Visualización interactivo del método Gauss Legendre dos nodos y

III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
CB 36
VISUALIZACIÓN INTERACTIVO DEL MÉTODO GAUSS LEGENDRE DOS
NODOS Y REGLA DE SIMPSON ADAPTATIVA
Oscar E. ARES, Fernando J. QUIROGA VILLEGAS
Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales - Universidad Nacional de San
Luis - Argentina
[email protected]
[email protected]
Nivel Educativo: Educación Superior.
Palabras Clave: Integración numérica, Gauss Legendre, regla de Simpson, visualización.
RESUMEN
En este trabajo presentamos una propuesta didáctica utilizando nuevas tecnologías para la
enseñanza de dos temas de integración numérica, método de Gauss_Legendre y Regla de
Simpson Adaptativa para alumnos de tercer año de la carrera de Ingeniería Electrónica en la
asignatura Cálculo Numérico. Para la implementar la propuesta didáctica se realiza una
programación utilizando la interfase gráfica de MATLAB, GUI (graphical user interface).
La ingeniería didáctica esta basada en los ejes teóricos de: visualización interactiva y teoría de
registros semióticos.
INTRODUCCIÓN
Considerando la unidad didáctica “Integración y diferenciación numérica”, y con el objetivo
de aumentar la comprensión de los métodos de integración numérica que en esta propuesta
didáctica se mencionan se utiliza una nueva herramienta computacional que permita la
visualización de las técnicas iterativas y proporcione resultados numéricos que permitan
entender definiciones abstractas, como exactitud, además de la propia técnica numérica
considerada.
En esta GUI de MATLAB se aborda, principalmente, la interpretación gráfica de los métodos
numéricos y las condiciones requeridas para su aplicación. Para su diseño se ha tenido como
eje la idea de que para enseñar a los alumnos un concepto matemático o método numérico se
debe presentar la reunión de registros de representación semiótica, y su coordinación.
Software: MATLAB
El diseño propuesto, para dar tratamiento al tema ha sido elaborado con el software
MATLAB. Este software permite integrar tres aspectos como lo son: la computación
numérica y simbólica, su visualización, y su ambiente de programación.
OBJETIVOS
El objetivo principal es la visualización interactiva Gauss Legendre y Simpson adaptativa y la
construcción de una imagen conceptual, del concepto de exactitud en integración numérica
426
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
con el método de Gauss Legendre. La utilización de esta GUI, sirve para verificar los cálculos
realizados en actividades prácticas. En consecuencia se debe integrar a una guía de
actividades que posibilite un estudio dirigido.
CONTENIDOS MATEMATICOS
Mathews autor de Métodos Numéricos con Matlab, en el tema método de integración de
Gauss Legendre, plantea el siguiente problema: Queremos hallar el área limitada por la curva
y=f(x), en -1 ≤ x ≤ 1 ¿Qué método proporciona la mejor respuesta si solo pueden hacerse dos
evaluaciones de la función?
Figura Nº 1
Si se usan dos nodos distintos (en la figura x1= - 0.6 y x2 = 0.6) interiores al intervalo [-1,1],
entonces la recta definida por (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) corta a la curva y el área limitada por la
recta (indicada por líneas verticales rojas) es una aproximación mejor, que la simple regla del
trapecio, al área bajo la curva.
La ecuación de esta línea recta es: y
f ( x1 )
(x
x1 )( f ( x 2 ) f ( x1 ))
, y el área del trapecio
x 2 x1
2 x2
2 x1
f ( x1 )
f ( x 2 ) w1 f ( x1 ) w2 f ( x 2 ) .Los
x 2 x1
x 2 x1
coeficientes w1 , w2 se llaman pesos y los x1, x2 nodos, es decir, cuatro incógnitas. La
limitado por dicha recta es Atrapecio
1
fdx
aproximación es
w1 f ( x1 ) w2 f ( x 2 ) y se pide que se exacta para las funciones
1
f(x) = 1, x, x2, x3.
1
1dx
f(x) = 1;
2
w1
0
w1 x1
w2
1
1
xdx
f(x) = x;
w2 x 2
1
427
III REPEM – Memorias
1
f(x) = x2;
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
x 2 dx
2
3
w1 x1
x 3 dx
0
w1 x1
1
2
w2 x 2
2
1
3
f(x) = x ;
3
w2 x 2
3
1
Sistema no lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, que al ser resuelto proporciona,
los siguientes valores: w1 = w2 = 1, -x1 = x2 = 1 / √3.
Esta descripción utilizando un registro simbólico es la que permite visualizar la GUI de este
trabajo, utilizando la coordinación de un registro grafico y uno numérico.
Diremos que una regla de cuadratura tiene grado de exactitud
si halla exactamente la
integral de cada polinomio de grado
, pero no halla exactamente la integral de algún
polinomio de grado
.
Un segundo concepto donde la utilización de esta GUI mejora la comprensión, es la
exactitud, ya que le permite al alumno ingresar polinomios de distinto grado y verificar
grafica y numéricamente, para polinomios de que grado se verifica la igualdad de valores
entre el método de Gauss Legendre y el valor exacto de la integral. En este punto, el alumno
se transforma participa mas activamente en la construcción de su propio aprendizaje.
PANTALLA INICIAL DONDE SE INGRESAN LOS DATOS
El alumno ingresa la función f(x) cuya integral definida en [a,b] se desea aproximar por
GAUSS-LEGENDRE dos nodos, y los extremos a y b del intervalo. A continuación, pulsa el
botón solución. Hay un segundo botón (limpia) que borra los datos ingresados, al final del
proceso.
Figura Nº 2
428
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
PRIMERA PANTALLA
Se observa la representación grafica de la función ingresada, en el intervalo prefijado.
Pero lo fundamental, es que están indicados los dos nodos, sobre el eje x, que constituyen las
raíces del polinomio de Legendre de grados dos y además marcados sobre la curva, donde
definen la línea recta (color azul) que se puede observar en la gráfica.
Para indicar cual es exactamente el área buscada, se diseñan dos registros de representación.
La gráfica con rayado vertical y su valor numérico exacta como se observa en la segunda
pantalla.
Figura Nº 3
En la siguiente pantalla, se puede observar el valor „exacto‟ de la integral, indicada como I(f).
En este caso f(x) = x2 en el intervalo [-1, 1].
Figura Nº 4
En esta pantalla queda definida el área subtendida por el método de integración numérica,
Rayado color rojo debajo (o por arriba) de la recta. Registro gráfico que será coordinado con
un registro numérico, el valor numérico de la aplicación del método de Gauss_Legendre dos
nodos.
429
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
Figura Nº 5
La visualización interactiva diseñada, permite verificar un resultado previsto por la teoría, el
valor numérico proporcionado por Gauss_Legendre Q(f), coincide exactamente, con el valor
calculado analíticamente I(f), esto como puede observarse, es 9.33333.
Por tanto, se verifica hasta aquí, que el método tiene exactitud dos. El alumno puede
experimentar e ingresar cualquier función cuadrática y observará que se sigue cumpliendo la
igualdad I(f) = Q(f). Aunque nuevamente este es un resultado previsto por la teoría, ya que si
se cumple la igual I(f) =Q(f), para los polinomios de la base canónica automáticamente se
verifica para cualquier polinomio, la verificación que realice el alumno contribuye a formar
una clara imagen conceptual (concepto desarrollado por Tall y Vinner, bibliografía),del
concepto de exactitud.
Figura Nº 6
Se ingresa un polinomio de grado tres y se verifica la igualdad I(f) =Q(f).
430
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
Figura Nº 7
Se ingresa un polinomio de grado cuatro y no se verifica la igualdad I(f) =Q(f). Por lo tanto,
el método de Gauss Legendre dos nodos tiene exactitud tres.
Figura Nº 8
REGLA DE SIMPSON: INTEGRACION ADAPTATIVA
Las reglas de cuadratura compuestas utilizan dan a todos los subintervalos de la partición la
misma longitud. Para satisfacer, una precisión previamente establecida y con curvas con
oscilaciones pronunciadas, es conveniente requerir incrementos más pequeños en unas partes
que en otras. Se establece previamente un criterio de exactitud. Si este criterio no se
satisface se particiona el intervalo considerado a la mitad y ahora aparecen dos parábolas, dos
polinomios cuadráticos aproximando. Se aplica nuevamente el criterio de exactitud. Si se
satisface, se continúa con otro intervalo. De lo contrario se particiona nuevamente el intervalo
anterior. La regla compuesta de Simpson para el intervalo [ak, bk] da:
h
S (a k , bk )
( f (a k ) 4 f (ck ) f (bk )) donde ck= ( ak + bk ) / 2.
3
Particionado el intervalo [ak, bk] en dos [ak1, bk1] y [ak2, bk2] y calculados los valores
S (a k1 , bk1 ) y S ( a k 2 , bk 2 ) se aplica el criterio de exactitud:
431
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
1
[ S (ak1 , bk1 ) + S (ak 2 , bk 2 ) - S (ak , bk ) ] < εk
10
PANTALLA INICIAL y CARGA DE DATOS
Figura Nº 9
Figura Nº 10
Se pulsa el botón solución1 y comienza el desarrollo de la GUI
Figura Nº 11
Se pulsa sucesivamente siguiente y se observa la evolución de las pantallas.
Cada pantalla informa la cantidad de nodos interviniente y el valor numérico del área de
ese subintervalo.
432
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
Figura Nº 12
Si el requerimiento de precisión no se satisface, se particiona nuevamente el intervalo como
puede observarse y se aproxima con dos nuevas parábolas, donde se aplica Simpson.
Figura Nº 13
En esta pantalla, se observa que el criterio de exactitud ha sido satisfecho, y aparece el área
color verde.
Figura Nº 14
433
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
El mismo proceso sobre otro intervalo de la partición.
Figura Nº 15
PANTALLA FINAL
Se observa el número de nodos involucrado y el valor numérico del área obtenido por el
método de Simpson.
Figura Nº 16
CONCLUSIONES
Diseñar nuevas propuestas didácticas para la comprensión de temas y conceptos de cálculo
numérico requieren de dedicación en la programación de software, en la planificación
didáctica y en la puesta en funcionamiento de los distintos desarrollos.
Este diseño persigue como metas que el alumno, posea una herramienta interactiva que le
permita verificar, corregir, explorar, plantear y descartar hipótesis, visualizar y finalmente
construir su propia imagen conceptual del tema.
BIBLIOGRAFÍA
Mathews, John (2000). Métodos Numéricos con Matlab.
434
III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
Duval, R. (1998). Registros de Representación semiótica y funcionamiento cognitivo del
pensamiento. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II, (pp. 173-201).
México: Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav.
Tall, D.; Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with
particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics. 12.
435