LA RELATIVIDAD

Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
APRENDIZAJE-ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
ULA-MERIDA-VENEZUELA
LA RELATIVIDAD
Autor: Beltrán Velásquez
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INTRODUCCION
La relatividad fue desarrollada a principios del siglo XX. Esta teoría fue introducida para tratar
de explicar ciertas anomalías en el concepto del movimiento relativo. Fue desarrollada por Albert
Einstein y fue la base para que los físicos demostraran la unidad esencial de la materia, y la energía, el
espacio y el tiempo y la equivalencia entre las fuerzas gravitacionales y los efectos de aceleración de un
sistema.
Antes del desarrollo de la teoría de la relatividad los científicos se basaban en el principio de la
mecánica clásica anunciados por el físico británico Isaac Newton.
La mecánica de Newton era un caso particular de la teoría de la relatividad de Einstein. Ambas
teorías coinciden para el comportamiento de cuerpos que se muevan a bajas velocidades, pero por
lógica matemática se toma la matemática de la mecánica clásica por ser más sencilla. Pero a altas
velocidades la teoría clásica no responde el estado de movimiento de los cuerpos, pero la teoría
relativista encaja correctamente en este caso.
Hay un límite o frontera entre la clásica y la relativista. Y este límite viene determinado por el
factor de Lorentz. Factor introducido por Antón Lorentz y George Fitzgerald a finales del siglo XIX.
Este factor dependerá de la velocidad del objeto en estudio. A medida que se desarrolle el tema
demostraremos la expresión del factor de Lorentz.
Hasta 1887 la física clásoca era totalmente sólida. En ese mismo año el físico Albert Michelson
y el químico Eduard Morley llevaron a cabo el famoso experimento Michelson-Morley ¿Cuál era el
motivo del experimento de Michelson-Morley? Pretendian detectar una diferencia entre la velocidad de
la luz a través del espacio en dos direcciones distintas. El experimento de Michelson-Morley no logro
detectar esa diferencia indicando que la velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones.
En la década de 1890 Fitzgerald y Lorente plantearon la hipótesis de que, cuando cualquier
objeto avanza a través del espacio su longitud en la dirección del movimiento se contrae, y que el
tiempo se dilataba si su velocidad era bastante grande.
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INVARIANZA GALILEANA
Esta invariancia se refiere a que las leyes fundamentales de la física son las mismas en todos los
sistemas de referencia inerciales ¿Qué es un sistema de referencia inercial? Posteriormente daremos su
definición.
Invariancia sugiere que las longitudes y los tiempos no son afectados por el cambio de
velocidad.
TRANSFORMACION DE GALILEO
Si tenemos un sistema en reposo “A” y otro en movimiento “B” (velocidad constante al primero
ç) y tenemos que las coordenadas del son (x,y,z) y las de B son (x’,y’,z’) podemos decir que:
x'  x  vt
y'  y
z'  z
t' t
Que son las transformadas de Galileo.
RELATIVIDAD ESPECIAL
Esta teoría fue publicada por Albert Einstein en 1905 y se refiere al movimiento de cuerpos en
sistemas inerciales. ¿Qué es un sistema inercial? Decimos que un sistema es inercial si para un
conjunto de partículas se cumple que la suma de los movimientos lineales es constante.
__
 P  cons tan te
El trabajo de Einstein comenzó con un acertijo por ejemplo, un cuerpo que emite luz hacia
delante y hacia atrás y con velocidad v. nos preguntamos ¿Cuál de las dos haces de luces se mueve con
mayor velocidad en relación al suelo? Según la mecánica de Newton el Haz delantero tendrá mayor
velocidad. Debido al fracaso de Michelson-Morley y a la teoría de Einstein los dos rayos se mueven a
la misma velocidad. Entonces ¿Qué dice la teoría de la relatividad especial? Esta toma la hipótesis de
que la velocidad de la luz es una invariante en cualquier sistema de referencia.
Einstein introduce la métrica
de minsicosway es decir que la coordenada del tiempo se debe tratar simplemente como una
coordenada mas del espacio.
Las consecuencias de la teoría de la relatividad especial son interesantísimas como por ejemplo:
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 La contracción de Lorentz: Una distancia medida en tierra no es igual a una distancia
medida desde un móvil.
Es decir el cuerpo se contrae, se hace más pequeño.
 La dilatación del tiempo: Un intervalo de tiempo medido en tierra no es igual al mismo
intervalo medido desde un móvil.
Es decir el tiempo se dilata.
 La equivalencia entre la masa y la energía: La masa puede convertirse en otras fuentes de
energía; (por ejemplo; ondas de luz). Y al contrario de aquí sale la famosa formula de
Einstein
E  MC 2
Donde C es la velocidad de la luz.
SISTEMAS DE REFERENCIAS EN TRANSLACION
Podemos realizar la posición de una partícula y la equiticamos o identificamos con 3
coordenadas, por lo cual asumimos que el espacio es tridimensional.
El concepto de espacio tridimensional ya era conocido por los griegos. Y el espacio en una
dimensión o unidimensional puede ser representado por la recta real y asignarle un origen donde
podemos medir la distancia y podemos elegir cualquier punto.
Supongamos la recta real y sobre ella los puntos P y Q.
0
P
Q
X1
X2
Entonces podemos decir que la distancia entre PQ es:
dpq   X 2  X 1
Consideremos ahora otro eje x’ encima del eje x. Pero con los orígenes separados a una
distancia a:
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0’
P
Q
X’
X’
X
0
a
0’
X
Como podemos ver:
x  a  x'
asi
o
x'  a  x
xp  a  x ' p
x ' p  a  xp
asi
ahora
xq  a  x ' q
xq '  a  xq
xp  xq  a  x' p  a  xq '
xp  xq  a  xp' a  xq'
xp  xq  x' p  xq '
asi
dpq  dp ' q '
asi
dpq  dp 'q'
Es decir que la distancia es una invariante bajo esta transformación.
Podemos observar que las coordenadas cambian pero las distancias no.
Ahora consideremos el cado de dos dimensiones completamente homogéneas. Es decir
podemos elegir un punto como origen así:
Y
Q
Yq
Yp
P
Xp
Xq
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X
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Supongamos que tenemos dos puntos P y Q, donde
x  Xq  Xp
y  Yq  Yx
s 2  x 2  y 2
Asi
Ahora supongamos que tenemos otro sistema de coordenada x’ y y’
Y
Y’
Q
P
X’q
X’p
X’
Xp
X
b
a
Xq
Asi
Asi
xp  x' a
x'  y  a
y  y ' b
y'  y  b
x  x '
y  y '
Por lo tanto s 2  x 2  y 2  x'2  y '2  s '2
Como podemos ver la distancia entre dos puntos vistos de sistemas de referencias diferentes,
pero en reposo uno al otro, es invariante.
SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION
Ahora queremos observar que ocurre en los sistemas donde no hay traslación, sino rotación o
para este caso ambos orígenes coinciden o es decir podemos afirmar que:
X '  Ax  By
Y '  Cx  Dy
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Incrementado:
X '  Ax  By
Y '  Cx  Dy
Según Galileo:
s '2  s 2
s '2  x '2  y '2
s 2  x 2  y 2
2
2
s '2  x '2  y '2   Ax  By   Cx  Dy 
s '2  A2x 2  2 ABxy  B 2y 2  C 2x 2  2CDxy  D 2y 2




s '2  A2  B 2 x 2  C 2  D 2 y 2  2 AB  CD xy
Para que se cumpla lo anterior tenemos que:
A2  B 2  1
C 2  D2  1
2 AB  2CD  0
AB  CD
A  Cos
B  Sen
C   Sen
D  Cos 
Asi:
X '  XCos  YSen
Y '   XSen  YCos
Desarrollando:
X '  XCos  YSen
Y '  XSen  YCos
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2
2
Y '2  X '2  XCos  YSen    XSen  YCos 
s '2  x '2  y '2  x 2Cos 2  y 2 Sen 2  2xyCosSen  y 2Cos 2  x 2 Sen 2  2xyCosSen



s '2  x 2 Cos 2  Sen 2  y 2 Cos 2  Sen 2

s '2  s 2
Por lo tanto s es decir es una invariante en esta transformación el sistema anterior representa
una rotación alrededor del eje Z.
Y
P
Y’
X’
Y’p

X’p

x
Xp
Sabemos que un vector se puede representar por las coordenadas de un punto, es decir las
coordenadas eran proporcionales a las componentes vectoriales.
En consecuencia, siempre que cualquier par de cantidades (Ax,Ay) en el sistema de
coordenadas xy se transforman en (Ax’,Ay’) debido a esta rotación del sistema coordenado son:
Ax'  AxCos  AySen
Ay'   AxSen  AyCos
__
Definimos Ax y Ay ç, como los componentes del vector A0 nuestro vector queda definido
ahora en términos de la transformación de sus componentes bajo la rotación del sistema coordenado.
Si Ax y Ay se transforma en el mismo modo que X y Y. Los componentes del vector
___
desplazamiento bidimensional son componentes del vector A . Si Ax y Ay no muestran este
comportamiento cuando se hace girar las coordenadas, no forman un vector.
Ejemplo1: Dado un par de cantidades (-y,x), demuestre que son las componentes de un vector
bidimensional.
Solución: Esto va a depender de sus propiedades de transformación. Sabemos que
Vx '  VxCos   VySen
Vy '  VxSen  VyCos
Si
y
Vx   y
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Vy  x
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Vy '   yCos  xSen
Vx '  ySen  xCos
Pero si Vy '   y '
Vx '  x
 y   yCos  xSen
Asi
x  ySen  xCos
s '2  y '2  x'2   yCos  xSen   ySen  yCos 
2
2

 
s '2  x 2 Sen 2  2xySenCos  y 2Cos 2  y 2 Sen 2  2xySenCos  x 2Cos 2
2
2
2
2

2
2

2

2
2
s '  x Sen   Cos   y Sen   Cos 
2
s '  x  y  s


2
s '2  s 2
___
Entonces V   yi  xj
Si es un vector en dos dimensiones
___
Ejemplo: Verifique si V   x, y  es un vector
Sabemos que:
Vx '  VxCos   VySen
Vy '  VxSen  VyCos
Así
X '  XCos  YSen
 Y '   XSen  YCos
2
2
s'2  x '2  y '2  xCos  ySen   xSen  yCos 

 
s'2  x '2  y '2  x 2Cos 2  2xySenCos  y 2 Sen 2  x 2 Sen 2  2yxSenCos  y 2Cos 2




s'2  x 2 Cos 2  Sen 2  y 2 Cos 2  Sen 2  s 2
No es un espacio vectorial
9

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NOTACIÓN VECTORIAL
Es importante representar la invariada s en forma vectorial, es decir, sabemos que:
s  s '2  x 2  y 2  x'2  y '2
__
Recuerde que:
r  xi  yj
Así
r  xi  yj
Por lo tanto
r . r  x 2  y 2
Concluyendo que
s 2  r . r
___
___ ___
___ ___
Como se describe que tenemos un sistema cartesiano xy
x  x 
Y
y  y  
L
s
Donde  es un parámetro no
necesariamente el tiempo
X
Sabemos que s  x 2  y 2
s  x 2  y 2
La longitud la podemos definir como: L   s
 dx 
Recuerde que x   d
 dx 
 dy 
y   d
 dx 
Así la longitud L la podemos transformar en una integral
2
L
2
 dx  2  dy  2
  d    d
 dx 
 dx 
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2
L

1
2
2
 dx   dy 
     d
 dx   dx 
___
r  xi  yj
Ahora recuerde
__
dr
 xi  yj
d
___
r  xi  yj
___
r  xi  yj
___
r
 xi  yj

Es el vector tangente
___
  xi  yj
y que
___ ___
 .   x2  y 2
asi
___ ___
L    .  d
Siguiendo con las rotaciones tenemos que si estamos en tres dimensiones y queremos
determinar las ecuaciones de transformación alrededor del eje a)z, b)x, c)Y
a) eje Z
Sen 0  x 
 x '   Cos
  
 
 y '     Sen Cos 0  y 
 z'   0
0
1 z 
  
z
Y’

___
y
r

p
x
X’
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b) Eje X
0
0  x 
 x '  1
  
 
Cos Sen  y 
 y'    0
 z '   0  Sen Cos  z 
  
 
z
Z’

Y’

y
x
c) Eje Y
z
 x '   Cos Sen 0  x 
  
 
1
0  y 
 y'    0
 z '    Sen
0 Cos  z 
  
Z’
Z’

X’
y

x
Las rotaciones no son conmutativas sin embargo las traslaciones si.
Si queremos generalizar esto en cuanto a dimensiones espacial (x,y,z,w). Tenemos seis posibles
transformaciones
xy
xz
xw
yz
yw
zw
El generador de una transformación es una matriz anti -simétrica
Por ejemplo:
x'  xCos  ySen
y '   xSen  yCos
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 x '   Cos
   
 y '    Sen
Sen  x 
 
Cos  y 
Observe que
 Cos

  Sen
Sen 
1
  Cos 
Cos 
0
0 
0
  
1   Sen
Sen 

0 
 ICos  MA
M.A. Matriz Anti -simétrica
El grupo de invariancia del espacio de Euclides son las rotaciones y las traslaciones y eso es la
razón de que el espacio de Euclides es homogéneo e isotopito.
LA IMPORTANCIA DE REPRESENTAR LAS LEYES DE NEWTON EN FORMA
VECOTRIAL
___
Sabemos que
___
F m a
___
__
Lim x d x
vx

t  0 t
dt
En general podemos decir que:
___
 dx dy dz 
v  , , 
 dt dt dt 
___
Así F 
d  ___ 
m v 
dt 

Si la masa no es constante en el tiempo, la masa no se puede sacar y nos dará:
__
___
d v __ dm
F m
v
dt
dt
__ :
__
También podemos escribir la ecuación anterior como:
13
d2 v
F m 2
dt
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___
___
¿QUE SIGNIFICA QUE F Y V SEAN VECTORES?
__
__
Cuando hablamos de un vector se habla de una transformación F y V son vectores. Y por lo
tanto estamos hablando de las rotaciones y podemos rotular como queremos el sistema queda
invariable. Es decir la ecuación de movimiento es la misma.
Si la ecuación de movimiento está escrita en forma vectorial entonces la podemos escribir en
cualquier sistema de referencia.
MOVIMIENTO DE UN SISTEMA RESPECTO A OTRO
Si tenemos dos sistemas como indica la figura
d
x
x’
Observamos que:
x  x' d
v
d
t
d  vt
x  x'vt
x'  x  vt
Así que: x'  x  vt y como t  t ' para estos casos
x' x

v
t ' t
V ' V 
a
dy '
dt
Donde   Ctte
Entonces
a  a'
La aceleración no cambia
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DERIVACION DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ EN EL ESPACIO TIEMPO
Para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la teoría de la relatividad especial, Minkowki
asigno a todo evento una cuarta dimensión perpendicular a la otras tres y de componente imaginaria
cuyo valor sería ict siendo i la componente imaginaria. Así tendríamos un incremento de espaciotiempo s entre dos sucesos será tal que:
s  x 2  y 2  z 2  w2
Donde w  ict
Así
s  x 2  y 2  z 2  c 2t 2
Ya que i 2  1
Este sistema tiene cuatro ejes de coordenadas tipo cartesiano en el que podemos aplicar el
teorema de Pitágoras.
Si cambiamos de sistemas de referencias tendremos s '  x'2  y '2  z '2 c 2 t '2 que hace ser
igual a la anterior s 2 , pues la longitud de un vector es igual para todo sistema de referencia.
Para que los cálculos sean más sencillos eliminemos las coordenadas Y y Z así
s 2  x 2  ct 2  x'2 ct '2
Si
t '  At  Bx
x'  c' t  Dx
Entonces
t '  At  Bx
x '  c' t  Dx
Para este tratamiento suponemos que la velocidad de la luz c es uno (c=1). Entonces:
s '2  x '2 t '2
2
2
s '2  Ct  Dx    At  Bx 

s '2  C 2 t 2  D 2 x 2  2CtDx  A2 t 2  B 2 x 2  2 AtBx
s '2  C 2 t 2  D 2 x 2  2CtDx  A2 t 2  B 2x 2  2 AtBx




s '2  t 2 C 2  A2  x 2 D 2  B 2  tx2CD  2 AB 
15

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Y para que s '2  s '
Tenemos que
C 2  A2  1
D2  B2  1
CD  AB  0
Esto se cumple si:
C  Cosh  
D   Senh 
A   Senh 
B  Cosh  
Cosh 2    Senh 2    1
Así se cumple que
x'  At  Bx
x'   Senh t  Cosh  x
t '  Ct  Dx
t '  Cosh  t  Senh x
Observando
x'  xCosh   tSenh 
t '   Senh x  tCosh 
Si queremos hallar x y t simplemente se coloca - donde hay 
x  x' Cosh    t ' Senh 
t  x' Senh   t ' Cosh  
Prácticamente son sistemas rotados en el sistema espacio-temporal
¿Qué pasará si x’=0?
Nos queda que
x  t ' Senh 
t  t ' Cosh  
Si dividimos
x
 Tgh 
t
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Donde si incrementamos
x  tTgh 
x
 Tgh 
t
Recuerde que
v
x
 Tgh 
t
V es la velocidad vista en el sistema espacio temporal x,t. Así
V
Senh 
Cosh  
Y que
Cosh 2    Senh 2    1
Cosh 2    1  Senh 2  
De lo anterior Senh   VCosh 
Así
Cosh 2    1  V 2Cosh 2  
Cosh 2    V 2Cosh 2    1


Cosh 2   1  V 2  1
1
Cosh 2   
1V 2
1
Cosh   
1V 2
Cálculo del Senh 
De la ecuación
Cosh 2    Senh 2    1
Tenemos:
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1
 1  Senh 2  
2
1 
1  1 2
 Senh 2  
2
1 
1 1  2
 Senh 2  
1  2


Senh  

12
Así podemos afirmar que:
x'  Ct  Dx
x'  xCosh  x   tSenh 
x
t
x' 

2
1 
1  2
x  t
x' 
1  2
t  x
t' 
1  2
Y tenemos:
x
t
x 't '
1  2
t 'x'
1  2
Estas son las transformadas de Lorentz
Recuerde que V es la velocidad del objeto que se mueve en el sistema x,t. Si queremos hallar la
velocidad con que se mueve el sistema primado respecto al no primado. Tenemos:
x' 
t ' 
x  vt
1  v2
t  vx
1  v2
x  vt
2
x '
x  vt
 1 v 
t ' t  vx t  vx
1  v2
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x'   V

,
t ' 1  V

 V
1  V
Ejemplo: Supongamos que el objeto que se mueve es un foton, es lógico que su velocidad es c. ¿Cómo
es la velocidad vista en el sistema primado
Sol: Recuerda que el sistema no primado esta en reposo y el primado se mueve a velocidad V
'
Así
 V
1  V
Observe que el denominador tiene que ser adimensional, entonces

 V
V
1 2
C
Así   C
Entonces
C V
V
1
C
C V
'
C V
C
' C
'
Es la misma velocidad, esto es debido a la constancia de la velocidad de la luz
LA INERCIA DE LA ENERGIA
La energía posee inercia, por la que ambas son directamente proporcionales. Respecto a la
energía, esta es equivalente a un trabajo dado por la siguiente relación
__
__
E  F . s
Donde s  at entonces podemos relacionar la energía con el impulso at
__
Recuerde que E  F t
__
Así  E  t
Por lo tanto la relación entre la inercia y la energía es:
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E  km
E  t
Pero también
de   md  dm 
 2 
de  md     2 dm
 2
Como de  kdm
m
d v 2  v 2 dm
2
dm 1
k  v2
 d v2
m 2
dm 1 d v 2
1  d v2


m 2 k  v2
2 k  v2
1
Lnm    Ln k  v 2  LnConst 
2
 Const 

Lnm   Ln
 k  v2 


Const
m
k  v2
 
kdm 


 

 


 
 



Const  mo k
m
mo k
k  v2
1
m  mo
v2
1
k
 mo
La velocidad v no puede pasar del valor c  k porque cuando lo alcanza entonces v2 es igual a
k y  se hace infinito. Así pues, c2 el valor máximo de v puede alcanzar así
m
mo
1
v2
c2
Hemos visto que inercia, la energía es proporcional a esta. Teniendo en cuenta en la mecánica
de Newton, resulta que la velocidad de ningún cuerpo, ni la de la misma energía, puede sobrepasar el
valor límite c.
20
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
En consecuencia, toda interacción actúa con efecto retardado, lo que da lugar al acortamiento de
los cuerpos en movimiento de traslación. Incluyendo a los patrones de medida como por ejemplo las
varas métricas.
Por otro lado, el aumento de inercia, debido al aumento de velocidad absoluta. Hace disminuir
el ritmo propio de los relojes y de cualquier proceso en el tiempo.
Es compresible entonces, que dos equipos instrumentales s y s’ no obtengan iguales resultaos en
las mediciones que realicen sobre su mismo objeto, si entre ellos existe diferencia de velocidades.
Lo que para uno ocurra en el lugar de coordenadas x,y,z en el momento t, para el otro tiene las
coordenadas x’,y’,z’,t’, según indican sus respectivas metas y relojes. Una misma fase S de cualquier
proceso tendrá las coordenadas x,y,z,t en un equipo y las x’,y’,z’,t’ en el otro.
S(x,y,z,t) respectivamente S’(x’,y’,z’,t’)
Si las fases sobre una variación ds por ejemplo, si una rueda gira ¼ de vueltas los 2 sistemas
registraran el mismo valor numérico de ds, es decir ¼ de vueltas. El valor de la diferencia de fase de
cualquier es un escalar invariante, porque no depende del sistema de referencia desde el cual se
observa, ni de las peculiaridades de este. Lo que si cambia desde luego, son las coordenadas en las que
cada equipo sitúa al invariante según las indicaciones de ese instrumento de medida.
Si para simplificar nos limitamos a una sola coordenada. Espacial, la expresión matemática del
invariante en los sistemas
s
s
ds  dx  dt
x
t
Y, respectivamente
ds 
s
s
dx ' dt '
x'
t
Como ds puede ser de signo positivo o negativo, lo elevamos al cuadrado para obtener siempre
un valor positivo en ambos sistemas, y obtenemos las dos expresiones
2
2
ds 
2
s s  s  2
 s 
   dx 2  2
   dt
x t  t 
 x 
ds 2   s 
 x ' 
2
2
dx '2 2
s s  s  2
   dt '
x ' t '  t ' 
Si no fijamos bien, vemos que no solo es invariante ds 2 si no también la forma de su relación
con las coordenadas de cada sistema. Esta relación representa, pues una ley invariante para todos los
sistemas, porque es una ley matemática y puede considerarse por ello una ley general de la naturaleza.
En forma abreviada
21
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ds 2  Gxxdx 2  Gxtdxdt  Gttdt 2
Al analizar ambos lados de la ecuación, vemos que la dimensión del lado izquierdo es temporal,
porque ds también se llama tiempo propio, y la fase o suceso que transcurre en el tiempo. En cambio,
en el lado derecho aparece además de la variable cronométrica t, la espacial x. Pues bien, como toda
igualdad tiene que ser homogénea en las dimensiones, deducimos que Gxx debe contener el factor 1/c2
y Gxt el factor 1/c, para que todos los términos queden con la dimensión del tiempo.
2
ds 2  Gxx dx2
c
 Gtx
dx
dt  Gttdt 2
c
Esto se llama forma cuadrática invariante Gij se les llama tensor covariante. Bien volviendo a
nuestra ecuación, aventuraremos la suposición de que el proceso observado transcurre a igual ritmo en
cualquier lugar y en cualquier momento, es decir que ds no depende del signo impuesto por lo tanto por
simetría del espacio el termino gtx debe desaparecer así:
2
ds 2  Gxx dx2
 Gttdt 2
c
2
ds'2  Gxx dx2'  Gttdt '2
c
En este caso los términos Gxx=Gx’x’=-1 y Gtt=1.
Y nos quedarían las expresiones
2
ds 2  dv2
c
 dt 2
2
ds 2  dt 2  dx2
c
Así

ds 2  dt 2 1 
dx 2 

c 2dt 2 

2


ds 2  dt 2 1   2 
 c 
ds   dt
1
2
c2
O simplemente
ds  dt 1 
Aquí se confirma que se anula cuando   c  1 .
22
2
c2
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Vemos que en la teoría de Einstein la funcionalidad es la invariancia de la luz.
En la deducción de las ecuaciones de transformación de Lorentz, observamos que lo invariante
fue que
s 2  s '2
Para cualquier sistema de referencia inercial. Es decir un diferencial de espacio-tiempo medirá
lo mismo para todos los sistemas de referencia inercial.
COMPROBANDO QUE ds '2  ds 2 PARA LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ
Vamos a realizar un ejemplo numérico en vez con ecuaciones
Supongamos un evento A situado a 0,6 años luz de nosotros (sistema en reposo o inercial). Y a
un año de distancia temporal (por ejemplo la explosión de un cometa). En este caso vamos a eliminar
las coordenadas “Y” y “Z” usando solo las x espacial y w temporal. Así tendremos que X=0,6 años luz
y w=ict=i(año luz imaginario). ¿Quién es ds? ds será la distancia espacio – temporal entre nuestro
instante actual. (origen de coordenadas) (0,0) y dicho evento A cuyas coordenadas es A(0,6:i).
Así ds  0,62  i 2  0,36  1  0.64
La hipotenusa es mas corta que uno de los catetos e imaginario.
Ahora supongamos que tomamos de referencia una nave que paso al lado de nosotros en
dirección a dicho evento. A velocidad v=0.7c en el instante (0,0).
Aplicando la transformada de Lorentz. Tenemos que:
Llamemos

K  1  v2

1/ 2


2 1/ 2
 1  0,7 
K  0,71414
Sabemos que
23
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X  vt 0,6  0,7 

K
0,719
X '  0.14 Años luz
ct  vx
t'
K
1  0,7.0,6
t'
0,719
1  0,92
t'
0,719
t '  0,81 Años
X '
Así en coordenadas el evento para la nave espacial es E(0,14 ; 0,81)
Y así
2
2
ds'2  0,14   i0,81  0,0196  0,6561
ds'2  0,636  0,64
Así que ds 2  ds '2
Recuerde que

ds 2  dt 2  dx 2  dy 2  dz 2

Así
t' 
x' 
t  vx
1  v2
x  vt
1  v2
y'  y
z'  z
En forma matricial tenemos:
t'   1
  
2
   1 y
 x '    vx
  
   1 v2
 
  
 y'   0
  
  
 z'  
   0
 vx
1 y
0
2
1
1 v2
0
0
0
0
0
24
 t
0  
 
 x 
0  
 
 
 
0  y 
 
 
 
0  z 
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EL ESPACIO TIEMPO DE MINKOWSKI
El espacio cuadridimensional fue introducido por Minkowski inspirado en las ideas de Poncairé.
Aparece así el mundo de los cuadrivectores, siendo un cuadrivector de un proceso a un vector
de cuatro coordenadas (x,y,z,cti) que pueden ser utilizadas y transformadas mediante operaciones, y se
entra en el mundo del cálculo tensorial y los cuadrivariantes.
Supongamos que tenemos una partícula de masa m moviéndose como indica la Fig.
t
y
x
Donde
x  xs ,
y  ys , z  z s , t  t s 
Es decir dependen del parámetro s
Si x = xa = (t,x,y,z) donde xa es un punto que representa un vector
 __ 
xa   t, r 
 
Donde
___
r  xi  yj  zk
y
a  0,1, 2,3
Si hay un cambio, entonces
__


dx  dx a   t ,  r 


Recuerde que ds es un tiempo, es una invariante
Si derivamos
25
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
dx
dx 4
U U4 
ds
ds
Donde U es la cuadrivelocidad
REALCION ENTRE LA CUADRIVELOCIDAD U Y LA VELOCIDAD V
dx 4  dx 0 dx1 dx 2 dx3 

Sabemos que U 

,
,
,
ds  ds ds ds ds 
Así dx 0  dt
En los capítulos anteriores, demostramos que
ds
 1  v2
dt
dt
1

,
ds
1  v2
ds  1  v 2 dt
Introduciendo en la ecuación
U
dx 4  dt dx1 dx 2 dx 3 

 ,
,
,
ds  ds ds ds ds 
 1
dx '
dx 2
dx 3 

U  
,
,
,
2
1  v 2 dt 1  v 2 dt 1  v 2 dt 
 1 v
 1

Vx
Vy
Vz

U  
,
,
,
2
2
2
2
1  v dt 1  v dt 1  v dt 
 1 v
En general
 1
V
U  
,
2
1  v2
 1 v
COMO HALLAR LOS Vi a partir de los  i y  0
Sabemos que
vi 
dx i
dt
Pero
26



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dx i
v i  ds
dt
ds
Recuerde que
U0 
dt
ds
Así
dx i
v i  ds0
U
dx i
Y que
  i por lo tanto
ds
i
vi  0

De esta forma podemos hallar los vi a partir de  i y  0
Desde el punto de vista de la Física clásica sabemos que
___ ___
ds  r .dr
En el espacio-tiempo de cuadrivectores
ds 2  dt 2  dx 2  dy 2  dz 2
Y también lo podemos escribir así
ds 2  dx.dx y


        
2
2
2
ds 2  dx 0  dx1  dx 2  dx 3
2
En general
ds 2  abX a dx b
Esto es una métrica
___ ___
Quremos hallar U .U
Recuerde que
__
___
U 
1
V

1V 2
1V 2
___ ___
1
V2
U .U 

1V 2 1V 2
___ ___
1V 2
U .U 
1
1V 2
Es decir que esta normalizada a uno como debería esperarse, ya que la velocidad de la luz es
c=1, es una invariante.
27
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CUADRIMOMENTO
__
P  mU
___
 1
V
Recuerde que U  
,
2
1V 2
 1V
 1

V

Así P  m
,
2
2 
1 V 
 1V
Donde podemos observar que



P0 
m
1V 2
Aquí podemos demostrar algo interesante
Recuerde que    / c si  <<c entonces  <<L. Y podemos expandir la expresión
1   
2 1 / 2
 1
 1     2  ............
 2
Por lo tanto
 1 2 

P0  m1 
2 
2
c


1 

P0  m c 2   2 
2 

1
P0  mc 2  m 2  ............
2
Es que P0 es energía pura y esto indica que cuando la masa esta en reposo se transforma en
energía a la velocidad de la luz
E  mc 2
Que es la famosa ecuación de Einstein. Esta es la ecuación en que se basa las reacciones
nucleares para producir energía.
¿Ahora que pasa con P?
Bueno tenemos que
__
__


P   P0 , P 


__
__


P   E, P 


2
__
m
P
1 V 2
28
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CUADRIFUERZA
De la teoría clásica sabemos que
__
__
dP
F
dt
En el espacio de cuadrivectores tenemos
dP
ds
Donde ds es el tiempo propio en el sistema de cuadrivectores
F
dp a
Sí
 F a donde a  i
ds
dp i
Fi 
ds
 __ 
d
 m vi 
Fi  
ds  1  V 2 


También podemos escribir


dt 1   2 
d
1   2 F i  
dt 
mi 

12 
mi 

12 
d
Fi 
Así
___
Fi  1   2 F i
Entonces
__
Fi 
d  mi

dt  1   2
__ __
Sabemos que U .U  1
__
__
__ __
Entonces U '.U  U .U '  0
__
__
2U '.U  0
__
__
U '.U  0
__
__
¿Pero quien es U ' ? Es la cuadriaceleración a  U
__ __
Así U . a  0
29



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Son ortogonales en el sistema de cuadrivector
d
Ahora F  P
ds
__
__
P  mU
Si multiplicamos escalarmente
___
d __ __
m U .U
ds
___
dQ __
F .U  m
U
ds
F .U 
___
__ __
F . U  m Q .U  0
Este resultado nos indica que no hay cuadripotnecia
Ahora observe lo siguiente


Sabemos que F  F 0 , F1

Y que U  U 0 ,U

Y que F .U  0
Entonces F 0U 0  F .U  0
Así F 0 
F .U
U0
Pero i 
i
0
__ __
Así F 0  F .
Así
dQ __ __
 F .
dt
Que es la potencia en el sistema tradicional.
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN EL SISTEMA ESPCIO-TIEMPO
Partícula libre: Esto indica que la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero.
30
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t
m
X
__
F  0
d  mx 0
Así 
dt  1   2

  0

Desarrollando
mx 0
1 
2
Así mx 0  A 1   2
A
Elevando al cuadrado
 
m x 
m2 x0
2
2
0 2

 A2 1   2

 A2  A 2 2
m 2 2  A2  A2 2
m
2

 A2  2  A2
A2
  2
m  A2
A

2
m  A2
2
Donde se demuestra que  es constante ¿Qué ocurre si la masa de la partícula es cero?
Nos quedaría así
A2
1
0  A2
Y la partícula que tiene masa igual a cero es el foton que viaja a la velocidad de la luz c=1.

Tenemos que
31
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A

A2  m 2
dx

dt
Así
dx
dt
A
A2  m 2
Adt
dx 
Sí
y que  
Bo 
A2  m 2
A
A2  m 2
dx  Bdt
x  Bt  X o
Integrando
Ahora supongamos que
 F  mg
Una partícula moviéndose por la acción de la gravedad
m
dU
 mg
dt
d 
X0
dt  1  X 0 2

0
X
 gt
2
1 X 0
 

X
0
X
X
X
X
0
0
0


  g t 1  X  
  g t X   g t
 1  g t   g t
 gt
0

 g



2
2
2
2
2
2
2

2
2
0
1 X
0
0
2
gt
1  g 2t 2
Integrando
32
2
2
2
2
2
2
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dx
gt

dt
1  g 2t 2
dx 
gtdt
1  g 2t 2
Haciendo un cambio de variable
u  g 2t 2  1
du  2 g 2tdt
tdt 
du
2g2
Así
du
1
dx 
u1 / 2
2g 
x
1
1  g 2t 2
g
m2
m2

es decir velocidad al
seg 4 seg 2
cuadrado, por lo tanto hay que dividir entre c2 para que sea adimensional.
Ahora observe algo importante, las dimensiones de g 2t 2 
1
g 2t 2
1 2
g
c
Esto es una hipérbola, donde se toma nada mas la rama positiva.
x
33
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
y
x
¿Qué ocurre a bajas velocidades?
Observe gt<<c y por lo tanto
gt
 1
c
Así
1
g 2t 2
1 g 2t 2

1

c2
2 c2
Así
1  1 g 2t 2 

x  1 
g  2 c 2 
Lo que esta en paréntesis no tiene dimensiones y x debe tener dimensión de longitud, por lo
tanto multiplicamos por c
c  1 g 2t 2 

x  1 
g  2 c 2 
c 1 g 2t 2

g 2 c
Que es una parábola que es lógico. Este resultado es presentado en la siguiente gráfica
x
y
x
34
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
LA POSICION EN EL ESPACIO
Tenemos que
xt  
1
1  g 2t 2
g
Ahora la quiero en el tiempo para astronauta.
Recuerde que
ds
2
2
 dt
2
 dx
dx
1

1  g 2t 2 2 g 2t
dt
2g
dx
gt

dt
1  g 2t 2


gtdt
dx 
1  g 2t 2
Así
ds 2  dt 2  dx 2
ds 2  dt 2 

g 2t 2dt 2
1  g 2t 2



ds 2 
dt 2 1  g 2t 2  g 2t 2dt 2
1  g 2t 2
ds 2 
dt 2
1  g 2t 2




Por lo tanto
ds 
s 

dt
1  g 2t 2
dt
1  g 2t 2
Si
35
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
u  gt
du  gdt
1
du
s 
g 1  u2
1
s  Senhu 
u  gt
g
1
s  Senh gt 
s t
g
1
t  Senh gs 
g
Ahora queremos hallar la posición en función de s
Sabemos que
1
L  g 2t 2
g
1
x 2  2 L  g 2t 2
g
xt  


Donde
t
1
Senhgs 
g
Así
x2 

1 
1
1  g 2 2 Senh 2  gs 
2 
g 
g

1
1  Senh 2  gs 
2
g
1
x 2  2 Cosh 2  gs 
g
1
x  Cosh  gs 
g
x2 


Ahora queremos hallar la velocidad en función de s. Procedemos de dos maneras.
a) Primera
36
Prof. Beltrán Velásquez- La Relatividad
dx
dx ds


dt dt
ds
dx
 Senh gs 
ds
dt
 Cosh  gs 
ds
  Tgh gs 
b) Segunda
Sabemos que

dx
dt
dx 

gtdt
1  g 2t 2
gt
1  g 2t 2
1
Senh gs 
g

1
1  g 2 2 Senh 2  gs 
g
g
Senh gs 
Cosh gs 
  Tgh gs 

DE LO ESPECIAL A LO GENERAL
La relatividad especial es un principio de simetría en la cual las leyes de la física deben ser
invariantes ante todas aquellas transformaciones de coordenadas que no cambian la métrica de
minkowski. En cambio la relatividad general es mas general, es decir las leyes de la física deben ser
invariantes ante cualquier transformación de coordenadas en general.
Todo esto nos indica que para pasar de lo especial a lo general, hay que consideras como
transforman en general los objetos de la teoría física de interés o cuando las transformaciones no son
lineales, las derivadas no se transforman linealmente. Por esa razón se generaliza de concepto de
derivada al de derivada covariante, de manera de escribir de manera invariante las leyes de la física y
de esa manera recuperar el sistema inercial local.
Esto es prácticamente el principio de equivalencia fuerte que posteriormente enunciaremos. En
términos de cultura general uno podría acoplar el objeto físico de interés con elementos que describen
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la curvatura espacio-tiempo, de tal manera que se vuelve al sistema de referencia localmente inercial
los elementos de la curvatura se anulan y uno vuelve a recuperar las ecuaciones y esto corresponde al
principio de equivalencia débil que ya enunciaremos.
EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
El principio de equivalencia es el principio físico fundamental de la relatividad general.
Afirmación que dedujo un acontecimiento instantáneo o suceso en el seno de un campo
gravitatorio, las partículas en caída libre que atraviesan el suceso en algún momento de su historia, son
descritas en el sistema local como si no existiera campo gravitatorio.
Para presentar o formular las leyes del movimiento suelen presentar tres tipos de principios: de
equivalencia débil o principio de Galielo, el de Einstein y el fuerte.
Principio de equivalencia débil
Enunciado: El movimiento de cualquier partícula de prueba en caída libre es independiente de
su composición y estructura. Esto fue enunciado por Galileo.
Esto se puede entender de la siguiente manera.
Si tenemos dos cuerpos como indica la figura apliquemos Newton.
r
F
M
___
__
__
F  min ecial. a  mi. a
Donde mi es la masa inercial y es la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. Por otro
lado sabemos que de la ley de gravitación universal de Newton que
__
__
GMg r GMg __
F 2
 3 r
r r
r
Donde Mg es la masa gravitacional. Ahora si el cuerpo mi cae en caída libre, es decir,
sin mas fuerzas actuando sobre ella, entonces podemos igualar las ecuaciones
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__
__
GMg r
mi a  2
r r
Recuerde que
__
__
GMg r
g
r2
Así
__
__
mi a  mg g
__
En este caso
__
ag
Y se demuestra que mi=mg es decir que el principio de equivalencia débil demuestra la
igualdad entre la masa inercial y la gravitacional.
Principio de equivalencia de Einstein
Enunciado: El resultado de cualquier experimento no gravitacional en un laboratorio
desplazándose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del
laboratorio o de su localización.
En el espacio-tiempo.
Principio de equivalencia fuerte
Enunciado: El movimiento gravitacional de un cuerpo depende únicamente de la posición
inicial en el espacio-tiempo y no de su constitución y el resultado de cualquier experimento
local gravitacional o no, en un laboratorio moviéndose en un sistema de referencia inercial es
independiente de la velocidad del laboratorio y de su localización en el espacio-tiempo.
TEORIA GENERAL DE LA RELATIVIDAD
Esta teoría fue publicada por Albert Einstein en 1916. Esta teoría tiene una base fundamental
que es el principio de equivalencia. Que se basa en que la aceleración y sensación de la gravedad como
aspectos distintos de la misma realidad. Einstein afirmó que no se puede distinguir entre un cuerpo
acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme.
En esta teoría el espacio-tiempo es tratado como una banda de cuatro dimensiones, la cual es
curva por la presencia de masa, energía y momento lineal.
Hay muchos aspectos en la física clásica que son atribuidos a la fuerza de gravedad, sin
embargo en esta teoría son representados como movimiento inerciales en un espcio-tiempo curvado.
Las bases fundamentales predichas por Albert fueron muy precisas como eran:
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a) Las leyes de la física deben ser la misma para todos los observadores.
b) Las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de
coordenadas.
c) Que el movimiento inercial se realiza a través de trayectorias geodesicas.
El principio de equivalencia es una consecuencia del principio general de la relatividad y del
principio del movimiento inercial sobre trayectorias geodesicas.
Una principal consecuencia de la gravedad es que el espacio en vez de ser plano como predice
la teoría puede ser abierto o hiperbolico, o (existen infinitas rectas paralelas) o cerradas o parabolicas
(ninguna recta paralela).
La idea fundamental en la relatividad es que principalmente hay que definir un sistema
de referencia. Y dicho sistema de referencia es definido por elección particular. En tal caso todo
movimiento es definido y cuantificado a otra materia.
En la relatividad general las leyes de Newton son asumidas solo a sistemas de referencias
locales. En particular las partículas libres viajan trazando líneas rectas en sistemas inerciales locales
(Lorentz). Cuando esas líneas se extienden, no parecen como rectas, siendo llamadas geodesicas. En
entonces las leyes de Newton se ven reemplazadas por la ley del movimiento geodesico.
En sistemas de referencia no inerciales se percibe fuerza derivada del sistema de referencia; np
por la influencia directa de otra materia. Por ejemplo sentimos fuerzas gravitatorias cuando vamos en
un vehículo y giramos en una curva. Como la base física de nuestro sistema de referencia.
El principio de equivalencia en relatividad general establece que no hay experimentos locales
capaces de distinguir una caída no gravitacional en un campo gravitacional a partir de un movimiento
uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. En otra palabras no hay gravedad en un sistema de
referencia en caída libre.
En la teoría de la relatividad general Einstein postulo sus ecuaciones de campo y las modulo en
el espacio-tiempo. Las ecuaciones de campo establecen que la curvatura de un punto en el espacio
tiempo está relacionada con el tensor de energía en ese punto. La curvatura le dice a la materia como
moverse, y de forma reciproca. La materia le dice al espacio como curvarse.
La ecuación de campo contiene una constante  llamada constante cosmologica, que fue
introducida para permitir un universo estático. Esta constante posteriormente fue desechada ya que;
posteriormente Hubbe demostró que el universo no es estático sino que está en constante expansión
La ecuación de campo de Einstein es
8G
 gikR 
Rik  
   gik  4 Tik
C
 2 
Esta se puede deducir de la ecuación de Einstein-Hilbert
 c4

S  
R  LM    d 4 x
16G

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En esta ecuación Rik es el tensor de curvatura; R es el escalar de curvatura; gik es el tensor
neutrito;  es la constante cosmologica; tik es el tensor de energía; c la velocidad de la luz; G la
constante gravitatoria y  es el determinante de la métrica.
La teoría de la relatividad general ha demostrado muchas predicciones importantísimas. Desde
el punto de vista gravitacional tenemos:
 Los efectos rotantes, por ejemplo un objeto en rotación va a arrastrar consigo al espaciotiempo causando que la orientación cambie con el tiempo.
 Los efectos de aceleración. Por ejemplo la frecuencia de la luz decrece al pasar por una
región de elevada gravedad. Seguido sobre la dilatación gravitacional del tiempo, es decir
que los relojes situados en regiones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente.
 Los efectos de curvatura de la luz, es decir que la luz se curva al pasar cerca de objetos de
elevada masa y esto origina una serie de fenómenos como: Fenómenos de lentes
gravitacionales y de microlentes, los anillos de Einstein.
 Los lentes de ondas gravitacionales.
 Los efectos cosmológicos como por ejemplo la gran explosión del universo.
Bibliografía
Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929776-X.
Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity,
Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.
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