PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA POTENCIACIÓN Y LA RADICACIÓN A TRAVÉS DEL JUEGO EN EL GRADO NOVENO TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE: MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EDUARDO GÓMEZ ÁLVAREZ WILSON ARLEY GÓMEZ TORO Asesor: ROBERTO CRUZ RODES Doctor en Matemáticas UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS MEDELLÍN 2016 1 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 2 Contenido Lista de figuras ................................................................................................................................ 4 Lista de anexos ................................................................................................................................ 6 Introducción .................................................................................................................................... 7 Planteamiento del problema .......................................................................................................... 10 Justificación ............................................................................................................................... 10 Estado del arte ........................................................................................................................... 12 Planteamiento del problema ...................................................................................................... 16 Pregunta de investigación. ..................................................................................................... 16 Objetivo general. ................................................................................................................... 16 Objetivos específicos. ............................................................................................................ 17 Marco legal ................................................................................................................................ 17 Marco Teórico ............................................................................................................................... 20 Aprendizaje Significativo de Ausubel....................................................................................... 20 Marco histórico ......................................................................................................................... 23 Los Números Reales. ............................................................................................................. 27 Potencias y raíces................................................................................................................... 29 Marco conceptual ...................................................................................................................... 30 Potenciación........................................................................................................................... 30 Potencia de exponente entero positivo. ................................................................................. 30 Potencia de exponente entero negativo. ................................................................................ 30 Exponente racional. ............................................................................................................... 30 Propiedades básicas de los exponentes. ................................................................................. 31 Radicación. ............................................................................................................................ 32 Marco metodológico ..................................................................................................................... 35 Enfoque metodológico .............................................................................................................. 35 Características de la Investigación Cualitativa.......................................................................... 35 Diseño metodológico................................................................................................................. 36 Métodos y técnicas para la recogida y análisis de la información ............................................ 38 Diseño de estudio................................................................................................................... 38 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 3 Realización del estudio. ......................................................................................................... 38 Desarrollo de la propuesta ......................................................................................................... 39 Fase inicial. ............................................................................................................................ 39 Fase intermedia. ..................................................................................................................... 41 Fase final................................................................................................................................ 58 Análisis de resultados ................................................................................................................... 60 Contexto escolar ........................................................................................................................ 60 Tipo de investigación ................................................................................................................ 60 Tipo de caso .............................................................................................................................. 60 Casos y criterios de selección.................................................................................................... 60 Instrumento y análisis de la información .................................................................................. 61 Análisis fase inicial. ............................................................................................................... 61 Análisis fase intermedia......................................................................................................... 65 Análisis fase final. ................................................................................................................. 76 Conclusiones y recomendaciones ................................................................................................. 84 Conclusiones ............................................................................................................................. 84 Recomendaciones ...................................................................................................................... 84 Bibliografía ................................................................................................................................... 85 Anexos .......................................................................................................................................... 88 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 4 Lista de figuras Figura 1.Hueso de Lebombo ......................................................................................................... 24 Figura 2. Los 59 Símbolos del Sistema Babilónico ...................................................................... 25 Figura 3. Sistema de Numeración Egipcia. ................................................................................... 26 Figura 4. Simbología Numérica de la India. ................................................................................. 27 Figura 5. Ojo de Orus.................................................................................................................... 28 Figura 6. Términos de la radicación. ............................................................................................ 33 Figura 7. Terna de cartas ............................................................................................................... 42 Figura 8. Cuarta de cartas ............................................................................................................. 42 Figura 9. Quinta de cartas ............................................................................................................. 43 Figura 10. Juego de parqués.......................................................................................................... 44 Figura 11. Fichas de dominó de raíces y de potencias .................................................................. 48 Figura 12. Secuencia de fichas...................................................................................................... 48 Figura 13. Juego de escalera ......................................................................................................... 50 Figura 14. Ruleta de potencias y raíces ........................................................................................ 57 Figura 15. Respuesta del estudiante 1 a la pregunta 1 de la fase inicial ....................................... 62 Figura 16. Respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la fase inicial ...................................... 62 Figura 17. Respuesta del estudiante 3 a la pregunta 3 de la fase inicial. ...................................... 63 Figura 18. Respuesta del estudiante 4 a la pregunta 4 de la fase inicial ....................................... 64 Figura 19. Estudiante 2 ganando la partida al formar tres ternas en la fase intermedia. .............. 66 Figura 20. Estudiante 1 ganando la partida al formar una cuarta y una quinta en la fase intermedia. .................................................................................................................................... 66 Figura 21. Estudiantes en una partida de parqués en la fase intermedia....................................... 67 Figura 22. Estudiantes en una partida de dominó de potencias en la fase intermedia. ................. 68 Figura 23. Secuencia de fichas con tres pasos en la fase intermedia ............................................ 68 Figura 24. Secuencia de fichas con cinco pasos en la fase intermedia. ........................................ 69 Figura 25. Estudiantes en una partida de dominó de raíces en la fase intermedia. ....................... 69 Figura 26. Secuencia de fichas con cinco pasos en la fase intermedia. ........................................ 70 Figura 27. Estudiantes en una partida de escalera en la fase intermedia. ..................................... 70 Figura 28. Respuesta del estudiante 1 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 71 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 5 Figura 29. Respuesta del estudiante 2 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 71 Figura 30. Respuesta del estudiante 3 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 72 Figura 31. Respuesta del estudiante 4 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 72 Figura 32. Respuesta del estudiante 1 al ejercicio propuesto en el juego de la escalera en la fase intermedia. .................................................................................................................................... 73 Figura 33. Respuesta del estudiante 2 a los dos ejercicios propuestos en el juego de la escalera 73 Figura 34. Respuesta del estudiante 3 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 73 Figura 35. Respuesta del estudiante 4 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 73 Figura 36. Estudiantes jugando a la ruleta en la fase intermedia .................................................. 74 Figura 37. Respuesta de los estudiantes a los ejercicios propuestos en el juego de la ruleta en la fase intermedia. ............................................................................................................................. 75 Figura 38. Respuesta del estudiante 1 a la pregunta 1 de la prueba final en la fase final. ............ 76 Figura 39. . Respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la prueba final en la fase final. .......... 77 Figura 40. . Continuación respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la prueba final en la fase final. .............................................................................................................................................. 78 Figura 41. . Respuesta del estudiante 3 a la pregunta 3 de la prueba final en la fase final. .......... 79 Figura 42. . Respuesta del estudiante 4 a la pregunta 4 de la prueba final en la fase final. .......... 80 Figura 43. Respuesta de los estudiantes a la pregunta 5 de la prueba final en la fase final. ........ 81 Figura 44. Continuación respuesta de los estudiantes a la pregunta 5 de la prueba final en la fase final. .............................................................................................................................................. 82 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 6 Lista de anexos Anexo 1. Resultados prueba saber grado noveno ......................................................................... 88 Anexo 2. Prueba diagnóstica estudiantes ...................................................................................... 89 Anexo 3. Juegos de mesa ajustados .............................................................................................. 91 Anexo 4. Prueba final ................................................................................................................. 113 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 7 Introducción La enseñanza de las matemáticas en cada grado escolar refleja diferentes dificultades, muchas de ellas relacionadas con el poco interés por parte de los estudiantes para su aprendizaje. Esta desmotivación se debe en gran parte a la forma mecánica en que se proponen los conceptos matemáticos y la falta de creatividad al momento de desarrollar actividades en el aula. En el proceso de enseñanza notamos que casi a la par con el desarrollo del ser humano en su crecimiento vital, se desarrollan muchas habilidades aritméticas en forma natural a través de la experiencia, en la medida en que el individuo se enfrenta a diferentes situaciones. La escuela es solo una parte en este proceso, pero si en la enseñanza, en las aulas, no se consideran los aprendizajes previos de los estudiantes y sólo se imparten conceptos, éstos serán superficiales, no serán interiorizados y mucho menos tendrán alguna utilidad fuera del entorno escolar, ni mucho menos serán apropiados comprensivamente por la comunidad estudiantil. A mediados del siglo XX se planteaba que el manejo de las operaciones aritméticas suponía de ciertos niveles de razonamiento, relacionados con el desarrollo intelectual del estudiante, como proponía Piaget (1954), haciendo referencia a las características cognitivas en el último estadio del desarrollo intelectual que comienza alrededor de los 11 a los 12 años para encontrar un punto de equilibrio entre los 14 y los 15 años de edad, en el cual se da el manejo de las operaciones formales y se pone de manifiesto el razonamiento hipotético- deductivo, dado que la persona está en condiciones de operar tanto sobre objetos como sobre hipótesis. Sin embargo, en la actualidad vemos que dicho razonamiento se puede fortalecer gradualmente, desde la teoría de Ausubel, quien orienta el ir más allá en la credibilidad de las habilidades y potencialidades de los estudiantes, lleva a tenerle más interés al mismo, por descubrir otras PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 8 formas de hacerse preguntas, resolver situaciones problemas, ser más participativo en los proyectos y planes de mejoramiento, para su propio acontecer, desde actividades que le representen cierta dificultad, con el fin de que sus habilidades para resolver problemas sean cada vez mayores y su desarrollo cognoscitivo se vea reflejado en ellas, atendiendo así el fin orientador del modelo pedagógico institucional; basado en la concepción desarrollista y social, el estudiante aprende construyendo el conocimiento a través de experiencias significativas asociadas con las propias necesidades de crecimiento y desarrollo personal, articulado con las características y necesidades del entorno económico, social y cultural. La responsabilidad del estudiante en la construcción del conocimiento es fundamental porque desarrolla y afianza su autonomía en el aprendizaje, en cuya aplicación retoma algunos componentes del constructivismo para la construcción o reconstrucción de los conceptos de las ciencias. La actividad del docente consiste en planear los procesos de aprendizaje para facilitar la actividad conceptual y práctica del estudiante y provocar en él las habilidades para pensar, aprender y des-aprender, base y fundamento del conocimiento científico y de la investigación. (Proyecto Educativo Institucional, 2015) Es importante entonces profundizar en el manejo de estas operaciones, pero por medio de actividades que, como el juego, permitan de una forma práctica mejorar su comprensión, lo cual se verá reflejado cuando esté involucrado en situaciones que precisen su aplicación y lo haga en forma apropiada. Es por eso que se deben diseñar estrategias para que sean los estudiantes quienes construyan el conocimiento y lo pongan a prueba, así lo propone Franco (1967, p. 43) “Si queremos robustecer a la vez los conocimientos y las aptitudes, debemos brindar más a menudo a los estudiantes las ocasiones para verificar sus conocimientos teóricos, mediante las PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 9 actividades prácticas”. El aula de clases debe ser un lugar de experiencias, ensayos, errores, acciones, preguntas y respuestas constantes, para que los estudiantes logren avanzar y afianzar la apropiación comprensiva de los saberes propios del área. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 10 Planteamiento del problema Justificación La matemática se reconoce como área fundamental para encauzar a la comunidad estudiantil en el desarrollo de su pensamiento lógico y reflexivo, es el área del pensar antes de actuar a través de las operaciones problematizadas desde la relación con lo cotidiano y lo social de los estudiantes, y de la escuela. Contrario a esto, los docentes del área, estamos posicionados de pensamientos y costumbres, que nos hacen ver como los dueños del conocimiento y pasamos por alto en muchos casos los saberes, ideas y experiencias de los estudiantes. No siempre llevamos a la práctica el ideal educativo de convertir al estudiante en protagonista de su formación. Presos de este error nos dedicamos a instruir y dirigir conceptos en forma sistemática y programada, lo que ha convertido un área tan fundamental como las matemáticas en el espacio del tedio, las dificultades, los retos imposibles y problemas cuya solución sólo conoce el docente de turno. Hemos convertido el aula de clase en un lugar aislado de la realidad de los estudiantes y para ingresar a ella es necesario dejar en la entrada las emociones, las experiencias, las ideas y la creatividad, porque lo importante es que aprendan y se siga al pie de la letra el currículo, de ahí el alto porcentaje de estudiantes con insuficiencia en el desempeño del área, muestra de ellos son los resultados de las Pruebas SABER (Anexo 1), aplicadas al grado noveno en los último años. Conocer el sinnúmero de posibilidades que nos brinda esta área en el desarrollo del pensamiento es una realidad que nos invita a ser innovadores e investigadores. Explorar alternativas y recursos como el juego, nos permite renovar nuestras prácticas de aula. Dejar de mirar el conocimiento matemático como un producto elaborado y generar espacios de razonamiento, construcción y experimentaciones argumentadas a través de las cuales los PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 11 estudiantes logren encontrar formas más humanas de aprender a pensar y a resolver situaciones problemas, así como, a los maestros descubrir que es posible entusiasmarlos a ellos, de nuestro saber, con racionalidad y madurez para su pensamiento y teniendo en cuenta sus intereses, necesidades y expectativas, porque el interés es valorar y darle aplicabilidad en la resolución de la situación problema , tal como lo propone desde su teoría Ausubel(1983), cuando convoca al maestro a preguntarse como aprende para encauzar como debe ser su enseñanza de los saberes de su disciplina. De ahí la importancia de desarrollar una serie de actividades dirigidas a la enseñanza de la potenciación y la radicación en el grado noveno por medio del juego, concebido como estructura del pensamiento que desde la acción creadora potencializa al estudiante a que desarrolle estructuras mentales que le permitan interpretar comprensivamente, así como asimilar el marco conceptual del saber matemático que se desarrolla, para incursionar en el nivel de pensamiento argumentativo y la iniciación de la propositividad (Ausubel 1983), viendo el juego como una estrategia que motive la participación activa de los estudiantes en la aplicación del conocimiento matemático adquirido, y convertirlos en protagonistas de su aprendizaje en la medida en que demuestran sus habilidades y superan las dificultades al enfrentarse a diferentes situaciones. En el juego se fortalece la capacidad individual para responder a ciertas situaciones y se motiva de igual modo el trabajo cooperativo, lo que favorece también aclarar dudas y compartir estrategias de solución, que en algún momento de la vida pueden ser útiles. Los estudiantes razonan desde su individualidad, pero también construyen por medio de la interacción y la socialización con otros. La práctica constante en cada actividad le genera retos al estudiante y para superarlos debe demostrarse a sí mismo un mayor grado de habilidad. No es el educador el que va a PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 12 mostrarle el camino, es su necesidad por comprender y su propio ímpetu lo que le permitirá desarrollar y demostrar sus capacidades, en este caso en la aplicación de las operaciones potenciación y radicación, ya que el manejo de estas operaciones tiene una gran influencia no solo en este grado, en el cual estudia y aplica sus propiedades, sino en grados posteriores, para el abordaje de otros temas donde tendrá la necesidad de emplearlas. Tenemos entonces una forma creativa de abordar un tema que es parte de los contenidos conceptuales del grado en cuestión y la comprensión de estos será de gran utilidad en la continuación del proceso de aprendizaje del área de matemáticas en los grados de la educación media y su transversalidad con las demás área, expresión del pensamiento lógico y el desarrollo de las competencias comunicativas y científicas, pensadas desde una acción creadora y creativa para el pensamiento matemático (Ausubel 1983). Estado del arte La vinculación de los juegos en la enseñanza, como estrategia, para incentivar la motivación del estudiante y generar en él mayor interés por aprender, es una idea que ha pasado por las mentes de los educadores de diferentes áreas y no en menor grado, del área de matemáticas. De hecho, enseñar conceptos matemáticos de una forma más entretenida y agradable, ha sido una forma interesante y práctica para salir de los libros de texto tradicionales, que transversalizan las competencias matemáticas, comunicativas y científicas desde un enseñar muy creativo, muy comprometido con un aprender para la vida y con el mejoramiento de la calidad del vivir para la comunidad estudiantil participante, colocando al estudiante en la postura de hacerse preguntas desde su acontecer y atreverse a buscarle soluciones desde su cotidianidad con un sentido transformador para así aprender a construir su realidad . Algunos estudios, investigaciones y propuestas que se revisaron fueron: PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 13 Matemáticas para divertirse (Gardner, 1986). Pone de manifiesto que las matemáticas en efecto, son divertidas para los estudiantes, haciendo alusión al hecho de que, se placen haciéndolo y que incluso se puede sentir tanta satisfacción por resolver algún problema matemático, como por algún juego o deporte cuando se alcanza la victoria. Si las matemáticas pueden generar tanto entusiasmo en los estudiantes como un juego, entonces, integrar los juegos y el conocimiento en los procesos de enseñanza aprendizaje para ellos y sus docentes, es no solo doblemente divertido, sino además productivo a nivel intelectual. El juego como estrategia de aprendizaje en el aula (Minerva & Torres, 2007). Por medio de esta propuesta se desarrollan diferentes juegos en “microclases” en las cuales se busca generar un aprendizaje significativo a nivel conceptual, procedimental y actitudinal en la educación básica, relacionando áreas como la filosofía, la pedagogía y la sociología, demostrando cómo a través del juego los estudiantes pueden vivenciar y aprender valores en su relación con otros. Jugando con raíces y potencias (Muñoz, Fernández, & Carmona, 1998). En esta propuesta, se toman como elementos didácticos para la enseñanza de la potenciación y la radicación el uso de juegos y pasatiempos que comúnmente encontramos en revistas y periódicos. Estos juegos se aplican en el aula, tanto para complementar el proceso de un aprendizaje matemático, como para evaluarlo, pues cualquiera de ellos aparece como parte de una prueba específica de potencia o raíces en el desarrollo de la clase. Lo interesante es que el estudiante se involucra y motiva tanto por el juego que aprende sin la presión u obligación de hacerlo. Estrategias lúdicas para la enseñanza de la matemática en estudiantes que inician estudios superiores (Farias & Rojas, 2010). Esta investigación muestra como las actividades lúdicas PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 14 pueden generar un aprendizaje significativo de las matemáticas, ya que aparte de motivar y ser interesantes para los estudiantes, les permiten un afianzamiento de los conocimientos aprendidos y la oportunidad de socializar y cooperar en el trabajo con otros. Esta estrategia invita a los docentes del área de matemáticas a innovar en sus prácticas de aula con el fin de despertar mayor interés en los estudiantes y un proceso de aprendizaje verdaderamente significativo. Juegos, Interacción y Construcción de Conocimientos Matemáticos (Edo & Deulofeu, 2006). En esta investigación, se ponen en evidencia los resultados del trabajo realizado a partir de juegos de mesa, dirigidos al aprendizaje de las matemáticas y de qué manera están relacionados los contenidos matemáticos con el juego en el ámbito escolar. El juego: un pretexto para el aprendizaje de las matemáticas (Tamayo, 2008). En el marco del Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, plantea la importancia de la lúdica y de la experimentación en las estrategias de enseñanza de las matemáticas, con el fin de que los estudiantes encuentren mayor motivación por el aprendizaje. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo, una interpretación constructivista (Díaz & Hernández, 2002). Este importante trabajo, cuya primera edición fue en 1999, hace un análisis conceptual de la enseñanza desde el constructivismo, haciendo referencia a la función mediadora del docente, la motivación en el aula y las estrategias de enseñanza. En su capítulo segundo hace alusión a las condiciones para que se dé un aprendizaje significativo, considerando que éste depende de la relación que pueda hacer el alumno de los contenidos con sus experiencias, generando nuevas estructuras cognitivas. El Juego en la Enseñanza de las Matemáticas (Instituto Nacional de Formación Docente de San Carlos de Bariloche, Argentina, 2011). Estudio enfocado en la concepción de PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 15 estudiantes y docentes y sobre la importancia del juego en los procesos de aprendizaje en esta área del conocimiento. En este estudio se pudo concluir que los estudiantes aprendían de una forma mecánica y memorística tanto en primaria y secundaria, lo que cambió radicalmente cuando se implementó el juego como estrategia de enseñanza, ya que las clases fueron más dinámicas y se encontró una forma diferente de construir el conocimiento matemático teniendo experiencias más relevantes durante el proceso de enseñanza. El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas (Nortes & Nortes, 2014). La propuesta resalta cómo la inclusión de este juego en el proceso de enseñanza puede favorecer el desarrollo de habilidades en cuanto a la atención, memoria, concentración, percepción, razonamiento lógico, orientación espacial, creatividad, imaginación, entre otros aspectos influyentes en el aprendizaje de niños y jóvenes. Los juegos de mesa tales como parqués o dominó y otros con mayor complejidad como el ajedrez, que son conocidos por los estudiantes pueden usarse o adaptarse para orientar un conocimiento matemático. El juego no solo influye en el aprendizaje de manera significativa, sino que también le permite al individuo la interacción constante con otros y exponer en esa construcción social de conocimientos las dudas, inquietudes y opiniones que darán lugar a nuevas ideas y apropiación de saberes. Teniendo en cuenta la revisión hecha de los estudios, propuestas e investigaciones en relación al uso del juego en la enseñanza y el aprendizaje significativo de las matemáticas, se plantea el problema, la pregunta de investigación y los objetivos del presente trabajo. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 16 Planteamiento del problema La Institución Educativa Santa Teresita es una institución de carácter oficial, ubicada en la zona urbana del municipio de Caucasia, perteneciente a la subregión del Bajo Cauca Antioqueño; atiende una población mixta en los niveles de educación Preescolar (90 estudiantes), Básica Primaria (1025 estudiantes), Básica Secundaria (696) y en Educación Media (172 estudiantes), en dos sedes en jornada diurna, para un total aproximado de 1893 estudiantes. La institución cuenta con la media técnica en sistemas que se desarrolla en la jornada de la tarde en convenio con el SENA. Los estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa Santa Teresita del municipio de Caucasia, presentan dificultades al momento de aplicar nociones matemáticas en las diferentes actividades de clase y en la realización de pruebas externas; Debilidades, respecto a la apropiación comprensiva y aplicada de las temáticas de potenciación y radicación. Pregunta de investigación. ¿Cómo mejorar el aprendizaje significativo de la potenciación y la radicación en el ámbito conceptual y procedimental en los estudiantes del grado noveno de la Institución Educativa Santa Teresita, con el fin de superar las dificultades en la comprensión y aplicación de estas operaciones? Objetivo general. Mejorar el aprendizaje significativo de la potenciación y la radicación en los ámbitos conceptual y procedimental con números reales, a través del juego creativo y experimental, que involucre la resolución de problemas y el cálculo mental, en estudiantes del grado noveno de la Institución Educativa Santa Teresita. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 17 Objetivos específicos. Analizar y ajustar juegos de mesa (dominó, cartas, parqués, ruleta y escalera) con el fin de mejorar la comprensión de las propiedades de la potenciación y la radicación en los números reales, como soporte del desarrollo de las competencias de comprensión y argumentación, para grado noveno. Diseñar y aplicar una propuesta enmarcada en el aprendizaje significativo que desde el juego, permita a la comunidad estudiantil del grado noveno la comprensión y asimilación conceptual y la resolución de situaciones problemas de la potenciación y la radicación. Describir cómo los juegos de mesa – ajustados y aplicados-, como ejercicios de aprendizaje significativo, aportan al desarrollo de las competencias matemáticas, al momento de resolver situaciones problemas que involucren la potenciación y radicación en números reales, en los estudiantes de grado noveno de la Institución Santa Teresita. Marco legal La Constitución Política de Colombia, de 1991, en los artículos 44, 45, 64 y 67, se consagra a la, educación como un derecho de todos los colombianos; el Estado garantiza y promueve el acceso a la misma, al tiempo que la define como un servicio público que tiene una función social. Ley General de Educación (República de Colombia, 1994): “señala las normas generales para regular el Servicio Público de la Educación que cumple una función social acorde con las necesidades e intereses de las personas, de la familia y de la sociedad. Se fundamenta en los principios de la Constitución Política sobre el derecho a la educación que tiene toda persona, en las libertades de enseñanza, aprendizaje, investigación y cátedra y en su carácter de servicio público”. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 18 Consideramos de esta ley el artículo 5 el cual con base en el artículo 67 de la Constitución Nacional, establece los fines de la educación. Así mismo, el artículo 23 promulga las áreas obligatorias y fundamentales emergiendo con ello el plan de estudios del cual hace parte el área fundamental de Matemáticas. La ley 715 del 21 de diciembre de 2001, en su artículo 5 establece la competencia en materia relacionada con la prestación del servicio público de la educación en sus niveles de preescolar, básica y media, en las áreas rural y urbana. Con los Lineamientos Curriculares en Matemáticas, diseñados por el Ministerio de Educación Nacional, se dota a los docentes del área de elementos conceptuales para construir el currículo de matemáticas de su institución educativa, teniendo en cuenta la autonomía que les otorga el Estado y contribuir de este modo al mejoramiento de la calidad de la educación. Otro aspecto a tener en cuenta son los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, los cuales son referentes que nos permiten identificar los diferentes niveles de desarrollo de las competencias que deben alcanzar nuestros estudiantes al cumplir cada ciclo escolar. El estándar “Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas” pone de manifiesto la relevancia y pertinencia de la presente propuesta de intervención. Para finalizar, coherentes con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias, están los Derechos Básicos de Aprendizaje en Matemáticas. Estos, son una herramienta que permiten identificar los saberes básicos que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de la educación escolar, de grado primero a grado once. Específicamente para el grado noveno el derecho básico “Reconoce el significado de los exponentes racionales positivos y negativos, y utiliza las leyes de los exponentes” nos da pautas a tener en cuenta en el PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA desarrollo de la propuesta de intervención. 19 La importancia de los derechos básicos de aprendizaje radica en que plantean elementos para la construcción de rutas de aprendizaje año a año para que, como resultado de un proceso, los estudiantes alcancen los estándares básicos de competencia propuestos por cada grupo de grados. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 20 Marco Teórico Aprendizaje Significativo de Ausubel Desde el constructivismo encontramos un conjunto de teorías que apuntan, como su nombre lo indica a la construcción del conocimiento. Piaget es un gran referente y sus aportes en cuanto a la organización y la adaptación tienen gran valor, máxime cuando nos referimos a etapas específicas del desarrollo. Sin embargo adicionalmente a estos elementos, aparece el aprendizaje significativo de David Ausubel quien no solo planteó su teoría, sino que además diferenció los tipos de aprendizaje significativo: de representaciones, de conceptos y de proposiciones. El aprendizaje significativo se da, según Ausubel “…si la tarea de aprendizaje puede relacionarse, de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra), con lo que el alumno ya sabe y si éste adopta la actitud de aprendizaje correspondiente para hacerlo así” (Briones 2006, p.158). De esta forma, las actividades que se plantean en la clase, teniendo en cuenta que ya hay una estructura cognitiva presente en el estudiante, pueden ser significativas en tanto que se establezca una relación con el conocimiento que se está aprendiendo. El conocimiento se organiza en estructuras y en el aprendizaje significativo se da una interacción entre las estructuras ya existentes con la información que recibe el individuo, que debe ser coherente y organizada. En la enseñanza de las matemáticas el conocimiento que se adquiere de forma memorística y mecánica, no comprendida y no asimilada, el estudiante no percibe la forma útil de aplicarlo en su vida. El aprendizaje por repetición impide que el estudiante descubra por sí mismo, pues como plantea Briones (2006) éste se da cuando el contenido que se quiere aprender se presenta de forma terminada. De ahí la importancia del aprendizaje significativo, que le PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 21 permita al estudiante no solo tener información sobre un conocimiento, sino relacionarlo con lo que ya sabe, encontrando una forma práctica de aplicarlo, teniendo presente el reconocimiento del aula como un laboratorio donde los estudiantes hacen cosas, resuelven problemas y experimentan procesos que maduran y recrean su pensamiento mientras encuentran formas de una mejor calidad de vida. El aprendizaje significativo permite al docente tomar como base de la enseñanza la “estructura cognitiva” del estudiante. Dicha estructura puede definirse como el conjunto de conceptos que tiene el estudiante sobre un conocimiento determinado y la organización que tiene de estos. En este sentido cuando un estudiante está en un grado determinado su estructura cognitiva depende de las ideas adquiridas en el proceso de aprendizaje de los grados anteriores. Éste es el punto de partida para el educador orientar un nuevo aprendizaje, partiendo de experiencias previas del estudiante y que le han permitido no solo almacenar información, sino tener referentes conceptuales para seguir construyendo conocimientos. Ausubel (s.f), manifiesta en este sentido: "Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría este: El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente". Es fundamental entonces, que el docente conozca y de importancia al saber del estudiante y considerando las diferencias individuales, encuentre y aplique nuevas técnicas de enseñanza. El educador puede orientar un aprendizaje y conseguir que éste sea significativo, en la medida en que el estudiante encuentre una relación entre lo que ya ha aprendido y el nuevo conocimiento que está por descubrir, que servirá a su vez, cuando ya haya sido asimilado, como base de un aprendizaje posterior. Es así como las estructuras cognitivas del estudiante se renuevan y cada experiencia articulada con la que le llega más adelante, dan mayor sentido, PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 22 coherencia y relevancia al conocimiento adquirido en diferentes momentos del proceso formativo. Las experiencias alrededor de su propio aprendizaje, le dan al estudiante la posibilidad de descubrir por sí mismo el conocimiento, basado en la información que recibe, cómo la organiza, cómo construye y re-construye a partir de una actividad determinada. Cuando el individuo descubre, se aleja de la forma mecánica de la enseñanza a partir de la repetición de conceptos, y encuentra en su propia experiencia elementos conceptuales e ideas que favorecen su aprendizaje. Para que un aprendizaje sea verdaderamente significativo, se debe tener en cuenta que el material dispuesto para el aprendizaje genere interés en el estudiante y de alguna manera facilite el trabajo en el aula (Ballester, 2002). De esta forma el material empleado también se vuelve significativo, es decir, que puede relacionarse con la estructura cognitiva del estudiante y permite asociar los conocimientos previos con los nuevos conocimientos, llegando al estudiante tanto en su condición de individuo, como en la de integrante de un grupo, considerando el beneficio que se obtiene de la interacción con otros en el proceso de enseñanza. No menos importante es la disposición del estudiante para adquirir este aprendizaje, en lo cual influye de manera sustancial el material utilizado y la orientación oportuna del docente. Considerando los elementos que pueden determinar un aprendizaje significativo en el aula, se pueden establecer tres fases que permitan su desarrollo en la enseñanza de un tema o área específicos. Se busca establecer una conexión entre los saberes previos del estudiante, la estrategia didáctica empleada y el conocimiento que pretende brindarse al estudiante en forma coherente (Ballester, 2002). Para este propósito, un primer momento o fase inicial corresponde con las ideas y experiencias previas de los estudiantes, teniendo en cuenta lo que ya saben alrededor del conocimiento que quiere enseñarse. En un segundo momento o fase intermedia se PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 23 involucra al estudiante en situaciones que le permitan adquirir nuevas estructuras cognoscitivas, explorar, practicar y experimentar. De esta forma a través de la propia experiencia los nuevos conocimientos se van interiorizando y asimilando para ser aplicados. En un tercer momento o fase final se relacionan las estructuras anteriores (saberes previos) con las nuevas estructuras, dándose una apropiación completa del conocimiento. Es así como el aprendizaje significativo se da permitiendo al estudiante no sólo adquirir una idea, sino también llevar el conocimiento adquirido a una aplicación en procesos posteriores, tal como expresa Ballester (2002, p. 19): “El aprendizaje significativo, por tanto, ayuda a pensar, mantiene las conexiones entre los conceptos y estructuras, las interrelaciones en diferentes campos del conocimiento, lo que permite extrapolar la información aprendida a otra situación o contexto diferente” Marco histórico Si queremos indagar sobre la potenciación y radicación en el conjunto de los números reales (R), es fundamental recordar en un primer momento, los antecedentes históricos alrededor de los conjuntos numéricos y del mismo concepto de “número” como tal. Como lo plantea Stewart (2008. p, 11) “Los números parecen muy simples y directos pero las apariencias engañan” Los números surgieron como una necesidad del ser humano en un aspecto claro: contar. La civilización y la evolución del hombre se han dado en función de los números y las mismas ciencias, en particular las matemáticas, sientan sus bases en estos. Se tienen muestras de registros aparentemente numerales en huesos que datan de 37.000 años atrás. En sí, son marcas en forma de líneas que pueden significar un conteo en el llamado hueso de Lebombo, encontrado en el territorio que lleva este nombre en el continente africano. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 24 También se tienen muestras de marcas en un hueso de aproximadamente 30.000 años de antigüedad, que tiene 57 líneas marcadas y puede estar relacionado con el registro de las fases lunares en dos meses (56 días) Figura 1.Hueso de Lebombo [Ilustración del hueso de Lebombo]. Recuperado de http://prehistorialdia.blogspot.com.co/2014/02/las-matematicasen-la-prehistoria-5.html Hace 10.000 años aproximadamente, sin contar con la representación simbólica que hoy tenemos de los números, se contaba con elementos que muestran el registro de cantidades, pequeñas fichas de arcilla con forma de conos, esferas cilindros y hasta pirámides que servían a los pobladores del Próximo Oriente para representar los productos de la época según las cantidades y el propietario. Se guardaban fichas en recipientes de arcilla para que no fuera alterada la cantidad y se rompía para conocer o verificar. Este sistema, bastante rudimentario y poco práctico, pero utilizado por alrededor de 5.000 años, llevó a los mesopotámicos a evolucionar la forma de representar las cantidades realizando marcas en la superficie de los recipientes de arcilla, lo que puede interpretarse como una forma de escritura de los primeros números. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 25 Figura 2. Los 59 Símbolos del Sistema Babilónico [Ilustración de los 59 Símbolos del sistema Babilónico]. Recuperado de https://elabacodemadera.wordpress.com/2012/09/01/sistemas-de-numeracion/ Hace 5.000 años aproximadamente los sumerios dieron un gran avance en la escritura de los números, desarrollando un sistema “cuneiforme”, es decir, a partir de cuñas sobre tablas de arcilla. Se han encontrado numerosas tablas babilónicas, muchas de ellas relacionadas con las matemáticas y que muestran que no eran simples registros de cantidades, sino evidencias claras del manejo de los números a partir de un conocimiento científico. En las tablas se ve representado el número 1, como la marca de una cuña vertical delgada y el 10, la marca de una cuña más gruesa y en forma horizontal. El número sesenta tiene una connotación mayor, de hecho se define el sistema babilónico como sexagesimal, a diferencia del nuestro que es decimal. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 26 Figura 3. Sistema de Numeración Egipcia. [Ilustración del Sistema de Numeración Egipcia]. Recuperado de http://smalllearning.blogspot.com.co/2013/11/sistema-de-numeracion-egipcio.html El antiguo Egipto, caracterizado por sus extraordinarias construcciones, demostró una notable evolución en la representación de números, utilizando símbolos para las cantidades 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1´000.000, repitiéndolos hasta nueve veces para realizar la escritura de cualquier cantidad. Este imperio que alcanzó su mayor poderío entre el año 3.000 a.C y 30 a.C aproximadamente, influyó notablemente en el simbolismo de los números, dada su inclinación por la escritura a partir de jeroglíficos. Los símbolos numéricos que conocemos y utilizamos hoy tuvieron su origen en la India y posteriormente fueron desarrollados por los árabes, por lo cual se denomina sistema indoarábigo. La notación posicional de los números se dio aproximadamente en el año 400. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 27 Figura 4. Simbología Numérica de la India. [Ilustración de la Simbología Numérica de la Inda]. Recuperado de http://personal.us.es/cmaza/india/numeracion.htm Los Números Reales. Podemos hablar de números Reales si nos remitimos a la utilización de las fracciones, ya en los egipcios aproximadamente entre el 2.700 a.C y 2.200 a.C, por medio del ojo de Horus, también conocido como el “ojo de cobra” y posteriores representaciones de diferentes fraccionarios. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 28 Figura 5. Ojo de Orus [Ilustración del Ojo de Orus]. Recuperado de http://www.thesmonkey.com/blog/el-ojo-de-horus-matematica-pura/ Más adelante los griegos, encontraron que la diagonal de un cuadrado no puede ser expresada como un número Racional, dando lugar a los números Irracionales o inconmensurables. Aparece Eudoxo en el 370 a.C., quien concibe una teoría para los irracionales. Considerando la necesidad de utilizar un nuevo conjunto numérico que sirviera para representar aquellas cantidades que no podían expresarse como fraccionarios aparecen los irracionales, pero en esta época no había una precisión en su definición dadas las limitantes de sus sistemas de numeración. Los europeos entonces, apoyándose en el sistema de numeración hindú, posicional de base 10, encuentran una mejor forma de referirse a este tipo números encontrando una diferencia sustancial con los racional, que radica en el hecho de que se pueden expresar como un número decimal infinito, pero cuyas cifras decimal no tienen un orden específico o periodicidad. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 29 La unión de estos dos conjuntos, Racionales e Irracionales, siendo una unión disjunta, constituye el conjunto de los números Reales. Potencias y raíces. Aunque no se habla directamente de potencia como tal, ya el pueblo babilonio remontándonos hasta hace 5.000 años aproximadamente, refleja el uso de potencias tomando como base el número 60. De igual forma los egipcios representaron con símbolos los números 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1´000.000, que reconocemos en la actualidad como potencias de 10. Los griegos por su parte en la utilización del Teorema de Pitágoras, demuestran la utilización de cuadrados, aunque cabe resaltar que en las tablas de escritura cuneiforme de los babilonios ya aparecían ternas Pitagóricas aunque no existía la definición de este teorema. De igual modo notamos la aparición de los “inconmensurables” al encontrar que la diagonal de un cuadrado de lado 1, es igual a √2. Euclides (325-265 a.C), utiliza cuadrados y cubos en sus demostraciones y Arquímedes (287-212 a.C.), entre muchos otros aportes trabajó el volumen de la esfera. Diofanto (III d.C.) expresó por medio de letras las primeras potencias así: x, xx¸ xxx. Diofanto de Alejandría (Siglo III d.C.) además de utilizar las potencias, realizó la representación simbólica de los exponentes. Renato Descartes (1596-1650) expresó de una forma más clara las potencias definiendo: x, x2, x3, x4, para las mismas. El signo de la radicación fue introducido en 1525. Euler en 1775 lo expresó como una forma estilizada de la letra r, ya que en sí es la letra inicial del latín radix que quiere decir "radical". PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 30 Marco conceptual Potenciación. La potenciación es la operación mediante la cual se expresa la multiplicación de un factor por sí mismo, una cierta cantidad de veces. Potencia de exponente entero positivo. Si 𝑛 es un entero positivo, 𝑎𝑛 representa el producto de 𝑛 factores iguales a 𝑎. Así, pues, 𝑎4 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. En la expresión 𝑎𝑛 , 𝑎 recibe el nombre de base y 𝑛 el de exponente o índice de la potencia. 𝑎𝑛 se lee “potencia enésima de 𝑎”, o bien “𝑎 a la 𝑛”. Potencia de exponente entero negativo. Si 𝑛 es un entero positivo, por definición, 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 , suponiendo 𝑎 ≠ 0. Exponente racional. La potenciación con exponente racional (Haeussler, Paul, & Wood, 2008) viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo 𝑥 𝑛 = 𝑎, donde n es un entero positivo y 𝑎 un número real. Se define la raíz cuadrada del número 𝑎 como el número real 𝑥 tal que 𝑥 2 = 𝑎. Para 1 designar la raíz cuadrada de 𝑎 se utiliza la notación √𝑥 o equivalentemente la notación 𝑥 2 . De igual, se define la raíz cúbica del número 𝑎 como el número real 𝑥 tal que 𝑥 3 = 𝑎. 3 1 Para designar la raíz cúbica de 𝑎 se utiliza la notación √𝑥 o equivalentemente la notación 𝑥 3 . En general, dado 𝑛 un entero positivo y a un número real, se define la raíz enésima del 𝑎 como el número real 𝑥 tal que 𝑥 𝑛 = 𝑎. Para designar la raíz enésima de 𝑎 se utiliza la notación 𝑛 1 √𝑥 o equivalentemente la notación 𝑥 𝑛 . PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 31 𝑛 El símbolo √𝑎 se denomina radical. Aquí 𝒏 se llama índice y a radicando. Con las raíces 2 cuadradas por lo general se omite el índice y se escribe √𝑎 en vez de √𝑎. No existe un número real que sea una raíz cuadrada de un número negativo. Es decir, si a 𝑛 es negativo y n es par, entonces √𝑎 no es un número real. Por ejemplo: para el caso de -9, no existe un número real que sea una raíz cuadrada de -9. Por lo tanto se tienen las siguientes condiciones para la raíz enésima de a: 𝑛 𝑛 Si n es un número par y a < 0, entonces √𝑎 no es un número real. √𝑎 ≥ 0 si a es un real positivo. √𝑎 < 0 si a es un real negativo y n es un número impar. 𝑛 2 1 3 3 1 𝑛 Por ejemplo, √16 = 4, √−27 = −3 y √125 = 5. Se define que √0 = 0 𝑝 Ahora, para a un número real diferente de cero y dado un número racional 𝑞 , sin factores comunes y q > 0, y de acuerdo a las condiciones para la raíz q-ésima de a, se define: 𝑝 𝑞 1 𝑞 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 𝑎 = (𝑎 ) = ( √𝑎) = √𝑎𝑝 Por ejemplo: 5 3 1 3 𝑎3 = √𝑎5 ; 1253 = √125 = 5 Propiedades básicas de los exponentes. Para números reales a, b y números enteros m y n, propiedades: 1. 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 . Multiplicación de potencias de igual base. 2. 𝑎0 = 1, a ≠ 0. Potencia de exponente cero. se cumplen las siguientes PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 1 1 3. 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛; 4. 5. 𝑎𝑚 𝑎−𝑛 32 = 𝑎𝑛 , con a ≠ 0. Potencia de exponente entero negativo = 𝑎𝑚−𝑛 , con a ≠ 0. División de potencias con la misma base 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 1, con a ≠ 0. División de potencias iguales 𝑎𝑚 6. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 . Potencia de una potencia. Con a ≠ 0, m y n ≠ 0 7. 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛 . Multiplicación de potencias con el mismo exponente. 8. 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑛 = ( ) , b ≠ 0. División de potencias con el mismo exponente. 𝑏 𝑎 −𝑛 9. ( ) 𝑏 𝑏 𝑛 = ( ) , a ≠ 0 y b ≠ 0. Potencias fraccionarias de exponente negativo. 𝑎 1 𝑛 10. 𝑎𝑛 = √𝑎 . Potencia de exponente racional 11. 𝑎 − 1 𝑛 1 = 1 𝑎𝑛 = 1 𝑛 √𝑎 , a ≠ 0. Potencia de exponente racional y negativo. 𝑝 Para el caso de las potencias con exponente racional y partiendo de la definición 𝑎 𝑞 = 𝑝 √𝑎𝑞 , se cumplen las siguientes propiedades: 𝑛 1. √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 𝑚 𝑛 2. √ √𝑎 = 𝑚 𝑎 = √𝑏, b ≠ 0 (a/b positivos para n par) 𝑚𝑛 √𝑎 (a positivo para m, n par) 𝑚 3 ( √𝑎 ) = 𝑎 Radicación. La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado. Esto es, la raíz enésima de un número real 𝑎 es un número real 𝑏, si y sólo si la enésima potencia de 𝑏 es 𝑎. Simbólicamente: 𝑛 √𝑎 = 𝑏 si y sólo si, 𝑏 𝑛 = 𝑎 con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 y 𝑛 ∈ 𝑍 + . Si 𝑛 es par, se debe tener 𝑎 ≥ 0 y 𝑏 ≥ 0. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 33 Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación. Por 3 ejemplo: √125 = 5, Porque 5 𝑥 5 𝑥 5 = 125, es decir 53 = 125. Términos de la radicación Figura 6. Términos de la radicación. Cuando en una raíz no aparece indicado el índice se debe entender que dicho índice es 2 y, por tanto, corresponde a una raíz cuadrada. En la radicación de números reales se pueden presentar las siguientes situaciones: Índice par y cantidad subradical un número real positivo. 𝑛 Si 𝑛 es par y 𝑎 ∈ 𝑅 + , entonces, √𝑎 tiene dos raíces. Una es un número real positivo y la otra es el mismo número real pero negativo. A la solución positiva es la que se le llama raíz principal. 4 4 4 Por ejemplo, √16 = 2, − √16 = −2, es decir, ± √16 = ±2, porque 24 = 16 y (−2)4 = 16. Índice par y cantidad subradical un número real negativo. 𝑛 Si 𝑛 es par y 𝑎 ∈ 𝑅 − , entonces, √𝑎 ∉ 𝑅, no existe la raíz en los números reales. Por ejemplo, √−6 no existe en los números reales. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Índice impar y cantidad subradical un número real positivo. 𝑛 Si 𝑛 es impar y 𝑎 ∈ 𝑅 + , entonces, √𝑎 ∈ 𝑅 + , la raíz es un número real positivo. 3 Por ejemplo, √8 = 2 porque 23 = 8. Índice impar y cantidad subradical un número real negativo. 𝑛 Si 𝑛 es impar y 𝑎 ∈ 𝑅 − , entonces, √𝑎 ∈ 𝑅 − , la raíz es un número real negativo. 3 Por ejemplo, √−125 = −5 porque (−5)3 = −125. La raíz enésima de 0 es 0, es decir, √0 = 0. 𝑛 𝑛 √𝑎 > 0 si a es un real positivo. 34 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 35 Marco metodológico Enfoque metodológico Esta propuesta basa su metodología en la investigación cualitativa y el estudio de casos. Este último nos permite observar las características de una unidad, que en nuestro trabajo sería en su conjunto, los estudiantes del grado 9º de la Institución Educativa Santa Teresita, con un total de 43 estudiantes. Algunas de las características más importantes que definen el estudio de casos son: - Participación intensiva y de largo plazo en un contexto de campo. - Interrelación continua entre investigador-participantes en el escenario natural. - Comprensión de las acciones-significados de éstos a partir de los hechos observados, sin especificación de teoría previa. Características de la Investigación Cualitativa Para Vera (2008), la investigación cualitativa es aquella donde se estudia la calidad de las actividades, relaciones, asuntos, medios, materiales o instrumentos en una determinada situación o problema. La misma procura por lograr una descripción holística. Esto significa, que la investigación cualitativa intenta analizar exhaustivamente, con sumo detalle, un asunto o actividad en particular. Entre sus principales características encontramos: - La investigación cualitativa es inductiva. - Tiene una perspectiva holística, esto es que considera el fenómeno como un todo. - Se trata de estudios en pequeña escala que solo se representan a sí mismos - Hace énfasis en la validez de las investigaciones a través de la proximidad a la realidad empírica que brinda esta metodología. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 36 - No suele probar teorías o hipótesis. Es, principalmente, un método de generar teorías e hipótesis. - No tiene reglas de procedimiento. El método de recogida de datos no se especifica previamente. Las variables no quedan definidas operativamente, ni suelen ser susceptibles de medición. - La base está en la intuición. La investigación es de naturaleza flexible, evolucionaria y recursiva. - En general no permite un análisis estadístico - Se pueden incorporar hallazgos que no se habían previsto - Los investigadores cualitativos participan en la investigación a través de la interacción con los sujetos que estudian, es el instrumento de medida. - Analizan y comprenden a los sujetos y fenómenos desde la perspectiva de los dos últimos; debe eliminar o apartar sus prejuicios y creencias. Diseño metodológico Considerando los elementos descritos de la metodología de investigación cualitativa y el estudio de casos, la propuesta se desarrolla a partir de tres intervenciones en el aula, de la siguiente forma: 1. Prueba diagnóstica a los estudiantes (Anexo 2). Basada en situaciones que involucran la utilización de la radicación, la potenciación y sus propiedades. Esta prueba se aplicará en forma individual, para detectar los saberes previos en el manejo que hacen los estudiantes de estas operaciones, considerando procedimientos utilizados, estrategias, resultados de operaciones, aciertos y desaciertos, coherencia entre procesos realizados y respuestas obtenidas. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 37 2. Aplicación de los juegos (Anexo 3). En esta fase los estudiantes pondrán en práctica la radicación, la potenciación y sus propiedades por medio de juegos: cartas, dominó, parqués, escalera y ruleta. Esta actividad se realiza en forma grupal y cada juego tiene un propósito particular en el manejo de estas operaciones. Las cartas permiten la identificación de las propiedades de la potenciación y la radicación, relacionándolas en su forma general con ejemplos numéricos en la conformación de ternas, cuartas y quintas; el dominó permite el desarrollo de una expresión en la cual se aplican las mismas, tomando como referencia un ejercicio en siete pasos que están repartidos en las fichas de dominó; dichos pasos son enlazados por los estudiantes a medida que acomodan las fichas siguiendo la secuencia de los mismos; el parqués y la escalera dirigidos a la solución de situaciones por medio de radicación y potenciación, dando al estudiante una serie de instrucciones (ver anexo juego) que le indiquen la solución de ejercicios y problemas con el fin se seguir avanzando en el juego y llegar a la meta; y por último, la ruleta se enfoca en la proposición de ejemplos y situaciones que involucren la radicación y la potenciación. En esta fase se considera la interacción tanto entre estudiantes, como de éstos con el docente, un elemento fundamental en la asimilación y puesta en práctica de cada uno de los juegos, con el fin de comprender claramente las instrucciones de los mismos y su relación con la potenciación y la radicación. La participación activa debe ser motivada y mantenerse en cada actividad, buscando además que los individuos lo hagan siendo conscientes de los elementos que están utilizando y de los resultados que obtiene en la aplicación de las experiencias de juego, formando a través de éste, estructuras cognitivas relacionadas con el conocimiento de la potenciación y la radicación, favoreciendo un aprendizaje significativo de estas operaciones. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 38 3. Prueba final (Anexo 4): Esta prueba tendrá como propósito plantear a los estudiantes situaciones que involucran el manejo de la potenciación, la radicación y sus propiedades, con el fin de que puedan establecer una relación entre sus experiencias y conocimientos previos sobre el tema y los nuevos conocimientos adquiridos y demostrarlo en la aplicación. Métodos y técnicas para la recogida y análisis de la información Los datos se obtendrán a través de la aplicación de pruebas escritas con las temáticas potenciación y radicación, una inicial (prueba diagnóstica) y la otra final (que evalúa los avances después de aplicados los juegos). Se tomarán de igual modo las muestras de las intervenciones, es decir los resultados que se obtengan en las clases a partir del desarrollo de las actividades en forma individual. Para tener claridad en el proceso de recolección, análisis y organización de la información consideraremos tres pasos generales en el estudio de casos, según Yacuzzi (s, f): 1. Diseño del estudio. 2. Realización del estudio. 3. Análisis y conclusiones. Diseño de estudio. En este primer paso se define una estructura clara de la propuesta de intervención en el aula dirigida a los estudiantes del grado noveno, enfocada a la comprensión de las operaciones radicación y potenciación a partir del juego. Realización del estudio. En esta etapa se toman los registros, muestras y demás evidencias del trabajo realizado en las clases, así: PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 39 Resultados de la prueba diagnóstica individual, considerando los procedimientos utilizados y la utilización adecuada de las propiedades de cada operación (potenciación y radicación) Se dará un informe cualitativo, describiendo los aciertos y desaciertos en cada una de las situaciones planteadas. Aplicación de los juegos: En esta intervención se tomarán registros del desarrollo de cada actividad describiendo las estrategias utilizadas por los jugadores para ganar y la efectividad de las mismas, la utilización de los conceptos y procedimientos matemáticos durante el juego, los resultados individuales (juegos ganados y juegos perdidos) y la relación de éstos con las estrategias y procedimientos utilizados. Sobre la prueba final se describirá detalladamente la utilización adecuada o no de la potenciación, radicación y sus propiedades, se analizará la coherencia y pertinencia de las situaciones propuestas por los estudiantes. Desarrollo de la propuesta La propuesta se desarrollará a través de tres fases: Fase inicial. Aplicación de prueba diagnóstica, la cual busca establecer los saberes previos de los estudiantes. La prueba tiene la siguiente estructura: 1. Determina en cada caso, si la igualdad es verdadera (V) o falsa (F) 1 a. 8−3 = 1 2 1 b. −(−64)3 = −4 1 c. 49−2 = 1 7 d. 120 = 0 5 e. 1−6 = −1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 40 2. Simplifica y expresa cada resultado con exponentes positivos. Suponga que todas las variables son números reales positivos. 3 2 1 2 a. (5𝑥 ) (3𝑥 ) = 3 d. (16𝑚4 )−2 b. = (𝑑 −3+𝑚 )(𝑑 −5𝑚+4 ) 𝑑 −2𝑚+1 e. (− 𝑥 3 𝑦 −1 𝑧 −2 1 c. ( −2 ) 2𝑥𝑦 4 𝑧 −3 f. 𝑚4 𝑛3 3 𝑦3 ) = 24𝑥 𝑏+2 𝑦 𝑐−4 6𝑥 2−𝑏 𝑦 2𝑐 3. Simplifica cada radical a. √8𝑎 b. 3√25𝑚2 13 3 c. √6𝑥 2 𝑦 3 𝑧 d. 3 √81𝑚4 𝑛6 e. 2𝑥𝑦 √74𝑥 2 𝑦 8 4. Realiza las operaciones. Simplifica los radicales cuando sea necesario. 1 3 1 3 14 d. √𝑎2 𝑏 2 . 2 √3𝑎3 𝑏 34 4 a. − 2 √2 + 4 √3 − 5 √2 4 b. √16𝑚 + 2 √𝑚 − √32𝑚 5 4 c. 3√2𝑥𝑦 . √8𝑥 3 5 e. √16𝑚12 ÷ √2𝑚2 5. Resuelve cada situación: 1. El volumen de un cubo está dado por la expresión 512a9b6. ¿Cuál es la longitud de su arista? 2. Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden √8 𝑚2 𝑥 2 , ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 3. En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? 4. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? 5. En un cubo se ordenaron 1331 pelotas de golf. ¿De qué manera están distribuidas? PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 41 Fase intermedia. En esta fase se aplicarán los juegos de mesa ajustados (cartas, parqués, dominó, escalera y ruleta) los cuales tienen como objetivo involucrar al estudiante en situaciones que le permitan adquirir nuevas estructuras cognoscitivas, explorar, practicar y experimentar. Baraja de Potencias y Raíces. El propósito de este juego es identificar las diferentes propiedades de la potenciación y la radicación, relacionando las expresiones generales de las mismas con ejemplos numéricos mediante la conformación de ternas, cuartas y quintas. De este modo se afianza el conocimiento de las propiedades lo que permitirá su posterior aplicación. Instrucciones Se cuenta con una baraja de 64 cartas, de las cuales 16 corresponden con la representación simbólica o expresión de las propiedades de la potenciación y la radicación. Las 48 cartas restantes son ejemplos numéricos de dichas propiedades. Pueden jugar de 2 a 4 jugadores. Se determina un jugador que iniciará el juego, éste tomará 10 cartas de la baraja, los demás jugadores tomarán 9 cartas cada uno. El resto de cartas se dejan en el centro de la mesa de tal forma que se vea su reverso. Con las cartas tomadas se buscará formas tres (3) ternas o una (1) quinta y una (1) cuarta, de la siguiente forma: Cada terna podrá formarse con una carta que tenga la expresión general de una propiedad y dos ejemplos numéricos de la misma o con tres ejemplos numéricos de una misma propiedad. Cada cuarta se formará con una carta de expresión general de una propiedad y tres ejemplos numéricos de la misma. Cada quinta se formará con cinco expresiones generales de PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 42 propiedades, sin ningún ejemplo numérico o con cinco ejemplos numéricos de propiedades diferentes. Ejemplos: Ternas Figura 7. Terna de cartas Cuarta: Figura 8. Cuarta de cartas PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 43 Quintas: Figura 9. Quinta de cartas El jugador que inicia organiza sus cartas y tomará una que considere “inútil” para su juego y la entrega al compañero de su derecha, quien si considera que le es útil la toma o de lo contrario tomará una de las cartas de la baraja, entregando una que no le sirva al compañero de la derecha y así en forma consecutiva. Se contará con una hoja adicional con las propiedades de la potenciación y la radicación como apoyo, que podrá ser observada por cualquiera de los jugadores en dos oportunidades durante cada juego. Si un jugador observa esta hoja 3 veces, será descalificado. Gana aquel jugador que primero arme las tres ternas o una quinta y una cuarta y que, adicionalmente, explique a sus compañeros las propiedades involucradas en su juego. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 44 Juego de parqués. Figura 10. Juego de parqués El propósito de este juego es la operatividad de la potenciación y la radicación buscando que el estudiante lo haga de una forma lúdica y así, a través de la práctica, pueda tener un manejo más eficiente de dichas operaciones. Cada jugador avanza realizando el recorrido normal de un juego tradicional de parqués, pero siguiendo una serie de instrucciones que involucran procedimientos matemáticos enfocados a la potenciación y la radicación. De esta manera mientras juegan, los estudiantes están relacionando y aplicando conceptos, lo que les permite una mayor apropiación de los mismos. Instrucciones: 4 o 6 jugadores, cada uno con cuatro fichas de un color diferente al de los demás. Inicia cualquier jugador lanzando dos dados y si obtiene igual cantidad en ambos puede seguir lanzando y avanzando según las orientaciones enfocadas a la potenciación y la radicación. Sigue en turno el jugador que esté a la derecha de quien inicia y así consecutivamente, PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 45 siendo necesario sacar el mismo número en ambos dados para poder iniciar el recorrido (como en un parqués tradicional). Cuando cada jugador ha iniciado su recorrido se darán las siguientes orientaciones, una por cada turno, para continuar con el desarrollo del juego, teniendo en cuenta que al dar la última orientación pasa nuevamente a la primera y así durante todo el juego que tendrá un ganador cuando uno de los jugadores lleve sus cuatro fichas al final del recorrido. Orientaciones: Lance un dado y el número obtenido se multiplica por sí mismo tantas veces según la cantidad obtenida en el lanzamiento del segundo dado y avance según la suma de las cifras de la cantidad conseguida con la multiplicación. Por ejemplo el primer dado obtiene 5 y el segundo 3, por tanto 5x5x5 = 125, entonces el jugador avanzará 1+2+5, es decir, 8 casillas Lance los dos dados y halle la diferencia entre los dos valores, luego multiplique el número 2, tantas veces entre sí como el valor de la diferencia obtenida. Por ejemplo: lanzamiento 6 y 1, diferencia 5, por tanto 2x2x2x2x2= 32, entonces avanzará 32 casillas. En el caso de que la diferencia sea negativa el jugador tendrá que retroceder en lugar de avanzar. Una variable para esta instrucción en considerar en lugar del número 2, otro número pero teniendo en cuenta que sea un cifra pequeña pues de lo contrario tendríamos recorridos muy largos y el juego terminaría muy rápido o se extendería demasiado si se dieran retrocesos igual de extensos. Avance solo si la suma de los valores obtenidos en los dos dados, es la raíz cuadrada de 64, de 16, de 49 o de alguna cantidad sugerida antes del lanzamiento y avanzará la cantidad obtenida en los dados ya cumplida la condición. Así mismo, puede aplicarse como variable PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 46 avanzar si la suma de las cantidades de los dos dados es la raíz cúbica, cuarta, quinta… de una cantidad. Se toman registros de una jugada, es decir, si en la jugada tenemos 6 unidades (4 en un dado y 2 en el otro, por ejemplo) el estudiante dirá el valor, lo escribirá y además realizará un procedimiento relacionado con la potenciación y la radicación que involucre esta cantidad. Avanzará la cantidad obtenida en los dados una vez realizado el procedimiento Se tomará una cantidad de registros (10 por ejemplo) y las cantidades repetidas se multiplicarán entre sí, la potencia resultante se multiplicará con las demás cantidades. El primer jugador que lo haga en forma correcta puede llevar hasta el final una de sus fichas. Los demás tendrán que llevar hasta el inicio una de sus fichas. Se tomarán los valores registrados y la suma de estos se aproximará a la cantidad más cercana que tenga raíz cuadrada, cubica o cuarta. Se avanza con una ficha la cantidad obtenida. Se sumarán los registros de todos los jugadores en un turno de juego y cada uno lanzará el dado, elevando la suma obtenida al valor conseguido en el dado. Avanza aquel que obtenga en menor tiempo el resultado, tantas casillas como la suma inicial de los registros. Los demás jugadores deberán retroceder esta misma cantidad de casillas. Se toma el dos como referencia y se lanza un solo dado. Cada jugador eleva el dos según el valor obtenido en el dado y de esta forma avanza. Se tomará la suma de los registros de todos los jugadores en uno o varios turnos y esta suma se repartirá en valores que sean cuadrados o cubos. Cada jugador lanza un dado y quien obtenga el número más alto avanza según el cuadrado o cubo mayor. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 47 Dominó de raíces y dominó de potencias. En este juego el estudiante tiene la oportunidad de construir la secuencia de un procedimiento, cuyos pasos corresponden con la utilización de diferentes propiedades de la radicación y de la potenciación en la solución de un ejercicio para cada operación. A medida que juega el estudiante identifica la propiedad utilizada en un determinado paso con el fin de pasar al siguiente y comprender en su totalidad cómo se da la solución del ejercicio planteado. Instrucciones de juego Para 4 jugadores. El juego consta de 28 fichas y una hoja con un procedimiento que involucra raíces. Dicho procedimiento cuenta con 7 pasos enumerados, cada uno de ellos se encuentra en 7 fichas diferentes, en una de ellas el mismo paso está en los dos extremos de la ficha y en las otras seis fichas cada paso está acompañado en el otro extremo de la ficha por otro paso del procedimiento. Se ponen las figuras de tal modo que solo se vea su reverso, se mezclan entre sí sobre una mesa y cada jugador sin voltearlas toma 7 fichas, que no permitirá que sean vistas por los demás compañeros. Cada jugador mira sus fichas y parte en primer lugar el jugador que tenga la ficha con el primer paso en ambos extremos. Es decir: PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Para el dominó de raíces 48 Para el dominó de potencias Figura 11. Fichas de dominó de raíces y de potencias El jugador pone esta ficha en la mesa y el jugador que está a su derecha debe ubicar al lado de esta ficha, una que tenga el paso dos del procedimiento. Por ejemplo, si iniciamos con el dominó de raíces tendríamos: Figura 12. Secuencia de fichas Siguiendo a la derecha, el próximo jugador, según el ejemplo, tendrá dos opciones: podrá acomodar por la izquierda una ficha que tenga en uno de sus extremos el paso 2, o por el lado derecho una ficha que tenga el paso 4, teniendo en cuenta que en la ficha se encuentra el paso 𝟏𝟐 5 del dominó de raíces, es decir: ( √𝟐𝟏𝟓 ). Si en el extremo en el que se va a acomodar una PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 49 ficha se encuentra el paso 7 (que es el último), se debe acomodar una ficha que tenga el paso 1, y de ahí en forma consecutiva. Si un jugador no tiene fichas para acomodar, cede el turno al jugador de su derecha y dice: “PASO”. Gana el jugador que termine de acomodar sus siete fichas antes que sus compañeros. En el caso de que ningún jugador tenga opción de acomodar una ficha, se dice que “se cerró el juego” y gana aquel que en menor tiempo posible organice todos los pasos en forma coherente usando las fichas. Se considera “PAR”, aquella ficha que en sus dos extremos tiene el mismo paso. Un jugador en una misma jugada puede acomodar dos fichas PARES si en ambos lados del juego tiene la opción de acomodarlas. La hoja con los pasos del procedimiento estará visible durante la partida, pero cuando ya se han jugado tres partidas, esta se ocultará y los jugadores deben tener claro el orden de los pasos. El orden es el siguiente: Secuencia completa para el dominó de raíces: 3 4 √8 6 3 6 √2. √4 . √32 = √2. √22 . √25 4 √23 12 = 12 12 √26 . √28 . √210 12 √29 12 = √224 12 √29 12 4 4 = √215 = √25 = 2√2 Pasos: 3 Paso 1: 4 √8 12 Paso 4: √224 12 √29 6 3 6 √2. √4 . √32 Paso 2: 12 Paso 5: √215 12 √2. √22 . √25 Paso 3: 4 √23 4 Paso 6: √25 12 12 √26 . √28 . √210 12 √29 4 Paso 7: 2√2 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 50 Secuencia completa para el dominó de potencias: 25 ∙ 32 ∙ 4−1 25 ∙ 32 ∙ (22 )−1 25 ∙ 32 ∙ 2−2 25 ∙ 32 ∙ 32 25 ∙ 34 = = = = = 34 = 81 23 ∙ 9−1 23 ∙ (32 )−1 23 ∙ 3−2 23 ∙ 22 25 Pasos Paso 1: Paso 4: 25 ∙32 ∙4−1 23 ∙9−1 25 ∙32 ∙32 23 ∙22 Paso 2: Paso 5: 25 ∙32 ∙(22 )−1 Paso 3: 23 ∙(32 )−1 25 ∙34 25 Paso 6: 34 25 ∙32 ∙2−2 23 ∙3−2 Paso 7: 81 Escalera con potencias y raíces. Figura 13. Juego de escalera El propósito de este juego es que los estudiantes resuelvan situaciones y ejercicios utilizando la potenciación, la radicación y las propiedades de ambas operaciones a medida que hacen un recorrido por un tablero enumerado del 1 al 70. A medida que avanzan, los jugadores se encontrarán con casillas en las cuales tendrán la oportunidad de avanzar o retroceder según lo PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 51 acertadas o equivocadas que sean las soluciones dadas a los ejercicios y situaciones propuestos. La dinámica de este juego permite que los estudiantes apliquen los conceptos relacionados con la potenciación y la radicación, llevándolos a la práctica una y otra vez, buscando la manera de corregir los errores cometidos en la solución de algún ejercicio con el fin de resolver correctamente en la próxima oportunidad y así avanzar en el juego. De igual modo cada jugador aprende a partir de los aciertos y errores de sus compañeros en el desarrollo del juego. Instrucciones de juego Elementos: Fichas de colores, 1 dado y hoja con ejercicios de potenciación y radicación. Pueden participar de 2 a 4 jugadores y se contará con un JUEZ que hará seguimiento a toda la partida. Cada jugador tiene una ficha de un color diferente al de los demás jugadores. Cada jugador lanza el dado en una oportunidad e inicia la partida aquel que obtenga el número mayor y en su orden de mayor a menor se definirán los demás turnos. Cada jugador lanzará el dado y avanzará tantas casillas como el valor obtenido en el lanzamiento. Las casillas 5, 8, 17, 23, 31, 39, 46, 54, 58, 67, son casillas “especiales”. Si un jugador avanza y queda ubicado en una de estas casillas, tendrá que resolver una situación que planteará el JUEZ de la partida de la hoja de ejercicios. Si el jugador responde correctamente, avanzará a la casilla que indique la flecha, de lo contrario, si responde equivocadamente, tendrá que retroceder hasta la casilla indicada. La hoja de ejercicios solo puede ser manipulada y observada por el JUEZ de la partida. Gana el jugador que llegue en primer lugar a la casilla 70. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 52 Hoja de ejercicios Resuelve aplicando propiedades o realizando el cálculo respectivo ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm? Exprese el resultado en forma de potencia. Solución: El área de un cuadrado es A= 𝑙 2 , por tanto, A= (4𝑐𝑚)2=(22 𝑐𝑚)2 = 24 𝑐𝑚2 Exprese en forma de potencia las siguientes expresiones: 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 𝟓 a) (− ) ∙ (− ) ∙ (− ) b) 𝟏 (−𝟓)∙(−𝟓)∙(−𝟓) c) −128 d) 1 625 e) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 f) (−13) ∙ (−13) ∙ (−13) g) 4 3∙3∙3∙3∙3∙3 h) 81 Solución 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 a) (− 𝟓) ∙ (− 𝟓) ∙ (− 𝟓) = (− 𝟓) b) 𝟏 (−𝟓)∙(−𝟓)∙(−𝟓) 𝟏 = (−𝟓)𝟑 c) −128 = (−2)7 d) 1 625 1 = 54 e) 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6= 65 f) (−13) ∙ (−13) ∙ (−13)=(−13)3 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA g) 4 4 = 36 3∙3∙3∙3∙3∙3 h) 81 = 34 Expresa como potencia única a) 35 ∙ 33 ∙ 3 b) (−5)7 (−5)2 c) [(−4)4 ]3 4 3 5 2 d) {[(3) ] } 3 2 3 −5 e) (− 11) ∙ (− 11) f) (10)−3 (10)−4 Soluciones a) 35 ∙ 33 ∙ 3=39 b) (−5)7 (−5)2 = (−5)5 c) [(−4)4 ]3 = (−4)12 4 3 5 2 5 24 d) {[(3) ] } = (3) 3 2 3 −5 e) (− 11) ∙ (− 11) f) (10)−5 (10)−3 3 −5 = (− 11) 11 5 = (− 3 ) 1 = (10)−5−(−3) = (10)−2 = 102 Escribe en forma de potencia las siguientes raíces: a) √14 3 b) √−8 53 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 4 c) √73 6 d) √33 4 5 2 e) √(3) Soluciones: 1 a) √14 = 142 1 3 b) √−8= (−8)3 3 4 c) √73 = 74 3 6 1 d) √33 = 36 =32 2 4 5 e) √(3) 4 2 5 =(3) Escribe en forma de radical: 1 a) 49 4 b) (−34)3 3 c) 152 4 d) (−13)5 Soluciones: 9 a) √4 3 b) √−344 c) √153 5 d) √(−13)4 54 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única: a) [(−5)2 ]3 ∙(−5)5 (−5)4 2 2 2 −5 b) (− 7) . (− 7) c) (−6)3 ÷ (−6)−4 d) (63 ∙62 ) 2 (64 )−2 ∙ (62 ) −4 6−8 Soluciones: 3 a) [(−5)2 ] ∙(−5)5 (−5)4 2 2 = (−5)6 ∙(−5)5 2 −5 b) (− 7) . (− 7) (−5)4 = (−5)11 (−5)4 2 2+(−5) = (− 7) = (−5)11−4 = (−5)7 2 2−5 = (− 7) 2 −3 = (− 7) c) (−6)3 ÷ (−6)−4 = (−6)3−(−4) = (−6)3+4 = (−6)7 d) (63 ∙62 )2 (64 )−2 ∙ (63 )−4 6−12 = (65 ) 2 6−8 1 = 618 Calcula las siguientes raíces: a) √25 3 b) √−27 4 c) √81 6 d) √64 ∙ 6−12 6−12 = 610 6−8 ∙ 6−12−(−12) = 610−(−8) ∙ 60 = 618 ∙ 55 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Soluciones: a) √25 = √52 = 5 𝑦 √25 = √(−5)2 = −5 3 3 b) √−27 = √(−3)3 = −3 4 4 4 4 c) √81 = √34 = 3 𝑦 √81 = √(−3)4 = −3 5 5 d) √−32 = √(−2)5 = −2 Calcula las divisiones y multiplicaciones de radicales: a) √2 ∙ √10 ∙ √5 3 b) √625 3 √5 3 3 c) √32 ∙ √2 d) √108 √3 Soluciones: a) √2 ∙ √10 ∙ √5 = √2 ∙ 10 ∙ 5 = √100 = 10 3 b) √625 3 √5 3 3 =√ 625 5 3 3 = √125 = 5 3 3 c) √32 ∙ √2 = √32 ∙ 2 = √64 = 4 d) √108 √3 =√ 108 3 = √36 = 6 56 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 57 Ruleta de potencias y raíces. Figura 14. Ruleta de potencias y raíces En este juego los estudiantes ponen en práctica conceptos y procedimientos aprendidos sobre la potenciación, la radicación y sus propiedades, proponiendo ejercicios y situaciones relacionadas con dichas operaciones. La importancia de esta mecánica radica en que el estudiante debe tener claras las ideas conceptuales sobre el tema en cuestión para que sus planteamientos sean válidos y coherentes, y para solucionar adecuadamente los planteamientos de los demás jugadores. Instrucciones del Juego Juego para 2 a 4 jugadores Se determina el orden de turnos para jugar y cada jugador gira la ruleta una vez por turno. Si la ruleta se detiene en los triángulos con instrucciones el jugador las debe seguir al pie de la letra. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 58 Si la ruleta se detiene en los símbolos de radicación o potenciación el jugador propondrá una situación o ejercicio que involucre dos propiedades de la operación indicada. Si la ruleta se detiene en “1 punto” o en “-1 punto”, el jugador sumará o restará un punto a su marca personal. Responder o proponer adecuadamente según el caso, dará al jugador 1 punto, hacerlo equivocadamente significará menos un punto (-1) Ganará el jugador que complete 10 puntos, o se puede acordar entre los jugadores un límite de puntos para ganar y un número de puntos negativos para ser eliminado del juego. Fase final. Se aplicará la prueba final. Esta prueba tiene como propósito permitir al estudiante establecer una relación entre sus conocimientos previos y aquellos nuevos que ha adquirido, aplicándolos en la solución de diferentes ejercicios y situaciones. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESITA PRUEBA FINAL “Potenciación y Radicación” GRADO 9ºA NOMBRE COMPLETO: _______________________________________________________ 1. Determina en cada caso, si la igualdad es verdadera (V) o falsa (F) a. 3−2 = −9 ( ) b. −(−7)3 = 343 ( ) c. 250 = 1 ( ) ( ) 5 d. 1−6 = −1 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 59 2. Simplifica y expresa cada resultado con exponentes positivos. Suponga que todas las variables son números reales positivos. 3 2 1 2 a. (5𝑥 ) (3𝑥 ) = b. 3 d. (16𝑚4 )−2 = (𝑑 −3+𝑚 )(𝑑 −5𝑚+4 ) 𝑑 −2𝑚+1 e. (− 𝑥 3 𝑦 −1 𝑧 −2 2𝑥𝑦 4 𝑧 −3 1 c. ( −2 ) f. 𝑚4 𝑛3 3 𝑦3 ) = 24𝑥 𝑏+2 𝑦 𝑐−4 6𝑥 2−𝑏 𝑦 2𝑐 3. Simplifica cada radical a. √8𝑎 b. 3√25𝑚2 13 3 c. √6𝑥 2 𝑦 3 𝑧 d. 3 √81𝑚4 𝑛6 e. 2𝑥𝑦 √74𝑥 2 𝑦 8 4. Realiza las operaciones. Simplifica los radicales cuando sea necesario. 1 3 1 3 14 d. √𝑎2 𝑏 2 . 2 √3𝑎3 𝑏 34 4 a. − 2 √2 + 4 √3 − 5 √2 4 b. √16𝑚 + 2 √𝑚 − √32𝑚 5 4 c. 3√2𝑥𝑦 . √8𝑥 3 5 e. √16𝑚12 ÷ √2𝑚2 5. Resuelve cada problema: 1. El volumen de un cubo está dado por la expresión 512a9b6. ¿Cuál es la longitud de su arista? 2. Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden √8 𝑚2 𝑥 2 , ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 3. En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? 4. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? 5. En un cubo se ordenaron 1331 pelotas de golf. ¿De qué manera están distribuidas? PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 60 Análisis de resultados Contexto escolar La propuesta de intervención se lleva a cabo en la Institución Educativa Santa Teresita, institución oficial, ubicada en la zona urbana del municipio de Caucasia. La institución presta el servicio educativo para los niveles de preescolar, básica primaria, básica secundaria y educación media, de estratos 1, 2 y 3, el estudio se desarrolló en el grado noveno A. Tipo de investigación Cualitativa con estudio de caso. Tipo de caso Considerando las clasificaciones establecidas por Stake (1998), sobre la utilización de casos, esta propuesta se enfoca en situaciones de tipo colectivo, ya que se toman como referencia varios estudiantes del grado noveno y de igual modo de tipo instrumental, ya que se han ajustado y diseñado unos juegos que son aplicados en el aula con el fin de conocer cómo estos inciden en la apropiación de un conocimiento en los estudiantes involucrados. Casos y criterios de selección Se toman para este estudio 4 estudiantes del grado noveno de la Institución Santa Teresita, considerando los siguientes criterios: Voluntariedad. Se hace necesario que los estudiantes se involucren por voluntad propia luego de concertarlo con el docente. Resultados académicos. Se consideran en primer lugar los estudiantes que manifiesten tener mayores dificultades en la comprensión de las operaciones potenciación y radicación. Buena actitud y participación activa en la implementación de los juegos en la clase. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 61 Instrumento y análisis de la información El principal instrumento utilizado para la propuesta de intervención en el aula es el conjunto de los juegos ajustados y enfocados a la apropiación conceptual y procedimental de la potenciación y la radicación. Estos juegos - aplicados en la fase 2 de la intervención y descritos detalladamente en la propuesta - son: cartas, parqués, dominó, escalera y ruleta. De igual modo se utilizan como instrumentos de análisis, la prueba diagnóstica que permite conocer los saberes previos de los estudiantes y que corresponde con la fase 1 de la intervención y la prueba final – fase 3- que busca establecer la pertinencia de juegos en el aprendizaje significativo de las operaciones estudiadas. Para las fases se consideraron los tiempos en la aplicación de las pruebas y juegos: Fase 1 (Inicial) Prueba diagnóstica: Se realizó el día 11 de abril en un tiempo de dos horas. Fase 2 (Intermedia) Juegos: Se desarrollaron durante 3 semanas utilizando 2 horas semanales. Fase 3 (Final) Prueba final: Se desarrolló el día 6 de mayo en un tiempo de dos horas El tiempo total entre la fase inicial y la fase final fue de 10 horas. Análisis fase inicial. En este primer momento se aplica la prueba diagnóstica. El objetivo se centra en establecer qué conocimientos previos tiene el estudiante acerca de las operaciones de la potenciación y la radicación. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 62 Figura 15. Respuesta del estudiante 1 a la pregunta 1 de la fase inicial En esta primera pregunta, el estudiante evidencia el dominio de algunas propiedades de la potenciación (b, c, d), lo que le permite dar solución a los ejercicios. Figura 16. Respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la fase inicial PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 63 En la pregunta dos, el estudiante intenta aplicar la propiedad; pero en el desarrollo del ejercicio, se pierde, evidenciando las dificultades al respecto. Figura 17. Respuesta del estudiante 3 a la pregunta 3 de la fase inicial. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 64 Aquí el estudiante es capaz de simplificar radicales de índice par, pero al tratarse de radicales de índice impar ni siquiera inicia los ejercicios. Figura 18. Respuesta del estudiante 4 a la pregunta 4 de la fase inicial PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 65 Se observa claramente que el estudiante intenta resolver las operaciones, pero es evidente la falta de conceptualización tanto de las propiedades de la radicación como de algunos procedimientos matemáticos. Es de advertir que no se registra ninguna solución a los problemas planteados en el punto cinco de la prueba diagnóstica, lo que evidencia dificultad para aplicar los conceptos y procedimientos relacionados con la potenciación y la radicación en algunas situaciones. En general la prueba aplicada a los cuatro estudiantes refleja: Dificultad para identificar y aplicar algunas propiedades. Si bien se responde en forma correcta algunos de los numerales, no se argumentan las respuestas, por lo tanto no se puede establecer que en realidad los estudiantes tengan claro el concepto. Confusión al desarrollar los procedimientos involucrando la potenciación y sus propiedades. Dificultad para simplificar radicales con índice impar, aunque se muestra capacidad de resolver cuando se trata de radicales con índice par. Los estudiantes emplean diferentes conceptos sobre potenciación y radicación en sus procedimientos de solución, pero en forma desarticulada y confusa, demostrando con ello que tienen conocimiento de algunos elementos, pero las estructuras cognitivas no están bien formadas alrededor del tema estudiado, lo que impide aplicar y resolver adecuadamente ejercicios y situaciones problema. Análisis fase intermedia. En este segundo momento, el objetivo es que el estudiante mediante la participación en los juegos, adquiera elementos conceptuales y procedimentales que le permitan dar formación a estructuras cognitivas para el manejo y aplicación de la potenciación y la radicación. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 66 En el juego de cartas se identifican y relacionan las propiedades de la potenciación y la radicación en su forma general con ejemplos numéricos. Figura 19. Estudiante 2 ganando la partida al formar tres ternas en la fase intermedia. Figura 20. Estudiante 1 ganando la partida al formar una cuarta y una quinta en la fase intermedia. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 67 El estudiante forma las ternas, cuartas y quintas, que le permiten el afianzamiento de las propiedades y reconocer conceptualmente los elementos de las mismas. Además de establecer sus propias relaciones, también debe estar atento al trabajo de otros con el fin de percibir si los demás jugadores cuando “ganan”, están relacionando correctamente las propiedades. En el juego del parqués Figura 21. Estudiantes en una partida de parqués en la fase intermedia. A medida que el juego avanza los estudiantes siguen orientaciones enfocadas a la operatividad de la potenciación y la radicación. Si un estudiante quiere “ganar”, no solo debe aplicar correctamente los procedimientos o instrucciones sugeridas, sino también estar atento a juego de los compañeros, lo que le permite una reconstrucción constante del conocimiento a partir de su experiencia y la de los demás jugadores. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 68 En el juego del dominó para potencias y para raíces es fundamental la concentración, pues el estudiante debe tener muy claro que paso sigue del procedimiento con el fin de mirar entre sus fichas la opción más adecuada. Teniendo en cuenta que cada paso aparece en 7 fichas, su estrategia le debe permitir tener la posibilidad de acomodar una ficha en cada turno y hacer que los demás agoten sus posibilidades con el fin de ganar el juego. Figura 22. Estudiantes en una partida de dominó de potencias en la fase intermedia. Figura 23. Secuencia de fichas con tres pasos en la fase intermedia PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Figura 24. Secuencia de fichas con cinco pasos en la fase intermedia. Figura 25. Estudiantes en una partida de dominó de raíces en la fase intermedia. 69 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 70 Figura 26. Secuencia de fichas con cinco pasos en la fase intermedia. La escalera brinda la oportunidad de aprender a partir de la operatividad y superar algunas dificultades aprendiendo de los errores cometidos en un procedimiento específico. Figura 27. Estudiantes en una partida de escalera en la fase intermedia. A medida que avanza el juego, el juez de la partida asigna al estudiante que cae en la posición de las casillas especiales, un ejercicio (de la hoja de ejercicios suministrada) para resolver y avanzar PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 71 en el tablero al responder correctamente o retroceder si lo hace en forma equivocada. Por ejemplo: Exprese en forma de potencia las siguientes expresiones: Figura 28. Respuesta del estudiante 1 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. Expresa como potencia única Figura 29. Respuesta del estudiante 2 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 72 Escribe en forma de potencia las siguientes raíces: Figura 30. Respuesta del estudiante 3 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. Aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única: Figura 31. Respuesta del estudiante 4 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 73 Escribe en forma de radical: Figura 32. Respuesta del estudiante 1 al ejercicio propuesto en el juego de la escalera en la fase intermedia. Figura 33. Respuesta del estudiante 2 a los dos ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. Calcula las siguientes raíces: Figura 34. Respuesta del estudiante 3 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. Calcula las divisiones y multiplicaciones de radicales: Figura 35. Respuesta del estudiante 4 a los ejercicios propuestos en el juego de la escalera en la fase intermedia. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 74 La ruleta favorece la aplicación de elementos conceptuales y procedimentales adquiridos por medio de la proposición de ejercicios y la resolución de situaciones propuestas por los demás jugadores. Proponer un ejercicio o situación requiere del manejo las operaciones con el fin de que haya coherencia en el planteamiento y pueda ser efectivamente resuelto por otro. Figura 36. Estudiantes jugando a la ruleta en la fase intermedia PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 75 Los siguientes son ejercicios propuestos y resueltos por los mismos estudiantes de manera colectiva: Figura 37. Respuesta de los estudiantes a los ejercicios propuestos en el juego de la ruleta en la fase intermedia. Durante la aplicación de los juegos se notó en los estudiantes: Muy buena participación, interés y motivación en cada actividad. Aplicación de conceptos relacionados con la potenciación y la radicación, así como de sus propiedades. Trabajo cooperativo y socialización, favoreciendo la puesta en común de ideas en la construcción de conocimientos y asimilación de conceptos. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 76 Análisis fase final. En este tercer momento el objetivo es validar la coherencia y pertinencia de la propuesta de intervención, partiendo de la solución de la prueba final por parte de los estudiantes. En esta fase el estudiantes relaciona sus saberes previos con el conocimiento nuevo adquirido demostrado la formación de estructuras cognitivas y con ello el aprendizaje significativo de las potenciación y la radicación aplicado ambas operaciones en la solución de ejercicios y situaciones. Figura 38. Respuesta del estudiante 1 a la pregunta 1 de la prueba final en la fase final. El estudiante evidencia apropiación de las propiedades y justifica a través de los procedimientos su respuesta. Con ello demuestra que las respuestas acertadas no son productos del azar sino de una aplicación consciente y coherente de los conocimientos adquiridos. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 77 2. Simplifica y expresa cada resultado con exponentes positivos. Suponga que todas las variables son números reales positivos. Figura 39. . Respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la prueba final en la fase final. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 78 Figura 40. . Continuación respuesta del estudiante 2 a la pregunta 2 de la prueba final en la fase final. El estudiante es capaz de simplificar correctamente los ejercicios propuestos, demostrando con ello la apropiación de la temática estudiada y el afianzamiento de las estructuras cognitivas relacionadas con el conocimiento de la potenciación y la radicación. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 79 3. Simplifica cada radical Figura 41. . Respuesta del estudiante 3 a la pregunta 3 de la prueba final en la fase final. En este apartado, el estudiante también simplifica correctamente los radicales propuestos, demostrando comprensión a nivel conceptual y procedimental. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 80 4. Realiza las operaciones. Simplifica los radicales cuando sea necesario. Figura 42. . Respuesta del estudiante 4 a la pregunta 4 de la prueba final en la fase final. Se evidencia manejo de las operaciones con radicales por parte del estudiante y argumentación conceptual cuando lo considera necesario, en los pasos del proceso de solución. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 81 5. Resuelve cada problema: En este punto de la prueba y con el fin de que los estudiantes aportaran a la construcción conjunta de las soluciones y pudieran socializar conceptos y procedimientos, se permitió el trabajo en equipo. Figura 43. Respuesta de los estudiantes a la pregunta 5 de la prueba final en la fase final. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 82 Figura 44. Continuación respuesta de los estudiantes a la pregunta 5 de la prueba final en la fase final. Los estudiantes en conjunto solucionan los problemas aportando cada uno desde su experiencia a lo largo de la propuesta de intervención. La socialización de ideas permite aplicar adecuadamente los conceptos en la solución de las situaciones. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 83 En general luego de realizar la prueba final a los cuatro estudiantes se refleja: Identificación de las propiedades argumentando con procedimientos matemáticos las respuestas dadas. Mayor claridad en el desarrollo de los procedimientos aplicando la potenciación y sus propiedades. Simplificación de radicales con índices tanto pares como impares, demostrando comprensión de la conceptualización relacionada con el tema. Aplicación de elementos conceptuales y procedimentales relacionados con la potenciación y la radicación en la solución de situaciones y ejercicios, aplicando de forma coherente y argumentada los procesos necesarios para llegar a una solución correcta. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 84 Conclusiones y recomendaciones Conclusiones ¤ El uso de los juegos de mesa ajustados a las operaciones de la potenciación y la radicación permitió recrear ambientes lúdicos colaborativos toda vez que se favoreció la motivación e interés durante el desarrollo de las clases de matemáticas en grado noveno. ¤ La puesta en práctica de los juegos, favoreció en los estudiantes la atención, la memorización, concentración, la percepción el razonamiento lógico y la creatividad en la solución de problemas. ¤ El análisis de la información que se derivó de la aplicación de los juegos, permitió determinar que se favoreció significativamente el aprendizaje de las propiedades de la potenciación y la radicación porque le permitió al estudiante relacionar la forma general de la propiedad con ejemplos particulares. Recomendaciones ¤ Dar continuidad a la propuesta didáctica en la Institución Educativa Santa Teresita del municipio de Caucasia, con el propósito de mejorar el aprendizaje significativo de la potenciación y la radicación en los ámbitos conceptual y procedimental, implementando la aplicación de los juegos a todos los estudiantes del grado noveno. ¤ Diseñar y ajustar nuevos juegos basados en las fases del aprendizaje significativo de Ausubel que favorezcan la enseñanza de la potenciación y radicación. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 85 Bibliografía Ausubel, David (s.f). Teoría del Aprendizaje Significativo. Recuperado de: http://www.ctascon.com/Teoria%20del%20Aprendizaje%20Significativo%20de%20Aus ubel.pdf Ballester, A. (2002). El aprendizaje significativo en la práctica: Cómo hacer el aprendizaje significativo en el aula. Seminario de aprendizaje significativo. Primera Edición. España. 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Recuperado de http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-168292_archivo.pdf PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 86 Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares en matemáticas. Santafé de Bogotá, D.C.: Editorial Delfin Ltda. Ministerio de Educación Nacional. (2001). Ley 715. Bogotá, D.C., Ministerio de Educación Nacional. (2006).Estándares básicos de Competencias en Matemáticas. Santa fe de Bogotá, Ministerio de Educación Nacional. (2015). Derechos básicos de aprendizaje en Matemáticas. Recuperado de http://www.colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/articles- 349446_dba_mate.pdf Muñoz, J., Fernández, J., & Carmona, V. (1998). Jugando con potencias y raíces. Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, 33(1), 27-38. Recuperado de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/33/Articulo03.pdf Nortes Martínez-Artero, R., y Nortes Checa, A. (2014). El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, 89(1), 9-31. Recuperado de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/89/Articulos_01.pdf Piaget, J. (1954). Inteligencia y afectividad / con prólogo de: Mario Carretero. Primera Edición. Primera Reimpresión. (2005). Buenos Aires, Argentina: Aique Grupo Editor. Ramírez, A. (s.f.). El Constructivismo Pedagógico. Veracruz, México. Recuperado de http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/El%20Constructivismo%20Pedag%C3% B3gico.pdf. Stewart, I. (2008). Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Barcelona, España: Editorial Crítica. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 87 Stake, R. (1998). Investigación con estudio de casos. Madrid, España. Editorial Morata Tamayo, C. (2008). El juego: un pretexto para el aprendizaje de las matemáticas. Taller realizado en 9° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa (16 al 18 de Octubre de 2008). Valledupar, Colombia. Tomado en 2015 de http://funes.uniandes.edu.co/995/ Vera, L. (2008). La investigación cualitativa. Universidad Interamerica de Puerto Rico. Recuperado de http://www.ponce.inter.edu/cai/Comite-investigacion/investigacion- cualitativa.html Yacuzzi, E. (s.f.). El Estudio de Caso como Metodología de Investigación: Teoría, Mecanismos Causales, Validación. Universidad del CEMA. Recuperado http://www.ucema.edu.ar/publicaciones/download/documentos/296.pdf de PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Anexos Anexo 1. Resultados prueba saber grado noveno Tomado de: Informe resultados pruebas saber ICFES 2015 88 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Anexo 2. Prueba diagnóstica estudiantes INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESITA PRUEBA DIAGNÓSTICA “Potenciación y Radicación” GRADO 9ºA NOMBRE COMPLETO: _________________________________________________ 1. Determina en cada caso, si la igualdad es verdadera (V) o falsa (F) 1 1 a.8−3 = 2 1 b.−(−64)3 = −4 1 c.49−2 = 1 7 d.120 = 0 5 e.1−6 = −1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Simplifica y expresa cada resultado con exponentes positivos. Suponga que todas las variables son números reales positivos. 3 2 1 2 a. (5𝑥 ) (3𝑥 ) = b. 3 d. (16𝑚4 )−2 = (𝑑 −3+𝑚 )(𝑑 −5𝑚+4 ) e. (− 𝑑 −2𝑚+1 𝑥 3 𝑦 −1 𝑧 −2 1 c. ( −2 ) 2𝑥𝑦 4 𝑧 −3 𝑚4 𝑛3 3 𝑦3 ) = 24𝑥 𝑏+2 𝑦 𝑐−4 f. 6𝑥 2−𝑏 𝑦 2𝑐 3. Simplifica cada radical a. √8𝑎 b. 3√25𝑚2 c. √6𝑥 2 𝑦 3 𝑧 13 d. 3 √81𝑚4 𝑛6 3 e. 2𝑥𝑦 √74𝑥 2 𝑦 8 89 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 90 4. Realiza las operaciones. Simplifica los radicales cuando sea necesario. 1 3 1 3 14 d. √𝑎2 𝑏 2 . 2 √3𝑎3 𝑏 34 4 a. − 2 √2 + 4 √3 − 5 √2 4 b. √16𝑚 + 2 √𝑚 − √32𝑚 5 4 c. 3√2𝑥𝑦 . √8𝑥 3 5 e. √16𝑚12 ÷ √2𝑚2 5. Resuelve cada situación: 1. El volumen de un cubo está dado por la expresión 512a9b6. ¿Cuál es la longitud de su arista? 2. Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden √8𝑚2 𝑥 2 , ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 3. En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? 4. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? 5. En un cubo se ordenaron 1331 pelotas de golf. ¿De qué manera están distribuidas? PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Anexo 3. Juegos de mesa ajustados Cartas 91 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 92 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 93 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 94 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 95 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 96 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 97 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 98 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 99 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 100 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 101 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 102 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 103 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 104 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 105 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 106 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Parqués 107 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Dominó de raíces 108 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Dominó de potencias 109 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 110 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Escalera 111 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA Ruleta 112 PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 113 Anexo 4. Prueba final INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESITA PRUEBA FINAL “Potenciación y Radicación” GRADO 9ºA NOMBRE COMPLETO: _________________________________________________ 1. Determina en cada caso, si la igualdad es verdadera (V) o falsa (F) a. 3−2 = −9 b. −(−7)3 = 343 c. 250 = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 d. 1−6 = −1 2. Simplifica y expresa cada resultado con exponentes positivos. Suponga que todas las variables son números reales positivos. 3 2 1 2 a. (5𝑥 ) (3𝑥 ) = b. 3 d. (16𝑚4 )−2 = (𝑑 −3+𝑚 )(𝑑 −5𝑚+4 ) 𝑑 −2𝑚+1 e. (− 𝑥 3 𝑦 −1 𝑧 −2 1 c. ( −2 ) 2𝑥𝑦 4 𝑧 −3 f. 𝑚4 𝑛3 3 𝑦3 ) = 24𝑥 𝑏+2 𝑦 𝑐−4 6𝑥 2−𝑏 𝑦 2𝑐 3. Simplifica cada radical a. √8𝑎 b. 3√25𝑚2 13 3 c. √6𝑥 2 𝑦 3 𝑧 d. 3 √81𝑚4 𝑛6 e. 2𝑥𝑦 √74𝑥 2 𝑦 8 4. Realiza las operaciones. Simplifica los radicales cuando sea necesario. 1 3 1 3 14 d. √𝑎2 𝑏 2 . √3𝑎3 𝑏 2 34 4 a. − 2 √2 + 4 √3 − 5 √2 4 b. √16𝑚 + 2 √𝑚 − √32𝑚 5 4 c. 3√2𝑥𝑦 . √8𝑥 3 5 e. √16𝑚12 ÷ √2𝑚2 5. Resuelve cada problema: 1. El volumen de un cubo está dado por la expresión 512a9b6. ¿Cuál es la longitud de su arista? 2. Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden √8 𝑚2 𝑥 2 , ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? PROPUESTA DE INTERVENCIÓN EN EL AULA 114 3. En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? 4. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? 5. En un cubo se ordenaron 1331 pelotas de golf. ¿De qué manera están distribuidas?