TRABAJO Y ENERGÍA

Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
TRABAJO Y ENERGÍA
1. Trabajo mecánico.
1.1. Trabajo de una fuerza constante.
1.2. Trabajo de una fuerza variable.
2. Energía.
2.1. Energía cinética.
2.2. Energía potencial.
2.2.1. Energía potencial gravitatoria.
2.2.2. Energía potencial elástica.
2.3. Fuerzas conservativas. Características.
2.4. Energía mecánica. Conservación.
2.5. Fuerzas no conservativas. Rozamiento.
3. Potencia.
1.- TRABAJO MECÁNICO
El concepto de trabajo, al igual que vimos con el concepto de fuerza, en la vida diaria es
algo intuitivo que solemos asociar con una actividad que requiera esfuerzo, bien físico o
intelectual. En Física, en cambio, el concepto de trabajo tiene un significado que no siempre
coincide con el del lenguaje común.
Para que digamos que se realiza trabajo deben producirse interacciones que produzcan
modificaciones en los cuerpos. Nosotros nos centraremos en el trabajo mecánico que se realiza
cuando se aplica una fuerza y se produce un desplazamiento.
A.1. Indica si se está desarrollando trabajo en las siguientes actividades:
a) Empujamos fuertemente sobre una pared.
b) Levantamos un saco de cemento de 50 kg.
c) Un ventilador conectado a un enchufe comienza a girar.
d) Clavamos un clavo golpeándolo con un martillo.
1.1. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE
El trabajo de una fuerza constante cuyo punto de aplicación se mueve sobre una
trayectoria rectilínea es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:
r r
W = F . ∆r = F ⋅ ∆r ⋅ cos θ
(I)
r
F
θ
El trabajo, por tanto, es una magnitud escalar cuya unidad en el S.I. se llama julio (en honor del
científico británico James P. Joule), y es el trabajo que realiza una fuerza de un newton cuando
su punto de aplicación se desplaza un metro en la misma dirección y sentido que la fuerza.
1J = 1N.1m
pág. 1
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
A.2. ¿Puede ser nulo el trabajo si se realiza fuerza y hay desplazamiento?.
A.3. ¿Puede ser negativo el trabajo que realiza una fuerza?.
A.4. ¿Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo de 8 kg de masa a 1,5 m sobre el suelo durante
1 minuto?.
A.5. Un albañil coge un saco de 10 kg de yeso del suelo y lo levanta cargándoselo a la espalda,
lo traslada hasta la obra que está a 10 m y una vez allí lo descarga y lo deja en el suelo. ¿En qué
caso realiza más trabajo, al levantarlo, al trasladarlo o al bajarlo, suponiendo en todos los casos
que lo realiza con velocidad constante?.
A.6. Un caballo tira de un carro con una fuerza de 2.500 N en una dirección que forma 60º con
la horizontal. Calcula el trabajo realizado cuando el carro ha recorrido 100 m.
Sol: 125 000 J
A.7. Calcula el trabajo que se realiza al elevar un cuerpo de 2 kg de masa hasta una altura de 2m,
con velocidad constante, si: a) Se eleva verticalmente. b) Se eleva por un plano inclinado 30º
(considera despreciable el rozamiento).
Sol: a) 39,2 J , b) 39,2 J
A.8. ¿Ahorran trabajo las palancas, las rampas o las poleas?.
•
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas el trabajo total realizado es la suma de los
trabajos realizados por cada una de las fuerzas y coincide con el trabajo realizado por la
fuerza resultante.
r
r
v
WT = W ( R ) = W ( F1 ) + W ( F2 ) + ...
•
De la expresión ( I ) se deduce que el trabajo realizado por una fuerza es igual al trabajo que
realiza su componente en la dirección del desplazamiento o componente tangencial ( Ft ):
r r
r
W(F) = F. ∆r = F ⋅ ∆r ⋅ cos θ = F.cos θ . ∆ r = Ft . ∆ r = W ( Ft )
r
r
r
r
W ( F ) = W ( Ft ) + W ( Fn ) = W ( Ft ) + 0 = W ( Ft )
;
también se puede deducir:
r
; ( Fn no realiza trabajo, ya que θ = 90º )
• Si representamos gráficamente ( figura 1) la componente tangencial frente a la posición ( x ),
el trabajo coincide con el área del rectángulo de la gráfica (Ft - x):
r
F
r
Fn
θ
Ft = F . cos θ
Ft
W = F ⋅ ∆X
t
r
Ft
X0
Figura 1
X
A.9. a) Calcula el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 5 kg
de masa que desliza 3 m sobre un plano inclinado 30º, siendo 0,2 el coeficiente de rozamiento.
b) Comprueba si el trabajo total coincide con el trabajo realizado por la fuerza resultante.
Sol: 48,036 J
pág. 2
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
r r
r
r
Problema resuelto. Un cuerpo experimenta un desplazamiento ∆ r = 3 i + j + 2 k m bajo la
r r
r
r
acción de la fuerza F = 10 i + j − 4 k N . Determina el trabajo realizado en ese desplazamiento.
r r
r
r r
r
r r
Solución: W = F .∆ r ; W = (10 i + j − 4 k) ⋅ (3 i + j + 2 k) = 30 + 1 − 8 = 23 J
1.2. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE
En muchas ocasiones varía el módulo (o la dirección) de la fuerza a lo largo del desplazamiento.
En estos casos el trabajo realizado no se puede calcular aplicando directamente la ecuación ( I ),
y hay que recurrir al cálculo integral o a un método gráfico, que no siempre es fácil, como se
observa en la figura 2 (el trabajo coincide con el área encerrada bajo la curva y el eje de abcisas):
Ft
F
W
W
X
X0
(posición)
X
∆ L (alargamiento)
0
Figura 2
X
Figura 3
En otros casos, como el trabajo realizado al estirar o comprimir un muelle una longitud X
a partir de su posición de equilibrio, aunque la fuerza es variable ya que depende del
alargamiento (según la ley de Hooke: F = k . ∆ L = k .X), el método gráfico es sencillo porque el
área a calcular corresponde a la de un triángulo (figura 3).
W=
1
1
1
2
X⋅F = X⋅k⋅X = k⋅X
2
2
2
2.- ENERGÍA
El concepto de energía también es muy habitual en el lenguaje común. Se suele decir que
los cuerpos tienen energía cuando son capaces de realizar un trabajo (transformaciones), y
también que la realización de un trabajo supone un consumo de energía. En Ciencia se considera
que energía es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar transformaciones (realizar
un trabajo) en ellos mismos o en otros cuerpos.
La unidad de energía en el S.I. será, por tanto, la misma que la de trabajo, es decir, el julio.
•
Cuando un cuerpo realiza trabajo sobre otro, este último adquiere una energía que antes no
tenía; por ejemplo, si levantamos un cuerpo hasta una cierta altura, adquiere una capacidad
para realizar trabajo cuando nosotros lo soltemos.
A.10. Calcula el trabajo que debe hacer un hombre para elevar 5 m con velocidad constante un
cuerpo de 20 kg de masa. Calcula ahora el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al soltar el
cuerpo y volver al suelo.
Sol: 980 J
pág. 3
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
Observamos en la actividad anterior que el trabajo que puede realizar el cuerpo al soltarlo y, por
tanto, la energía que adquirió al elevarlo, coincide con el trabajo que el hombre realizó sobre él.
Ejemplos como este nos llevan a establecer que el trabajo realizado sobre un cuerpo (sistema)
por fuerzas externas al mismo es igual a la variación de energía que experimenta el cuerpo:
Wext = ∆E
Como indica esta ecuación, si el trabajo desde el exterior es positivo aumenta la energía
del sistema y si es negativo disminuye la energía del sistema.
W>0
∆ E > 0 , E > Eo
W<0
∆ E < 0 , E < Eo
Si un cuerpo realiza un trabajo positivo sobre otro pierde energía, mientras que éste gana
energía, de lo que se concluye que la realización de un trabajo supone la transferencia de
energía de un cuerpo a otro.
A.11. Cuando ejercemos una fuerza para comprimir un muelle, ¿qué signo tiene el trabajo que
realizamos y el que realiza la fuerza elástica?. ¿Y cuando soltamos el muelle?.
•
A pesar de que a la energía suelen añadírsele diferentes calificativos (eléctrica, térmica, etc.),
de hecho puede hablarse únicamente de dos formas de energía: la energía de movimiento y la
que un sistema posee debido a la existencia de fuerzas propias del sistema (gravitatorias,
electromagnéticas o nucleares). Vamos a estudiar ahora algunos de estos tipos de energía.
2.1. ENERGÍA CINÉTICA
A.12. Sabemos que al lanzar un proyectil, éste puede realizar trabajo (por ejemplo, perforar un
objeto…). ¿A qué puede atribuirse esa capacidad ?.
De la experiencia cotidiana observamos que los cuerpos pueden realizar un trabajo al
adquirir una velocidad. Esta energía asociada al movimiento de un cuerpo recibe el nombre de
energía cinética, y la representaremos por Ec.
A.13. ¿De qué propiedades del cuerpo crees que dependerá su energía cinética?
Para deducir el valor de la energía cinética consideremos un cuerpo de masa m apoyado en una
r
superficie horizontal con velocidad vo sobre el que actúa una fuerza F , constante y horizontal,
que va a desplazar al cuerpo una distancia ∆ x hasta adquirir una velocidad v. ( figura 4)
r
N vo
v
r
r
F
F
Figura 4
r
P
∆x
pág. 4
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
r
Observando la figura deducimos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el
r
r
cuerpo ( P y N se contrarrestan), y por aplicación de la 2ª ley de Newton el cuerpo adquiere una
aceleración constante, por lo que el cuerpo llevará un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado y aplicando las correspondientes ecuaciones del movimiento, obtenemos:
v 2 − v o2 = 2 ⋅ a ⋅ ∆ x
⇒
∆x =
v 2 − v o2
2⋅a
Calculando el trabajo que realiza la fuerza resultante sobre el cuerpo se obtiene:
W(F resultante) = F ⋅ ∆ x ⋅ cos 0 = F ⋅ ∆ x = m ⋅ a ⋅
v 2 − v o2 1
1
= ⋅ m ⋅ v 2 − ⋅ m ⋅ v o2
2⋅a
2
2
Por otra parte sabemos que el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su
energía, y como en este caso sólo se ha modificado su velocidad, y la energía asociada a la
misma se llama energía cinética, podemos poner:
W (F resul.) = Ec 2 − Ec1 = ∆Ec
comparando ambas expresiones se deduce que:
•
La ecuación
W (F resultante) = ∆ Ec
Ec =
1
⋅m ⋅ v2
2
es conocida como:
teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética: “el trabajo realizado sobre un
cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su energía cinética”.
Aunque no lo veremos, se puede demostrar que este teorema es completamente general y
no depende de la naturaleza ni de la dirección de las fuerzas que actúan (exterior, rozamiento,
peso….), se aplica a la resultante de todas ellas.
r
r
r
r
FR
N
F
N
r
P
r
P
Problema resuelto
Una fuerza constante de 15 N actúa durante 12 s sobre un cuerpo de 2,5 kg que lleva una
velocidad de 1,5 m/s en la misma dirección y sentido que la fuerza. Calcula la energía cinética
final por aplicación del teorema de las fuerzas vivas.
Solución: Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección, podemos resolverlo
usando únicamente los módulos de los vectores.
; 15 = 2,5 . a ; a = 6 m/s 2
1
1
∆x = v 0 . t + a. t 2 ; ∆x = 1,5 .12 + 6.12 2 ; ∆x = 450 m
2
2
W = F. ∆x . cos θ ; W = 15 . 450 . 1 = 6750 J
F = m.a
W = Ec 2 − Ec1
;
6750 = Ec 2 −
1
2,5 .1,5 2
2
; Ec 2 = 6752,8 J
pág. 5
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
Problema resuelto
Un coche lleva una velocidad de 30 m/s cuando su conductor quita la marcha y lo pone en
“punto muerto”. Si el coeficiente dinámico de rozamiento entre sus ruedas y el suelo es de 0,5.
¿Cuál es la distancia que recorre hasta pararse?.
Solución:
W(Fresul. ) = ∆Ec = Ec 2 − Ec1 ; La fuerza resultante es la fuerza de rozamiento que tiene
sentido contrario al desplazamiento, por lo que el coseno del ángulo (180º) es -1:
W = Fr . ∆r .cos θ = µ . N . ∆r . cos θ = 0,5 . m . 9,8 . ∆ r . (-1) = - 4,9 . m . ∆ r Julios
sustituyendo:
− 4,9 ⋅ m ⋅ ∆r = 0 −
1
m . 30 2
2
; ∆r = 91,8 m
A.14. ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?. ¿Por qué?.
A.15. Un automóvil de 1.000 kg de masa circula a 90 km/h cuando acelera para realizar un
adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de 95.000 J, calcula la velocidad del automóvil
después del adelantamiento.
Sol: 102,78 km/h
A.16. Un vehículo de 1.200 kg de masa circula a 72 km/h cuando frena uniformemente,
parándose cuando ha recorrido 30 m. Calcula la fuerza aplicada para detenerlo.
Sol: 8 000 N
A.17. Desde la base de un plano inclinado 30º se lanza un cuerpo de 2 kg de masa hacia arriba
con una velocidad de 15 m/s. Calcula la velocidad que lleva el cuerpo después de recorrer 5 m
por el plano inclinado.
Sol: 13,27 m/s
2.2. ENERGÍA POTENCIAL
A.18. ¿En qué caso puede realizar más trabajo un muelle, cuando está relajado o cuando está
comprimido?.
•
Podemos encontrarnos sistemas de partículas (de cuerpos) que son capaces de realizar trabajo
aunque estén en reposo, por ejemplo un cuerpo que está a una cierta altura, un tirachinas con
las gomas tensionadas, un muelle comprimido, etc.. En todos estos casos los sistemas poseen
una energía asociada a la posición de sus partículas, que recibe el nombre de energía
potencial.
La energía potencial es debida a las fuerzas que actúan entre las partículas de un sistema,
de modo que, para modificar la posición de las partículas, es necesario realizar un trabajo en
contra de dichas fuerzas. Así, para comprimir un muelle hay que hacer un trabajo exterior
venciendo las fuerzas elásticas. Para elevar un cuerpo a una cierta altura hay que vencer las
fuerzas gravitatorias de atracción Tierra-cuerpo. Vamos a ver precisamente estos dos tipos
importantes de energía potencial: gravitatoria y elástica.
pág. 6
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
2.2.1. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La energía potencial gravitatoria es la energía que poseen los cuerpos por el hecho de
estar a una cierta altura sobre la superficie terrestre (u otro astro).
r
F
Vamos a considerar el cuerpo de masa m
de la figura 5, que inicialmente está a una altura
ho y lo elevamos hasta una altura h, con
r
velocidad constante, mediante una fuerza F .
h
Suponemos que no hay rozamiento con el aire.
El trabajo realizado sobre el sistema será :
r r
W = F ⋅ ∆ r = F ⋅ ∆r ⋅ cos θ
ho
como: F = P = m g , cos θ = 1 , ∆r = ( h − h o )
Figura 5
W = m ⋅ g ⋅ ( h − h 0 ) = m.g . h − m.g . h 0
Por otra parte sabemos que el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su
energía, y como en este caso sólo se ha modificado la altura del cuerpo, y la energía asociada a la
misma se llama energía potencial, podemos poner:
Wext = ∆ Ep = Ep – Ep0
comparando ambas expresiones se deduce que:
Ep = m . g . h
Notas importantes:
- Se habla de energía potencial gravitatoria de un cuerpo cuando en realidad se debería
decir energía potencial gravitatoria del sistema Tierra-cuerpo, ya que si la Tierra no
ejerciese una atracción sobre el cuerpo, éste no tendría por sí mismo energía potencial.
Pero al sobreentenderse este hecho se omite mencionar la Tierra.
- En la fórmula de la energía potencial, h se toma como la altura sobre la superficie
terrestre, aunque en realidad es la distancia entre el centro de la Tierra y el cuerpo (el
radio de la Tierra más la altura), ya que un cuerpo tiene energía potencial 0 en el centro
de la Tierra. Sin embargo, si trasladamos el cero de la energía potencial de un cuerpo a la
superficie terrestre, entonces h representa la altura sobre la superficie terrestre.
- En la fórmula Ep = m . g . h se toma g = 9,8 m/s2 , pero sólo es válido si nos movemos
en pequeñas alturas sobre la superficie terrestre que no supongan una variación apreciable
en el valor de g (valor que, como vimos en el tema de dinámica, disminuye con la altura),
debiendo en caso contrario calcular g a partir de la expresión de la ley de Gravitación
Universal de Newton y aplicar el cálculo integral..
A.19. ¿Puede ser negativa la energía potencial de un cuerpo?. ¿Qué significado tiene?.
pág. 7
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
A.20. Un cuerpo de 10 kg de masa se encuentra sobre una mesa de 1 m de altura en una
habitación que tiene una altura de 10 m sobre la calle. Calcula:
a) Ep del cuerpo respecto de la calle y del suelo de la habitación.
b) Si el cuerpo cae de la mesa al suelo de la habitación, calcula la variación de su energía
potencial respecto a la calle y a la habitación.
Sol: a) 1 078 J , 98 J ; b) -98 J
A.21. Un cuerpo situado a 2 m de la superficie, ¿dónde tendrá más energía potencial gravitatoria,
en la Tierra o en la Luna?.
2.2.2. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA
Es la energía que poseen los cuerpos elásticos cuando
están deformados (alargados o comprimidos).
Vamos a analizar el caso de un muelle de longitud L0 que se
comprime (Figura 6). Suponemos que inicialmente el muelle está
comprimido X1 bajo la acción de una fuerza F1 (según la ley de
Hooke: F1 = k . X1 ) , y ejercemos una fuerza F2 hasta conseguir una
compresión X2 (según la ley de Hooke: F2 = k . X2 ). Como la fuerza
no es constante, calculamos el trabajo gráficamente, que coincide
con el área del trapecio señalado en la figura:
Wext
W=
Figura 6
F + F2
kx + kx 2
= 1
(x 2 − x 1 )
(x 2 − x 1 ) = 1
2
2
(k ⋅ x1 + k ⋅ x 2 ) ⋅ (x 2 − x1 ) = k ⋅ (x 1 + x 2 ) ⋅ (x 2 − x1 ) = k ⋅ (x 22 − x 12 ) = 1 k ⋅ x 2 −
2
2
2
2
2
1
k ⋅ x 12
2
Como en este caso el trabajo se ha invertido en aumentar la energía potencial elástica:
W
ext
= ∆E
p
= Epe − Epe o
; comparando ambas expresiones se deduce que:
E pe =
1
⋅ k ⋅ x2
2
2.3.- FUERZAS CONSERVATIVAS. CARACTERÍSTICAS.
Hemos visto la variación de energía potencial gravitatoria que se produce en un cuerpo
(sistema) debido al trabajo realizado por una fuerza exterior venciendo las fuerzas propias del
sistema, pero es conveniente también analizar qué ocurre si las únicas fuerzas que actúan son las
gravitatorias, propias del sistema Tierra-cuerpo (fuerzas internas).
Si el cuerpo de la figura 5 lo dejamos libre cuando está en la altura h , de modo que la única
fuerza que actúe sea la gravitatoria, es decir, el peso (fuerza interior), el trabajo realizado por esta
fuerza será:
r r
W int = P ⋅ ∆ r = P ⋅ ∆r ⋅ cos θ
y como: P = m g , cos θ = 1 , ∆r = ( h − h 0 ) , entonces :
Wgravit. = m ⋅ g ⋅ ( h − h 0 ) = m . g . h − m . g . h 0 = Ep − Ep 0 = - ∆ Ep
W
= −∆E
gravit.
p
pág. 8
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
* De igual forma, al dejar libre un muelle comprimido, se puede demostrar que la fuerza
recuperadora realizaría un trabajo tal, que se cumpliría:
Welástica = − ∆E p
Por tanto, se concluye que los sistemas abandonados a las fuerzas propias del sistema
evolucionan siempre de modo que su energía potencial disminuya, es decir, las fuerzas interiores
realizan un trabajo a expensas de la energía potencial que poseía el sistema.
En estos dos casos de sistemas de cuerpos en los que las fuerzas internas son fuerzas
gravitatorias o elásticas, podemos concluir que el trabajo exterior que se ha realizado para
vencerlas, lo acumula el sistema en forma de energía potencial, que luego puede recuperarse
íntegramente al dejarlo libremente. Las fuerzas que poseen esta característica se denominan
fuerzas conservativas y llevan asociada una energía potencial propia del sistema.
Problema resuelto
Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (peso):
a) Al elevar un cuerpo de 5 kg a 3 m de altura.
b) Al dejarlo caer desde esa altura.
c) ¿Cuál es el trabajo total?.
r
r
r
Fg = P = m . g
Solución:
r
r
r
r
a) W = Fg . ∆ r = 5 . − 9,8 j) . 3 j = −147 J = −∆Ep
r
r
r
r
b) W = Fg . ∆ r = 5 . − 9,8 j . ( −3 j ) = 147 J = - ∆Ep
(
(
)
c) WTOTAL = WSUBIDA + WBAJADA = −147 + 147 = 0
Características de las fuerzas conservativas.
Consideremos para ello los ejemplos que se ilustran en las figuras:
Desde una misma altura h, una misma bola de masa m es, en primer lugar, lanzada
horizontalmente; luego se la deja caer por un plano inclinado, y, por último, es dejada caer
libremente. Supongamos que no hay rozamiento en ninguna de estas situaciones. ¿Cuál es el
trabajo que ha realizado en cada ocasión la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo al llevarlo desde la
misma altura h hasta el suelo?.
• Caso a: la trayectoria descrita es una semiparábola.
Sean, por ejemplo, (0, h ) las coordenadas del punto de lanzamiento y
(x ,0) las del punto de aterrizaje en el suelo. La fuerza actuante es la
fuerza gravitatoria que incide sobre el objeto (su peso, dirigido
verticalmente hacia abajo). Como, el peso y el desplazamiento no
coinciden en dirección durante el movimiento debemos aplicar la
definición de trabajo como producto escalar para calcularlo:
h
x
pág. 9
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
r
r r
Fuerza actuante: F = P = − m . g j
r
r
r r r
Desplazamiento: ∆ r = r - r0 = x i − h j
Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será:
r r
r
r r
W = F . ∆ r = − m.g j x i − h j = 0 − m.g( − h) + 0 = m.g.h
[
]
• Caso b: la trayectoria descrita es una recta con inclinación
L
h
α
En esta ocasión, la fuerza que realiza el trabajo es la componente del peso
en la dirección del plano inclinado (Px = m g sen α) , y su dirección coincide
con el desplazamiento (cuyo valor es la longitud L del plano). Así pues, el
trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cuerpo desciende por
el plano inclinado vale:
W = Px . ∆r . cos θ = m . g. senα . L .1 .
;
como
el trabajo viene a valer lo mismo que en el caso a:
L.sen α = h
W = m.g.h
• Caso c: la trayectoria descrita es una recta vertical.
La fuerza que actúa es el peso (m.g) y su dirección coincide con el
desplazamiento (cuyo valor es h), por lo que el trabajo realizado por la fuerza
gravitatoria cuando el cuerpo cae en caída libre es también:
h
W = P . ∆ r .cos θ = m.g.h.1 = m.g.h
En conclusión, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando un cuerpo cae desde
una altura h hasta el suelo es independiente de la trayectoria seguida en la caída y sólo depende
de la posición inicial (altura a la que se encuentre) y de la final (suelo).
Pues bien, ésta es una de las características que tienen las fuerzas conservativas:
• El trabajo realizado por las fuerzas conservativas sólo depende de la posición inicial y final
del cuerpo y es independiente de la trayectoria seguida para pasar de un punto a otro.
De lo anterior se deriva otra importante propiedad de las fuerzas conservativas: si la
posición final coincide con la inicial después de haber seguido una trayectoria cíclica o de «ida y
vuelta», el trabajo realizado por ellas a lo largo de toda la trayectoria es cero.
• El trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria cíclica, o de ida
y vuelta, es nulo.
• Además, dicho trabajo equivale a la variación negativa de la energía potencial:
W int = −∆E P
Pues bien, fuerzas como la gravitatoria, la elástica y la electrostática, son conservativas.
pág. 10
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
2.4. ENERGÍA MECÁNICA. CONSERVACIÓN
Una consecuencia importante de lo visto hasta ahora es que los diferentes tipos de energía
estudiados pueden ser convertidos en trabajo mecánico; pues bien, se llama energía mecánica
de un cuerpo a la energía total que puede transformarse íntegramente en trabajo y, por
tanto, es la suma de la energía cinética y las diferentes potenciales que posea el cuerpo
(gravitatoria, elástica,...).
Em = Ec + Ep
Teorema de conservación de la energía mecánica:
Supongamos un cuerpo que se mueve bajo la acción de diferentes fuerzas:
r
r
r
W total = W ( F resultante) = W ( F conserv.) + W ( F ext.)
r
Si el W ( F ext.) = 0
como
⇒
r
r
W ( F resultante) = W ( F conserv.)
r
W ( F resultante) = ∆ Ec
∆ Ec = - ∆ Ep
; ∆ Ec + ∆ Ep = 0
Em1 = Em2
y W conserv. = −∆E P ,
,
∆ Em = 0
,
resulta:
es decir:
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
lo que constituye el teorema de conservación de la energía mecánica: “ En un sistema aislado
(no actúa ninguna fuerza exterior sobre él) la energía mecánica del sistema permanece
constante”.
En conclusión, en un sistema aislado la energía puede transformarse de unas formas a
otras (de cinética a potencial o viceversa), pero la energía total permanecerá constante. Por esta
razón las fuerzas gravitatorias y la elásticas se llaman fuerzas conservativas (la Em se conserva).
Problema resuelto
Desde lo alto de un plano inclinado de 2 m de longitud y 30º de inclinación se deja resbalar un
cuerpo de 500 g de masa al que se le imprime una velocidad inicial de 1 m/s. Suponiendo nulo
el rozamiento, calcula la velocidad con que llega al suelo.
Solución: Al no haber rozamiento y como W(N) = 0, se puede considerar que no hay fuerzas
exteriores, por lo que se conserva la energía mecánica:
La altura inicial del cuerpo es: h1 = L .sen30 = 2. 0,5 = 1 m
(1)
La altura final es h2 = 0
L
h1
1
1
mv 12 = mgh 2 + mv 22
2
2
1
1
0,5 . 9,8 .1 + 0,5.12 = 0 + 0,5 . v 22 ; v 2 = 4,54 m/s
2
2
Em 1 = Em 2
;
mgh 1 +
α
(2)
pág. 11
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
* También se puede resolver de esta otra forma:
WRESULTANTE = ∆E C ;
La fuerza que le hace bajar es la componente del peso paralela al plano:
PX = m g senα = 0,5 . 9,8 . 0,5 = 2,45 N ; El desplazamiento ∆r = 2 m , y el ángulo formado es 0º
W = F. ∆x .cosθ = 2,45 . 2 . cos 0 = 4,9 J
4,9 =
1
1
0,5 . v 22 − 0,5 .12
2
2
;
Como W result. = Ec 2 − Ec1
; v 2 = 4,54 m/s
Problema resuelto
Un cuerpo de 500 g lleva una velocidad de 5 m/s cuando
choca contra un muelle de K = 300 N/m. Calcula la
deformación que se produce en el muelle.
Solución:
El sistema muelle-cuerpo se puede considerar un sistema aislado, por lo que la energía mecánica
se conserva. La Ec del cuerpo se transforma en energía potencial elástica del muelle.
(Em sistema)1= (Em sistema)2
;
(Em muelle)1 + (Em cuerpo)1 = (Em muelle)2 + (Em cuerpo)2
Epe 2 + Ec1 + Ep1 = Epe 2 + Ec 2 + Ep 2
0+
1
1
0,5. 5 2 + 0 = 300. x 2 + 0 + 0
2
2
;
x = 0,20 m = 20 cm
A.22. Un cuerpo de 2 kg está a una altura de 20 m sobre el suelo y se deja caer. Calcula la Ep,
Ec, y Em en cada uno de los siguientes puntos:
a) En la posición inicial.
b) Cuando se encuentra a 5 m del suelo.
c) Al llegar al suelo.
d) Si el cuerpo es elástico y rebota, calcula hasta que altura subirá si pierde una energía de 100 J
debido al choque.
Sol: a, b, c) Em = 392 J ; d) 14,9 m
2.5.- FUERZAS NO CONSERVATIVAS.ROZAMIENTO.
En los sistemas físicos reales no sólo participan las fuerzas internas conservativas del
sistema (gravitatorias, elásticas..); por el contrario, lo habitual es que existan también fuerzas
exteriores entre ellas el rozamiento que hacen que no se conserva la Em, por lo cual se llaman no
conservativas.
Un ejemplo típico lo constituye la caída de un objeto en la que además de la fuerza
gravitatoria actúa la fricción con el aire.
En estos casos:
Wext = ∆Em = ∆Ec + ∆Ep
El trabajo realizado por el rozamiento es negativo, por lo que se produce una disminución
de la energía mecánica del sistema. Parte de la energía mecánica del sistema se disipa en forma
de calor; por ello, las fuerzas como el rozamiento se llaman disipativas.
pág. 12
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
Problema resuelto
Desde lo alto de un plano inclinado de 2 m de longitud y 30º de
inclinación se deja resbalar un cuerpo de 500 g de masa al que se
le imprime una velocidad inicial de 1 m/s. Si el coeficiente de
rozamiento con el plano es 0,2, calcula la velocidad con que llega
al suelo.
h0
L
α
Solución:
La altura inicial es: h 0 = L . sen30 = 0,5 . 2 = 1 m
Al existir rozamiento no se conserva la energía mecánica. Debido a la fricción, la Em (final) es
menor que la Em (inicial). Parte de la Em (inicial) se transforma en calor.
WRozamiento = Em (final) − Em (inicial)
;
W(roz) = Fr . ∆ r.cos θ = µ .m .g .cos α . L. (-1)
1
1
− µ . m . g . cos α . L = ( m.v f2 + m.g.h f ) − ( mv 02 + m.g.h 0 ) ;
2
2
1
1
− 0,2 . 0,5 . 9,8 . 0,866 . 2 = ( 0,5 . v f2 + 0) − ( 0,5 .1 2 + 0,5 . 9,8 .1)
2
2
;
v f = 3,7 m/s
3. POTENCIA
A.23. Una grúa levanta un conjunto de 20 sacos de cemento de 50 kg cada uno hasta un 5º piso,
situado a una altura de 15 m, durante 20 segundos. La grúa de la obra de enfrente hace lo mismo
en medio minuto. ¿Qué máquina realiza más trabajo?. ¿Cuál crees que es más eficaz?
En muchos sistemas capaces de realizar un trabajo, como ocurre con muchas máquinas,
no sólo es importante el trabajo que desarrollan, sino también la rapidez con que lo efectúan, por
lo que es conveniente definir una nueva magnitud que llamamos potencia y que es el trabajo
realizado en la unidad de tiempo.
W
P=
∆t
•
La unidad de potencia se denomina vatio (W) en honor del ingeniero escocés James Watt
(1736-1819). Con frecuencia se suelen utilizar múltiplos del vatio como son el kilovatio
(kW) y el megavatio (MW), y también el caballo de vapor (CV) unidad que equivale a
735,5 vatios.
A.24. Define la unidad de potencia en el sistema internacional.
A.25. Calcula la potencia desarrollada por las máquinas de la actividad 23.
Sol: 7350 W , 4900 W
A.26. Calcula el tiempo empleado en llenar un depósito de agua de 20 m3 de capacidad situado a
una altura media de 15 m, si se emplea un motor de 10 CV.
Sol: 6 min 40 s
pág. 13
Física 1º Bachillerato
•
Trabajo y Energía
Un caso interesante y sencillo es el cálculo de la potencia de una fuerza motora cuando el
móvil se mueve con velocidad constante. Por ejemplo, la potencia que desarrolla el motor
de un automóvil para mantener a éste con velocidad constante venciendo la fuerza de
rozamiento. Como realiza una fuerza constante contraria a la de rozamiento, desarrollará la
siguiente potencia:
P=
W F ⋅ ∆r ⋅ cos 0º
∆r
= F⋅v
=
= F⋅
∆t
∆t
∆t
P=F.v
Esta expresión es muy útil en algunas aplicaciones, pudiendo observar que la potencia
desarrollada depende de la rapidez del movimiento, o a la inversa, de ahí que cada vehículo
tenga una velocidad límite en función de la potencia que puede desarrollar.
Problema resuelto
Durante un día, la energía solar incide sobre una casa a razón de 400 W/m2 durante 8 h.¿Cuánta
energía es captada por un ventanal de 5 m2?. Expresa el resultado en Kwh.
Solución:
P = 400
W
m
2
. 5 m 2 = 2000 W ; P =
Energía = 5,76.107 J .
Energía
; Energía = P . t = 2000 W . 28800 s = 5,76.107 J
tiempo
1 kWh
3,6.106 J
= 16 kWh
A.27. Calcula la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento de un vehículo que alcanza
una velocidad de 100 km/h cuando desarrolla una potencia de 30 CV.
Sol: 794,34 N
A.28. A la vista de la definición de potencia, ¿de qué magnitud será unidad el kilovatio-hora
(kWh)?. ¿Cuál es su equivalencia en unidades del S.I.?.
A.29. Calcula la potencia que debe desarrollar un ciclista para subir una rampa del 12 % con una
velocidad constante de 12 km/h, si la masa del ciclista más la bicicleta es de 80 kg y el
coeficiente de rozamiento es 0,1.
Sol: 570,7 W
pág. 14
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
1.- Calcula la fuerza de rozamiento que actúa entre un cuerpo de 10 kg de masa y el suelo, si al
lanzarlo con una velocidad de 10 m/s, se detiene tras recorrer 5 m.
Sol: 100 N
2.- Un cuerpo de 200 g de masa está sujeto a un muelle y apoyado sobre un plano horizontal.
Separamos el conjunto 10 cm de su posición de equilibrio y lo soltamos. Sabiendo que la
constante elástica del muelle es 2000 N/m, calcula:
a) Velocidad del cuerpo cuando pase por la posición de equilibrio.
b) Velocidad del cuerpo cuando se encuentre a 5 cm de la posición de equilibrio.
Sol: a) 10 m/s ; b) 8,66 m/s
3.- Una pistola de juguete tiene un muelle de 200 N/m de constante. Para cargarla con una bola
de 10 g se comprime el muelle 5 cm. Calcula la velocidad con que la bola sale de la pistola.
Sol: 7,07 m/s
4.- Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba por un plano inclinado 20º. Sobre el cuerpo
actúan, además del peso, las siguientes fuerzas: una horizontal de 80 N en el sentido del
movimiento, una paralela al plano de 100 N en el sentido del movimiento y la de rozamiento de
10 N. Calcula el trabajo de cada fuerza, así como el trabajo resultante al desplazarse 20 m.
Sol: Wp = -268,14 J ; W1 = 1503,5 J ; W2 = 2000 J ; WFr = -200 J ; Wtotal = 3035,35 J
5.- Un vehículo de 1000 kg de masa está subiendo una cuesta de 10º de inclinación con una
velocidad de 72 km/h. Cuando faltan 100 m para llegar a la cumbre se le acaba la gasolina.
Determina la velocidad con que llegará al final de la cuesta (si es que llega):
a) Considerando despreciable los rozamientos
b) Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0,2
Sol: a) 7,72 m/s ; b) No llega
6.- Un muelle cuya constante es 500 N/m es comprimido 20 cm por una masa de 2 kg.
A continuación se deja libre el muelle. Suponiendo que no existe rozamiento, calcula:
a) La velocidad con que la masa se separa del muelle
b) La altura que alcanza el cuerpo si tras abandonar el muelle asciende por un plano inclinado
45º.
Sol: a) 3,16 m/s ; b) 0,51 m
7.- Una pelota de 30 g es capaz de rebotar hasta una altura que es el 90 % de la altura inicial.
¿Cuánta energía pierde cuando la pelota rebota dos veces si se suelta desde 3 m de altura?.
Sol: 0,168 J
8.- ¿Desde qué altura del plano inclinado hay que dejar caer un cuerpo para que al llegar al final
del plano pueda describir un “rizo”?. (Supón que no hay rozamientos)
R
Sol: h =
5
⋅R
2
h
pág. 15
Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
9.- Un cuerpo desciende 2 m por un plano inclinado 30º y coeficiente de rozamiento 0,2, después
entra en una superficie horizontal de idéntico rozamiento. Calcula: a) velocidad del cuerpo al
final del plano y b) distancia que recorre sobre el plano horizontal hasta pararse.
Sol: a) 3,6 m/s ; b) 3,3 m
10.- Una piedra de 200 g se deja caer desde una ventana situada 10 m sobre el suelo, llegando al
suelo con una velocidad de 10 m/s. Calcula la energía disipada por rozamiento y la fuerza media
que el aire ha opuesto a la caída de la piedra.
Sol: 9,6 J ; 0,96 N
11.- Un péndulo simple está constituido por una masa m que cuelga de una cuerda de masa
despreciable y de 1 m de longitud. Si desplazamos lateralmente dicha masa de modo que la
cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, y la dejamos en libertad, ¿con qué velocidad
pasará por el punto más bajo (posición inicial)?.
Sol: 1,62 m/s
12.- Sobre un cuerpo de 2 kg de masa apoyado en el suelo se ejerce una fuerza vertical de 30 N.
Calcula la velocidad del cuerpo cuando está a 2m de altura.
Sol: 4,56 m/s
13.- Un cuerpo de 2 kg de masa se encuentra en reposo en la base de un plano inclinado 30º. Si
se ejerce una fuerza de 15 N en la dirección del plano, calcula la velocidad del cuerpo cuando ha
recorrido 2m: a) sin rozamiento, b) si el coeficiente de rozamiento es 0,1.
Sol: a) 3,22 m/s , b) 2,65 m/s
14.- La duración del programa de un lavavajillas es 50 minutos. Si la potencia del lavavajillas es
2.500 W y el precio del kilovatio-hora es 0,13 euros más IVA (16%), calcula el coste de la
ejecución del programa entero.
Sol: 0,314 euros
pág. 16