lógica proposicional - Nuestra Señora de Chota

ISEP “NUESTRA SEÑORA DE CHOTA”
Prof. José Lidonil Díaz Zorrilla
LÓGICA PROPOSICIONAL
EN EL LENGUAJE COMÚN
INTRODUCCIÓN
No es cierto que …
La lógica es, probablemente, una
de las ciencias de mayor importancia
para la civilización humana. El
desarrollo que ha alcanzado en este
último siglo y principalmente estas
últimas décadas, la ha convertido en
el
imprescindible
referente
del
desarrollo científico y tecnológico del
mundo contemporáneo.
Si … entonces …
… si y sólo si …
2. Proposición Compuesta o Molecular.- Es aquella
proposición que expresa más de una idea o la negación
de una proposición.
ENUNCIADO.- Es toda frase u oración que se utiliza en
el lenguaje común, por ejemplo:
Ejemplos:
- Miguel Grau fue marino y peruano.
- La carpeta es de madera o metal.
- No es cierto que Chota es un departamento.
NOTA: Los valores de verdad de una o más
proposiciones se pueden esquematizar por medio
de una tabla de verdad como:
Ejemplos:
Chota es una provincia cajamarquina
Lima es la capital del Perú
El doble de 3 es 5
¿Qué hora es?
¡Auxilio!
¡Viva el ISEP NSCH”
x+2=7
Para una
proposición
ENUNCIADO CERRARDO O PROPOSICIÓN LÓGICA.Es toda expresión coherente que se caracteriza por el
hecho de poseer un valor de verdad o veritativo es decir
si es verdadera (V) o falsa (F) sin ambigüedad en un
determinado contexto.
(V)
(F)
NOTA:
Los
mandatos,
preguntas,
exclamaciones, no son proposiciones lógicas,
ya que no se pueden calificar de verdaderas
o falsas.
Ejemplos:
¿Qué hora es?
¡Auxilio!
ENUNCIADO ABIERTO.- Es aquel enunciado que admite
la posibilidad de convertirse en una proposición lógica,
cuando cada variable asume un valor determinado.
Ejemplos:
Para tres
proposiciones
p
p
q
r
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Para dos
proposiciones
Generalmente las proposiciones se denotan con
letras minúsculas, como: p, q, r, s,…: por ejemplo:
p: Lima es la capital del Perú
q: El doble de 3 es 5
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
1. Negación (~)
Ejemplo:
No es cierto que el sol es un planeta
p
~
x+2=7
Si: x = 5
Si: x = 3
5+2=7
(V)
3+2≠7
(F)
CLASES DE PROPOSICIONES
1.




…o…
Parte de la lógica que tiene por objeto de estudio la
proposición y la relación entre ellas, así como las
variables proposicionales y conectivos lógicos.


~
…y…
LÓGICA PROPOSICIONAL







SÍMBOLO
Proposición Simple o Atómica.- Es
proposición que nos expresa una sola idea.
aquella
Ejemplo:
 p: El acero es un metal
 q: 52 = 25
NOTA: Se llaman conectivos lógicos a las
palabras que sirven para enlazar proposiciones o
cambiar el valor veritativo de una proposición.
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p
~p
V
F
F
V
2. Conjunción (  )
Ejemplo:
Miguel Grau fue peruano
p
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
y

Pablo Neruda chileno
q
Se observa que una conjunción
es
verdadera
solo
si
sus
componentes son verdaderos, en
otros casos será falsa. Las
palabras sin embargo, además,
no obstante, pero, aunque, no
obstante, también, así como,
a la vez, tal como, tanto como, al igual que, incluso, así
mismo”, etc., equivalen al conectivo (  ).
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3. Disyunción (  )
a. Inclusiva (débil)
Ejemplo:
Lorena Ramos es modelo
P
P
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
b.
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Ejemplo:
1
o

cantante
q
Se observa que la disyunción
inclusiva es falsa solo si sus
componentes son falsos, en
caso contrario es verdadera.
Las palabras o, u, salvo, a menos
que,
excepto,
equivalen
al
conectivo (  ).
Exclusiva (fuerte)
Ejemplo:
La puerta está abierta
p
P
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4. Condicional (  )
Ejemplo:
Si llueve
entonces
p

o
∆
cerrada
q
Se observa que la disyunción
exclusiva es verdadera solo si
sus
componentes
tienen
valores veritativos opuestos,
en caso contrario será falsa.
Las palabras “o” … “o” …,
equivalen al conectivo (∆).
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V

q)
q
 (q 
r)
Ejemplo:
Halle la tabla de verdad de: (p V ~ q) → q
~ q)

q
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
p
q
(p

V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
JERARQUÍA DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN
 Coma
Menor jerarquía
 Punto y coma
 Punto
 Dos signos de puntuación: mayor jerarquía
Ejemplo: Formalizar la expresión: “Si recibió su pago
entonces comprará su TV, pero no recibió su pago y se
fue triste”
q: Compra su TV
(p → q) Λ (~ p Λ r)
Se observa que la condicional
es falsa solo si su antecedente
es verdadero y su consecuente
falso, en caso contrario es
verdadera. Las expresiones:
 p de ahí que q
 p implica q
 p de modo que q
 p por lo tanto q
 p deviene q
 p conclusión q
 dado p por eso q
 p luego q
 cuando p a si pues q
 p por consiguiente q
Son equivalentes a (
 de p derivamos q
pq)
5. Bicondicional (  )
Ejemplo:
Iré a la fiesta
si y solo si
p

q
 (~ p
~ q)
r: Se fue triste
 Si p entonces q
P

p: Recibió su pago
la producción es buena
q
p: Antecedente
q: Consecuente
p
 (p
TIPOS DE PROPOSICIONES
1. TAUTOLOGÍA.- Un esquema proposicional
es una tautología si al evaluar todas las
posibles ordenaciones de los valores
veritativos de las variables proposicionales
que la componen siempre resulta
verdadero.
Ejemplo: Halle la tabla de verdad de:
[(~ p ν q) Λ ~ q] → ~ p
2. Contradicción.- Es una contradicción si al evaluar
todas las ordenaciones de los valores veritativos de
las variables proposicionales que la componen
resulta falso.
Ejemplo: Halle la tabla de verdad de:
[(p Λ q) ν q] Λ ~ q
tengo ropa nueva
q
pq
Se
observa
que
la
bicondicional es verdadera
V
V
V
solo si los valores de
V
F
F
verdad
de
sus
F
V
F
componentes son iguales,
F
F
V
en caso contrario es falsa.
Sus formas gramaticales son: si y solo si, solamente
si, cuando y solo cuando; entonces y solo entonces;
es idéntico, cada vez que y solo si,…, etc., son
equivalentes a ( p  q ).
ESQUEMAS PROPOSICIONALES
Generalmente las proposiciones estarán formadas
por varias proposiciones simples generando un esquema
proposicional.
Líderes en la Formación Docente… ¡Camino a la Acreditación!
3. Contingencia.- Un esquema proposicional es una
contingencia si su tabla de verdad contiene al menos
un verdadero y al menos un falso.
Ejemplo: Halle la tabla de verdad de:
(p → q) → p
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica a toda bicondicional
(p ↔ q) que sea una tautología, denotándose en tal
caso: (p ↔ q)
Por ejemplo: [p ˄ (p ν q)]
↔p
ESQUEMAS PROPOSICIONALES LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES
Dos esquemas proposicionales se llaman
equivalentes (≡) si sus tablas de verdad son
idénticas:
2
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Determine si: A: (p → q)
4. Determine la matriz principal
proposición: (p  q)  (r  p)
B: [~p v q]
A) Contingencia
son equivalentes
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
1.
2.
Idempotencia
p V p
≡ p
p Λ p
≡ p
Asociativa
A) Consistente
Conmutativa
A) Consistente
Distributiva
p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)
I) ~ p → (q ↔ t)
De D’Morgan
II) (r → ~ s) → (q
~ (p V q) ≡ ~p
Λ
~q
~ (p Λ q) ≡ ~ p
V
~q
p V (p

q)


III) (w → q) ↔ (p
q
I) ~ p
siguiente
C) Tautología
la
siguiente
C) Tautología
la
siguiente
C) Tautología
B) FVV
C) VVV
D) FVF
E) VFV
 t)
 ~ t)
II) (p  r) → p
q
B) FFV
III) (p → q)
C) FVV
D) FFF
 (q → p)
E) VFV
10. Si la proposición: (r  s) → [(p  ~ s) → (p  ~ q)]
es falsa, entonces determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
A) VVV
B) VFV
I)
(p  ~ q) ↔ r
C) VFF
D) FVV
II)
q  (~ p  ~ s)
E) FVF
III)
[~ p → r]  ~ s
p → q ≡ ~p V q
COMPLEMENTO



A) FVF
p V q
De la condicional
p  p
p p
V F
F V
la
9. Si (p  r) → (~ p → q) es falsa, entonces indique el
valor de verdad de las siguientes expresiones
proposicionales:
Absorción
p  (p v q)  p
p V (p Λ q) ≡ p
8.
B) Contradicción
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
p Λ (p V q) ≡ p
7.
B) Contradicción
siguiente
8. Si p, q, r, s, t, w son proposiciones lógicas tales que
(p → ~ r) ↔ (s → w) es verdadera y (~ w → ~ s) es
falsa. Entonces determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
A) VVF
p Λ q ≡ q Λ p
6.
B) Contradicción
la
C) Tautología
7. Determine la matriz principal de
proposición: (p  q)  ~ (p  q)
p V q ≡ q V p
5.
B) Contradicción
6. Determine la matriz principal de
proposición: [(p → q)  q] ↔ ~ p
p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
4.
de
5. Determine la matriz principal de
proposición: [(p → q)  ~ q ] → ~ p
A) Contingencia
p V (q V r) ≡ (p V q) V r
3.
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V
F
11. Si la proposición (p  q) → (~ s → r) es falsa,
entonces determina el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
Adicionales
p V V ≡ V
I)
[~ p → (~ q → r)]  [p → (~ q
p V F ≡ p
II)
{[q
III)
p Λ V ≡ p
p Λ F ≡ F

(s → t)] → u}

 {~ s  r }
(p → q)  (p ↔ ~ q)
A) VFF B) VVF C) FVV
D) FVF
s)]
E) FFF
12. Si p, q, r, s, t, u, v y w son proposiciones lógicas tal
que: p → (q → r) es falsa, q ↔ (p → t) es falsa,
indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
Ejercicios de
Aplicación
I) ~ t
 (r → w)
A) VVV
II) q
B) VVF

(~ r ↔ u)
C) VFV
III) t → (s ∆ r)
D) FVV
E) FFF
13. Simbolice correctamente:
No estudié para el examen final porque trabajé hasta
tarde; ya que llegaron muchos clientes.
1. Halla la tabla de verdad de:
(~ p
A) VFVF

q)
B) VVVV

(p

C) FFFF
~ q)
D) VFFV
A) Tautología

(q → r)] → (p → r)
B) Contingencia
C) Contradicción
3. Halle la tabla de verdad de:
[(p → q)
A) Contingencia

D) r → (q → ~ p)
14. Si la proposición: “No es cierto que, estudiemos y no
aprobemos”, es verdadera, entonces podemos
afirmar:
A) Aprobamos y no estudiamos
B) Estudiamos o aprobamos
(q → p)] ↔ (p ↔ q)
B) Contradicción
B) ~p → (q Λ r)
C) p → (q → ~ r)
E) FFFV
2. Halle la tabla de verdad de:
[(p → q)
A) p → (~ q →r)
C) Tautología
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C) Estudiamos o no aprobamos
D) Aprobamos o no estudiamos
E) Estudiamos y aprobamos
3
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10. Halle la tabla de verdad de: (~p V q) ↔ (p V ~q)
Tarea
Domiciliaria
A) VFVF
B) VVVV
C) FFFF
D) VFFV
E) FFFV
11. Si: (p Λ ~q) → r es falsa, determine el valor de p, q
yr
A) VVV
1. Construir una tabla de verdad para:
[(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)
B) FFF
C) VFF
D) VFF
E) FVF
12. Si la proposición compuesta: ~[(p Λ ~r) → (r ∆ ~q)]
y diga si es:
es verdadera, halle el valor de verdad
proposiciones r, p y q respectivamente.
A) Consistente
B) Contradicción
A) VVF
C) Tautología
2. Determine la matriz principal
proposición: [(~p) Λ (p V q)] → q
A) Consistente
de
B) Contradicción
la
siguiente
C) Tautología
B) FVV
C) VFV
D) FVF
de
las
E) FFV
13. Formalizar: “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás,
sin embargo no luchas por triunfar”
A) p → (q Λ r)
B) p → (q Λ ~r)
C) (p → q) Λ ~p
D) (p → q) Λ (p V q)
3. Evalúe la siguiente proposición: P Λ [(~p) Λ (~q)]
A) Consistente
B) Contradicción
C) Tautología
14. Si la proposición: (p → ~q) V (~r → s) es falsa. Deduce
el valor de verdad de:
4. Si p es verdadera, determine el valor de verdad de
~p → (p V q)
A) Verdadero
B) Falso
B) p y q
C) r y t
D) q y t
y
C) 6
D) 7
[(~r V q) Λ q] ↔ [(~q V r) Λ s]
A) FVV
B) FFV
C) VFV
D) FFF
E) VFF
diga
[~p → ~(q Λ r)] ∆ [(r → ~q) V p
B) 5
II)
E) p y t
6. Evalúe el siguiente esquema molecular
cuántas verdaderas tiene el resultado.
A) 2
(~p Λ ~q) V ~q
III) (p → r) → [(p V q) Λ ~q]
5. Si la proposición compuesta (p Λ q) → (r V t) es
falsa. Indique las proposiciones que son verdaderas
A) q y r
I)
E) 0
 Problema de las edades
Dos amigos mantienen esta
7. La proposición “viajas a Piura a menos que no
vayas al Cuzco”, es falsa si:
conversación:
- ¿Cuántos años tienen ya tus tres
A)
No viajas a Piura ni al Cuzco.
B)
Viajas a Piura y al Cuzco.
C)
Viajas a Piura y no al Cuzco.
D)
No viajas a Piura y si al Cuzco.
segundo-. El producto del número de
E)
No se puede precisar.
años que tienen es 36 y su suma
8. La proposición: “Si no tomas en serio las cosas
tendrás problemas para ingresar o no serás
profesional”, es falsa. ¿Qué valor de verdad asume la
proposición: “No tienes problemas para ingresar”?
A) Verdadero
B) Falso
C) Contradictorio
9. Dadas las proposiciones:
p: Lenin aprueba sus cursos
hijos?-pregunta el primero.
- Seguro que lo aciertas -contesta el
es igual al número de tu casa.
- Me falta un dato -dice el primero
transcurrido un instante.
- Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-.
La mayor toca el piano.
¿Sabrías decir las edades de los tres
hijos?
q: Lenin va a la fiesta
r: Lenin estudia para su examen
Simbolizar: “Si Lenin va a la fiesta entonces no
estudiará para su examen, pero no es el caso que
vaya a la fiesta y aprueba sus cursos. De ahí que
Lenin estudia para su examen”.
A) [(q → r) Λ ~(q Λ p)] → r
B) [(q → ~r) Λ ~(q Λ p)] → r
C) [(q → r) V ~(q Λ p)] → ~r
D) [(q → r) Λ ~(q Λ p)] → ~r
E) [(q → r) V ~(q Λ p)] → r
Líderes en la Formación Docente… ¡Camino a la Acreditación!
4