δ - Instituto Tecnológico de Chihuahua

3.12 Función Delta de Dirac
256
3.12 Función Delta de Dirac
En circuitos eléctricos, en sistemas mecánicos, en aplicaciones de ingeniería civil, en
trabajos con vigas, etc, se presentan situaciones con un valor muy pero muy alto, y que su
permanencia es muy pequeña, es decir el tiempo de ocurrencia es muy pequeño. Por
ejemplo el golpe de un bate de béisbol, una descarga eléctrica.
Por lo regular, los sistemas mecánicos están sometidos a una fuerza exterior (o una tensión
aplicada en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud que solamente actúa
durante un tiempo muy corto.
Esa situación se puede representar mediante una función conocida como Impulso Unitario,
la cual se define como
Impulso Unitario
Una función definida por tramos de la siguiente manera
0
1

δ (t − to ) = 
 2a
 0
0 ≤ t < to − a
to − a ≤ t < to + a
cuando a > 0 t0 > 0
(1)
t ≥ to + a
Para valores pequeños de a , δ a (t − to ) es esencialmente una función constante de gran
magnitud que se encuentra “encendida” sólo durante un lapso muy pequeño, alrededor de
to el comportamiento de δ a (t − to ) cuando a > 0 se muestra en la Fig. 3.12.1
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
257
f(t)
3.12 Función Delta de Dirac
a
o
Figura 3.12.1 Función impulso cuando a0 → 0
Esta función se conoce como impulso unitario porque tiene la propiedad de integración
∫
∞
0
δ a (t − to )dt = 1
Función delta de Dirac
(2)
Teniendo δ (t − to ) = lim δ a (t − to ) , esta ecuación no es
a →0
considerada una función, necesariamente, se le conoce como función generalizada o de
distribución.
Se caracteriza por tener las sig. propiedades:
∞ t = to
a) δ (t − to ) = 
 0 t ≠ to
b)
∫
∞
0
δ (t − to )dt = 1
(3)
(4)
Como ∂ (t) corresponde a un impulso unitario en t = 0, un impulso unitario en un punto
arbitrario t = t0 se define por ∂ ( t − t0 ) . A partir de las ecuaciones se concluye que
El impulso unitario se denomina Función Delta de Dirac
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
3.12 Función Delta de Dirac
258
Y su transformada es
L {δ (t − to )} = e − sto para toda to > 0 ,
(5)
si to = 0 , entonces
L {δ (t)} =1
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
(6)
Amalia C. Aguirre Parres