/ 2 • 3/ 3••• n/ 3 + •••+ nn (n + 1)(n + 2) •••(n + n + 1) 0 ≤ x ≤ 1 x ≥ 1

I.T. INFORMATICA
BOLETIN SIN SOLUCIONES
CALCULO
INFINITESIMAL
CURSO 2007-08
1. Sucesiones y series numericas
1.
a) Si (an ) es una sucesion de numeros reales que tiene lmite, lim an = l (nito o innito). Probar
a + a2 + : : : + an
que lim 1
= l.
n
p p p
log( 2 3 3 n n)
:
b) Hallar el valor del siguiente lmite: lim
n
2.
a) Si (an ) es
p una sucesion de numeros reales que tiene lmite, lim an = l (nito o innito). Probar
que lim n a1 a2 an = l (se supone an > 0).
pn
b) Hallar el valor del siguiente lmite: lim n!:
3.
4.
5.
p
p
p
a) Calcular el siguiente lmite en funcion del parametro a : lim n a; a 0.
1 1
X
b) Aproximar la suma de la serie convergente
con un error menos que 0:01.
n!
n=1
a) Determinar si la serie
1
X
n=0
funcion del parametro a.
an n!
;
(n + 1)(n + 2) (n + n + 1)
b) Aproximar la suma de la serie convergente
6.
p
2 + 22 2 + 33 3 3 + + nn n n
a) Calcular el siguiente lmite: lim
.
2n
1
X
n
b) Aproximar la suma de la serie convergente
con un error menos que 0:001.
(2n + 1)3n
n=1
a) Determinar si la serie
a.
1
X
n=1
na sin
1 (
X
n=1
a > 0 es convergente o divergente en
1)n+1
con un error menos que 0:1.
n4
1
(a 2 IR) es convergente o divergente en funcion del parametro
n
b) Aproximar la suma de la serie convergente
1
X
1
con un error menos que 0:1.
n2
n=1
2. Sucesiones y series de funciones
7. Se dene, para cada n 2 IN, la funcion fn : [0; 1)
8
>
>
<
fn (x) =
>
>
:
! IR dada por:
n x 0x
1
n
1
x
1
n
2
x
a) Hallar el lmite puntual de fn .
b) Justicar que la convergencia no es uniforme en [0; 1).
8. Dada la sucesion de funciones:
fn (x) =
sin(nx)
n
a) Halla la funcion lmite puntual de fn .
b) Estudia en IR la continuidad de las funciones fn , as como la de la funcion f lmite puntual de
fn >Garantiza esto la convergencia uniforme de fn en IR?
c) >Es lim fn0 (0) = f 0 (0)? >Que se puede decir acerca de la convergencia uniforme de fn (x)?
9. Demostrar que la serie
igualdad
1 sin(nx) + cos(nx)
X
n=1
converge uniformemente en IR y que se tiene la siguiente
n
2
Z X
1 sin(nx) + cos(nx)
0
n
2
n=1
dx =
1
X
(2n
n=1
2
1)3
2. Series de potencias y series de Fourier
10.
a) Suma la serie
1 (
X
1)n
2n + 1
n=0
usando el desarrollo de f (x) =
1
.
1 + x2
b) Partiendo del desarrollo en serie de Fourier de f (x) = x2 en [ ; ]; obtener:
1
X
1
11.
a) Suma la serie
1
X
n=1
b) Demostrar que
12.
a) Suma la serie
2
n
2n
usando la serie
x=
1 1
X
n=1
n
1
n2
y
1
X
( 1)n
1
1 n xn
X
2n
n=1
1
1
n
2
.
sen(2nx), para 0 < x < .
1
X
( 1)n
p 2n+1
n=0 (2n + 1)( 3)
usando el desarrollo de f (x) =
1
.
1 + x2
b) Obtener la serie de Fourier de la funcion
8
<
f (x) =
:
4
0
4
si < x < 0
si x = ; 0; si 0 < x < Usando la condicion de Dirichlet, justicar hacia que funcion converge la serie anterior.
13. Sea la serie de potencias S (x) =
1
X
n=0
an xn tal que
an = ( 1)n (2n + 1)
a) Calcular su radio y campo de convergencia.
b) Calcular y que hace que los coecientes an veriquen la siguiente identidad
an + an
+ an
1
2
= 0 siendo n 2
c) Considerar la serie de potencias que resulta del producto S (x)(1 + 2x + x2 ) y comprobar que es
un polinomio de primer grado.
d) Deducir la expresion de la suma de la serie S (x) en el campo de convergencia. Calcular la suma
1
X
2n + 1
de la serie numerica
( 1)n n .
2
n=0
14. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcion
f (x) =
x si x 2 [ ; ]
0 si x 2 [ ; ) [ ( ; ]
2
2
2
2
>A que valor converge la serie para x = 2 ?. >Coincide con el valor de f ( 2 )?. Si hay otros puntos en
los que ocurra la misma situacion determnalos y razona la respuesta.
Usando el desarrollo anterior, obtener la suma de la serie numerica
1
X
n=1
(2n
1
1))2
.
x
15. Sea la funcion f : IR ! IR denida por f (x) = cos y extendida periodicamente fuera del intervalo
2
< x < .
a) Comprobar que esta funcion satisface las condiciones de Dirichlet y obtener su serie de Fourier.
Ayuda: Hacer uso de la propiedad cos(mx) cos(nx) = cos(m + n)x + cos(m
n)x
b) Hallar la suma exacta de la serie numerica
16. Dada la funcion
g (x) =
1
X
1
2
4
n
1
n=1
0
3
5<x<0
0<x<5
<t<0
.
0<t<
x
b) Calcular la serie de Fourier de g (x), sustituyendo t por
en la serie de Fourier obtenida en el
5
apartado anterior.
c) >Como debe denirse g (x) en x = 5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier converja a g (x)
para 5 x 5?
a) Calcular la serie de Fourier de g (t) =
0
3
17. Sea la funcion f : R ! R denida por
8
>
>
>
>
<
f (x) =
>
>
>
:
1
1
2
0
1
2
1
x< 1
x= 1
1<x<1
x=1
1<x
y extendida periodicamente fuera del intervalo [ ; ]. Se pide:
a) Obtener la serie de Fourier de f (x) y estudiar su convergencia puntual.
b) Calcular la suma exacta de la serie numerica
1 sen 2n
X
n=1
n
.
Ayuda: sen
2a = 2sen a cos a.
3. Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales
18. Dada la ecuacion diferencial xy 0 = y
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Encuentra su solucion general.
Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
Resuelve el P.V.I. xy 0 = y 1 con y = 1 cuando x = 2.
Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [2; 3].
Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 3.
Aproxima el valor de la solucion en x = 3 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 3 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
19. Dada la ecuacion diferencial y 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
c)
d)
e)
f)
g)
y (x + 2) = 0:
Encuentra su solucion general.
Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
Resuelve el P.V.I. y 0 y (x + 2) = 0 con y = 21 cuando x = 0.
Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [0; 1].
Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
y0
= 5x :
e x3
Encuentra su solucion general.
Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
y0
Resuelve el P.V.I. x3 = 5x con y = 1 cuando x = 0.
e
Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [0; 1].
Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
20. Dada la ecuacion diferencial
a)
b)
2
2
dy 1 + 2x
+
y = 0:
dx
x
Encuentra su solucion general.
Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
dy 1 + 2x
Resuelve el P.V.I.
+
y = 0 con y = e cuando x = 1.
dx
x
3
Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [1; ].
2
3
Encuentra el valor exacto de la solucion en x = .
2
1
3
Aproxima el valor de la solucion en x = utilizando el metodo de Euler con paso h = .
2
2
3
1
Aproxima el valor de la solucion en x = utilizando el metodo de Heun con paso h = .
2
2
2
21. Dada la ecuacion diferencial
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1:
2
22. Dada la ecuacion diferencial y 0 + y =
1
:
1 + e2x
a) Encuentra su solucion general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
1
c) Resuelve el P.V.I. y 0 + y =
con y = 4 cuando x = 0.
1 + e2x
d) Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [0; 1].
e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 1.
f) Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
23. Dada la ecuacion diferencial y 0 sen x + y cos x = xsen x:
a) Encuentra su solucion general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
c) Resuelve el P.V.I. y 0 sen x + y cos x = xsen x con y = 2 cuando x = .
2
3
d) Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [ ; ].
2 4
3
e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x = .
4
3
f) Aproxima el valor de la solucion en x =
utilizando el metodo de Euler con paso h = .
4
4
3
g) Aproxima el valor de la solucion en x =
utilizando el metodo de Heun con paso h = .
4
4
24. Dada la ecuacion diferencial x dy = (y
2xy
x ) dx:
2
a) Encuentra su solucion general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
1
c) Resuelve el P.V.I. x dy = (y 2xy x2 ) dx con y =
cuando x = 1.
2
d) Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [1; 2].
e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 2.
f) Aproxima el valor de la solucion en x = 2 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solucion en x = 2 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
2
25. Dada la ecuacion diferencial dy = (6xex + 2xy ) dx:
a) Encuentra su solucion general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.
c)
d)
e)
f)
g)
2
Resuelve el P.V.I. dy = (6xex + 2xy ) dx con y = 5 cuando x = 0.
Justica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [0; 1].
Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.
Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.
26. Integrar mediante desarrollos en series de potencias:
a) y 0 = y
b) y 0
2xy = 0
27. Resolver, mediante desarrollos en series de potencias, la solucion particular de (1 + x)y 0 = py sujeta
a la condicion y (0) = 1.
28. Hallar la solucion general de (1 + x2 )y 00 + 2xy 0 2y = 0 en terminos de series de potencias en x. >Se
puede expresar esta solucion mediante funciones elementales?.
29. La ecuacion de Hermite es y 00
2xy 0 + 2py = 0, donde p es una constante.
a) Demostrar que su solucion general es y (x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x), donde:
y (x) = 1
1
2p 2 22 p(p 2) 4
x +
x
2!
4!
23 p(p
2)(p
6!
4)
x +:::
6
2(p 1) 3 22 (p 1)(p 3) 5 23 (p 1)(p 3)(p
x +
x
3!
5!
7!
b) >Donde son convergentes estas series?
c) Obtener los desarrollos limitados de Hermite para p = 0; 1; 2; 3; 4; 5:
y (x) = x
2
5)
x +:::
7
30. Sea k una constante real k > 0. Se dene la sucesion (un ) por las relaciones u0 = 0; u1 = 1 y
kun+2 (1 + k 2 )un+1 + kun = 0, para todo n 0. Se considera la serie de potencias
S (x) =
1 u
X
n
0
n!
xn :
a) Probar que S (x) satisface la ecuacion diferencial de segundo orden
kS 00 (x)
(1 + k 2 )S 0 (x) + kS (x) = 0;
con S (0) = 0 y S 0 (0) = 1.
b) Resolver la ecuacion diferencial del apartado anterior para todo valor de k .
c) Deducir del apartado anterior el valor del termino general un en el caso k = 1.
31.
Examen 25-1-00.
cualquiera. Se pide:
Dada la ecuacion diferencial (1 + x)y 0 = py , donde p es una constante real
(a) Comprobar que la serie de potencias
1+px +
p(p 1)
p(p
x +:::+
2!
2
1) : : : (p
n!
n + 1) n
x +:::
es la solucion particular, valida en el intervalo ( 1; 1), de la ecuacion de (1 + x)y 0 = py sujeta a
la condicion y (0) = 1.
(b) Hallar, razonadamente (sin usar la tabla), la suma de la serie de potencias del apartado anterior.
32.
Examen 8-9-00.
Sea la ecuacion diferencial
x y 0 + (1 + x)y = + x;
2
donde , y son constantes reales.
a) Estudiar la soluciones desarrollables en serie de potencias: y (x) =
1
X
n=0
an xn . Para ello, comprobar
que a0 = y que a1 = y formar la relacion de recurrencia entre an y an+1 .
b) Demostrar que el radio de convergencia de una serie de potencias solucion y (x), en la cual todos
los an son no nulos, es 0.
c) Si una serie de potencias solucion y (x) presenta un elemento ap nulo, deducir que y (x) es un
polinomio. Comprobar que si es un entero negativo, la solucion y (x) es de esta forma.
33.
Examen 14-02-01.
A partir de la serie de potencias f (x) =
con radio de convergencia R nito, denamos la serie
g (x) =
1
X
n=2
n
1
1
X
n=2
an xn (se supone a = a = 0 ) y
0
a xn :
1 n
1
(1)
a) Hallar el radio de convergencia de g (x).
b) Comprobar que g (x) satisface la ecuacion diferencial g 0 (x)
1
g (x)
= f (x).
x
x
x2
c) Suponiendo que f (x) =
, resolver la ecuacion diferencial anterior y calcular la solucion
1 x
particular que pasa por ( 1; log 2).
d) Demostrar que el desarrollo (1), cuando an = 1 para todo n 2, coincide con el desarrollo en
serie de potencias de la solucion obtenida en el apartado c) en un determinado intervalo.
1 ( 1)n+1
X
n
Ayuda: log(1 + x) =
34.
Examen 29-1-03.
(n
n=1
para todo
x
n
x
2(
Dada la serie de potencias f (x) =
1)2n .
1; 1].
1
X
n=2
bn xn donde b = b = 0; para n 2; bn =
0
1
a) Calcular su campo de convergencia y su funcion suma.
b) Calcular el radio de convergencia de la serie
F (x) =
1
X
n=2
((n + 1)(n + 2)bn+2
(n
1)(n + 2)bn ) xn
c) Encontrar una funcion que sea solucion de
(1
x )y 00
2
2xy 0 + 2y = 2b2 + 6b3 x + F (x)
(2)
0 = 0 es un punto ordinario para (2).
d) Hallar la solucion general de la ecuacion homogenea asociada a (2), sabiendo que y = x es una
solucion de esta ecuacion homogenea.
4x2
2
2
2x
1
1
1=2
1=2
Ayuda:
=
+
;
=
+
+
x(1
x2 )
x
1
x2
x2 (1
x2 )
x2
1
x
1+x
e) Hallar la solucion general de (2).
f) Teniendo en cuenta que x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuacion homogenea asociada a (2),
resolver mediante desarrollos en series de potencias el problema de valores iniciales:
Ayuda: Usa desarrollos en series de potencias. El punto
(1
x )y 00
2
2xy 0 + 2y = 0;
x
y (0) = 1;
y 0 (0) = 0:
(3)
Obtener el radio de convergencia de dicha serie solucion o dar, justicadamente, una cota inferior
signicativa del mismo.
g) Calcular la suma de la serie de potencias que es solucion de (3).
35.
Examen 29-1-03.
Dada la E.D.O. y 0 (1
x)
2
xy = 1, se pide:
a) Encontrar la solucion general
Z de la ecuacion usando el metodo de resolucion de ecuaciones lineales
de primer orden.
Ayuda:
p1 1 2
x
= Arcsen
x
+ C.
b) Resolver la E.D.O. del enunciado por medio de series de potencias.
p1 x2x =
c) Deducir que arcsin
1
X
n=0
2n (n!)2
n+1)! x
2
(2
n+1 .
2
d) Calcular el desarrollo en series de la funcion f (x) = (Arcsen x)2 .