Introducción

METODOS NUMERICOS
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Introducción
Esta parte describe las técnicas para ajustar curvas en base a
datos para estimaciones intermedias. Una manera de hacerlo es
calcular los valores de la función en un numero discreto de
valores en el intervalo de interés. Después se obtiene una
función más simple para ajustar dichos valores. Estas dos
aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
Existen dos métodos para el ajuste de curvas que se distinguen
entre si al considerar la cantidad de error asociado con los
datos. Primero, si los datos exhiben un grado significativo de
error o ruido, la estrategia será obtener una sola curva que
represente la tendencia general de los datos.
Se construye una curva que siga la tendencia de los puntos
tomados como un grupo. Un procedimiento de este tipo se
llama REGRESION POR MINIMOS CUADRADOS.
Segundo, si se sabe que los datos son muy precisos, el
procedimiento básico será colocar una curva o una serie de
curvas que pasen por cada uno de los puntos en forma directa.
La estimación de valores entre puntos discretos bien conocidos
se llama INTERPOLACION.
ANTECEDENTE MATEMATICOS
La regresión por mínimos cuadrados requiere además de la
información en el campo de la estadística. Si usted conoce los
conceptos de la media, desviación estándar, suma residual de
los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza. Se
repasara el estudio del siguiente material como introducción.
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ESTADISTICA SIMPLE
Supóngase que la tabla 1 contiene 24 lecturas del coeficiente
de expansión térmica del acero. Tomados así, los datos ofrecen
una información limitada (tienen un mínimo y un máximo). Se
obtiene una mayor comprensión al analizar los datos mediante
uno o más estadísticos, bien seleccionados, que den tanta
información como sea posible acerca de las características
especificas del conjunto de datos.
TABLA 1. MEDICIONES DEL COEFIC. DE EXPANSION TERMICA DEL
ACERDO. (IN °F)
6.495
6.595
6.615
6.635
6.485
6.555
3.665
6.505
6.435
6.625
6.715
6.655
6.755
6.625
6.715
6.575
6.655
6.605
6.565
6.515
6.555
6.395
6.775
6.685
Esos estadísticos descriptivos se seleccionan para presentar:
1. La posición del centro de la distribución de los datos.
2. El grado de dispersión de los datos.
El estadístico de posición más común es la media aritmética.
Donde define como la suma de los datos (yi) dividida entre el
número de datos (n).
yi

y
n
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La medida de dispersión más común para una muestra es la
desviación estándar (sy) respecto a la media;
St
Sy 
n 1
Donde St es la suma total de los cuadrados de las diferencias
entre los datos y la media, o
St  ( yi  y )
2
Así, si las mediciones se encuentran muy dispersas alrededor de
la media, St, será grande. Si están agrupadas cerca de ella, la
desviación estándar será pequeña. La dispersión también se
puede representar por el cuadrado de la desviación estándar,
llamada varianza.
St
S 
n 1
2
y
Un estadístico final que tiene utilidad para cuantificar la
dispersión de los datos es el coeficiente de variación (c.v.). Es el
cociente de la desviación estándar entre la media. De esta
manera, proporciona una medición normalizada de la
dispersión.
c.v. 
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Sy
y
100%
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Esta es la razón de una medición de error (sy) respecto a un
estimado para los datos del valor verdadero ( y ).
Otra característica útil en el presente análisis es la distribución de
datos. Un histograma proporciona una representación visual
simple de la distribución. Si se tiene un conjunto de datos muy
grande, el histograma se puede aproximar mediante una curva
suave. La curva simétrica en forma de campana que se
sobrepone llamada “distribución normal”.
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De la tabla 1. Calcular la media, la varianza, la desviación
estándar y el coeficiente de variación para lo sdatos de la
tabla.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Sumatoria
yi
6.395
6.435
6.485
6.495
6.505
6.515
6.555
6.555
6.565
6.575
6.595
6.605
6.615
6.625
6.625
6.635
6.655
6.655
6.665
6.685
6.715
6.715
6.755
6.775
158.4
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( yi  y )2
0.042025
0.027225
0.013225
0.011025
0.009025
0.007225
0.002025
0.002025
0.001225
0.000625
0.000025
0.000025
0.000225
0.000625
0.000625
0.001225
0.003025
0.003025
0.004225
0.007225
0.013225
0.013225
0.024025
0.30625
0.217000
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Media
yi

y
n
=
158.4
 6.6
24
Desviación estándar.
Sy 
St
n 1
0.217000
 0.097133
24  1
La varianza.
S y2
= 0.009435
Y el coeficiente de variación.
0.097133
100%  1.47%
c.v.=
6.6
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y
 yi
n
x
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FORMULARIO
 xi
n
Suma total de los cuadrados
Desviación Estándar
Varianza
St
n 1
S y2 
St  ( yi  y )2
Sy 
S y/ x 
St
n 1
Sr
n  (m  1)
Coeficiente Variación
Sy
C.V . 
y
*100%
Regresión lineal
Ecuaciones normales
a1 
línea recta
n  xiyi   xi  yi
a0  y  a1 x
n  xi 2  ( xi ) 2
Suma de los cuadrados(respecto a línea recta)
Sr  ( yi  a0  a1xi)
Error estándar estimado
2
Coeficiente de determinación
r2 
y  a0  a1 x
St  Sr
St
S y/ x 
Sr
n2
Coeficiente de correlación
r 
St  Sr
St
Regresión Polinomial 2 grado
Ecuaciones Normales
y  a0  a1 x  a2 x2
Suma de los cuadrados
Sr  ( yi  a0  a1xi  a2 xi 2 )2
na0  ( xi)a1  ( xi 2 )a2   yi
( xi)a0  ( xi 2 )a1  ( xi 3 )a2   xiyi
( xi 2 )a0  ( xi 3 )a1  ( xi 4 )a2   xi 2 yi
Error estándar estimado
S y/ x 
Sr
n  (m  1)
Coeficiente de determinación
r2 
St  Sr
St
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Coeficiente de correlación
r 
St  Sr
St
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EJEMPLO DE UNA REGRESION LINEAL DANDO VALORES A “x” Y “y”, checar el formulario para ver
qué datos se necesitaron y hacer los cálculos para rectificar resultados.
Esta es la ecuación de la Recta para cualquier valor de “x” que le queramos asignar y con ello
formar la recta para mostrar la tendencia de los datos.
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