Parte 1. Resolución de una ecuación f(x)=0

Parte 1. Resolución de una ecuación
f (x) = 0
Gustavo Montero
Escuela Universitaria Politécnica
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2006-2007
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
f (x) = 0
Ejemplo
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
1
h − z0 − D
log
B
C
d
B
C, se puede
Llamando @k =
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
0
n = 1 + nk
Separación de raı́ces
Existencia de raı́ces: Teorema de Bolzano
Supongamos que f ∈ C [a, b] y f (a)f (b) < 0. Entonces existe un número
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Unicidad de raı́ces: Teorema de Rolle
Para que en un intervalo existan más de una raı́z, necesariamente se debe
cumplir el teorma de Rolle tomando como extremos dos de las raı́ces y
Suponiendo que f ∈ C [a, b] y es derivable en (a, b).
Ecuaciones polinómicas
P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + ... + an−1 x + an = 0
Teorema de acotación
˛ ˛
˛ ai ˛
˛
˛
Si λ = maxi ˛ ˛, todas las raı́ces reales y complejas z de la ecuación polinómica
a0
verifican |z| ≤ λ + 1
Sucesión de Sturm
Sean f0 , f1 , ..., fm , m + 1 funciones reales continuas en [a, b], con f0 ∈ C 1 [a, b]. Se dice
que estas funciones forman una sucesión de Sturm en [a, b] si se verifican las
siguientes condiciones:
I f0 no tiene ceros múltiples en [a, b].
I fm no se anula en [a, b].
I Si para algún r ∈ [a, b] y algún j(0 < j < m), se tiene fj (r ) = 0, entonces
fj−1 (r )fj+1 (r ) < 0.
I Si para algún r ∈ [a, b] se tiene f0 (r ) = 0, entonces f00 (r )f1 (r ) > 0.
Ecuaciones polinómicas
Teorema de Sturm
Si {f0 , f1 , ..., fm } es una sucesión de Sturm en [a, b] y si a y b no son raı́ces de
f0 (x) = 0, el número de raı́ces de esta ecuación comprendidas en (a, b) es igual a la
diferencia entre el número de cambios de signo que hay en {f0 (a), f1 (a), ..., fm (a)} y en
{f0 (b), f1 (b), ..., fm (b)}.
Obtencı́ón en la práctica de una sucesión de
Sturm
I f0 (x) = P(x)
I f1 (x) = P 0 (x)
„
«
f (x)
I −Resto 0
f1 (x)
I ......................
„
«
f
(x)
I −Resto m−2
fm−1 (x)
Siendo fm+1 = 0.
Separación de raı́ces
Si sabemos que todas las raı́ces de
P(x) = 0 están en [a, b], podemos
dividir el intervalo
en dos,
– »
–
»
a+b
a+b
y
, b , y aplicar
a,
2
2
el teorema de Sturm para saber el
número de raı́ces que tiene cada
uno. Aplicando esta técnica
sucesivamente podemos aislar
cada raı́z en un intervalo.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Representación gráfica
Algoritmo
Supongamos que f (a)f (b) < 0
a0 = a, b0 = b
a0 + b0
c0 =
2
Si f (a0 )f (c0 ) < 0 entonces
a1 = a0 , b1 = c0
Caso contrario a1 = c0 , b1 = b0
........................
an + bn
cn =
2
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an ,
bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn ,
bn+1 = bn
Convergencia
Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-ésimo paso, el método de bipartición aproxima una raı́z con un error
b−a
.
máximo de
2n
Método de Punto Fijo
Definición
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
f (xn )
xn+1 = xn − 0
f (xn )
xn+1 → xn
Convergencia (condición débil)
00
˛ 0 ˛
˛g (x)˛ = |f (x)f (x)| ≤ c < 1
|f 0 (x)|2
∀x ∈ (x ∗ − δ, x ∗ + δ) .
Método de la Secante
Deducción del algoritmo
f 0 (xn ) ≈
f (xn ) − f (xn−1 )
xn − xn−1
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 =
f (xn ) (xn − xn−1 )
xn −
f (xn ) − f (xn−1 )
xn+1 → xn
Método de Regula Falsi
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un a0 = a, b0 = b
f (bn ) (bn − an )
cn = bn −
f (bn ) − f (an )
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de una raı́z
Supongamos que f (x) y sus derivadas f 0 (x), ..., f (M) (x) están definidas y son
continuas en un intervalo centrado en el punto x ∗ . Se dice que f (x) = 0 tiene una
raı́z de orden M en x = x ∗ si
f (x ∗ ) = 0, f 0 (x ∗ ) = 0, ..., f (M−1) (x ∗ ) = 0, f (M) (x ∗ ) 6= 0
Orden de convergencia
∗
∗
Supongamos que {xn }∞
n=0 converge a x y sea En = x − xn para cada n ≥ 0. Si
existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que
lim
n→∞
|x ∗ − xn+1 |
|x ∗ − xn |R
= lim
n→∞
|En+1 |
|En |R
= A,
entonces se dice que la sucesión converge a x ∗ con orden de convergencia R y el
número A se llama constante asistótica del error.
Si R = 1 se llama convergencia lineal
Si R = 2 se llama convergencia cuadrática
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia del método de Newton-Raphson
I
Si el grado de
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadrática:
˛ 00multiplicidad
˛
˛f (x ∗ )˛
2
|En |
|En+1 | ≈
2 |f 0 (x ∗ )|
I
Si el grado de multiplicidad de x ∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:
M−1
|En+1 | ≈
|En |
M
Orden de convergencia del método de la Secante
I
Si el grado˛de multiplicidad
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:
˛
˛ f 00 (x ∗ ) ˛0.618
˛
˛
1.618
|En+1 | ≈ ˛
|E
˛
n|
˛ 2f 0 (x ∗ ) ˛
Método de Newton-Raphson acelerado para raı́ces múltiples
f (xn )
xn+1 = xn − M
f 0 (xn )
siendo M es grado de multiplidad de la raı́z x ∗ .
De esta forma, obtenemos convergencia cuadrática a x ∗ ,
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Ecuación compleja
Sea f : C → C , con f ∈ C 2 [C , C ].
f (z) = 0
z = x + iy ,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )
Método de Newton
zn+1 = zn −
f (zn )
f 0 (zn )
Condición de Cauchy-Riemann
∂u
∂v
∂f ∂z
∂f
∂f
=
+i
=
=
∂x
∂x
∂x
∂z ∂x
∂z
∂u
∂v
∂f ∂z
∂f
∂f
=
+i
=
=i
∂y
∂y
∂y
∂z ∂y
∂z
Por tanto,
∂f
∂u
∂v
∂v
∂u
=
+i
=
−i
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Obtención del algoritmo
zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −
u(xn , yn ) + i v (xn , yn )
∂u(xn , yn )
∂v (xn , yn )
+i
∂x
∂x
Parte real
xn+1
∂u(xn , yn )
∂u(xn , yn )
u(xn , yn )
− v (xn , yn )
∂x
∂y
= xn −
–
»
–
»
∂u(xn , yn ) 2
∂u(xn , yn ) 2
+
∂x
∂y
yn+1
∂u(xn , yn )
∂u(xn , yn )
v (xn , yn )
+ u(xn , yn )
∂x
∂y
= yn −
»
–
»
–
∂u(xn , yn ) 2
∂u(xn , yn ) 2
+
∂x
∂y
Parte compleja
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula
Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
I Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
I En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
I Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
I Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
I En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.