ESCUELA DE CIENCAS BÁSICAS E INGENIERÍA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTON DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Este material es propiedad de la Corporación Universitaria Remington (CUR), para los estudiantes de la CUR en todo el país. 2010 Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.1 Algebra Lineal CRÉDITOS El módulo de estudio de la asignatura Algebra Lineal es propiedad de la Corporación Universitaria Remington. Las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas se relacionan en la bibliografía. El contenido del módulo está protegido por las leyes de derechos de autor que rigen al país. Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propósitos económicos o comerciales. AUTOR Elkin Ceballos Gómez Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional de Colombia Especialista en Matemáticas Aplicadas y Pensamiento Complejo [email protected] Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio o vicios de autoría; en caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Corporación Universitaria Remington, y se declaró como el único responsable. Primera versión. Febrero de 2010. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.2 Algebra Lineal TABLA DE CONTENIDO Contenido 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 5 1.1. IMPORTANCIA ......................................................................................................................... 5 2. PROPÓSITO GENERAL DEL MÓDULO .............................................................................. 6 2.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 6 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 6 2.3. COMPETENCIAS DE EGRESO.................................................................................................... 6 2.4. REQUISITOS DE INGRESO ........................................................................................................ 7 3. METODOLOGÍA.............................................................................................................. 8 4. EVALUACIÓN ................................................................................................................. 9 5. FICHA TÉCNICA DEL MÓDULO ...................................................................................... 10 6. MAPA DEL MÓDULO .................................................................................................... 11 Conocer el concepto de matriz y su importancia en la solución de sistemas de ecuaciones lineales................................................................................................................................... 11 Solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de técnicas matriciales y plantear situaciones problémicas que se resuelvan utilizando sistemas n X n. ........................................ 11 Determinar la ecuación de rectas y planos en el espacio. .............................................. 11 7. UNIDAD I – SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 ............................ 12 7.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 12 7.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 12 7.3. PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 13 7.4. TEMAS ................................................................................................................................... 14 7.4.1. Conceptos relacionados con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .... 14 7.4.2. 2x2 Métodos de solución de sistmas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas ó sistema 14 7.4.3. Ejercicios por temas .......................................................................................................... 40 7.5. PRUEBA FINAL ....................................................................................................................... 42 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.3 Algebra Lineal 8. UNIDAD II – MATRICES................................................................................................. 46 8.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 46 8.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 46 8.3. PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 47 8.4. TEMAS ................................................................................................................................... 49 8.4.1. Conceptos y definiciones .................................................................................................. 49 8.4.2. Algebra de matrices .......................................................................................................... 59 8.4.3. Ejercicios por temas .......................................................................................................... 73 8.5. 8.5.1. PRUEBA FINAL ....................................................................................................................... 75 Actividad Final ................................................................................................................... 75 9. UNIDAD III - SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO TÉCNICAS MATRICIALES. Y APLICACIONES ............................................................................................... 80 9.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 80 9.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 80 9.3. PRUEBA INICIAL ..................................................................................................................... 81 9.4. TEMAS ................................................................................................................................... 82 9.4.1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ...................................................................... 82 9.4.2. Métodos matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales ............................ 87 9.4.3. Sistemas de ecuaciones lineales solucionados con la matriz inversa ............................. 111 9.4.4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes ........................ 128 9.4.5. Aplicaciones: problemas que se resuelven planteando sistemas de ecuaciones lineales 132 9.4.6. Ejercicios por temas ........................................................................................................ 138 9.5. 9.5.1. 10. PRUEBA FINAL ..................................................................................................................... 140 Actividad Final ................................................................................................................. 140 UNIDAD IV – VECTORES. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ......................................... 145 10.1. OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................... 145 10.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................. 145 10.3. PRUEBA INICIAL ............................................................................................................... 146 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.4 Algebra Lineal 10.4. TEMAS ............................................................................................................................. 147 10.4.1. Vectores en R2 y R3......................................................................................................... 147 10.4.2. Rectas y Planos en R3 ...................................................................................................... 167 10.4.3. Ejercicios por temas ........................................................................................................ 176 10.5. PRUEBA FINAL ................................................................................................................. 178 10.5.1. Actividad.......................................................................................................................... 178 11. 11.1. 12. RESUMEN .................................................................................................................. 182 RELACIÓN CON OTROS TEMAS........................................................................................ 182 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................ 183 12.1. Documentos Digitales ..................................................................................................... 184 12.2. Citas ................................................................................................................................. 185 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.5 Algebra Lineal 1. INTRODUCCIÓN El desarrollo de la ciencia ha sido posible gracias a muchas disciplinas, entre ellas el ALGEBRA LINEAL, podemos afirmar que el Algebra Lineal, ha tenido una alta contribución en este desarrollo. Es por esto que el aprendizaje del Algebra Lineal debe ser una fuente que contribuya a la formación de todo estudiante que pretenda incursionar en áreas tales como: Ingenierías, administración, contaduría, costos, presupuestos, sistemas, entre otros; y además, es una herramienta de trabajo para la solución de situaciones problémicas propias del área que el estudiante trabaje. 1.1. IMPORTANCIA El advenimiento de los computadores le ha dado al algebra lineal un sitio de privilegio en el trabajo científico, ya que con esta poderosa herramienta de cálculo se han podido solucionar problemas que en la práctica eran no soluble por su tamaño. Cada vez más con el enfoque de nuevos paradigmas como lo son la teoría de la complejidad y desde la dinámica de sistemas se propone estudiar los sistemas desde una perspectiva más compleja, generando modelos más grandes y de más variables. La parte algorítmica del algebra lineal además de ser un fundamento en las ciencias de la computación, permite modelar situaciones a partir de sistemas de ecuaciones. Con este programa se busca brindar al alumno las herramientas matemáticas para sea capaz de modelar sistemas a partir de un conjunto de ecuaciones lineales y encontrar por medio de técnicas matriciales soluciones dichas ecuaciones, creando así horizontes de predicción y mejorando a toma de decisiones. Para acompañar el curso se recomienda utilizar el software matlab o derive con el objeto de liberar tiempo y ahorrar esfuerzo para ser invertido en una mejor comprensión de la parte conceptual y en la realización de aplicaciones a situaciones problémicas. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.6 Algebra Lineal 2. PROPÓSITO GENERAL DEL MÓDULO 2.1. OBJETIVO GENERAL Estudiar la representación matricial del modelo lineal para optimizar el manejo operativo del mismo, describiendo las técnicas matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Y posteriormente modelar situaciones reales por medio de sistemas de ecuaciones y encontrar sus soluciones 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Estudiar los conceptos fundamentales del modelo de transformación propuesto por el álgebra lineal. Desarrollar las técnicas analíticas para solucionar sistemas de ecuaciones. Formular sistemas de ecuaciones a problemas propuestos. Manejo conceptual de los algoritmos del algebra lineal. 2.3. COMPETENCIAS DE EGRESO Análisis de situaciones problema donde las herramientas fundamentales será la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones m x n, utilizando las matrices, sus operaciones y propiedades. Saber manejar adecuadamente el lenguaje matemático, simbólico y los procesos deductivos del algebra lineal. Emplear adecuadamente los elementos del álgebra lineal en la resolución de problemas. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.7 Algebra Lineal EL Algebra Lineal aporta al proceso de formación de estructuras de pensamiento analíticas en torno a la representación de situaciones problémicas. 2.4. REQUISITOS DE INGRESO Matemáticas Generales. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.8 Algebra Lineal 3. METODOLOGÍA PRESENCIAL Estudio teórico-práctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas cotidianas para ser representados por medio del modelo. La metodología del curso está fundamentada en un proceso interactivo de búsqueda de implementación de las características de un modelo a la cotidianidad. Se desarrolla un trabajo riguroso y dinámico de exploración en los conceptos y su operatividad matemática, así como un trabajo de campo. DISTANCIA Estudio teórico-práctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas cotidianas para ser representados por medio del modelo. La metodología del curso está fundamentada en un proceso interactivo de búsqueda de implementación de las características de un modelo a la cotidianidad. Se desarrolla un trabajo riguroso y dinámico de exploración en los conceptos y su operatividad matemática, así como un trabajo de campo. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.9 Algebra Lineal 4. EVALUACIÓN La evaluación del curso será de la siguiente manera: Seguimiento: Valor 30%. Consiste en evaluaciones cortas y/o en trabajos cortos. Mínimo se tomarán 5 notas durante el período. Parcial número 1: Valor 20% consiste en una evaluación escrita que se realizará en las fechas establecidas por la Universidad. Parcial número 2: Valor 20% consiste en una evaluación escrita que se realizará en las fechas establecidas por la Universidad. Coevaluación: Valor 20%. La coevaluación es un proceso continuo que se inicia desde el primer día de clase y se termina el último día de clase. Para la coevaluación se tiene en cuenta los siguientes parámetros: Asistencia, la cual es obligatoria cancelándose una asignatura con el 20% de inasistencia ó con el 30% de inasistencia si se tiene excusa. Logro de objetivos. Rendimiento académico. Solución de los talleres propuestos. El interés y la participación en las actividades de clase, entre otros. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.10 Algebra Lineal 5. FICHA TÉCNICA DEL MÓDULO Nivel de Formación Objetivos General Perceptual Explorar Describir X Aprehensivo Comparar X Analizar Comprensivo Explicar Predecir Proponer Integrativo Modificar Confirmar Evaluar Específica Administración de personal Administración Área Global Específicos X Explorar X Describir X Comparar Analizar Explicar Predecir Proponer Modificar Confirmar Evaluar Indicadores Metodológicos Propósito de Formación Competencias a Desarrollar Uso del Conocimiento Uso de Procedimientos X Fundamentación Conceptual X Fundamentación Procedimental Aplicación en el Saber Específico X Interpretativas Argumentativas Propositivas Capacidad para Representar X Capacidad para Reconocer Equivalencias X Capacidad para Recordar Objetos y sus propiedades Habilidad y Destreza para Usar Equipos X Habilidad y Destreza para Usar Procedimientos de Rutina Habilidad y Destreza para Usar Procedimientos Complejos Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.11 Algebra Lineal 6. MAPA DEL MÓDULO ÁLGEBRA LINEAL El álgebra lineal es una herramienta de uso cotidiano en la elaboración de diseños y la implementación y desarrollo de proyectos. El manejo de la conceptualización y aplicación de este modelo permitirá un ejercicio versátil de la acción en las diferentes áreas del conocimiento. OBJETIVO GENERAL Estudiar la representación matricial del modelo lineal para optimizar el manejo operativo del mismo, describiendo las técnicas matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Y posteriormente modelar situaciones reales por medio de sistemas de ecuaciones y encontrar sus soluciones. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Solucionar sistemas de ecuaciones lineales ó 2X2 utilizando varios métodos y plantear situaciones problémicas que se resuelven utilizando sistemas 2X2. Conocer el concepto de matriz y su importancia en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de técnicas matriciales y plantear situaciones problémicas que se resuelvan utilizando sistemas n X n. Determinar la ecuación de rectas y planos en el espacio. UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 Estudio teóricopráctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas. Estudio teóricopráctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas. Estudio teóricopráctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas. Estudio teóricopráctico de las características fundamentales del modelo. Búsqueda de definiciones de situaciones problémicas. la situación problémica. Búsqueda situaciones de problémicas definiciones cotidianas de para ser situaciones Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000representad Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington problémicas os por Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia cotidianas medio del para ser modelo. representad Intervenció os por n de la Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.12 Algebra Lineal 7. UNIDAD I – SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 7.1. OBJETIVO GENERAL Formular sistemas de ecuaciones a problemas propuestos. 7.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método gráfico. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método igualación. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método sustitución. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando el método reducción. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 utilizando determinantes. Plantear situaciones problémicas que se resuelven por sistemas 2X2. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.13 Algebra Lineal 7.3. PRUEBA INICIAL a. Grafique la línea recta: b. Grafique la línea recta: c. En un mismo plano cartesiano grafique las dos siguientes líneas rectas: d. En mismo plano cartesiano grafique las coordenadas del punto de corte: dos siguientes líneas rectas e indique las e. En un mismo plano cartesiano grafique las dos siguientes líneas rectas e indique el punto de corte de ambas rectas. y 2 x 1 y 2 x 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.14 Algebra Lineal 7.4. TEMAS 7.4.1. Conceptos relacionados con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas SITEMA DE ECUACIONES: Lo afirma BALDOR “Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas” 1 Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones con varias incógnitas. Cuando el sistema tiene dos ecuaciones lineales con dos incógnitas recibe el nombre de sistema lineal 2X2. 2 x 3 y 5 , es un sistema 2X2. x 4 y 10 Por ejemplo: El sistema El objetivo al solucionar un sistema 2 X 2 es encontrar las parejas que al reemplazarlas en la ecuación se obtiene una identidad, es decir una igualdad verdadera. Al solucionar un sistema de ecuaciones puede suceder: Que el sistema tenga una única solución, en este caso se encuentra un valor para cada incógnita. Que el sistema no tenga solución, esto se presenta cuando en el proceso de solución del sistema se llega a una igualdad falsa. No hay valor para cada incógnita que al reemplazarlos en cada ecuación produzca identidades. Que el sistema tenga infinitas soluciones, esto se presenta cuando en el proceso de solución del sistema llegamos a una igualdad verdadera (o a una identidad). Existen muchos valores para cada incógnita que al reemplazarlos en cada ecuación se producen identidades. 7.4.2. Métodos de solución de sistmas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas ó sistema 2x2 1 BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo. p. 320. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.15 Algebra Lineal Para solucionar sistemas 2X2 vamos a ver cinco métodos diferentes que son: 1. 2. 3. 4. 5. Método gráfico. Método por igualación. Método por sustitución. Método por reducción. Método por regla de Cramer o determinantes. 7.4.2.1 Método gráfico Este método consiste en graficar en un mismo plano cartesiano cada ecuación, y luego determinar las coordenadas del punto de corte, los valores de dicho punto corresponden a la solución del sistema. “…hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones de un sistema: (i) Las rectas se intersecan en un solo punto, (ii) Las ecuaciones describen la misma recta. O (iii) Las dos rectas son paralelas” 2 Cuando las rectas son paralelas, es decir no se cortan, esto quiere decir que el sistema no tiene solución. Cuando al graficar ambas rectas solo se observa una sola, esto quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones. No olvide que para graficar una línea recta, es suficiente con conocer las coordenadas de dos puntos sobre la línea recta, en muchos casos estas coordenadas corresponden a las intersecciones con los ejes. Ejemplos: Utilizando el método gráfico solucione los siguientes sistemas 2 X 2 Ejemplo1: 2 ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill. 1995. p. 413. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.16 Algebra Lineal Puntos para graficar Si , el punto tiene coordenadas: Si , el punto tiene coordenadas: Puntos para graficar Si Si , el punto tiene coordenadas: , el punto tiene coordenadas: La gráfica la podemos ver en la figura1: Figura 1. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.17 Algebra Lineal Podemos observar que las dos rectas se cortan en el punto Prueba: Lo cual es verdadero Lo cual es verdadero. La solución del sistema es: Ejemplo2: SOLUCIÓN Puntos para graficar: Si Tenemos que: Las coordenadas del punto son: Si Tenemos que Las coordenadas del punto son: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.18 Algebra Lineal Puntos para graficar: Si , El punto tiene coordenadas: Si El punto tiene coordenadas: La gráfica de estas dos rectas se puede ver en la figura 2 Figura 2. Podemos ver que ambas rectas se cortan en el punto de coordenadas Prueba en ecuación 1. Prueba en ecuación 2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.19 Algebra Lineal La solución del sistema es: Ejemplo3: La representación gráfica de estas dos ecuaciones se ve en la figura 3. Figura 3. Podemos ver que estas dos rectas son paralelas, es decir no se cortan por lo tanto el sistema no tiene solución. Ejemplo 4: La representación gráfica de estas dos ecuaciones se puede observar en la figura 4. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.20 Algebra Lineal Figura 4. Sólo se observa una sola recta, ya que las dos rectas coinciden, esto quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones. NOTA: La forma de indicar las soluciones de un sistema de ecuaciones, cuando este tiene infinitas soluciones, la veremos en la unidad 3. 7.4.2.2 Método igualación Vamos a explicar el desarrollo del método con un ejemplo: Solucione los siguientes sistemas 2 X 2 utilizando el método igualación: Ejemplo 1: PROCEDIMIENTO: 1. Es conveniente que enumere cada ecuación y cada resultado obtenido: 2. Despeje la misma variable de ambas ecuaciones. De ecuación 1 despejamos De ecuación 2 despejamos la : Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.21 Algebra Lineal 3. Iguale las dos ecuaciones anteriores, resulta una ecuación con una incógnita, soluciónela. Para el ejemplo vamos a igualar la ecuación 3 con la ecuación 4 Solucionamos esta ecuación para : 4. Reemplace el resultado anterior en cualquiera de las ecuaciones anteriores, preferiblemente en la ecuación 3 ó en la ecuación 4. Resulta una ecuación con una incógnita, soluciónela. Reemplacemos ecuación 5 en ecuación 3. 5. Se debe dar la prueba en las ecuaciones originales. Con Prueba en ecuación 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.22 Algebra Lineal Prueba en ecuación 2 La solución del sistema es: Ejemplo 2: SOLUCIÓN De ecuación 1 despejamos x. De ecuación 2 despejamos x: Igualemos la ecuación 3 y la ecuación 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.23 Algebra Lineal Reemplazamos la ecuación 5 en la ecuación 3. Prueba. En ecuación 1: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.24 Algebra Lineal En ecuación 2: La solución del sistema es: Ejemplo 3: SOLUCIÓN De ecuación 1 despejamos x De ecuación 2 despejamos x. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.25 Algebra Lineal Igualamos ecuación 3 con ecuación 4 Falso Podemos ver que se eliminó la variable y se llegó a una igualdad falsa, esto quiere decir que el sistema no tiene solución, ya terminamos. 7.4.2.3 Método sustitución Expliquemos el desarrollo del método con un ejemplo: Solucione el siguiente sistema 2X2. 2 x 3 y 5 x 4 y 10 PASOS: 1. Para identificar las ecuaciones es conveniente numerarlas. 2 x 3 y 5 x 4 y 10 Ecuación #1 Ecuación #2 2. De una de las ecuaciones despeje una de las variables. Por facilidad despeje de la ecuación #2 la x, queda: De ecuación #2, x 10 4 y Ecuación #3 3. Sustituya o reemplace la expresión anterior en la otra ecuación. La ecuación #3 se reemplaza en la ecuación #1: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.26 Algebra Lineal Queda: 2(10 4 y) 3 y 5 Resulta una ecuación lineal con una incógnita. 4. Despejamos la variable de la ecuación anterior. Queda: 20 8 y 3 y 5 20 3 y 5 5 y 15 y 3 Ecuación #4 5. El resultado anterior se reemplaza o sustituye en cualquiera de las ecuaciones anteriores, preferiblemente en la ecuación #3. Sustituyendo ecuación #4 en la ecuación #3, queda: x 10 4(3) 10 12 x2 PRUEBA En ecuación 1: 2 x 3 y 5 22 3 3 5 4 9 5 5 5 En ecuación 2: x 4 y 10 2 4 3 10 2 12 10 10 10 Entonces la solución del sistema es: x = 2, y = - 3 que se puede dar también como (2, - 3) correspondiendo siempre el primer valor a x, el segundo valor a y. Ejemplo 1: Utilizando el método sustitución solucione el sistema: 3x 5 y 10 y 2 x 11 SOLUCIÓN 3x 5 y 10 Ecuación 1 y 2 x 11 Ecuación 2 De ecuación 2 despejamos y y 11 2 x Ecuación 3 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.27 Algebra Lineal Reemplazamos ecuación 3 en la ecuación 1 3x 5 y 10 ecuación 1 3x 511 2 x 10 3x 55 10 x 10 13x 10 55 13x 65 x 65 / 13 x 5 ecuación 4 Reemplazamos ecuación 4 en ecuación 3 y 11 2 x Ecuación 3 y 11 25 y 11 10 y 1 Demos la prueba: En ecuación 1: 3x 5 y 10 ecuación 1 35 51 10 15 5 10 10 10 En ecuación 2: y 2 x 11 Ecuación 2 1 25 11 1 10 11 11 11 La solución del sistema es: x 5 y 1 Ejemplo 2: Utilizando el método sustitución solucione el sistema: 3x 4 y 2 6 x 8 y 4 SOLUCIÓN 3x 4 y 2 Ecuación 1 6 x 8 y 4 Ecuación 2 De ecuación 1 despejamos la x: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.28 Algebra Lineal 3x 4 y 2 Ecuación 1 3x 2 4 y x 2 4y Ecuación 3 3 Reemplacemos la ecuación 3 en la ecuación 2 6 x 8 y 4 ecuación 2 2 4y 6 8 y 4 22 4 y 8 y 4 4 8 y 8 y 4 4 4 3 Podemos ver que se eliminó la variable y se llegó a una igualdad verdadera (4 = 4), por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones. Cuando un sistema 2 X 2 tiene infinitas soluciones, para dar la solución se acostumbra despejar la primera variable de la última ecuación. Para nuestro sistema tenemos: De ecuación 2 despejamos x: 6 x 8 y 4 ecuación 2 6x 4 8 y x 4 8y 2 4y x 6 3 Como y puede asumir cualquier valor, decimos que la solución es: y t, x 2 4t , t lR 3 Es decir, La solución del sistema es: x 2 4t y t , con t lR 3 Para determinar las diferentes soluciones se le debe asignar valores a t. Por ejemplo: Para t = 0, la solución es: x 2 40 y 0 x 2/3t 0 3 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.29 Algebra Lineal Para t = 1, la solución es: x 2 41 y 1 x 2 / 3 t 1 3 Si queremos más soluciones le debemos dar valores a t. 7.4.2.4 Método reducción (o método de eliminación) Para resolver un sistema con el método eliminación se combinan las ecuaciones, con sumas o diferencias, de tal manera que se elimina una de las variables. MÉTODO DE ELIMINACIÓN 1. IGUALAR LOS COEFICIENTES. Se multiplica una o más de las ecuaciones por números adecuados para que el coeficiente de una de las variables en una de las ecuaciones sea el negativo del coeficiente correspondiente de la otra. 2. SUMAR LAS ECUACIONES. Se suman las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y a continuación se despeja la variable que queda.3 Con este método se busca que los coeficientes de una de las variables sean iguales en ambas ecuaciones y luego se restan o se suman término a término ambas ecuaciones. Ejemplos: Utilizando el método reducción, solucione cada una de las siguientes ecuaciones. Ejemplo1: 4x 3 y 5 2x y 7 SOLUCIÓN 4 x 3 y 5 Ecuación 1 2 x y 7 Ecuación 2 3 STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International Thomson Editores, 2001. p. 535. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.30 Algebra Lineal Inicialmente vamos a eliminar la x Ecuación 1 (2) 8 x 6 y 10 Ecuación 2 (4) 8 x 4 y 28 Luego sumamos ambas ecuaciones término a término: 8x 8x 10 y 18 y 6y 4y 10 28 10 y 18 18 9 y 10 5 Realizamos el mismo proceso para eliminar la y Ecuación 1 (1) 4 x 3 y 5 Ecuación 2 (3) 6 x 3 y 21 Ahora sumamos ambas ecuaciones término a término: 4x 6x 5 3y 21 26 10 x 10 x 26 x 3y 26 13 x 10 5 PRUEBA: En ecuación 1: 4 x 3 y 5 Ecuación 1 52 27 25 13 9 4 3 5 5 555 5 5 5 5 5 En ecuación 2. 2 x y 7 Ecuación 2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.31 Algebra Lineal 26 9 35 13 9 2 7 7 777 5 5 5 5 5 La solución del sistema es: x 13 9 y 5 5 Ejemplo2: 3 1 x y4 2 3 x y 1 SOLUCIÓN 3 1 x y 4 Ecuación 1 2 3 x y 1 Ecuación 2 Ecuación 1 1 3 1 x y4 2 3 3 3 3 3 Ecuación 2 x y 2 2 2 2 Sumando término a término: 3 x 2 3 x 2 1 y 3 3 y 2 2y 9y 11y 1 3 y y 3 2 6 6 4 3 2 4 3 8 3 11 2 2 2 Hay que resolver la ecuación: 11y 11 y 116 y 3 2 2 11 6 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.32 Algebra Lineal Aplicamos el mismo proceso para eliminar la otra variable: Ecuación 1 1 3 1 x y4 2 3 1 1 1 1 Ecuación 2 x y 3 3 3 3 Sumando término a término: 3 x 2 1 x 3 3 1 9 x 2 x 11 x x x 2 3 6 6 1 y 3 1 y 3 4 1 3 4 1 12 1 11 3 3 3 Se debe resolver la ecuación: 11 116 11 x x2 x 3 311 6 PRUEBA: En ecuación 1: Ecuación 1 3 2 1 3 4 3 1 4 4 4 2 3 En ecuación 2: Ecuación 2 2 3 1 2 3 1 1 1 La solución del sistema es: x 2 y 3 Ejemplo3: 2x 2 y 1 x y7 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.33 Algebra Lineal SOLUCIÓN 2 x 2 y 1 Ecuación 1 x y7 Ecuación 2 Ecuación 1 12 x 2 y 1 2x 2 y 1 Ecuación 2 2 x y 7 2 x 2 y 14 Sumando término a término: 2x 2x 2y 2y 1 0 13 14 Resulta la siguiente ecuación: 0 13 Podemos ver que se eliminaron ambas variables y se llegó a una igualdad falsa. Por lo tanto el sistema no tiene solución, ya se terminó. Respuesta: El sistema no tiene solución. 7.4.2.5 Método determinantes Un determinante 2 X 2 es una expresión de la forma: En la columna 1 tenemos las entradas En la columna 2 tenemos las entradas El determinante es un número que se obtienen como: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.34 Algebra Lineal Más adelante profundizaremos más sobre los determinantes. Ejemplos: Calcule los siguientes determinantes: Ejemplo 1: SOLUCIÓN Ejemplo 2: SOLUCIÓN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DETERMINANTES: Dado un sistema 2 X 2 de la forma: ax by E cx dy F Se debe cumplir que: Las variables estén en el mismo orden en las dos ecuaciones. El término independiente este en el lado izquierdo de la ecuación. Se deben reducir términos semejantes. Para este sistema podeos escribir 3 determinantes así: D a b c d , D1 E b F d D2 a E c F Dónde: Se forma poniendo los coeficientes de las variables. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.35 Algebra Lineal Se forma cambiando las entradas de la primera columna del determinante D con las entradas del término independiente. Se forma cambiando las entradas de la segunda columna del determinante D con las entradas del término independiente. La solución del sistema es: x D1 D y 2 D D Ejemplos: Utilizando determinantes, solucione los siguientes sistemas de ecuaciones: Ejemplo 1: 5x 3 y 6 2x 7 y 4 SOLUCIÓN 5 3 D 2 D1 D2 7 57 2 3 35 6 41 D 41 6 3 4 7 5 6 2 4 67 4 3 42 12 54 D1 54 54 26 20 12 8 D2 8 La solución del sistema es: x D1 54 D 8 y 2 D 41 D 41 PRUEBA: En ecuación 1: 270 24 246 54 8 5 3 6 6 666 41 41 41 41 41 En ecuación 2: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.36 Algebra Lineal 108 56 164 54 8 2 7 4 4 444 41 41 41 41 41 La solución del sistema es: x 54 8 y 41 41 Ejemplo 2: 3x 2 y 20 5x 2 y 8 SOLUCIÓN D 3 2 5 D1 D2 2 32 5 2 6 10 16 D 16 20 2 8 2 3 20 5 8 202 8 2 40 16 56 D1 56 38 520 24 100 76 D2 76 La solución del sistema es: x D1 56 7 76 19 y D 16 2 16 4 PRUEBA: En ecuación 1: 3x 2 y 20 21 19 40 7 19 3 2 20 20 20 20 20 2 2 2 2 4 En ecuación 2: 5x 2 y 8 35 19 16 7 19 5 2 8 8 888 2 2 2 2 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.37 Algebra Lineal La solución del sistema es: x 7 19 y 2 4 7.4.2.6 Aplicaciones Para la solución de problemas, se sugiere el siguiente procedimiento: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. ASIGNAR LETRAS A LAS VARIABLES. Se asignan letras para representar las cantidades variables del problema. Por lo general, la última oración del problema indica lo que se pregunta, de modo que eso es lo que debe representar las letras asignadas. 2. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA. Si es posible, trazar un diagrama, o formar una tabla que ayude a visualizar la relación entre las cantidades que intervienen en el problema. 3. TRADUCIR LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN ECUACIONES. Traducir la información sobre las variables que aparecen en el problema. Recuerde que una ecuación sólo es una afirmación escrita, usando los símbolos de las matemáticas. 4. RESOLVER LAS ECUACIONES E INTERPRETAR LOS RESULTADOS. Resolver las ecuaciones formuladas en el paso 3 y expresar con palabras lo que significan las soluciones, en términos de los significados originales de las variables4 Ejemplo 1: Una mujer planea invertir un total de US$ 2.500. Parte de él lo pondrá en un certificado de ahorros que paga una tasa de interés del 9.5% anual y el resto lo pondrá en un fondo de inversiones que paga una tasa de interés del 13% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada uno para obtener una ganancia del 11.6% sobre su dinero después de un año? SOLUCIÓN: Sea x: Cantidad invertida en el certificado de ahorros Sea y: Cantidad invertida en el fondo de inversiones. Se tiene que: 4 Ibíd., p. 543. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.38 Algebra Lineal x y 2500 ecuación #1 9.5 x El dinero ganado en un año en el certificado de ahorros es el 9.5% de x, es decir 100 13 y El dinero ganado en un año en el fondo de inversiones es el 13% de y, es decir 100 11.6 * 2.500 290 La ganancia total es del 11,6% de US$ 25000, es decir: 100 9.5 13 x y 290 ecuación # 2 100 Se tiene que 100 Se debe solucionar el sistema: x y 2500 ecuación #1 9.5 13 x y 290 ecuación # 2 100 100 Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente. La solución es: US$ 1.000 en el certificado y US$ 1.500 en el fondo de inversiones. Ejemplo 2: “Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por 514 dólares y más tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por 818 dólares. Halle el costo de una vaca y el costo de un caballo.”5 SOLUCIÓN Sea x: el costo de una vaca en dólares. Sea y: el costo de un caballo, en dólares. Se tiene que: 4 x 7 y 514 ecuación # 1 8x 9 y 818 ecuación # 2 5 BALDOR. Op. Cit., p. 358. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.39 Algebra Lineal Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente. La solución es: Una vaca cuesta 55 dólares, un caballo cuesta 42 dólares. Ejemplo 3: Una persona tiene 4100 $ en 13 monedas de 500 $ y de 200 $. Determine cuantas monedas de 500 $ y cuantas monedas de 200$ tiene la persona. SOLUCIÓN Sea x: Cantidad de monedas de 200 pesos que tiene la persona. Sea y: Cantidad de monedas de 500 pesos que tiene la persona. Se tiene que: x y 13 ecuación # 1 200 x 500 y 4100 ecuación # 2 Se deja al estudiante para que solucione el sistema por el método que más crea conveniente. La solución es: La persona tiene 8 monedas de 200 pesos y 5 monedas de 500 pesos. Ejemplo 4: “La diferencia de dos números es 40 y de su suma es 11. Halle los dos números.”6 SOLUCIÓN Sea x: Uno de los números. Sea y: El otro número. Se tiene que: x y 40 ecuación # 1 6 Ibíd., p. 357. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.40 Algebra Lineal 1 x y 11 x y 88 8 x y 88 ecuación # 2 Se debe solucionar el sistema: x y 40 ecuación # 1 x y 88 ecuación # 2 Cuya respuesta es: x = 64, y = 24. 7.4.3. Ejercicios por temas 3x 2 y 10 7 x 6 y 62 indique si el punto (2,8) es o no es solución del sistema. Dado el sistema: Justifique su respuesta. a. Solucione los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando dos métodos diferentes. 6 x 9 y 15 4 x 3 y 21 7 3 5 x y 5 4 6 3 1 12 x y 7 2 x 11y 18 6 x 12 y 21 b. Para solucionar las siguientes situaciones problémicas, plantee sistemas de ecuaciones 2X2 y resuélvalas utilizando el método que desee: 1. En 30 billetes de 10 mil pesos y de 5 mil pesos se tienen 210 mil pesos. Diga cuantos billetes de 10 mil pesos y cuantos billetes de 5 mil pesos hay. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.41 Algebra Lineal 2. En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 7 mil pesos y cada niño pagó 5 mil pesos por su entrada. La recaudación es de $ 4’100 000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños hay en el cine? Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.42 Algebra Lineal 7.5. PRUEBA FINAL 1. Solucione los siguientes sistemas 2 X 2 y las situaciones problémicas planteadas, utilizando el método que desee. a. 3x 11y 20 14 x 5 y 42 3 12 5 x 41 2 4 8 x y 10 7 b. 2. Una persona tiene $ 7’000.000 para invertir. Una parte la invierte a una tasa de interés del 4.5% anual, el cuádruple de la parte anterior la invierte a una tasa de interés del 6% anual y el resto lo invierte a una tasa de interés del 5% anual. Si el interés total ganado en un año es de $ 435.000, Determine el interés ganado en cada una de las inversiones. 3. Una fábrica dispone de dos máquinas para producir dos artículos A y B. Para producir una unidad del artículo A se requiere utilizar la máquina I cinco horas y la máquina II seis horas 30 minutos. Para producir una unidad del artículo B se necesita tres horas y media y dos horas en cada máquina respectivamente. Si la máquina I se encuentra disponible al mes 715 horas y la máquina II 700 horas. Determine cuantas unidades de cada artículo se pueden producir mensualmente. 4. Actividad: Resuelva los siguientes sistemas 2X2 y las situaciones problémicas utilizando el método que desee: a. 13x 14 y 0 2 x y 15 4 x 2y 5 7 5 x y 4 9 b. 6 c. 2 5 7 15 7 5 x y x y 9 6 4 2 18 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.43 Algebra Lineal 4 4 7 x 8y 3 7 5 x y 11 18 d. 12 2 5 7 5 17 5 x y x y 4 10 4 18 9 e. 5 5. Una persona invirtió $ 3’800.000: Parte a una tasa de interés del 6% anual y el resto a una tasa de interés del 7% anual. El interés ganado al final de un año, fue equivalente a una tasa del 6.5% de la inversión inicial. ¿Cuánto fue invertido a cada tasa? 6. 6 Libras de café y 5 libras de azúcar costaron $ 8100 y 5 libras de café y 4 libras de azúcar costaron $ 6650. Halle el precio de una libra de café y el precio de una libra de azúcar. 7. Una persona tiene: a. b. $ 3400 en monedas de $ 50 y $100. Si tiene en total 47 monedas. ¿Cuántas monedas tienen de cada denominación? $ 99000 en billetes de $ 1000, $ 5000 y $ 10000; si tiene 26 billetes, y la cantidad de billetes de $ 1000 es el doble de la de $ 5000. ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación? 8. Un hacendado compró 5 vacas y 7 caballos por $ 44.5 millones, luego a los mismos precios compró 8 vacas y 3 caballos por $ 26.1 millones. Halle el costo de cada vaca y de cada caballo. 9. El doble de un número menor más el triple de otro número mayor es 44. El doble del número mayor menos el triple del número menor es igual a -1. ¿Cuáles son los números? 10. “La suma de dos números es 190 y 86.”7 de su diferencia es 2. Halle los números. R: 104 y 11. En un cine 15 entradas de adulto y 20 entradas de niño cuestan $ 220 000. 12 entradas de adulto y 25 entradas de niño cuestan $ 221000. Determine el valor de la entrada para niño y el valor de la entrada para adulto. 7 Ibíd., p. 357 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.44 Algebra Lineal 12. “Las edades de A y de B están en la relación 5 a 7. Dentro de 2 años la relación entre la edad de A y la edad de B será de 8 a 11. Halle las edades actuales. R: 30 y 42 años.”8 13. “La edad actual de A guarda con la edad actual de B la relación 2 a 3. Si la edad que tenía A hace 4 años se divide por la edad que tendrá B dentro de 4 años, el resultado es . Halle las edades actuales de A y de B.”9 14. “Cuando empiezan a jugar A y B la relación de lo que tiene A y lo que tiene B es 10 a 13. Después que A le ha ganado 10 mil pesos a B la relación entre lo que tiene A y lo que le queda a B es 12 a 11. ¿Con cuánto dinero empezó a jugar cada uno? R: 50 mil pesos y 65 mil pesos.”10 15. “Si A le da a B 1 millón de ambos quedan con lo mismo. Si B le da a A 1 millón de pesos, A quedará con el triple de lo que le queda a B. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?”11 16. Si B le da a A 2 dólares ambos quedan con lo mismo y si A le da a B 2 dólares; B queda con el doble de lo que le queda a A. ¿Cuánto tienen cada uno? 17. “Si Pedro le da a Juan 3 millones de pasos, ambos quedan con igual cantidad de dinero. Si Juan le da a Pedro 3 millones de pasos, este tiene 4 veces lo que le queda a Juan. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?”12 18. Si A le da a B 50 mil pesos, ambos quedan con el mismo dinero. Si B le da a A 50 mil pesos, A queda con 5 veces el dinero de B, ¿cuánto dinero tiene cada uno? 19. “Hace 10 años la edad de A era el doble que la edad de B; dentro de 10 años la edad de B será los de la edad de A. Halle las edades actuales.”13 20. “Hace 6 años la edad de A era el doble que la edad de B; dentro de 6 años será los edad de B. Halle las edades actuales. R: 42 y 24 años.”14 de la 8 Ibíd., p. 360 Ibíd., p 360. 10 Ibíd., p 360. 11 Ibíd., p. 364. 12 Ibíd., p 364. 13 Ibíd., p. 364. 14 Ibíd., p 364 9 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.45 Algebra Lineal 21. “La edad actual de un hombre es los de la edad actual de su esposa. Dentro de 4 años la edad de su esposa será los de la edad de su esposo. Halle las edades actuales. R: 36 y 20 años.”15 22. “Un padre le dice a su hijo: Hace 6 años tu edad era de la mía; dentro de 9 años será los . Halle ambas edades.”16 23. “Pedro le dice a Juan: Si me das 15, tendré 5 veces lo que tú. Juan le dice a Pedro: Si me das 20, tendré 3 veces lo que tú. ¿Cuánto tiene cada uno?” 17 24. Un grupo de 65 personas, entre adultos y niños entraron a cine. Si la entrada para adultos cuesta a $7.500 y tiene un costo de $2.000 más que la entrada para niños y en total se obtuvo un ingreso por entradas de $ 407.500. Determine: ¿Cuál fue el ingreso obtenido por la entrada de los niños? 15 Ibíd., p. 364 Ibíd., p. 364 17 Ibíd., p. 364 16 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.46 Algebra Lineal 8. UNIDAD II – MATRICES 8.1. OBJETIVO GENERAL Estudiar los conceptos fundamentales del modelo de transformación propuesto por el álgebra lineal. 8.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Realizar operaciones básicas con matrices. Identificar algunos tipos de matrices y sus propiedades. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.47 Algebra Lineal 8.3. PRUEBA INICIAL 1. Para cada una de los siguientes arreglos rectangulares indique el número de columnas y el número de renglones que tiene: 4 5 3 2 7 8 5 4 6 a. 8 9 0 7 1 0 6 3 / 2 1 / 4 16 8 7 b. 53 3 12 c. 2 8 7 9 4 2 1 20 0 3 21 16 7 5 1 d. 2. Dada el siguiente arreglo: 6 20 A 5 4 7 18 3. Indique el valor de las siguientes entradas: Entrada que se encuentra en el renglón tres y columna 2. Entrada que se encuentra en el renglón 2 columna 2. Entrada que se encuentra en el renglón 1 columna 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.48 Algebra Lineal 4. Dado el siguiente arreglo: 0 6 1/ 2 5 7 1 3 / 4 5 / 3 B 2 8 9 11 7 6 3 1 4 3 8 120 Indique el valor de las siguientes entradas: Entrada que se encuentra en el renglón 5 y columna 3. Entrada que se encuentra en el renglón 2 columna 2. Entrada que se encuentra en el renglón 1 columna 4. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.49 Algebra Lineal 8.4. TEMAS 8.4.1. Conceptos y definiciones 8.4.1.1 Algo de historia Los orígenes de cada una de las áreas que componen el álgebra lineal se diluyen a través de la historia de la humanidad. En textos chinos y babilonios de más de 2000 años de antigüedad se han encontrado sistemas de ecuaciones lineales enunciados a partir de problemas reales, pero con el indudable propósito de educar al estudiante en los procedimientos matemáticos. El término matriz se mencionó por primera vez en un artículo escrito por el matemático inglés James Sylvester en 1850, pero el concepto de producto de matrices fue desarrollado por “El Principe de la matemática” Karl Friederich Gauss (1777 – 1855), quién lo presento en su obra Disquisitiones Arithmeticae a partir de la composición de transformaciones lineales. Por su parte, el también matemático inglés Arthur Cayley introdujo en un artículo publicado en 1855 la noción de Inversa de una matriz. Al igual que Sylvester, Calyley se hizo abogado y durante los primeros años de ejercicio profesional conoció a Sylvester, con quien entabló una am amistad que permaneció durante 40 años y fue muy fructífera para el desarrollo del álgebra lineal.18 MATRIZ: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos, llamados entradas de la matriz. Para la representación simbólica de matrices se utilizan letras mayúsculas en negrita como A, B, C, etc. Los elementos dentro de la matriz se encierran entre paréntesis o entre corchetes, entre llaves no. Cada elemento se distribuye en renglones (o filas) y en columnas LOS RENGLONES: Son los arreglos horizontales. LAS COLUMNAS: Son los arreglos verticales. Los renglones se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas se enumeran de izquierda a derecha. 18 BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con tecnología aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977. p. 177. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.50 Algebra Lineal Cada elemento dentro de la matriz tiene una posición definida esta posición se identifica por el renglón y la columna a la cual pertenece. Para nombrar un elemento cualquiera, se utiliza la notación de doble subíndice: aij , bij Por lo tanto cada elemento de una matriz se identifica por su fila y su columna. Por ejemplo el elemento a37 se ubica en el renglón 3 y en la columna 7. Siempre el primer subíndice corresponde al renglón y el segundo subíndice corresponde a la columna. Ejemplo 1: Para la matriz: 42 6 2 B 5 1 14 33 15 0 Identifique el elemento correspondiente a las siguientes posiciones: b23 , b33 , b12 b31 Solución b23 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 3, es decir – b 14 14, esto implica que 23 La entrada La entrada b33 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 3, es decir 0, b33 0 esto implica que La entrada b12 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 1 y columna 2, es decir 6, esto implica que b12 6 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.51 Algebra Lineal b31 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 1, es decir – b 33 33, esto implica que 31 La entrada Ejemplo 2: Para la matriz: 10 2 3 43 C 51 60 70 88 Identifique el elemento correspondiente a las siguientes posiciones: c22 , c33 , c21 c42 Solución La entrada c 22 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 2, es decir 43, esto implica que c22 43 c33 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 3 y columna 3, como esta c matriz sólo tiene 2 columnas, la entrada 33 no existe. La entrada La entrada c 21 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 2 y columna 1, es decir 3, esto implica que c21 3 La entrada c 24 corresponde al elemento que se encuentra en el renglón 4 y columna 2, es decir 88, esto implica que c42 88 En términos generales una matriz tiene m renglones y n columnas. Donde m y n son enteros positivos. Orden de una matriz: Se dice que el orden de una matriz (es decir el número de elementos que tiene) se obtiene al multiplicar el número de renglones por el número de columnas. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.52 Algebra Lineal Una matriz A de m renglones y n columnas se denota por Amxn y se dice que su orden es m X n. A aij Una matriz A de orden m X n también se puede simbolizar como: Siempre el primer valor corresponde al número de renglones y el segundo valor al número de columnas. Matriz cuadrada: Una matriz donde el número de renglones es igual al número de columnas, se llama una matriz cuadrada y se denota como An, siempre se especifica que es una matriz cuadrad. Ejemplo 1: La matriz: 7 6 5 A 0 18 9 7 / 5 9 / 4 30 Es una matriz cuadrada de orden 3. Ejemplo 2: La matriz: 0 17 3 5 73 1 91 8 B 2 50 4 3 0 8 9 10 21 Es una matriz cuadrada de orden 4 Ejemplo 3: La matriz: 18 6 28 53 0 0 C 92 0 71 35 2 10 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.53 Algebra Lineal No es cuadrada, ya que tiene 4 renglones y 3 columnas, decimos que es una matriz de orden 4 x 3. NOTA: Una matriz A de orden m X n se escribe en términos generales como: a11 a A 21 a m1 a12 a13 a 22 a 23 a32 am3 ... a1n ... a 2 n ... a mn El primer índice indica el renglón y el segundo índice indica la columna. De esta manera se puede indicar exactamente la posición de la entrada o elemento. Generalizando, se dice que el símbolo a ij denota la entrada en el renglón i y en la columna j Ejemplo1: Construya una matriz A 3 X 5 donde a14 es 2, a11 es 1, a22 3 y el resto son ceros. SOLUCIÓN a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32 a13 a14 a 23 a 24 a33 a34 a15 a 25 a35 0 0 a14 2 0 a11 1 A 0 a 22 3 0 0 0 0 0 0 0 0 La matriz queda: 1 0 0 2 0 A 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplo2: Construya una matriz columna de tres entradas, tal que Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.54 Algebra Lineal a21 16, a11 20 a31 0 20 16 0 Ejemplo3: Si tiene orden 3 X 4 y a A aij ij i j para todo i y para todo j, escriba la matriz A. SOLUCIÓN a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32 a13 a 23 a33 Aplicando la fórmula: a14 a 24 a34 aij i j a11 1 1 a12 1 2 a13 1 3 a14 1 4 A a 21 2 1 a 22 2 2 a 23 2 3 a 24 2 4 a31 3 1 a32 3 2 a33 3 3 a34 3 4 La matriz queda: 2 3 4 5 A 3 4 5 6 4 5 6 7 Ejemplo4: Construya la matriz I de 3 X 3, con aij 1, para i j aij 0, para i j SOLUCIÓN a11 a12 I a 21 a 22 a31 a32 a13 a 23 a33 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.55 Algebra Lineal a11 1, a22 1 a33 1 , ya que en estas entradas i j , es decir, en estas entradas el renglón y la columna tienen el mismo sub índice. a12 0, a13 0, a21 0, a23 0, a31 0 a32 0 , ya que en estas entradas i j , es decir, en estas entradas el renglón y la columna tienen diferente sub índice. La matriz queda: 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 Matriz nula ó matriz cero: Es una matriz de orden mxn donde todas las entradas son iguales a cero. Ejemplo1: La matriz nula de orden 5 X 4 es: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplo3: La matriz nula de orden 2 X 2 es: 0 0 0 0 Matriz identidad Se simboliza con la letra I . Es una matriz cuadrada en la cual todas las entradas de la diagonal son iguales a uno y las demás entradas son iguales a cero. Ejemplos: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.56 Algebra Lineal 1 0 I2 0 1 : Matriz identidad de orden 2 1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1 : Matriz identidad de orden 3 1 0 I4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 : Matriz identidad de orden 4 1 0 0 In 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 : Matriz identidad de orden n. Diagonal principal de una matriz: La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos: a11 , a22 , ..., ann Transpuesta De Una Matriz matriz de orden m X n. La transpuesta de A , que se simboliza A A aij AT , es la matriz de orden n X m, obtenida al intercambiar los renglones y las columnas en la matriz A . Sea De manera breve se puede escribir: t Podemos decir que: Si AT a ji Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.57 Algebra Lineal a11 a A 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a 2 n a mn Entonces: a11 a T A 12 a1n a 21 a m1 a 22 a m 2 a 2 n a mn NOTA: Para determinar la transpuesta de una matriz A, basta con poner las columnas como renglones ó los renglones como columnas. Ejemplos: Dadas las siguientes matrices, escriba la transpuesta de cada una de ellas: Ejemplo1: 6 5 7 2 40 8 A 19 6 5 1 2 3 SOLUCIÓN: La matriz A es de orden 4 X 3, entonces su transpuesta debe ser de orden 3 X 4. Para hallar AT, se debe escribir las columnas como renglones, esto es: 5 2 19 1 A 7 40 6 2 6 8 5 3 T Ejemplo2: 8 / 3 5 6 B 3 2 1/ 4 4 7 5 / 3 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.58 Algebra Lineal Escribiendo los renglones en las columnas, tenemos: 4 8 / 3 3 B 5 2 7 6 1 / 4 5 / 3 T Ejemplo3: 8 3 / 5 C 2 100 Escribiendo la columna como renglón, tenemos: C T 8 3 / 5 2 100 Matriz Simétrica T La matriz cuadrada A de orden n se llama matriz simétrica si: A A Ejemplos: 5 2 3 8 9 A AT 3 1 6 , B B T 4 8 6 2 10 9 4 10 3 0 1 0 9 8 1 8 0 Matriz Triangular Superior Una matriz cuadrada es triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal son iguales a cero. Ejemplo: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.59 Algebra Lineal 5 0 0 0 9 3 5 8 0 2 3 0 0 3 4 7 Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada es triangular inferior si todas las entradas arriba de la diagonal son iguales a cero Ejemplo: 8 0 0 3 2 0 5 6 1 Matriz Triangular Cuando la matriz es triangular superior o inferior. Matriz Diagonal Una matriz cuadrada es diagonal si los elementos por fuera de la diagonal son todos cero. Ejemplo: 0 0 0 15 0 27 0 0 0 0 22 0 0 0 16 0 8.4.2. Algebra de matrices 8.4.2.1 Igualdad de matrices Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.60 Algebra Lineal Si y B b , son matrices, A es igual a B si se cumple que: A aij ij A y B tienen el mismo orden Si las entradas correspondientes de A y de B son iguales, esto es: A B aij bij Para todo i j Nota: Si dos matrices tienen diferente orden, no pueden ser iguales Ejemplo1: Las matrices: 3 2 3 2 15 0 15 0 B A 8 6 8 6 3 21 3 21 Son iguales, ya que tienen el mismo orden (ambas son matrices 4 X 2) y además sus entradas correspondientes son iguales. Podemos ver que: a11 b11 3, a12 b12 2, a21 b21 15, a22 b22 0, y así sucesivamente Ejemplo2: 16 x y z 10 3 A B 8 5 9 y la matriz w p 9 , sean iguales, se debe cumplir Para que la matriz que: z 16, x 10, y 3, w 8, p 5 9 9 Suma De Matrices Para que la suma de matrices se pueda efectuar, se debe cumplir que las matrices deben tener igual orden, si esto no se cumple, la suma de matrices no se puede efectuar. A a B b ij ij Si y , son matrices de orden m X n, la suma A + B es una matriz de orden m X n obtenida al sumar las entradas correspondientes, esto es: A B aij bij aij bij Ejemplos Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.61 Algebra Lineal 2 3 9 5 A 7 3 5 6 Si 8 9 5 4 8 6 B 2 5 2 1 3 6 4 3 9 2 , Halle: A B SOLUCIÓN 25 9 8 A B 7 2 56 7 12 1 11 A B 5 8 11 9 39 56 3 5 63 8 4 12 12 7 4 3 98 11 7 7 2 3 5 11 2 9 1 2 9 3 11 12 7 11 3 Ejemplo2: 5 7 5 7 A 3 2 B 3 8 9 10 6 15 Si: Halle: a. A B b. B A c. A B d. A A SOLUCIÓN A B 7 7 10 0 55 A B 3 3 2 8 6 10 9 6 10 15 15 25 b. B A 5 5 7 7 10 0 B A 3 3 8 2 6 10 6 9 15 10 15 25 c. A B a. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.62 Algebra Lineal 7 7 0 14 55 A B 3 3 2 8 0 6 9 6 10 15 3 5 d. A A 7 7 10 14 55 A A 3 3 2 2 6 4 9 9 10 10 18 20 Multiplicación Por Un Escalar En matrices a los números se le llama escalares, y por lo general son números reales. Para indicar que un número k es un escalar, se escribe: k lR Sea k lR . Sea A una matriz de orden mxn El producto kA Ak se llama multiplicación por escalar. Se obtiene al multiplicar cada entrada de la matriz A por el escalar, es decir, kA k aij kaij Ejemplo1: 8 3 9 A 9 6 7 0 5 1 Si Halle: 2 A a. b. 3 A SOLUCIÓN 28 2 3 29 16 6 18 29 26 27 18 12 14 2 A 20 25 2 1 0 10 2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.63 Algebra Lineal 38 3 3 39 24 9 27 39 36 37 27 18 21 15 3 3 A 30 35 3 1 0 8.4.2.2 Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por escalar Sean A, B C Tres matrices de orden mxn , sean k dos escalares. Entonces: A 0 A mn mn mn 1. 2. 0 A 0 3. A B B A 4. kA Ak 5. 1A A 6. 1A A 7. 8. 9. k A B kA kB k A kA A A BT AT BT Multiplicación de matrices ó producto matricail Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz. La matriz producto tendrá el número de renglones de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz. Amn Bnq Cmq Ejemplo: A3 x5 B5 x 4 C3 x 4 A2 x1 B1x 6 C2 x 6 A4 x 7 B4 x3 No se puede realizar , ya que las columnas de la primera matriz (7), son diferentes a los renglones de la segunda matriz (4) Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.64 Algebra Lineal Procedimiento para multiplicar matrices Si Amn es una matriz de orden m X n, y Bnq es una matriz de orden n X q, la multiplicación de la C mq matriz A por la matriz B dará una matriz matriz Amn Bnq Cmq Amxn Si: a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 , se procede de la siguiente manera: a1n b11 b12 b1q b b22 b2 q a2n 21 Bnxq a mn bn1 bn 2 bnq a11 a 21 A B a La multiplicación mn nq m1 Dará una matriz C mq c11 c 21 c m1 C mq c12 c 22 cm 2 de orden m X q, para determinar las entradas de la a12 a 22 am2 a1n a 2 n a mn b11 b12 b1q b 21 b22 b2 q bn1 bn 2 bnq de la forma: c1q c 2 q c mq Las entradas de la matriz Renglón 1 C mq se obtienen de la siguiente manera: c11 Se obtiene multiplicando las correspondientes entradas del primer renglón de la primera matriz por las correspondientes entradas de la primera columna de la segunda matriz como se puede observar en la figura1: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.65 Algebra Lineal Figura 1 Es decir c11 a11b11 a12b21 a13b31 ... a1n bm1 Para obtener c12 se efectúa la multiplicación que muestra la figura2 Figura 2 Es decir c12 a11b12 a12b22 a13b32 ... a1n bm1 De igual manera se obtienen las demás entradas del primer renglón de la matriz C Renglón 2: Para hallar c 21 , se efectúa la multiplicación que muestra la figura 3 Figura 3 Es decir: c21 a21b11 a22b21 ... a2n bn1 Para hallar c 22 utilizamos la figura 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.66 Algebra Lineal Figura 4 Es decir: c22 a21b12 a22b22 ... a2n bn 2 Todas las entradas de la matriz C se hallan utilizando la secuencia anterior. Ejemplo1: 1 0 3 2 1 6 A B 0 4 2 1 3 2 2 1 1 Halle: AB BA SOLUCIÓN Cálculo de AB: Como A es de orden 2 x 3 y B es de orden 3 X 3, la multiplicación se puede efectuar y dará una matriz C de orden 2 x 3 La matriz C es de la forma: c c C 11 12 c21 c22 c13 c 23 Cálculo de las entradas de la matriz C Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.67 Algebra Lineal c11 21 10 6 2 2 12 14 Para hallar c12 se debe efectuar la siguiente operación: c12 20 14 61 4 6 2 Para hallar c13 se debe efectuar la siguiente operación: c13 2 3 12 61 6 2 6 10 Para hallar c 21 se debe efectuar la siguiente operación: c21 11 30 2 2 1 4 3 Para hallar c 22 se debe efectuar la siguiente operación: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.68 Algebra Lineal c22 10 34 21 12 2 10 Para hallar c 23 se debe efectuar la siguiente operación: c23 1 3 32 21 3 6 2 7 De tal manera que la respuesta es: 1 0 3 2 1 6 14 2 10 1 3 2 0 4 2 3 10 7 2 1 1 Es decir: 14 2 10 AB C 3 10 7 Cálculo de BA: Como B es de orden 3 x 3 y A es de orden 2 X 3, la multiplicación no se puede efectuar. Ya se terminó. Ejemplo2: 4 3 3 2 B A 2 5 6 7 Halle: AB BA Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.69 Algebra Lineal SOLUCIÓN Cálculo de AB: Como A es de orden 2 X 2 y B es de orden 2 X 2, la multiplicación se puede hacer y dará una matriz C de orden 2 X 2. La matriz C tiene la forma: c c C 11 12 c 21 c 22 Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación: c11 4 3 36 12 18 6 Para hallar c12 se debe realizar la siguiente operación: c12 42 37 8 21 29 Para hallar c 21 se debe realizar la siguiente operación: c21 2 3 56 6 30 36 Para hallar c 22 se debe realizar la siguiente operación: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.70 Algebra Lineal c22 22 57 4 35 31 La matriz C queda: 6 29 C 36 31 Cálculo de BA: Como B es de orden 2 X 2 y A es de orden 2 X 2, la multiplicación se puede hacer y dará una matriz C de orden 2 X 2. La matriz C tiene la forma: c c C 11 12 c 21 c 22 Para hallar c11 se debe realizar la siguiente operación: c11 34 2 2 12 4 16 Para hallar c12 se debe realizar la siguiente operación: c12 33 25 9 10 1 Para hallar c 21 se debe realizar la siguiente operación: c21 64 7 2 24 14 10 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.71 Algebra Lineal Para hallar c 22 se debe realizar la siguiente operación: c22 63 75 18 35 53 La matriz C queda: 16 1 C 10 53 NOTA: Podemos ver que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, que en términos generales AB BA 8.4.2.3 Propiedades de la multiplicación de matrices Sean: A, B, C Tres matrices cuyos productos se pueden efectuar y k lR , entonces: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. AB BA ABC AB C k AB AkB AB k AB C AB AC A BC AC BC AI A IA A AB T B T AT Potencia De Una Matriz Sea A una matriz cuadrada de orden n . 1. 2. 3. 4. A0 I A1 A A2 AA A3 AA 2 A2 A Y así sucesivamente. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.72 Algebra Lineal Ejemplo1: 1 10 A 4 5 Sea la matriz 0 1 2 3 Halle: A , A , A A SOLUCIÓN 1 0 A0 I 2 0 1 1 10 A1 A 4 5 1 10 1 A2 AA 4 5 4 1 10 41 A3 AA 2 4 5 16 10 1 1 104 110 105 41 40 A2 5 4 1 54 410 55 16 65 40 141 1016 140 1065 119 610 A3 65 441 516 440 565 244 485 Ejemplo2: 3 0 B 2 8 5 4 Si 1 0 B I 3 0 0 1 9 3 0 0 1 0 0 1 3 0 1 2 8 9 1 5 4 3 B B Compruebe que: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.73 Algebra Lineal 4 6 14 B 35 100 43 38 20 50 2 8 68 80 B 3 90 972 806 324 360 8 31616 464 27712 B 180864 1234224 770864 60912 349632 312256 4 8.4.3. Ejercicios por temas 1. Escriba la matriz en cada caso: Matriz A de orden 4X7 tal que: aij 5i j para i j aij i j para i j aij 1 i j Matriz cuadrada B de orden 5 tal que: aij 3 j i para i j para i j , aij i j para i j . 2. Algebra de matrices. Para las matrices: 5 5 2 11 4 8 A 0 4 7 B 10 15 5 6 7 6 0 5 4 Halle: A B A B A B T A B 2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia y Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.74 Algebra Lineal A2 B 2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.75 Algebra Lineal 8.5. PRUEBA FINAL 1. Encuentre los valores de x, y, z, w; de tal manera que se cumpla cada igualdad: x y 12 3 1 0 z w 9 5 0 1 y 2 y 1 4 x 3 2 x 3 y 12 x 5 2 z w 3 z w 20 4 z 5w w 8.5.1. Actividad Final 1. Escriba la matriz A de orden 6X 6 tal que a j i cuando i j y ij cuando i j i j i j 2 cuando i j y aij 1 aij aij (i j ) 2 aij 2i 5 j i j 4X 5 A 2. Escriba la matriz de orden tal que cuando y i j cuando a 1 a i 3j 3. Escriba la matriz A de orden 5X 3 tal que ij cuando i j , ij 1 j i j y aij cuando i2j 3 cuando i j aij 1 i j 4. Escriba la matriz A de orden 6X 6 tal que cuando i j , aij i j 2 cuando i j y aij j 4i cuando i j a i* j 5. Escriba la matriz A de orden 4X 5 tal que ij cuando i j , y aij 2 j 3i aij j i cuando i j cuando i j 6. Halle los valores correspondientes de cada letra: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.76 Algebra Lineal b 5 31 2 a 5 12 0 4 d e3 2 13 5 g 4 h c 2 4 1 f 3 1 5 i 10 4 23 0 4 1 1 2 0 2 b c9 2 1 g h 10 6 0 j 3 1 k c e a 2 3 d f 3 3 a 1 5 b 1 7 3 4 1 1 0 e7 d f 5 3 2 g 4 1 5 i 12 m 7. Halle x, y, w, z, de tal manera que se cumpla la igualdad: 6 5w 3x y 3 z 1 5 10 2 7 z 2 x y z w2 4 8 w 5x y 4 z x 2 y 7 y 3 15 x y 3 4x 3 y 5 w 3z 3w 2 2 x 3 y 5 z 10 20 3 5z x 3 y zw 7 3x 4 5 y 10 2w z 2 y x 2 z w 7 1 2 x y 1 0 3 4 z w 0 1 3 4 x y 51 19 9 5 z w 0 62 T T 8. Halle: A , B , A B, 2 A 3B 4B 3 A Con: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.77 Algebra Lineal 3 5 8 3 12 6 0 9 3 8 6 7 A 13 14 7 B 5 14 7 9 9 8 0 34 7 12 5 9 12 9 13 T T T 9. Halle: A , A B, B A, A B , A B 2 A 3B Con: T 4 9 10 5 34 2 4 6 A 2 45 6 7 B 7 6 7 8 9 4 9 23 5 5 7 43 10.Halle AB BA Para las matrices: 3 8 9 2 3 5 10 7 A B 9 1 6 7 7 4 9 3 6 6 4 0 3 5 8 6 7 4 23 8 9 4 7 7 11.Halle CD DC Con: 4 9 0 1 7 9 4 5 8 2 C 6 7 3 2 D 6 5 2 0 8 9 4 6 7 8 12.Dadas las matrices: 7 3 12 7 B A 5 9 0 4 Halle: AB BA 2 AB Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.78 Algebra Lineal A B A B A2 B 2 A B 2 A B 2 A T BT T A2 AB BA B 2 A2 AB BA B 2 A2 AB BA B 2 4 2 5 12 B A 7 5 1 6 compruebe que: 13.Para las matrices: A B A B A2 B 2 A B2 A2 2 AB B 2 A B2 A2 AB BA B 2 A B2 A2 AB BA B 2 A B2 A2 2 AB B 2 AI 2 A BI 2 B A B A B A2 AB BA B 2 14. Encuentre los valores de x, y, z w de manera que se cumpla la igualdad: x y 4 3 1 0 z w 2 5 0 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.79 Algebra Lineal 15. Encuentre los valores de x, y, z w tal que se cumpla la igualdad: x y 3 6 10 45 z w 7 10 6 23 16.Encuentre los valores de x, y, z w tal que se cumpla la igualdad: x y 11 4 4 5 z w 3 2 6 3 17. Encuentre los valores de x, y, z w tal que se cumpla la igualdad: 3 2 x y 8 10 4 13 z w 4 13 18. Escriba las siguientes matrices: No referenciar Identidad de orden 6 Identidad de orden 4 Nula de orden 5X3 Nula de orden 3X6 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.80 Algebra Lineal 9. UNIDAD III - SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO TÉCNICAS MATRICIALES. Y APLICACIONES 9.1. OBJETIVO GENERAL Desarrollar las técnicas analíticas para solucionar sistemas de ecuaciones. 9.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar cuándo un sistema de ecuaciones tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Solucionar sistemas de ecuaciones por medio de eliminación Gaussiana. Estudio de los sistemas de ecuaciones homogéneos. Solucionar sistemas de ecuaciones por medio de eliminación Gauss-Jordan. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la factorización de matrices. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de determinantes. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.81 Algebra Lineal 9.3. PRUEBA INICIAL Efectúe las siguientes operaciones con números fraccionarios. 5 7 3 4 5 8 4 6 3 9 9 4 7 5 11 8 16 9 27 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.82 Algebra Lineal 9.4. TEMAS 9.4.1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Definición de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas: Un sistema de ecuaciones lineales consiste en varias m ecuaciones y cada ecuación con n incógnitas, el sistema se caracteriza por que las variables tienen potencia uno, no existe producto entre ellas y además no existen variables en el denominador. t , t , t ,..., t n que Solucionar un sistema de ecuaciones consiste en encontrar una serie de valores 1 2 3 simultáneamente son solución de cada una de las ecuaciones, es decir si se remplazan todos lo ti en una ecuación se obtiene una igualdad verdadera. Ejemplo1: 3x1 5 x 2 4 x3 10 5 x1 7 x 2 110 x3 1 El sistema: 12 x1 x 2 7 x3 12 Es un sistema 3 X 3 Ejemplo2: 12 x1 3x2 17 x3 8 x4 15 11x1 4 x2 12 x3 10 x4 42 Es un sistema 2 X 4 NOTA: Cuando en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se llega a una igualdad falsa, esto quiere decir que el sistema no tiene solución. Cuando en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se llega a una igualdad verdadera, esto quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones. Sistemas consistentes e inconsistentes 1. Un sistema es consistente cuando tiene una única solución, es decir las ecuaciones son independientes. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.83 Algebra Lineal 2. Un sistema es inconsistente cuando No tiene solución. 3. Si el sistema Tiene infinitas soluciones, se dice que el sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales La forma matricial de un sistema de ecuaciones es: AX B Dónde: A : Es la matriz de coeficientes, tiene orden m X n X : Es la matriz de variables tiene orden n X 1 B : Es la matriz en la cual se pone el término independiente de cada una de las ecuaciones. Es de orden m X 1. NOTAS: Para construir matrices a partir de sistemas de ecuaciones, se debe tener en cuenta lo siguiente: a. El término independiente debe estar aislado (o despejado casi siempre a la derecha de la ecuación). b. Las variables deben tener el mismo orden en todas las ecuaciones. c. Es obligatorio llenar con ceros los espacios donde falte una de las variables. n : Es el número de variables. m : Es el número de ecuaciones. Ejemplo: Un sistema de la forma: a11 x a12 y a13 z b1 a 21 x a 22 y a 23 z b2 a x a y a z b 32 33 3 31 Se puede escribir como: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.84 Algebra Lineal a11 a12 a 21 a 22 a31 a32 a13 x b1 a 23 y b2 a33 z b3 Donde el primer arreglo se llama matriz de coeficientes. El segundo arreglo se llama matriz de variables, note que las variables se colocan en el mismo orden o secuencia en que se encuentran en las ecuaciones. El tercer arreglo se llama matriz de constantes ó matriz del término independiente. También se puede escribir la matriz aumentad, que consiste en agregar a la matriz de coeficientes, la matriz de constantes en el lado derecho, así. Matriz aumentada Ejemplos: Construya la matriz de coeficientes, la matriz de constantes, la matriz de variables y la matriz aumentada en cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo1: 2 z 10 3x 5 x 2 y 4 z 0 7 y 5z 4 SOLUCIÓN El sistema se puede escribir como: 3x 0 y 2 z 10 5 x 2 y 4 z 0 0 x 7 y 5 z 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.85 Algebra Lineal La matriz de coeficientes es: 3 0 2 A 5 2 4 0 7 5 La matriz de variables es: x X y z La matriz del término independiente es: 10 B 0 4 La matriz aumentada es: Ejemplo2: 10 2x y 5 x 2 z 4 y 11 10 x 7 y 5 z 4 SOLUCIÓN El sistema se puede escribir como: y 0 z 10 2x 5 x 4 y 2 z 11 3x 7 y 5 z 4 La matriz de coeficientes es: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.86 Algebra Lineal 2 1 0 A 5 4 2 3 7 5 La matriz de variables es: x X y z La matriz del término independiente es: 10 B 11 4 La matriz aumentada es: Pivote Un pivote en una matriz es la primera entrada distinta de cero en un renglón Forma escalonada por renglón de una matriz Una matriz está en su forma escalonada por, renglón, si tiene la siguiente apariencia: * 0 0 0 * * * * * * 0 * * 0 0 0 Los pivotes son los primeros asteriscos de cada renglón (si son diferentes de cero) y los asteriscos restantes pueden ser o no ser ceros, de esta manera podemos decir que: UNA MATRIZ ESTA EN FORMA ESCALONADA POR RENGLON SI: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.87 Algebra Lineal i. Todos los renglones que contienen solo ceros están agrupados en la parten inferior de la matriz. ii. En cada renglón que no contiene solo ceros, el pivote se encuentra a la derecha del pivote de cada renglón por encima de él. Ejemplo: Las siguientes matrices están en su forma escalonada, verifique que cumplen con las propiedades anteriores. 12 72 4 0 0 45 0 0 0 0 0 0 3 9 6 2 3 1 , 1 1 1 0 0 0 13 2 3 8 0 34 1 2 0 0 52 9 TEOREMA PARA TRANSFORMAR LAS FILAS DE UNA MATRIZ Dada la matriz de un sistema de ecuaciones lineales, las siguientes transformaciones conducen a la matriz de un sistema de ecuaciones equivalente: (i) (ii) (iii) Intercambiar dos filas cualesquiera. Multiplicar todos los elementos de una fila por el mismo número real k distinto de cero. Sumar a los elementos de una fila, k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila, en donde k es un número real.19 Operaciones elementales en una Matriz En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales (por renglón), y la matriz no se altera. i. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón. ii. Intercambiar dos renglones. iii. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero. 9.4.2. Métodos matriciales para solucionar sistemas de ecuaciones lineales 19 SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1986. p. 422. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.88 Algebra Lineal Método 1: Eliminación Gaussiana PROCEDIMEINTO PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN GAUSSIANA: Expliquemos el desarrollo del método mediante un ejemplo: Procedimiento para solucionar un sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción gaussiana: Expliquemos el desarrollo del método mediante un ejemplo: Ejemplo1: Utilizando ELIMINACIÓN GAUSSIAN, Resuelva el sistema: 2 x1 x2 x3 3 6 x1 6 x2 5 x3 3 4x 4x 7x 3 2 3 1 PASOS: 1. Escriba la matriz aumentada asociada: 2 1 1 3 6 6 5 3 4 4 7 3 2. Reduzca la matriz aumentada a su forma escalonada. Para ello realice los siguientes pasos. i. Convierta en 1 La entrada a11 , esta entrada debe ser distinta de cero, esta entrada se llama el ELEMEMTO PIVOTE. Para el ejemplo tenemos que: 1 R1 R1 , R2 R2 R3 R3 2 La matriz queda: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.89 Algebra Lineal 1 1 / 2 1 / 2 3 / 2 6 6 5 3 4 4 7 3 ii. Si la entrada a11 , es igual a cero, se necesita hacer un intercambio de renglones. Para el ejemplo este paso no es necesario efectuarlos. iii. Con el 1 que hay en la entrada a11 , haga cero todas las demás entradas en la primera columna, para ello sume un múltiplo apropiado del primer renglón a los demás renglones. Para el ejemplo tenemos: R1 R1 R 2 R 2 R16 R3 R3 R1 4 Efectuando estas operaciones en cada renglón. Primer renglón: a11 a11 a12 a12 a13 a13 b1 b1 Segundo renglón: a 21 6 16 6 6 0 a 22 6 1 / 26 6 3 3 a 23 5 1 / 26 5 3 2 b2 3 3 6 3 9 6 2 Tercer renglón: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.90 Algebra Lineal a31 4 1 4 4 4 0 a32 4 1 / 2 4 4 2 6 a33 7 1 / 2 4 7 2 9 b3 3 3 4 3 6 3 2 La matriz queda: 1 1 / 2 1 / 2 3 / 2 0 3 2 6 0 6 9 3 iv. Repita los pasos anteriores ignorando el primer renglón. R1 R1 1 1 / 2 1 / 2 3 / 2 1 R 2 R 2 0 1 2/3 2 3 0 6 9 3 R3 R3 Debemos volver cero todas las entradas debajo de la entrada a 22 , para ello utilizamos el 1 de la entrada a 22 Se debe efectuar las siguientes operaciones en la matriz: R1 R1 R2 R2 R3 R3 R 2 6 Para el tercer renglón tenemos: a31 0 0 6 0 0 0 a32 6 1 6 6 6 0 2 6 9 4 5 3 b3 3 2 6 3 12 15 a33 9 La matriz queda: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.91 Algebra Lineal 1 1 / 2 1 / 2 3 / 2 0 1 2/3 2 0 0 5 15 Convierta en 1 la entrada a33 R1 R1 1 1 / 2 1 / 2 3 / 2 1 2/3 2 1 0 R3 R3 0 1 3 5 0 R2 R2 La matriz está en la forma escalonada. 3. Reescriba el sistema y resuélvalo por sustitución hacia atrás: x1 1 1 3 x 2 x3 Ecuación 1 2 2 2 2 x 2 x3 2 Ecuación 2 3 x3 3 Tenemos que: x3 3 Reemplazando en la ecuación 2 y despejando x2 . x2 2 x3 2 x 2 3 2 3 2 x2 2 2 x2 2 2 3 x2 4 x3 3 x2 4 en la primera ecuación y despejemos x1 1 1 3 1 1 3 3 3 3 3 x1 x2 x3 x1 4 3 x1 2 x1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 2 Reemplacemos PRUEBA Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.92 Algebra Lineal 22 4 3 3 443333 62 64 5 3 3 12 24 15 3 3 3 42 44 7 3 3 8 16 21 3 3 3 La solución del sistema es: x1 2, x 2 4 x3 3 Ejemplo2: Utilizando ELIMINACIÓN GAUSSIANA Resuelva el sistema: 2x 8 y z w 0 4 x 16 y 3z w 10 2 x 4 y z 3w 6 6 x 2 y 5z w 3 SOLUCIÓN La matriz aumentada es: 0 2 8 1 1 4 16 3 1 10 2 4 1 3 6 1 3 6 2 5 Convertimos en 1 la entrada a11 1 R1 R1 , R2 R2, R3 R3 R4 R4 2 La matriz queda: 4 1/ 2 1/ 2 0 1 4 16 3 1 10 2 4 1 3 6 5 1 3 6 2 Se convierte en cero cada entrada debajo del 1 anterior. R1 R1 R2 = R2 + R1(- 4) R3 = R3 + R1 (2) R4 = R4 + R1 (6) Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.93 Algebra Lineal Para el renglón 2 tenemos a 21 4 1 4 4 4 0 a 22 16 4 4 16 16 0 1 a 23 3 4 3 2 1 2 1 a 24 1 4 1 2 3 2 b 2 10 0 4 10 0 10 Para el renglón 3 tenemos a 31 2 12 2 2 0 a 32 4 42 4 8 12 1 a 33 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 b 3 6 02 6 0 6 a 34 3 Para el renglón 4 tenemos: a 41 6 16 6 6 0 a 42 2 46 2 24 26 1 a 43 5 6 5 3 2 2 1 a 44 1 6 1 3 4 2 b 4 3 06 3 0 3 La matriz queda: 1 4 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 3 10 0 12 2 4 6 2 4 3 0 26 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.94 Algebra Lineal Como la entrada a 22 es igual a cero, se debe hacer intercambio de renglón. Cambiamos R2 con R3 La matriz queda: 1 4 1 / 2 1 / 2 0 0 12 2 4 6 0 0 1 3 10 2 4 3 0 26 Convertimos en 1 la entrada a 22 Para ello efectuamos la siguiente operación: 1 R 2 R 2 12 0 1 4 1 / 2 1 / 2 0 1 1 / 6 1 / 3 1 / 2 0 0 1 3 10 2 4 3 0 26 Debemos convertir en cero las demás entradas debajo del 1 anterior. R1 R1 R2 R2 R3 R3 R 4 R 4 R 2 26 Para el renglón 4 tenemos: a 41 0 0 26 0 a 42 26 1 26 26 26 0 13 6 13 19 1 a 43 2 26 2 3 3 3 6 1 26 12 26 14 a44 4 26 4 3 3 3 3 1 b4 3 26 3 13 16 2 La matriz queda: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.95 Algebra Lineal 1 0 0 0 4 1/ 2 0 1 1/ 6 1/ 3 1 / 2 0 1 3 10 0 19 / 3 14 / 3 16 1/ 2 Se debe convertir en 1 la entrada 1 0 0 R3 R3 1 0 a33 4 1/ 2 0 1 1/ 6 1/ 3 1 / 2 0 1 3 10 0 19 / 3 14 / 3 16 1/ 2 Se debe convertir en cero las entradas debajo del 1 anterior: R1 R1 R2 R2 R3 R3 R 4 R 4 R3 19 / 3 Para el renglón 4 a 43 19 19 19 19 1 0 3 3 3 3 a44 14 19 14 57 14 57 71 3 3 3 3 3 3 3 190 48 190 142 19 ab4 16 10 16 3 3 3 3 La matriz queda: 1 0 0 0 4 1/ 2 1 1/ 6 1/ 3 1 / 2 0 1 3 10 0 0 71 / 3 142 / 3 Se debe convertir en 1 la entrada a44 R4 R4 3 / 71 1/ 2 0 La matriz queda: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.96 Algebra Lineal 1 0 0 0 4 1/ 2 1/ 2 0 1 1 / 6 1 / 3 1 / 2 0 1 3 10 0 0 1 2 Reescribiendo el sistema de ecuaciones: 1 1 z w 0 Ecuación 1 2 2 1 1 1 y z w Ecuación 2 6 3 2 z 3w 10 Ecuación 3 w 2 Ecuación 4 x 4y Solución del sistema: Reemplazamos ecuación 4 en ecuación 3 z 3(2) 10 z 6 10 z 10 6 z 4 Ecuación 5 Reemplazamos ecuación 5 y ecuación 4 en ecuación 2 y 1 4 1 2 1 y 2 2 1 y 1 Ecuación 6 6 3 2 3 3 2 2 Reemplazamos ecuación 6, ecuación 5 y ecuación 4 en ecuación 1 1 1 1 x 4 4 2 0 x 2 2 1 0 x 3 0 x 3 2 2 2 Prueba: Se deja al estudiante para que de la prueba. 1 3, , 4, 3 2 La solución del sistema es: Ejemplo3: Encuentre la solución del sistema: x 2 y z 6 4 x 2 y z 4 2 x y 3z 19 La solución del sistema es: 2, 5, 6 Ejemplo de solución de sistemas de ecuaciones lineales con infinitas soluciones: Ejemplo4: Solucione el sistema: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.97 Algebra Lineal x yz 2 5 x 2 y 2 z 0 8x y 5z 6 SOLUCIÓN La matriz de aumentada es: 1 1 1 2 5 2 2 0 8 1 5 6 1 2 1 1 R 2 R 2 R1 5 0 7 3 10 0 7 3 10 R3 R3 R1 8 R1 R1 1 1 1 2 1 R 2 R 2 0 1 3 / 7 10 / 7 7 0 7 3 10 R3 R3 R1 R1 2 1 1 1 R2 R2 0 1 3 / 7 10 / 7 0 R3 R3 R 27 0 0 0 R1 R1 Reescribiendo el sistema x y z 2 Ecuación 1 3 10 y z Ecuación 2 7 7 0 0 Igualdad verdadera Como se llega a una igualdad verdadera, el sistema tiene infinitas soluciones. De la ecuación 2 despejamos. Ecuación 2 y 3 10 10 3 z y z Ecuación 3 7 7 7 7 Reemplazamos ecuación 3 en ecuación 1 10 3 10 3 Ecuación 1 x y z 2 x z z 2 x z z 2 7 7 7 7 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.98 Algebra Lineal x 10 3 4 4 zz2 x z 7 7 7 7 Para indicar una solución más general, hacemos z = k, donde k es cualquier número real, entonces 4 4 10 3 k, k k, 7 7 la solución del sistema es: 7 7 Para cada número real k se obtiene una solución del sistema dado. 4 10 , , 0 Por ejemplo para k = 0 la solución es: 7 7 4 4 , , 2 Para k = 2 la solución es: 7 7 Para k = 1 la solución es: 0, 1, 1 Ejemplo5: Solucione el sistema: 2 x y z 0 2x 3y 1 8 x 3z 4 SOLUCIÓN La matriz aumentada es: 2 1 1 0 0 1 2 3 8 0 3 4 1 1/ 2 1/ 2 0 3 0 1 2 1 R1 R1 0 3 4 8 2 1 1/ 2 1/ 2 0 4 1 1 R 2 R 2 R1 2 0 0 4 1 4 R3 R3 R1 8 R1 R1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.99 Algebra Lineal R1 R1 1 1/ 2 1/ 2 0 1 R 2 R 2 0 1 1 / 4 1 / 4 4 0 4 1 4 R3 R3 1 1/ 2 1/ 2 0 1 1/ 4 1/ 4 R2 R2 0 0 0 3 R3 R3 R 2 4 0 R1 R1 Reescribiendo el sistema: 1 1 y z 0 2 2 1 1 y z 4 4 0 3 Igualdad falsa x Como se llega a una igualdad falsa, el sistema es inconsistente, quiere decir que no tiene solución. Ya terminamos. Sistemas Homogéneos Se dice que un sistema de la forma: ax by cz 0 ex fy gz 0 ix jy kz 0 Es homogéneo, es decir, el término independiente en todas las ecuaciones es igual a cero. Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial 0, 0, 0 , por lo tanto estos sistemas son siempre consistentes. Además de la solución de trivial pueden tener también infinitas soluciones no triviales. Ejemplo: x yz 0 5 x 2 y 2 z 0 8x y 5z 0 Solucione el sistema: Método 2: Eliminación Gauss – Jordan Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.100 Algebra Lineal Consiste en llevar la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma 1 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 d Podemos ver que todas las entradas de la diagonal principal son iguales a 1 y todas las entradas arriba y abajo de la diagonal principal son iguales a cero. Una matriz de este tipo se dice que está en su forma ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLÓN. Donde los números a, b, c, d pueden ser cualquier número real. De esta matriz podemos deducir que: x1 a, x2 b, x3 c, x4 d ... Utilizando ELIMINACIÓN GAUSS – JORDAN resuelva los siguientes sistemas: Ejemplo1: 2 x1 4 x 2 6 x3 18 4 x1 5 x 2 6 x3 24 3x1 x 2 2 x3 4 20 SOLUCIÓN La matriz aumentada es: 2 4 6 18 4 5 6 24 3 1 2 4 Se convierte en 1 la entrada a11 20 GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966. P 7 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.101 Algebra Lineal 1 R1 R1 1 2 3 9 2 4 5 6 24 R2 R2 3 1 2 4 R3 R3 Se convierte en cero las entradas abajo del 1 anterior. 3 9 1 2 R 2 R 2 R1 4 0 3 6 12 R3 R3 R1 3 0 5 11 23 R1 R1 Se convierte en 1 la entrada a22 R1 R1 1 R2 R2 3 R3 R3 3 9 1 2 2 4 0 1 0 5 11 23 Se convierte en cero las entradas arriba y abajo del 1 anterior: R1 R1 R 2 2 1 0 1 1 4 R2 R2 0 1 2 R3 R3 R 25 0 0 1 3 Se convierte en 1 la entrada a33 1 0 1 1 R2 R2 0 1 2 4 R3 R3 1 0 0 1 3 R1 R1 Se convierte en cero las entradas arriba del uno anterior: R1 R1 R31 1 0 0 4 R 2 R 2 R3 2 0 1 0 2 0 0 1 3 R3 R3 La solución del sistema es: x 4, y 2 z 3 El estudiante debe dar la prueba. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.102 Algebra Lineal Ejemplo2: x yzw0 2 x 4 y 8 z 16w 26 3x 9 y 27 z 81w 144 4 x 16 y 64 z 256w 468 SOLUCIÓN La matriz aumentada es: 1 0 1 1 1 2 4 8 16 26 3 9 27 81 144 4 16 64 256 468 R1 R1 1 0 1 1 1 R 2 R 2 R1 2 0 2 6 14 26 R3 R3 R1 3 0 6 24 78 144 R 4 R 4 R1 4 0 12 60 252 468 R1 R1 1 1 1 1 0 1 R 2 R 2 0 1 3 7 13 2 0 6 24 78 144 R3 R3 0 12 60 252 468 R4 R4 R1 R1 R 2 1 1 R2 R2 0 0 R3 R3 R 2 6 R 4 R 4 R 2 12 0 0 2 6 1 0 0 13 3 7 13 6 36 66 24 168 312 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.103 Algebra Lineal R1 R1 1 0 1 R3 R3 0 6 0 R4 R4 R2 R2 0 2 6 13 1 3 7 13 0 1 6 11 0 24 168 312 R1 R1 R32 1 R 2 R 2 R3 3 0 0 R3 R3 R 4 R 4 R3 24 0 9 1 0 11 20 0 1 6 11 0 0 24 48 0 0 6 R1 R1 R2 R2 1 R3 R3 0 0 1 R 4 R 4 24 0 9 1 0 11 20 0 1 6 11 0 0 1 2 0 0 R1 R1 R 4 6 1 R 2 R 2 R 411 0 R3 R3 R 4 6 0 0 R4 R4 6 0 0 0 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 2 La solución del sistema es: x 3, y 2, z 1 w 2 PRUEBA El estudiante debe comprobar esta solución. Ejemplo3: 2 y 3z 4 2 x 6 y 7 z 15 x 2 y 5 z 10 SOLUCIÓN La matriz aumentada es: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.104 Algebra Lineal 0 2 3 4 2 6 7 15 1 2 5 10 Intercambiamos renglón 1 con renglón 3 1 2 5 10 2 6 7 15 0 2 3 4 1 2 5 10 R 2 R 2 R1 2 0 2 3 5 0 2 3 4 R3 R3 R1 R1 10 1 2 5 1 R 2 R 2 0 1 3 / 2 5 / 2 2 0 2 3 4 R3 R3 R1 R1 R1 R1 R 22 15 1 0 8 0 1 3 / 2 5 / 2 R2 R2 1 R3 R3 R 2 2 0 0 0 No es posible convertir la entrada a33 en 1, por lo tanto, ya terminamos la reducción de la matriz. Reescribiendo el sistema: x 8 z 15 Ecuación 1 3 5 z Ecuación 2 2 2 0 1 Falso y Como se llegó a una igualdad falsa, quiere decir que el sistema no tiene solución, ya terminamos. Ejemplo4: 2 x 4 y 6 z 18 4 x 5 y 6 z 24 2 x 7 y 12 z 30 Respuesta: El sistema tiene infinitas soluciones que son: x 1 k , y 4 2k , z k ; con k lR MÉTODO 3: MATRIZ INVERSA Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.105 Algebra Lineal MATRIZ INVERSA DEFINICIÓN Es una matriz cuadrada especial que tiene la característica que al ser multiplicada por la matriz que la genera produce la matriz de identidad. La matriz inversa es única. Si A es una matriz cuadrada de orden n, su inversa se simboliza por que también es una matriz cuadrada de orden n. Una forma de hallar la matriz inversa es utilizando el método de matriz aumentada. La matriz de coeficientes se debe aumentar con la matriz identidad: a11 a12 a 21 a 22 a a32 31 a n1 a n 2 ... a1n ... a 2 n ... a3n ... ... a nn 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 1 A través de operaciones elementales, se debe convertir la matriz original en la matriz identidad y la matriz identidad en la matriz inversa. La nueva matriz queda: 1 0 0 0 0 ... 0 a'11 a'12 1 ... 0 a' 21 a' 22 0 ... 0 a'31 a'32 ... 0 ... 1 a' n1 a' n 2 ... a'1n ... a' 2 n ... a'3n ... ... a' nn Donde la parte izquierda corresponde a la matriz inversa. Por último se debe probar la identidad, es decir, se debe probar que: AA 1 A1 A I PROPEDADES DE LA MATRIZ INVERSA Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.106 Algebra Lineal A A AB B 1 A1 A A 1 1 1 1 T 1 T Ejemplo 1: Encuentre la inversa de la matriz: 2 4 6 A 4 5 6 3 1 2 21 SOLUCIÓN Primero escribamos la matriz aumentada con la matriz identidad de orden tres. 2 4 6 1 0 0 4 5 6 0 1 0 3 1 2 0 0 1 Se debe convertir en 1 la entrada a11 1 R1 R1 1 2 3 1 / 2 0 0 2 4 5 6 0 1 0 R2 R2 3 1 2 0 0 1 R3 R3 Se debe convertir en cero las entradas abajo del 1 anterior 3 1 / 2 0 0 1 2 2 1 0 R 2 R 2 R1 4 0 3 6 0 5 11 3 / 2 0 1 R3 R3 R1 3 R1 R1 Convertimos en 1 la entrada a22 R1 R1 3 1/ 2 0 0 1 2 1 R 2 R 2 0 1 2 2 / 3 1 / 3 0 3 0 5 11 3 / 2 0 1 R3 R3 21 Ibíd., p. 106. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.107 Algebra Lineal Convertimos en cero las entradas arriba y abajo del 1 anterior R1 R1 R 2 2 1 0 1 5 / 6 2 / 3 0 0 1 2 2 / 3 1 / 3 0 R2 R2 0 0 1 11 / 6 5 / 3 1 R3 R3 R 25 Convertimos en 1 la entrada a33 1 0 1 5 / 6 2 / 3 0 0 1 2 2 / 3 1 / 3 0 R2 R2 R3 R3 1 0 0 1 11 / 6 5 / 3 1 R1 R1 Convertimos en cero las entradas arriba del 1 anterior 7 / 3 1 1 0 0 8 / 3 R 2 R 2 R3 2 0 1 0 13 / 3 11 / 3 2 0 0 1 11 / 6 5 / 3 1 R3 R3 R1 R1 R3(1) La matriz inversa es: 7 8 1 3 3 13 11 1 A 2 3 3 5 11 1 6 3 Prueba: Se debe probar que: AA 1 2 4 6 A 4 5 6 3 1 2 I3 7 8 1 3 3 ? 13 11 2 1 0 0 3 3 0 1 0 5 11 1 6 0 0 1 3 Ejemplo2: Halle la inversa de la matriz: 2 1 0 A 4 2 1 1 2 10 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.108 Algebra Lineal SOLUCIÓN 1 0 2 1 0 0 4 2 1 0 1 0 1 2 10 0 0 1 1 0 2 1 0 0 R 2 R 2 R1 4 0 2 9 4 1 0 0 2 8 1 0 1 R3 R3 R1 1 R1 R1 R1 R1 1 0 2 1 0 0 1 R 2 R 2 0 1 9 / 2 2 1 / 2 0 2 0 2 8 1 0 1 R3 R3 1 0 0 1 0 2 0 1 9 / 2 2 1/ 2 0 R2 R2 1 5 1 1 R3 R3 R 2 2 0 0 R1 R1 R1 R1 R32 1 0 0 9 2 2 9 R 2 R 2 R3 0 1 0 41 / 2 4 9 / 2 2 0 0 1 5 1 1 R3 R3 La matriz inversa es: 2 2 9 A 41 / 2 4 9 / 2 5 1 1 1 Prueba: 2 9 2 2 ? 1 0 0 1 0 4 2 1 41 / 2 4 9 / 2 0 1 0 1 2 10 5 1 1 0 0 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.109 Algebra Lineal Ejemplo 3: Para la matriz: a b A c d 1 Halle A SOLUCIÓN a b 1 0 c d 0 1 R1 = R1 * (1/a) R2 = R2 1 b / a 1 / a 0 c d 0 1 R1 = R1 R2 = R2 + R1 *(- c) 1 b / a bc 0 d a 1 0 c / a 1 0 1/ a b a ad bc a 1 a c a 0 1 R1 = R1 ad bc a R2 = R2 * 1 0 b a 1 1 a c ad bc 1 a 0 ad bc 0 b a 1 1 a c bc ad a ad bc 0 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.110 Algebra Lineal R1 = R1 + R2 * R2 = R2 b a d 1 0 ad bc c 0 1 bc ad d A 1 ad bc c bc ad b bc ad a ad bc b bc ad a ad bc 1 PRUEBA: Compruebe que A A I d ad bc c A 1 A bc ad b bc ad a ad bc a b c d bc ad A 1 A ad bc bc ad ac ac bc ad ad bc bd bd ad bc bc ad bc ad 1 0 bc ad ad bc 0 1 Ejemplo4: Encuentre la inversa de la matriz: 2 1 A 1 0 6 3 2 5 4 3 7 2 1 7 4 2 El estudiante debe comprobar que: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.111 Algebra Lineal 1 4 47 A 1 40 73 40 3 40 1 19 10 31 10 1 10 1 2 9 20 11 20 1 20 0 1 10 1 10 1 10 9.4.3. Sistemas de ecuaciones lineales solucionados con la matriz inversa Sabemos que la forma matricial de un sistema de ecuaciones es: AX B 1 1 Si la matriz A tiene inversa, esta es, A vamos a multiplicar la expresión AX B por A A1 AX A1 B IX A1 B X A1 B Para solucionar un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de la matriz de coeficientes, se debe efectuar la siguiente multiplicación de matrices: 1 XA B Ejemplo 1: Utilizando la matriz inversa, solucione el sistema: x1 2 x3 1 x1 2 x 2 10 x3 1 4 x1 2 x 2 x3 2 22 SOLUCIÓN Primero debemos hallar la inversa de la matriz de coeficientes: La matriz aumentada con la matriz identidad de orden 3 es: 22 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 273 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.112 Algebra Lineal 2 1 0 0 1 0 1 2 10 0 1 0 4 2 1 0 0 1 1 0 2 1 0 0 R 2 R 2 R1 1 0 2 8 1 1 0 R3 R3 R1 4 0 2 9 4 0 1 R1 R1 R1 R1 1 0 0 1 0 2 1 R 2 R 2 0 1 4 1 / 2 1 / 2 0 2 0 2 9 4 0 1 R3 R3 1 0 0 1 0 2 0 1 4 1 / 2 1 / 2 0 R2 R2 5 1 1 R3 R3 R 22 0 0 1 R1 R1 9 2 2 1 0 0 R 2 R 2 R34 0 1 0 41 / 2 9 / 2 4 0 0 1 5 1 1 R3 R3 R1 R1 R32 La matriz inversa es: 2 2 9 A 41 / 2 9 / 2 4 5 1 1 1 Lo segundo que hay que hacer es dar la prueba a la matriz inversa, esto es: 2 9 2 2 ? 1 0 0 1 0 1 2 10 41 / 2 9 / 2 4 0 1 0 4 2 1 5 1 1 0 0 1 El tercer paso es solucionar el sistema de ecuaciones utilizando la matriz inversa: X A1 B Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.113 Algebra Lineal x1 1 X x 2 B 1 x3 2 Dónde: x1 x 2 1 X A B x3 91 2 1 22 2 2 1 9 41 / 2 9 / 2 4 1 41 1 9 1 42 2 2 5 1 1 2 51 1 1 12 x1 9 2 4 x1 7 41 9 x 2 8 x 2 17 2 2 x3 5 1 2 x3 4 Tenemos la siguiente igualdad de matrices: x1 7 x 17 2 x3 4 x 7, x 17 x 4 2 3 La solución del sistema es: 1 Por último se debe dar la prueba de la solución del sistema, para ello se reemplaza x1 7, x2 17 x3 4 en cada ecuación del sistema inicial: x1 2 x3 1 7 2 4 1 7 8 1 1 1 x1 2 x 2 10 x3 1 7 2 17 10 4 1 7 34 40 1 1 1 4 x1 2 x 2 x3 2 4 7 2 17 4 2 28 34 4 2 2 2 Ejemplo 2: Utilizando la matriz inversa solucione el sistema: 2 x y z 1 x 3y z 4 x yz 0 Para empezar es práctico que escribamos el sistema como: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.114 Algebra Lineal x yz 0 x 3y z 4 2 x y z 1 Hallemos la inversa: 1 1 1 1 0 0 1 3 1 0 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 R 2 R 2 R11 0 2 0 R3 R3 R1 2 0 3 1 2 0 1 R1 R1 R1 R1 1 1 1 1 0 0 1 R 2 R 2 0 1 0 1 / 2 1 / 2 0 2 0 3 1 2 0 1 R3 R3 R1 R1 R 21 3/ 2 1/ 2 0 1 0 1 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 R2 R2 R3 R3 R 2 3 0 0 1 7 / 2 3 / 2 1 1 0 1 3 / 2 1/ 2 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 R2 R2 R3 R3 1 0 0 1 7 / 2 3 / 2 1 R1 R1 R1 R1 R3 1 R2 R2 R3 R3 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 0 1 7 / 2 3 / 2 1 La matriz inversa es: 2 1 1 A 1/ 2 1/ 2 0 7 / 2 3 / 2 1 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.115 Algebra Lineal A continuación damos la prueba de la inversa: AA 1 1 1 1 2 1 1 ? 1 0 0 1 3 1 1 / 2 1 / 2 0 0 1 0 1 7 / 2 3 / 2 1 0 0 1 I 3 2 1 Ahora solucionemos el sistema: x X A B y z 1 x 2 1 1 0 20 14 1 1 4 1 5 y 1 / 2 1 / 2 0 4 1 / 20 1 / 24 0 1 2 2 z 7 / 2 3 / 2 1 1 7 / 20 3 / 24 1 1 6 1 7 La solución del sistema es: x 5, y 2 z 7 Prueba: Se deja como ejercicio que el estudiante de la prueba. Ejemplo 3: Utilizando la inversa solucione el sistema: 2 x1 4 x 2 3x3 6 x 2 x3 4 3x1 5 x 2 7 x3 7 23 Se deja como ejercicio propuesto, se debe llegar a la siguiente respuesta: 4 13 / 3 7 / 3 A 1 5 / 3 2 / 3 , x1 25, x 2 8 x3 4 1 2 / 3 2 / 3 1 Ejemplo 4: Utilizando la inversa solucione el siguiente sistema: 23 Ibíd., p 108. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.116 Algebra Lineal 3x 2 y z 5 x y 2 z 5 2x y z 6 Se deja como ejercicio propuesto, se debe llegar a la siguiente respuesta: x 1, y 2 z 2 Método 4: Determinantes DETEMINANTES Determinante es un número que se asocia a toda matriz cuadrada. El determinante es una función que asocia a toda matriz cuadrada A un número que se llama determinante de A, el cual se denota por det A o A . Esta función tiene la propiedad que si det A 0 , si y solo si A es no singular. CÁLCULO DE DETERMINANTES: CASO 1: DETERMINANTE DE MATRCES 2X2 Para una matriz 2X2 de la forma: a b A c d Su determinante se obtiene como: det A ad bc Ejemplos1: 2 3 det 2(5) 4(3) 10 12} 2 4 5 Ejemplo2: 6 2 det 6(1) (3)(2) 6 6 0 3 1 La matriz en 1 es invertible y la matriz en 2 no es invertible. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.117 Algebra Lineal CASO 2: DETERMINANTE DE MATRICES 3X3 a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32 Sea a13 a 23 a33 det A a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a23a32a11 a12a21a33 Esto se puede aprender más fácilmente si escribimos la matriz como se ve en la figura 1. a11 a12 a 21 a 22 a31 a32 a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 a33 a31 a32 Figura 1. Luego efectuamos cada multiplicación mostrada en la figura 2. A cada multiplicación de estas le ponemos signo positivo. Figura2 Luego efectuamos cada multiplicación mostrada en la figura 3. A cada una de estas multiplicaciones le ponemos signo negativo. Figura 3. En resumen debemos efectuar cada multiplicación mostrada en la figura 4. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.118 Algebra Lineal Figura 4. Ejemplo1: Obtenga el determinante de la matriz: 2 3 1 A 4 0 2 3 1 3 SOLUCIÓN Debemos aumentar las dos primeras columnas: 2 3 1 2 3 4 0 2 4 0 3 1 3 3 1 Efectuamos cada multiplicación como lo muestra la secuencia. 20 3 3 23 14 1 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.119 Algebra Lineal 301 1 22 34 3 Juntando estas multiplicaciones: det A 20 3 3 23 14 1 301 1 22 34 3 det A 0 18 4 0 4 36 det 26 Ejemplo2: Obtenga el determinante de la matriz: 2 3 5 A 7 2 3 9 8 5 SOLUCIÓN 2 3 5 2 3 7 2 3 7 2 9 8 5 9 8 det A 225 3 39 578 925 8 32 57 3 det A 20 81 280 90 48 105 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.120 Algebra Lineal det A 444 Ejemplos: Calcule los siguientes determinantes. 1. 2. 3. 4. Caso 3: Determinante De Matrices n X n DESARROLLO POR COFACTORES Dada una matriz cuadrada A de orden n Xn LA MATRIZ MENOR Aij A Definimos la matriz menor ij como una matriz de orden n -1 X n -1. La matriz menor resulta de eliminar en la matriz A el renglón i y la columna j. Ejemplo1: 7 2 5 A 9 3 2 8 7 5 A ,A Para la matriz , obtenga: 21 33 SOLUCIÓN A21 Se obtiene al eliminar en la matriz A el renglón 2 y la columna 1, es decir: 2 5 A21 7 5 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.121 Algebra Lineal A33 Se obtiene al eliminar en la matriz A el renglón 3 y la columna 3. 7 2 A33 9 3 Ejemplo2: Para la matriz: 2 7 3 0 6 5 1 4 A 9 8 7 5 3 0 1 2 Determine: A11, A23 , A42 A34 SOLUCIÓN 1 4 6 A11 8 7 5 0 1 2 2 7 0 A23 9 8 5 3 0 2 2 3 0 A42 5 4 6 9 7 5 2 7 3 A34 5 1 4 3 0 1 EL MENOR El menor M ij M ij COFACTOR: es el determinante de la matriz menor Aij C ij El cofactor es un número que se asocia a cada entrada de una matriz cuadrada A Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.122 Algebra Lineal CÁLCULO DE COFACTORES: Cij 1 i j M ij La única diferencia entre un menor y un cofactor es el factor 1 Ejemplos1: i j Para la matriz: 3 5 3 A 3 0 8 2 2 3 Encuentre: C23 C11 SOLUCIÓN C 23 1 3 5 C11 1 0 8 23 1 32 25 16 10 1 4 4 5 2 2 11 1 03 28 1 16 16 2 2 3 Ejemplo2: Para la matriz 6 3 5 A 4 9 8 5 3 7 Determine los siguientes cofactores: C23 C12 SOLUCIÓN C 23 1 23 6 3 5 3 1 63 5 3 118 15 133 33 5 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.123 Algebra Lineal C12 1 1 2 4 8 5 7 1 47 58 1 28 40 1 68 68 3 9.4.3.1 Cálculo de determinantes de matrices n X n EL MÉTODO QUE VAMOS A EXPLICAR SE LLAMA: CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EXPANSIÓN POR COFACTORES: Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n , se selecciona cualquier renglón (o columna) de A y se multiplica cada entrada del renglón (o columna) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de A, llamado determinante de orden n. Ejemplo1: 2 1 3 A 3 0 5 2 1 1 Encuentre el determinante de: 1. Ampliando las dos primeras columnas. 2. Utilizando cofactores en el primer renglón 3. Utilizando cofactores en la segunda columna. SOLUCIÓN 1. Ampliando las dos primeras columnas. 2 1 3 2 1 3 0 5 3 0 2 1 1 2 1 det A 201 1 52 331 203 1 52 13 1 det A 0 10 9 0 10 3 det A 32 2. Utilizando cofactores en el primer renglón Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.124 Algebra Lineal det A a11C11 a12C12 a13C13 det A a11 1 M 11 a12 1 11 det A 2(1)11 1 2 0 5 1 1 M 12 a13 1 1 2 1(1)1 2 3 5 2 1 M 13 3(1)13 3 0 2 1 det A 2(1) 2 * [(0)(1) (1)(5)] 1(1) 3 [31 2(5)] 3(1) 4 [3(1) 2(0)] det A 2(1) * 5 1(1) *13 3(1) * 3 det A 10 13 9 det A 32 3. Utilizando cofactores en la segunda columna. Solución: det A a12C12 a22C22 a32C32 det A a12 1 1 2 det A 1 1 3 M 12 a22 1 2 2 3 5 2 1 0 1 4 M 22 a32 1M 32 2 3 2 1 1 1 5 2 3 3 5 det A 1 131 2 5 0 1 12 5 33 det A 1 13 10 0 1 1 10 9 det A 1 113 0 1 1 19 det A 13 19 det A 32 Ejemplo2: Utilizando cofactores a lo largo del segundo renglón obtenga el determinante de la matriz: 12 1 3 A 3 1 1 10 2 3 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.125 Algebra Lineal det 3(1) 21 1(3) 2 * 3 1(1) 22 12(3) (10)3 1 1 2 3 12 * 2 (10)(1) 1 Ejemplo3: Utilizando cofactores, calcule el determinante de la matriz: 0 1 1 A 2 3 2 0 1 3 SOLUCIÓN Como en la primera columna hay dos entradas iguales a cero, vamos a calcular el determinante utilizando cofactores en la primera columna. det A 2(1)12 1* 3 (1)1 8 Ejemplo4 Calcule el determinante de la matriz: 2 0 B 0 1 0 0 1 1 0 3 0 1 2 2 3 0 SOLUCIÓN Vamos a utilizar cofactores en el primer renglón 1 0 3 0 0 1 det B 2(1)11 * det 0 1 2 1(1)1 4 det 1 0 3 2 3 0 0 1 2 2 * (3 *1 * 2 2 * 3 *1) 24 ()(1) 25 Ejemplo5: Se deja como tarea que el estudiante calcule el determinante de la matriz: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.126 Algebra Lineal 4 1 0 3 4 1 0 3 A 6 4 8 2 2 7 1 1 Debe obtener la respuesta: R :det A 1162 Ejemplo5: Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz A sea igual a -105. 5 4 3 A 2 x 0 8 6 3 SOLUCIÓN 5 4 3 5 4 A 2 x 0 2 x 8 6 3 8 6 A det A 5x 3 40 8 326 8x 3 605 324 105 15x 36 24x 24 105 9x 50 105 9x 105 50 45 9 x 45 x x5 9 Ejercicios propuestos para ser solucionados por los estudiantes: 1. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a -1 6 3 x A 7 2 5 5 9 x R: x = 4 2. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a -141 x 6 A 4 x 2 6 x 5 2 R : x 3 5 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.127 Algebra Lineal 3. Determine el valor de x, de tal manera que el determinante de la matriz sea igual a 22 3 x 3 9 A 7 8 x 2 R : x 8 0 4 5 MATRIZ ADJUNTA: Para una matriz A de n X n se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz de cofactores. TEOREMA: 1 Si A es una matriz de n X n y det A 0 , entonces A existe y se obtiene como: A 1 1 adj ( A) det A Ejemplo: Utilizando la matriz adjunta, encuentre la inversa de la matriz Este ejercicio se deja propuesto para que sea solucionado por los estudiantes. Se debe llegar a la siguiente respuesta: det A 26 La matriz de cofactores es: 2 6 4 C 10 9 7 6 8 12 La matriz adjunta es: 2 10 6 adj 6 9 8 4 7 12 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.128 Algebra Lineal La inversa es: 2 10 6 1 A 6 9 8 26 4 7 12 1 Propiedades de los determinantes: 1. Si I es la matriz identidad, entonces det I 1 . 1 0 0 1, det I 1(1) 0(0) 1 La matriz identidad de 2X2 es: 2. Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos renglones de A, entonces det B det A . 3. Si se obtiene B a partir de A sumando un múltiplo de un renglón de A a otro renglón, entonces det B det A . 4. Si se obtiene B a partir de A multiplicando un renglón de A por un número m, entonces det B m det A . 5. Si A es una matriz diagonal, det A a11, a22 ,...amn det A a11, a22 ,...ann 6. Si A una matriz triangular, superior o inferior, 7. Si dos renglones de A son iguales, entonces det A = 0. 8. Si A tiene un renglón de ceros, entonces det A = 0. 9. Una matriz cuadrada A es invertible si, y sólo si det A 0 10. Si A y B son matrices de n X n, entonces det (AB) = det A * det B. 11. En términos generales: det( A B) det A det B 12. Si se obtiene B a partir de A sumando un múltiplo de una columna de A a otra, entonces det B = det A. 13. Si se obtiene B a partir de A multiplicando una columna de A por un número m, entonces det B = m det A. 14. Si se obtiene B a partir de A intercambiando dos columnas, entonces det B = - det A. 15. Si A es una matriz de n X n y AT es su transpuesta, entonces det A = det A T. 9.4.4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes REGLA DE CRAMER Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.129 Algebra Lineal Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n c1 a x a x ... a x c 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n c n Si el det A, matriz de coeficientes, es diferente de cero, el sistema tiene única solución que se obtiene como: x1 D D1 D , x2 2 ,...xn n D D D Dónde: D : Es el determinante de la matriz de coeficientes. D1 : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las entradas de la primera columna por las entradas de la matriz B ó matriz del término independiente. D2 : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las entradas de la segunda columna por las entradas de la matriz B o matriz del término independiente. D3 : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las entradas de la tercera columna por las entradas de la matriz B o matriz del término independiente. Dn : Es el determinante de la matriz que resulta de intercambiar en la matriz de coeficientes las entradas de la n ésima columna por las entradas de la matriz B ó matriz del término independiente. Ejemplo1: Utilizando determinantes, resuelva el sistema: 2 x 5 y 4 z 13 3x 2 y 3z 30 4 x 6 y 5 z 4 SOLUCIÓN Para obtener el determinante D utilizamos la matriz de coeficientes: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.130 Algebra Lineal 2 5 4 D 3 2 3 4 6 5 D 22 5 534 436 424 632 53 5 D 151 Para calcular el determinante D1 cambiamos las entradas de la primera columna en la matriz de coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación: 5 4 D1 30 2 3 4 6 5 13 D 132 5 53 4 4306 424 6313 530 5 D1 302 Para calcular el determinante D2 cambiamos las entradas de la segunda columna en la matriz de coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación: 2 13 4 D2 3 30 3 4 4 5 D 230 5 1334 43 4 4304 432 133 5 D2 453 Para calcular el determinante D3 cambiamos las entradas de la tercera columna en la matriz de coeficientes por las entradas del término independiente de cada ecuación: 2 5 13 D3 3 2 30 4 6 4 D3 22 4 5304 1336 4213 6302 43 5 D3 906 La solución del sistema es: x D D1 302 D 453 906 2, y 2 3 z 3 6 D 151 D 151 D 151 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.131 Algebra Lineal Prueba: 22 53 46 13 4 15 24 13 13 13 2 x 5 y 4 z 13 3x 2 y 3z 30 32 23 36 30 6 6 18 30 30 30 4 x 6 y 5 z 4 42 63 56 4 8 18 30 4 4 4 La solución del sistema es: x 2, y 3 z 6 Ejemplo2: Aplicando la regla de Cramer, resuelva el sistema: 2x y z 0 4 x 3 y 2 z 2 2 x y 3z 0 24 SOLUCIÓN 1 2 1 A 4 3 2 2 1 3 El estudiante debe comprobar que: 2 1 1 det A 4 3 2 D 8 2 1 3 0 1 1 D1 2 3 2 4 0 1 3 2 0 D2 4 2 1 2 16 2 0 3 2 1 0 D3 4 3 2 8 2 1 0 24 HAEUSSLER. Op. Cit. p. 289. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.132 Algebra Lineal Entonces la solución del sistema es: D D1 D , y 2,Z 3 D D D 4 16 8 x 1 / 2, y 2, z 1 8 8 8 x El estudiante debe dar la prueba. 9.4.5. Aplicaciones: problemas que se resuelven planteando sistemas de ecuaciones lineales Debido a la ilimitada variedad de problemas es difícil establecer reglas específicas para encontrar soluciones. Sin embargo las siguientes sugerencias pueden ayudarte: 1. Lee el problema cuidadosamente varias veces y piensa en los datos que te dan y en las cantidades desconocidas que debes encontrar. 2. Gráfica si es posible, así visualizarás mejor. 3. Asigna letras a las cantidades desconocidas. 4. Relaciona los datos y las cantidades desconocidas. 5. Teniendo en las condiciones del problema escribe ecuaciones. 6. Resuelve las ecuaciones por los métodos que consideres más apropiados. 7. Verifica si la solución obtenida concuerda con las condiciones dadas. Observación: No importa mucho la naturaleza del problema, pero si que aprendas a razonar y puedas resolverlo analíticamente.25 En los problemas continuación, sólo vamos a plantear el sistema de ecuaciones, dejo como ejercicio para, los estudiantes, el solucionar cada sistema planteado utilizando el método que desee. Ejemplo 1: Cuando Beth se graduó en la universidad, había completado 40 cursos, en los cuales recibió grados de A, B y C. Su PPG final (puntaje promedio de grado) fue de 3.125. Su PPG en solo los cursos que 25 DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002. p.48. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.133 Algebra Lineal recibió los grados de A y B fue de 3.8. Se supone que los cursos A, B y C valen 4 puntos, 3 puntos y 2 puntos, respectivamente. Determine el número de grados A, B y C que recibió.26 SOLUCIÓN Tenemos que los cursos tipo A corresponden a las materias de formación profesional. Los cursos tipo B corresponden a la materias de formación matemática. Los cursos tipo C corresponden a las materias de formación humanística. Sea x cantidad de materias de formación Profesional recibidas. Sea y cantidad de materias de Formación Matemática recibidas. Sea z cantidad de materias de formación humanística recibidas. Se debe plantear las siguientes ecuaciones: Para la cantidad de materias vistas: x y z 40 Cantidad de cursos, ec1 Para su PPG final (puntaje promedio de grado) 4x 3 y 2z 3.125 Pr omedio de grado 4 x 3 y 2 z 40 * 3.125 4 x 3 y 2 z 125 ec 2 40 Total de cursos donde recibió las materias de formación Profesional y de formación Matemática es x + y, está dado por: x y 40 z El promedio de estos cursos está dado por: 4x 3 y 3.8 4 x 3 y 3.840 z 4 x 3 y 3.8 z 3.8 * 40 4 x 3 y 3.8 z 152 ec3 40 z Se debe solucionar el sistema: x y z 40 ec1 4 x 3 y 2 z 125 ec 2 4 x 3 y 3.8z 152 ec3 R: 20, 5 y 15 Ejemplo2: 26 ZILL. Op. Cit. P. 422. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.134 Algebra Lineal Encuentre una parábola 1, 3, 7, 4 3, 5 . de la forma: y ax 2 bx c que pase por los puntos SOLUCIÓN 2 Se debe reemplazar cada punto en la ecuación de la parábola y ax bx c 1, 3 x 1 y 3 Reemplazando tenemos: 3 a1 b1 c a b c 3 Ecuación 1 2 Reemplazando tenemos: 7, 4 x 7 y 4 2 4 a7 b7 c 49a 7b c 4 Ecuación 2 Reemplazando tenemos: 3, 5 x 3 y 5 2 5 a 3 b 3 c 9a 3b c 5 Ecuación 3 Se debe plantear y resolver el sistema: abc 3 49a 7b c 4 9a 3b c 5 a R: 1 11 33 , b c 15 30 10 Ejemplo2: En una fábrica se producen 4 artículos A, B, C, y D. Si los costos de producción de los cuatro artículos en enero fueron US$ 5675 y se produjeron 30 artículos del producto A, 15 de B, 70 de C y 25 del producto D. Los costos en febrero fueron de US$ 1875 y se produjeron respectivamente 10, 10, 5 y 40 artículos de cada producto. Para marzo los costos de producción fueron de US$ 7775, con producciones de 95, 0, 45 y 50. Para abril los costos son de US$ 5100, con producciones de: 1, 80, 50 y 0. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.135 Algebra Lineal Si los costos de producción de cada artículo permanecieron constantes durante estos cuatro meses, determine el costo de producir una unidad de cada artículo. Se debe plantear y resolver el sistema: 30 A 15B 70C 25D 5675 10 A 10 B 5C 40 D 1875 95 A 45C 50 D 7775 A 80 B 50C 5100 R: US$ 50, US$ 35, US$ 45 y US$ 20 Ejemplo4: Entre A, B y C tienen 140 Bolívares. C tiene la mitad de lo que tiene A. A tiene 10 más que B. ¿Cuánto tiene cada uno?27 SOLUCIÓN Si es la cantidad de dinero que tiene A, cantidad de dinero que tiene C. Se debe plantear el siguiente sistema: es la cantidad de dinero que tiene B y es la A tiene $ 10000 más que B. El sistema de ecuaciones que se debe plantear para resolver este problema es: SOLUCIÓN DEL SISTEMA 27 BALDOR. Op. cit. p. 367. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.136 Algebra Lineal x3 D3 150000 30000 D 5 Ejemplo5: Hay una única parábola de la forma que pasa por los puntos . Encuentre dicha parábola. SOLUCIÓN x 3, y 10 x 5 y 62 Para determinar la parábola se debe plantear y solucionar el sistema de ecuaciones: Utilizando determinantes: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.137 Algebra Lineal La parábola es: Ejemplo6: Una fábrica dispone de tres máquinas para producir tres artículos A, B y C. Para producir una unidad del artículo A se requiere utilizar la máquina I dos horas, la máquina II una hora 30 minutos, la máquina III 30 minutos. Para producir una unidad del artículo B se necesita Hora y media, 3 horas y 4 horas en cada máquina respectivamente. Para una unidad del artículo C se requiere el utilizar las maquinas I, II y III; 2 horas, 30 minutos y 3 horas respectivamente. Se sabe que la máquina I se encuentra disponible al mes 122 horas y 30 minutos, la máquina II 100 horas y la máquina III está disponible 135 horas. SOLUCIÓN Sea: es el número de unidades a producir del artículo A, del artículo B y es el número de unidades a producir es el número de unidades a producir del artículo C. Para determinar el número de unidades de cada artículo a fabricar cada mes de tal manera que las máquinas sean utilizadas totalmente. El sistema de ecuaciones que se debe plantear es: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.138 Algebra Lineal SOLUCIÓN DEL SISTEMA 9.4.6. Ejercicios por temas 1. Escriba la forma matricial del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4 x1 7 x 2 x5 7 x6 9 x7 8 3x1 5 x 2 x3 x 4 45 x3 6 x 4 4 x5 x6 34 x7 22 7 x1 5 x3 16 x 4 x7 2 6 x 2 x3 x 4 x5 23 x6 x7 50 2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando dos métodos diferentes: 3x 6 y 2 z w 34 6 x 5 y z 5w 12 9 x 7 y 8 z 3w 25 6 y 11z 4w 100 3. Solucione el siguiente problema utilizando planteando sistemas de ecuaciones lineales y utilizando cualquiera de los métodos matriciales vistos. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.139 Algebra Lineal Una fábrica produce 4 artículos A, B, C y D. La producción de la fábrica en el mes de diciembre de 30 unidades del artículo A, 10 del artículo B, 60 del artículo C y 45 unidades del artículo D. En enero, la producción fue de 50, 15, 35 y 5 respectivamente. En febrero la producción fue de 100 artículos de A, 30 artículos de B, ninguno del artículo C y 50 unidades del artículo D. En marzo la producción fue de 5 unidades de A, 20 de B, la cantidad producida de C fue el doble de la de B y 50 unidades del artículo D. Si los costos de producción en cada mes fueron de: Diciembre $ 230000, enero de $ 210000, febrero de $ 355000 y en marzo de $ 190000. Determine el costo de producir una unidad de cada artículo. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.140 Algebra Lineal 9.5. PRUEBA FINAL 3x1 7 x 2 6 x3 15 2 x1 7 x 2 9 x3 7 Solucione el sistema: Utilizando: 1. 2. 3. 4. 8 x1 5 x3 7 x 2 20 Eliminación Gaussiana Eliminación Gauss – Jordan. Matriz inversa. Determinantes. 9.5.1. Actividad Final Para solucionar los siguientes problemas utilice las técnicas matriciales vistas en clase. 1. 6 x1 7 x 2 x3 17 8 x1 3x 2 5 x3 14 12 x 2 x 3x 10 2 3 1 2. 3x1 6 x 2 6 x3 15 2 x1 15 x 2 4 x3 30 3x 8 x 6 x 48 1 2 3 3x1 11x 2 5 x3 67 2 x1 3x 2 15 x3 24 3x 2 x 13x 118 2 3 3. 1 x 3 y 4 z 5w 28 x y 2 z 3w 13 x 5 y 5 z 2w 11 2 x 7 y 4 z 6w 32 4. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.141 Algebra Lineal x 7 y 6 z 3w 30 x 18 y 4 z 5w 56 3x 2 y 3w 96 4 x 7 y 31z 10w 220 5. 6. Una concesión del gobierno de US $ 1’360000 se dividió entre 100 científicos de tres grupos de investigación A , B C. Cada científico del grupo de investigación A recibió US $ 20000, cada científico de B recibió US $ 8000 y cada científico de C recibió US $ 10000. El grupo de investigación A recibió cinco veces los fondos del grupo de investigación B. ¿Cuántos científicos pertenecen a cada grupo?28 7. Entre A, B y C tienen 22 mil pesos. La suma de lo que tiene A con lo que tiene B menos lo que tiene C es 2 mil pesos. El doble de lo que tiene C supera en 8 mil pesos lo que tienen A y B juntos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 5, 7 y 10 mil pesos. 8. 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $ 1.18. 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijoles cuestan $1.45. 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan 46 cts. Halle el precio de un kilo de cada mercancía. R: 600, 2000 y 700.29 9. Una gaseosa, 1 paquete de pan y una bolsa de mecato cuestan $ 7700. 3 gaseosas, 2 paquetes de pan y una bolsa de mecato cuestan $ 11 000. 4 gaseosas, un paquete de pan y dos bolsas de mecato cuestan $ 16 100. Determine el costo de una gaseosa, un paquete de pan y de una bolsa de mecato. R: $ 1 000, 1 300 y 5 400. 10. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, el mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Halle los tres ángulos. R: 80º, 55º y 45º. 2 11. La parábola y ax bx c pasa por los puntos 1, 10, 1, 12 2, 18 . Halle a, b y c.30 12. Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es uno, dos y tres dólares, respectivamente. Los costos fijos son de $ 17000 por año y los costos de producción por cada unidad son $ 4, $ 5 y $ 7, respectivamente. El año siguiente serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se 28 ZILL. Op. Cit. P. 418. BALDOR. Op. Cit. P. 367. 30 ZILL. Op. Cit. P. 421. 29 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.142 Algebra Lineal obtendrá una utilidad de $ 25000. Si el costo total será de $ 80000, ¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse el año siguiente? R: 2000, 4000 y 5000. 13. Una empresa elabora tres productos A, B y C, los cuales pueden procesarse en tres máquinas I, II y III. Una unidad de A requiere 4, 5 y 6 horas de procesamiento en las máquinas, mientras cada unidad de B requiere 3, 5 y 5 horas de procesamiento y una unidad de C requiere 2, 4 y 6 horas en la máquinas. Se dispone de las máquinas I, II y III, por 500, 800 y 1.000 horas, respectivamente, ¿cuánta unidades de cada producto puede elaborarse usando todo el tiempo disponible de las máquinas? 31 1 14. Un hombre tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 8 del número de vacas 1 1 más 9 del número de caballos más 5 del número de terneros equivalen a 15, y la suma del número de terneros con el de vacas es 65. ¿Cuántos animales de cada clase tiene?32 0 15. En un triángulo la suma del ángulo mayor con el mediano es 135 y la suma del mediano y 0 el menor es 110 . Halle los ángulos. 16. Las edades de tres personas suman 45 años, la suma de las dos primeras equivalen al doble de la tercera. La diferencia entre la primera y la tercera equivale a un medio de la segunda. Determine la edad de cada persona. R: 20, 10, 15. 2 17. Encuentre una parábola de la forma y ax bx c que pase por los puntos 5, 3, 3, 8 1, 1 . 3 2 18. Encuentre un polinomio de la forma y Ax Ax Bx C que pase por los puntos: 2,5, 3,10 y 8,2 4 2 19. Encuentre un polinomio de la forma: y Ax 8x Bx C que pase por los puntos 1,25, 5,12 y 6,0 31 SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra Lineal y Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2 ed. Bogotá: Ecoe ediciones, 2005. P. 122. 32 BALDOR. Op. Cit. P. 367. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.143 Algebra Lineal 4 3 2 20. Encuentre el polinomio de la forma y 4 x Ax Bx Cx 20 que pase por los puntos 10,10, 5,25 y 3,48 No referenciar. 21. Si A le da a C $ 1, ambos quedan con lo mismo. Si B tuviera $ 1 menos, tendría lo mismo que C. Si A tuviera $ 5 más, tendría tanto como el doble de lo que tiene C. ¿Cuánto tienen cada uno?33 SOLUCIÓN Sean: Cantidad de dinero que tiene A Cantidad de dinero que tiene B Cantidad de dinero que tiene C. Si A le da a C $ 1 millón, ambos tienen lo mismo. A queda con: C queda con: La ecuación a plantear es: La ecuación N°1 queda: Si B tuviera $ 1 millón menos, tendría lo mismo que C. La ecuación a plantear es: La ecuación N°2 queda: Si A tuviera $ 5 millones más, tendría tanto como el doble de lo que tiene C La ecuación a plantear es: 33 Ibíd. P. 367. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.144 Algebra Lineal La ecuación N°3 queda: El sistema a resolver es: SOLUCIÓN DEL SISTEMA: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.145 Algebra Lineal 10.UNIDAD IV – VECTORES. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 10.1.OBJETIVO GENERAL Desarrollar las técnicas que peritan manipular vectores en R2 y R3. 10.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar las diferentes ecuaciones de una recta en el espacio. Determinar la ecuación de los diferentes planos. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.146 Algebra Lineal 10.3.PRUEBA INICIAL Halle el lado que falta en cada triángulo. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.147 Algebra Lineal 10.4.TEMAS 10.4.1. Vectores en R2 y R3 VECTOR Es un segmento de recta dirigido. Un vector tiene magnitud (siempre positiva) y tiene dirección (ángulo). NOTACIÓN DE VECTOR Se acostumbra usar el símbolo AB para denotar el vector que va del punto A (considerado punto inicial) al punto B llamado punto final. Otra forma para denotar o simbolizar vectores es utilizando letras minúsculas en negrita como: a, b, u, v, w, m, etc. MAGNITUD DE UN VECTOR A la longitud del segmento dirigido se le llama magnitud del vector y se denota por AB u v w , etc. 2 VECTORES EN lR 2 Un vector en lR (en el plano) es una pareja ordenada o par ordenado de números reales y se emplea la notación v a, b v ai bj . Donde a y b son números reales. Ejemplo: v 10,7 10i 7 3 VECTORES EN lR 3 Un vector en lR (en el espacio) es una tripleta ordenada de números reales, utilizamos la notación v a, b, c v ai bj ck , donde a, b y c son números reales. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.148 Algebra Lineal Ejemplo: v 12,17,9 12i 17 j 9k VECTOR ENTRE DOS PUNTOS Sean los puntos: A a1 , b1 , c1 B a2 , b2 , c2 en lR 3 A a1 , b1 B a2 , b2 en lR 2 A partir de estos puntos se pueden obtener los siguientes vectores: AB a2 a1 i b2 b1 j c2 c1 en lR 3 AB a2 a1 i b2 b1 j en lR 2 BA a1 a2 i b1 b2 j c1 c2 k AB para lR 3 BA a1 a2 i b1 b2 j AB para lR 2 Ejemplo: Dados los puntos A 15,3,12 B 17,3,10 Halle los siguientes vectores: AB 17 15i 3 3 j 10 12k 2i 6 j 2k BA 15 17i 3 3 j 12 10k 2i 6 j 2k OA 15 0i 3 0 j 12 0k 15i 3 j 12k OB 17i 3 j 10k GRAFICA DE VECTORES Los vectores se grafican ubicando puntos en el plano cartesiano para vectores en R2 y ubicando puntos en el espacio para vectores en R3. Ejemplo1: Grafique el vector u 2,3) Solución: Solo se debe ubicar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (2,3) Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.149 Algebra Lineal Ejemplo 2: Grafique el vector v 3i 2 j La gráfica se muestra en la siguiente figura. Ejemplo 3: Grafique el vector w 2i 5 j 8k Solución Se debe ubicar en el espacio el punto de coordenadas (2, 5, 8). Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.150 Algebra Lineal Ejemplo 4: Grafique el vector: u 12,8,5) CÁLCULO DE LA NORMA DE UN VECTOR Sea el vector en lR v a, b v ai bj Su magnitud o norma se calcula como: 2 v a2 b2 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.151 Algebra Lineal Sea el vector en lR v a, b, c v ai bj ck Su magnitud o norma se calcula como: 3 v a2 b2 c2 Ejemplo 1: Calcule la norma del vector u 4i 2 j 3k Solución u 42 22 32 16 4 9 29 Ejemplo 2: Calcule la norma del vector v 4,3 Solución v 42 32 16 9 25 5 ANGULOS DIRECTORES El ángulo director de cualquier vector en lR distinto de cero es el ángulo que se mide desde el lado positivo del eje x en sentido contrario al del reloj hasta la representación de posición del 2 vector. Si se mide en radianes, 0 2 Si A a, b , entonces a 0 2 tan b , si a 0 a . Sí 3 2 . NOTA: b a tan 1 En el primer cuadrante: b a tan 1 En el segundo cuadrante: b a tan 1 En el tercer cuadrante: b a 2 tan 1 En el cuarto cuadrante: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.152 Algebra Lineal Si a 0 , 3 , para b 0 , para, b 0 2 2 Ejemplos: Trace cada uno de los siguientes vectores, encuentre su magnitud y el ángulo positivo más pequeño que está determinado por el eje positivo de x y el vector. a 3,3 1. . R: a 3 2 5 / 4 SOLUCIÓN Gráfica: Magnitud o norma: a 32 32 9 9 18 9 * 2 3 2 Ángulo: Podemos ver que el vector se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto: 3 0 225 5 / 4 3 b a tan 1 180 tan 1 2. b 3,-2 . Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.153 Algebra Lineal SOLUCIÓN Gráfica: Magnitud o norma: b 32 22 9 4 13 Ángulo: Podemos ver que el vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto: b a 2 0 326.309... 5.695...radianes 3 2 tan 1 360 tan 1 3 Los ángulos directores de un vector en lR diferente de cero son los tres ángulos que tienen la medida no negativa en radianes , , tomadas desde los ejes positivos x, y e z respectivamente, hasta la representación de posición del vector. Donde la medida en radianes de cada ángulo director esta en 0, , tenemos que: cos a b c , cos cos v v v Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.154 Algebra Lineal Estos números se llaman los cosenos directores del vector v El vector cero no tiene ángulos directores y por lo tanto no tiene cosenos directores. Ejemplo: Determine la magnitud y los cosenos directores del vector A 3,2,6 Solución: Magnitud: A 9 4 36 7 Cosenos directores: cos 3 2 6 , cos cos 7 7 7 TEOREMA: Si cos , cos cos son los ángulos directores de un vector, entonces cos 2 cos 2 cos 2 1 Ejemplo: Encuentre los cosenos directores del vector trigonométrica. v 1, 2, 3 y demuestre la identidad Solución: Norma o magnitud: v 12 22 32 1 4 9 14 Cosenos directores: cos 1 2 3 , cos cos 14 14 14 Identidad trigonométrica: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.155 Algebra Lineal cos 2 cos 2 cos 2 1 2 2 2 1 4 9 1 4 9 14 1 2 3 1 14 14 14 14 14 14 14 14 OPERACIONES CON VECTORES 10.4.1.1 Adición o suma de vectores La suma de vectores se realiza igual que la suma de matrices, es decir se suman las correspondientes entradas. a, b c, d a b, c d a1 , b1 , c1 a2 , b2 , c2 a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 Ejemplo: Sean: w 3,5 v 2i 3 j Halle w + v w v 3 2i 5 3 j i 8 j Ejemplo: Sean: u 5i 6 j 7k v 4,8,3 Halle: u v u v 5 4i 6 8 j 7 3k 9i 2 j 10k 10.4.1.2 Propiedades para la adición de vectores a b b a a (b c) (a b) c a0 a a (-a) 0 2 3 VECTORES UNITARIOS i j en lR Y VECTORES UNITARIOS i, j k en lR Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.156 Algebra Lineal Se llaman vectores unitarios porque su magnitud es igual a uno y se utilizan para representar 2 3 cualquier vector en lR i j o cualquier vector en lR i, j k , tenemos que: 2 En lR : i 1,0 j 0,1 v a, b a,0 0, b a1,0 b0,1 ai bj 3 En lR i 1,0,0, j 0,1,0 k 0,0,1 v a, b, c a,0,0 0, b,0 0,0, c a1,0,0 b0,1,0 c0,0,1 ai bj ck 10.4.1.3 Multiplicacion porescalar La multiplicación por escalar se realiza igual que en la multiplicación de matrices. k a, b ka, kb Ejemplo: Sea u 4,7 Halle: 2u Solución: 2u 24,7 2 * 4,2 * 7 8,14 8i 14 j Ejemplo2: Sea v 9i 7 j 12k Halle 6v Solución: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.157 Algebra Lineal 6v 69i 7 j 12k 6 * 9i 6 * 7 j 6 *12k 54i 42 j 72k VECTOR 0 0 0,0 10.4.1.4 Propiedades de la multiplicación por escalar de vectores ca b ca cb c d a ca da (cd) a c(d a ) d(c a ) 1a a 0a 0 NOTA: Si v a, b ai bj es un escalar, entonces: Y la dirección de v es: v v La dirección de v, si 0 La dirección de v , si 0 Ejemplos: Sea v 3i 5 j Halle: 1. v Solución: v 32 52 2. 9 25 34 v Solución: El vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.158 Algebra Lineal 5 0 300.96... 5.25...rad. 3 b a 3. w 2v v 2 tan 1 360 tan 1 Solución: w 2v 23i 5 j 6i 10 j 4. w Solución: w 62 102 5. 36 100 136 4 * 34 2 34 2 v w Solución: El vector se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto: 10 0 300.96... 5.25...rad. 6 b a w 2 tan 1 360 tan 1 6. p 3v Solución: p 3v 33i 5 j 9i 15 j 7. p Solución: p 92 152 8. 81 225 306 9 * 34 3 34 3 v p Solución: El vector se encuentra en el segundo cuadrante, por lo tanto: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.159 Algebra Lineal b a 15 0 120,96... 2.11...rad 9 p tan 1 180 tan 1 10.4.1.5 Vector unitario U Es un vector cuya magnitud es 1 Si a a, b ai bj , entonces el vector unitario U que tiene la misma dirección que a está dado U por: a b i j a a 3 Para lR tenemos: a a, b, c ai bj ck U , a b c i j k a a a Ejemplo: Dados los puntos R2,1,3 S 3,4,6 , determine el vector unitario que tenga la misma dirección que V RS . SOLUCIÓN V RS 3 2i 4 (1)j 6 3k i 5 j 3k V RS 1 25 9 35 U 1 35 i 5 35 j 3 35 k 10.4.1.6 Producto escalar El producto escalar entre dos vectores u y v se simboliza por u.v. Si u a1 , b1 B a2 , b2 2 son dos vectores en lR , entonces al producto escalar de u v , representado por u v esta dado por. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.160 Algebra Lineal u v a1 , b1 a2 , b2 a1a2 b1b2 3 Si u y v son vectores en lR se tiene que: u.v a1 , b1 , c1 a2 , b2 , c2 a1a2 b1b2 c1c2 El producto escalar de dos vectores es un número real (o escalar) y no un vector. También recibe el nombre de producto punto o producto interior. Ejemplos: Determine el producto escalar de los siguientes vectores: 1. v 4,3 w 6,2 Solución: v.w 4,3 . 6,2 4 * 6 3 * 2 24 6 30 2. v 5,3 w 3,7 Solución: v.w 5,3 . 3,7 5 * 3 37 15 21 6 De la definición de producto escalar podemos notar que: vv v 2 Ejemplo: Si A 2,3 B 1 / 2,4 A B 2(-1/2) (-3)(4) determine A B -1- 12 -13 NOTA: i.i 1, j.j 1 i.j 0 TEOREMA: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.161 Algebra Lineal 2 3 Si A y B son vectores en lR lR y c es un escalar, entonces cA B cA B 0.A 0 A A A 2 ANGULO ENTRE DOS VECTORES Sean: v a1 , b1 w a2 , b2 dos vectores diferentes de cero, entonces el ángulo entre v y w está definido como el ángulo no negativo más pequeño entre dichos vectores y que tienen el origen como punto inicial. El ángulo se calcula como: wv w*v cos Ejemplos: Para cada par de vectores: Calcule el ángulo entre ellos. w 2i 3 j v 7i j 1. Solución: v 72 12 w 22 32 4 9 13 wv 2 7 31 14 3 11 11 cos 1 2.0169...rad 115.55...0 w*v 13 * 50 13 * 50 650 650 cos 2. 49 1 50 w 2,3 v 4,6 34 Solución: 34 GORSSMAN. Op. Cit. P. 243. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.162 Algebra Lineal v 42 62 16 36 52 w 22 32 4 9 13 wv 2 4 36 8 18 26 26 cos 1 rad 180 0 w*v 13 * 52 13 * 52 676 676 cos u 3i j 2k v 4i 3 j k 35 3. Solución: u 32 12 22 9 1 4 14 v 42 32 12 16 9 1 26 cos u v 34 13 2 1 12 3 2 u*v 14 * 26 14 * 26 7 7 cos 1 1.195... rad 68,47...0 364 364 TEOREMA: 2 3 Si es la medida en radianes del ángulo entre dos vectores en lR lR A y B diferentes de cero, entonces: A B A B cos VECTORES PARALELOS 2 3 Dos vectores diferentes de cero u v en lR lR son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o , es decir, si 0 SE DICE QUE DOS VECTORES A y B SON PARALELOS SI Y SOLO SI UNO ES MULTIPLO ESCLAR DEL OTRO. 35 Ibíd.. p. 257 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.163 Algebra Lineal ES DECIR DOS VECTORES A Y B SON PARALELOS SI SE CUMPLE QUE: Si A.B A B es decir si cos 1 VECTORES ORTOGONALES 2 3 Dos vectores diferentes de cero u v en lR lR son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es 2 , es decir, si / 2 SE DICE QUE DOS VECTORES A y B SON ORTOGONALES (O PERPENDICULARES) SI Y SOLO SI: A B 0 , es decir, si cos 0 Ejemplo1: Compruebe que los vectores u 3i 4 j v 4i 3 j son ortogonales36 Solución: u.v 3(4) (4)3 0 cos u.v 0 cos 1 0 / 2 uv Ejemplo2: Demuestre, mediante vectores que los puntos A4,9,1 , B 2,6,3 C 6,3,2 son los vértices de un triángulo rectángulo Construya el triángulo CAB, observe que el ángulo en A es el que parece ser recto. Encontremos V AB V AC , si el producto escalar entre estos dos vectores es cero, es porque estos dos vectores son ortogonales, es decir el ángulo entre ellos es recto. V AB 2 4i 6 9 j 3 1k V AC 6 4i 3 9 j 2 1k V AB 6i 3 j 2k V AC 2i 6 j 3k V AB V AC 6 * 2 (3)(6) 2 * 3 12 18 6 0 36 Ibíd. p. 224. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.164 Algebra Lineal 2 3 PROYECCIONES EN lR lR Sean u y v dos vectores diferentes de cero, entonces la proyección de u sobre v, denotada por proyv u esta definida por: u.v proyv u 2 v v Ejemplos: proyv u 37 a. Sean: u 2i 3 j k v i 2 j 6k Encuentre Solución: proyv u u.v v 2 v 2 *1 3 * 2 1 * (6) i 2 j 6k 2 i 2 j 6k 2 2 2 41 1 2 (6) proyv u b. Sean: u 2i 3 j v i j Halle Solución: proyv u 2 *1 (3) *1 1 1 (i j ) i j 2 2 2 2 1 1 NOTA: v proyv u Tienen: La misma dirección cuando u v 0 Direcciones opuestas cundo u v 0 NOTA: proyv u Es paralelo a v u proyv u Es ortogonal a v 37 Ibíd. p. 258. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.165 Algebra Lineal DETERMINACIÓN DE UN VECTOR ORTOGONAL A OTRO VECTOR Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u , se puede obtener otro vector w ortogonal a v de la siguiente manera. wu u v v 2 v w u proyv u , es decir, TAREA: Demuestre que v w son ortogonales. Ejemplos: Para el par de vectores v u halle un vector w ortogonal al vector v v 3,5 u (7,2) 1. Solución: wu u v v 7,2 3 * 7 5 * 2 * (3,5) 7,2 31 3,5 7,2 93 , 155 145 , 87 v 2 32 5 2 34 34 34 34 34 Demuestre que v w son ortogonales: 145 145 87 87 v w 3,5 , 3 * 5* 0 34 34 34 34 Grafique los tres vectores en el mismo plano 2. wu v 2,3 u (5,1) u v v 5,1 2 * 5 3 1 * (2,3) 5,1 13 2,3 5,1 2,3 3,2 2 13 22 32 v v w 2,3 3,2 6 6 0 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ 3 El producto cruz sólo se define en lR Sean: u a1i b1 j c1k v a2 i b2 j c2 k Entonces el producto cruz o producto vectorial de u y v, denotado como u x v es un nuevo vector y se calcula como: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.166 Algebra Lineal i j k u x v a1 b1 c1 b1c 2 b2 c1 i a1c 2 a 2 c1 j a1b2 a 2 b1 k a2 b2 c2 NOTA: El vector u x v es perpendicular a u y a v. Ejemplo: Sean: u 2i 4 j 5k v 3i 2 j k 38 Halle: u x v Solución: i j u xv 2 4 3 2 k 5 4 *1 (2) * (5) i 2 *1 (3)(5) j 2 * (2) (3) * 4k 1 u x v 6i 13 j 8k Ejemplo: Sean A 2,1,3 B 3,1,4 AXB 1* 4 (3)(1), (3)(3) (2)(4), (2)(1) (1)(3) 1, 17, 5 i 17 j 5k TEOREMA: 3 Si A, B y C son vectores en lR , entonces i. ii. iii. iv. AXA 0 0 XA 0 AX 0 0 AXB BXA v. El producto vectorial no es asociativo, es decir AX BXC AXBXC vi. AX B C AXB AXC 38 Ibíd. p. 262. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.167 Algebra Lineal vii. cA XB AX cB viii. cA XB cAXB ix. A BXC AXB C Esta propiedad se llama triple producto escalar de los vectores A, B C x. AX BXC A C B A BC AXB A B cos xi. xii. Los vectores A y B son paralelos si y solo si AXB 0 xiii. El vector AXB es ortogonal al vector A y al vector B. xiv. A. AXB B. AXB 0 , es decir, AXB es ortogonal a A y a B. 10.4.2. Rectas y Planos en R3 RECTAS EN EL ESPACIO GRAFICA: Para graficar rectas en el espacio se debe conocer las coordenadas de dos puntos sobre la recta y luego se traza una línea recta que pase por ambos puntos: Grafique cada una de las siguientes rectas. 1. Pasa por los puntos: P 7,3,5 Q 2,3,7 Solución: La gráfica la podemos ver en la siguiente figura: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.168 Algebra Lineal 2. Pasa por los puntos: P 0,0,3 Q 5,0,0 Solución: La gráfica la podemos ver en la siguiente figura: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.169 Algebra Lineal 10.4.2.1 Ecuaciones de una recta La siguiente teoría es una síntesis tomada del autor GROSSMAN39 Para determinar una recta en el espacio se debe conocer las coordenadas de dos puntos, o También se debe conocer un punto y la dirección de la recta. Dados dos puntos de coordenadas P x1 , y1 , z1 y Q x2 , y 2 , z 2 sobre una recta L en el espacio véase la figura: 39 Ibíd. p. 273. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.170 Algebra Lineal El vector v x2 x1 i y2 y1 j z 2 z1 Es un vector que esta sobre la recta L, es decir, es un vector paralelo a L. Sea R x, y, z otro punto sobre la recta L. Entonces el vector PR es paralelo al vector PQ , que a su vez es paralelo a al vector v . Como PR es paralelo al vector v , podemos asegurar que: PR tv Para cualquier número real t. Tenemos que OR OP PR , es decir: OR OP tv Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta L Con: OR xi yj zk OP x1i y1 j z1k tv t x2 x1 i t y2 y1 j t z 2 z1 Reemplazando estas expresiones en la ecuación vectorial de L tenemos: xi yj zk x1i y1 j z1k x2 x1 i t y2 y1 j t z 2 z1 Igualando término a término tenemos: Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.171 Algebra Lineal x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1 z z1 t z 2 z1 Que se llaman ecuaciones paramétricas de la recta L Despejando t en cada ecuación tenemos que: x x1 y y1 z z1 x2 x1 y 2 y1 z 2 z1 O x x1 y y1 z z1 a b c Con: a x2 x1 b y 2 y1 c z 2 z1 Que se llaman ecuaciones simétricas de la recta L. Ejemplo: Determine las ecuaciones vectoriales, simétricas y paramétricas de la recta L que pasa por el punto P (2, 1, 6) Q 3, 1, 2 . Grafique la recta.40 Solución: Primero hallemos el vector v v 3 2i 1 (1) j 2 6k v i 2 j 8k 40 Ibíd. p. 274. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.172 Algebra Lineal Luego hallamos el vector OP 2 0i 1 0 j 6 0k 2i j 6k Sea R x, y, z un punto sobre la recta L. Debemos hallar el vector OR xi yj zk OR OP tv Reemplazando en la ecuación anterior tenemos: xi yj zk 2i j 6 k t i 2 j 8k Igualando término a término tenemos que: x 2t y 1 2t z 6 8t Despejando t de las ecuaciones anteriores tenemos: x 2 y 1 z 6 1 2 8 La prueba se da reemplazando los puntos P y Q en la ecuación anterior y se debe obtener tres igualdades. Para encontrar otros puntos sobre la recta se elige un valor de t y se reemplaza en cada ecuación simétrica. Por ejemplo para t = 3 se obtiene el punto 5, 5, 18 10.4.2.2 Planos en el espacio La siguiente teoría es una síntesis del autor GROSSMAN41 41 Ibíd. p. 276. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.173 Algebra Lineal P x0 , y0 , z 0 P un punto en el espacio y sea n ai bj ck un vector dado diferente de Sea cero. El conjunto de todos los puntos Q x, y, z para los que PQ n 0 constituye un plano 3 en lR Notación de un plano: Para simbolizar un plano se utiliza: PQ x x0 i y y0 j z z 0 k n ai bj ck PQ n 0 x x0 i y y0 j z z 0 k ai bj ck 0 ax x0 b y y0 cz z 0 0 ax by cz ax0 by0 cz 0 ax by cz d Ecuación cartesiana de un plano Con: d ax0 by0 cz 0 Ejemplos: 1. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto 2,5,1 cuyo vector normal es n i 2 j 3k 42 Solución: 42 Ibíd. p. 277. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.174 Algebra Lineal Con: a 1, b 2 c 3 Tenemos que: x 2 y 3k 12 25 31 x 2 y 3z 5 Otra forma: 1x 2 2 y 5 3z 1 0 2. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos: P 1,2,1, Q 2,3,1 R 1,0,4 43 Solución: El vector normal se encuentra efectuando el producto cruz de dos de los vectores que unen a los tres puntos. Con el vector y uno de los puntos se halla la ecuación del plano. PQ 3i j 2k QR 3i 3 j 5k i n PQ X QR 3 3 j 1 3 k 2 i 9 j 6k 5 Usando el punto R Tenemos: 1x 1 9 y 0 6z 4 0 x 9 y 6 z 23 10.4.2.3 Ecuaciones de los planos coordenados 1. PLANO xy El plano xy pasa por el origen 0,0,0 y cualquier vector a lo largo del eje z es normal a él. El vector más simple es k 0,0,1 Tenemos que: 43 Ibíd. p. 279. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.175 Algebra Lineal 0x 0 0 y 0 1z 0 0 Lo que implica que: z 0 Planos paralelos al plano xy tienen la ecuación: z c 2. PLANO xz tiene la ecuación: y 0 Planos paralelos al plano xz tienen la ecuación: y b yz 3. PLANO tiene la ecuación: x 0 Planos paralelos al plano yz tienen la ecuación x a 10.4.2.4 Planos paralelos Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir si el producto cruz de sus vectores normales es igual a cero. Ejemplo: Determine si los planos 1 : 2 x 3 y z 3 2 : 4 x 6 y 2 z 8 son paralelos.44 i j k n1 Xn 2 2 3 1 0i 0 j 0k 0 4 6 2 1 ll 2 10.4.2.5 Planos no paralelos Si dos planos no son paralelos, entonces se intersecan en una línea recta. Ejemplo: Encuentre todos los puntos de intersección de los planos: 2 x y z 3 x 2 y 3z 7 45 44 45 Ibíd. p. 280. Ibíd. p. 280. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.176 Algebra Lineal Se debe resolver un sistema de 2 X 3 2 1 1 3 1 2 3 7 R2 R2 R1 2 1 2 3 1 2 3 7 2 1 1 3 0 5 7 5 y 7 z 11 y 7 11 11 7 z 5 5 13 1 11 7 x 2 z 3z 7 x z 5 5 5 5 Sea: z t La solución es: x 13 1 11 7 t, y t, z t 5 5 5 5 10.4.3. Ejercicios por temas 1. Encuentre la magnitud o norma y los ángulos directores de cada vector. Dibuje cada vector. 2. v 15,7,4 v 6i 2 j 5k v 4i 8 j 13k v 5,3,8 Rectas y planos en el espacio. En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de cada recta dada. Contiene a: 5, 11, 4 5, 12, 7 Contiene a: 1, 2, 3 4, 2, 4 En los siguientes problemas encuentre la ecuación del plano Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.177 Algebra Lineal P 6, 4, 5; n 3i 3 j 5k Contiene a: 4, 2, 7, 6, 1, 2 3, 6, 8 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.178 Algebra Lineal 10.5.PRUEBA FINAL Encuentre el producto cruz u x v u 5i j 3k v 3i 2 j 7k u i 5 j 5k v 6i 2 j k En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de cada recta dada. Contiene a: 6, 21, 7 1, 2, 1 Contiene a: 4, 7, 1 3, 4, 5 10.5.1. 1. Actividad Encuentre la magnitud o norma y la dirección de cada uno de los siguientes vectores, además dibuje cada vector: v 4,9 v 14,4 v 5,12 w 5, 3 w 1,14 w 2i 3 j 2. Encuentre la magnitud o norma y los ángulos directores de cada vector. Dibuje cada vector: v 3,3,2 v 2i j k v 2i 3 j k v 2i 5 j 7k v 3i 3 j 5k Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.179 Algebra Lineal v i 2k 3. Dados los siguientes vectores encuentre vectores unitarios para cada uno de ellos: v 12i 3 j v 2i 3 j 2k v 3 j 5k v i jk 4. Calcule el producto escalar entre el par de vectores dados y el ángulo entre ellos. u i j v i j u 3i v 12 j u i 5 j v 3i 2 j u 3i 12 j 2k v 2i 3 j 7k u 4k v 2i 5 j 4k u i j k v 2 j 5k 5. Determine si los dos vectores dados son paralelos, ortogonales o ninguno de los dos: u 2i 5 j v 6i 10 j u 6i 4 j v 2i 3 j u 12i 18 j v 6i 4 j u 2i 3 j v 3i 2 j u 4i 3 j 5k v 8i 6 j 10k 6. Sean: u i 3 j 2k , v 3i 5 j 6k , w 3i 7 j 2k t i 5 j 5k Halle: uv 2u 3v t 3w v 2u 7w 5v 2v 7t w u.v Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.180 Algebra Lineal w u.w w.t proyu v proyt w 7. Calcule proyv u u 15,27,63 v 84,77,51 u 4,3 v 6,4 v 5,2 u 3,5 u 3i 5 j 2k v 7i 12k u 5i 2 j 8k v i 3 j 3k 8. Encuentre el producto cruz u x v u 2i 4 j 3k v 6i 3 j 5k u 3i 9 j 15k v 3i j k u i 7 j 3k v i 7 j 3k u 3i 2 j v 3k u 15i 10 j 5k v 6i 4 j 2k 9. En los siguientes problemas encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de cada recta dada. Contiene a: 5, 1, 3 1, 2, 1 Contiene a: 7, 1, 1 1, 1, 7 Contiene a: 8, 1, 3 2, 0, 1 Contiene a: 12, 3, 4 2, 5, 4 Contiene a: 0, 2, 3 3, 2, 11 Contiene a: 2, 1, 3 1, 2, 8 10. En los siguientes problemas encuentre la ecuación del plano Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.181 Algebra Lineal P 4, 2, 3; n i 3 j P 3, 4, 5; n 3i 4 j 5k. P 0, 2, 5; n 2i 7 j 4k. Contiene a: 1, 2, 4, 3, 3, 7 3, 1, 3 Contiene a: 2, 1, 0, 5, 1, 3 4, 1, 5 Contiene a: 1, 0, 0; 0, 1, 0 0, 0, 1 Contiene a: 2, 1, 2, 3, 1, 1 3, 1, 4 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.182 Algebra Lineal 11.RESUMEN 11.1.RELACIÓN CON OTROS TEMAS Este curso permite adquirir el bagaje y la destreza suficientes sobre los elementos del álgebra lineal para poder emplearlos en otras materias de la titulación: Cálculo y Física, así como en cualquier aplicación que sea necesaria en el ejercicio de la ingeniería y demás áreas del conocimiento. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.183 Algebra Lineal 12.BIBLIOGRAFÍA BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo. BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con tecnología aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977. DE BURGOS. Juan. Algebra Lineal y geometría cartesiana. 3a edición. Ed. McGraw Hill/Interamericana de España. 2006. DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002. DIAZ SANTA, Georlin. Álgebra Lineal. 3ª edición. Medellín: editorial UPB. 2001. GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966. HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. HILL, Richard. Algebra Lineal Elemental con Aplicaciones. 3ª edición. Prentice Hall. 1997. HOWARD. Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa Wiley. 2003. MERINO L, SANTOS E. Algebra Lineal con métodos elementales. Ed. Thompson-Paraninfo. 2006. NICHOLSONW. Keith, Algebra lineal con aplicaciones, 4ta edición, McGraw-Hill Interamericana, 2003. S. T. Tan. Matemáticas para Administración y Economía. 1 ed. México: International Thompson editores, 1998. SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra Lineal y Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2 ed. Bogotá: Ecoe ediciones, 2005. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.184 Algebra Lineal STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International Thomson Editores, 2001. SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1986. ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill. 1995. 12.1.Documentos Digitales http://www1.universia.net/CatalogaXXI/pub/ir.asp?IdURL=127020&IDC=10010&IDP=ES&IDI=1 Fecha de consulta enero de 2010. http://www.ma1.upc.edu/~rafael/al/matrices.pdf Fecha de consulta de 2010. http://www.ma1.upc.edu/~rafael/al/determinantes.pdf Fecha de consulta enero de 2010. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html Fecha de consulta enero de 2010. http://cnx.org/content/m12862/latest/ Fecha de consulta enero de 2010 http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/algebralineal/index.htm Fecha de consulta enero de 2010 http://www.vitutor.com/algebralineal.html Fecha de consulta enero de 2010 http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal Fecha de consulta enero de 2010 http://www.youtube.com/watch?v=FEorJI6qJNk Fecha de consulta enero de 2010 Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.185 Algebra Lineal http://video.google.com.co/videosearch?sourceid=navclient&hl=es&rlz=1T4WZPC_esCO342CO34 5&q=algebra+lineal&um=1&ie=UTF8&ei=zX1XS83iIsaVtge_vbStBA&sa=X&oi=video_result_group&ct=title&resnum=11&ved=0CEAQq wQwCg# Fecha de consulta enero de 2010 http://www.abaco.com.ve/ Fecha de consulta enero de 2010 http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/selectividad/rectas%20en%20el%20plano%20y%2 0en%20espacio.pdf Consultado en mazo de 2010. http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NkGUnYN9gbQJ:www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geovawalter/Vectores.pdf+rectas+y+planos+en+r3&hl=es&gl=co&pid=bl&srcid=ADGEESiqLfGz8vx1b0D1 PMWywlUdXw-VWfTKGsLRgwLX6Xpuj8rRrPytEBTlLK0pvH5rhBPWVGFJZt1wBlx75Sc2iAf6qWoOcCf9B_sLvfEbkKAmsRgdx7hUd4fRKJO NzazkLVAUkUV&sig=AHIEtbTMWQ-hEjaq8nhP6UBbsgt-fb8T_g Consultado en marzo de 2010. http://www.monografias.com/trabajos12/exal/exal.shtml Fecha de consulta enero de 2010 12.2.Citas 1 BALDOR. Aurelio. Algebra. Madrid: Editorial Mediterráneo. p. 320. 2 ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill. 1995. p. 413. 3 STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International Thomson Editores, 2001. p. 535. 4 Ibíd., p. 543. 5 BALDOR. Op. Cit., p. 358. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.186 Algebra Lineal 6 Ibíd., p. 357. 7 Ibíd., p. 357 8 Ibíd., p. 360 9 Ibíd., p 360. 10 Ibíd., p 360. 11 Ibíd., p. 364. 12 Ibíd., p 364. 13 Ibíd., p. 364. 14 Ibíd., p 364 15 Ibíd., p. 364 16 Ibíd., p. 364 17 Ibíd., p. 364 18 BELTRÁN. Luis P; RODRÍGUEZ. Benjamín P; DIAMATÉ S. Mónica C. Matemáticas con tecnología aplicada 10. 1 ed. Bogotá: Prentice Hall, 1977. p. 177. 19 SWOKOWSKI. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 2 ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1986. p. 422. 20 GROSSMAN. Stanley I. Álgebra lineal. 5 ed. México: Mc Graw Hill, 1966. P 7 21 Ibíd., p. 106. 22 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 273 23 Ibíd., p 108. 24 HAEUSSLER. Op. Cit. p. 289. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.187 Algebra Lineal 25 DÍEZ M. Luis H. Matemáticas Operativas. 15 ed. Medellín: Zona Dinámica, 2002. p.48. 26 ZILL. Op. Cit. P. 422. 27 BALDOR. Op. cit. p. 367. 28 ZILL. Op. Cit. P. 418. 29 BALDOR. Op. Cit. P. 367. 30 ZILL. Op. Cit. P. 421. 31 SOLER FAJARDO, Francisco; MOLINA FOCAZZIO, Fabio; ROJAS CORTÉS, Lucio. Álgebra Lineal y Programación Lineal aplicaciones a ciencias Administrativas, Contables y Financieras. 2 ed. Bogotá: Ecoe ediciones, 2005. P. 122. 32 BALDOR. Op. Cit. P. 367. 33 Ibíd. P. 367. 34 GORSSMAN. Op. Cit. P. 243. 35 Ibíd.. p. 257 36 Ibíd. p. 224. 37 Ibíd. p. 258. 38 Ibíd. p. 262. 39 Ibíd. p. 273. 40 Ibíd. p. 274. 41 Ibíd. p. 276. 42 Ibíd. p. 277. 43 Ibíd. p. 279. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia Corporación Universitaria Remington – Educación a Distancia Pág.188 Algebra Lineal 44 Ibíd. p. 280. 45 Ibíd. p. 280. Corporación Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington Página Web: www.remington.edu.co - Medellín - Colombia