo procedimiento
agregando la ecuación respectiva)
(0.1)
x1 
c1  a12 x2  a13 x3
a11
x2 
c2  a21 x1  a23 x3
a22
x3 
c3  a31 x1  a32 x2
a33
Se saca el error aproximado para cada valor de x1, x2, x3.
Ejemplo: Use el método de Gauss-Seidel para obtener la solución del sistema:
3x1  0.1x2  0.2 x3  7.85
0.1x1  7 x2  0.3x3  19.3
0.3x1  0.2 x2  10 x3  71.4
Primero despejar la incógnita sobre la diagonal para cada una de las ecuaciones.
Ing. Ada Paulina Mora González
x1 
7.85  0.1x2  0.2 x3
3
x2 
19.3  0.1x1  0.3 x3
7
x3 
71.4  0.3 x1  0.2 x2
10
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METODOS NUMERICOS
Suponiendo que x2 y x3 al iniciar el cálculo de x1 valdrían cero, y se utilizaría:
x1 
7.85  0  0
 2.616667
3
x2 
19.3  0.1(2.616667)  0
 2.794524
7
x3 
71.4  0.3(2.616667)  0.2(2.794524)
 7.005610
10
Se sustituye el valor x1 ya calculado
Se sustituye el valor de x1 y x2 ya calculados anteriormente.
Esa sería la primera iteración y se procedería a hacer las iteraciones que se necesiten y con el
último valor calculado se tomara en cuenta para la nueva sustitución.
x1 
7.85  0.1(2.794524)  0.2(7.005610)
 2.990557
3
x2 
19.3  0.1(2.990557)  0.(7.005610)
 2.499625
7
x3 
71.4  0.3(2.990557)  0.2( 2.499625)
 7.000291
10
Conforme un nuevo valor de x se calcula este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación
para determinar el otro valor de x.
Ing. Ada Paulina Mora González
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