Introducción a la F´ısica Experimental Ley de inducción

Introducción a la Fı́sica Experimental
Ley de inducción de Faraday
aplicada a un imán que atraviesa una bobina
Departamento de Fı́sica Aplicada
Universidad de Cantabria
Febrero 26, 2007
Resumen
Se ha obtenido la ecuación = ah1/2 , a = (277 ± 6) V cm−1/2 , de
la fuerza electromotriz inducida por un imán dejado caer desde una
altura h que atraviesa una bobina de 1600 espiras. Igualmente se ha
obtenido la proporcionalidad entre la fuerza electromotriz inducida
y el número de espiras de la bobina que atraviesa el imán.
Introducción
La Ley de inducción de Faraday1 . establece que para obtener una corriente
eléctrica en un hilo conductor que es la frontera cerrada L de una superficie A
debe haber un flujo magnético variable en el tiempo a través de dicha superficie.
En forma de ecuación de Maxwell
~ =−d
~ · dl
E
dt
L
I
donde
=
I
Z
~ ,
~ · dA
B
(1)
A
~ ,
~ · dl
E
L
es la fuerza electromotriz inducida y donde
Φ=
Z
~ ,
~ · dA
B
A
es el flujo magnético a través de la superficie A.
Por convención el campo magnético va del polo Norte al polo Sur de un
imán. El sentido de la corriente inducida en la espira viene dado por la Ley de
Lenz, que indica que el campo magnético producido por la corriente inducida
1
A Nussbaum, Faraday’s law paradoxes, Physics Education 7, 231-232 (1972). En este artı́culo
se explica muy bien todo lo relativo al cálculo de errores, incluyendo errores en las pendientes de
las rectas de ajuste.
1
por el imán en movimiento –experiencia de Oersted–, debe oponerse al campo
magnético del imán. Para obtener el sentido del campo magnético inducido se
utiliza la regla de la mano derecha, Ley de Biot y Savart, que indica que si se
coloca el pulgar de la mano derecha en la dirección de la corriente, el sentido
del campo magnético inducido viene dado por el sentido de giro de los otros
dedos. En la Fig. 1 se muestra un esquema de interpretación de la ley de
inducción de Faraday.
v
Bi
B
dA
N
S
E
dl
Figura 1: Un imán se acerca a una espira L, que encierra una superficie A, con velocidad v
y con el polo Norte por delante. El flujo magnético variable en el tiempo induce un campo
~ cuyo sentido de giro es tal que aplicando la regla de la mano derecha se induce
eléctrico E,
un campo magnético en el centro de la espira que se opone al del imán que avanza.
Para calcular el flujo magnético del imán cuando se acerca a una superficie
A cerrada por N espiras, se utiliza la aproximación del dipolo [1] –considerando
pequeño el imán frente al tamaño de la bobina, la aproximación del dipolo es
aplicable a distancias del imán superiores a 3 cm (R r, siendo R el radio de
la bobina y r el radio del imán), según la cual, la componente Bz del campo
magnético del imán, componente paralela al vector dA de la superficie –y única
~ viene dada por
~ · dA,
que contribuye al producto escalar B
µ0 m 3/2
3z 2
Bz =
−1 ,
4π(r2 + z 2
r2 + z 2
!
(2)
donde µ0 = 4π ×10−7 NA−2 , es la permeabilidad magnética del vacı́o, m es el
momento magnético del imán, z es la distancia desde el imán hasta el centro
de la espira y r es la distancia desde el centro de la espira hasta el punto de la
superficie que atraviesa el flujo magnético. Utilizando la Ec. (2), integrando
para cada elemento 2πrdr en el que puede dividirse la superficie de la espira,
que tiene un radio R, el flujo magnético a través de la espira cuando el imán
se encuentra a una distancia z del centro de la misma
Φ(z) = N
Z
0
R
µ0 m
2
4π(r + z 2 )3/2
2
3z 2
− 1 2πrdr ,
r2 + z 2
!
y
"
#
Z R
Z R
rdr
rdr
N µ0 m
2
3z
Φ(z) = −
−
,
2
2
3/2
2
2
0 (r + z )
0 (r + z 2 )3/2
de donde el flujo magnético viene dado por
Φ(z) =
N µ0 mR2
2 (R2 + z 2 )3/2
(3)
Teniendo en cuenta la Ec. (1), con la expresión dada en la Ec. (3), la fuerza
electromotriz inducida viene dada por
=−
dΦ dz
dΦ
dΦ(z)
=−
= − (−vz ) ,
dt
dz dt
dz
donde vz es la componente z de la velocidad del imán –la altura disminuye a
medida que aumenta la velocidad, lo que da lugar al signo menos que aparece–,
y se tiene
3N µ0 mR2 zv
(z) = −
.
(4)
2 (R2 + z 2 )5/2
La fuerza electromotriz dada en la Ec. (4) tiene dos valores de z para los cuales
presenta extremos, que pueden obtenerse sin más que imponer la condición
d(z)/dz = 0, de donde
R
zext = ± .
2
Sustituyendo el valor del máximo en la Ec. (4), se tiene que la fuerza electromotriz extremal viene dada por [6, 2]
ext =
24N µ0 mv
.
55/2 R2
(5)
Método experimental
En la Fig. 2 se muestra el dispositivo experimental utilizado, que consta
esencialmente de una bobina conectada a un ordenador mediante un sistema
de adquisición automática de datos. Se toman del orden de 1000 a 2000 datos
por segundo (dependiendo de la altura o velocidad del imán) para que los picos
queden bien delimitados.
Se dispone de un tubo vertical, una bobina y un imán. El tubo atraviesa la
bobina, que se encuentra conectada a un sistema de adquisición de datos por
ordenador. Un imán se deja caer, sin velocidad inicial, por el extremo superior
del tubo, situado a una altura h de la bobina, y el sistema de adquisición de
datos detecta el voltaje inducido en la bobina.
Este sistema permite determinar la velocidad con la que el imán llega a la
bobina utilizando la expresión
v = (2gh)1/2 ,
3
(6)
(1)
(2)
(5)
(4)
(3)
Figura 2: Dispositivo experimental. (1) Tubo de plástico; (2) bobina, (3) caja de conexiones
con el ordenador y los sensores; (4) sensor de voltaje (PASCO); nivel. Aparte hay un
ordenador.
por lo que la Ec. (5) se puede poner como
ext
√
mN h1/2
24µ0 2g
=A
;A =
≈ 2µ0 , .
R2
55/2
(7)
Por tanto, el pico del extremo de voltaje es proporcional al número de espiras
N de la bobina, a la raı́z cuadrada de la altura h desde la que se deja caer
el imán, al momento magnético del imán, m, e inversamente proporcional al
cuadrado del radio de la espira.
1. Variación de la fuerza electromotriz con el número de espiras. Se van a
situar bobinas de distinto número de espiras a la misma distancia de la
boca del tubo, se va a dejar caer el imán siempre de la misma forma y se
va a medir el extremo del pico de la fuerza electromotriz.
2. Variación de la fuerza electromotriz con la altura. Para una misma
bobina se deja caer el imán desde diferentes alturas. Se van a medir
las ordenadas de los picos máximo y mı́nimo de la fuerza electromotriz,
pues debido a la anchura de la bobina, la velocidad de salida es algo
superior a la de entrada. Esto también ocurre en la parte anterior.
4
Resultados experimentales
En la Tab. 1 se muestran los resultados experimentales obtenidos cuando se
deja caer el imán sobre bobinas de diferentes números de espiras, para dos
alturas diferentes.
N
1600
800
400
200
(1) |m |/V
2,32
1,16
0,58
0,30
(2) |m |/V
1,80
0,91
0,46
0,25
Tabla 1: Valores absolutos del extremo de la fuerza electromotriz inducida, e al dejar caer
el mismo imán desde alturas. (1) 1 m; (2) 0,60 m, para bobinas con diferentes números de
espiras, N
Una vez realizadas las primeras experiencias, los resultados estimados, que
el extremo disminuirá en proporción al número de espiras, se confirma experimentalmente.
En la Tab. 2 se muestran los resultados experimentales obtenidos cuando
se deja caer el imán sobre una bobina de 1600 espiras desde diferentes alturas.
h/cm
100
90
80
70
60
50
40
30
20
|max |/mV
2331
2213
2080
1953
1819
1657
1485
1270
1057
|min |/mV
2393
2252
2127
2007
1856
1692
1543
1372
1152
Tabla 2: Valores absolutos de los extremos de la fuerza electromotriz inducida, max y min ,
al dejar caer el mismo imán desde diferentes alturas, h, para una bobina de 1600 espiras.
Análisis
En la Fig. 3 se muestra la representación gráfica del valor medio de los extremos
del voltaje inducido por la caı́da del imán, frente a la altura desde la que se
deja caer, utilizando los datos de la Tab. 2.
5
ε/ mV
2400
ε = 227 h 1/2
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
4
5
6
7
8
9
10
1/2
h /cm
11
1/2
Figura 3: Representación gráfica del valor medio de los extremos del voltaje, = (max +
min )/2 dados en la Tab. 2, frente a la raı́z cuadrada de la altura h a la que se deja caer el
imán. Se obtiene la ecuación = 277h1/2 .
Conclusiones
Los resultados experimentales están de acuerdo con la Ec. (5), según la cual,
la fuerza electromotriz inducida por un imán en su caı́da libre a través de una
bobina es proporcional a la raı́z cuadrada de la altura desde la que se deja
caer, para el mismo número de espiras en la bobina, y proporcional al número
de espiras de la bobina que atraviesa, para la misma altura.
Errores
La magnitud que peor se mide es la altura desde la que se deja caer el imán,
que se mide con precisión de 2 en 50, un 4%, pues la fuerza electromotriz
máxima se mide con precisión de 1 en 2000. El error en la pendiente del ajuste
debe ser de ese orden, por lo que ponemos a = 280 ± 12 V cm−1/2 , en vez de
277 V cm−1/2 .
Por propagación de errores
δa
δh1/2
11
≈ 1/2 =
δh ,
a
h
2h
por lo que el error relativo de la pendiente a es la mitad del error relativo de
la altura. Podemos pues poner a = 277 ± 6 V cm−1/2 .
6
Referencias
[1] R Kingman, An experimental observation of Faraday’s law of induction ,
American Journal of Physics 70, 422-428 (2002)
[2] P Carpena, Velocity measurements through magnetic induction, American
Journal of Physics 65, 135-140 (1997)
[3] J A Manzanares, et al., An experiment on magnetic induction pulses, American Journal of Physics 62, 702-706 (1994)
[4] R C Nicklin, Faraday’s law- Quantitative experiments, American Journal
of Physics 54, 422-428 (1986)
[5] J E Fredrickson, L Moreland, Electromagnetic induction: a computer assisted experiment, American Journal of Physics 40, 1202-1205 (1972)
[6] A Singh, Y N Mohapatra, S Kumar, Electromagnetic induction and damping: Quantitative experiments using a PC interface, American Journal of
Physics 70, 424-427 (2002)
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