Document

¿Qué es la ecuación lineal de onda y porqué es
importante?
¿Cuáles son las ecuaciones de Maxwell?
¿Cómo se relacionan el campo eléctrico y el campo
magnético de acuerdo a las ecuaciones de Maxwell?
¿Porqué podemos decir que la luz es una onda
electromagnética (OEM)?
¿Cómo son las funciones de onda para una OEM?
¿Qué información se puede sacar a partir de la
función de onda de una OEM?
¿Cuál es la potencia transportada por una OEM?
Las funciones de onda y(x,t)=Acos(kx-ωt) son soluciones de la
ecuación lineal de onda: 2
2
 y 1  y
 2 2
2
x
v t
La ecuación de onda describe cómo se propaga (o viaja) una
onda plana en cualquier sistema físico.
La variable y puede tener diferentes asignaciones dependiendo
del tipo de onda que se trate:
Ondas en una cuerda: y=desplazamiento transversal del
medio.
Ondas de sonido: y=desplazamiento longitudinal del medio.
Ondas electromagnéticas: y=campo eléctrico o magnético.
Esta ecuación de onda es el fundamento clásico de la ecuación
de Schrödinger, base de la mecánica cuántica, que describe los
fenómenos a nivel atómico y/o molecular (dualidad ondapartícula de los electrones).
Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los
campos eléctricos y magnéticos.
  q
Ley de Gauss eléctrica:  E  d A   0
 
Ley de Gauss magnética:  B  dA  0
 
Ley de Faraday:  E  d s   ddtB
 
d
Ley de Ampère-Maxwell:  B  d s  0 I  0 0 dtE
Las consecuencias más importantes de las ecuaciones de
Maxwell son:
Un campo magnético (eléctrico) variable en el tiempo
genera un campo eléctrico (magnético).
Existen ondas electromagnéticas que son solución de la
ecuación lineal de onda (obtenida a partir de las ecuaciones
de Maxwell).
El campo eléctrico E y el campo magnético
B siempre son
perpendiculares a la
dirección de propagación y entre sí.
Tomemos las direcciones:
x  propagación de la onda
y  oscilación del campo eléctrico
Jewett, “Physics for scientists and engineers”, 6th
z  oscilación del campo magnético Serway,Edition,
Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 1069
¿Podremos derivar la ecuación de onda a partir de las
ecuaciones de Maxwell?
Un aspecto importante a considerar es que en el vacío
prácticamente no hay fuentes de carga eléctrica (q), ni
corrientes eléctricas (I), por lo que las ecuaciones se reducen a:
 
 
 
 
d B
d E
E

d
s


B

d
s



E

d
A

0
B

d
A

0
0 0 dt
dt




Las ecuaciones que relacionan a E y a B son fundamentales en
determinar la ecuación de onda.
Podemos relacionar los campos E y B a
través de las ecuaciones de Maxwell:
 
 
d B
d E
E

d
s


B

d
s



0 0 dt
dt


Tomando la primera integral de acuerdo a
la figura: E  d s  E x  dx, t   E x, t     E dx

Por otro lado:
Entonces:
 
 x 
 
 B  B  A  Bdx
 E 
 B 
  dx  dx 
 x 
 t 
E
B

x
t
De manera análoga, tomando la segunda
integral se tiene que:
 
 B 








B

d
s

B
x
,
t


B
x

dx
,
t




 dx

 x 
 
y  E  E  A  Edx
Serway, Jewett, “Physics for scientists and
engineers”, 6th Edition, Thomson
Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 1073
B
E
  0 0
x
t
Para obtener la ecuación lineal de onda, se toman como base:
E
B

x
t
B
E
  0 0
x
t
Derivando el campo E con respecto a x se tiene:
  E 
  B 
  B 
     
x  x 
x  t 
t  x 
Y sustituyendo ahora la segunda ecuación:
2E

E 
2E
    0 0
  0 0 2
x 2
t 
t 
t
c
1
0 0
La velocidad de la luz en el vacío es:
¡¡¡Recuperamos la ecuación lineal de onda!!!
2E 1 2E
 2 2
2
x
c t
De manera análoga, si derivamos el campo B con respecto a x
y hacemos el mismo procedimiento se obtiene:  2 B 1  2 B
x
2

c 2 t 2
Como se vio anteriormente, tanto E como B son soluciones de la
ecuación lineal de onda. Lo único que se tomó en cuenta sobre
ellos es que son perpendiculares entre sí y con la dirección de
propagación. Esto es consecuencia directa de la ortogonalidad
de las ecuaciones de Maxwell.
Por simplicidad, imaginemos una onda electromagnética
plana:
http://ocw.mit.edu/ans7870/8/8.02T/f04/visualizations
/light/07-EBlight/EB_Light.mpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Plane_
wave_wavefronts_3D.svg/1000px-Plane_wave_wavefronts_3D.svg.png
Las funciones de onda correspondientes son:
E  Emax cos k x   t 
B  Bmax cos k x   t 
Primero se verificará que E es solución de la ecuación lineal de
onda:
2E
2E
2
2




k
E
cos
k
x


t



Emax cosk x   t 
max
2
2
x
t
2E 1 2E
 2 2
2
x
c t
Análogamente, el campo B también es solución de la ecuación
lineal de onda  Son ondas electromagnéticas.
Por otro lado, se tiene que:
E
B
 kEmax sin k x   t 
 Bmax sin k x   t 
x
t
Pero como:
E
B

x
t

kEmax   Bmax

Emax 
 c
Bmax k
Por lo tanto, la magnitud de E y la magnitud de B están
relacionadas en todo instante de tiempo como: E  c B
De esta manera, con sólo conocer el campo E como función del
tiempo, se puede determinar el campo B en todo instante.
Por ahora sólo se estudió el caso de ondas planas
propagándose en una dirección paralela al eje x. No hay que
olvidar que se pueden propagar en cualquier dirección del
espacio: r  x, y, z   xiˆ  yˆj  zkˆ
En este caso, se debe considerar que el número de onda se

reemplaza por el vector de onda: k  k kˆ  2 kˆ
El campo eléctrico E, también es una cantidad vectorial:

 
 
E  Emax cos k r   t

El estado de polarización corresponde a la dirección de E :

Emax  Emax Eˆ
Por lo tanto, a partir de la función de onda de E se puede
conocer mucha información de la onda electromagnética:
Longitud de onda, frecuencia y velocidad (en un medio).
Estado de polarización.
Índice de refracción del medio.
Energía transportada por la onda.
La potencia por unidad de área transportada por una onda EM
 

1
se puede calcular a partir del vector de Poynting: S   E  B
0
La magnitud del vector de Poynting es:
S 
Emax Bmax
0
2
Emax

0c
El vector de Poynting representa la potencia instantánea que
atraviesa una superficie.
La magnitud de mayor interés es la INTENSIDAD (o
irradiancia) de una onda EM que es el PROMEDIO del vector
2
de Poynting en un ciclo:
Emax
1
I  S prom 
20 c

r2
La densidad de energía instantánea asociada al campo
eléctrico es: uE  12  0 E 2
uB  2 1 B 2  uE
Y la densidad de energía asociada al campo B :
Por lo tanto, la densidad de energía total es: uB  uE   0 E 2
El promedio de la densidad energía en un ciclo, se puede
2
relacionar con la intensidad: u prom  12  0 Emax
 I  cu prom
0
http://www.andor.com/Portals/0/IntLight_Small.jpg
En resumen, las propiedades de las ondas EM son:
E y B determinados a partir de la 3ª y 4ª ecuaciones de
Maxwell presentan comportamiento ondulatorio y son
solución a la ecuación de onda  ondas EM.
Las ondas EM viajan en el vacío a una velocidad constante:
c
1
0 0
Las ondas EM son transversales: E y B son perpendiculares
entre sí y con la dirección de propagación.
Las magnitudes de E y B se relacionan en el vacío como:
E cB
Las ondas EM obedecen el principio de superposición.
Las ondas EM transportan energía. La potencia por unidad
de área que atraviesa una superficie
 
 instantáneamente
1
está dada por el vector de Poynting: S   E  B
La intensidad de la onda EM está determinada por el
promedio del vector de Poynting en uno o varios ciclos.
0
1. Una onda electromagnética se especifica por la siguiente
función: E  104 V  1 iˆ  3 ˆj cos (3x  y) 107  9.42 1015 t 
m
3
10
10
Calcule:
a) La dirección en la que el campo oscila.
b) El valor escalar de la amplitud del campo eléctrico.
c) La dirección de propagación de la onda.
d) El número de onda y la longitud de onda.
e) La frecuencia y la frecuencia angular.
f) La velocidad de propagación y el índice de refracción.
g) La magnitud del vector de Poynting.
h) La intensidad de la onda.


2. Considere una onda electromagnética plana, linealmente
polarizada que viaja en dirección (2,-1,1) en el espacio libre.
Dadas su frecuencia de 15 Mhz y su amplitud Emax= 0.08 V/m,
encuentre:
a) El periodo y la longitud de onda.
b) Las funciones de onda E(t) y B(t). (Sugerencia, use los
productos punto y cruz.)
c) La irradiancia de la onda.