BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES TEMA 4

BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES
TEMA 4. FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD
1. Concepto de probabilidad. Definición axiomática
Experimento aleatorio: un experimento se dice aleatorio si no se puede
predecir el resultado del mismo antes de realizarlo, aunque sean conocidas las
condiciones iniciales de realización
Ejemplos. Lanzamiento de un dado, elección al azar de un número real dentro
del intervalo [0,1], lanzamiento de una moneda hasta que aparezcan dos caras,...
Teoría de la probabilidad: se ocupa de describir y estudiar los fenómenos
aleatorios proporcionando métodos de análisis para su tratamiento
Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados asociados a un
experimento aleatorio, se denota por E
Atendiendo al número de posibles resultados del experimento, los espacios
muestrales se pueden clasificar en
Espacios muestrales finitos
Espacios muestrales infinitos numerables
Espacios muestrales infinitos no numerables
Ejemplo. Construir el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos
aleatorios:
a) Lanzamiento de un dado compuesto por 6 lados
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Lanzamiento de una moneda hasta obtener una cara
E={C, XC, XXC, XXXC, ...}
c) La elección al azar de un número real perteneciente al intervalo [0,1]
E=[0,1]
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1
Suceso: conjunto formado por resultados del experimento aleatorio
Sucesos elementales: cada uno de los resultados posibles del experimento
aleatorio que no se pueden descomponer en otros más simples que puedan
obtenerse al realizar el experimento aleatorio
Suceso seguro: suceso que siempre ocurre. Está formado por todos los sucesos
elementales
Suceso imposible: suceso que no ocurre nunca, denotado por
Operaciones con sucesos:
Sean A y B, sucesos asociados a un experimento aleatorio
Unión de sucesos, A B: suceso formado por todos los posibles resultados de A
y de B, sin repetir los resultados comunes
Intersección de sucesos, A B: suceso formado por todos los resultados
comunes de A y de B
Propiedades:
Conmutativa
A B=B A
A B=B A
Asociativa
Distributiva
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Existencia de elemento neutro
A =A
A E=A
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Complementario de un suceso A con respecto al espacio muestral E, :
suceso que contiene todos los resultados de E que no se encuentran en A,
verificándose que
A
=E
=Ø
A
Leyes de Morgan
A B
A
B
A B
A
B
Diferencia de dos sucesos, A-B: suceso formado por los resultados de A que no
están en B y se obtiene como
A B A
B
Ejemplo. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera. Expresar formalmente los
siguientes sucesos:
a)
b)
c)
d)
e)
Ocurren A y B, pero no ocurre C
Ocurren al menos dos.
Ocurre solamente uno de los tres
Ocurre al menos uno de los tres
No ocurre ninguno de los tres
Solución
a) A
b) (A
c) (A
d) A
e) A
B C
B) (A C) (B C)
B C) (A B C) (A
B C
B C
B C)
-álgebra de sucesos: Sea un experimento aleatorio y su espacio muestral
asociado E. Una -álgebra de sucesos es una clase A formada por subconjuntos
de E que verifica las propiedades
1. E
A
2. Si
Ai
A, i=1, 2, ...
Ai
A
i 1
3. Si A
A
A A
A (E, A) se le denomina espacio probabilizable
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Función de probabilidad: Sea (E, A) un espacio probabilizable, se dice que una
aplicación
P: (E, A)
P(A)
A A
es una función de probabilidad si verifica los siguientes axiomas (axiomas de
Kolmogorov):
1. P(E) = 1
2. P(A)
3. Ai
0,
A A
A, i=1,2,..., tales que Ai Aj= , para i j
P
Ai
P(A i )
i 1
i 1
A la terna (E, A, P(·)) se le denomina espacio de probabilidad y al número
P(A), para cada suceso A, probabilidad de A
Consecuencias de los axiomas
1. P( ) = 0
2. Sean A1,..., An A tales que Ai
Aj= , para i j
P
n
i 1
3. P( ) = 1 – P(A),
4. P(B) = P(
Ai
n
P(A i )
i 1
A A
B) + P(A B),
5. Sean A, B A tales que A
A, B A
B
P(A)
P(B)
6. Sean A, B A
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
7. Sean A, B, C A
P(A B C) = P(A) + P(B) +P(C)
– P(A B) – P(A C) – P(B C) + P(A B C)
8. Sean A, B A
P(A B)
P(A) + P(B)
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9. Sean A1,..., An A, sucesos que forman una partición del espacio muestral,
i.e.,
Ai Aj= , para i j (sucesos incompatibles dos a dos)
n
Ai
E (la unión de todos los sucesos es el suceso seguro)
i 1
n
A A,
P(A i ) 1
P(A)
i 1
n
P(A
Ai )
i 1
Ejemplo. Sean A, B y C tres sucesos de un espacio probabilístico (E, A, P(·))
tales que P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(C)=0.3, P(A B)=0.1 y (A B) C= . Calcular
las probabilidades de los siguientes sucesos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Sólo ocurre A
Los tres sucesos ocurren
Ocurren A y B, pero no C
Por lo menos dos ocurren
Ocurren dos y no más
No ocurren más de dos
Ocurre por lo menos uno
No ocurre ninguno
Solución
Como (A B) C=
(A C) (B C)=
(A C)=
y (B C)=
a)
P(A B
C)
P(A ( B C)) P(A) P(A (B C)) P(A) P((A B) (A C))
P(A) P(A B) P(A C) P(A B C) 0.2 0.1 0.1
b) P(A B C)=P( )=0
b) P(A B C) P(A B) P(A B C) 0.1 0 0.1
d)
P((A
B) (A C) (B C)) P(A B) P(A C) P(B C) - P(A B C)
- P(A B C) - P(A B C) P(A B C) 0.1
e)
P((A B C ) (A
B C) (A
P(A
B C))
B C)
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P(A
B C ) P(A
P(A B) - P(A
B C)
B C) 0.1 - 0 0.1
5
f) P( A B C) 1 P(A B C) 1 0 1
g) P(A B C) P(A) P(B) P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) P(A B C)
0.2 0.4 0.3 - 0.1 0.8
h) P(A B C) P( A B C) 1 P(A B C) 1 0.8 0.2
Regla de Laplace. Si el conjunto de sucesos elementales es finito y todos los
sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso A
se calcula como
P(A)
k
n
casos favorables
casos posibles
donde k es el número de sucesos elementales que favorecen la ocurrencia de A y
n es el número total de sucesos elementales
Ejemplo. Una urna contiene 3 bolas blancas, 2 negras y 6 rojas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea roja?
b) ¿Y que no sea negra?
Solución
6
0.5454
11
9
b) P(N)
0.8181
11
a) P(R)
2. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos
En ciertas ocasiones es necesario encontrar la probabilidad de sucesos bajo la
condición de que un cierto suceso B, con P(B) > 0, ha ocurrido
Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas. El
espacio muestral asociado a dicho experimento vendrá dado por
E={CC, CX, XC, XX}
Y sean los sucesos
A: obtener dos cruces
B: obtener al menos una cruz
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Entonces P(A) = 1/4 y P(B)=3/4. Si se sabe que B ha ocurrido entonces el
espacio muestral queda reducido a
EB={CX, XC, XX}
En este caso, P(A|B)=1/3
Se define la probabilidad condicionada de un suceso A al suceso B como
P(A | B)
P(A B)
, P(B) > 0
P(B)
que es la probabilidad de que ocurra el suceso A supuesto que el suceso B ha
ocurrido. Se puede comprobar que la aplicación
P(·|B): (E, A)
A A
P(A|B)
es una función de probabilidad y, por tanto, (E, A, P(·|B)) es un espacio de
probabilidad
Ejemplo. En el ejemplo anterior, la probabilidad P(A|B) se calcula como
P(A | B)
P(A B)
P(B)
1
4
3
4
1
3
Ejemplo. Una bolsa contiene dos tarjetas: la primera tiene dos caras rojas y la
segunda una cara roja y la otra blanca. Se extrae una tarjeta al azar y se coloca
sobre una mesa sin que se vea la otra cara. Sabiendo que la cara visible es roja,
¿cuál es la probabilidad de que la otra sea blanca?
Solución. Sean los sucesos R: la cara superior es roja y B: la cara inferior es
blanca. Se pide la probabilidad
P(B/R)
P(B R)
P(R)
P(R/B)P(B)
P(R)
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1
1
4
3
4
1
3
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Independencia de sucesos. Sean A y B sucesos cualesquiera, se dice que A y B
son estadísticamente independientes si se verifica que
P(A|B) = P(A)
O, equivalentemente,
P(B|A)=P(B)
O sea, la ocurrencia del suceso B no tiene ningún efecto en la ocurrencia del
suceso A y la ocurrencia del suceso A no tiene influencia sobre la ocurrencia del
suceso B
Consecuencias:
A y B son independientes
P(A B) = P(A) P(B)
Si A y B son independientes, entonces
a) A y B son independie ntes
b) A y B son independie ntes
c) A y B son independie ntes
Ejemplo. En una batalla naval, tres destructores localizan simultáneamente a un
submarino. Sean P(A), P(B) y P(C), respectivamente, las probabilidades de que
el primer, el segundo y el tercer destructor hundan al submarino. Se pide
determinar la probabilidad de que el submarino sea hundido, sabiendo que
P(A)=0.6, P(B)=0.3 y P(C)=0.2.
Solución. Supongamos que el hecho de hundir el submarino cada uno de los
destructores es independiente si le impacta o no el proyectil lanzado por los
otros destructores. Entonces,
P(sea hundido) = 1- P(no sea hundido) = 1 - P(ninguno de los tres impacta)
= 1 P(A B C ) 1 - P(A) P(B) P(C ) 1 - 0.4 0.7 0.8 0.776
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3. Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes
Se dice que los sucesos A1,..., An A forman una partición del espacio muestral
si son sucesos incompatibles y exhaustivos, i.e.,
Ai Aj= , para i j,
y
n
Ai
E
i 1
Teorema de la Probabilidad Total
Sean A1,..., An A, sucesos que forman una partición del espacio muestral
y sea B A un suceso cualquiera. Supongamos que se conocen las
probabilidades P(Ai) y P(B|Ai), para i=1,...,n, entonces
P(B)
n
P(B | A i )P(A i )
i 1
Ejemplo. Se está experimentando con 3 tipos de semillas de trigo, A B y C. Se
sembró una parcela en la que germinaron un 60% de plantas del tipo A, un 35%
del tipo B y un 5% del tipo C. La probabilidad de que la espiga tenga más de 50
granos de trigo es igual a 0.20 para el tipo A, a 0.90 para el tipo B y a 0.45 para
el tipo C. Se elige una espiga al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más
de 50 granos?
Solución. Sean los sucesos
A: semilla del tipo A
B: semilla del tipo B
C: semilla del tipo C
y el suceso M: tener más de 50 granos
Con la información que se proporciona se sabe que
P(A)=0.60 P(M|A)=0.20
P(B)=0.35 P(M|B)=0.90
P(C)=0.05 P(M|C)=0.45
y que los sucesos A, B y C forman una partición
Se pide la probabilidad P(M), que se calcula utilizando el Teorema de la
Probabilidad Total
P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|B)P(B) + P(M|C)P(C)
= 0.60·0.20 + 0.35·0.90 + 0.05·0.45 = 0.4575
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Teorema de Bayes
Sean A1,..., An A, sucesos que forman una partición del espacio muestral
y sea B A un suceso cualquiera. Supongamos que se conocen las
probabilidades P(Ai) y P(B|Ai), para i=1,...,n, entonces
P(A i | B)
P(B | A i )P(A i )
n
j 1
,
para i=1,...,n
P(B | A j )P(A j )
Ejemplo. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de
quienes se sospecha que tenían cáncer de pulmón, el 90% lo tenía, mientras que
únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de
fumadores es de 0.45. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de un paciente, seleccionado al azar padezca
cáncer de pulmón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de un paciente con cáncer pulmonar,
seleccionado al azar, sea fumador?
Solución. Sean los sucesos
F: ser fumador
F : ser no fumador
C: padecer cáncer de pulmón
C : no padecer cáncer de pulmón
Por los datos que se proporcionan se sabe que
P(F)=0.45 y P(F) 1 - 0.45 0.55
P(C|F)=0.90 y P(C | F) 0.05
a) Aplicando directamente el Teorema de la Probabilidad Total se tiene que
P(C)
P(C | F)P(F) P(C | F)P(F) 0.90 0.45 0.05 0.55 0.4325
b) Aplicando ahora el Teorema de Bayes se tiene que
P(F | C)
P(F C)
P(C)
P(C | F)P(F)
P(C | F)P(F) P(C | F)P(F)
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0.90 0.45
0.90 0.45 0.05 0.55
0.9364
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TEMA 5. VARIABLE ALEATORIA
1. Concepto de variable aleatoria
Sea (E, A, P(·)) un espacio de probabilidad. Una función
X: E
se denomina variable aleatoria (v.a.) si la imagen inversa mediante X de
cualquier intervalo de la forma (- ,x] es un suceso del espacio de probabilidad
X-1((- ,x])={e E: X(e) x} A,
x
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio de lanzar tres monedas
Consideremos el espacio muestral asociado a este experimento
E={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX,CCC}
y la clase de conjuntos A =
(E), que dota a E de estructura de -álgebra
Sea X la función definida sobre el espacio muestral que asigna a cada resultado
de E el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos
X(XXX)=0
X(XXC)=X(XCX)=X(CXX)=1
X(XCC)=X(CXC)=X(CCX)=2
X(CCC)=3
Comprobemos a continuación que X es una v.a. Para ello hay que comprobar
que
X-1((- ,x])={e E: X(e) x} A,
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x
11
Si x < 0
Si 0
x<1
Si 1
x<2
Si 2
x<3
Si x
3
X-1((- ,x])=
A
X-1((- ,x])={XXX} A
X-1((- ,x])={XXX,XXC,XCX,CXX} A
X-1((- ,x])={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX} A
X-1((- ,x])=E A
Por tanto, X es una v.a.
2. Función de distribución. Propiedades
Se define la función de distribución de una v.a. X como una función
F:
[0,1]
definida como
F(x)=P[X
x]=P[e E: X(e)
x],
x
Propiedades de la función de distribución:
1. xlim F(x) 0
lim F(x) 1
x
2. F(x) es una función no decreciente
3. F(x) es continua a la derecha
Las propiedades anteriores caracterizan a toda función de distribución de una
v.a.
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Ejemplo. Para el ejemplo anterior, se tiene que
P[X=0]=P[XXX]=1/8
P[X=1]=P[XXC,XCX,CXX]=3/8
P[X=2]=P[XCC,CXC,CCX]=3/8
P[X=3]=P[CCC]=1/8
y la función de distribución vendrá determinada por
F(x)
0
si x
0
1
8
si 0
x
1
4
8
si 1
x
2
7
8
si 2
x
3
1
si x
3
3. Tipos de variables aleatorias: variable aleatoria discreta y variable
aleatoria continua
Variables aleatorias discretas: Una v.a. es discreta si su función de
distribución F(x) es una función escalonada, continua salvo a lo sumo en un
número infinito numerable de puntos x1, x2,..., en los que se presenta una
discontinuidad de salto. Estas discontinuidades proporcionan la probabilidad de
cada punto
pi=P[X=xi], i=1,2,...
en los restantes puntos las probabilidades valen cero. Para este tipo de variables
aleatorias la función de distribución se puede expresar de la forma
F(x)
PX
xi x
xi !
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xi x
pi
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F(x5)
F(x4)
F(x3)
F(x2)
F(x1)
x1
x2
x3
x4
x5
Al conjunto de pares (xi,pi) se le denomina distribución de probabilidad y a la
función que toma los valores pi en los puntos xi función masa de probabilidad
o, simplemente, función de probabilidad
p5
p2
p1
p3
p4
x1
x2
x3
x4
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x5
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Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos dados
indistinguibles y definamos la v.a. X como la suma de los valores de las dos
caras de los dados. Obtener la función de probabilidad de la v.a. X, así como su
función de distribución.
Solución. El espacio muestral asociado a ese experimento aleatorio está
determinado por
E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Valores que toma la variable X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Función de probabilidad:
P[X=2]=P[(1,1)]=1/36
P[X=3]=P[(1,2),(2,1)]=2/36
P[X=4]=P[(1,3),(3,1),(2,2)]=3/36
P[X=5]=P[(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)]=4/36
P[X=6]=P[(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)]=5/36
P[X=7]=P[(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)]=6/36
P[X=8]=P[(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)]=5/36
P[X=9]=P[(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)]=4/36
P[X=10]=P[(4,6),(6,4),(5,5)]=3/36
P[X=11]=P[(5,6),(6,5)]=2/36
P[X=12]=P[(6,6)]=1/36
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Función de distribución:
F(x)
0
si x
2
1/36
si 2
x
3
3/36
si 3
x
4
6/36
si 4
x
5
10/36
si 5
x
6
15/36
si 6
x
7
21/36
si 7
x
8
26/36
si 8
x
9
30/36
si 9
x 10
33/36
si 10
35/36
si 11 x 12
1
si x 12
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x 11
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Variables aleatorias continuas: Una v.a. es continua si existe una función no
negativa f(x) tal que para cualquier x
se verifica que
"
F(x)
x
f(t)dt
A la función f(x) se le denomina función de densidad
F(x)
"
x
f(t)dt
f(x)
X=x
Propiedades que caracterizan a la función de densidad:
1. f(x) 0,
2.
"
f(x)dx
x
1
Ejemplo. Sea X la v.a. que representa el intervalo de tiempo entre dos llegadas
consecutivas de clientes a una tienda, con función de densidad
f(x)
1
e
2
0
x
2
si x # 0
en otro caso
a) Demostrar que, efectivamente, f(x) es función de densidad
b) Obtener la función de distribución de la v.a. X
c) Calcular las probabilidades P 2 X 6! y P X 8!
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Solución
a) Para que f(x) sea función de densidad deben verificarse las siguientes
condiciones:
1. f(x) 0,
2.
"
x
f(x)dx
1
Obviamente, la primera condición se verifica puesto que f(x) vale cero en
el intervalo (- ,0] y una cantidad positiva en el intervalo (0,+ )
Para comprobar si se cumple la segunda condición se debe calcular la
integral de la función de densidad
"
"
f(x) dx
0
x
1 -2
e dx
2
"
0 dx
0
) - x2 &
'- e $
(
%0
1
b) La función de distribución se define como
"
F(x)
x
f(t)dt
Para calcularla vamos a distinguir dos casos si x (- ,0] y si x (0,+ )
Si x (- ,0]
F(x)
Si x (0,+ )
F(x)
"
x
"
f(t)dt
x
"
x
"
f(t)dt
0
0 dt 0
0 dt
"
x
0
t
1 2
e dt
2
x
) 2t &
'- e $
(
%0
1 e
x
2
Por tanto, la función de distribución vendrá dada por
si x
0
0
F(x)
1 e
x
2
si x # 0
c) Para calcular esas probabilidades vamos a utilizar la función de
distribución
P2
PX
X
6! = F(6) - F(2) = (1-e ) - (1-e ) = 0.3181
-3
-1
8! = F(8) = 1-e = 0.9817
-4
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4. Características de una variable aleatoria
Esperanza matemática de una función de una v.a.: Sea g(X) una función real
de una v.a. X definida para todo los valores de X. Se define la esperanza
matemática de g(X), E[g(X)], como
Si X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad
{(xi,pi), i=1,2,…}
E g(X)!
i 1
siempre que
i 1
g(x i )p i
| g(x i ) | p i
Si X es una v.a. continua con función de densidad f(x)
E g(X)!
siempre que
"
"
g(x)f(x)dx
| g(x) | f(x)dx
Caso particular: Valor esperado o media de una v.a., E[X]
Si X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad
{(xi,pi), i=1,2,…}
E X!
i 1
xipi ,
siempre que
i 1
| xi | pi
Si X es una v.a. continua con función de densidad f(x)
E X!
"
xf(x)dx,
siempre que
"
| x | f(x)dx
Momentos de una v.a.
Se define el momento no central de orden r de una v.a. X como
*r = E[Xr]
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Se define el momento central de orden r de una v.a. X como
+r = E[(X-E[X])r]
Caso particular: Varianza de una v.a., Var[X]
Al momento central de orden 2 se le conoce con el nombre de varianza
Var[X] = +2 = E[(X-E[X])2]
Descomposición de la varianza de X como combinación lineal de los momentos
no centrales de órdenes 1 y 2:
Var[X] = E[X2] - (E[X])2
A la raíz cuadrada positiva de este momento se le conoce con el nombre de
desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de
dispersión y miden la representatividad de la esperanza de la v.a.
5. Variables aleatorias bidimensionales
En esta sección nos centramos en las variables aleatorias bidimensionales. La
extensión de las definiciones que se introducirán a una dimensión superior a dos
es inmediata
Sea (E, A, P(·)) un espacio de probabilidad. Una función
x
(X,Y): E
se denomina variable aleatoria bidimensional si se verifica que
X-1((- ,x]) Y-1((- ,y])={e E: X(e)
x, Y(e)
y } A,
(x,y)
x
Dada (X,Y) una v.a. bidimensional, se define la función de distribución
conjunta de (X,Y) como una función
F: x
[0,1]
definida como
F(x,y) = P[X x,Y y] = P[e E: X(e) x, Y(e) y],
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(x,y)
x
20
Variables aleatorias bidimensionales discretas: X e Y son vv.aa. discretas
Función de distribución:
F(x,y) = P[X x,Y y] =
PX
xi ,Y
xi x y j y
yj
!
(x,y)
x
Variables aleatorias bidimensionales continuas: X e Y son vv.aa. continuas
Función de distribución:
x
F(x,y) = P[X x,Y y] = " .
"
y
(x,y)
f(r, s) ds dr
x
Distribuciones marginales: Distribuciones de las vv.aa. X e Y como vv.aa.
unidimensionales
Función de distribución marginal de X:
FX(x) = P[X x,Y
] = P[X x ,Y<+ ],
x
Función de distribución marginal de Y:
FY(y) = P[X
,Y y] = P[X<+ ,Y y],
y
Caso discreto
FX (x)
FY (y)
PX
xi ,Y
yj
!
PX
xi ,Y
yj
!
xi x y j R
xi R y j y
Caso continuo
x
FX (x)
" "
FY (y)
" "
.
y
.
f(r, y) dy dr
f(x, s) dx ds
Distribuciones condicionadas: Distribuciones de una variable cuando la otra
variable toma un valor o un conjunto de valores
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Características de variables aleatorias bidimensionales
Momentos
Se define el momento no central de órdenes r y s de una v.a. bidimensional
(X,Y) como
*rs = E[XrYs]
Se define el momento central de órdenes r y s de una v.a. bidimensional (X,Y)
como
+rs = E[(X-E[X])r(Y-E[Y])s]
Caso particular: Covarianza, Cov[X,Y]
Al momento central de órdenes 1 y 1 se le conoce con el nombre de covarianza
Cov[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
está relacionada con los momentos no centrados de acuerdo a la expresión
Cov[X,Y] = E[XY] - E[X] E[Y]
La covarianza es una medida de la variabilidad conjunta de X e Y
Independencia de variables aleatorias: X e Y son vv.aa. independientes si
parra cualquier (x,y)
x se verifica que
P[X x,Y y] = P[X x] P[Y y],
expresado en términos de funciones de distribución,
F(x,y) = FX(x) FY(y)
Si X e Y son independientes entonces Cox[X,Y] = 0, pero el recíproco no es
cierto
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TEMA 6. ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE
PROBABILIDAD
1. Distribución uniforme discreta
Una v.a. discreta X se dice que tiene una distribución uniforme en n puntos, x1,
..., xn, si su función masa de probabilidad viene dada por
PX
xi !
1
,
n
para i 1,..., n
i.e., todos los valores de la v.a. tienen la misma probabilidad
2. Distribución de Bernoulli. Distribución binomial
Distribución de Bernoulli. Supongamos que se realiza un experimento
aleatorio y que observamos si ocurre un determinado suceso A (en cuyo caso se
dice que ha habido un éxito en el experimento aleatorio). Sea p la probabilidad
de que ocurra el suceso A, p=P(A), y 1-p la probabilidad de que no ocurra A,
1-p=P( )
Consideremos la v.a. definida de la siguiente forma
0
si no ocurre A
1
si ocurre A
X
donde
P[X=0]=P( )=1-p
y
P[X=1]=P(A)=p
Se dice que la v.a. X tiene una distribución de Bernoulli de parámetro p y se
denota por X
B(p)
Propiedades:
1. Función de distribución:
0
F(x)
1- p
1
si x
si 0
si x
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0
x
1
1
23
F(x)
1
1-p
x
2. E[X]=p
Var[X]=p(1-p)
3. Función generatriz de momentos:
MX(t) = p et + (1-p)
t
Distribución binomial. Supongamos que se realiza un experimento aleatorio n
veces consecutivas (obteniéndose n realizaciones independientes del
experimento aleatorio) y que observamos el número de veces que ocurre un
determinado suceso A. Sea p la probabilidad de que ocurra el suceso A, p=P(A),
y 1-p la probabilidad de que no ocurra A, 1-p=P( )
Consideremos la v.a. X definida como el número de veces que ocurre el suceso
A en las n realizaciones independientes del experimento aleatorio. La v.a. X
toma los valores 0,1,2,...,n y la función de probabilidad viene dada por
PX
donde
n
x
x!
n
x
p x (1 p) n
x
para x=0,1,2,...,n
n!
x!(n x)!
Se dice que la v.a. tiene una distribución binomial de parámetros n y p y se
denota por X
B(n,p)
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Propiedades:
1. Función de distribución:
F(x)
2. E[X]=np
0
si x
0
(1 p) n
si 0
x
1
si x # n
1
Var[X]=np(1-p)
3. Función generatriz de momentos:
MX(t) = (p et + (1-p))n
4. Si X
B(n,p)
Y=n-X
t
B(n,1-p)
5. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi
entonces
n
i 1
Xi
B
n
i 1
B(ni,p), i=1,...,n,
ni , p
Ejemplo. Tres personas lanzan al aire una moneda cada una. Sea X el número
de personas que obtiene una cara en el lanzamiento de la moneda. Determinar
a) La distribución de probabilidad de la v.a. X
b) Valor esperado y varianza de X
Solución. La v.a. X tiene una distribución binomial de parámetros n=3 y p=0.5,
X
B(n=3,p=0.5)
Entonces,
a) Función de probabilidad:
P[X=0] =
P[X=1] =
3
0
3
1
0.50 (1 0.5)3 0 = 0.125
0.51 (1 0.5)3 1 = 0.375
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P[X=2] =
P[X=3] =
3
2
3
3
0.52 (1 0.5)3 2 = 0.375
0.53 (1 0.5)3 3 = 0.125
b) Valor esperado: E[X] = np = 3 0.5 = 1.5
Varianza: Var[X] = np (1-p) = 3 0.5 (1-0.5) = 0.75
3. Distribución de Poisson
Se dice que una v.a. tiene distribución de Poisson de parámetro , (con , > 0), se
denota por X
P(,), si su función masa de probabilidad viene dada por
PX
k
k! e
k!
, para k = 0, 1, 2,...
Propiedades:
1. E[X]=,
Var[X]=,
2. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi
entonces
n
Xi
P
P(,i), i=1,...,n,
n
i
i 1
i 1
3. Función generatriz de momentos:
M X (t) e
, (e t 1)
t
4. Distribución de Poisson como límite de la distribución binomial
Si X
B(n,p), entonces cuando p 0 y n
P[x
x]
n
x
p x (1 p) n
x
e
x
x!
siendo ,=n p
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26
Ejemplo. Si el número de llamadas telefónicas a una centralita sigue una
distribución de Poisson de media 3 llamadas cada 5 minutos, se pide calcular las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a)
b)
c)
d)
Seis llamadas en 5 minutos
Tres en 10 minutos
Más de 15 en un cuarto de hora
Dos en un minuto
Solución
a) Sea X la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 5
minutos, entonces
X P(3)
Se pide
P[X=6] =
e
36
= 0.0504
6!
3
b) Sea Y la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 10
minutos, entonces
Y P(6)
Se pide
P[Y=3] =
e
63
= 0.0892
3!
6
c) Sea Z la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en
15minutos, entonces
Z P(9)
Se pide
P[Z>15] =
x!
PZ
x 16
e
x 16
9
9x
x!
1
15
x 0
e
9
9x
=
x!
= 1- 0.978 = 0.022
d) Sea T la v.a. definida como el número de llamadas recibidas en 1
minuto, entonces
T P(3/5=0.6)
Se pide P[T=2] =
e
0.6.
0.6 2
= 0.0988
2!
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TEMA 7. ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE
PROBABILIDAD
1. Distribución uniforme
Se dice que una v.a. X tiene distribución uniforme dentro del intervalo (a,b), se
denota por X
U(a,b), si su función de densidad viene dada por
1
b a
f(x)
si a
x
b
0
en otro caso
0
si x a
Propiedades:
1. Función de distribución:
f(x)
x -a
b-a
a b
2
Var X !
x
b
si x # b
1
2. E X !
si a
(b - a) 2
12
2. Distribución exponencial
Se dice que una v.a. X tiene distribución exponencial con parámetro, se denota
por X
exp( ), si su función de densidad viene dada por
1
x
e
si x
0
f(x)
0
en otro caso
Estadística Aplicada. Ingeniería Técnica Agrícola.Curso Académico 2007-2008.
28
Propiedades:
1. Función de distribución:
F(x)
2. E X ! -
0
1- e
-
x
si x
0
si x
0
Var X ! - 2
Representación gráfica de la función de densidad de una distribución
exponencial con parámetro =4
3. Distribución normal
Se dice que una v.a. X tiene distribución normal con parámetros + y
denota por X
N(+, 2), si su función de densidad viene dada por
f(x)
1
e
2
1 x
2
2
, se
2
, para -
x
Representación gráfica de la función de densidad de la distribución N(0,1)
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29
Propiedades:
1. La representación gráfica de la función de densidad de una v.a.
N(+, 2) es simétrica respecto al eje vertical x=+ y alcanza su máximo
en x=+
2. Si X
N(+, 2) entonces
E[X]=+
3. Si X
Var[X]=
2
N(+, 2) entonces la variable tipificada Z
4. Si X1, X2, ..., Xn son vv.aa. independientes, con Xi
i=1,...,n, entonces
n
Xi
n
N
i,
i 1
i 1
n
(X - )
N(0,1)
.
N(+i,
i
2
),
2
i
i 1
5. Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal
Si X
B(n,p), con función de probabilidad
P[x
x]
n
x
p x (1 p) n
x
entonces la distribución de la v.a.
Z
X np
np(1 p)
se aproxima a la distribución de una N(0,1), cuando n
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30
Cálculo de probabilidades. Los valores de la función de distribución de la
normal Z
N(0,1) se encuentra tabulados, siendo posible a partir de dichos
N(+, 2)
valores el cálculo de probabilidades para cualquier v.a. X
Pa
)a
P'
(
b!
X
X
b
)
P'Z
(
b
&
)
$ P 'Z
%
(
)a
P'
(
&
$
%
a
Z
b
&
$
%
b
&
$
%
a
donde / representa la función de distribución de la normal tipificada
Ejemplo. En una determinada región española la estatura de los varones, en
metros, se distribuye según una distribución normal de media +=1.68 y
desviación típica =0.2. Se pide:
a) Obtener la probabilidad de que la estatura de los varones esté
comprendida entre 1.6 y 1.75m.
b) ¿Y de que sea inferior a 1.2m.?
c) ¿Y superior a 2.5m.?
Solución. Sea X la v.a. que representa la estatura, X
X
entonces la v.a. tipificada Z
N(+=1.68, 2=0.22),
tiene distribución N(0,1)
a)
P 1.6
X
1.75!
P
)1.6
P'
(
0.4
Z
X
0.35!
1.75
PZ
&
$
%
0.35! P Z
)1.6 1.68
P'
( 0.2
0.4!
Z
1.75 1.68 &
$
0.2
%
0.6554 (1 0.6368)
0.2922
b)
1.2!
)X
P'
(
P X # 2.5!
)X
P'
(
PX
1.2 1.68 &
0.2 $%
1.2
&
$
%
)
P'Z
(
2.5
&
$
%
2.5 1.68 &
)
P'Z #
0.2 $%
(
PZ
2.4! 1 0.9918
0.0082
c)
#
Estadística Aplicada. Ingeniería Técnica Agrícola.Curso Académico 2007-2008.
P Z # 1.85! 1 P Z
1.85! 1 0.9678
31
0.0322
4. Distribuciones asociadas a la distribución normal
Distribución 02 de Pearson. Sean Z1, Z2, ..., Zn vv.aa. independientes e
idénticamente distribuidas, con distribución N(0,1) y consideremos la v.a.
definida como
n
Z 2i
i 1
La distribución de esa v.a. se denomina distribución 02 de Pearson con n
grados de libertad y se denota por
n
Z 2i
2
n
i 1
Distribución t de Student. Sean Y y Z vv.aa. independientes tales que
Y
2
n
yZ
N(0,1) y consideremos la v.a. T
Z
Y/n
La distribución de esa v.a. se denomina distribución t de Student con n
grados de libertad y se denota por
T
tn
Distribución F de Snedecor. Sean X e Y vv.aa. independientes tales que
X
2
m
eY
2
n
y consideremos la v.a. F
X/m
Y/n
La distribución de esa v.a. se denomina distribución F de Snedecor con m y
n grados de libertad y se denota por
F
Si F
Fm,n , entonces
1
F
Fm,n
Fn, m
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