Septiembre 2011

CALIFICACIÓN: ___________________
Consejería de Educación, Ciencia y Cultura
PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE
FORMACIÓN PROFESIONAL
SEPTIEMBRE 2011
Resolución de 9 de marzo de 2011 (DOCM de 5 de abril)
Apellidos_____________________________________________Nombre________________
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Centro de examen___________________________________________________________
PARTE COMÚN
MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Instrucciones Generales
-
Duración del ejercicio: 2 horas
Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.
Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y
entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba.
Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.
Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla.
Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.
Se pueden utilizar instrumentos de dibujo para las representaciones si lo considera
oportuno.
Criterios de calificación
-
-
El aspirante debe realizar cuatro ejercicios, eligiendo 2 ejercicios de cada opción.
Si un aspirante realiza más de 2 ejercicios de la misma opción, sólo se calificarán los
dos primeros realizados.
Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10, en función de los siguientes
criterios:
 Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2´5 puntos.
 Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación.
 Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje
matemático.
 Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso.
 Se valorarán negativamente los errores conceptuales.
La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en
cada una de las materias de las que consta. Esta nota media de la parte común
deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte
específica.
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EJERCICIOS
Opción A (elegir 2 ejercicios)
Ejercicio 1
Dados dos puntos A(2, – 1) y B(1, 2), hallar:
a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.
b) Pendiente de dicha recta.
c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas.
d) Distancia entre los puntos A y B.
Ejercicio 2
Observa la siguiente gráfica en la que el eje de abcisas representa los 12 meses del año y
el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una pequeña
empresa textil.
Responde, de manera razonada, a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de 2.300 €?
b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener
beneficios?
c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron?
d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios?
e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año.
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Ejercicio 3
Una empresa ha gastado 1.500 € en comprar un móvil a cada uno de sus 25 empleados.
Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 € y otro a 50 €.
¿Cuántos móviles de cada modelo compró?
Ejercicio 4
Una urna contiene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y 2 bolas rojas. Hacemos dos
extracciones:
a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se hacen
CON REEMPLAZAMIENTO.
b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las extracciones
se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO.
Opción B (elegir 2 ejercicios)
Ejercicio 5
El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación:
230
P(t ) 
1  56,5  e 0,37t
¿Cuántas abejas había inicialmente? ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una
población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho tiempo
( t  ∞ )?
Ejercicio 6
Midiendo el tiempo (en minutos) que han tardado los participantes de una carrera en
llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes resultados.
TIEMPO
Nº CORREDORES
[20, 23]
1
[23, 26)
5
[26, 29)
29
[29, 32)
9
[32, 35)
6
a) Calcula el tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica.
b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo?
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Ejercicio 7
Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del
extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º.
Aproximándose 25,9 metros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º.
Calcula la altura del árbol.
Ejercicio 8
El censo de población en edad laboral en un pueblo es de 1.000 habitantes. El 60 % de
los habitantes son mujeres y el resto de los hombres. De las mujeres el 50 % están en
paro y de los hombres el 10 %.
a) Completa la siguiente tabla
Hombres
Mujeres
Total
Parados
Trabajado
Total
b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es la
probabilidad de que sea un parado.
c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer y trabaje?
d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la probabilidad
de que sea mujer?
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SOLUCIONES
Opción A (elegir 2 ejercicios)
Ejercicio 1
Dados dos puntos A(2, – 1) y B(1, 2), hallar:
a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.
b) Pendiente de dicha recta.
c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas.
d) Distancia entre los puntos A y B.
Solución.
a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.
La ecuación de la recta es de la forma y = mx + n. En ese caso, hacemos pasar a
recta por los puntos A y B.
x
2
1
y = mx + n
– 1 = m∙(2) + n → 2m + n = – 1
+ 2 = m∙1 + n → m + n = 2
Resolvemos el sistema calculando primeramente por reducción la pendiente m:
2m  n  1
2m  n  1 


( 1)
m  n  2  x
  m  n  2
m
 3
Y para calcular n:
m + n = 2 → – 3 + n = 2 → n = 2 + 3 = 5.
Solución: La ecuación de la recta es y = – 3x + 5
b) Pendiente de dicha recta.
Por lo visto en el apartado anterior, la pendiente es m = – 3.
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c) Puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas.
Dada la ecuación de la recta y = – 3x + 5 entonces los puntos de corte vienen
determinados por:
 Con el eje OX hacemos y = 0. En ese caso,
0   3x  5  3x  5 
x
5
3
5
3


Por lo tanto, hay corte en el eje de abcisas en el punto  , 0 
 Con el eje OY hacemos x = 0. En ese caso,
y=–3∙0+5=5
Por lo tanto, hay corte en el eje de ordenadas en el punto (0, 5)
d) Distancia entre los puntos A y B.

La distancia entre los dos puntos viene determinada por el módulo del vector AB .
Calculamos dicho módulo:

d ( A, B)  AB  (1) 2  32  1  9  10 unidades
Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos A y B es
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10 unidades.
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Ejercicio 2
Observa la siguiente gráfica en la que el eje de abcisas representa los 12 meses del
año y el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una
pequeña empresa textil.
Responde, de manera razonada, a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de
2.300 €?
b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener
beneficios?
c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se
alcanzaron?
d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios?
e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año.
Solución
a) ¿Qué ganancias logró en mayo?¿En qué mes consiguió unos beneficios de
2.300 €?
En mayo ha tenido unos beneficios de 2.000 €.
Los meses en que hay un beneficio de 2.300 € es durante mayo y en septiembre.
b) ¿Durante qué meses obtuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a tener
beneficios?
Los meses de perdidas fueron enero, febrero y
beneficios.
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marzo. A partir de abril hay
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c) ¿Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se
alcanzaron?
Los máximos beneficios se alcanzan en Julio y son de 3.000 €.
d) ¿En qué período del año experimentó un descenso en los beneficios?
En el segundo semestre del año se registran descensos de los beneficios.
e) Estima, de manera aproximada, los beneficios obtenidos durante el año.
Si entendemos la pregunta como beneficio total, se observa en la gráfica que los
beneficios tienen a ser de 2.000 euros a 31 de diciembre.
Ejercicio 3
Una empresa ha gastado 1.500 € en comprar un móvil a cada uno de sus 25
empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 €
y otro a 50 €. ¿Cuántos móviles de cada modelo compró?
Solución.
Llamamos “x” al número de móviles cuyo precio es 75 € e “y” al número de móviles cuyo
precio es 50 €
En ese caso, podremos crear un sistema de ecuaciones según lo que se nos describe:
Ha gastado 1.500 ofertando dos modelos diferentes,
uno a 75 € y otro a 50 €.
→
75x + 50y = 1.500
Compra un móvil a cada uno de sus 25 empleados
→
x + y = 25
Resolvemos el sistema por el método de reducción:
: 25
75 x  50 y  1.500 
3x  2 y  60 



x ( 2 )
x  y  25
   2 x  2 y  50
x
 10
Puesto que x = 10 y x + y = 25 entonces
y = 25 – x = 25 10 = 15.
Solución: Habrá 10 móviles que cuestan 75 € y 15 móviles que cuestan 50 €.
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Ejercicio 4
Una urna contiene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y 2 bolas rojas. Hacemos dos
extracciones:
a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se
hacen CON REEMPLAZAMIENTO.
b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las
extracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO.
Solución.
a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas, si las extracciones se
hacen CON REEMPLAZAMIENTO.
Mediante el siguiente diagrama de árbol que ilustra el experimento de doble
extracción:
La probabilidad de obtener dos bolas blancas será:
P( Dos bolas blancas ) 
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3 3 9 1
 
  0´ 1
9 9 81 9
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b) Calcula la probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra, si las
extracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO.
Mediante el siguiente diagrama de árbol que ilustra el experimento de doble
extracción:
La probabilidad de obtener una bola blanca y otra negra será:
P( Una bola blanca y la otra negra ) 
4 3 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1
            0 ´3
9 8 9 8 3 2 3 2 6 6 6 3
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Opción B (elegir 2 ejercicios)
Ejercicio 5
El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación:
230
P(t ) 
1  56,5  e 0,37t
¿Cuántas abejas había inicialmente? ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener
una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase
mucho tiempo ( t  ∞ )?
Solución.
1) ¿Cuántas abejas había inicialmente?
Para calcular las abejas que hay inicialmente hacemos P(0):
P(0) 
230
230
230


 4 abejas.
0, 37  0
1  56,5 57,5
1  56,5  e
2) ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180?
Igualamos la expresión funcional a 180, multiplicamos en cruz y deshacemos el
paréntesis,
230
 180  230  180  (1  56,5  e 0,37  t )  230  180  10.170  e 0,37  t
0, 37  t
1  56,5  e
 230  180  10.170  e 0,37  t
 50  10.170  e 0,37  t
 1  203´4  e 0,37  t
Despejamos t tomando logaritmos neperianos.
Ln(1)  Ln(203´4  e 0,37  t )  0  Ln(203´4)  Ln(e 0,37  t ) 
0  Ln(203´4)  0´37t  Ln(e)  0  Ln(203´4)  0´37t 

Ln(203´4)
 t  t  14´36 minutos
0´37
Por tanto, tardarán 14´36 años.
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
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3) ¿Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho tiempo ( t  ∞ )?
Para calcular la población de las abejas cuando pase mucho tiempo hacemos el límite
cuando el tiempo tiende a infinito de la expresión funcional.
lim P(t )  lim
t  
t  
230
230
230
230



 230 abejas
0, 37t

1  56,5  0
1
1  56,5  e
1  56,5  e
Por lo tanto, cuando pase mucho tiempo la población se estabilizará en 230 abejas.
Ejercicio 6
Midiendo el tiempo (en minutos) que han tardado los participantes de una carrera
en llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes resultados.
TIEMPO
Nº CORREDORES
[20, 23]
1
[23, 26)
5
[26, 29)
29
[29, 32)
9
[32, 35)
6
a) Calcula el tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica.
b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo?
Solución.
a) Calcular e tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica.
Procedemos en los intervalos determinados a calcular las marcas de clase y los valores
que nos son necesarios:
Intervalo
[20, 23)
[23, 26)
[26, 29)
[29, 32)
[32, 35)
Totales
Marca de clase (xj)
21´5
24´5
27´5
30´5
33´5

fi
xjfi
1
21´5 x 1 = 21´5
5
24´5 x 5 = 122´5
29
27´5 x 29= 797´5
9
30´5 x 9 = 274´5
6
33´5 x 6 = 201
f j = 50  n j  x j = 1417
Por lo tanto, la media aritmética es:
X 
 f x
f
j
j
j

1417
 28´34 minutos
50
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xj2fi
21´52 x 1 = 462´25
24´52 x 5 = 3.001´25
27´52 x 29= 21.931´25
30´52 x 9 = 8.372´25
33´52 x 6 = 6.733´5
 n j  x 2j = 40.500´5
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Utilizando la fórmula de la varianza muestral:
s 2 ( X )  M ( X 2 )  [M ( X )]2
donde:
M (X 2 )  X 
x
j
 fj
n
, M (X 2 ) 
x
2
j
 fj
n
Por lo tanto, la varianza es:
s 2 ( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2 
40.500´5
 28´34 2  6´8544 minutos2
50
y la desviación típica será su raíz cuadrada:
s  s 2  6´8544  2´62 minutos
b) ¿Se trata de un grupo de corredores homogéneo o heterogéneo?
Se trata de un grupo muy homogéneo por cuanto la desviación típica es muy pequeña.
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Ejercicio 7
Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual
del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación
de 17º. Aproximándose 25,9 metros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo
es de 31º. Calcula la altura del árbol.
Solución.
Llamamos x a la distancia entre el punto de segunda medición y la base del árbol. Por
otra parte, llamamos h a la altura del árbol. La representación adjunta ilustra la situación
planteada:
Aplicando la razón tangente sobre cada ángulo, tendremos un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas que resolvemos por el método de igualación:
h 
h  x  tg 31º

x 

  x  tg 31º  ( x  25´9)  tg 17º 
h
 h  ( x  25´9)  tg 17º 
tg 17º 
x  25´9 
tg 31º 
 x  tg 31º  x  tg 17º 25´9  tg 17º 
x  tg 31º  x  tg 17º  25´9  tg 17º 
 x  (tg 31º tg 17º )  25´9  tg 17º  x 
25´9  tg 17º
 26´83 m
tg 31º tg 17º
Por lo tanto, el punto donde se toma la segunda observación está situado a 26´83 m del
árbol. La altura del árbol será:
h = x ∙ tg 31º = 26´83 ∙ tg 31º = 16´12 m
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Ejercicio 8
El censo de población en edad laboral en un pueblo es de 1.000 habitantes. El 60 %
de los habitantes son mujeres y el resto de los hombres. De las mujeres el 50 %
están en paro y de los hombres el 10 %.
a) Completa la siguiente tabla
Hombres
Mujeres
Total
Parados
Trabajado
Total
b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es
la probabilidad de que sea un parado.
c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál
es la probabilidad de que sea mujer y trabaje?
d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer?
Solución.
a) Completa la siguiente tabla
Hacemos el 60 % del total de 1.000 personas para saber cuántas mujeres hay:
60 % de 1000 
60
60000
 1000 
 600
100
100
Por lo tanto, hay 600 mujeres y los 400 restantes serán hombres.
De las 600 mujeres, hacemos el 50 % para saber cuántas están paradas:
50 % de 600 
50
30000
 600 
 300
100
100
Por lo tanto, 300 mujeres están en el paro y las otras 300 trabajando.
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De los 400 hombres, hacemos el 10 % para saber cuántos están parados:
10 % de 400 
10
4000
 400 
 40
100
100
Por lo tanto, 40 hombres están parados y los otros 360 trabajando.
Así, la tabla queda del siguiente modo:
Hombres
Mujeres
Total
Parados
40
300
340
Trabajado
360
300
660
Total
400
600
1.000
b) ¿Cuántos habitantes están parados? Si se elige una persona del censo cuál es
la probabilidad de que sea un parado.
Según la tabla anterior, hay un total de 40 + 300 = 340 parados.
La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea un parado es, según la
regla de Laplace:
P( parado) 
340
34

 0´34
1.000 100
Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 34 % de que
escogida una persona al azar, esté en el paro.
c) ¿Cuántas mujeres están trabajando? Si se elige una persona del censo ¿Cuál
es la probabilidad de que sea mujer y trabaje?
Según la tabla del apartado a), hay un total de 300 mujeres trabajando.
La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea una mujer que trabaje es:
P(mujer
y trabaja ) 
300
30

 0´3
1.000 100
Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 30 % de que
escogida una persona al azar, sea mujer y esté trabajando.
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d) Si se elige un individuo al azar que resulta estar trabajando ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer?
Según la tabla del apartado a), el total de personas trabajando es de
360 + 300 = 660.
La probabilidad de escoger una persona al azar entre los que trabajan y que sea una
mujer es:
P(mujer / trabaja ) 
300 5
  0´45
660 11
Por lo tanto, podemos decir que hay un porcentaje de probabilidad del 45´46 % de
que escogida una persona al azar de entre las que trabajan, sea mujer.
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