Cuerpos geometricos en el plano y en el espacio

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-28 – ENERO DE 2011
“CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO Y EN EL
ESPACIO: APLICACIONES DIDÁCTICAS.”
AUTORIA
FERNANDO VALLEJO LÓPEZ
TEMÁTICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ETAPA
ESO
Resumen
EN ÉSTE ARTÍCULO, SE ESTUDIAN LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS DEL PLANO Y DEL
ESPACIO EUCLÍDEO. VEMOS SU CLASIFICACIÓN, CARACTERÍSTICAS MÁS IMPORTANTES,
PERÍMETRO, ÁREA, VOLUMEN, ETC.
FINALMENTE; VEMOS VARIAS APLICACIONES DIDÁCTICAS EN 3º Y 4º DE ESO.
Palabras clave
• Cuerpos Geométricos.
• Aplicaciones Didácticas.
1. INTRODUCCIÓN.
En éste artículo; se pretenden estudiar los cuerpos Geométricos del plano y del espacio Euclídeo, profundamente cada uno
de ellos. Viendo:
Sus características más importantes, su área, su volumen, su clasificación, etc.
Estas figuras Geométricas del plano y del espacio, deben ser conocidas por los alumnos de 3º y 4º de ESO, aunque sea
muy superficialmente. Para posteriormente, utilizarlas en la práctica diaria, como por ejemplo cuándo deseamos conocer los
litros de agua que contiene una piscina circular o cuadrada. Se calcula fácilmente, multiplicando los
3
m
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de agua por 1000.
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2. CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO.
2.1. TRIÁNGULOS:
Un triángulo, es una figura formada por tres líneas que se cortan mutuamente.
Clasificación:
• Según sus lados:
Equilátero. El que tiene los tres lados iguales.
Escaleno. El que tiene los tres lados desiguales.
Isósceles. El que tiene iguales dos lados.
•
Según sus ángulos:
Acutángulo. El que tiene los tres ángulos agudos.
Obtusángulo. El que tiene obtuso uno de sus ángulos.
Rectángulo. El que tiene recto uno de sus ángulos.
Características:
Se llaman lados de un triángulo las rectas que lo forman, y base cualquiera de ellas tomada como tal; la altura es el
segmento de la perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la base.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos ángulos rectos (180°). O lo que es lo mismo es igual a
un ángulo llano, 180º.
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B = base; h = altura
Área.
Área del triángulo =B.h/2
Perímetro.
Para hallar el perímetro de un triángulo, es necesario medir sus lados. Si nos falta un lado, se puede hallar por el teorema de
Pitágoras; sólo en los triángulos rectángulos.
-Triángulo rectángulo
TEOREMAS:
Teorema de Pitágoras.
En un triángulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los 2 catetos.
Permite calcular la hipotenusa a partir de los 2 catetos:
O bien; calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:
Teorema de los catetos.
El cuadrado de cada cateto, es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella; es decir:
c2 = a · m,
b2 = a · n
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Teorema de la altura.
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa, es igual al producto de los 2 segmentos en que la divide:
h2 = m · n
2.2. CUADRILÁTEROS:
Un cuadrilátero, es un polígono de 4 lados.
Clasificación.
Según sus lados:
-Paralelogramos. Si tienen sus 4 lados, paralelos dos a dos.
Los paralelogramos pueden ser: Los cuadrados (los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos).Rectángulos (los 4 ángulos
rectos). Rombos (los 4 lados iguales). Y Romboides (no tienen los lados iguales, ni los 4 ángulos rectos).
-Trapecios. Si tienen 2 lados opuestos paralelos y los otros 2 no.
-Trapezoides. Si no existe paralelismo entre sus lados.
Paralelogramo
Trapecio
Trapezoide
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Características.
• La suma de sus ángulos interiores es 360º.
• Los pares de lados opuestos son iguales.
• Los pares de ángulos opuestos son iguales.
• Cada 2 ángulos contiguos son suplementarios.
• Sus 2 diagonales se cortan en sus puntos medios.
Los cuadrados, los rectángulos, los rombos y los romboides son paralelogramos, y sus características son:
Cuadrados: sus 4 lados son iguales y sus 4 ángulos son rectos.
Rectángulos: sus 4 ángulos son rectos.
Rombos: sus 4 lados son iguales.
Romboides: sus 4 lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.
Área.
Si B= base, h=altura, entonces:
Área del rectángulo = b. h
, área del cuadrado=L.L=
L
2
.
2.3. POLÍGONOS REGULARES:
Un polígono, es una porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono queda determinado por sus
lados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos, que son los que forman cada dos lados consecutivos. Un
polígono regular, es aquel que tiene sus lados y sus ángulos todos iguales. Ejemplo:
El Hexágono Regular:
Es un polígono regular que tiene 6 lados y 6 ángulos iguales.
Características.
Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita, que pasa por todos sus vértices; y una circunferencia
inscrita, que es tangente a todos sus lados. El centro de ambas circunferencias, que es el mismo, se llama centro del
polígono. El radio del polígono, es el de la circunferencia circunscrita. El radio de la circunferencia inscrita, es la apotema
del polígono.
El radio R, la apotema a, y la mitad del lado l/2, de un polígono regular forman un triángulo rectángulo:
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Por tanto, se cumple:
R2 = a2 + (l/2)2
Perímetro.
El perímetro de un polígono regular de n lados =n.L;
dónde L=longitud de cualquier lado (todos son iguales).
Área.
El área de un polígono regular, es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema:
Área del polígono regular =perímetro. Apotema
2
2.4. CIRCUNFERENCIA:
Una circunferencia, es una Curva cerrada y plana, cuyos puntos son equidistantes de un punto interior que se llama
centro, situado en el mismo plano. La distancia desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio, r.
Una circunferencia viene determinada por: su centro y su radio.
Clasificación.
-Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.
Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan (no tienen ningún punto en común), tangentes, si
sólo se tocan en un punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.
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Una recta tangente a una circunferencia, es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.
-Posiciones relativas de dos circunferencias.
Dos circunferencias también pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes según tengan ninguno, uno o dos puntos
comunes respectivamente. Sin embargo; se puede precisar más las posiciones relativas de dos circunferencias, según la
distancia entre sus centros d, y las longitudes de sus radios, r1 y r2:
Exteriores: si no tienen puntos comunes, y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
Tangentes exteriores: si tienen un punto común, y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
Secantes: si tienen dos puntos comunes.
Tangentes interiores: si tienen un punto común, y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
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Interiores: si no tienen ningún punto común, y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.
Concéntricas: si tienen el mismo centro, pero distinto radio.
Características.
Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro.
Un radio, es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda, es un segmento rectilíneo cuyos
extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia, es la parte de ésta que está delimitada por dos
puntos llamados extremos. Un ángulo central, es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.
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3. CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.
3.1. PRISMA.
Es un Poliedro terminado por dos caras planas, paralelas e iguales que se llaman bases, y por tanto paralelogramos
cuantos lados tenga cada base.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, etc.
Clasificación.
Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, el prisma es recto, y en caso contrario, oblicuo.
Un prisma que tenga por bases paralelogramos se llama paralelepípedo.
Se llama prisma regular, el recto que tenga por bases polígonos regulares.
Características.
Las intersecciones de cada dos caras laterales, son las aristas laterales. El segmento de perpendicular a las bases
comprendido entre ellas, constituye la altura.
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas
laterales, se llama tronco de prisma.
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Área.
Se llama área lateral de un prisma, al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total, es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
Volumen.
El volumen de un prisma cualquiera es igual, al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
3.2. CILINDRO.
El Cilindro o Cilindro Circular Recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar alrededor de uno de
sus lados.
Características.
El cilindro consta de: Dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La
distancia entre las bases, es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las
bases, se llaman generatrices.
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Área.
Su área total es:
Atotal = Alateral + 2Abase
Volumen.
Su volumen es:
V = Abase · altura = ¶r2h.
3.3. LA PIRÁMIDE.
Es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y varias caras laterales, que son triángulos con un
vértice común llamado vértice de la pirámide.
Características.
La porción de pirámide comprendida entre la base y una sección plana que corta a todas sus aristas, se llama pirámide
truncada; si la sección es paralela a la base, se tiene un tronco de pirámide.
La altura de una pirámide (h), es la distancia del vértice a la base.
En la pirámide regular, las caras son triángulos isósceles iguales.
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Área.
El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
Y el área total:
Atot = Alat + Abase.
Volumen.
El volumen de una pirámide, es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
3.4. EL CONO.
El cono o cono circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno
de sus catetos.
Características.
La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cuál se gira es la altura, h. El otro cateto es el
radio, r, de la base.
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El desarrollo de la superficie de un cono en el plano, da lugar a un sector circular de radio g y ángulo (r/g) ·360º:
Volumen.
El volumen de un cono circular recto es:
3.5. LA ESFERA.
Una esfera, es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio
de la esfera, son los del semicírculo que la genera.
Características.
La superficie de la esfera o superficie esférica, puede definirse también como el lugar Geométrico de los puntos del
espacio cuya distancia al centro es igual al radio.
Un plano y una esfera pueden ser: exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un sólo punto común) o secantes, si
el plano atraviesa la esfera.
La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de la esfera, R, y
la distancia, d, del plano al centro de la esfera:
r2 = R2 – d2
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Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente), el círculo que determina en ella se llama, círculo
máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima.
Área.
El área de la superficie esférica es:
A = 4¶R2
Volumen.
El volumen de una esfera es:
V = 4¶R3/3.
4. APLICACIONES DIDÁCTICAS.
Los cuerpos Geométricos tanto del plano como del espacio, tienen su Aplicación Didáctica en 3º y 4º de ESO. Éstos
cuerpos Geométricos, se dan muy poco profundamente en la ESO, en 3º y 4º de ESO en el currículo oficial de la Eso.
Pero; es muy importante conocer las características, el área y el volumen de cada una de estas figuras Geométricas del
plano y del espacio.
En 3º de ESO, como aplicación Didáctica podemos resolver triángulos rectángulos, entendiendo que resolver un
triángulo rectángulo consiste en: Dados 2 elementos del triángulo rectángulo distintos del ángulo recto, de manera que al
menos uno de ellos sea un lado(cateto o hipotenusa), se pretende hallar el resto de lados (catetos e hipotenusa) y ángulos.
Utilizando para ello, el teorema de Pitágoras y que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
Los alumnos de la ESO, también pueden ver que un cilindro circular recto, es una alberca redonda; y por tanto pueden
calcular el volumen en litros, que contiene dicha alberca.
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Otra aplicación Didáctica en la ESO, sería: Estudiar la posición relativa de 2 circunferencias, conocidos sus centros y
radios. O también; estudiar la posición relativa de una recta y una circunferencia.
5. CONCLUSIÓN:
Los cuerpos Geométricos tanto del plano como del espacio, en el currículo oficial se estudian en 3º y 4º de ESO, muy poco
profundamente. Por ello; es necesario hacer un estudio más profundo de cada uno de ellos; viendo sus características, su
área, su volumen, etc.
Estos cuerpos Geométricos como el cilindro, a veces son utilizados por los Arquitectos en sus construcciones
Arquitectónicas, sobre todo en la cúpula de los edificios para decorarlos.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Coxeter, H.S.M. (1988). Fundamentos de Geometría. México: Ed. Limusa.
Martínez, J. (1969). Elementos De Matemáticas. Valladolid: Ed. Marfil.
Primo, A. (1986). Matemáticas. Curso de orientación universitaria. Madrid: Ediciones SM.
Río, J. (1990). Aprendizaje de las Matemáticas por descubrimiento. Una aplicación al estudio de las cónicas.
Salamanca: ICE de la universidad de Salamanca.
Autoría:
• Fernando Vallejo López
• IES Salvador Serrano, Alcaudete, Jaén
• E-mail: [email protected].
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