Algebra Superior 1 Mat. Frank Patrick Murphy

Álgebra Superior 1
Mat. Frank Patrick Murphy Hernandez
Tarea 2
Relaciones y Funciones
1. Sea P el conjunto de todas las proposiciones, se define la siguiente relación, P ∼ Q,
si P ⇐⇒ Q es una tautologı́a. Demuestre que la relación es de equivalencia.
2. Sea P/ ∼ la partición inducida por la relación de equivalencia anterior y defı́nase una
nueva relación, [P ] ≤ [Q], si P ⇒ Q es una tautologı́a. Demuestre que la relación esta bien
definida, es decir, si [P ] = [P 0 ] , [Q] = [Q0 ] y P ⇒ Q , entonces P 0 ⇒ Q0 .
3. Demuestre que P/ ∼ con la relación ≤ es un orden parcial.
4. Demuestre que para [P ], [Q] ∈ P/ ∼ el ı́nfimo esta dado por [P ∧ Q] y el supremo por
[P ∨ Q].
5. Demuestre que P/ ∼ tiene un elemento menor 0̄ y uno mayor 1̄.
6. Demuestre que para [P ] ∈ P/ ∼ existe [Q] ∈ P/ ∼ tal que su ı́nfimo es el 0̄ y su
supremo es 1̄.
7. Sea Z el conjunto de los enteros, defı́nase la siguiente relación ∼, x ∼ y, si x − y es
par. Demuestre que es una relación de equivalencia y que Z/ ∼= {[0], [1]} .
8. Sea S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1} y defı́nase la siguiente relación ∼, (x, y) = (x0 , y 0 ),
si (x, y) = (−x0 , −y 0 ) o (x, y) = (x0 , y 0 ). Demuestre que la relación es de equivalencia.
9. Sean A = {a, b, c, e, f, 1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5), (a, c), (
Grafiqué la relación.
10. Sea f : A −→ B una función. Demuestre que si I es un conjunto indicador , {A}i∈I
es una familia de subconjuntos de A y {B}i∈I es una familia de subconjuntos de B entonces:
T
T
• f ( i∈I Ai ) ⊆ i∈I f (Ai )
S
S
• f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai )
S
S
• f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi )
T
T
• f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi )
1
2
11. Demuestre que si f : A −→ B es una función inyectiva
entonces
para todoI conjunto
T
T
indicador y {A}i∈I familia de subconjuntos de A, f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ).
12. Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊂ B. Demuestre que f f −1 (D) ⊆ D y C ⊆ f −1 f (C).
13. Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊂ B. Demuestre que si f es supreyectiva entonces
f f −1 (D) = D y que si f es inyectiva entonces C = f −1 f (C).
14. Sean f : A −→ B y g : B −→ C. Demuestre que si gf es suprayectiva entonces g es
suprayectiva y que si gf es inyectiva entonces f es inyectiva.
15. Demuestre que para f : A −→ B son equivalentes:
• f es biyectiva.
• f tiene inversa derecha e inversa izquierda.
• f es cancelable por la izquierda y por la derecha.
16. Demuestre que si f : A −→ B es biyectiva entonces la inversa es única.
17. Sean f, g : N −→ N dadas por f (x) = 2x y g(x) = max{x − 3, 0}. Demuestre que f
es inyectiva dando una infinidad de inversas izquierdas y que g es suprayectiva dando una
infinidad de inversas derechas.
18. Sea A un conjunto. Demuestre |2A | = |P(A)|.
19. Sean A, B, C y D conjuntos tales que |A| = |C| y |B| = |D|. Demuestre que
= |C D |.
|AB |
20. Demuestre que la función f : N −→ Z dada por f (n) = (−1)n d n2 e es biyectiva.