una adecuación curricular para las funciones generalizadas

"UNA ADECUACIÓN CURRICULAR PARA
LAS FUNCIONES GENERALIZADAS"
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL
FRANCISCO MORAZAN
VICE RECTORÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
DIRECCION DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
TESIS DE MAESTRIA
"UNA ADECUACIÓN CURRICULAR PARA
LAS FUNCIONES GENERALIZADAS"
TESISTA
MARIO ANTÚNEZ MURILLO
ASESOR DE TESIS
MSc. OSCAR MONTES ROSALES
TEGUCIGALPA HONDURAS
NOVIEMBRE 2009
RECTORA
M.Sc. Lea Azucena Cruz
VICE-RECTOR ACADÉMICO
M.Sc. Luis Orlando Marín
VICE-RECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
Dr. Truman Bitelio Membreño
VICE-RECTOR DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
M.Sc. Gustavo Cerrato
VICE-RECTOR ADMINISTRATIVO
M.Sc. Hermes Alduvin Díaz Luna
SECRETARIA GENERAL
M.Sc. Iris Milagro Erazo
DIRECTORA DE POSTGRADO
Dra. Jenny Margota Zelaya
Tegucigalpa M.D.C. 2009
Este trabajo esta dedicado a la memoria de mi abuela y de mi madre que descansen
en paz por todo el amor y sacrificio que hicieron por que llegara a ser alguien en la
vida.
A mi esposa e hijas que día a día me dan un motivo para seguir adelante.
ÍNDICE
Introducción
7
Justificación
10
Formulación del problema
17
Objetivo general
17
Objetivos específicos
18
Preguntas científicas
18
Delimitación
19
Marco teórico
20
Marco metodológico
28
Recopilación de datos
20
Encuesta
30
Análisis de datos
32
La propuesta
34
Capítulo I
Historia de la Delta de Dirac
40
Capítulo II
La Delta de Dirac
53
Aplicaciones introductorias
58
La delta de Dirac como límite
63
Capítulo III
Soporte compacto
70
Funciones de prueba
71
Suma
72
Multiplicación por una función
73
Derivación
75
Integración
76
Cambio de escala
78
Traslación
79
Convergencia en K
Página 5
Funcional
83
Funcional lineal
84
Funcional continúo
85
Función Generalizada
86
Distribuciones singulares
80
Operaciones
90
Propiedades en K’
92
La delta de Dirac como distribución
94
Propiedades
95
Valor Principal de Cauchy
102
Capítulo IV
Derivada generalizada
107
Función de Heaviside
107
Reglas de derivación
110
Función signo
116
Sucesión de distribuciones
127
Aplicación en Estadística
131
Método de los elementos finitos
135
Consideraciones finales
139
Bibliografía
140
Página 6
INTRODUCCIÓN
El proceso de introducir objetos nuevos es familiar en matemáticas. Nos
extendimos de números naturales a enteros, de enteros a racionales, de
racionales a números reales, de reales a complejos. En cada extensión, se
introdujeron objetos nuevos en el sistema del número mientras la mayoría de las
propiedades del viejo se mantienen. En cada extensión teníamos que pensar en el
sistema del nuevo número en una manera diferente del sistema viejo. El nuevo
sistema numérico (racionales) incluye el viejo sistema numérico (los enteros).
Así mismo buscamos extender del concepto de función, el espacio extendido de
funciones es el que llamaremos distribuciones o funciones generalizadas.
Las
funciones asignan a cada punto del espacio sobre el que están definidas un
número (real o complejo), las distribuciones actúan sobre un espacio de funciones
(con ciertas condiciones de regularidad o "suavidad") asignando a cada una de
ellas un número. Lo que define a una distribución es su manera de (inter)actuar
sobre las funciones. Además, las funciones (de cierto tipo) pueden identificarse
con distribuciones, de forma que cada una de estas funciones sería una
distribución, aunque muchas distribuciones no son funciones. Las distribuciones
generalizan el concepto de función.
Algunas de las características que presenta esta extensión son las siguientes:
1. Toda función continua es una distribución
2. Toda distribución tiene derivadas parciales que son distribuciones
3. Para funciones diferenciales en sentido ordinario la nueva derivada coincide
con la ordinaria
4. Las reglas del cálculo siguen siendo válidas
En el presente trabajo de tesis se pretende “una adecuación curricular para las
funciones generalizadas”. La investigación realizada es de tipo bibliográfico y en la
misma se busca determinar diferentes propuestas y enfoques para la más famosa
de las funciones generalizadas, la delta de Dirac, describir algunos factores
Página 7
importantes que deben considerarse y algunas de sus aplicaciones básicas. Este
trabajo se ha estructurado de la siguiente forma:
Primeramente se brinda una justificación en la cual se expone la necesidad del
estudio de las funciones generalizadas, algunas de las aplicaciones que encuentra
el estudiante del área físico matemático de la delta de Dirac.
Seguidamente tenemos el planteamiento del problema a investigar, con el fin de
hacer explícito aquello que nos propusimos realizar, surgiendo de aquí los
objetivos generales y específicos internos y externos de la investigación, y de
acorde a dichos objetivos las preguntas de investigación.
Tenemos luego el marco teórico en este caso histórico y referencial a las
diversas posturas que respecto del currículo se han asumido a través de los
tiempos, con la finalidad de hacernos de una definición que nos oriente firmemente
en el desarrollo de la investigación.
En el Marco Metodológico aparecen los Instrumentos y Procedimientos
utilizados en la investigación.
En el capitulo I se esboza un poco de historia de la delta de Dirac, problemas
que originaron su surgimiento y las diferentes concepciones a través del tiempo
con que ha sido vista en el campo científico.
En el capitulo II tenemos la forma intuitiva como suele ser introducida la delta de
Dirac en clases de física y matemática, algunas aplicaciones en las cuales modela
algún fenómeno físico, y la forma como la delta de Dirac puede ser vista como el
límite de una sucesión de funciones.
En el capitulo III se brindan algunas definiciones preliminares, como ser las
funciones de soporte compacto, las funciones de prueba y funcionales, conceptos
necesarios para la definición de las funciones generalizadas o distribuciones.
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Posteriormente vemos la delta de Dirac como una distribución, sus propiedades
básicas con el rigor matemático adecuado, finalmente se tiene el valor principal de
Cauchy para una función, elemento muy útil en el campo científico.
En el capitulo IV se tiene una de las aplicaciones mas importantes de la delta de
Dirac, la derivada generalizada, la cual nos permite obtener derivadas de
funciones singulares. Se muestra además una aplicación en estadística, que
unifica el concepto para la función de densidad de probabilidad para variables
aleatorias discretas y continuas. Finalmente tenemos una aplicación de las
funciones de soporte compacto al campo de los elementos finitos, muy en boga en
nuestro tiempo.
Página 9
JUSTIFICACIÓN
En función de las necesidades que plantea el tratamiento de algunos conceptos
de las nuevas tecnologías, así como de los problemas integradores presentes en
diversas modalidades, el campo conceptual debe contribuir con las temáticas que
se aborden permitiendo así integrar los conocimientos adquiridos con otras áreas.
Un espacio curricular en general, implica una continuación de conocimientos
articulados entre si, y en el caso particular de la Matemática propone trabajar
contenidos que se focalicen fuertemente en objetos y herramientas matemáticas
referidos muy especialmente a las áreas del Análisis Matemático, la Estadística y
las Probabilidades y los Grafos, sosteniéndose en otros como ser el Álgebra, las
Funciones y la Geometría Analítica que permitirán “expresar” y “mirar y ver”
fenómenos del mundo natural mediante ciertos modelos que permitirán
comprender, representar y actuar sobre situaciones de la vida real.
En algunos cursos de matemáticas que generalmente se imparte a los
estudiantes de las carreras de física, ingeniería y otras disciplinas se contemplan
una gran variedad de herramientas que en un principio son de ayuda para el
estudiante y posteriormente al profesional en su desempeño laboral. Es común en
dichos cursos el estudio de las propiedades del tema tratado y posteriormente una
serie de aplicaciones básicas para una mejor comprensión y ver la utilidad del
objeto estudiado, así tenemos:
En el estudio de la geometría se escudriñan las propiedades de triángulos, se
clasificación, se establecen condiciones para la semejanza de
triángulos,
congruencia de triángulos, un caso particular de los triángulos rectos como ser “el
teorema de Pitágoras” propiedades de cuadriláteros y polígonos en general, las
propiedades de los sólidos y posteriormente aplicaciones del contenido estudiado.
Página 10
Asimismo al estudiar las razones y funciones trigonométricas se ven
inicialmente sus propiedades, se definen y estudian la ley de senos y cósenos y su
uso para resolver triángulos. Luego se ven algunas aplicaciones en la que su
modelación implica la resolución de triángulos y que abarcan procesos dinámicos
como el movimiento armónico, el estudio de ondas sonoras, descripción de
fenómenos periódicos, además de ciertas aplicaciones estáticas como la medición
de distancias, fuerza, velocidad, aplicaciones que comprenden longitudes y
direcciones entre otras.
Al estudiar las ecuaciones y sistemas de ecuaciones se analizan diversos
problemas prácticos aplicables a la vida real.
Los conceptos y procesos asociados a derivadas se refuerzan al ver la
derivada como “razón de cambio” y “rapidez de cambio” lo que permite modelar y
estudiar un sinfín de casos en diferentes contextos de las ciencias (“La velocidad,
la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura en física; la
rapidez de reacción y la compresibilidad en química; la rapidez de crecimiento y el
gradiente de velocidad de la sangre en biología; el costo y la utilidad marginal en
la economía; la rapidez del paso de calor en geología; la rapidez de mejoramiento
de la eficiencia en psicología, y la rapidez de dispersión de un rumor en sociología,
todos son casos especiales de un concepto matemático único: La Derivada
Asimismo, la aplicación al cálculo del concepto de integral permite a los
estudiantes, el cálculo de trabajo, variaciones de energía libre y entropía, o
biomasa; además, y ya “dentro del ámbito de la Matemática”, se facilita la
comprensión de áreas entre curvas, calculo de volúmenes mediante sólidos de
revolución, longitud de arco, etcétera.
Página 11
Las aplicaciones mencionadas previamente son comunes en cursos propios de
matemáticas y mediante ellos se busca cimentar los conocimientos, y resolver
problemas de interés en diversos ámbitos de las ciencias como ser física, química,
biología etcétera.
En el caso particular de la física, en los diversos cursos de esta área, se asume
en la mayoría de los casos que el estudiante posee una base sólida de
matemática y en los problemas estudiados el objeto matemático aplicado se
supone conocido.
Debido a lo anterior es común estudiar en forma rigurosa en aquellos cursos de
matemáticas previos a la física, diversas funciones muy particulares que sirven
para modelar comportamientos físicos, pero algunas funciones son tratadas en
forma superficial sin profundizar en su origen, evolución y propiedades, entre estas
tenemos la función gamma, función beta, funciones de Bessel, los polinomios de
Legendre, la función de Heaviside, la delta de Dirac, entre otras.
En el caso particular las funciones de Heaviside y la delta de Dirac, funciones
que
modelan
matemáticamente
un
interruptor
y
un
impulso
unitario
respectivamente, a pesar de su importancia en el campo científico no se les
dedica el tiempo necesario para una comprensión adecuada, y muchas veces sólo
son mencionadas. Dichas funciones tienen su origen en el ámbito de la Ingeniería
y la Física.
A continuación ilustramos algunos fenómenos que se estudian en diversas clases
que forman parte del currículo de física e ingeniería
 En el campo de la física el golpe de un martillo
 En sistemas mecánicos que están sometidos a una fuerza exterior
 En el caso de circuitos eléctricos a una tensión o fuerza electromotriz, alguna
descarga eléctrica
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 Una pelota de golf inicialmente en reposo es enviada velozmente por los aires
al ser golpeada con violencia por un palo de golf.
 La fuerza aplicada en un punto de una viga la descarga ocasionada por un
rayo en una línea de alta tensión.
 La presión ejercida en un punto.
El objeto matemático que sirve para modelar los fenómenos anteriormente
descritos es la delta de Dirac.
En la solución de ecuaciones diferenciales parciales, en el uso de técnicas de
análisis de Fourier de tiempo continuo ampliamente útiles para analizar y conocer
las propiedades de las señales y sistemas de tiempo continuo, en la teoría de
filtrado y modulación base fundamentales de la teoría de comunicaciones se hace
necesario un manejo adecuado de la delta de Dirac.
En dichos curso se suele describir la delta de Dirac como
0
 ( x  a)  

xa
x a
con las propiedades

  ( x  a)  1


 f ( x ) ( x  a)dx  f (a)

Del álgebra de funciones sabemos que f ( x )  kf ( x ) si k  0,1 Pero esta función
parece contradecir lo anterior ya que para todo k  0
0
k ( x  a)  

xa
x a
Por lo que aparentemente  ( x  a )  k ( x  a) para valores de positivos de k
Página 13
De forma similar del cálculo integral
a

a

  ( x  a)dx    ( x  a )dx    ( x  a)dx    ( x  a )dx  0


a
a
Que de nuevo parece contradecir la propiedad de esta función
Uno de los principales problemas con la Delta de Dirac, es que no existe una clase
en la cual se estudien a fondo sus propiedades, y aclarar el porque de las
aparentes contradicciones anteriormente mencionadas. La delta hace su aparición
en un curso de matemática en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras
hasta la clase de MM-411 Ecuaciones Diferenciales, pero no se estudian sus
propiedades sino que se ve su aplicación en la transformada de Laplace en la
resolución de ecuaciones diferenciales. Es de hacer notar que el tiempo empleado
en su estudio gira alrededor de una o dos horas clases máximo.
Contrario a lo que suele suceder con el desarrollo de un tema donde se
escudriñan
las propiedades del objeto de estudio y posteriormente se ven
aplicaciones con el fin de afianzar los nuevos conocimientos, con la delta de Dirac
el estudiante suele ver primero aplicaciones sin haberla estudiado previamente.
El estudiantado de ingeniería, física y matemática hacen uso de la delta de
Dirac como una herramienta en diferentes cálculos operacionales para resolver
diversos
tipos
de
ecuaciones
funcionales
que
conducen
a
resultados
satisfactorios. Pero estos cálculos, muchas veces parecen entrar en contradicción
con otros temas tratados, provocando duda entre el estudiantado.
Esto no es nuevo en matemática, sino veamos algunos ejemplos.
En el estudio de los números naturales al momento de estudiar sus operaciones
nos encontramos que 3  5 y 3 * 5 tienen sentido y existen pero 3  5 y 3  5 no
existen.
Página 14
Al ampliar los naturales y tratar los números enteros 3  5 ya tiene sentido y
existe pero 3  5 no existe.
Al seguir ampliando el conjunto de los numero ahora a los racionales la
operación 3  5 ya tiene sentido y existe.
Otro ejemplo es el siguiente
En el estudio de los números reales y tratar los radicales (raíz cuadrada) se nos
dice que
a existe si a  0 , pero no existe si a  0 , pero mas adelante al estudiar
los números complejos
a existe independientemente del valor de a
El hecho que 3  5 y 3  5 no existen y luego existe así como que
4 primero
no existe y luego si existe forman estela de duda e inseguridad en el estudiante.
Algo similar se presenta ya a nivel superior en varios casos, y la delta de Dirac
es uno de esos casos. La delta de Dirac es un caso especial de lo que llamaremos
funciones generalizadas.
Las funciones generalizadas con muchas aplicaciones en el campo científico y
en particular la función impulso o delta de Dirac, son frecuentes en cursos que
forman parte del currículo de Ingeniería, Física y Matemática de la Universidad
Nacional Autónoma de Honduras como ser física, ecuaciones diferenciales, teoría
de la probabilidad, métodos matemáticos en ingeniería, teoría de la estabilidad,
mecánica estadística, estructuras, resistencia de materiales, teoría de circuitos
eléctricos, electromagnetismo, comunicaciones entre otras.
Con el fin de complementar los conocimientos que manifiestan los estudiantes
de ingeniería y matemática de la delta de Dirac en particular y de las funciones
generalizadas en general, se espera que el presente trabajo contribuya a lograr
una comprensión adecuada de la delta de Dirac, su origen, propiedades y otras
funciones generalizadas atípicas. A pesar de ser las funciones generalizadas una
herramienta de múltiples usos en el campo científico, en nuestro país en ninguna
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institución educativa existe una clase en la cual se le de la importancia debida, y
no es tratada con la seriedad y rigurosidad que amerita y en muchos casos
aparenta ser una función sacada de la manga de la camisa.
Página 16
FORMULACION DEL PROBLEMA
La matemática es hoy en día una de las ciencias más activa y dinámica, a
partir de problemas que surgen en otras disciplinas, también aparecen nuevas
formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose así nuevas teorías para
encontrarles solución a estos problemas.
Una de las características importantes de la matemática en la actualidad es su
uso prácticamente en todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades
cotidianas hasta la investigación científica, la producción y la prestación de
servicios. Como consecuencia el ser humano se encuentra con la necesidad
constante de fortalecer sus conocimientos.
La investigación el análisis e
implementación de nuevas técnicas y propuestas pueden ser de mucha utilidad
para enriquecer la gama de conocimientos necesarios en la resolución
de
diversos problemas del ámbito científico.
Tomando en cuenta lo anterior y considerando que la delta de Dirac juega un
papel crucial teniendo múltiples aplicaciones en problemas prácticos relacionados
con el entorno profesional y científico, de allí la necesidad de un estudio sobre las
funciones generalizadas.
Así, planteamos en la presente investigación como problema científico: Un
Desarrollo alternativo para el estudio de La Delta de Dirac y las funciones
generalizadas y adecuarlos en un currículo para lograr una mejor compresión
sobre las mismas.
OBJETIVO GENERAL
Para dar respuesta al problema, delimitamos como objeto de la investigación el
proceso de enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario; formulándose
como objetivo general de investigación:
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La realización de una propuesta curricular que sirva como instrumento pedagógico
para la Delta de Dirac y las funciones generalizadas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Para lograr lo anterior consideramos como objetivos específicos

Determinar el criterio de docentes y estudiantes de ingeniería, matemática y
física sobre la necesidad o no del estudio de las funciones generalizadas.

Determinar con los docentes y estudiantes, la profundidad con que es
estudiada la delta de Dirac y las funciones generalizadas.

Determinar el grado de conocimiento que tienen los estudiantes de las
propiedades de las funciones generalizadas.

Enumerar y describir el contenido curricular que se debe incorporar en las
carreras física matemática.

Elaborar una propuesta de un contenido programático ilustrándolo con
ejercicios y problemas
PREGUNTAS CIENTÍFICAS
Surgen como preguntas científicas:

¿Para efectos de una mayor comprensión y aplicación de las funciones
generalizadas, consideraran los docentes y los alumnos de la carrera de
ingeniería, matemática y física necesario su estudio?

¿A criterio de los estudiantes de ingeniería, física y matemática, el tiempo y
la profundidad con que se desarrolla el tema de las funciones generalizadas
es suficiente para la comprensión y su aplicación?

¿Qué tanto conocimiento dominan los estudiantes de las propiedades de las
funciones generalizadas?

¿Existen suficientes contenidos en la bibliografía matemática, que amplían
el tratamiento de las funciones generalizadas?
Página 18
DELIMITACION
En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta tanto el
objeto como el objetivo de la investigación, se considera como campo de acción el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes la Universidad Nacional
Autónoma de Honduras delimitando al campo de la ingeniaría.
Página 19
MARCO TEORICO
Uno de los términos mas discutido en el ámbito de la educación es el referente
al de currículo, a través de la historia han sido diversas las definiciones que se han
dado al respecto.
En la antigua Roma se utilizaba ya el vocablo “cursus honorum", el curso,
carrera o camino "de los honores", el que seguía el ciudadano que iba ocupando,
por sucesivos comicios, las magistraturas republicanas, desde edil hasta cónsul.
El concepto currículum, en su uso académico aparece con el surgimiento de las
universidades en Europa en la edad media (siglos XII y XIII) y se utilizó para
designar "el tiempo señalado cada año para asistir a las lecciones" y, en sus
vicisitudes fue convirtiéndose en cursus, “curso”. En la Edad Media el currículum
estaba integrado por el "trivium" (tres vías, caminos, cursos), el “cuadrivium"
(cuatro vías), estudios previos (Facultad de Artes) a las cuatro facultades mayores:
Derecho, Cánones, Medicina y Teología.
El trivium abarcaba los tres temas enseñados primero, antes del quadrivium. La
palabra es latina, significando "las tres maneras" o "los tres caminos", el principio
de los artes liberales. En muchas universidades medievales, éste era el curso
principal del estudiante. En teoría educativa, el trivium consistió en la gramática ,
la retórica , y la lógica (o la dialéctica - la lógica y la dialéctica eran sinónimas en
ese entonces). (como el latín era una segunda lengua y la lengua internacional de
la beca y del pensamiento, tuvo que ser aprendido intencionalmente y a fondo.) La
gramática es los mecánicos de una lengua; la lógica es los "mecánicos" del
pensamiento y del análisis; el retórico es el uso de la lengua de mandar y de
persuadir. Éstos eran considerados los campos preparatorios para el quadrivium.
El quadrivium abarcaba los cuatro temas enseñados en universidades
medievales después del trivium. La palabra de origen latino, significaba "las cuatro
Página 20
maneras" o "los cuatro caminos": la terminación de los artes liberales, y consistia
en aritmética , geometría , música , y astronomía. Alternadamente, el quadrivium
era considerado trabajo preparatorio para el estudio serio de la filosofía y de la
teología. El quadrivium se podía considerar como el estudio del número : la
aritmética era número puro, geometría era número en espacio, número de la
música en tiempo, y número de la astronomía en espacio y tiempo.
Esta estructura se mantuvo en las universidades europeas hasta el siglo XVIII,
En dicha época en Inglaterra, siempre tan conservadora en las formas, el término
currículum era empleado para designar el conjunto de materias que se enseñan y
aprenden en las escuelas. Los países de habla inglesa, en especial los Estados
Unidos de América conservaron la tradición escolar inglesa.
Sobre este fondo surgieron los primeros trabajos con relación al currículo entre
los que destacan “El currículo” (1918) y “Como hacer un Currículo” (1924) de
Franklin Bobbit,
En 1949 Ralph Winfred Tyler en su libro “Principios básicos del Currículo”
señala cuatro cuestiones fundamentales a considerar al momento de desarrollar
cualquier plan de enseñaza:

¿Qué objetivos educativos trata de desarrollar la escuela?

¿Qué experiencias educativas aptas para lograr esos objetivos pueden ser
proporcionadas?

¿Cómo pueden organizarse efectivamente estas experiencias educativas?

¿Cómo podemos determinar si se alcanzan lo objetivos?
Con lo anterior Tyler le da una significación que supera el modo habitual de
entenderlo el conjunto de las materias integrantes de los cursos que componen un
nivel educativo y que se consagra en la consecución de títulos académicos.
Página 21
En “Elaboración del Currículo” Hilda Taba establece la consideración de los
siguientes aspectos

Diagnóstico de necesidades.

Formulación de objetivos.

Selección de contenidos.

Organización de contenidos.

Selección de actividades.

Organización de actividades.

Determinación de los que se va a evaluar y maneras y medios para hacerlo.
Taba establece que la elaboración de un currículum debe seguir un esquema
racional para el planeamiento de sus diferentes aspectos y demandar de una
metodología particular para su desarrollo y para relacionar los componentes entre
sí. Esta metodología incluye los modos de decidir quienes desempeñarán las
diferentes funciones en la confección del currículum, y como éstas decisiones
podrían ser coordinadas y articuladas.
La concepción del currículo ha evolucionado, en ese proceso las definiciones
planteadas se enmarcaran dentro de ciertas concepciones: Centrado en la
experiencia, como un sistema y como una disciplina aplicada, en un currículo se
concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del
sistema educativo, de aquí que existan varias definiciones y modalidades de
currículos como enfoques teóricos existan, a continuación tenemos algunas y sus
elementos básicos según diversos autores:
(Franklin Bobbit, 1918). “Currículo es aquella serie de cosas que los niños y los
jóvenes deben hacer y experimentar, a fin de desarrollar habilidades que los
capaciten para decidir asuntos de la vida adulta”
(UNESCO, 1948). “Currículo son todas las experiencias, actividades, materiales,
métodos de enseñanza y otros medios empleados por el profesor o tenidos en
cuenta por el sentido de alcanzar los fines de la educación”
Página 22
(Janold Zacharias y Sthephen White, s. f.). “Currículo es el proceso de determinar
los límites precisos de la unidad de enseñanza; el proceso de identificar el
contenido de la materia que será tratada en la unidad; la determinación del
contenido de la materia en términos de implementación, cómo hacer textos,
material de laboratorio y otros auxilios didácticos.”
(Johnson, 1967). “Currículo no se refiere a lo que el estudiante hará en una
situación de aprendizaje, a lo que el será capaz de hacer como consecuencia de
lo que aprendió. Currículo se relaciona con resultados y no con episodios de
aprendizaje.”
(L. D. Hainaut, 1980) “Un currículo es un proyecto educacional que define: a) los
fines, las metas y los objetivos de una acción educacional; b) las formas, los
medios y los instrumentos para evaluar en qué medida la acción ha producido
fruto.”
(Luis Javier, 1987): Es un proceso de enseñanza que forma a los estudiantes
mediante la transmision de valores conocimientos y habilidades. Identifica los
siguientes elementos.
a) Personas
-
Alumnos
-
Profesores
b) Tareas
-
Oportunidades de aprendizaje
-
Materias
-
Proyectos
c) Administración
-
Planeación
-
Organización
-
Dirección y control del personal
Para Forquin (1987): Es un recorrido de experiencias de aprendizaje en una
institución formal, sus elementos fundamentales son:
a) Experiencias de aprendizaje
b) Institución educativa
Página 23
Stenhouse (1987): Un intento de comunicar un propósito educativo, abierto a
discusión y que puede trasladarse a la práctica. Se pueden identificar como
componentes principales:
a) Propósito educativo
b) Discusión crítica
c) Práctica
Arnaz(1990), define el currículo como un plan que norma y conduce un proceso
concreto y determinante de enseñanza aprendizaje. El autor señala 4 elementos:
a) Objetivos curriculares
b) Plan de estudios
c) Cartas descriptivas
d) Sistema de evaluación
Para Glazman y de Ibarrola el currículo es una reunión de aspectos socialmente
valiosos de una profesión que se enseñan, como componentes tenemos
a) Fines de la enseñanza
b) Aspectos de la profesión Selección
-
Selección
-
Organización
-
Ordenamiento
Fatima Addine (1995): Es un proyecto integral con carácter de proceso que se
rediseña en función del desarrollo social. Se pueden distinguir los siguientes
elementos;
a) Proyecto educativo
b) Desarrollo social del ciudadano
c) La ciencia
Se puede ver que el currículo es considerado por varios de estos autores como un
proceso en el cual hay un propósito de enseñanza, atiende a la naturaleza social
de lo educativo, por considerar que es necesario, primero, reconocer las
características de la realidad en la que se pretende operar para poder decidir
entonces qué tipo de diseño permite o acepta esa realidad y, segundo, entender
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cómo y en qué sentido y medida puede preverse, diseñarse o programarse, se
concentran teorías y principios diversos que traducen la orientación general del
sistema educativo, de aquí que, como se señaló al principio, existan tantas
definiciones y modalidades de currículos como enfoques teóricos existan.
Lo anterior ha llevado, a la formulación de un conjunto de fundamentos, también
llamados elementos básicos o fuentes del currículum, que constituyen posiciones
de índole sociocultural, epistemológica-profesional, y psicopedagógica, a través de
las cuales se pretende derivar principios que orienten tanto la elaboración o diseño
curricular, como su desarrollo y evaluación. Dichas posiciones, derivadas de la
particular visión de dichos fundamentos que tienen los diseñadores se pueden
resumir de acuerdo al modelo de Tyler en las siguientes cuatro preguntas:

¿Qué enseñar?

¿Cuándo enseñar?

¿Cómo enseñar?

¿Qué, cómo y cuándo evaluar?
Las respuestas a estas preguntas nos deben proporcionar información acerca
de los objetivos y de los contenidos de la enseñanza que se pretende desarrollar
lo largo del proceso educativo.
Asimismo nos proporcionan los criterios para ordenar, secuenciar y distribuir
dichos objetivos y los contenidos, a lo largo de las correspondientes unidades de
tiempo escolar y en función de lo que el alumno es capaz de hacer y aprender en
un momento dado.
También nos va a permitir decidir acerca de la planificación de las actividades y
recursos necesarios del proceso enseñanza-aprendizaje que mejor contribuyan
al logro de los objetivos y los contenidos.
Para saber si se han alcanzado los objetivos planteados es fundamental
realizar la correspondiente evaluación de todo el proceso, determinar si se han
logrado las intenciones educativas concretadas en el qué enseñar.
Página 25
El avance vertiginoso de la ciencia hace necesario día a día la adquisición de
nuevos conocimientos. Muchas veces estos nuevos conocimientos requieren su
adecuación a un currículo ya existente, por lo que el currículo debe ser abierto
flexible, abierto y tener un carácter dinámico y de desarrollo. Al momento de
incorporar estos nuevos conocimientos al currículo se deben tener en cuenta los
fundamentos mencionados anteriormente. Los componentes del currículo pueden
organizarse de diversas maneras, entre la que se tienen:

Centrados en la materia o tema
Estos diseños son los de más amplio uso, debido a la aceptación de
conocimiento y contenido como partes integrales del currículo.

Centrados en el estudiante
Se establece que el estudiante es el centro del enfoque en todo programa, y
en torno a ellos, y para ellos, deben establecerse los currículos.

Centrados en el problema
Enfoca los problemas de la vida; en las realidades percibidas de la vida
institucional y grupal, tanto para el individuo, como para la sociedad, en
general.
Con la finalidad de poder abarcar todas aquellas actividades que surgen en el
proceso educativo y que no sólo son para transmitir conocimientos, sino actitudes
y habilidades a los estudiantes que les permitan desenvolverse adecuadamente
en un mundo de cambios vertiginosos, el currículo ha sido dividido para su estudio
entre:

El currículo formal, que son los documentos guía (el plan de estudio y los
programas de las materias) que prescriben las finalidades, contenidos y
acciones que es necesario llevar a cabo, por parte del maestro y los
alumnos, para practicar y desarrollar el currículo.

El currículo real, que es el proceso de la puesta en práctica del currículo
formal, proceso en el cual confluyen tanto el capital cultural de maestros y
alumnos como los requerimientos del currículo formal y los factores
presentes en el contexto institucional.
Página 26

El currículo oculto, es un currículo no académico proveedor de enseñanzas
encubiertas, latentes, no explícitas, que corresponden al plano del
desarrollo ideológico y moral e incluyen funciones de inculcación de valores
y socialización que en su conjunto vinculan la institución escolar con el
sistema social que lo rodea.
El currículo atiende a la naturaleza social de lo educativo, por considerar que es
necesario, primero, reconocer las características de la realidad en la que se
pretende operar para poder decidir entonces qué tipo de diseño permite o acepta
esa realidad y, segundo, entender cómo y en qué sentido y medida puede
preverse, diseñarse o programarse. Son muchas las herramientas matemáticas en
el campo científico con múltiples usos las cuales debido a su importancia
requieren un estudio amplio.
Tomando en cuenta lo anterior y viendo la importancia de los temas en la
elaboración, implementación y evaluación de un currículo, y considerando el caso
particular que La Delta de Dirac juega un papel crucial teniendo múltiples
aplicaciones en problemas prácticos relacionados con el entorno profesional y
científico, de allí la necesidad de un currículo sobre las funciones generalizadas ya
que en ninguna institución educativa del país se estudian a fondo. De allí la
intención en nuestro propósito de situar teóricamente nuestro trabajo dentro del
marco curricular
Página 27
MARCO METODOLOGICO
La investigación es de corte evaluativo y es aplicada, pues intenta responder a
un problema identificado en la formación de los estudiantes de las diferentes
carreras del área físico matemático, y consecuentemente a plantear una
adecuación curricular, para ajustarla a la demanda de acciones que involucran a
las funciones generalizadas en el desempeño profesional.
Para el logro del estudio fue necesario desarrollar una serie de acciones que
implicarán la elaboración de instrumentos para la recogida de información en los
casos que se requiera.
Así como el estudio de obras relacionadas con las funciones generalizadas
donde se aborde no solo lo conceptual, sino también la resolución de problemas
matemáticos, lo cual nos aporta contenido curricular que pueda incorporarse a
nuestra propuesta, para ello se tomo en cuenta el método teórico de investigación
que comprendió:

Método de análisis y síntesis: Se realizó un análisis de la bibliografía
relacionada con el objetivo de separar las partes integradas del objeto
seleccionado y determinar el sistema de conceptos básicos de las funciones
generalizadas.

Método histórico lógico: Para analizar el comportamiento del problema de la
investigación en las diferentes posiciones estudiadas y la evolución de las
situaciones propuestas.

Método de enfoque sistémico: Para argumentar la estructura del proceso en la
formación curricular como se incorporan los nuevos conocimientos.
Página 28
Además del proceso de análisis que se realizó, donde se obtuvieron conceptos y
operaciones matemáticas como contenido curricular, se llevó a juicio de expertos a
través de la técnica de los grupos de discusión, el contenido propuesto, para que
este sea validado por docentes expertos.
Es importante agregar, que se recogió información a través de cuestionarios y
entrevistas, a estudiantes y a docentes que estén involucrados en el tema, el
propósito es el diagnóstico del contenido curricular actual y de sondear la
necesidad de que el contenido de las funciones generalizadas debe de ser
ampliado.
En el presente trabajo se trata de dar respuesta a algunas preguntas
formuladas anteriormente, en el caso de la delta de Dirac y las funciones
generalizadas, ¿Por qué y para qué?, ¿Qué enseñar? ¿Cuándo enseñar? ¿Cómo
enseñar?, dejando abierta ¿Qué, cuándo y cómo evaluar?
RECOPILACIÓN DE DATOS
Tomando en cuenta que la pregunta constituye una estrategia natural para
averiguar si los alumnos tienen o no un marco conceptual de una situación
determinada. Se procedió a realizar un cuestionario diagnostico para determinar el
conocimiento que de la delta de Dirac manejan los estudiantes. El grupo
seleccionado para realizar dicha encuesta fueron las secciones de MM-411
Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 del curso vacacional 2003 –
2004 de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH). La elección de
este grupo de debe que en dicha clase se menciona por primera vez la delta de
Dirac en un curso de Matemática a estudiantes de Ingeniería de la UNAH.
A continuaron se muestra el cuestionario de diagnostico sobre el conocimiento
de la delta de Dirac, este instrumento fue aplicado a los alumnos de la clase MM411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01 el día Jueves 15 de Enero
de 2004
Página 29
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
CENTRO UNIVERSITARIO DE ESTUDIOS GENERALES
CUESTIONARIO DE DIAGOSTICO ACERCA DEL CONOCIMIENTO DE PARTE
DEL ESTUDIANTE DE LA DELTA DE DIRAC
1.
Carrera de Estudio
2.
Lleva la presente clase por primera vez
3.
Puede distinguir que expresiones representan o no una función
4.
Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor
comprensión del mismo
5.
Considera usted la delta de Dirac una función normal
6.
Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac
7.
Sabe lo que es una función generalizada
8.
En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde
9.
Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac
10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac
11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico
12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de
la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación?
13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto
14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac
El formato empleado fue el de pregunta directa con el fin de obtener respuestas
cortas y especificas fácil de calificar y analizar.
UNIDAD DE TRABAJO
Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras
UNIDAD DE ANÁLISIS
Estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, Facultad de
Ingeniería, materia MM-411 Ecuaciones Diferenciales secciones 13-01 y 17-01
curso vacacional 2003-2004, alumnos encuestados ciento doce (112).
Página 30
RESULTADOS DE LA INFORMACION
Los resultados obtenidos de la anterior encuesta se detallan a continuación:
1. Carrera de Estudio
a. Ingeniería Civil
28
b. Ingeniería Eléctrica
31
c. Ingeniería Industrial
17
d. Ingeniería Mecánica
24
e. Ingeniería Química
12
2. Lleva la presente clase por primera vez
a. No
63
b. Si
49
3. Puede distinguir que expresiones representan o no una función
a. Puede distinguir
95
b. No puede distinguir 17
4. Considera necesario conocer aplicaciones de un tema para una mejor
comprensión del mismo
a. Necesario
98
b. No necesario 14
5. Considera usted la delta de Dirac una función normal
a. Es una función normal 8
b. No es función normal 104
6. Cual fue el tiempo dedicado al estudio de la delta de Dirac
a. Una hora clase
68
b. Dos horas clase 44
7. Sabe lo que es una función generalizada
a. Si
5
b. No 107
8. En sus estudios previos ha visto anteriormente la delta de Dirac, donde
a. Si
84 FS-100 Física I y MM-411 Ecuaciones diferenciales
b. No 28
Página 31
9. Conoce usted otras propiedades de la delta de Dirac
a. Si
4
b. No 108
10. Considera necesario un estudio mas profundo la delta de Dirac
a. Si
83
b. No
11
c. No sabe 18
11. Sabe bajo que condiciones la delta modela un fenómeno físico
a. Si
15
b. No 97
12. ¿A su criterio el tiempo y la profundidad con que se desarrolla el tema de
la delta de Dirac es suficiente para la comprensión y su aplicación?
a. Si
11
b. No 101
13. La forma y tiempo como es tratada el tema deja dudas al respecto
a. Si
103
b. No
9
14. Ha consultado bibliografía referente a la delta de Dirac
a. Si
0
b. No 112
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Amparado en una base preliminar analizando los resultados de la información
diagnóstica obtenida a través de los estudiantes de carreras del área físico
matemático, sobre el tema de las funciones generalizadas y la necesidad de la
ampliación del contenido curricular actual y de acuerdo a las repuestas obtenidas
en la encuesta en el
Cuestionario de diagnostico para determinar sobre el
conocimiento de la delta de Dirac
se pueden establecer las siguientes
observaciones.
Página 32
1. El total de la encuestada es estudiante de Ingeniería
2. Según el 90.18 % encuestado el tiempo dedicado al estudio de la delta de
Dirac es insuficiente 1.5 horas clase en promedio
3. el 87.5 % considera la modelación matemática necesaria para poder
comprender mejor un tema
4. el 13.39 % no sabe bajo que condiciones la delta de Dirac modela un
fenómeno físico
5. El 95.53 % desconoce lo que es una función generalizada o distribución
6. El 7.14 % considera la delta de Dirac una función normal
7. Del 100% que había visto previamente la delta de Dirac el 66.67 % la estudio
por primera vez en una clase de Física en tanto el 33.33 % en una clase de
Ecuaciones Diferenciales
8. Ningún estudiante ha consultado bibliografía alguna sobre la delta de Dirac.
Esta primera aproximación fue complementada, con la búsqueda de contenido
curricular en fuentes bibliográficas donde se aborda el tema de las funciones
generalizadas.
El tratamiento la información obtenida mediante la consulta a fuentes
bibliográficas, exigió del agrupamiento de contenidos curriculares que se
presentarán de manera secuencial, sobre todo porque apunta a una propuesta de
enmienda curricular a validar por un grupo de expertos docentes en la materia.
El análisis de bibliografía que contiene aspectos relacionados con las funciones
generalizadas, exigirán de la selección de contenidos curriculares pertinentes y
necesarios para el desempeño profesional desde la óptica del investigador y de
sus criterios, su pertinencia y la necesaria incorporación al currículo será objeto de
validación por aquellos que conocen este tema en campo de las matemáticas. Así
el establecimientos de criterios para su valoración y orientados por una guía
objetiva de discusión, los llevará a dictaminar si la propuesta de adecuación es
valida.
Página 33
LA PROPUESTA
¿Como se pueden introducir las funciones generalizadas?
Como muchas grandes ideas en matemática y ciencia, el tema tiene una larga
historia. Synowiec (Synowiec, John: Distributions: The Evolution of a Mathematical
Theory. Historia Mathematica, vol. 10, 1983, pp. 149(183.) ha establecido que la
evolución de los conceptos de la teoría de distribuciones siguió un patrón familiar
en matemática “múltiples descubrimientos simultáneos” porque las ideas
apropiadas estaban en el aire. Varios métodos pueden ser usados en matemática
para introducir y desarrollar sistemáticamente La Teoría de las Funciones
generalizadas, entre las que se tienen:
1. Mediante funcionales.
Por medio de este método las funciones generalizadas son definidas como
funcionales lineales continuas. Las operaciones con funciones ordinarias como
ser la diferenciación y transformadas de Fourier son una extensión al escribir
primeramente estas operaciones en el lenguaje de funcionales para funciones
ordinarias, después haciendo uso de ellas para definir todas las funciones
generalizadas. Después que las reglas de estas operaciones se han obtenido,
la notación usual de las funciones ordinarias pueden ser empleadas por todas
las funciones generalizadas. Para este método de introducir las funciones
generalizadas se requiere un conocimiento previo de análisis funcional y es
fácil de desarrollar con esta notación, sin confusión.
2. Mediante sucesiones.
Este está esencialmente basado en la idea original de Dirac, mediante la cual
define una función delta como el límite de una sucesión de funciones
ordinarias. Este método fue propuesto por Mikusinski mediante un teorema en
la teoría de distribuciones en el cual el es espacio de las funciones
generalizadas es completo. Por lo que funciones generalizadas singulares
como la delta de Dirac puede ser definida como el límite de una sucesión de
funciones ordinarias o regulares, así como se definen números irracionales
como el límite de un sucesión de Cauchy. Para definir una función
generalizada mediante este método se requiere del análisis matemático para
Página 34
construir y trabajar con una sucesión de funciones infinitamente diferenciables.
Además se requiere del cálculo avanzado ya las manipulaciones algebraicas
son laboriosas.
3. Método de Bremermann.
En el método de acercamiento de Bremermann, las funciones generalizadas
son vistas como los valores límites de funciones analíticas sobre el eje real.
Este método se basa en los primeros trabajos de la Transformada de Fourier
en el plano complejo para definir la transformada de Fourier de polinomios,
usando algunos resultados de la teoría analítica de funciones y es empleado
particularmente en el análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales.
Para el desarrollo del presente metodo se requiere conocimientos básicos de
análisis funcional, de espacios vectoriales topológicos así como de variable
compleja y de la transformada de Fourier
4. Cálculo Operacional de Mikusinki
El cálculo operacional desarrollado por Jan Mikusinski es importante para la
solución de ecuaciones diferenciales. Su funcionamiento se basa en el cálculo
de una álgebra para la convolución de funciones con respecto a la
transformada de Fourier. A partir de la convolución producto que en otros se
definen otros contextos se denominan el campo de fracciones o de un cociente
campo. Estos pares ordenados de las llamadas funciones Mikusinski
operadores. El conjunto de funciones y la operación de convolución definen un
anillo conmutativo. Cualquier anillo sin divisores de cero se puede extender a
un cociente campo o ámbito de la fracción de tal manera que

b / a = d / c, si y sólo si b = a * c * d

a = (a * k) / k para k no igual a cero del anillo.
El cociente de convolución con una función propia, es decir, f / f; corresponde a
la función delta de Dirac, δ (t), la unidad elemento del conjunto de funciones
generalizadas.
Página 35
Este método proporciona una explicación rigurosa del cálculo operacional de
Heaviside y resuelve problemas como ser la solución de relaciones
recurrentes.
5. Otros métodos
Se tienen otros métodos para introducirlas funciones generalizadas en
matemática. Uno de eso métodos se basa en el análisis no estándar de
Robinson, el análisis no estándar usa la teoría lógica formal para extender la
recta real mediante la rigurosa inclusión de los infinitesimales de Leibniz, con
aplicaciones en los sistemas dinámicos. Otra aproximación a las funciones
generalizadas es mediante el uso del algebra avanzada y conceptos
topológicos para desarrollar una teoría de funciones generalizadas en la cual la
multiplicación de funciones arbitrarias es fundamental, con aplicaciones en la
solución de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.
Para el presente trabajo se recabo información a través de cuestionarios y
entrevistas, a estudiantes de las carreras de ingeniería y a docentes del
Departamento de matemática, Departamento de Física así mismo de la Facultad
de Ingeniería
de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras acerca del
conocimiento y aplicaciones de la delta de Dirac, el propósito es el diagnóstico del
contenido curricular actual y de sondear la necesidad de que el contenido de las
funciones generalizadas debe de ser ampliado.
A partir del diagnostico realizado se detectó un amplio desconocimiento de
parte del estudiantado de las propiedades de la delta de Dirac y sus aplicaciones
mostrando además un desconocimiento casi total del porque de su uso en la
modelación matemática de ciertos fenómenos físicos. Lo anterior nos dio la pauta
de la necesidad de diseñar el programa sinóptico y analítico para las funciones
generalizadas y la delta de Dirac en particular.
En el diseño de la presente propuesta para las funciones generalizadas se
identificaron los conocimientos preliminares necesarios que se requiere para el
Página 36
estudio de las funciones generalizadas, conceptos que son tratados en las
asignaturas de Matemática I MM-110, Geometría y trigonometría MM-111, Cálculo
I MM-201, Cálculo II MM-202, Vectores y Matrices MM-211, clases que forman
parte del currículo de carreras de ingeniería, matemática y física de la Universidad
Nacional Autónoma de Honduras, entre los que tenemos

Función

Límite de una función

Continuidad de una función

Derivada de una función

Función suave o lisa

Antiderivada

Integración definida

Producto interno de funciones

Propiedades del producto escalar.

Espacios vectoriales

Transformaciones lineales

Sucesión de números

Convergencia de sucesiones

Sucesión de funciones

Convergencia absoluta y condicional
Se revisaron las aplicaciones con las cuales se introduce la delta de Dirac y
tomando como guía la siguiente pregunta: ¿Qué debe saber un estudiante del
área físico matemático de La Universidad Nacional Autónoma de Honduras
referente a la delta de Dirac?, a partir de ahí se buscó bibliografía acerca de
contenidos matemáticos que dieran respuesta a esta pregunta.
Los nuevos conocimientos matemáticos se organizaron de acuerdo al método
sistémico
estructurando
organizando
y redactándolos con el
matemático.
Página 37
formalismo
Previo a ello en el capítulo I se da un bosquejo de aquellos acontecimientos
relevantes en la historia de la delta de Dirac
En el capítulo II se presenta La delta como límite, para ello se da una idea intuitiva
de la delta de Dirac tanto física como matemáticamente, se parte de definir la
función
0  x  1/ n
n

fn ( x )  
lo cual se puede introducir en MM-110
0 otro valor de x

Posteriormente se considera el límite cuando n   (n tiende a infinito positivo)
 x  0

lim fn ( x )  
lo cual se puede introducir en MM-201 cálculo I
n 
 0 x0

Asimismo se consideran otro tipo de funciones fn ( x ) que en el límite n  
tienen el mismo comportamiento que la función anterior. Hasta aquí solo se tiene
una idea intuitiva de la delta de Dirac.
En el capítulo III se pretende formalizar matemáticamente la delta de Dirac y las
funciones generalizadas, para ello se presentan las primeras definiciones o
nuevos conocimientos matemáticos organizándolos de acuerdo al método
sistémico
estructurando
organizando
y redactándolos con el
formalismo
matemático.
Tema nuevo
Soporte compacto
Funciones de prueba
 Propiedades
 Operaciones
Conocimiento previo

Intervalos acotados

Derivada de funciones en
una variable
Soporte Compacto


Sucesión de funciones

convergencia uniforme
Funcional
Función Generalizada




Sucesiones
Convergencia de series
numéricas
Transformaciones lineales
Espacios vectoriales
Funciones de prueba
Funcionales lineales
Página 38
Clase en la cual
se puede introducir
MM-110
Matemática I
MM-201
Cálculo I
MM-202
Cálculo II
MM-211
Vectores y Matrices
MM 411
Ecuaciones Diferenciales
Teniendo
ya
una
definición
matemáticamente
formal
de
las
funciones
generalizadas y de la delta de Dirac en particular se procede a demostrar las
propiedades de la Delta empleadas en sus muchas aplicaciones.
En el capitulo IV se desarrollan algunas de las aplicaciones más comunes de la
delta de Dirac.
A partir del proceso de Investigación realizado para la elaboración de la presente
propuesta se espera dar respuesta a las preguntas planteadas en este trabajo y
alcanzar los objetivos propuestos.
Página 39
Capítulo I
HISTORIA DE LA DELTA DE DIRAC
Detrás
de
cualquier
invento,
descubrimiento
o
nueva
teoría,
existe,
indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy
interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en
particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva
idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un
descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto
merece el reconocimiento. La Teoría de Distribuciones cristaliza conceptos y
métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar un espacio alrededor de
dos siglos. Una larga lista de personas trabajaron en diferentes tipos de problemas
y plantearon soluciones poco creíbles o mal argumentados para muchos. Hubo
que esperar hasta a mediados del siglo XX para tener la madurez social, científica
y matemática que permitiría construir el la Teoría de las Distribuciones que
conocemos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque
toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las
diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las
ciencias naturales y la tecnología moderna.
Página 40
Así como en los orígenes del cálculo en sus comienzos fue desarrollado para
estudiar entre otros cuatro problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de
un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier
tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en
cualquier instante.
Muchas de las teorías conocidas en nuestros días han surgido por la necesidad de
de resolver problemas del ámbito científico, son famosos los 23 problemas
matemáticos para ser resueltos en el siglo XX planteados por David Hilbert en su
conferencia pronunciada el 8 de agosto de 1900 durante el Congreso Internacional
de Matemáticos celebrado en París, tenemos también lo llamados los siete
problemas del milenio.
El matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) famoso por su serie de Taylor
que aproxima funciones a polinomios propuso en 1715 en su “Methodus
incrementorum directa et inversa” una serie de 25 problemas entre los que
figuraban los dos siguientes:
17. Determinar el movimiento de una cuerda tensa.
18. Dada la longitud y el peso de la cuerda, así como la fuerza que la tensa,
encontrar el tiempo de vibración.
El estudio matemático iniciado por Taylor de la cuerda vibrante dio lugar a una
de las controversias más encendidas y más fructíferas en la historia de las
matemáticas. Se puede afirmar que el desarrollo del análisis matemático del siglo
XIX tiene como hilo conductor el deseo de proporcionar respuestas satisfactorias a
las muchas preguntas originadas en el estudio de la cuerda vibrante.
Página 41
Jean D’Alambert (1717-1783), matemático francés en 1747 encontró que
pequeñas deflexiones de una cuerda vibrante unidimensional esta gobernada por
lo que llamo la ecuación de la onda:
2
 2z
2 zF

c
t 2
x 2 
donde
c2 
T
, T tensión de la cuerda  kg  m  seg 2  ,  densidad lineal

 kg  m 1 


F fuerza por unidad de longitud  kg  seg 2 
D’Alembert fue el primero en resolver dicha ecuación para F  0 y c constante
en su trabajo “Recherches sur la courbe que forme una corde tendue en vibration”
, introduciendo nuevas coordenadas:
u  x  ct
v  x  ct
Si z tiene derivadas parciales continuas y al aplicar la regla de la cadena entonces:
z z u z v


t u t v t
 z z 
 c


 u v 
de forma similar
z z u z v


x u x v x

z z

u v
de donde de obtiene
2
 2z
 2z
 2z 
2  z

c

2



2
uv v 2 
t 2
 u
 2z  2z
 2z
 2z


2

uv v 2
x 2 u 2
sustituyendo en la ecuación de la onda
Página 42
  2z
 2 z  2 z  2   2z
 2z  2z 
c2  2  2
 2 c  2 2

0
uv v 
uv v 2 
 u
 u
de donde
 2z
0
uv
la ecuación anterior se puede resolver directamente integrando primeramente con
respecto a u para obtener
z
  (v )
v
donde  es una función arbitraria de v, integrando de nuevo con respecto a v
z    (v )dv  f (u )
haciendo
g(v)    (v)dv
z  f (u )  g (v )
donde f y g son funciones arbitrarias. Al sustituir las variables originales x y t
z  f ( x  tc )  g ( x  ct )
gráficamente
z  f ( x  tc )  g ( x  tc )
De acuerdo a la ecuación diferencial la solución planteada por D’Alembert
requiere que las funciones f y g sean funciones continuas y doblemente
diferenciables. Por otra parte no quedaba bien claro cómo se determinaban las
funciones f y g ante un problema que claramente debía tener una respuesta bien
determinada.
Página 43
Leonhard Euler (1707 – 1783) matemático suizo, en 1748 con su trabajo “Sur
la vibrations des corde”, trató de aclarar estas cuestiones. Presentó otra
demostración y determinó f y g supuestas conocidas las condiciones iniciales,
posición y velocidad, de la cuerda. Para Euler esta posición y velocidad venían
dadas por curvas mecánicas arbitrarias, por ejemplo, la curva inicial podía ser, al
pisarla en su punto medio, una línea quebrada. De acuerdo a Euler f y g podían
ser
funciones
continuas pero
no
necesariamente
funciones
doblemente
diferenciables.
El argumento de Euler se basó en el hecho que la cuerda en su punto inicial
puede tener la forma que se ilustra a continuación, la función no es diferenciable
en el punto x  a
z  f ( x  tc )  g ( x  tc )
x a
A raíz de lo anterior se origino un nuevo problema:
¿Cómo se pueden derivar las funciones discontinuas?
En el siglo XIX el énfasis era principalmente darle rigor al análisis y la pregunta
de diferenciar una función no diferenciable se consideró sin sentido.
Encontramos en textos del cálculo que “las funciones discontinuas no son
diferenciables en su punto de discontinuidad”. (Louis Leithold, El cálculo con
geometría analítica Pág. 118 4ta. Edición)
Página 44
En este siglo (XIX) otro componente extraño hizo su aparición, lo que se conoce
actualmente como “la delta de Dirac”.
La historia de la función delta de Dirac se remonta a los inicios de los años de
1820, Joseph Bautiste Fourier (1700 -1800) matemático y físico francés en su
trabajo en la teoría de conducción del calor “Theorie analitique de la Chaluer”
1822, en
conexión con la serie de Fourier para funciones periódicas y de
expansión en serie sus trabajos determino que
 (x) 

1  1 
   cos nx 
  2 n 1

 (x) 
  x  
1
sen nx
lim
 n  x
x R
De una manera intuitiva la función delta es introducida en la teoría física en
1828 por el físico inglés George Green (1793 – 1841), quien propuso que la
solución de la ecuación de Poisson del 2 ( x )   ( x ) para describir el potencial
electrostático  ( x ) generado por una distribución de carga  ( x ) , se puede
obtener por la superposición de los potenciales generados por un grupo de cargas
puntuales, es decir
que se puede reducir el problema general al problema
especial:
2 ( x; a )   ( x  a)
donde la función delta representa la unidad de carga puntual ubicada en el punto
x  a naciendo así el teorema de Green para las funciones.

Se utiliza aquí la representación actual de la delta de Dirac
Página 45
Gustav Robert Kirchhoff (1824 -1887) físico alemán, el fundador de la teoría del
circuito eléctrico, introdujo una función en sus conferencias en óptica en los años
1880, para representar el espectro de frecuencias de la radiación del cuerpo negro
(un término que introdujo en 1862), sobre el principio de Huygens para la ecuación
de ondas esto en el desarrollo de teoría del quantum, introdujo una función auxiliar
F tal que
 F ( x )dx  1
I
Llamó a dicha función zeta y propuso como ejemplo
F ( x )  lim
a 
1
F(x) 

a  a2 x 2
e


 cos( xt )dt
0
notemos que la función que cumpliese dicha condición no era única.
En trabajos sobre teoría eléctrica a finales del siglo XIX era frecuente problemas
como el siguiente
R
V  A cos( t )
C
i (t )
L
la ecuación que moldea la corriente i (t ) en el circuito al cerrarse el interruptor en
el tiempo t  0 es:
Ri (t ) 
1
di (t )
i (t )dx  L
 A cos(t )

C
dx
una ecuación integro-diferencial, para poder resolverla por los métodos de la
época se hacía necesario derivarla, pero ocurría un problema, al considerar el
voltaje de entrada
Página 46
0

V (t )  
 A cos( t )
t 0
t 0
Como V(t) no es una función es continua, de nuevo surgía el problema de la
derivación de funciones discontinuas.
Para resolver problemas como el anterior Oliver Heaviside desarrolló, a finales
del siglo XIX, un cálculo operacional de difícil justificación matemática, basado en
razonamientos experimentales y que alcanzó una gran difusión en el primer tercio
del siglo XX. Heaviside definió lo que llamó función escalón unitario a
 0

H (t )  1/ 2
 1

t 0
t 0
t 0
función que modelaba el funcionamiento de fenómenos físicos que comienzan en
un tiempo t  0 , así mismo en este calculo, la función delta  (t ) aparece como
función impulso unidad, derivada de la función H (t ) .
Lo que propugnaba Heaviside es la validez del teorema fundamental del cálculo
x
f (x) 
 f '( x )dx , en el caso de H ( x ) , es decir,

x
 H '( x )dx  H ( x )

en el caso que x  0
x
 H '( x )dx  1

de donde

 H '( x )dx  1

Página 47
Para lo anterior Oliver Heaviside (en 1893) aproximo la función:
 0

H ( x )  1/ 2
 1

0x
x 0
x 0
mediante diferente funciones diferenciales, una de ellas
1


0

1
1

H(x )   x 
2
 2

1
x  
  x  
x
Derivando dicha función obtuvo
0
1

H '( x )  
 2
 0
x  
  x  
x 
en el límite cuando   0 
0
H '( x )  

x 0
x 0
expresión que definió como función impulso unitario
x 0
Página 48
Como explica Heaviside:
... Como H ( x ) es 0 antes de x  0 y constante después, H '( x ) es cero,
excepto en x  0 , donde es infinita. Pero su suma total es H ( x ) . Esto es,
H '( x ) es una función de x enteramente concentrada en x  0 , de suma
total 1 ...
Otra aproximación a la función de Heaviside que conduce al mismo resultado es
H(x ) 
1 1
 tan1( x )
2 
con   0
En el cálculo de Heaviside la H '( x ) aparecía como un término intermedio en las
operaciones, y desaparecía en los resultados finales.
Estas fórmulas que carecen de sentido desde el punto de vista del análisis
clásico, idealizan la siguiente función para n  

n
yn (x)  
0
1
n
otro lugar
0x
A inicios del siglo XX el Cálculo Operacional de Heaviside fue muy popular en el
ámbito físico e ingeniería, y la delta de Dirac muy empleada en especial con la
transformada de Laplace, así en 1928 Balthasar van der Pol matemático e
ingeniero eléctrico holandés publicó “Symbolic Calculus" tratando de justificar el
calculo operacional de Heaviside, y entre otras cosa la de delta de Dirac. Durante
mucho tiempo a operaciones que involucraban la delta de Dirac y el cálculo de
Heaviside se le conoció como simbólico.
Fue Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) físico ingles quien en su trabajo de
1930 "The Principles of Quantum Mechanics", adoptando la definición de
Heaviside le dio el nombre de delta  por analogía con la delta de Kronecker
Página 49

0
  ij  
1

i  j

i  j

 ai  ij  a j
i 1
La delta de Kronecker extrae un simple elemento de una suma infinita, la delta
de Dirac toma el valor de una función en un punto de una integral. La delta de
Kronecker es cero en casi todo valor excepto para un valor donde la delta de
Kronecker es 1. La función delta de Dirac es cero en casi todo punto excepto en
un punto donde su valor es infinito.
Dirac descubrió algunas propiedades de este extraño componente.

  ( x )dx  1
 (x)  0
(1)
x0


 f ( x ) ( x )dx  f (0)
(2)

 ( x )   ( x )
(3)
x ( x )  0
(4)
 (ax ) 
 (x) 
dH
dx
 (x)
a
(5)
a0
0
donde H ( x )  
1
0x
x 0
(6)
Dirac sabía que su función no cumplía con las propiedades básicas de las
funciones, y que ninguna función ordinaria puede tener la propiedad de muestreo
integral (2).
No obstante, pensó en  ( x ) como un objeto matemático útil en manipulaciones
algebraicas que se puede ver como el límite de una sucesión de funciones
ordinarias en acuerdo a la forma como o había visualizado Heaviside. La delta de
Dirac es un caso particular en la teoría de distribuciones.
Página 50
La delta de Dirac brindaba excelentes resultados para los físicos, la venían
utilizando en determinados ámbitos - mecánica cuántica especialmente -, estas
ciertas "funciones" que funcionaban muy bien y daban buenos resultados, les eran
muy útiles también en teoría de la probabilidad y otras ramas de la matemática y
de la física, pero esas "funciones" tenían un pequeño problema: no existían, pues
su definición y "comportamiento" era incompatible con las propiedades de las
funciones, por lo que era motivo de burla para los matemáticos ya que no existía
un soporte teórico que lo sustentara.
Sergei Levovich Sobolev (1908–1989) matemático Soviético en 1936 publico
su trabajo “Mèthode nouvelle è rèsoudre le problème de Cauchy pour les èquation
hyperboliques normales”, trabajo en el cual propone un nuevo método para la
resolución del problema de Cauchy para ecuaciones hiperbólicas normales
(ecuaciones en derivadas parciales con valor inicial, entre las cuales esta la
ecuación de la onda). En dicha publicación Sobolev define lo que se conoce
actualmente como los espacios de Sobolev e introduce entre otros los términos
funciones de prueba, funcionales lineales, funciones generalizadas, derivada
generalizada, solución débil que resultan ser fundamentales en el análisis
funcional y de manera especial en la teoría de las distribuciones.
Después de varios intentos de diversos matemáticos Laurent Schwartz en 1948
estableció en forma rigurosa las propiedades en su teoría de distribuciones.
Laurent Schwartz introduce una ruptura conceptual:
La "función" Delta sería un nuevo tipo de objeto, una distribución, es decir, un
funcional que asigna a cada función (de determinado tipo) un número real o
complejo, con ciertas condiciones de continuidad. Asimismo la teoría de
distribuciones resolvía el problema de como derivar funciones discontinuas.
Página 51
En el estudio de las ecuaciones diferenciales al momento de tratar la
transformada de Laplace surge una función “La delta de Dirac”, que no cumple con
las propiedades propias de las funciones y en los libros de texto se aclara “en
realidad la delta de Dirac no es una función ordinaria sino una función
generalizada o distribución” sin explicar lo que es una función generalizada. “
Dennis Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones pag. 305”.
Página 52
Capítulo II
LA DELTA DE DIRAC
Consideremos una fuerza f ( x ) que actúa solo durante un intervalo de tiempo
muy pequeño 0  x  a con f ( x )  0 para todo valor de x fuera del intervalo
f (x)
a
0
Un ejemplo típico sería la fuerza impulsiva de un bate que golpea una pelota (el
impacto es casi instantáneo, en tal situación, a menudo ocurre que el principal
efecto de la fuerza depende sólo del valor de la integral
a1
I   f ( x )dx
0
y no es influenciado por la forma precisa en que varía f ( x ) , el resultado I de la
ecuación anterior se define en física como el impulso de la fuerza f ( x ) sobre el
intervalo 0  x  a .
Página 53
En el caso de una fuerza f ( x ) que actúa sobre una partícula que se mueve
linealmente,
de la segunda ley de Newton (Fuerza=masa*aceleración), y
recordando que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad v respecto al
dv 

tiempo x  f ( x )  m
tenemos
dx 

a
a
I   f ( x )dx   m
0
0
dv
dx  mv (a )
dx
Vemos que el impulso de la fuerza es igual a la variación del momentum de la
partícula. Por eso, si el cambio en el momentum es el único efecto que no
interesa, sólo necesitamos conocer el impulso de la fuerza; no necesitamos
conocer ni la función precisa f ( x ) ni el lapso exacto durante el cual actúa la
fuerza.
Esto resulta muy afortunado, dado que en una situación como la
correspondiente en poco probable que obtengamos información detallada sobre la
fuerza impulsiva que actúa sobre ella.
La estrategia para manejar tal situación consiste en formular un modelo
matemático razonable donde la fuerza desconocida f ( x ) se sustituya por una
fuerza simple y explícita que produzca el mismo impulso. Supóngase, que f ( x )
produce un impulso unitario ( I  1 ) al actuar durante un pequeño intervalo de
tiempo comenzando en x  0 , podemos seleccionar un número fijo   0 que se
aproxime a la duración de ese lapso y reemplazar a f ( x ) mediante la función
específica
1

f ( x)   
 0
0 x 
en otro caso
En esta función podemos advertir que el impulso de dicha fuerza sobre el intervalo
0  x   es

1
I   dx  1

0
Página 54
Vemos que la fuerza tiene impulso unitario, cualquiera que sea el valor numérico
de   0 . Del cálculo en esencia la función satisface

 f ( x )dx  1

Y dado que el lapso preciso durante el cual actúa la fuerza f ( x ) no parece ser
importante, resulta tentador pensar en un impulso instantáneo que ocurre
precisamente en el instante x  0 , podríamos intentar la formulación de un modelo
de tal impulso unitario tomando el límite cuando    con lo cual definiríamos

 ( x )  lim f ( x )  
 
0
x 0
x0
Y en el límite tendríamos

  ( x )dx  1

Gráficamente
1

Área
1

x
Es claro que ninguna función puede satisfacer simultáneamente las ecuaciones
anteriores. A pesar de ello el símbolo  ( x ) es muy útil, dicha “función” se le
denomina función impulso unitario o delta de Dirac.
Una forma diferente de ilustrar la delta de Dirac es la siguiente
Página 55
Consideremos la función
0  x 1
1

f1( x )  
0 otro valor de x

notemos que dicha función satisface
0

1

 f1( x )dx   (0)dx   (1)dx   (0)dx  1

0

1
1
x
1
Consideremos la función
2 0  x  1/ 2

f2 ( x )  
0 otro valor de x

Al igual que la función anterior notemos que dicha función satisface

0
1/ 2

 f2 ( x )dx   (0)dx   (2)dx   (0)dx  1


0
1/ 2
2
1/2
Página 56
x
0  x  1/ 3
3

Consideremos la función f3 ( x )  
0 otro valor de x

3
x
1/3
notemos que dicha función satisface
0


f3 ( x )dx 

1/ 3
(0)dx 



(3)dx 
0

 (0)dx  1
1/ 3
Consideremos la función
0  x  1/ n
n

fn ( x )  
0 otro valor de x

notemos que dicha función satisface
0



f1( x )dx 


1/ n
(0)dx 


(n )dx 
0
 (0)dx  1
1/ n
En el caso particular cuando n   (n tiende a infinito positivo) tendríamos que
 x  0

lim fn ( x )  
n 
 0 x0

La función satisface

0
0

 fn ( x )dx   (0)dx   ( )dx   (0)dx  1


0
Página 57
0
n
x
1/n
Lo anterior parece ser una aberración matemáticamente hablando ya que de
0
acuerdo al cálculo integral
 ()dx
carece de sentido bajo cualquier punto de
0
vista.
La expresión lim fn ( x ) es la llamada delta de Dirac ya que satisface
n 
 x  0

 (x)  
 0 x0


  ( x )dx  1

la delta presenta aparentes inconsistencias desde el punto matemático
formalmente hablando.
Aplicaciones Introductorias
Notemos que la delta toma valores sumamente grandes ( ) en un intervalo
sumamente pequeño (un punto).
Página 58
En el campo de la física e ingeniería esta propiedad permite modelar diferentes
fenómenos de forma satisfactoria entre los que se tienen:
La presión en un punto; la presión sobre una región se define como la fuerza F
F

sobre el área A  P   , en el caso especial que la región se hace cada vez
A

menor esta se reduce a un punto y su área de la región se acerca a cero, la
presión es P 
F
  sí:
0
 en el punto en que es aplicada la fuerza

P
0
otro punto

Considerando la fuerza aplicada en un punto de una viga tendríamos
F
x  x0
 x  x0

P   ( x  x0 )  
0 xx
0

La delta de Dirac nos modela la presión originada al aplicar una fuerza sobre un
punto
Cuando una fuerza F (t )  0 es aplicada durante un intervalo de tiempo “ t ” el
t
impulso I es I   F (t )dt , (desde un punto de vista matemático el área bajo la
0
fuerza F (t )  0 con respecto al tiempo t .
Página 59
Si el intervalo sobre el cual es aplicada dicha fuerza es muy pequeño tendríamos
0
que I   F (t )dt  0 lo que ser parece contradictorio. La fuerza F (t )  0 toma
0
valores sumamente grandes en comparación al intervalo sobre el cual es aplicado
y normalizando el impulso  I  1 ,parece razonable considerar el
t

I   F (t )dt 
0
  (t )dt  1

F (t )
t
Ejemplos típicos son el golpe de un martillo, una pelota de golf inicialmente en
reposo es enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia por un
palo de golf, en cada caso la fuerza aplicada es sumamente alta en comparación
en tiempo de contacto  t  0  por lo que la delta de Dirac nos puede modelar en
forma satisfactoria el impulso.
Generalmente el voltaje de una línea de alta tensión se asume constante, si esta
recibe la descarga de un rayo en el instante de dicha descarga (típicamente
milisegundos) el voltaje de la línea se incrementa notablemente
Página 60
V (t )
V
t  t0
Ya que la descarga ocurre en un lapso corto de tiempo y el voltaje de la descarga
del rayo es sumamente alto la ecuación que puede modelar dicha descarga es
 en el momento de la descarga

V (t )  
V
otro punto

Es decir
 t  t0

V (t )  
V t t
0

Si hacemos uso de la delta de Dirac V (t )  V   (t  t0 )
Los anteriores solo son algunos casos en los cuales la delta de Dirac nos modela
algún fenómeno físico.
En la solución de ecuaciones diferenciales parciales, en el uso de técnicas de
análisis de Fourier de tiempo continuo ampliamente útiles para analizar y conocer
las propiedades de la señales y sistemas de tiempo continuo, en la teoría de
filtrado y modulación base fundamentales de la teoría de comunicaciones se hace
necesario un manejo adecuado de la delta de Dirac en particular y las funciones
generalizadas en general.
Página 61
La delta de Dirac  ( x  a ) aparece y se define en cursos de física e ingeniería
como "un impulso concentrado en x  a ", la definición informal que aparece en
algunos textos es la siguiente:
0
 ( x  a)  

x0
x 0

  ( x  a)dx  1

Bajo la definición anterior tendríamos que
0
5 ( x  a )  

x0
x 0
De donde aparentemente
5 ( x  a )   ( x  a )
lo cual no es cierto desde el punto de vista físico ya que no es igual un impulso de
cinco unidades a un impulso de una unidad.
La definición anterior es inconsistente con la teoría de integración, ya que si una
función se anula en todo R a excepción de un punto, su integral vale cero. Por lo
que si  ( x  a ) fuera una función en el sentido usual, de las propiedades del

cálculo la propiedad  ( x  a )  
0
x a
xa

implicaría que
  ( x  a)dx  0
en


vez de
  ( x  a)dx  1.

Vemos de lo anterior que la delta de Dirac no se comporta como una función
ordinaria de una variable real x .
En la resolución de problemas concretos de física e ingeniería, la delta de Dirac
aparece en expresiones como
Página 62

 f ( x ) ( x  a)dx  f (a )

llamándola propiedad de muestreo integral o de cribado.
¿Porqué la inconsistencia de la delta de Dirac con las funciones ordinarias?. El
punto a adoptar en la integral anterior es de una notación para expresar el hecho
de que la delta de Dirac opera o actúa sobre f ( x ) . A través del símbolo de
integración la función generalizada delta de Dirac  ( x  a ) asocia a cada función
f ( x ) , continua en algún intervalo que contiene al punto a, el valor numérico de
f (a ) , por lo que debemos tener presente que  ( x  a ) no se puede evaluar en
puntos x  R sino en funciones f ( x ) .
La delta de Dirac como límite
Se puede reconocer que una función ordinaria no puede tener la propiedad de
muestreo integral, sin embargo podemos pensar en la delta como una herramienta
matemática útil con manipulaciones algebraicas que se podía ser vista como una
el límite de una sucesión de funciones ordinarias.
Teorema.
Sea el punto a  I , con I un intervalo abierto sobre la recta real y   C(I ) el
espacio de las funciones continuas sobre I, la sucesión de funciones positivas

fn ( x ) tales que
 fn ( x )dx  1 para todo n, converge si para cualquier   C(I ) se


tiene que
lim
n 
 fn ( x ) ( x )dx   (a)

Página 63
Demostración:
Como la función  es continua en a, sabemos que para todo   0 existe un
N  0 tal que si n  N y x  (a  1/ n, a  1/ n ) entonces  (a )     ( x )   (a )   .
Cuando n  N tenemos que:
 (a )     ( x )   (a )  
fn ( x )  (a )     fn ( x ) ( x )  fn ( x )  (a )   

 (a )   

fn ( x )dx 



fn ( x ) ( x )dx   (a )   


 fn ( x )dx


 (a )   
 fn ( x ) ( x )dx   (a)  


 
 fn ( x ) ( x )dx   (a)  


así
 fn ( x ) ( x )dx   (a)  


encontramos que
lim
n 
 fn ( x ) ( x )dx   (a)

Que es la propiedad de muestreo integral.
Como lo anterior se cumple para toda función   C(I ) , podemos decir que la
sucesión de funciones fn ( x ) es convergente. La función a la a cual converge
esta sucesión se dice que es la delta de Dirac, y se denota
lim fn ( x )   ( x  a )
n 
Una de las más comunes y que nos permite tener una idea de la delta de Dirac
es la siguiente sucesión de funciones
 0
fn ( x )  
n / 2
x  1/ n
x  1/ n
Página 64
Gráficamente
Las funciones de la sucesión son positivas, además
1/ n

n
dx  1 para todo n  N ,
2
1/ n
 fn ( x )dx  

de acuerdo al teorema anterior la sucesión es convergente a la delta de Dirac, es
decir
lim fn ( x )   ( x )
n 
Otra forma de ilustrar la delta de Dirac mediante límite de sucesión de funciones
es la siguiente.
Teorema
Sea la función f : R  R con f ( x ) acotada e integrable suave a trozos y

 f ( x )dx  1. Sea  ( x )
una función continua y acotada definida en R. Entonces:


lim
n 
 nf (nx ) ( x )dx   (0)

Página 65
Demostración:
Haciendo el cambio de variable u  nx , du  ndx obtenemos



nf (nx ) ( x )dx 

 f (u ) (u / n )du

como  es continua, tenemos que para u fijo:
lim f (u ) (u / n )  f (u ) (0)
n 
Por otro lado  es acotada, esto es,
x  R,  ( x )  k entonces f (u ) (u / n )  k f (u )
aplicando el teorema de convergencia tenemos que;

lim
n 


nf (nx ) ( x )dx  lim
n 

 f (u ) (u / n)du


f (u ) (u / n )du
 nlim




 f (u ) (0)du



  (0)  f (u )du

  (0)
Que es la propiedad de muestreo integral o cribado en el punto x  0 .
El teorema anterior nos proporciona la condición que deben cumplir aquellas
sucesiones de funciones que convergen a la delta de Dirac.
Ilustración:
Consideremos la función f ( x ) 
1
esta función cumple con
 (1  x 2 )




f ( x )dx 
dx
  (1 x 2 )  1

Página 66
el teorema anterior nos garantiza que la sucesión de funciones
fn ( x )  nf (nx ) 
n
 (1  n 2 x 2 )
converge a la delta de Dirac.
Si pensamos en estas funciones actuando sobre el espacio de funciones  ( x )
continuas, acotadas y definidas en R, la expresión
n
  (x)
n   (1  n 2 x 2 )
lim
en realidad dice que:

lim

n
 ( x )dx   (0)    ( x ) ( x )dx
n    (1  n 2 x 2 )


para el espacio de las funciones  : R  R
Gráficamente la sucesión es de la forma
Página 67
De todo lo anterior expuesto podemos extraer que existen sucesiones de
funciones muy distintas que aproximan, en el límite, a la misma función delta de
Dirac, los pulsos rectangulares y las funciones n /( (1  n 2 x 2 )) no se parecen
mucho, pero sin embargo, ambas sucesiones se aproximan a la delta cuando
n   .
Otros límites de funciones de dominio real que convergen a la delta de Dirac son;

2
 0  ( x   2 )
lim  x
lim
 1
 0
x2
n n x
e
n  2
lim

1
lim
e 4
 0 2 
Página 68
sin((n  1/ 2)x )
n  2 sin( x / 2)
sin(nx )
n 
x
lim
lim
n
n  2cosh2 ( nx )
lim
lim log( coth(nx ) )
n 
Página 69
Capítulo III
SOPORTE COMPACTO
Sea  : R  R e I el conjunto de puntos en R para los cuales  es distinta de
cero. A la clausura de I, esto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a I,
lo llamaremos el soporte de  , y escribimos sop( )  I , Si I está contenido en un
intervalo de longitud finita se dice que I es acotado y en este caso que el soporte
de  es compacto (por ser acotado y cerrado).
El soporte compacto de una función es un intervalo cerrado  a, b  , tal que fuera
de el la función se desvanece es decir  ( x )  0 para x  a y x  b . Toda función
con soporte compacto satisface  (  )   ( )  0
El espacio de las funciones continuas con soporte compacto lo representaremos
por C0 .
Un ejemplo clásico y muy ilustrativo es el siguiente:
Página 70


0

( x )  

exp   1 
 1 x 2 

x 1
x 1
cuya gráfica se muestra a continuación
la función se anula para x  1, por lo que el soporte compacto de esta función es
el intervalo acotado 1  x  1 .
Las siguientes funciones no tienen soporte compacto  ( x )  e  x
2
 ( x )  e x
pesar que cumplen  (  )   ( )  0
FUNCIONES DE PRUEBA
Diremos que una función real  ( x ) : R  R es una función de prueba si:

Es continua e infinitamente derivable

Tiene soporte compacto
Página 71
a
La función considerada previamente es derivable para x  1 puesto que es
idénticamente nula
Para x  1 al ser la función exponencial la función es infinitamente derivable.
1 

Para x  1 la derivada existe gracias al decaimiento exponencial de exp  

 1 x2 
que converge más rápido a cero que cualquier polinomio.
Operaciones de las funciones de prueba
1. Suma
Si  ( x ) y  ( x ) son funciones de prueba entonces  ( x )   ( x ) es una función de
prueba.
Demostración:
Si  ( x ) y  ( x ) son funciones de prueba, ambas funciones son infinitamente
diferenciables, de acuerdo a las propiedades del cálculo diferencial, la derivada de
la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas si estas existen, la suma
 ( x )   ( x ) será infinitamente diferenciable.
Así mismo al ser  ( x ) y  ( x ) funciones de prueba, ambas funciones tienen
soporte compacto, es decir se desvanecen fuera de algún intervalo cerrado.
Sea la función  ( x ) con soporte compacto A (se desvanece fuera de A)
( x )  0
( x )  0
( x )  0
AC
A
AC
Así mismo consideremos a  ( x ) con soporte compacto B.
 (x)  0
 (x)  0
 (x)  0
BC
B
BC
Página 72
Consideremos los diferentes casos que se nos pueden presentar

Sea el punto
( x )  0
x
y
 ( x )  0 , en este caso tenemos
 ( x )   ( x )   ( x ) , función que se desvanece fuera de A,
así
sop(   )  A .

Sea el punto x tal que
( x )  0
y  ( x )  0 , en este caso tenemos
 ( x )   ( x )   ( x ) que se desvanece fuera de B, así sop(   )  B .

Finalmente consideremos el caso en que para el punto x
 (x)  0
es decir x  AC

y
( x )  0
x  BC , es claro que  ( x )   ( x )  0
y
para
C

x  AC  BC   A  B  , por lo que la suma de las funciones se
desvanece
fuera
de
la
unión
de
sus
soportes
compactos,
sop(   )  ( A  B ) .
Vemos que independientemente del caso que se nos presente la suma siempre
tiene soporte compacto, tomando en cuenta la teoría de conjuntos que nos dice
que A  ( A  B ) y B  ( A  B ) escribimos
sop(   )  sop( )  sop( )
2. Multiplicación por una función infinitamente diferenciable
Sea
 ( x ) una función de prueba con sop( )  A , si h( x ) es infinitamente
diferenciable en A, entonces h( x ) ( x ) es una función de prueba.
Demostración:
El producto de funciones h( x ) ( x ) debe ser infinitamente diferenciable,
recurriendo de nuevo a las propiedades del cálculo diferencial, la formula de la
ene-sima derivada de un producto de funciones de Leibniz nos dice que:
Página 73
(n )
 h( x ) ( x )
n n
 
   h( n k ) ( x ) ( k ) ( x )
k 1  k 
n
n!
donde   
si estas derivadas existen
 k  (n  k )! k !
En nuestro caso estas derivadas existen ya que por hipótesis h( x ) es
infinitamente diferenciable en
A y  ( x ) al ser función de prueba es también
infinitamente diferenciable.
Verificaremos ahora que h( x ) ( x ) tiene soporte compacto
Consideremos el punto x  AC , aquí tenemos que
( x )  0
de donde h( x ) ( x )  0 ,
Vemos que el producto se desvanece en AC , podemos entonces escribir
sop(h )  A
o bien
sop(h )  sop( )
( x)  0
h( x ) ( x )  0
AC
( x )  0
A
( x)  0
h( x ) ( x )  0
AC
Consideremos el caso especial en que h( x )   con   R , que es infinitamente


diferenciable h( n )  0 , el producto  ( x ) es una función de prueba.
Teorema
El conjunto de las funciones de prueba es un espacio vectorial, a dicho espacio le
llamaremos espacio K y escribimos K  C0
Página 74
Demostración
De las propiedades anteriores podemos ver que la suma de funciones de prueba
es una función de prueba, además el producto de una función de prueba por una
constante sigue siendo función de prueba, de allí que cualquier combinación lineal
de funciones de prueba sea una función de prueba entonces  ( x )   ( x ) es
una función de prueba.
Se cumplen en general

( x)   (x )   ( x )   (x )
  ( x ), ( x )  K

 ( x )   ( x )   ( x )   ( x )   ( x )   ( x )

 0 K

  (x )  K

1  ( x )   ( x )

      ( x )        ( x )

   ( x )   ( x )    ( x )     ( x )

      ( x )     ( x )     ( x )
0  ( x )   (x )  0
  ( x ), ( x ), ( x )  K
 (x) K
  ( x )   ( x )   ( x )    ( x )  0
 (x) K
 (x) K
,   R
 R
 (x) K
  ( x ), ( x )  K
,   R   ( x )  K
Derivación
Sea  ( x )  K una función de prueba, su derivada  '  x  también es función de
prueba.
Demostración:
Al ser  ( x ) función de prueba,  ( x )
es infinitamente diferenciable y con
soporte compacto, es decir se desvanece fuera de algún intervalo cerrado.
Sea la función
 ( x )   '( x )
la derivada de orden n de  ( x ) será igual a la derivada de orden (n-1) de  ( x ) ,
es decir
 ( n 1) ( x )   ( n ) ( x )
por lo que al ser  ( x ) infinitamente diferenciable la también lo será  ( x ) .
Página 75
Para verificar que  ( x ) tiene soporte compacto, recordemos que la derivada en
un punto a esta dada por
 ( x )   (a )
x a
x a
 ( x )   '( x )  lim
Al ser  ( x ) función de prueba tiene soporte compacto, sea sop( )  A es decir
 ( x )  0 para todo x  AC , consideremos el punto a  AC , entonces,  (a)  0 , así
00
0
x a x  a
 ( x )   '( x )  lim
por lo que  ( x ) se desvanece fuera de A, entonces
sop( )  A
intuitivamente
( x)  0
 '( x )  0
AC
( x )  0
( x)  0
 '( x )  0
A
AC
Integración
Sea  '( x )   ( x )
con  ( x )  K , demuestre que  ( x ) es función de prueba si

  ( x )dx  0

Demostración
Si  '( x )   ( x ) , del calculo integral tendríamos que
x
( x ) 
  (t )dt


 (  ) 

  (t )dt    '(t )dt  0


Página 76
x
Notemos que la función  ( x ) 
  (t )dt
es infinitamente derivable ya que

 '( x )   ( x )
 ''( x )   '( x )

 ( n 1) ( x )   ( n ) ( x )
Verifiquemos ahora que  ( x ) tiene soporte compacto
Sabemos que  ( x ) es de soporte compacto si existe un intervalo cerrado  a, b 
tal que  ( x )  0 para todo x , recordemos además que  ( x ) debe satisfacer

  (t )dt  0

 (x)  0
 (x)  0
a
 (x)  0
b
x

Es claro que si
( x) 
x a
  (t )dt  0

a


x
b
  (t )dt    (t )dt   (t )dt   (t )dt    (t )dt 0 de
Si a  x  b

a

x
donde
x
b
 (t )dt   (t )dt 0
a
x
b
 (t )dt 0
notemos que si x  b
a

Si

xb

a
b

  (t )dt    (t )dt   (t )dt    (t )dt  0


a
Página 77
b
b
resumiendo
 (x)  0
 (x)  0
 (x)  0
x
x
x
  (t )dt  0
  (t )dt  0
  (t )dt  0



a
b
x
( x ) 
  (t )dt
tiene soporte compacto

x
Por lo que la función  ( x ) 

  (t )dt es función de prueba si

  (t )dt  0

Mencionáremos algunos métodos por medio del cual podemos obtener funciones
de prueba, si conocemos una de ellas.
Cambio de escala:
x
Si  ( x ) es una función de prueba y a  R entonces    es función de prueba.
a
Demostración:
De las propiedades del cálculo diferencial aplicando la regla de la cadena
haciendo u 
x
x
, tenemos      (u )
a
a
de donde
x
d ( n )  
n
(n)
 a   d  (u ) .  du 


dx n
du n  dx 

1 d ( n ) (u )
an du n
x
de donde    es infinitamente diferenciable
a
Página 78
Para verificar que tiene soporte compacto, consideremos que la función  ( x ) tiene
soporte compacto el intervalo A  c, d  , la función se desvanece fuera de un
intervalo cerrado:
 ( x )  0 para
xc
ó
x d
gráficamente para a  0
( x )  0
AC
( x )  0
A
c
( x )  0
AC
d
de donde
x
    0 para
a
x
  0
a
BC
x
c
a
x
  0
a
ac
B
x
d
a
ó
x
  0
a
ad
BC
x
existe un intervalo B fuera del cual    se desvanece, por lo que es de soporte
a
compacto.
x
Para a  0 el soporte de    es el intervalo  ad , ac 
a
Traslación
Si  ( x ) es una función de prueba y a  R
  x  a  es función de prueba
Demostración:
Similar al caso anterior, del cálculo diferencial aplicando la regla de la cadena
haciendo u  x  a de donde
Página 79
d ( n )  x  a 
dx n
n
d ( n ) (u )  du 
d ( n ) (u )

.



du n  dx 
du n
de donde   x  a  es infinitamente diferenciable
Para verificar que tiene soporte compacto, consideremos que la función  ( x ) tiene
soporte compacto el intervalo A  c, d  , la función se desvanece fuera de un
intervalo cerrado:
 ( x )  0 para
  x  a   0 para
xc
x a  c
ó
x d
ó
x a  d
gráficamente
( x )  0
( x )  0
( x )  0
AC
A
AC
c
d
 x  a  0  x  a  0
 x  a  0
DC
c+a
D
DC
d+a
existe un intervalo D fuera del cual   x  a  se desvanece, por lo que es de
soporte compacto.
El soporte de la función   x  a  es el intervalo  c  a, d  a 
Ejemplos de funciones de prueba
( x)  e
( x )  e
( x)  e

a2
a x 2

1
( x a )2
2
para x  a, a  0,  ( x )  0 para x  a

e
1
1
x b e a  x
1
( x  b )2
para a  x  b,  ( x )  0 para x  (a, b )
para a  x  b,  ( x )  0 para x  ( a, b)
Página 80
Convergencia en K
Sea  n ( x ) una sucesión de funciones de prueba en K, y  ( x )  K , diremos que
tal sucesión converge en K si:

Existe un intervalo finito A  a, b  fuera del cual se anulan idénticamente
todas las funciones
 n ( x ) ,
existe un conjunto compacto A tal que
sop  n ( x )  A para todo n.

Para todo k entero, la sucesión de derivadas de orden k,
converge uniformemente en K a la derivada de  ( k ) ( x ) del límite
lo que nos dice la definición anterior es
1( x )  0
1( x )  0
1( x )  0
2 ( x )  0

n ( x )  0
2 ( x )  0

n ( x )  0
2 ( x )  0

n ( x )  0
( x )  0
¿ ( x )  0 ?
( x )  0
a
b
Si la sucesión  n ( x ) converge a  ( x ) entonces
La sucesión
 'n ( x ) debe converger uniformemente a  '( x )
La sucesión  ''n ( x ) debe converger uniformemente a  ''( x )
La sucesión

 debe converger uniformemente a 
(q )
n ( x)
(q )
(x)
Ilustración 1:
Si consideramos la función
 n ( x ) 
e

a2
a2  x 2
n
para x  a, a  0
Página 81


(k )
n ( x)
Toda función de la sucesión es infinitamente diferenciable y tiene soporte  a, a 
Cuando n   tenemos que lim
e
a2
a x 2

2
n
n 
=0 , la sucesión converge a 0 en K
Ilustración 2:
Consideremos la sucesión  n ( x )  e

n2
n2  x2
para x  n
Cada función de la sucesión es infinitamente diferenciable y tiene soporte   n, n 
pero cuando n   el soporte no es finito, por tanto la sucesión no converge en K
Ilustración 3:
Demuestre que K es completo bajo la convergencia definida en el espacio, Ser
completo aquí significa lo siguiente:
Si 1, 2 ,..., n ,... es una sucesión de funciones de prueba comprendidas en


un mismo intervalo  a, b  y la sucesión de las derivadas  n( q ) ( x ) convergen
uniformemente
al
limite
para
 q (x)
cada
q  0,1,2,...
entonces
lim  n ( x )   0 ( x ) es una función de prueba,  q ( x )   0(q ) ( x ) y la sucesión
n 
 n ( x )
converge a  0 ( x ) en K.
Solución:


Por hipótesis tenemos las siguientes sucesiones de funciones de prueba  i( q ) ( x )
tal que sop  i( q ) ( x )  A , con A  a, b  conjunto compacto, con sus respectivas
convergencias de la forma:
en el caso en que q  0
1( x ), 2 ( x ),..., n ( x ),...   0 ( x )
 '1( x ), '2 ( x ),..., 'n ( x ),...   1( x )   '0
cuando q  1
 ''1( x ), ''2 ( x ),..., ''n ( x ),...   '1( x )   ''0
cuando q  2
 ( q )1( x ), (q )2 ( x ),..., (q )n ( x ),...   ( q )1( x )   ( q )0
Página 82
para q en general
Comprobemos ahora que  0 ( x )  lim v ( x ) es una función de prueba.
v 

Notemos que  0 ( x ) es infinitamente derivable

Tenemos que si la sucesión
sop  n ( x )  A
su
 ( x )
n
tiene soporte compacto
convergencia
 0(x)
satisface
sop  0 ( x )  sop  n ( x ) , de donde vemos que sop  0 ( x )  A
Por lo que podemos concluir que  0 ( x )  lim  n ( x ) es una función de prueba.
n 
FUNCIONAL
Sea el espacio vectorial X , a todo mapeo o transformación de X en R lo
llamaremos funcional, y escribimos F : X  R .
Ilustraciones:

Sea el espacio vectorial X  R3 , el producto interior entre dos vectores


u  (u x , uy ,uz ) v  (v x ,v y ,v z )

 
u.v  u,v  u xv x  u y v y  uzv z
El producto interior es un funcional ya que su dominio es un espacio vectorial,
en este caso R 3 , y los elemento del rango los números reales. F : R3  R

Sea X el espacio vectorial de las funciones reales diferenciables en R sea
F  g ( x )  g '(a ) para a  R
La expresión anterior es un funcional

Sea X  C  0,1 el espacio vectorial de las funciones reales continuas sobre el
1
intervalo  0,1 y sea F  g ( x )   g ( x )dx
en este caso
0
1
1
F  x    x n dx 
n 1
0
n
1
F  sen x    sen xdx  1  cos1
0
Página 83
Observemos que una funcional no puede ser definido para toda las
funciones, por ejemplo el funcional anterior puede ser aplicado únicamente
a funciones g ( x ) que sean integrables en el intervalo  0,1 .
Junto con el funcional se debe de especificar siempre el espacio de funciones
para que el funcional este bien definido, funciones de este espacio son conocidas
como “funciones base” para un funcional dado. Es conveniente escoger el espacio
de funciones base adecuadamente de forma tal que todas las funcionales con que
se trabaja estén bien definidas.
Funcional lineal
Sea el espacio vectorial X tal que u,v  X , y a, b  R , si el funcional de X en R
( F : X  R ) satisface
F (au  bv )  aF (u )  bF (v )
diremos entonces que F es lineal.
Ilustraciones:


Consideremos el espacio vectorial X  R3 , sea u un vector fijo en X
definamos el funcional F : X  R


 
F (v )  u.v (producto interno de u y v )
 
para v ,w  X y a, b  R tenemos que

  

F (av  bw )  u.(av  bw )

 
 au.v  bu.w


 aF (v )  bF (w )
por lo que el funcional es lineal.

Sea X  C (I ) el espacio vectorial de funciones f ( x ) continuas sobre un intervalo
I , sea c  I definamos el funcional F : X  R
F f ( x )  f (c )
El valor del funcional F sobre una función f ( x )  X es f (c )
Página 84
Sean las funciones h( x ), g ( x )  X , y a, b  R tenemos que
F  ah( x )  bg ( x )  ah(c )  bg (c )
 aF  h( x )  bF  g ( x )
por lo que el funcional es lineal.

Sea X  C (I ) el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo
0,1 , definamos el funcional F : X  R
1
F  f ( x )   f 2 ( x )dx
0
Sean las funciones h( x ), g ( x )  X , y a, b  R tenemos que
1
2
F  ah( x )  bg ( x )   ah( x )  bg ( x ) dx
0
1
a
2
h
1
2
( x )dx  2ab  h( x )g ( x )dx  b
0
0
1
2
g
2
( x )dx
0
 aF  h( x )  bF g ( x )
El funcional no es lineal.
Funcional continuo
Un funcional F : X  R
funciones
fn ( x )nN
se dice que es continuo si existe una sucesión de
en X tal que fn ( x )  f ( x ) en X cuando n   tenemos
F fn ( x )  F f ( x ) en R.
Muchas veces se usa el criterio de decir que F es continua en X, si para toda
fn ( x )nN
convergente a 0 en X y la correspondiente sucesión F fn ( x )
nN
números reales converge a 0.
Página 85
de
FUNCIÓN GENERALIZADA
Sea K el espacio de funciones de prueba  ( x ) con soporte compacto el
intervalo I   a, b  , a todo funcional lineal y continuo F : K  R
 F  ( x ) le
llamaremos función generalizada o distribución.
Distribución regular
Observemos que si f ( x ) es una función de dominio real localmente integrable en
un intervalo finito I genera una función generalizada, diremos en este caso que la
a dicha función generalizada o distribución regular al funcional F : K  R
b

F  ( x ) 
 f ( x ) ( x )dx   f ( x ) ( x )dx
a

Notemos que la integral por medio de la cual se define el funcional es la
definición usual del producto interior de las funciones f ( x ) y  ( x ) en el intervalo
I   a, b  , en vista a lo anterior es común hacer uso de la notación
F  ( x )  f ( x ), ( x ) para representar una distribución.
Teorema
Toda distribución regular es un funcional lineal y continuo.
Demostración:
Sean las funciones de prueba  ( x ), ( x )  K y lo números a, b  R

F  a ( x )  b ( x ) 
 f ( x ) a ( x )  b ( x ) dx



 a  f ( x ) ( x )  b  f ( x ) ( x )dx


 aF  ( x )  bF  ( x )
El funcional es lineal
Página 86
Verificando la continuidad, Sea la sucesión de funciones de prueba  n ( x )
convergente uniformemente a  ( x ) es decir
n ( x )   ( x )  
independientemente del valor de x, para que el funcional sea continuo en K, es
necesario que cuando n  
F n ( x )  F  ( x )
en R

F  n ( x )  F  ( x ) 

f ( x ) n ( x )  f ( x ) ( x ) dx



f ( x )  n ( x )   ( x ) dx





f ( x ) dx

0

ya que por hipótesis f ( x ) es localmente integrable, la integral

f ( x ) dx es finita así

el último término converge a cero por lo que el funcional es continuo.
Dos distribuciones regulares F  ( x ) y G  ( x ) diremos que son:

Iguales si los valores de los funcionales correspondientes coinciden para toda
función de prueba  ( x )  K
f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )

Distintas si los valores de los funcionales correspondientes son diferentes para
al menos una función de prueba  ( x )  K
f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )
Página 87
Teorema
Sean las funciones f ( x ) y g ( x ) localmente integrables y

 f ( x ) ( x )dx 
f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )



 g( x ) ( x )dx

para toda función de prueba  ( x )  K , entonces f ( x )  g ( x )
Demostración:
Sea h( x )  f ( x )  g ( x ) , calculando el funcional asociado a la función

h( x ), ( x ) 
 h( x ) ( x )dx


 f ( x )  g ( x ) ( x )dx


0
de donde h( x )  0 , si f ( x )  g ( x )
x
consideremos ahora si sop  ( x )  a, b 
y sea H ( x ) 
 h(t )dt

b
h( x ), ( x )   h( x ) ( x )dx
a
u  (x)
integrando por partes haciendo:
dv  h( x )dx
x
du   '( x )dx
tenemos que
v  H(x) 
 h(t )dt

b
así
h( x ), ( x )  H (b ) '(b )  H (a ) '(a)   H ( x ) '( x )dx
a
pero  '(b )   '(a )  0 y h( x ), ( x )  0 por tanto

 H ( x ) '( x )dx  0

además de donde H ( x )  0 y así h( x )  0
Página 88
Un tipo de funciones especiales son aquellas que cambian bruscamente su
valor, o el de su derivada, este tipo de funciones son muy importantes en el mundo
de la física, ingeniería y matemática recibiendo el nombre de funciones singulares,
las matemáticas para estas funciones son especiales, de ahí su nombre. Una
función singular no necesariamente es una función discontinua, puede ser
continua, con discontinuidad en su derivada, entre este tipo de funciones tenemos
1
f (x)  n
x
n N
f (x)  x
f ( x)  x 2/ 3
f ( x )  sen x
Las funciones singulares no son simples creaciones matemáticas, entes
abstractos que sólo existen en el papel, sino que algunas resultan de manera
natural en la realidad, en el devenir del mundo científico y su utilización es
necesaria para explicar múltiples fenómenos. A menudo nos encontramos en
nuestra vida cotidiana con casos y efectos físicos que pueden ser representados
muy adecuadamente por estas funciones.
Distribuciones Singulares
Distribuciones generadas por f ( x ) , con f ( x ) una función singular las llamaremos
distribuciones singulares, este tipo de función generalizada no la podemos

representar por como F  ( x ) 
 f ( x ) ( x )dx

Un ejemplo es

F  ( x ) 
1
 ( x )dx
n
 x

Página 89
Operaciones con funciones generalizadas
1. Suma
Sean las distribuciones F : K  R y G : K  R tales que
F  ( x )  f ( x ), ( x )
G  ( x )  g ( x ), ( x )
entonces su suma es una distribución  F  G   ( x )  F  ( x )  G  ( x )
Demostración:
De acuerdo con la propiedades del producto interior de funciones
 F  G   ( x ) 
f ( x )  g ( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )
 F  ( x )  G  ( x )
escribimos
f ( x )  g ( x ), ( x )  f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )
2. Producto por una función infinitamente diferenciable
Sea la distribución F  ( x ) para  ( x )  K y la función g ( x ) infinitamente
diferenciable entonces g ( x )F  ( x )  F g ( x ) ( x )
Demostración:
De Nuevo, haciendo uso de las propiedades del producto interno de funciones
Tenemos que F  ( x )  f ( x ), ( x )
Así
g ( x )F  ( x )  g ( x ) f ( x ), ( x )
 g ( x )f ( x ), ( x )
 f ( x ), g ( x ) ( x )
 F  g ( x ) ( x )
ya que g ( x ) ( x ) es función de prueba y escribimos
f ( x )g ( x ), ( x )  f ( x ), g ( x ) ( x )
Página 90
Recordemos que K es un espacio vectorial determinado por todas las funciones
infinitamente diferenciables con soporte compacto en un intervalo cerrado I   a, b 
(nos referimos al espacio de las funciones de prueba).
Definición
Al espacio K '  F : (F : K  R es un funcional lineal y continuo)  se dice que es el
espacio dual de K, y lo llamaremos el espacio de Distribuciones.
Teorema
K ' es Espacio vectorial
Demostración:
Haciendo uso de las propiedades del producto interno de funciones tenemos
1.
f ( x )  g ( x ), ( x )  f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )
2.
f ( x )  g ( x )  h( x ), ( x )
 f ( x )  g ( x ), ( x )  h( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )  g ( x ), ( x )  h( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )  g ( x )  h( x ), ( x )
 f ( x )   g ( x )  h( x ), ( x )
3.
0, ( x )  0  f ( x ), ( x )  0  f ( x ), ( x )  0
0 K '
0  f ( x ), ( x )  0, ( x )  f ( x ), ( x )
 0  f ( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )
4. f ( x ), ( x )   f ( x ), ( x )   f ( x ), ( x )  f ( x ), ( x )  K '
 f ( x )  f ( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )  f ( x ), ( x )
  f ( x ), ( x )  f ( x ), ( x )
0
Página 91
5.
1 f ( x ), ( x )  1 f ( x ), ( x )
 f ( x ), ( x )
6.
     f ( x ), ( x )       f ( x ), ( x )
     f ( x ), ( x )
     f ( x ), ( x )
7.
  f ( x )  g ( x ), ( x )    f ( x )    g ( x ), ( x )
   f ( x ), ( x )    g ( x ), ( x )
   f ( x ), ( x )    g ( x ), ( x )
8.
    f ( x ), ( x )
  f ( x )   f ( x ), ( x )
  f ( x ), ( x )   f ( x ), ( x )
por lo que K ' es espacio vectorial
Propiedades en K '
1. Traslación
Suponga que f ( x ), ( x ) es una distribución, entonces f ( x  a ), ( x ) es también
una distribución.
Demostración.
Sea f ( x ) es una función que genera una distribución de la forma
f ( x ), ( x ) para
toda función de prueba  ( x )  K , deseamos verificar que f ( x  a ) genera una
distribución, usando de nuevo las propiedades del producto interno de funciones y
considerando el funcional f ( x  a ), ( x ) haciendo u  x  a
f ( x  a ), ( x )  f (u ), (u  a )
 f ( x ), ( x  a )
ya que si  ( x ) es función de prueba  ( x  a) también lo es y escribimos
f ( x  a ), ( x )  f ( x ), ( x  a )
Página 92
2. Rotación o cambio de escala
Suponga que f ( x ), ( x ) es una distribución, entonces el funcional definido por
f (ax ), ( x ) es también una distribución.
Demostración.
Sea f ( x ) es una función, deseamos verificar que f (ax ) genera una distribución.
x
recordando el hecho que si  ( x ) es función de prueba    con a  0 también lo
a
es, haciendo u  ax 

f (ax ), ( x ) 
 f (ax ) ( x )dx

 a
1
u

f (u )   du

a  a
a
Los límites de la última integral dependen del signo de a:

si a  0

1
1
u
x
f (u )   du   f ( x )   dx

a 
a 
a
a

1
x
f ( x ),  
a
a
en tanto si a  0 lo limites de la integral son


1
1
u
u
f (u )   du    f (u )   du

a 
a 
a
a


1
x
f ( x )   dx

a 
a

1
x
f ( x ),  
a
a
Resumiendo los resultados anteriores para todo valor de a diferente de cero
f (ax ),  x  

1
x
f ( x ),  
a
a
En este caso haremos uso de la definición debido al cambio de límite que ocurre en la integral
para cuando a < 0
Página 93
en el caso especial de a  1 tenemos f (  x ),  x   f ( x ),   x  que recibe el
nombre de reflexión.
La delta de Dirac como una distribución
Retomemos la función delta de Dirac definida mediante la relación
0
 (x)  

x 0
x 0
con las propiedades

  ( x )dx  1


  ( x )f ( x )dx  f (0)

La función delta de Dirac se dice que es una función simbólica ya que puede
definir solamente por las propiedades de sus integrales.
Si  ( x ) es una función de prueba, es decir continúa, infinitamente diferenciable y
se anula fuera de algún intervalo finito por definición

  ( x ) ( x )dx   (0)

Teorema
La delta de Dirac es una distribución o función generalizada singular.
Demostración:
Recordemos que para que sea distribución debe ser un funcional lineal y continuo:
i.
Sean  ,   R

 ( x ), ( x )   ( x ) 
  ( x )  ( x )   ( x ) dx




  ( x ) ( x )dx     ( x ) ( x )dx


   ( x ), ( x )    ( x ), ( x )
por lo que el funcional es lineal.
Página 94
ii.
Consideremos la sucesión de funciones de prueba  n ( x )
convergente a  ( x ) en K entonces la sucesión n ( x )   ( x )
converge a 0 en K
 ( x ),n ( x )   ( x )   ( x ),n ( x )   ( x ), ( x )
 n (0)   (0)
0
El funcional es continuo, por lo que concluimos que la delta de Dirac es una
distribución o función generalizada.
Es singular ya que no la genera una función localmente integrable
Podemos ver la delta de Dirac como una máquina que opera sobre funciones de
prueba para producir el número  (0) como resultado.

(x )  K
  ( x ) ( x )dx   (0)
 (x)


Muchas veces escribimos
  ( x ) ( x )dx 
 ( x ), ( x )   (0)

Propiedades de la delta de Dirac

1.
 f ( x ) ( x  a)dx  f (a)
Comprobar

Demostración:
Partiendo de la definición de la delta de Dirac, Haciendo u  x  a tenemos
du  dx así


 f ( x ) ( x  a)dx   f (u  a) (u )du




  (u )f (u  a)du

Página 95
sabemos que

  ( x )f ( x )dx  f (0)

por lo que

  ( x )f ( x  a)dx  f ( x  a) x  0  f (a)

Una forma mas elegante y simplificada es hacer uso de las propiedades de las
distribuciones (en este caso de la traslación), así tendríamos:
 ( x  a ), ( x )   ( x ), ( x  a )
  (a )
Escribimos entonces
 ( x  a ), ( x )   (a )
Gráficamente
 ( x  a)
f (x)

 f ( x ) ( x  a)  f (a )

La delta de Dirac toma el valor de una función en un punto de una integral.
De acuerdo a la propiedad anterior tendríamos:

3
 x  ( x  2)dx  2
3
8


 cos( x ) ( x  2 )dx  cos(2 )  1

Página 96

x
 e  ( x  1)dx  e
1


e
sx
 ( x )dx  e0  1


2. Verificar
 f ( x ) (ax )dx 

1
f (0)
a
Demostración:
Haciendo u  ax tenemos du  adx o bien
1
du  dx
a
Sí a  0



1
1
1
u 
x
 f ( x ) (ax )dx  a  f  a   (u )du  a  f  a   ( x )dx  a f (0)



Sí a  0



1
1
1
1
 u 
x
 f ( x ) (ax )dx  a  f  a   (u )du  a  f  a   ( x )dx  a f (0)  a f (0)



en general

 f ( x ) (ax )dx 

1
f (0)
a
Al igual que en el caso anterior podemos hacer uso de las propiedades de las
distribuciones para demostrar dicha propiedad (en este caso haremos uso del
cambio de escala) f (ax ),  x  
1
x
f ( x ),  
a
a
 (ax ), ( x ) 

tendríamos:
1
x
 ( x ),  
a
a
1
 (0)
a
Ilustrando la propiedad anterior:
Página 97

 (3x
2
 1) (2 x )dx 

1
1
3(0)2  1 

2
2

1
 cos( x ) ( x )dx  
cos(0) 


x
 e  ( 4 x )dx 

1

1 0 1
e 
4
4
3. Si una función g ( x ) es continua en el punto x  x0 si a  b entonces
b
a  x0  b
x0  a ó x0  b
 g ( x0 )
0
  ( x  x0 )g( x )dx  
a
Demostración:
Definiendo la función f ( x ) mediante la condición
g ( x )
f (x)  
 0
axb
x a ó x b
por consiguiente
b

  ( x  x0 )g( x )dx 
a
  ( x  x0 )f ( x )dx  f ( x0 )

de esta forma
b
a  x0  b
x0  a ó x0  b
 g ( x0 )
0
  ( x  x0 )g( x )dx  
a
b
1
4. Si a  b entonces   ( x  x0 )dx  
0
a
a  x0  b
x0  a ó x0  b
Demostración:
Definamos la función f ( x ) como
1
f (x)  
0
b
entonces
ax b
x a ó x b

  ( x  x0 )dx    ( x  x0 )f ( x )dx  f ( x0 )  1
a

Página 98
5. Si una función f ( x ) es continua en x  a entonces f ( x ) ( x  a)  f (a ) ( x  a ) ,
Demostración
Como f ( x ) es continua tenemos


 f ( x ) ( x  a)( x )dx    ( x  a) f ( x ) ( x ) dx


 f (a ) (a )

 f (a )   ( x  a ) ( x )dx


=
 f (a) ( x  a) ( x )dx

puesto que  ( x ) es una función de prueba arbitraria, así
f ( x ) ( x  a)  f (a ) ( x  a )
De nuevo haciendo uso de las propiedades de las distribuciones, (en este caso
de la traslación), así tendríamos:
f ( x ) ( x  a ), ( x )  f ( x  a ) ( x ), ( x  a )
  ( x ), f ( x  a ) ( x  a)
 f (a ) (a )
 f (a )  ( x  a ), ( x )
 f (a ) ( x  a ), ( x )
De donde f ( x ) ( x  a)  f (a ) ( x  a )
Si consideramos a  0 entonces f ( x ) ( x )  f (0) ( x )
Ilustrando lo anterior, si f ( x )  x n
x n ( x )  0
6. Comprobar que  (ax ) 
1
 (x)
a
Demostración
De acuerdo a la propiedad del cambio de escala tenemos:
Página 99
 (ax ), ( x ) 
de donde
 (ax ) 
1
x
 ( x ),  
a
a

1
 (0)
a

1
 ( x ),  x 
a

 (x)
,  x 
a
1
 (x)
a
7. Compruebe que  ( x )   ( x )
Demostración
Haciendo a  1 en el inciso anterior
 ( x ) 
1
 (x)   (x)
1
La propiedad anterior nos dice que la delta de Dirac es par

8. Para a, b  R entonces
  ( x  b) ( x  a)dx   (a  b)   (b  a)

Demostración:
De la propiedad de número 1, con f ( x )   ( x  b ) tenemos que

  ( x  b) ( x  a)dx   (a  b)

y de la propiedad anterior
 (a  b )   ( b  a )
Página 100
De acuerdo a la Serie de Fourier, una función periódica f ( x ) en un intervalo
  x   puede ser expresada como;
f (x) 
a0 
  (an cos nx  bn sen nx )
2 n 1
donde

a0 
1
f ( x )dx
 

an 
1
f ( x )cos nxdx
 

bn 
1
f ( x )sen nxdx
 
con cambio de escala la serie de Fourier se puede definir para cualquier función
periódica de periodo 2T en el intervalo T  x  T mediante
f (x) 
a0 
n x
n x
  (an cos
 bn sen
)
2 n 1
T
T
donde
T
T
1
1
n x
a0   f ( x )dx an   f ( x )cos
dx
T T
T T
T
T
1
n x
bn   f ( x ) sen
dx
T T
T
Ilustración:
Demuestre que para todo valor numérico de a tal que   a   se tiene que
 ( x  a) 
1 1 
  cos  n( x  a )
2  n 1
Solución

a0 
1
1
 ( x  a )dx 

 


1
1
an    ( x  a)cos nxdx  cos na
 


1
1
bn   f ( x ) sen nxdx  sen na
 

así
Página 101
1 1 
 ( x  a) 
  (cos na cos nx  sennasennx )
2  n 1
1 1 

  cos  n( x  a )
2  n 1
en el caso particular que a  0 tenemos que
 (x) 
Consideremos la función f ( x ) 
1 1 
  cos nx
2  n 1
1
cuya gráfica es de la forma
x
1
Una integral como
 f ( x )dx
no esta bien definida ya que la función tiene una
1
singularidad en x  0 , sin embargo, debería ser nula simplemente por paridad.
Para conciliar este hecho podemos entender este tipo de integrales en
intervalos simétricos en torno a la singularidad ( x  0 en este caso) de la siguiente
manera
Valor principal de Cauchy
Si la función f ( x ) tiene una singularidad en el punto x  a , la integral
Página 102
f ( x )dx

x a 
existe para todo   0 , y si el límite
lim
 0 

f ( x )dx
x a 
existe, llamaremos Valor Principal de Cauchy o Valor Principal de la Integral a
dicho límite y escribimos
vp f ( x )  lim
 0
Consideremos la función f ( x ) 

f ( x )dx
x a 
1
, obteniendo su valor principal en  1,1 :
x
1
  dx 1 dx 
dx
 lim  

  0
 0 
x
x
x
1

 1

vp 
  dx  dx 
dx
En general tenemos que vp 
 lim  

0
x  0  
x  x 


La función f ( x ) 
1
no define una distribución regular pues no es localmente
x
integrable alrededor del punto x  0 , considerando su valor principal y una función
de prueba  ( x ) tendríamos

1
( x )
vp , ( x )  vp 
dx
x
x


   ( x )
( x ) 
 lim  
dx  
dx 

 0 
x

  x

Teorema
El valor principal de Cauchy vp
1
es una distribución
x
Página 103
Demostración:
Sea la función de prueba  ( x ) diferenciable en x  0 con soporte compacto
 a, a  , escribiendo
 ( x )   (0)   ( x )   (0)

1
( x )
vp , ( x )  vp 
dx
x
x

a
 vp
(x )
dx
x
a

a
a
 (0)
 ( x )   (0)
 vp 
dx  vp 
dx
x
x
a
a
a
  (0) vp
a
dx
 ( x )   (0)
dx
 x  vp 
x
a
a
a
La primera integral es nula ya que vp
En la segunda integral tenemos
dx
0
x
a

 ( x )   (0)
  '(0) por lo que el término
x
 ( x )   (0)
es integrable alrededor de dicho punto y podemos suprimir el valor
x
principal, así
a
1
 ( x )   (0)
vp , ( x )  
dx
x
x
a
Una propiedad importante del valor principal es la siguiente:
Ilustración:
Compruebe que x vp
1
1
x
Demostración
Sea  ( x ) una función de prueba, entonces:
Página 104
1
1
x vp , ( x )  vp , x ( x )
x
x


  ( x )dx

 1, ( x )
de donde vemos que x vp
1
1
x
Página 105
Capítulo IV
Consideremos ahora la derivada de una distribución, si un funcional la definimos
F : K  R sobre K, definida mediante la función f ( x ) diferenciable (en el sentido
corriente) por

F  ( x )  f ( x ), ( x ) 
 f ( x ) ( x )dx

parece natural definir su derivada por
dF  ( x )
dx

 F '  ( x )  f '( x ), ( x ) 
 f '( x ) ( x )dx

Si la función f ( x ) es diferenciable su
haciendo uso de la integración
primera derivada f '( x ) es continua,
por partes en F '  ( x )
dv  f '( x )dx

F '  ( x ) 
 f '( x ) ( x )dx

 
 f ( x ) ( x )
  f ( x ) '( x )dx
 
Página 106
con u   ( x )

   f ( x ) '( x )dx

 F  '( x )
ya que si  ( x ) es una función de prueba, tiene soporte compacto y se desvanece
fuera de un intervalo finito, es decir  ( )  0 , por lo cual el primer término de la
ecuación se anula, obteniendo una expresión en la que no figura la derivada de
f ( x ) , y escribimos
f '( x ), ( x )   f ( x ), '( x )
Esta nueva funcional es lineal y continua sobre K, ya que si  ( x ) es función de
prueba, su derivada  '( x ) también lo es.
Lo anterior sugiere la siguiente definición
Derivada Generalizada
Llamaremos derivada
definida mediante
dF
de la función generalizada F  ( x ) a la funcional
dx
dF
 F '  ( x )  F  '( x )
dx
Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside se define mediante
1
H(x )  
0
x0
x0
Página 107
La función modela idealmente el funcionamiento de un interruptor el cual se cierra
en x  0 .
Una propiedad importante de la función de Heaviside es con relación a su
derivada. Apliquemos la definición para encontrar derivada de H ( x ) :
H '( x ), ( x )   H ( x ), '( x )

   H ( x ) '( x )dx


    '( x )dx
0
   ( )   (0)
  (0)
utilizando la definición de la delta de Dirac como una distribución

 H '( x ) ( x )dx   (0)



  ( x ) ( x )dx

por lo que la derivada de la función de Heaviside resulta ser:
H '( x ) 
dH ( x )
  (x)
dx
Notemos el hecho que la función de Heaviside es discontinua en x  0 , y en el
sentido de las distribuciones la función es diferenciable en dicho punto, este tipo
de derivada es la que conoceremos como derivada generalizada y en este caso su
derivada es la delta de Dirac, escribimos
 ( x )
H 'gen ( x )  
 0
x 0
x0
Si bien la delta de Dirac  ( x ) nos indica la existencia de discontinuidad, puede
servirnos también para indicarnos que tan precipitado es el cambio de la función
Página 108
en dicho punto, independientemente si la función es continua o no, esto va ser
indicado por el orden de la derivada en la cual  ( x ) aparezca por primera vez.
Consideremos las siguientes funciones:
1
f (x)  
0
x 0
x 0
x
g( x )  
0
x 0
x 0
 x 2
h( x )  
 0
x0
x0
Vemos que en la función f ( x ) , la discontinuidad se presenta en el punto x  0 ,
por lo que la  ( x ) aparece en su primera derivada. A diferencia de f ( x ) la función
g ( x ) es continua en todos sus puntos, incluido x  0 pero no es diferenciable en
éste, por lo cual la
 ( x ) aparece en su segunda derivada, en tanto h( x ) es
continua y diferenciable en todos sus puntos incluso x  0 , y la  ( x ) aparece por
primera vez en la tercera derivada.
Al igual que la delta de Dirac la función de Heaviside se puede definir mediante las
propiedades de sus integrales, si  ( x ) es una función de prueba entonces


 H ( x ) ( x )dx    ( x )dx
0

La función H ( x  a ) nos representa una función de escalonamiento desplazada a
la derecha en una cantidad a, y tenemos que
H 'gen ( x  a ) 
dH ( x  a )
  ( x  a)
dx
En general la derivada de una función generalizada se define como otra función
generalizada por lo generalmente escribimos F 'gen : K  R tal que
Página 109
F 'gen  ( x )  F  '( x )
 (x )  K
y las derivadas de orden superior
F ( n )gen  ( x )  (1)n F  ( n ) ( x )    ( x )  K
Reglas de derivación
Teorema
Sean las F  ( x ),G  ( x )  K' y  ,   R , entonces
 F  ( x )   G  ( x ) '   F 'gen  ( x )   G 'gen ( x )
Demostración
Sean los distribuciones F  ( x )  f ( x ), ( x )
y G  ( x )  g ( x ), ( x ) tenemos
que
 F   G   ( x )   F  ( x )   G  ( x ) 
 f ( x )   g ( x ), ( x )
aplicando la formula de la derivada de distribuciones
 f ( x )   g ( x ) ',( x )
   f ( x )   g ( x ), '( x )
   f ( x ), '( x )   g ( x ), '( x )
  f ( x ), '( x )   g ( x ), '( x )
  f 'gen ( x ), ( x )   g 'gen ( x ), ( x )
de donde  F  ( x )   G  ( x )  '   F 'gen  ( x )   G 'gen  ( x )
Teorema
Sea la distribución F  ( x )  K'
y la función g ( x )
infinitamente diferenciable,
entonces
 g( x )F  ( x ) 'gen  g ( x )F 'gen  ( x )  g '( x )F  ( x )
Demostración
Sea F  ( x )  f ( x ), ( x ) y g ( x ) infinitamente diferenciable recordemos además
que
Página 110
g ( x )F  ( x )  F g ( x ) ( x )
F '  ( x )  F  '( x )
aplicando la formula de la derivada de distribuciones
 g( x )F ( x ) 'gen  g( x )F  '( x )
  f ( x ), g ( x ) '( x )
  f ( x ), g ( x ) ( x ) ' g '( x ) ( x )
  f ( x ), g ( x ) ( x ) '  f ( x ), g '( x ) ( x )
 F  g ( x ) '( x )
 f 'gen ( x ), g ( x ) ( x )  g '( x )f ( x ), ( x )
 g ( x )f 'gen ( x ), ( x )  g '( x )f ( x ), ( x )
 g ( x )F 'gen  ( x )  g '( x )F  ( x )
 g ( x )f 'gen ( x )  g '( x )f ( x ), ( x )
Vemos que la fórmula de Leibniz para n  1 sigue siendo válida.
Algunas consideraciones importantes de las derivadas generalizadas es el hecho
que extensión son las siguientes:
1. Toda distribución tiene derivadas de cualquier orden que son distribuciones
2. Para funciones diferenciales en sentido ordinario la derivada generalizada
coincide con la ordinaria
3. Las reglas del cálculo siguen siendo válidas
La derivada generalizada de la función de Heaviside nos permite además
verificar propiedades importantes de la delta de Dirac al considerar su derivada,
consideremos:
Página 111
1. Compruebe que  ( x 2  a 2 ) 
 ( x  a)  ( x  a)

2a
2a
Demostración:
De acuerdo a la definición de la función de Heaviside tendríamos
 1
H(x  a )  
0
2
2
x 2  a2  0
x 2  a2  0
o bien
 1
H ( x 2  a2 )  
0
 1

0
Si a  0
1

H ( x  a )  0
1

2
2
x 2  a2
x 2  a2
x  a
x  a
x  a
a  x  a
xa
Gráficamente
a
-a
H( x 2  a2 )
Vemos que la función es discontinua en los puntos x  a y x  a , asimismo
la podemos expresar como
H ( x 2  a2 )  1  H ( x  a)  H ( x  a)
derivando el término anterior y aplicando la regla de la cadena obtenemos
2xH 'gen ( x 2  a 2 )  H 'gen ( x  a )  H 'gen ( x  a)
2x ( x 2  a2 )   ( x  a )   ( x  a)
Página 112
 ( x 2  a2 )  
 ( x  a)  ( x  a)

2x
2x
pero

 ( x  a)  ( x  a)

2x
2a
 ( x  a)  ( x  a)

2x
2a
por lo que si a  0
 ( x 2  a2 ) 
 ( x  a)  ( x  a)

2a
2a
consideremos el caso de
 1
H (a  x )  
0
2
2
a2  x 2  0
a2  x 2  0
 1

0
x a
x a
con a  0 gráficamente tenemos
a
-a
H (a 2  x 2 )
Expresando la función como H (a 2  x 2 )  H ( x  a)  H ( x  a ) y derivando
( 2 x )H 'gen (a2  x 2 )  H 'gen ( x  a )  H 'gen ( x  a )
2 x (a 2  x 2 )   ( x  a )   ( x  a )
 (a 2  x 2 )  
 ( x  a)  ( x  a)

2x
2x
Página 113
como antes

 ( x  a)  ( x  a)

2x
2a
 ( x  a)  ( x  a)

2x
2a
 (a 2  x 2 ) 
 ( x  a)  ( x  a)

2a
2a
recordando que la delta de Dirac es par
 (a 2  x 2 )   ( x 2  a 2 ) 
 ( x  a )  ( x  a)

2a
2a
El procedimiento empleado anteriormente se puede extender para cualquier
función f ( x ) diferenciable en R, definiendo H f ( x ) y H  f ( x ) , sus derivadas
nos permitirá encontrar una expresión para   f ( x ) .
Representación de H f ( x ) es un caso típico
1
H f ( x )  
0
f (x)  0
f (x)  0
Sea f ( x )  a( x  r1 )( x  r2 )...( x  rn ) donde ri san raíces de f ( x ) con r1  r2  ...  rn
Entonces H f ( x ) toma una de las formas posibles
Página 114
 H ( x  r1 )  H ( x  r2 )  ...  (1)n H ( x  rn )
H f ( x )  
n
1  H ( x  r1 )  H ( x  r2 )  ...  (1) H ( x  rn )


derivando H f ( x ) obtenemos
f '( x )H 'gen  f ( x )   H 'gen ( x  r1 )  H 'gen ( x  r2 )  ...  ( 1)n H 'gen ( x  rn )
f '( x )  f ( x )    ( x  r1 )   ( x  r2 )  ...  ( 1)n  ( x  rn ) 
  f ( x )  
o bien
 ( x  r1 )   ( x  r2 )  ...  ( 1)n  ( x  rn )
f '( x )
n
 ( x  ri )
i 1 f '( ri )

ya que
 ( x  ri )  ( x  ri )

f '( x )
f '(ri )
En general
  f ( x ) 
 ( x  xi )
f ( xi ) 0 f '( x i )

Ilustración:
Encontremos  ( x 3  3 x 2  6 x  8)
En este caso
f (x )  x3  3x 2  6x  8
con raíces r  2,1,4
f '( x )  3 x 2  6 x  6
f '( 2)  18
f '(1)  9
f '(4)  18
por lo que
 ( x 3  3 x 2  6 x  8) 
1
1
1
 ( x  2)   ( x  1)   ( x  4)
18
9
18
Página 115
Función signo
Una función de mucha aplicación en diferentes áreas de la matemática, física e
ingeniería la constituye la llamada función signo definida mediante
1

sgn( x )   0
1

x0
x 0
x0
Notemos que la función signo podemos expresarla en términos de la función de
Heaviside sgn( x )  H ( x )  H (  x )  2H ( x )  1 , Notemos que para el punto x  0 la
definición y su representación no coinciden, pero para una distribución no se ve
afectada.
Aplicando las reglas de la derivación , obtenemos
sgn'( x ), ( x )   sgn( x ), '( x )
  2H ( x )  1, '( x )
 2 H ( x ), '( x )  1, '( x )
 2 H 'gen ( x ), ( x )
 2  ( x ), ( x )
de donde
sgn'gen ( x )  2 ( x )

lo anterior debido a que 1, '( x ) 
  '( x )dx   ( )   ( )  0

Página 116
Consideremos la función f ( x )  x ,
x  R , aplicando la derivada
f '( x ), ( x )   f ( x ), '( x )

   x  '( x )dx

0


 x '( x )dx   x '( x )dx
0

0
0
 
 x ( x )
   ( x )dx  x ( x )
   ( x )dx
 
0
0
0


  ( x )dx    ( x )dx
0

 H ( x ), ( x )  H (  x ), ( x )
 sgn( x ), ( x )
escribimos entonces
x 'gen  sgn( x )
Derivando de nuevo y de acuerdo a la derivada de la función signo tendríamos
x "gen  2 ( x )
Hasta el momento hemos visto que al derivar funciones que son discontinuas en
un punto de acuerdo a las distribuciones en el punto de dicha discontinuidad nos
aparece la delta de Dirac. Consideremos la función seccionada (suave a trozos)
definida por
g ( x )
f (x)  
 h( x )
g( x )
S
h( x )
Página 117
x 0
x 0
calculemos su derivada
f 'gen ( x ), ( x )   f ( x ), '( x )
0


 h( x ) '( x )dx   g ( x ) '( x )dx
0

encontrando la integrales por separado mediante integración por partes
0
0
0
 h( x ) '( x )dx  h( x )( x )    h '( x ) ( x )dx


0


 h(0 ) (0 ) 
 h '( x ) ( x )dx

ya que  ( )  0 , así mismo



 g ( x ) '( x )dx  g '( x )( x ) 0   g '( x ) ( x )dx
0
0



 g (0 ) (0 ) 
 g '( x ) ( x )dx
0
debido a que  ( )  0
así
0


f '( x ), ( x )  h(0 ) (0 ) 

 h '( x ) ( x )dx g(0


) (0 ) 
 g '( x ) ( x )dx
0

como  ( x ) es continua en todo punto tenemos que
 (0 )   (0 )   (0)
Agrupando tenemos

f 'gen ( x ), ( x ) 
0
 g '( x ) ( x )dx   h '( x ) ( x )dx  g (0
0
recordando que  (0)   ( x )

)  h(0  )  (0)

y llamando S  g (0 )  h(0 ) tenemos que
 g '( x )

f 'gen ( x )  S ( x )
 h '( x )

Página 118
x 0
x 0
x 0
Otra forma de encontrar la derivada generalizada de f ( x ) es haciendo uso de la
función de Heaviside, expresando f ( x ) como
f ( x )  h( x ) 1  H ( x )  g ( x )H ( x )
derivando de acuerdo a fórmula del producto
f 'gen ( x )  h '( x ) 1  H ( x )  h( x )H 'gen ( x )  g '( x )H ( x )  g ( x )H ' gen ( x )
 h '( x )1  H ( x )  h( x ) ( x )  g '( x )H ( x )  g ( x ) ( x )
 h '( x )1  H ( x )  h(0 ) ( x )  g '( x )H ( x )  g (0 ) ( x )
 h '( x )1  H ( x )  g '( x )H ( x )   g (0  )  h(0  )   ( x )
 h '( x )1  H ( x )  g '( x )H ( x )  S ( x )
resultado que coincide con el anterior.
Ilustración:
cos x
Consideremos la función f ( x )  
 0
x   /2
x   /2
y calculemos f ''gen ( x )
Como f ( x ) es continua entonces f 'gen ( x )  f ( x )
 sen( x )
Tenemos en este caso que f 'gen ( x )  
0

x   /2
x   /2
Ahora bien la f 'gen ( x ) es discontinua en los puntos x  
  cos x

0

f ''gen ( x )  
 ( x   / 2)
 ( x   / 2)


y x  así
2
2
x   /2
x  /2
x   / 2
x  /2
otro forma es considerar f ( x )  cos( x ) H ( x   / 2)  H ( x   / 2)
f 'gen ( x )   sen( x ) H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  cos( x ) H 'gen ( x   / 2)  H 'gen ( x   / 2) 
  sen( x ) H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  cos( x )  ( x   / 2)   ( x   / 2)
Página 119
  sen( x ) H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  cos( x ) ( x   / 2)  cos( x ) ( x   / 2)
  sen( x )  H ( x   / 2)  H ( x   / 2)
ya que
cos( x ) ( x   / 2)  cos(  / 2) ( x   / 2)  0
cos( x ) ( x   / 2)  cos( / 2) ( x   / 2)  0
Derivando de nuevo
f ''gen ( x )   cos( x )  H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  sen( x ) H 'gen ( x   / 2)  H 'gen ( x   / 2)
  cos( x )  H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  sen( x )  ( x   / 2)   ( x   / 2)
  cos( x )  H ( x   / 2)  H ( x   / 2)  sen( x ) ( x   / 2)  sen( x ) ( x   / 2)
  cos( x )  H ( x   / 2)  H ( x   / 2)   ( x   / 2)   ( x   / 2)
ya que
sen( x ) ( x   / 2)  sen(  / 2) ( x   / 2)   ( x   / 2)
sen( x ) ( x   / 2)  sen( / 2) ( x   / 2)   ( x   / 2)
resultados que coinciden con el anterior
Ilustración 2:
0

sea g ( x )   x 3
0

x 1
1 x  3
x 3
0

  ( x  1)


entonces g 'gen ( x )  
3x2
27 ( x  3)


0
x 1
x 1
1 x  3
x3
x3
Notemos que g ( x ) es diferenciable en el sentido de las distribuciones en todo
punto a pesar de ser una función discontinua.
Lo anterior lo podemos generalizar para una función con cualquier cantidad de
discontinuidades.
Página 120
Teorema
Sea f ( x ) una función suave a trozos, continua excepto en los puntos
n
'
a1  a2  ...  an , la derivada generalizada de f es fgen
( x )  f '( x )   Sk  ( x  ak )
k 1
donde f '( x ) sólo se define para R  a1, a1,..., an  y Sk  f (ak )  f (ak )
Demostración
a2
a1
an
Para demostrar lo anterior apliquemos la función f ( x ) sobre una función de prueba
 ( x) e integramos por partes en cada intervalo , a1  , a1 , a2  ,..., an , 
a1


f 'gen ( x ) ( x )dx 


a2
f ' gen ( x ) ( x )dx 

a1


f ' gen ( x ) ( x )dx  ...   f ' gen ( x) ( x)dx
an
pero cada integral es igual a
b

b
f 'gen ( x ) ( x )dx    f ( x) '( x)dx
a
a
  f ( x ) ( x )
b
xa
b
  f '( x ) ( x )dx
a
b
  f (b) (b)  f (a ) (a)   f '( x ) ( x ) dx
a
de donde
f ' gen ( x)  f (a) ( x  a )  f (b) ( x  b)  f '( x )
evaluando cada integral recordando que  ()  0 y haciendo S k  f (ak )  f (ak )
n
obtenemos
f 'gen ( x)  f '( x)   S k ( x  ak )
k 1
Página 121
Analicemos un caso distinto:
Consideremos la función f ( x )  ln x , que no es localmente integrable sobre un
intervalo que contenga a x  0 , sabemos además que la derivada ordinaria de
esta función es
d ln x
dx

1
x
que no es localmente integrable en x  0
Para una función de prueba  ( x ) definamos la distribución singular

ln x , ( x ) 
 ln x  ( x )dx

aplicando la derivada tenemos
ln'gen x , ( x )   ln x , '( x )


ln x  '( x )dx
x 

 

 lim    ln x  '( x )dx   ln x  '( x )dx 

 0 

 

integrando por partes


   ( x )
(x )
  lim ln x  ( x )
 ln x  ( x )

dx  
dx
 0

  x
x


   ( x )
(x ) 
 lim  
dx  
dx 

 0 
x
x




1
 vp , ( x )
x
ya que
lim  ln  (  )  ln  ( )  lim ln   (  )   ( )  0
 0 
 0
por lo que tenemos que
ln'gen x  vp
Página 122
1
x
Otra aplicación de la derivadas generalizada es que nos permite encontrar una
expresión para  '( x )
 '( x ), ( x )    ( x ), '( x )
  '(0)
La derivada de la delta de Dirac es conocida como Dipolo y tiene diversas
aplicaciones en electromagnetismo, en el área de antenas y comunicaciones
También nos permite comprobar propiedades adicionales de la delta de Dirac.
1. Comprobar que  '(  x )   '( x )
Demostración:
Sea la función de prueba  ( x ) , definiendo  ( x )   (  x ) tenemos
 '( x )   '(  x )
 '(0)   '(0)
así
 '(  x ), ( x )    (  x ), '( x )
  (  x ),  '( x )
  (  x ), '( x )
  '(0)
   '( x ), ( x )
o bien
 '(  x )   '( x )
Otra forma de comprobar lo anterior es la siguiente, recordemos que
 ( x )   ( x )
derivando
de donde
 '(  x )   '( x )
 '(  x )   '( x )
La derivada de la delta de Dirac es impar, una idea de su gráfica es la
siguiente.
Página 123
2. Verificar que x '( x )   ( x )
Demostración:
Sea la función de prueba  ( x ) , entonces
x '( x ), ( x )   '( x ), x ( x )    ( x ), x ( x ) '
   ( x ), ( x )   ( x ), x '( x )
   ( x ), ( x )
  ( x ), ( x )
ya que
 ( x ), x '( x )  0 '(0)  0
de donde x '( x )   ( x )
La propiedad anterior es mas comúnmente escrita como  '( x )  

3. Comprobar
  '( x ) dx  

Demostración:

Del resultado anterior


 '( x ) dx 




 (x)
dx
x


 (x)
dx
x


1
 
0

Página 124
 (x)
x
4. Verificar que x 2 '( x )  0
Demostración:
Procediendo de forma similar al ejemplo 2
x 2 '( x ), ( x )   '( x ), x 2 ( x )
   ( x ),  x 2 ( x )  '
   ( x ),2 x ( x )  x 2 '( x )
   ( x ),2 x ( x )   ( x ), x 2 '( x )
0
lo anterior debido a que
 ( x ),2 x ( x )  2(0) (0)  0
 ( x ), x 2 '( x )  02  '(0)  0
Al ser el vp
1
una distribución, esta tendrá derivadas generalizadas, calculando su
x
derivada:
 1
 1
vp'gen   , ( x )   vp   , '( x )
x
x
  lim
 0
 '( x )
dx
x
x 


   '( x )
 '( x ) 
  lim  
dx  
dx 

 0 
x

  x

integrando por partes haciendo u 
1
dv   '( x )dx tenemos
x

  ( )   ( x )
 ( )
(x ) 
 1
  2 dx 
  2 dx 
vp'gen   , ( x )   lim  

 0 


x
 x
 x



   ( x )
(x )
2 (0) 
  lim   2 dx   2 dx 

 0 
 
 x
  x
Página 125
considerando que
lim  (  )  lim  ( )   (0) ya que  ( x ) es continua en todo
 0 
 0
punto.
El límite se conoce como parte finita de la integral, y es la distribución generada
por f ( x ) 
1
, así de donde
x2
 1
 1 
vp'gen     pf  2 
x
x 
De manera similar a como se a definido la derivada de una distribución se
definen las derivada de orden superior

F ( n )  ( x )  f ( n ) ( x ), ( x ) 
f
(n)
( x ) ( x )dx

Integrando por pares n veces obtendríamos
F ( n )  ( x )  (1)n F  ( n ) ( x )
Al ser la función de prueba  ( x ) infinitamente derivable, podemos entonces
encontrar la derivada de cualquier orden de la delta de Dirac.
 ( n ) ( x ), ( x )  (1)n  ( x ), ( n ) ( x )  ( 1)n  ( n ) (0)
Ilustración
Demostrar que x n ( n ) ( x )  n !  ( x )
Solución:
Para una función de prueba  ( x )
x n ( n ) ( x ), ( x )   ( n ) ( x ), x n ( x )    ( x ),  x n ( x )
(n )
aplicando la ene-sima derivada de un producto de funciones de acuerdo a Leibniz,
tenemos que
 x n ( x )


pero
xn 
 
(k )
(n )
n

n
  k   x n 
k 0 
(k )

 k (k  1)(k  2)...(2)(1)x n k  k ! x n k
Página 126
 ( n k ) ( x )
 x n ( x )


(n )
n

n!
 k !(n  k )! k !x nk ( nk ) ( x )
k 0
n
n!
x n k  ( n k ) ( x )
k 0 ( n  k )!

 x n ( n ) ( x )  nx n 1 ( n 1) ( x )  n(n  1)x n 2 ( n 2) ( x )  ...  n ! x '( x )  n ! ( x )
así
x n ( n ) ( x ), ( x )   ( n ) ( x ), x n ( x )
   ( x ),  x n ( x )
(n )
   ( x ), x n ( n ) ( x )  nx n 1 ( n 1) ( x )  ...  n ! x '( x )  n ! ( x )
 n ! (0)
 n !  ( x ), ( x )
  n !  ( x ), ( x )
de donde
x n ( n ) ( x )  n !  ( x )
Sucesión de distribuciones
Sea la sucesión de funciones fn ( x ) y  ( x ) una función de prueba, llamaremos
sucesión de distribuciones a la sucesión de los respectivos funcionales asociados
Fn : K  R

Fn  ( x ) 
 fn ( x )( x )dx

Convergencia de una sucesión de distribuciones
Sea la sucesión de funciones
fn ( x )
convergente uniformemente a la función
f ( x ) , la sucesión de distribuciones asociada Fn  ( x ) converge a una distribución
F  ( x ) si y solo si para toda función  ( x )  K tenemos que
Página 127

lim
n 

fn ( x ) ( x )dx
 fn ( x )( x )dx   nlim




 f ( x ) ( x )dx


Ilustración:
Consideremos la sucesión de funciones
n  n 2 x
fn ( x )  
0

x  1/ n
x  1/ n
cuya gráfica se muestra a continuación
n
-1/n
1/n
La sucesión de funciones fn ( x ) converge a la delta de Dirac.
Los funcionales asociados a una función de prueba  ( x ) son:

Fn  ( x )  fn ( x ), ( x ) 


fn ( x ) ( x )dx 

 n  n


Así;
lim Fn  ( x )  lim
n 
n 
 fn ( x ) ( x )dx



  ( x ) ( x )dx

  (0)
Página 128
2

x  ( x )dx
Teorema
Si la sucesión de distribuciones Fn  ( x ) converge a una distribución F  ( x )
cuando n   , entonces la sucesión de derivadas F 'n  ( x ) converge a la
distribución F '  ( x ) es decir


lim F 'n  ( x )  lim Fn  ( x ) '  F '  ( x )
n 
n 
Demostración:
De la definición de derivada
lim F 'n  ( x )  lim f 'n ( x ), ( x )
n 
n 
 lim  fn ( x ), '( x )
n 
  lim fn ( x ), '( x )
n 
  f ( x ), '( x )
 f '( x ), ( x )
 F '  ( x )
Ilustración:
Del ejemplo anterior fn ( x ) converge a la delta de Dirac, su derivada
 n 2

g n ( x )  fn '( x )   n 2
 0

n2
1/ n
1/ n
n 2
Página 129
1/ n  x  0
0  x  1/ n
x  1/ n
Calculando el límite de la sucesión de las derivadas de la distribución
lim F 'n  ( x )   lim Fn  '( x )
n 
n 

 lim
n 
 fn ( x ) '( x )dx


 lim
n 
fn ( x )  '( x )dx
 nlim





  ( x ) '( x )dx

  '(0)
el límite será de acuerdo al resultado anterior lim F 'n  ( x )   '( x )
n 
Página 130
APLICACIÓN EN ESTADÍSTICA
Una variable aleatoria es una función de valor real es un espacio muestral, las
variables aleatorias se representan mediante mayúsculas y el valor que toman por
minúsculas. Se puede hablar de “la probabilidad de X tome el valor x” y
representarla por P ( X  x ) . La variable puede ser discreta o continua, se dice que
la variable aleatoria es discreta si puede tomar un número finito o contable de
valores.
Definición
Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2 ,..., x j ,..., xn con
probabilidades P ( X  x1 ), P ( X  x2 ),..., P ( X  x j ),..., P ( X  xn ) respectivamente, la
función de densidad de probabilidad p( x )  f X ( x ) es
n
p( x )  f X ( x )   P ( X  xi ) ( x  xi )
i 1
Ilustración
Seis lotes de componentes están listos para ser enviados a cierto proveedor. El
número de componentes defectuosos de cada lote es
Lote
1
2
3
4
5
6
Número de componentes
0
2
0
1
2
0
defectuosos
Uno de estos componentes es seleccionado aleatoriamente para ser enviado a un
cliente. Sea X el numero de componentes defectuosos del lote seleccionado. Los
valores posibles de X son 0, 1, y 2.
P ( X  0)  P (se envía el lote 1,3 o 6) 
P ( X  1)  P (se envía el lote 4) 
P ( X  2)  P (se envía el lote 2 o 5) 
3 1

6 2
1
6
2 1

6 3
Utilizando la definición anterior, la función de densidad de X es
f X ( x )  P ( X  0) ( x )  P ( X  1) ( x  1)  P ( X  2) ( x  2)
Página 131
1
1
1
 ( x )   ( x  1)   ( x  2)
2
6
3

Gráficamente
fX ( x )
1/2
1/3
1/6
X
0
1
2
Ilustración 2:
La variable aleatoria X de Bernoulli toma los valores 0 y 1 con probabilidades p
y q respectivamente con 0  p  1 y p  q  1,
Determinar su promedio x y la desviación estándar
La función de densidad de probabilidad de X es
f X ( x )  P ( X  0) ( x )  P ( X  1) ( x  1)
 p ( x )  q ( x  1)

El promedio x de una variable aleatoria esta dado por x 
 xfX ( x )dx


Así
x


xf X ( x )dx 

 x  p ( x )  q ( x  1) dx



 p  x ( x )dx  q

 x ( x  1)dx


las integrales anteriores son de la forma
 f ( x ) ( x  a)dx , las cuales se pueden

calcular utilizando las propiedades de la función delta de Dirac




x ( x )dx  0
 x ( x  1)dx  1

con lo finalmente
Página 132
x  p(0)  q(1)  q
Análogamente el segundo momento es

E  X 2  
x
2
f X ( x )dx



2
 x  p ( x )  q ( x  1) dx



2
 p  x  ( x )dx  q

2
 x  ( x  1)dx

 p(0)2  q(1)2
q
Definición
La función de distribución acumulativa o función de distribución de probabilidad
FX ( x ) de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad
f X ( x ) esta dada por
x
FX ( x ) 
 fX (t )dt

n
En el caso discreto f X ( x )   P ( X  xi ) ( x  xi ) , por lo que
i 1
x
FX ( x ) 
n
P ( X  xi ) ( x  xi )dx

i 1

n
x
  P ( X  xi )   ( x  xi )dx
i 1

x
sabemos que
  ( x  xi )dx  H ( x  xi ) la función de Heaviside o escalón unitario

en xi
n
FX ( x )   P ( X  xi )H ( x  xi )
i 1
Página 133
Gráficamente FX ( x ) tiene un trazado en forma de escalera, las discontinuidades
se presentan en los lugares donde la variable tiene probabilidad diferente de cero,
la magnitud de dichas discontinuidades es igual a la probabilidad en dicho punto
Ilustración
Con el ejemplo de la ilustración 1 en la cual f X ( x ) 
1
1
1
 ( x )   ( x  1)   ( x  2)
2
6
3
tenemos que la distribución de probabilidad FX ( x ) sería
x
FX ( x ) 
1
1
1

  2  (t )  6  (t  1)  3  (t  2) dt


1
1
1
H ( x )  H ( x  1)  H ( x  2)
2
6
3
 0
1/ 6


1/ 2
 1
0x
0  x 1
1 x  2
2x
Gráficamente
FX ( x )
1
1/2
1/6
X
0
1
Página 134
2
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Consideremos la ecuación diferencial:
y '( x )  f ( x )
si f ( x ) es continua en un intervalo cerrado I   a, b  , decimos que y ( x ) es solución
en el sentido clásico si tiene derivada y satisface la ecuación diferencial.
Para toda función de prueba  ( x ) con soporte compacto el intervalo cerrado
I   a, b  a partir de la ecuación diferencial tenemos:
y '( x ) ( x )  f ( x ) ( x )
integrando sobre el intervalo I   a, b 
b
b
 y '( x ) ( x )dx   f ( x ) ( x )dx
a
a
al ser función de prueba  ( x ) y de acuerdo a la teoría de distribuciones sabemos
que
b
b
 y ( x ) ( x )dx   y ( x ) '( x )dx
a
a
de donde
b
b
b
 y '( x ) ( x )dx    y ( x ) '( x )dx  f ( x ) ( x )dx
a
a
a
de aquí observamos que no es necesario que y ( x ) sea continuamente
diferenciable, solo se necesita que sea integrable.
Definición
Sea la función f ( x ) localmente integrable, entonces la función localmente
integrable y ( x ) es solución débil de y '( x )  f ( x ) en I :  a, b  si para toda función
de prueba  ( x ) con sop( ( x ))  I se cumple que
b
b
 y ( x ) '( x )dx    f ( x ) ( x )dx
a
a
Página 135
Ilustración
Obtener una solución aproximada del problema de frontera, por el método de
elementos finitos
y ''( x )  y ( x )  x
0  x 1
y (0)  y (1)  0
considerando 5 funciones base necesarias
Solución
Sea  ( x ) una función de prueba con soporte compacto 0  x  1 tal que
 (0)   (1)  0
multiplicando la ecuación diferencial por  ( x ) tenemos
y ''( x ) ( x )  y ( x ) ( x )  x ( x )
integrando en el soporte compacto (de 0 a 1) tenemos
1
1
1
  y ''( x ) ( x )dx   y ( x ) ( x )dx   x ( x )dx
0
0
0
al ser  ( x ) función de prueba y de la teoría de distribuciones
y ''( x ), ( x )   y '( x ), '( x )
1
así la formulación débil del problema sería
1
1
 y '( x ) '( x )dx   y ( x ) ( x )dx   x ( x )dx
0
0
0
donde y ( x ) debe ser tener primera derivada localmente integrable
 ( x ) una función de prueba con soporte compacto 0  x  1
considerando interpolantes lineales de Lagrange en el intervalo tenemos para
aproximar las funciones involucradas, gráficamente tenemos
1
0
1( x )
2 ( x )
0.2
0.4
3 ( x )
0.6
(no a escala)
Página 136
4 ( x )
0.8
1
en x  0
 (0)  0
en x  0.2
 5x

1( x )  5 x  2
 0

0  x  0 .2
0.2  x  0.4
otro caso
 5x  1

2 ( x )  5 x  3
 0

en x  0.4
0.2  x  0.4
0.4  x  0.6
otro caso
 5x  2

3 ( x )  5 x  4
 0

en x  0.6
0.4  x  0.6
0.6  x  0.8
otro caso
 5x  3

4 ( x )  5 x  5
 0

en x  0.8
0.6  x  0.8
0.8  x  1
otro caso
 (1)  0
en x  1
4
4
y ( x )    i i ( x )
Asumiendo
 ( x )    j  j ( x ) con  i  0 y  j  0
y
j 1
i 1
Derivando
4
4
y '( x )    i i '( x )
 '( x )    j  ' j ( x )
i 1
i 1
Sustituyendo en la integral tenemos
1 4
1
4
4
4
4




'
(
x
)


'
(
x
)



(
x
)


(
x
)
dx

x
 j j
 ii  j j 
  j j ( x )dx
i i
 

j 1
i 1
j 1
0  i 1

0 j 1
que la podemos expresar como
1
 4  1



'
(
x
)

'
(
x
)


(
x
)

(
x
)
dx


x

(
x
)
dx


j  0
   i
j
i
j
i
 j


j 1 
i

1

0

 0
4


1
1


haciendo K ij    'i ( x ) ' j ( x )  i ( x ) j ( x ) dx
y
Fj   x j ( x )dx tenemos
0
0
4
 4

  Kij  i  Fj   j  0
j 1  i 1

Página 137
como  j  0 , obtenemos el sistema matricial K ij  i  F j
Encontrando los K ij y Fj obtenemos
0
0
 10.1333 4.9667



4.9667 10.1333 4.9667
0


K

0
4.9667 10.1333 4.9667 


0
0
4.9667 10.1333 

 0.04 


0.08 

F
 0.12 
 0.16 


 0.0288 


0.0506 

resolviendo el sistema  
 0.0584 


 0.0444 
por lo que la solución aproximada es
4
y ( x )    i i ( x )  11( x )   22 ( x )   33 ( x )   44 ( x )
i 1
0.144 x


 0.109 x  0.007
 0.039 x  0.035
y ( x)  
 0.07 x  0.1004
 0.222 x  0.222

0

0  x  0 .2
0.2  x  0.4
0.4  x  0.6
0.6  x  0.8
0.8  x  1
otro caso
La solución exacta de la ecuación diferencial es y ( x )  x 
e
e x  e x
e 1
2

Cotejando con la solución exacta tenemos
x
y ( x ) exacta
y ( x ) aproximada
0
0
0
0.2
0.0287
0.0288
0.4
0.0505
0.0506
0.6
0.0583
0.0584
0.8
0.0443
0.0444
1
0
0
Página 138

CONSIDERACIONES FINALES
En la tecnología y la ciencia los cambios que ocurren son vertiginosos surgiendo a
diario nuevas aplicaciones y conocimientos que requieren una adecuación a lo
establecido previamente, de esto no se abstrae la educación.
Una adaptación curricular, consiste en, como su propio nombre indica, adaptar
los objetivos, contenidos, metodología, y criterios de evaluación descritos para el
nivel (curso) en el que el alumno se encuentre, la matemática es hoy en día una
de las ciencias más activa y dinámica, a partir de problemas que surgen en otras
disciplinas, también aparecen nuevas formas de ver y atacar viejos problemas,
desarrollándose así nuevas teorías para encontrarles solución a estos problemas,
como consecuencia el ser humano se encuentra con la necesidad constante de
fortalecer sus conocimientos.
La investigación el análisis e implementación de nuevas técnicas y propuestas
pueden ser de mucha utilidad para enriquecer la gama de conocimientos
necesarios en la resolución de diversos problemas del ámbito científico.
Pero muchas veces a nivel educativo este cambio necesario no se presenta,
manteniendo los currículos en ciertas maneras obsoletas y fuera de la realidad,
haciendo necesaria una revisión continua y permanente de estos.
Esperando que el presente trabajo sea un punto de partida para dicha revisión
en forma general y en matemática en particular.
Página 139
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