Dpto. de Física y Química 2º BCH FÍSICA

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2º BCH
FÍSICA
IES SIERRA SUR
-Valdepeñas de Jaén-
Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Cuestiones:
1.
a) Leyes de Kepler.
b) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton
para una órbita circular.
Res.
a) Consultad libro y apuntes.
b) En el movimiento circular del planeta solo actúa la fuerza gravitatoria del Sol (Ley de
Newton de la Gravitación Universal) y su efecto es modificar la dirección de la velocidad, es decir
hace el papel de fuerza centrípeta (Principio Fundamental de la Dinámica o Segunda Ley de
Newton de la Dinámica). Igualando ambas fuerzas podemos obtener la velocidad orbital del
planeta:
Fc = Fg
mv2 /r = GMsm /r2
De donde se obtiene la velocidad con que describe la órbita:
v = √GMs /r
Con el radio de la órbita y el periodo de revolución se puede calcular la velocidad orbital:
v = 2πr / T
Si elevamos al cuadrado ambas expresiones obtenemos:
v2 = GMT /r
v2 = 4π2r2 /T2
Igualando ambas expresiones, tenemos:
GMs /r = 4π2r2 /T2
=> T2 = 4π2r3 /GMs = k r3
que es la expresión de la Tercera Ley de Kepler, siendo k = 4π2 /GMs .
2.
a) Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes
que intervienen en ella.
b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es
proporcional a la masa de éste. ¿Por qué no caen más de prisa los cuerpos con mayor masa?
Res.
a) Consultad libro y apuntes.
b) El peso de un cuerpo en las proximidades del suelo viene dado por: p = mg; y la fuerza
en caída libre de un cuerpo viene dada, según la segunda ley de Newton de la Dinámica (principio
fundamental de la Dinámica), por: F = ma.
Igualando F y p obtenemos: F= p => ma = mg => se va m del primero y segundo miembro de la
ecuación y resulta: a = g. Por lo tanto, todos los cuerpos en caída libre adquieren la misma
aceleración independientemente de su masa y en consecuencia todos los cuerpos caen con la
misma velocidad (V = √2gh ); como demostró Galileo al dejar caer dos cuerpos de igual forma y
distinta masa desde lo alto de la torre de Pisa.
3.
a) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h suele
escribirse como Ep = mgh.
i) Comente el significado de dicha expresión.
ii) ¿ En qué condiciones es válida dicha fórmula?
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Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
b) ¿Por qué la energía potencial gravitatoria de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol?
Res.
a) Consultad libro y apuntes.
b) Teniendo en cuenta la fórmula de la energía potencial gravitatoria asociada al sistema
Sol-planeta es EP = - GMsm /r, podemos deducir que a medida que crece r el valor de E p se hace
un número menos negativo. Por tanto, Ep se hace mayor cuando r crece (cuando r = ∞ => Ep se
hace cero, siendo este el valor máximo de Ep).
4.
a) Explique las características del campo gravitatorio terrestre.
b) Dos satélites idénticos están en órbita circular alrededor de la Tierra, siendo r 1 y r2 los
respectivos radios de sus órbitas (r1 > r2 ).
i) ¿Cuál de los dos satélites tiene mayor velocidad?
ii) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica?
Razona tu respuestas.
Res. a) Consultad libro y apuntes.
b)
i) En el movimiento circular de un satélite, construido por el hombre, solo actúa la
fuerza gravitatoria de la Tierra, que según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene
dada por
Fg = GMTm /r2, y su efecto es modificar la dirección de la velocidad del satélite, es decir
hace el papel de fuerza centrípeta, que según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica
(Principio Fundamental de la Dinámica) viene dada por Fc = m ac ; siendo aC = v2 /r.
Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del satélite.
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Fc = Fg
mv2 /r = GMTm /r2
y, por consiguiente, la velocidad orbital será:
v = √GMT /r
Cuanto mayor es el radio orbital r, menor es la velocidad orbital. El radio de la órbita en función
de la altura del satélite con respecto al suelo de la Tierra vienen dado por: r = RT + H.
Teniendo en cuenta la fórmula de v, podemos deducir que v orbital es inversamente proporcional
a la raíz cuadrada del radio orbital. Por tanto el satélite que orbita más cerca de la Tierra, el de
menor r (menor altura, H) tendrá mayor velocidad orbital. En nuestro caso, el satélite cuyo radio
orbital es r2.
ii) Por definición la Em = Ec + Ep, como Ec = ½ mv2 y v2 = GMTm /r (según se
deduce de la fórmula de la velocidad orbital); la energía cinética vendría dada por;
Ec = ½ GMTm /r, y como, por otro lado, tenemos que la energía potencial gravitatoria
asociada al sistema Tierra-satélite es
Ep = - GMT m /r.
Por tanto, la energía mecánica viene dada por:
Em = ½ GMTm /r + (- GMTm /r) = - ½ GMTm /r
Teniendo en cuenta la fórmula de Em, podemos deducir que a medida que crece r el valor de Em se
hace un número menos negativo.
Por tanto, Em se hace mayor cuando r crece. Por lo tanto, el satélite que orbita más lejos de la
Tierra, el de mayor r (mayor altura, H) tendrá mayor energía mecánica. En nuestro caso, el
satélite cuyo radio orbital es r1.
5. a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales.
b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las
aproximaciones de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un
esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa.
Res.
a) y b) Consultad libro y apuntes.
6.
Una partícula se mueve bajo la acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su
velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece.
a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento.
b) Describa la variación de la energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula
durante su movimiento.
Res. a) y b) Consultad libro y apuntes (resorte o muelle oscilando con un movimiento tipo m.a.s.).
7. a) Defina los términos “fuerza conservativa” y “energía potencial” y explique la relación entre
ambos.
b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no
conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de conservación de la
energía mecánica de esta partícula? ¿Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la
fuerza no conservativa? Razone la respuesta.
6.
Res. a) Consultad libro y apuntes.
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b) Para responder a estas cuestiones vamos a admitir que tenemos una fuerza de
rozamiento como ejemplo de fuerza no conservativa y tres fuerzas conservativas como son: una
fuerza gravitatoria, otra elástica y otra electrostática. En primer lugar vamos a responder al último
apartado de esta pregunta.
- Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energía Cinética:
WT = ∆Ec , como WT = ∑Wr + ∑WFC en donde ∑Wr = sumatoria de todos los trabajo de fuerzas no
conservativas como son las fuerzas de rozamiento, y ∑WFC = sumatoria de todos los trabajos de
las fuerza conservativas que intervengan. Obtenemos:
∑Wr + ∑WFC = ∆Ec => ∑Wr = ∆Ec – ∑WFC ; por el Teorema de la Energía Potencial sabemos
que:
- ∑WFC = ∆Ep (energía potencial gravitatoria)+ ∆Ep (energía potencial elástica) + ∆U( energía potencial electrostática) = ∑∆Ep (energías
potenciales), y por tanto Wr = ∆Ec + ∑∆Ep y como por definición ∆E c + ∑∆Ep = ∆Em llegamos a la
expresión:
Wr = ∆Em esta expresión nos relaciona el trabajo de una
fuerza conservativa con la variación de la energía mecánica de nuestro sistema.
Por último respondemos a la primera cuestión admitiendo que no hay rozamiento, por tanto se
cumple el principio de conservación de la energía mecánica. Wr = ∆Em si Wr = 0 => 0 = ∆Em en
donde la variación de la energía mecánica tiene tres término, como se ha visto anteriormente, uno
por cada fuerza conservativa que interviene.
8.
a) Explique qué son fuerzas conservativas. Ponga algunos ejemplos de fuerzas
conservativas y no conservativas.
b) Un campo uniforme es aquél cuya intensidad es la misma en todos los puntos. ¿Tiene el
mismo valor su potencial en todos los puntos? Razone la respuesta.
Res. a) En general, una fuerza F→ que actúa sobre una partícula se dice que es conservativa
cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partícula cuando
se desplaza desde un punto a otro. El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende
exclusivamente de las posiciones inicia y final.
Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicación, es decir, de la posición
de la partícula sobre la que actúa, F→= f(r), es conservativa.
Ejemplos:
- La fuerza recuperadora de un resorte F→(x)= -k x→(Ley de Hooke).
- La fuerza de atracción gravitatoria F (r) = GMm/r2
> El trabajo efectuado en contra de la gravedad y el trabajo realizado para
deformar un resorte quedan almacenados en forma de energía potencial o
energía asociada a la posición.
> La fuerza gravitatoria y la fuerza elástica son fuerzas conservativas
porque tienen la facultad de restituir el trabajo que se hizo para vencerlas.
> Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elástico deformado
pueden realizar trabajo porque poseen energía potencial.
En general, una fuerza F→ que actúa sobre una partícula se dice que es no conservativa
cuando el trabajo realizado por ella es dependiente del camino seguido por la partícula
cuando se desplaza desde un punto a otro.
Ejemplos:
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- La fuerza de rozamiento que se manifiesta cuando un cuerpo se desliza sobre
una superficie rugosa: Fr = μ N.
- La fuerza de rozamiento que aparece cuando un cuerpo respecto a un fluido,
como el aire, tiene velocidad. Esta fuerza de rozamiento en todo los casos es
directamente proporcional a la velocidad del cuerpo con respecto al fluido en el que
se está moviendo.
9.
a) Explique la relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial.
b) Un cuerpo cae libremente sobre la superficie terrestre.
¿Depende la aceleración de caída de las propiedades de dicho cuerpo?
Razone la respuesta.
Res. a) Se define como fuerza conservativa a toda aquella para la que es posible definir una
función matemática que depende de las coordenadas del cuerpo, de manera que es posible
calcular el trabajo que esta fuerza realiza al actuar entre dos puntos como un simple incremento
de los valores que toma dicha función. Es decir, para una fuerza conservativa, el trabajo realizado
en un trayecto es independiente del camino seguido, sólo depende de las variaciones de energía
potencial. De ello se desprende, que en un camino cerrado el trabajo que realizará este tipo de
fuerzas será nulo, ya que no se producirá incremento de energía potencial.
Según el teorema de la energía potencial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa
se produce a expensas de una disminución en la energía potencial, o sea:
WA->B = - (EpB – EpA) = - ∆Ep
b) En ausencia de rozamiento la única fuerza actuante es el peso, de carácter
conservativo. En la caída libre la energía potencial se transforma en energía cinética, de
modo que con un simple balance energético podemos demostrar que la velocidad de
caída no depende de la masa del cuerpo sino de la gravedad del planeta y la diferencia de
nivel o de altura:
Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica
∆Em = 0 => ∆Ep + ∆Ec = 0 => - ∆Ep = ∆Ec => - mg (-∆h) = ½ mv2 – 0, de donde
v = √2g∆h
De otro modo, sabemos que el peso es proporcional a la masa del cuerpo, con lo que con
cuantos mas masivo es un cuerpo actúa sobre él una fuerza mayor. Pero, por otro lado, la
aceleración que experimentará el cuerpo será inversa a su masa (inercia). Con todo esto y
admitiendo ausencia de rozamiento, cabe esperar la misma aceleración de caída para
cualquier cuerpo.
Por definición:
p = mg
2ª Ley de Newton de la Dinámica:
F = ma igualándolas
obtenemos:
mg = ma => a = mg / m = g.
p = F =>
Ahora bien, es cierto que la única fuerza que actúa en la caída no es el peso. También
interviene de forma significativa la fricción con el aire que, depende en gran medida de la
forma y naturaleza de la superficie del cuerpo. En términos generales, el rozamiento afecta
más a los cuerpos menos masivos, ya que para ellos el valor del rozamiento repercute en
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mayor proporción respecto al peso. Esto es aún más severo si el cuerpo tiene una forma
poco aerodinámica.
10. a) ¿Qué criterio puedes aplicar para saber si una fuerza dada es conservativa o no?
b) Demuestra que la fuerza elástica F = - kx (Ley de Hooke) es conservativa.
Res. a) En general, una fuerza F -> que actúa sobre una partícula se dice que es conservativa
cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partícula cuando
se desplaza desde A hasta B (Fig. 1). El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende
exclusivamente de las posiciones inicial y final.
Por tanto, podemos decir que una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre
→
un cuerpo, cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero
k
↑ →
es cero.
/ →j
→ ͮ R
B
* Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicación,
i
ᶺ / \ ᶺ
es decir, de la posición de la partícula sobre la que actúa, F = f(r),
1 / /
\ \2
es conservativa. Ejemplos:
/
\
● La fuerza recuperadora de un resorte
\
/
\
/
F-> = - k x->
\ /
● La fuerza gravitatoria
\ /
A
|F->| = G Mm/r2
Fig.1. El trabajo de una fuerza conservativa
no depende de la trayectoria.
Nota: La fuerza gravitatoria y la fuerza elástica son fuerzas conservativas porque tienen la facultad
de restituir el trabajo que se hizo para vencerlas. El trabajo efectuado en contra de la gravedad y
el trabajo realizado para deformar un resorte quedan almacenados en forma de energía potencial
o energía asociada a la posición. Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elástico
deformado pueden realizar trabajo porque poseen energía potencial.
b) Como he indicado en el apartado anterior, una fuerza es conservativa cuando el trabajo
realizado a lo largo de una línea cerrada es cero. Es decir, si el trabajo total que ha realizado
sobre una partícula cuando ésta vuelve a su posición inicial es nulo. Paso a demostrar que la
fuerza elástica es conservativa.
En primer lugar, admitimos que las fricciones de cualquier tipo son despreciables.
▓
▓
▓
m F-> dr->
▓-∂∂∂∂∂∂∂∂-█→----→---------|
A
B
xi = 0
xf = x
Vamos a calcular el trabajo que se debe realizar
para trasladar la masa m █ alargando el muelle
de la figura desde el punto inicial A (posición de
equilibrio xi = 0) hasta un punto final B (posición
final xf = x) venciendo la fuerza recuperadora.
Por ejemplo, para desplazar la masa m de la
Figura 1 se debe realizar una fuerza F-> para
vencer la fuerza elástica del resorte F->e = -k x->.
Fig. 1.
F-> = - F->e = - (-k x->) = k x->.
El trabajo realizado por esta fuerza será:
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B
B
x
x
WA->B = ∫ F->∙dr-> = ∫ F∙dr cos 0º = ∫ kx dx = ½ kx2] = ½ kx2
A
A
0
0
Si en el punto B se deja libre el muelle, éste debido a la fuerza recuperadora, vuelve a la
posición inicial restituyendo el trabajo realizado.
A
A
0
0
WB->A = ∫ F->∙dr-> = ∫ F∙dr cos 0º = ∫ kx dx = ½ kx2] = -½ kx2
B
B
x
x
Luego el trabajo total realizado es cero:
WA->A = WA->B + WA->B = ½ kx2 + (-½ kx2) = 0.
11. a) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre
dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.
Justifica tu respuesta.
b) Demuestra que la fuerza peso es conservativa.
Res. a) y b) Consultad libro y apuntes.
12. Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justificando
su carácter de verdadero o falso:
a) El campo gravitatorio es conservativo y por tanto existe un potencial asociado a él.
b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una partícula que se desplaza entre
dos puntos es menor si lo hace a través de la recta que une dichos puntos, ya que es el camino
más corto.
Res. a) y b) Consultad libro y apuntes.
13. Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme.
a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido
de la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha
fuerza? Razone las respuestas.
b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para
un desplazamiento “d”, en ambos casos. ¿En qué se invierte dicho trabajo?
Res. a) y b) Consultad libro y apuntes.
14. Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical
y fijo por su extremo superior.
a) Indique las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas.
b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analice las
variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa.
Res. Consultad libro y apuntes.
15. Razone las respuestas a las siguientes preguntas:
a) si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la
superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se
encuentra a una distancia infinita de la Tierra?;
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b) ¿puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?; ¿puede ser negativa
la energía potencial gravitatoria?
Res. a) Partiendo de la fórmula ∆Ep = mg∆h, y admitiendo que es válida para cualquier altura,
tendríamos que para ∆h = ∞ el valor de ∆Ep sería infinito.
b) - El trabajo realizado por una fuerza gravitatoria no puede ser negativo porque todos los
procesos de traslación de masas que se dan espontáneamente dentro del seno de un campo
gravitatoria se dan hacia el interior del campo para conseguir el mínimo de energía potencial
gravitatoria (Principio de mínima energía potencial de Helmholtz). Demostración: El valor del
trabajo realizado por una fuerza gravitatoria cuando una masa m se traslada desde el punto A al
punto B situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M, vine dado por:
W = GMm (1/rB – 1/rA);
si rB es mayor que rA se cumple que el valor del paréntesis es negativo, por tanto, W sería
negativo. Esto no puede suceder espontáneamente, las piedras no suben por las laderas ni las
aguas de los ríos asciende del mar hacia las montañas.
- La energía potencial gravitatoria en un punto interior de un campo gravitatorio sí es
negativa, como se puede deducir de su propia definición, pues representa el trabajo que fuerzas
exteriores deben realizar para trasladar la unidad de masa desde el infinito a ese punto. Sabemos
que
We = -W = - GMm (1/rB – 1/rA); si rA = ∞ y rB = r podemos obtener:
We = - GMm (1/r – 1/∞) = - GMm 1/r , y por definición anterior podemos escribir que:
Ep = We = - GMm /r. Luego Ep en todos los puntos del campo es negativa, excepto en el
infinito que vale cero.
16. Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas:
a) el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía
cinética; b) la energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del
origen de energía potencial.
Res. a) Es verdadera, según el enunciado del Teorema de la Energía Cinética llamado también
Teorema de las Fuerzas Vivas o Teorema de Leibnitz, w = ∫BA F→• dr→ = Ec(B) – Ec(A) = ∆Ec.
b) La velocidad de escape de un cuerpo se obtiene aplicando el Principio de Conversación
de la Energía Mecánica (admitimos que no hay ningún tipo de fuerzas de rozamiento), ya que la
fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo es conservativa. Energía mecánica inicial (en el
punto de lanzamiento) = energía mecánica final (que es cero):
Ec(e) + Ep(L) = 0 =>
½ mv2e + (- GMTm /rL) = 0. Por tanto, el valor de ve será:
ve = √2GMT /rL
Sustituyendo el valor de ve en la fórmula de la energía cinética de escape Ec(escape) = ½ mv2e
obtenemos:
Ec(escape) = ½ m 2GMT /rL = GMT m /rL .
De la expresión de la energía cinética de escape podemos deducir que la energía cinética
necesaria para que un cuerpo abandone la Tierra depende de la masa de dicho cuerpo de la
distancia del punto de lanzamiento al centro de la Tierra, rL, y de la masa de la Tierra, MT, y no de
la elección del origen de energía potencial, que podría estar en el interior de una mina, en la orilla
del mar o en la cima del Everest, o en el infinito, por tanto esta proposición es falsa.
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17. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B,
en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M.
a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si
la partícula se acerca o se aleja de M.
b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento
indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B
siguiendo una trayectoria no rectilínea?
Res. a) De forma espontanea, una partícula de masa, m, dejada libremente en el interior del
campo gravitatorio creado por la masa, M, sufre la actuación de la fuerza de atracción
gravitatoria, por lo que tiende a desplazarse hacia el punto más próximo a la masa M, es decir
tiende hacia el punto de de menor potencial gravitatorio (ver Figura 1).
Figura 1
|<-----------------rB----------------->|
----M------------A---------←●m---------B-----|<----rA---->|
La variación del potencial gravitatorio entre dos puntos A y B ( punto A cercano a M y punto B
lejano a M) situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M, vine dado por la
expresión: ΔV = Vp(B) – Vp(A) = (- GM1/rB) - (- GM1/rA) = GM (1/rA – 1/rB ). De acuerdo con esta
expresión si la partícula de masa m se desplazase desde el punto A (de menor potencial
gravitatorio) al punto B (de mayor potencial gravitatorio) aumentaría su potencial, ya que ΔV sería
positivo al ser rB mayor que rA, y este proceso es imposible que se produzca sin la ayuda de
fuerzas externas. Lo natural, lo espontaneo, es que se desplaza hacia el punto A siguiendo la
recta de unión de los puntos A y B.
b) - La disminución de la energía potencial gravitatoria que experimenta esta partícula
mide el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa), y este trabajo produce un
aumento de su energía cinética , por tanto, su energía potencial gravitatoria disminuye y su
energía cinética aumenta en el mismo valor absoluto, ya que, en ausencia de rozamientos, se
debe cumplir el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, puesto que la partícula de
masa m se mueve bajo la acción de la gravedad creada por la masa M, que es una fuerza
conservativa.
ΔEm = ΔEp + ΔEc = GMm (1/rB – 1/rA) + ½ m(v2A – v2B)
- Si la partícula fuera de A a B su energía potencial gravitatoria aumentaría a costa de
disminuir su energía cinética en igual valor absoluto, ya que se debe cumplir el PCEM. Su
expresión sería:
ΔEm = ΔEp + ΔEc = GMm (1/rA – 1/rB) + ½ m(v2B – v2A)
En un campo conservativo, como es el campo gravitatorio creado por la masa M, la
variación de la energía potencial que sufre una partícula cuando se desplaza desde un punto a
otro del campo no depende del camino seguido, depende exclusivamente de las posiciones inicial
y final, por tanto no cabría esperar ningunos cambios.
18. a) Enuncie las leyes de Kepler.
b) Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo
largo de su órbita al variar la distancia al Sol.
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Res. a) y b) Consultad libro y apuntes.
19. a) ¿A qué altura el valor de la gravedad se reduce a la mitad del valor que tiene en la
superficie terrestre?
Dato: RT = 6.370 km.
b) Deduce la expresión que te permita calcular cómo varía la gravedad en el interior de la
Tierra, supuesto que tiene una densidad constante.
Res. a) Supongamos un punto en el interior de la Tierra, situado a una profundidad p respecto
de la corteza terrestre y a una distancia r del centro: r = RT – p (Fig.1.).
El valor de la gravedad en este punto será g r = G m/r2, donde m es la masa correspondiente a la
esfera de radio r. Comparando este valor con el correspondiente en la superficie g 0 = G MT /R2T,
tenemos:
gr/g0 = G m/r2/ G MT /R2T = R2Tm/r2MT = R2T4/3πr3ρ/r24/3πR3T = r/RT de donde
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gr = g0 r/RT sustituyendo el valor de r se obtiene el valor de gr en función de la profundidad
gr = g0 (RT -p)/RT = g0 (1 – p/RT)
Hemos supuesto que la densidad de la Tierra es uniforme para poder hacer las
sustituciones:
m = ρ Vr = ρ 4/3πr3;
MT = ρ VT = ρ 4/3π R3T.
b) La intensidad de la gravedad en función de la distancia al centro de la Tierra viene dada
por:
g = GMT /r2 . Teniendo en cuenta que GMT = g0 R2T obtenemos:
g = g0 R2T /r2. Si se cumple que g = ½ g0, se deduce:
g0 /2 = g0 R2T /r2 => r = √2 RT; sabemos que r = RT + H => H = r – RT; sustituyendo el valor
de r obtenemos: H = √2 RT – RT = (√2 -1) RT = 0,41 RT = 0,414214 ∙ 6.370 km = 2.639 km.
20. En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determina:
a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del
radio de la órbita.
b) La relación que existe su energía mecánica y su energía potencial.
Res. a) Teniendo en cuenta el valor de la velocidad orbital obtenida en la respuesta de la
cuestión 4. b) i).
v = √GMT /r => v2 = GMT /r
Por tanto, la energía cinética viene dada por:
Ec = ½ mv2 = ½ GMTm /r
b) La energía potencial gravitatoria asociada al sistema Tierra-satélite es
Ep = - GMT m /r, cuya relación con la energía mecánica es:
Em = Ec + Ep = ½ GMTm /r + (- GMTm /r) = - ½ GMTm /r = ½ Ep
21. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.
b) ¿Qué ocurrirá en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una
velocidad igual a la de escape?
Res. a) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje
indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso.
Si un objeto está sobre la superficie de un planeta posee una energía potencial gravitatoria dada
por:
Ep = - GM m / R ; donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del planeta.
Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito
(Ep= - GM m / r cuando r = ∞ => Ep ∞ = - GM m / ∞ = 0),
para que un cuerpo escape deberá poseer una energía mecánica igual o mayor a cero (Em ≥ 0).
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Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la energía
potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energía cinética de
escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta.
½ mv2e + (- GM m / R) = 0
despejando ve, tenemos
ve = √2GM / R
Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de
11,2 km/s, de acuerdo con el siguiente cálculo:
ve = √2GM / R = √2∙6,67∙10-11 Nm2kg-2 ∙5,98∙1024 kg / 6,4∙106 kg = 11.164 m/s = 11,2 km/s.
b) Si el cuerpo posee una altitud 0 (situado en el polo norte para evitar la velocidad
tangencial que tienen todos los cuerpos situados en la superficie terrestre ocasionada por el giro
de espín de la Tierra) poseerá únicamente energía potencial gravitatoria, que es en todo punto
negativa y en este caso coincide con la “energía de ligadura” o de unión al campo gravitatorio
terrestre en la superficie de la Tierra.
Em = Ec + Ep = 0 + Ep = Ep = - GMT m/RT
Donde m es la masa del cuerpo, MT la de la Tierra y RT el radio de la Tierra.
El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energía cinética
de escape en la superficie que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la
energía potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra. Por tanto y teniendo en cuenta el
principio de conservación de la energía.
We = GMT m/RT.
22. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.
b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h
sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella.
Res. a) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje
indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso.
Si un objeto está sobre la superficie de un planeta posee una energía potencial gravitatoria dada
por:
Ep = - GM m / R ; donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio del planeta.
Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito
(Ep= - GM m / r cuando r = ∞ => Ep ∞ = - GM m / ∞ = 0),
para que un cuerpo escape deberá poseer una energía mecánica igual o mayor a cero (Em ≥ 0).
Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la energía
potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energía cinética de
escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta.
½ mv2e + (- GM m / R) = 0
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despejando ve, tenemos
ve = √2GM / R
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Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de
11,2 km/s, de acuerdo con el siguiente cálculo:
ve = √2GM / R = √2∙6,67∙10-11 Nm2kg-2 ∙5,98∙1024 kg / 6,4∙106 kg = 11.164 m/s = 11,2 km/s.
b) Si el cuerpo posee una altitud h, sin orbitar, poseerá únicamente energía potencial
gravitatoria, que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la “energía de ligadura” o
de unión al campo gravitatorio terrestre.
Em = Ec + Ep = 0 + Ep = Ep = - GMT m / (RT + h)
Donde m es la masa del cuerpo, MT la de la Tierra, RT el radio de la Tierra y h la altitud.
El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energía cinética
de escape a esa altura que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la energía
potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra. Por tanto y teniendo en cuenta el principio
de conservación de la energía.
We = GMT m /(RT + h).
23. Un satélite de masa m se desplaza en torno de un planeta de masa M en una órbita circular de
radio r.
a) Calcula la velocidad del satélite.
b) Comprueba que la energía mecánica del satélite es numéricamente igual a la mitad de su
energía potencial.
Res. Consultad las respuestas de la cuestión 4. b) i) y 20.
24. Sean A (afelio) y B (perihelio) dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol,
estando A más alejado del sol que B.
a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de la
energías cinética y potencial en A y en B.
b) i) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad?
ii)¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la aceleración?
Res. a)
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a) Debido a que la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cometa es central deducimos que
es conservativa, por consiguiente la energía mecánica se conserva si admitivos que no hay
fuerzas de rozamiento de ningún tipo. Es la misma, pues, en el perihelio que en el afelio
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(tengamos en cuenta que la energía cinética en el perihelio es mayor que en el afelio y se
compensa la menor energía potencia).
La energía potencial en el perihelio y en el afelio son respectivamente:
Ep B (perihelio) = - GMm/rB; Ep A (afelio) = - GMm/rA
Ep B<Ep A al ser más negativa en el perihelio que en el afelio.
La Ep A>Ep B => Ec A<Ec B.
Demostración:
Como Wr = ΔEm => 0 = ΔEm por tanto la energía mecánica se conserva (P.C.Em).
Por consiguiente se verifica que Em perihelio = Em afelio, o lo que es lo mismo Em B = Em A. En función de
la energía cinética y potencial tendríamos:
Ec B + Ep B = Ec A + Ep A => -GMm/rB + ½ mvB2 = -GMm/rA + ½ mvA2 =>
=> -GM/rB + ½ vB2 = -GM/rA + ½ vA2 => ½ (vB2 – vA2) = GM (1/rA – 1/rB).
como rB<rA será vB mayor que vA para que la igualdad se mantengan. Por tanto la energía cinética
en el perihelio será mayor que en el afelio.
Cuando el cometa se aleja del Sol aumenta su energía potencial gravitatoria a costa de disminuir
su energía cinética; y cuando se acerca al Sol disminuye su energía potencial gravitatoria a costa
de aumentar su energía cinética.
b) i) El momento angular se conserva ya que el cometa está sometido solo a una fuerza
central (la fuerza gravitatoria).
Por tanto se verifica que: l→ B = l→ A => r→B x m v→B = r→A x m v→A
En el perihelio y en el afelio los vectores de posición y velocidad son perpendiculares entre
sí, por lo que se cumple que rBmvB = rAmvA => rBvB = rAvA
Si rB<rA, se ha de cumplir que vB>vA.
ii) En las posiciones de perihelio y de afelio solamente existe la aceleración centrípeta o
normal:
aB perihelio = v2B /rB = GM/r2B;
aA afelio = v2A /rA = GM/r2A => aB/aA = r2A/r2B
Si rB<rA, se ha de cumplir que aB perihelio > aA afelio.
25.
a) La Tierra está dentro del campo gravitatorio solar. ¿Por qué la Tierra no se precipita
sobre el Sol?
b) Demuestra la Ley de Kepler de los Periodos.
Res. Consultad la respuesta de la cuestión 1. b).
26. En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determina:
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a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del
radio de la órbita.
b) La relación que existe su energía mecánica y su energía potencial.
Res. a) La Tierra es un planeta situado en una órbita prácticamente circular y estable alrededor
del Sol. Por ello la podemos considerar que está cayendo continuamente sobre el Sol; pero no
cae sobre él debido a que su velocidad tangencial ocasiona que la trayectoria de caída sea
concéntrica con la superficie del Sol, y se vea a la Tierra desde la superficie del Sol una altura fija.
Por tanto. se produce una trayectoria circular estable en torno al astro rey. Es un caso similar al
movimiento de tiro horizontal que está constituido por la composición de dos movimientos
perpendiculares entre sí: uno dirigido hacia el centro del Sol de caída libre y otro perpendicular al
anterior con una velocidad lineal (velocidad tangencial) constante igual a la velocidad orbital de la
Tierra.
b) Consultad las respuestas de la cuestión 20.
27. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente
proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan
desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.
b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre
dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.
Res.
a) Consultad las respuestas de la cuestión 2. b).
b) Consultad libro y apuntes.
28.
a) Si sobre un sistema actúan tres fuerzas conservativas diferentes una no
conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial hay en el teorema del trabajo
y energía?
b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, y en el interior de ésta, la intensidad del
campo gravitatorio terrestre es igual a su valor en un punto que dista del centro de
la Tierra una longitud igual a dos veces el radio terrestre?
Res. a) La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas
conservativas. Por tanto, habrá tres términos de energía, uno por cada fuerza
conservativa. Por ejemplo el sistemas constituido por una fuerza de rozamiento y la
existencia de un campo gravitatorio, un campo elástico y un campo eléctrico.
El teorema general de Leibnitz nos permite escribir:
Wr = ΔEc + ΔEP g + ΔEP e + ΔEP ee donde
Wr = trabajo de la fuerza de rozamiento
ΔEc = variación de energía cinética
ΔEP g = variación de la energía potencial gravitatoria
ΔEP e = variación de la energía potencial elástica
ΔEP ee = variación de la energía potencial electrostática.
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Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
b)
Sea P de la figura 1. el punto pedido. La intensidad del campo en ese punto es:
gh = g0 x/RT
El campo en el punto B vale:
gh/g0 = G R2T / (RT + h)2 = g0 R2T/(RT + RT)2 = g0 /4
Igualando tenemos: g0 x/RT = g0/4;
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x = RT/4 .
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Problemas:
29. Suponga que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, de radio 1,5 · 1011 m.
a) Calcule razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa de Sol.
b) Si el radio orbital disminuye un 20 %, ¿cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad
orbital de la Tierra?
G = 6,67·10-11Nm2kg-2.
Soluciones: a) v = 30 kms-1 ; Ms = 2·1030 kg.
b) T = 261,2 días; v = 33,41 kms-1.
Res. a) - Con el radio de la órbita y el periodo de revolución (la Tierra da una vuelta alrededor
del Sol cada 365 días, es decir un año: T = 365 ∙ 24 ∙ 3.600 s = 311536.000 s) se puede calcular la
velocidad orbital:
v = 2πr /T = 2π ∙ 1,5·1011 m /(311536.000 s) = 29.886 ms-1 = 30 km/s = 108.000 km/h.
En el movimiento circular de un planeta, solo actúa la fuerza gravitatoria del Sol, que
según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene dada por F g = GMSMT /r2, y su efecto
modifica la dirección de la velocidad del planeta, es decir hace el papel de fuerza centrípeta, que
según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica (Principio Fundamental de la Dinámica) viene
dada por Fc = MT ac ; siendo aC = v2 /r.
Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del planeta.
Fc = Fg
MTv2 /r = GMS MT /r2
y, por consiguiente, la velocidad orbital será:
v = √GMS /r
Por otra parte, si elevamos al cuadrado las dos expresiones que tenemos de la velocidad orbital
obtenemos:
v2 = GMS /r
v2 = 4π2r2 / T2
Igualando estas dos últimas expresiones, tenemos:
GMS /r = 4π2r2 / T2 y , por consiguiente la masa del Sol será:
MS = 4π2r3 /GT2 = 4π2 ( 1,5·1011 m)3 / (6,67∙10-11Nm2kg-2)∙(365 ∙ 24 ∙ 3.600 s)2 = 2·1030 kg.
b) - De la expresión GMS /r = 4π2r2 / T2 podemos deducir la Tercera ley de Kepler.
T2 = 4π2r3 /GMS = k r3 , siendo k = 4π2 /GMS , esta ley la podemos escribir de la siguiente
forma:
T21 /r31 = T22 /r32 => T22 = (r32 /r31) T21 = (r2 /r1)3 T21 ,
según los datos del problema el radio orbital se reduce un 20 % y, por consiguiente r 2 = 0,8 r1.
Sustituyendo datos en la fórmula de T22,
T22 = (r2 /r1)3 T21 = ( 0,8 r1 / r1)3 ∙(365 días)2 = 68.211,12 días2 de donde podemos hallar el
nuevo periodo de la Tierra:
T2 = √ 68.211,12 días2 = 261,2 días.
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- La nueva velocidad orbital sería:
V = 2πr / T = 2π∙(0,8 ∙1,5 · 1011 m) /(261,2 ∙ 24 ∙ 3600) = 33.410 ms-1= 33,41 kms-1=
= 120.276 km/h.
30.
a) Determine la densidad de la media de la Tierra.
b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio
terrestre se reduce a la tercera parte?
G = 6,67∙10-11N·m2·kg-2; RT = 6.370 km; g = 9,8 m·s-2.
Soluciones: a) ρ = 5.507 kgm-3.
b) H = 4.663 km.
Res. a) En el supuesto de que la forma de la Tierra es esférica, la densidad de la misma se
puede determinar utilizando la fórmula siguiente: ρ = MT /VT
La gravedad de la Tierra viene dada por : g0 = GMT /R2T ,de donde se deduce la masa del planeta:
M T = g0 R2T /G y, teniendo en cuenta que su volumen viene dado por VT = (4π /3) R3T,
obtenemos la siguiente expresión de la densidad media de la Tierra:
ρ = MT /VT = g0 R2T /(G¾ π R3T )
ρ = 3g0 /(4πGRT ) = 3 · 9,8 m·s-2 /(4π · 6,67·10-11N·m2·kg-2 · 61370.000 m) = 5.507 kgm-3.
b) La gravedad en función de la distancia del centro de la Tierra al punto exterior
considerado vale g = g0R2T /r2 . Si se cumple que g = ⅓ g0 , se deduce:
⅓ g0 = g0R2T/r2 ; ⅓ = R2T/r2 de donde r = √3 RT y, teniendo en cuenta que r = RT + H e
igualando las dos expresiones de r, obtenemos:
√3 RT = RT + H
de donde se deduce que: H = √3 RT – RT = (√3 - 1) RT = (√3 - 1) ∙ 6.370 km = 4.663 km.
31. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x 1 hasta otro
punto x2, realizando un trabajo de 50 J.
a) Determine la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la
energía potencial de la partícula es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?
b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del
reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?; ¿cuál será la variación de su energía mecánica?
Soluciones: a) ∆Ep = - 50 J; EpX2 = - 50 J.
b) vx2 = 141,42 ms-1 = 509 km/h. ∆Em = 0 .
Res. a) Según el Teorema de la Energía Potencial: ∆Ep = - W = - 50 J.
∆Ep = Epx2 – Epx1 de donde
Epx2 = ∆Ep + Epx1 ; sustituyendo datos obtenemos el valor de Epx2:
Epx2 = - 50 J + 0 = - 50 J.
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b) - Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energía
Cinética: WT = ∆Ec , como WT = Wr + WFC en donde Wr = trabajo de rozamiento y WFC = trabajo de
una fuerza conservativa. Obtenemos:
Wr + WFC = ∆Ec => Wr = ∆Ec – WFC ; por el Teorema de la Energía Potencial sabemos que:
WFC = ∆Ep , y por tanto Wr = ∆Ec + ∆Ep y como ∆Ec + ∆Ep = ∆Em llegamos a la expresión:
W r = ∆Em ; como no hay rozamiento, se cumple el Principio de Conservación de la Energía
Mecánica. ∆Em = 0 y, por tanto ∆Ec + ∆Ep = 0 => ∆Ec = - ∆Ep = - (- 50 J) = 50 J.
- Calculo de la velocidad en x2:
Partiendo de que ∆Ec = Ecx2 - Ecx1 => Ecx2 = ∆Ec + Ecx1 = 50 J + 0 = 50 J; utilizando la fórmula de la
energía cinética Ecx2 = ½ mv2x2 y despejando la velocidad obtenemos:
vx2 = √ 2Ecx2/m = √2 ∙ 50 J /0,005 kg = 141,42 ms-1= 509 km/h.
32. a) Explique la influencia que tienen la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la
gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha superficie.
b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruple, ¿cuál sería en
nuevo valor de g? ; ¿y el nuevo período de la Luna?
Datos: G = 6,67∙10-11N·m2 ·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 6∙1024 kg; dT-L = 3,84·105 km.
Soluciones: b) g = 9,77 ms-2; T = 11181.703 s = 13,68 días.
Res.
a) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es
g0 = p0/m = (G MT m/R2T)/m = G MT /R2T y, por tanto, la gravedad en la superficie terrestre es
directamente proporcional a la masa de la Tierra e inversamente proporcional al cuadrado del
radio terrestre (y no depende de la masa de la partícula).
- La energía potencial gravitatoria de una partícula próxima a la superficie terrestre viene
dado por la expresión: Ep0 = - G MTm /RT y, por tanto la energía potencial gravitatorio en la
superficie terrestre, en valor absoluto, es directamente proporcional a la masa de la Tierra y a la
masa de la partícula e inversamente proporcional al radio terrestre.
b) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es:
g0 = G MT/R2T = 6,67∙10-11N·m2 ·kg-2 ∙ 6 ∙1024 kg / (61400.000 m)2 = 9,77 ms-2.
Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al cuádruple:
g0 nueva = G 4MT/(2RT)2 = G 4MT/4R2 = G MT/R2T = g0 = 9,77 ms-2
La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre sería igual a la
intensidad del campo gravitatoria actual de la Tierra.
- El periodo de la Luna en función de la distancia dT-L viene dado por la expresión:
T = 2π dT-L/v . Sabemos que la velocidad orbital en la nueva situación es:
v = √G 4MT/dT-L
Por consiguiente:
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T = 2π dT-L/√G 4MT/dT-L = 2π ∙3,84∙108 m /√6,67∙10-11N·m2 ·kg-2∙4∙6∙1024 kg /3,84∙108 m = 11181.703 s
T = 13,68 días.
33. Un meteorito de 1.000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6
veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética.
a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?
b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad
llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida?
Razone las respuestas.
G = 6,67·10-11N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 6·1024 kg.
Soluciones: a) p = 199,4 N; Em = - 8.9331035.714 J. b) Ep se va transformando en Ec;
v = 10.354 ms-1 = 37.273 km/h. No, ya que el campo gravitatorio es conservativo.
Res.
a) - Según la Ley de Gravitación Universal el peso del meteorito en función de la altura es:
p = mg = G MT/(RT + H)2 = 1.000 kg · 6,67·10-11N·m2·kg-2 · 6·1024 kg /(6,4·106 m + 6 · 6,4·106 m)2=
= 199,4 N.
- La energía mecánica tras su colisión es la energía potencial gravitatoria que posee a esa
altura, puesto que su energía cinética después de la colisión es cero.
Em = Ep = - G MTm /(RT + H) = -1.000 kg · 6,67·10-11N·m2·kg-2· 6·1024 kg /(6,4·106 m +6 ·6,4·106 m) =
= - 8.9331035.714 J.
b) Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento, su energía potencial se va
transformando en energía cinética a medida que va bajando. En este caso se cumple el Principio
de Conservación de la Energía Mecánica y, por tanto
Em a esa altura = Em suelo => EcH + EpH = Ec suelo + Ep suelo
=> 0 + (- G MTm /(RT + 6 RT) ) = ½ mv 2suelo + (- G MTm /RT ) de donde
½ mv2suelo = G MTm /RT - G MTm /(RT + 6 RT); ½ v2suelo = G MT(1 /RT - 1 / 7RT) = (G MT /RT)∙(1- 1 / 7);
v suelo = √2(G MT /RT)∙(1- 1 / 7) = √(2∙6,67∙10-11N·m2 ·kg-2∙6∙1024 kg / 6,4∙106m)∙(1- 1 / 7) = 10.354 ms-1
v = 10.354 ms-1 = 37.273 km/h.
No, porque estamos en un campo de fuerzas conservativo y, por consiguiente el trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria no depende del camino seguido. Y teniendo en cuenta, el
Teorema de las Fuerzas Vivas obtenemos:
W = ∆Ec y W = - ∆Ep => ∆Ec = - ∆Ep => Ec – 0 =- ∆Ep => Ec = -(Ep - EpH) => ½ mv2= EpH – Ep
de donde v = √2m(EpH – Ep).
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34. Un cuerpo de 300 kg situado a 5.000 km de altura sobre la superficie terrestre, cae hacia el
planeta.
a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule con qué velocidad llega
a la superficie, suponiendo que el cuerpo partió del reposo.
b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe estar el cuerpo para que su peso se reduzca
a la cuarta parte de su valor en la superficie?
G = 6,67·10-11N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 6·1024 kg.
Soluciones: a) v = 7.406,2 ms-1 = 26.662,3 km/h.
b) H = 6.400 km.
Res.
a) Consultad las respuestas del problema 33. b).
b) Consultad las respuestas del problema 30. b).
35. Dos partículas de masas m1 = 2 Kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1 (0,2) m y
P2 (1, 0) m, respectivamente.
a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O (0,0) m y en
el punto P (1, 2) m y calcule el campo gravitatorio total en el punto P.
b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al
punto P.
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2.
Soluciones: a) E = 15,73·10-11 N·kg-1.
b) We = 10-11 J.
Res.
a) y b) Consultad libro y apuntes.
36. a) Razone cuáles son la masa y el peso de una persona de 70 kg en la superficie de la Luna.
b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en
un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética,
potencial y mecánica en ese desplazamiento.
G = 6,67·10-11N·m2·kg-2. ML = 7,35·1022 kg; RL= 1,738·106 m.
Soluciones: a) m = 70 kg; p = 113,61 N. b) h = 7,3 m; ∆Ec = - ∆Ep ; ∆Em = 0 .
Res.
a) - La masa no varía, es la misma que en la Tierra.
- La gL = GML /R2L = 6,67·10-11N·m2·kg-2·7,35·1022 kg /(1,738·106 m)2 = 1,623 ms-2; su
peso viene dado por: pL = mgL = 70 kg ·1,623 ms-2 = 113,61 N.
b) Se trata de un MRUV (movimiento de cada libre en la Luna), la gL es constante por que
estamos en un punto próximo a la superficie lunar.
Luego aplicando la fórmula h = ½ gLt2 = ½ · 1,623 ms-2·(3 s)2 = 7,3 m.
- Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento, su energía potencial se va transformando
en energía cinética a medida que va bajando.
En este caso se cumple el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, y por tanto
∆Em = 0 lo que ocasiona que ∆Ec = - ∆Ep.
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37. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.
a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital
permaneciera constante.
b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en
la superficie terrestre?
G = 6,67·10-11N·m2·kg-2; RT = 6.370 km; MT = 6·1024 kg; Rorbital Luna = 3,84·105 km.
Soluciones: a) T = 11673.792 s = 19,37 días. b) g = 4,93 ms-2.
Res.
a) El periodo de la Luna en función de la distancia dT-L viene dado por la expresión:
T = 2π dT-L/v . Sabemos que la velocidad orbital en la nueva situación es: v = √G 2MT/dT-L
Por consiguiente:
T = 2π dT-L/√G 2MT/dT-L = 2π∙3,84∙108 m /√6,67∙10-11N·m2 ·kg-2∙2∙6∙1024 kg /3,84∙108 m = 11673.792 s.
T = 13,68 días.
b) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es:
g0 = G MT/R2T = 6,67∙10-11N·m2 ·kg-2 ∙ 6 ∙1024 kg / (61370.000 m)2 = 9,86 ms-2.
Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al doble:
g0 nueva = G 2MT/(2RT)2 = G 2MT/4R2 = G MT/2R2T = ½ g0 = ½ ·9,77 ms-2 = 4,93 ms-2
La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre sería la mitad de la
intensidad del campo gravitatorio actual de la Tierra.
38. Dos satélites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia geocéntrico
dos órbitas circulares, contenidas en el mismo plano, de radio r 1 = 8.000 km y r2 = 9.034 km,
respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la
Tierra y situados del mismo lado.
a) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites?
b) i) ¿Qué relación existe entre los periodos orbitales de los dos satélites?
ii) ¿Qué posición ocupará el satélite S2 cuando S1 haya completado 6 vueltas, desde el
instante inicial?
Soluciones: a) v1/v2 = 1,063.
b) i) T1/T2 = 0,8331. b) ii) El satélite 2 da 4,9986 = 5 vueltas.
Res. a) En el movimiento circular de un satélite, construido por el hombre, solo actúa la fuerza
gravitatoria de la Tierra, que según la Ley de Newton de la Gravitación Universal viene dada por
Fg = GMTm /r2, y su efecto es modificar la dirección de la velocidad del satélite, es decir hace el
papel de fuerza centrípeta, que según la Segunda Ley de Newton de la Dinámica (Principio
Fundamental de la Dinámica) viene dada por Fc = m ac ; siendo aC = v2 /r. Igualando ambas fuerzas
podemos calcular al velocidad orbital del satélite.
Fc = Fg
mv2 /r = GMTm /r2
y, por consiguiente, la velocidad orbital será:
v = √GMT /r
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Aplicando la fórmula anterior a los satélites S1 y S2 y relacionando ambas velocidades, tenemos:
v1 /v2 = (√GMT /r1) /(√GMT /r2) = √r2 /r1 = 1,063;
v1 = 1,063 v2.
b) i) De la tercera Ley de Kepler podemos deducir la relación entre los periodos de los dos
satélites: T21 / T22 = r31 /r32 = (8.000 km)3 /(9.034 km)3 => T2 = 1,2 T1.
En el mismo tiempo t que el satélite S 1 emplea en realizar n1 = 6 vueltas, el satélite S2
habrá realizado n2 vueltas, como se puede deducir de las siguientes expresiones:
Por definición del periodo de un satélite podemos escribir:
T1 = t /n1 => t = n1T1
}
T2 = t /n2 => n2 = t / T2 } => n2 = n1 T1 / T2 = 6 T1 /1,2 T1 = 6 /1,2 = 5.
39. Un satélite artificial en órbita geoestacionaria es aquel que, al girar con la misma velocidad
angular de rotación de la Tierra, se mantiene sobre la vertical.
a) Explique las características de esa órbita y calcule su altura respecto a la superficie de la
Tierra.
b) Razone qué valores obtendría para la masa y el peso un cuerpo situado en dicho satélite
sabiendo que su masa en la Tierra es de 20kg.
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 5,98·1024 kg.
Soluciones: a) H = 3,5·107 m.
b) m = 20 kg; p = 4,52 N.
Res. a) Un satélite ocupa una órbita geoestacionaria cuando siempre se encuentra en la misma
posición sobre la vertical de la Tierra luego su período coinciden con el de la Tierra.
T = 24 h = 24 h ∙ 3.600 s / 1h = 86.400 s
De la tercera ley de Kepler se deduce la relación entre el valor del período con el radio de la
órbita.
La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que el
satélite describa una órbita circular: Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital del
satélite.
Fg = Fc
GMT m / r2 = mv2 / r
De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital:
v = √GMT / r , y utilizando la ecuación que
relaciona el período con el radio orbital, T = 2π r / v, y operando llegamos a la expresión
matemática de la tercera ley de Kepler.
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v2 = GMT / r
T2 = 4π2 r2 / v2 => T2 = 4π2 r2 / (GMT / r) = 4π2 r3 / GMT
Despejando r y sustituyendo datos, tenemos:
r = [(GMT / 4π2) T2]1/3 = [6,67 ∙10-11 Nm2kg-2∙5,98 ∙1024 kg ∙(86.400 s)2 / 4π2]1/3 = 4,23 ∙107 m.
A partir de la relación GMT = g0R2T podemos calcular el radio de la Tierra y a continuación la
altura.
RT = √GMT /g0 = √6,67 ∙10-11 Nm2kg-2∙5,98 ∙1024 kg / 9,81 ms-2 = 61377.000 m
Como H = r - RT = 4,23·107 m - 61377.000 m = 351923.000 m = 35.923 km.
b) La masa no varía, luego tendría 20kg.
Su peso sería p = mg = m GM/r2 = 20 kg · 6,67·10-11 Nm2kg-2·5,98·1024kg/(4,2·107m)2 =
= 4,52 N.
40. La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra una
órbita circular con una velocidad de 7,62 km/s.
a) ¿A qué altura se encontraba?
b) ¿Cuál era su período? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 h los astronautas que
viajaban en el interior de la nave?
MT = 5,98·1024 kg; RT = 6.370 km.
Soluciones: a) H = 499.373 m = 499,4km.
b) T=1,57 h; 15,25 amaneceres.
Res. a) La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que
el satélite describa una órbita circular: Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital
orbital de satélite.
Fg = Fc
GMT m / r2 = mv2/ r
De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital:
v = √GMT / r
despejando r obtenemos:
r = GMT /v2 = 6,67·10-11 Nm2kg-2·5,98·1024kg/(7.620 ms-1)2 = 61869.373 m
H = r – RT = 61869.373 m – 61370.000 m = 499.373 m = 499,4 km.
b) v = 2πr/ T => T = 2πr/v = 2π·61869.373 m / 7.620 ms-1 = 5.664 s = 1,57 h.
{№ de amaneceres} = t / T = 24 h·3.600 s/h /5.664 s = 15,25 amaneceres.
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41. La nave espacial Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una
distancia media del centro de la Luna de 1,8·106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la
Luna es una esfera uniforme:
a) Determina la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave.
b) ¿Cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el
doble? Razone la respuesta.
Dato: G = 6,67·10-11N·m2·kg-2.
Soluciones: a) ML = 6,77·1022 kg, v = 1.584 ms-1 = 5.702,4 km/h.
b) La velocidad orbital sería la misma, pues no depende de la masa de la nave.
Res. a) - Cálculo de la velocidad orbital de la nave:
La nave está sometida a un movimiento circular uniforme, por tanto su velocidad
tangencial (velocidad orbital) se calcula a través de la ecuación de enlace.
v = w r = 2πr/ T = 2π· 1,8 · 106/ (119 min · 60 s/min) = 1.584 m/s = 1,6 km/s.
- Cálculo de la masa de la Luna:
La fuerza gravitatoria que ejerce la Luna origina la fuerza centrípeta necesaria para que la nave
espacial Apolo 11 describa una órbita circular: Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad
orbital de la nave.
Fg = Fc
GML m / r2 = mv2/ r
De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital:
v = √GML / r
despejando ML obtenemos:
ML = v2 r /G = (2πr/ T)2r/G = 4π2 r3/ T2 G = 4π2·(1,8·106 m)3/(119·60) s2· 6,67 ∙10-11 Nm2kg-2 =
= 6,77·1022 kg.
b) La velocidad orbital sería la misma, pues no depende de la masa de la nave.
De la igualdad
Fg = Fc
llegamos por sustitución a GML m / r2 = mv2/ r y en
esta expresión matemática se va la masa m por estar multiplicado en el primero y segundo
miembro, por consiguiente v no dependerá de m.
42. Un satélite del sistema de posiciones GPS, de 1.200 kg, se encuentra en una órbita circular de
radio 3 RT.
a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la
superficie terrestre.
b) Determina la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria.
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 5,98·1024 kg.
Soluciones: a) Su peso ha descendido en 10.464 N.
b) T = 7,35 h; no, porque no vale 24 horas.
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Res.
a) g0 = GM0 / R02; gh = GM0 /r2 = GM0 /(3R0)2 = g0R02/9R02= 1/9 g0 => gh /g0 = 1/9 = 0,1111
Δp = ph – p0 = mgh -mg0 = m (gh – g0) = m (1/9 g0 – g0) = mg0 (1/9 – 1) =
= 1.200 kg·9,81 ms-2·(1/9 – 1) = -10.464 N
El signo menos menos significa que ha perdido (disminuido) peso en una cuantía que
asciende a 10.464 N, por haber disminuido el valor de la gravedad en un 88,89 %.
Nota:
(gh /g0)·100 = (1/9)·100 = 11,11 % de g0. El descenso del valor de la gravedad que se ha
producido es: 100 – 11,11 = 88,89 %.
b) La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que
el satélite describa una órbita circular: Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital del
satélite.
Fg = Fc
GMT m / r2 = mv2/ r
De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital:
v = √GMT / r = √ 6,67·10-11 Nm2kg-2·5,98·1024kg/ 3·61400.000 m = 4.558 ms-1 = 4,6 km/s.
Para que la órbita descrita sea geoestacionaria el satélite debe ser sincrónico, es decir,
debe tener el mismo periodo de revolución que el periodo de rotación de la Tierra.
v = 2πr/ T => T = 2πr/v = 2π·192·105 m / 4.558 ms-1 = 26.467 s = 7,35 h.
Para que este satélite fuese sincrónico su periodo debería de haber sido T = 24 h. Por
tanto no es un satélite sincrónico.
43. La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde
Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula
Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de saturno, más grande que nuestra Luna e
incluso más que el planeta Mercurio.
a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de
1,2·109 m de radio, calcule la velocidad y periodo orbital.
b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de
la Tierra?
G = 6,67·10-11N·m2 k·g-2; RTitán= 2,6·106 m; MSaturno= 5,7·1026 kg; MTitán= 1,3·1023 kg; g =10 ms-2.
Soluciones: a) v = 5.629 ms-1 = 20.263 km/h. T = 11339.527 s = 15,5 días.
b) pTitán/pTierra = 0,12827.
Res. a) La fuerza gravitatoria que ejerce Saturno origina la fuerza centrípeta necesaria para
que el satélite Titán describa una órbita circular: Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad
orbital del satélite Titán.
Fg = Fc
GMS m / r2 = mv2/ r
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De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital:
v = √GMS / r = √ 6,67·10-11 Nm2kg-2·5,7·1026kg/ 1,2·109 m = 5.629 ms-1 = 20.263 km/h.
v = 2πr/ T => T = 2πr/v = 2π·1,2·109 m / 5.629 ms-1 = 11 339.527 s = 15,5 días.
b) gT = GMT /RT2
=> gT /g0 = ( GMT / RT2)/(GM0 /R02) = MT R02/M0RT2
2
g0 = GM0 / R0
gT /g0 = MT R02/M0RT2 = 1,3·1023 kg·(61400.000 m)2/ 6,14·1024kg·(2,6·106m)2= 0,12827
pT/p0 = mgT/mg0= gT/g0 = 0,12827.
Nota: Cálculo de la masa de la Tierra con los datos que nos da el problema:
g0 = GM0 / R02 => M0 = g0R02/G = 10 ms-2·(61400.000 m)2/ 6,67·10-11 Nm2kg-2 = 6,14·1024kg.
44. Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja
caer libremente.
a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del
cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad
del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre.
b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la
posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 6·1024 kg.
Soluciones: a) Ep disminuye igual que aumenta Ec; Em = cte.; v = 1.692,3 ms-1 = 6.092,4 km/h.
b) ve = 11.054,3 ms-1 = 39.795,6 km/h.
Res. b) Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento se cumple el principio de conversación
de la energía mecánica, y dado que no tiene energía cinética, por estar en reposo a esa altura, la
energía mecánica será igual a la energía potencial gravitatoria a esa altura. Esta energía potencial
gravitatoria se va transformando en energía cinética a medida que va bajando; y su energía
mecánica permanece constante, por tener que cumplirse el Principio de Conservación de la
Energía Mecánica, por tanto:
Em a la altura H = Em suelo => Ec
H
+ Ep H = Ec suelo + Ep suelo
=> 0 + (- G MTm /r) = ½ mv2suelo + (- G MTm /RT) de donde
½ mv2suelo = G MTm /RT - G MTm /r; despejando v suelo obtenemos:
v suelo = √2G MT ∙(1/RT - 1/r) = √(2∙6,67∙10-11N·m2 ·kg-2∙6∙1024 kg / (1/6,4∙106m - 1 /6,55∙106m ) =
= 1.692,3 ms-1 = 6.092 km/h
Nota: r = RT + H = 6,4·106 m + 150.000 m = 6,55·106 m.
b) La velocidad de escape, es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo se aleje
indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso.
- Si un objeto está alejado del centro de la Tierra a una distancia r posee una energía
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Respuestas de la relación № 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
potencial gravitatoria dada por:
Ep = - GMT m /r
Puesto que el origen de energía potencial está situado en el infinito
(Ep= - GM m / r cuando r = ∞ => Ep ∞ = - GM m / ∞ = 0),
cuando r = ∞ => E p ∞ = - GM m / ∞ = 0, para que un cuerpo escape deberá poseer una
energía mecánica igual o mayor a cero (Em ≥ 0).
Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condición de anular la
energía potencial gravitatoria que tiene el cuerpo, a la altura que se encuentre, con la energía
cinética de escape comunicada en el punto de lanzamiento situado a la citada altura.
½ mv2e + (- GM m / r) = 0
despejando ve, tenemos
ve = √2GM / r
Para el caso de un cuerpo situado a una altura sobre la superficie de la Tierra, la velocidad
de escape será:
ve = √2GM / r = √2∙6,67∙10-11 Nm2kg-2 ∙5,98∙1024 kg / 6,55∙106 m = 11.054,3 m/s = 11,1 km/s
Ve = 11.054,3 m/s = 39.795,6 km/h.
45.
a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de
103 ms-1. Comente los cambios energéticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto y
calcule la altura máxima que alcanza considerando despreciable el rozamiento.
b) Una vez alcanzada dicha altura, ¿qué velocidad se debe imprimir al objeto para que
escape del campo gravitatorio terrestre?
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; RT = 6.400 km; MT = 6·1024 kg.
Soluciones:
a) Ec disminuye igual que aumenta Ep; Em = cte. H = 51.587 m = 51,587 km.
b) ve = 11.138,3 ms-1 = 40.098 km/h.
Res.
a) Consultad libro y apuntes.
b) Consultad las respuesta del problema 44. b).
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