6° Economía COMBINACIÓN LINEAL DE DOS ECUACIONES

Matemática “B”
6° Economía
COMBINACIÓN LINEAL DE DOS ECUACIONES
Dadas las ecuaciones:
(e) ax  by  cz  d
(e') a'x  b'y  c'z  d'
Se denomina combinación lineal de las ecuaciones (e) y (e’) a la ecuación:
k1  ax  by  cz   k2  a'x  b'y  c'z   k1d  k2d', siendo k1 y k 2 números reales
Ejemplos:
(e)x  y  5 
  k1  6 y k2  2 la combinación lineal es:
(e')2x  3y  1
6(x - y)  (-2)(2x  3y)  6  5  (2)  1, es decir, 2x  12y  28
(e)x  y  5  k1  k 2  1, la combinación lineal es (x  y)  (2x  3y)  5  1, es decir, 3x  2y  6
 
(e')2x  3y  1 k1  1 y k 2  1, la combinación lineal es (x  y)  (2x  3y)  5  1, es decir,  x  4y  4
Las dos últimas combinaciones lineales presentan dos casos muy usuales en
Matemática
 k1  k 2  1 , la combinación lineal es la “suma” de las ecuaciones (e) y (e’)
 k1  1 y k 2  1 , la combinación lineal es la “resta” de las ecuaciones (e) y (e’)
CRITERIO DE EQUIVALENCIA PARA SISTEMAS DE ECUACIONES
Hipótesis
ax  by  cz  d

(S) a'x  b'y  c'z  d'
a''x  b''y  c''z  d''

ax  by  cz  d

(S') a'x  b'y  c'z  d'
k3  0
k (ax  by  cz)  k (a'x  b'y  c'z)  k (a''x  b''y  c''z)  k d k d'  k d''
2
3
1
2
3
 1
Tesis
S  S'
¿Qué aporta el criterio en la práctica?
La propiedad permite pasar de un sistema a otro equivalente con él, sustituyendo una
de sus ecuaciones por una combinación lineal de las ecuaciones del sistema, de modo
que la ecuación sustituida se multiplique por un número distinto de cero. La aplicación
reiterada del teorema origina el método de reducción.
Veamos, a modo de ejemplo, la aplicación del criterio en la resolución de sistemas de
ecuaciones.
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El sistema:
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x  y  3z  4

  x  4y  5 es muy sencillo de resolver

2x  14

En la ecuación tres hallamos x:
2x  14 
x7
En la ecuación dos hallamos y:
7  4y  5  4y  12 
En la ecuación uno hallamos z:
7  3  3z  4   3z  6 
y3
z2
La solución del sistema es: S =  7,3,2  S.C.D
Los sistemas de ecuaciones no siempre se presentan de esta manera. ¿Cómo
resolvemos el siguiente sistema?
x  y  2z  4

2x  3y  z  3 aplicaremos el criterio enunciado para resolverlo
x  y  3z  4

C.L: 2e1 + e2
2x  2y  4z  8
2x  3y  z  3
y  5z  11
x  y  2z  4

Utilizando el criterio se obtiene el sistema:  y  5z  11
x  y  3z  4

C.L: e1 + e3
x  y  2z  4
x  y  3z  4
2y  5z  8
x  y  2z  4

Utilizando el criterio se obtiene el sistema:  y  5z  11
 2y  5z  8

C.L: e2 + e3
y  5z  11
2y  5z  8
3y  3
Utilizando el criterio se obtiene el sistema:
x  y  2z  4

 1  5z  11  z  2  x  1  2.2  4  x  1
 y  5z  11

3y  3  y  1

S  1,  1, 2 