TR RAB BAJO O FIN NAL DE C CARR RER RA

TR
RAB
BAJO
O FIN
NAL DE CARR
C RER
RA
ULO DEL TFC:
T
Méto
odos de ca racterización de mod
duladores eelectroTÍTU
ópticcos
TITU
ULACIÓN: Ingeniería
a Técnica d
de Telecom
municación
n, especiallidad
Siste
emas de Telecomuni
T
icación
AUT
TOR: Jaum
me Díaz Alo
onso
DIRE
ECTOR: María
M
Conc
cepción Sa
antos Blanc
co
FEC
CHA: 30 de
e Junio de 2011
Título: Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Autor: Jaume Díaz Alonso
Director: María Concepción Santos Blanco
Fecha: 30 de Junio de 2011
Resumen
El objetivo de este trabajo es el de estudiar y revisar los conceptos básicos en
el campo de los moduladores electroópticos.
Se han definido los principales parámetros que se utilizan en el estudio de los
moduladores electro-ópticos además de hacer hincapié en los parámetros
físicos que son susceptibles de medida de cara a su caracterización
experimental.
También se ha profundizado en el fenómeno del chirp, que se estudia en
detalle llegando a varias expresiones analíticas y a aproximaciones de utilidad
práctica.
Por último se ha hecho una investigación sobre los diferentes métodos que las
empresas del sector utilizan para caracterizar el chirp de modo experimental.
Title: Characterization methods for electrooptical modulators
Author: Jaume Díaz Alonso
Director: María Concepción Santos Blanco
Date: June 30, 2011
Overview
The main goal for this study is to be useful as a reference for future works in
the electrooptic modulators área of study.
The main parameters used in the study of electrooptic modulators have been
defined, with special emphasis on the physical parameters for experimental
characterization.
In addition, the frequency chirp phenomenon has been portrayed in greater
depth, defining it and finding some analytical expressions and approximations
with practical interest.
Lastly, different methods used by commercial companies in this area to
experimentally characterize the frequency chirp have been studied.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1 CAPÍTULO 1. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL MODULADOR MACHZEHNDER .......................................................................................................... 3 Conceptos y expresiones ........................................................................................... 3 1.1 1.1.1 El modulador Mach-Zehnder ................................................................................. 3 1.1.2 El Interferómetro Mach-Zehnder ........................................................................... 7 1.1.3 Heterodinaje óptico.............................................................................................. 10 1.2 Características físicas .............................................................................................. 11 1.2.1 El efecto Pockels ................................................................................................. 11 1.2.2 Estructura del corte: X-cut y Z-cut ....................................................................... 11 CAPÍTULO 2. ESTUDIO DEL CHIRP .............................................................. 15 Definición de chirp .................................................................................................... 15 2.1 2.2 Chirp eléctrico ........................................................................................................... 16 2.3 Chirp óptico ............................................................................................................... 18 2.4 Chirp total................................................................................................................... 19 2.4.1 Aproximaciones ................................................................................................... 21 2.4.2 Comparación de resultados ................................................................................ 24 2.4.3 Anulación del chirp .............................................................................................. 26 CAPÍTULO 3. CÁLCULO EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS EN LA
EXPRESIÓN GENERAL DEL CHIRP .............................................................. 31 3.1 3.2 3.3 Parámetro γ ................................................................................................................ 31 Parámetro η................................................................................................................ 34 Parámetro φ ............................................................................................................... 35 CAPÍTULO 4. MÉTODOS COMERCIALES DE MEDIDA DEL CHIRP ........... 39 Método de la discriminación de frecuencias .......................................................... 39 4.1 4.1.1 Funcionamiento ................................................................................................... 39 4.2 Método de la discriminación de frecuencias mediante un filtro gaussiano ....... 45 4.2.1 Funcionamiento ................................................................................................... 45 4.3 Método de la medida del espectro........................................................................... 47 4.3.1 Funcionamiento ................................................................................................... 47 CONCLUSIONES ............................................................................................ 53 REFERENCIAS................................................................................................ 55 ANEXOS .......................................................................................................... 57 AGRADECIMIENTOS
En primer lugar, es mi deseo agradecer a la directora de este proyecto, Mª
Concepción Santos, por el planteamiento de este trabajo, además de
agradecer a Mireia Liébana su participación durante las primeras fases del
mismo.
En segundo lugar agradecer a mis familiares y amigos, especialmente a Fran,
Carlos y Marc, que me han empujado una y otra vez para llevar este proyecto a
buen puerto.
Por último, quisiera agradecer profundamente al Dr. Henri Porte, CEO de
Photline, su ayuda en la última parte de este trabajo más allá de lo que
cualquiera pudiera esperar y de modo totalmente desinteresado. Merci
beaucoup.
Introducción
1
INTRODUCCIÓN
Hace más de 200 años, en 1792, el inventor francés Claude Chappe construyó
el primer sistema de comunicaciones ópticas, un rudimentario sistema basado
en torres y espejos, que conseguían enviar mensajes telegráficos entre Lille y
París, separadas entre sí 220 Km, en un tiempo de 16 minutos.
Hoy, ese primer sistema ha evolucionado en las actuales infraestructuras de
comunicaciones ópticas, basadas en la fibra óptica, llegando a tener una red de
más de 250000 Km de cables submarinos intercontinentales de fibra óptica con
una capacidad de 2.55 Tb/s según datos de 2002 y convirtiéndose en el
principal medio de transmisión en las telecomunicaciones.
En la técnica hoy en día más común para la transmisión mediante fibra óptica,
el sistema IM-DD (Intensity Modulator – Direct Detection), es la potencia la que
es proporcional a la información y en tal sistema los moduladores
electroópticos externos que son objeto principal de nuestro estudio son parte
esencial.
En trabajos previos con comunicaciones ópticas y moduladores electroópticos
se llegó a la conclusión de que no había un claro acuerdo entre nomenclaturas
y aproximaciones llevadas a cabo por los diferentes investigadores,
especialmente en el campo del chirp, creando confusiones que pueden llevar
inevitablemente a pérdidas en el rendimiento del trabajo. En un modulador
externo, llamamos chirp a la modulación de fase residual que aparece acoplada
a la modulación de amplitud que se pretende conseguir.
Como objetivo principal de este Trabajo de Fin de Carrera se ha propuesto
hacer una recapitulación de los estudios realizados hasta la fecha, revisándolos
y estudiándolos en detalle para elaborar una especie de manual de referencia
para futuras profundizaciones en el campo.
Así, en el primer capítulo de este trabajo hemos realizado una aproximación a
las principales características y parámetros que definen un modulador MachZehnder y que nos pueden ser de utilidad en el estudio del chirp.
En el segundo capítulo, el objetivo es definir y estudiar el chirp en detalle,
encontrando una definición que ponga en conjunto las dos variantes, óptica y
eléctrica, que puede presentar este fenómeno, siendo expresada en función de
parámetros que podamos caracterizar experimentalmente.
2
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Además, se han planteado algunas aproximaciones basadas en el Polinomio
de Taylor para las diferentes expresiones encontradas, de cara a la facilitación
de los cálculos que deban hacerse en las diferentes comprobaciones
experimentales que deseen realizarse, estudiando asimismo el error que
puedan aportar al valor real del chirp.
En el tercer capítulo se han estudiado los diferentes parámetros presentes en
nuestra definición del chirp total, encontrando de ese modo posibilidades para
caracterizar de modo experimental sus valores pudiendo así gracias a las
expresiones encontradas en el segundo capítulo encontrar experimentalmente
un valor del parámetro del chirp.
Por último, en el cuarto capítulo hemos querido conocer los diferentes métodos
que las empresas comerciales del panorama de las comunicaciones ópticas
utilizan para caracterizar el chirp, estudiándolos con detalle y conociendo tanto
ventajas como desventajas de su utilización.
Este trabajo forma parte de la línea de investigación del departamento de
Teoría de la Señal y Comunicaciones (TSC) que se dedica a conocer las
diferentes características de los sistemas de predistorsión, linealización y
moduladores de los sistemas de transmisión ópticas.
Finalmente, remarcar que el enfoque de este trabajo es puramente teórico
aunque poniendo un especial acento en las posibles caracterizaciones
experimentales de los parámetros, métodos y expresiones tanto detallados
como desarrollados.
Caracteerísticas básicas d
del modulador Mach‐Zehnder
3 CAPÍTULO 1. CARAC
CTERÍST
TICAS BÁSICA
B
AS DEL
OR MAC
CH-ZEHN
NDER
MODULADO
1.1
Conce
eptos y expresion
e
nes
1.1.1 El mod
dulador Mach-Zehn
M
nder
Aunq
que la modulación
m
directa del láser es barata y recoomendable
e en
apliccaciones sencillas,
s
para funcciones má
ás avanza
adas se rrequiere de
d la
mod
dulación exxterna. Un
no de los modulado
ores extern
nos más ccomunes es
e el
dulador electroóptico Mach-Zeh
hnder (o MZ
Z).
mod
El m
modulador MZ basa su
s efecto en la varia
ación de la
a fase de la señal óptica
ó
provvocada porr un camp
po eléctrico
o aplicado
o al cristal por el quue se prop
paga.
Este
e fenómen
no se cono
oce con e
el nombre
e de efecto electroóóptico o efecto
e
Pockkels.
Debido a que los receptores sólo ccaptarán la
as variacio
ones en la amplitud de la
seña
al, se requiere conve
ertir la mod ulación de
e fase en modulación
m
n de amplitud.
Para
a ello, generalmente se usa
a una con
nfiguración conocidaa como MachM
Zehn
nder, (MZ)). Podemo
os observa
ar un esquema de la
a configuraación MZ en
e la
figurra 1.1:
Figurra 1.1 Esqu
uema de un modulad
dor MZ
Dond
de Ve1 y Ve2 son la
as tension es aplicad
das a cada una de las ramas
s del
mod
dulador, Vc1 y Vc2 es la sensibil idad de los electrodo
os, esto ess, la tensió
ón en
la ra
ama necesaria para conseguir
c
u
un cambio
o de fase en la señal de π radia
anes,
4
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
y Ein y Eout es el campo eléctrico de la onda eléctrica a la entrada y a la salida,
respectivamente, del modulador.
La expresión de Eout, es decir, el campo a la salida del modulador es:
=
+
2
( . )
Considerando que usamos la configuración push-pull, Ve1=-Ve2, y asumiendo
Vc1=Vc2=Vc, realizamos los cambios pertinentes en la expresión 1.1 y
obtenemos:
=
· cos
·
( . )
Elevando tal expresión al cuadrado, podemos obtener la potencia a la salida
del modulador:
=
·
·
=
2
· 1 + cos
2
( . )
Y de ahí podemos obtener la función de transferencia del modulador MZ que
podemos ver en la figura 1.2:
Caracteerísticas básicas d
del modulador Mach‐Zehnder
5 Fig
gura 1.2 Fu
unción de ttransferenc
cia de un modulador
m
r MZ
En lla figura 1.2
1 observ
vamos varrios parám
metros que
e nos seráán útiles en
e el
estudio de los moduladores.
Uno de ellos es
e la tensión de me
edia onda o Vπ, que es la difeerencia enttre el
mínimo y el máximo
m
de
e la funció
ón de tran
nsferencia del moduulador. Ba
ajo la
conffiguración push-pull la tensión
n de med
dia onda y la sens ibilidad de
e los
electtrodos, sup
puestamen
nte igualess, se relacio
onan del siguiente
s
m
modo:
=
2
( . )
o parámetro
o a consid
derar es el punto de cuadratura
a, QP (Qu adrature Point)
P
Otro
en la
a figura 1.2
2. El punto
o de cuadra
atura es el punto de trabajo deel modulado
or en
la zo
ona lineal de la función de tra
ransferenciia. Usualm
mente, paraa modularr una
seña
al sobre una
u
portadora ópticca, añadirremos una
a tensión de bias para
situa
arnos en essta zona lineal.
Por último, obsservamos la ER o Exxtinction Ra
atio, que se define coomo la rela
ación
entre
e la potenccia máxima
a y la poten
ncia mínim
ma de la se
eñal modulaada, de modo
que:
6
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
=
( . )
un caso ide
eal como el
e considerrado en la expresión 1.3 en quue en cada
a una
En u
de la
as ramas tengamos
t
exactame nte la mita
ad de la se
eñal, tendrríamos una
a ER
infinita.
a realidad, cada ram
ma no reci be exactamente la misma
m
canntidad de señal
s
En la
sino un porcen
ntaje al que
e denomin aremos α. La situación es entoonces la qu
ue se
mue
estra en la figura
f
1.3:
Figura
a 1.3 Esque
ema de la distribució
ón real de cantidad
c
dee señal
En e
el caso pu
ues en qu
ue cada rrama recib
ba diferentte cantidadd de seña
al, la
exprresión del campo
c
a la
a salida de
el modulador debe re
eescribirse de la siguiente
form
ma:
( )
=
+ ·
( )
( . )
Dond
de γ=(1-α)/α es la relación d
de señal óptica
ó
en cada ram
ma. Cuando se
mod
dula una señal
s
de RF
R sobre una porta
adora óptic
ca tenemoos que la fase
inducida por el modulado
or en cada
a rama del interferómetro es, poor otro lado
o:
=
·
=
+
( ) (( . )
Caracteerísticas básicas d
del modulador Mach‐Zehnder
7 Dond
de Vbi ess la tensió
ón de bia
as o polarización y VRFi es la tensión
n en
radio
ofrecuencia
a en cada una de
e las rama
as i. Suponiendo qque Vc1=V
Vc2, y
conssiderando que a cad
da electrod
do puede llegar un nivel de sseñal diferente,
tene
emos que la
a expresió
ón de θe1 y θe2 puede
e ser escrita
a como:
=
=
−
+
+ ·
( ) =
( ) =−
( ) ( . )
+
+ ·
( )( . ))
Sien
ndo η la re
elación en
ntre las am
mplitudes de señal en cada rrama. De este
mod
do, reescrib
bimos de nuevo la e
expresión 1.6 de ma
anera quee llegamos a la
érica de la
a función de
e transfere
encia del modulador:
m
exprresión gené
=
·
+ ·
·
( .
)
1.1.2
2 El Interrferómetrro Mach-Z
Zehnder
Un M
MZI es un dispositivo
o que divid
de la seña
al óptica en dos parttes iguales
s, las
transsporta por dos brazo
os de long itudes dife
erentes y la
as recombbina a la sa
alida.
Depe
endiendo de como se
s halle co
onfigurado
o, las dos partes
p
de la señal óptica
ó
pued
den interfe
erir entre ellas, reco
ombinarse
e como en
n la entraada o anularse
completamente
e. Puede verse
v
un e
esquema de
d un interrferómetro Mach-Zeh
hnder
en la
a figura 1.4
4:
Figura 1.4
1 Configu
uración de un interferómetro Mach-Zehndder (MZI)
8
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Normalmente el MZI presenta dos salidas a las que se conecta un fotodetector.
Considerando que los retardos de fase de las líneas son, respectivamente
1=(2π/λ)·n1L1 y
2=(2π/λ)·n2L2 y la matriz de transferencia del MZI,
consistente en dos acopladores y la matriz de la línea:
=
√1 −
√
√
√1 −
√1 −
0
0
√
√
√1 −
( .
)
Utilizando ε=0.5, que es el valor más utilizado para obtener el máximo valor de
ER y desarrollando la matriz obtenemos que para a2=0 (o lo que es lo mismo,
teniendo el segundo puerto de entrada desconectado):
=
1
2
=
(
−
+
2
( .
)
( .
)
)
Siendo la función de transferencia di/a1 y sustituyendo las fases por sus valores
relacionados con los parámetros físicos de las líneas, tenemos que:
=
·(
−
) ( .
)
=
·(
−
) ( .
)
Que son las funciones de transferencia de cada una de las dos salidas.
Podemos observar gráficamente la función de transferencia de un MZI en la
figura 1.5:
Caracteerísticas básicas d
del modulador Mach‐Zehnder
9 F
Figura 1.5
5 Función de
d transferrencia de un
u interferó
ómetro Macch-Zehnde
er
de la línea
a continua
a es la sal ida 1 y la discontinu
ua la salidda 2. Pode
emos
Dond
obse
ervar que la forma de
e una de la
as salidas es
e un cose
eno cuadraado, similar a la
funcción de tran
nsferencia del modullador Mach
h-Zehnderr con la dife
ferencia de
e que
el eje de abcissas es aquí frecuenciia y no tensión. Esto es significcativo dado
o que
uno de los uso
os posibles
s del interfferómetro Mach-Zehnder es ell de modulador
electtroóptico.
No o
obstante, usualmente
u
e se utiliza como filtro
o óptico de
e modo quee a cada salida
s
se a
atenúan differentes grrupos de frrecuencias
s, tal y com
mo se puedde observa
ar en
la fig
gura 1.6:
erferómetro
o Mach-Zehnder utiliz
zado comoo filtro
Figura 1.6 Inte
o para la
a caracteriización de
el chirp de
d la disccriminación
n de
En el método
frecu
uencias, de
escrito en el apartado
o 4.1, se utiliza
u
esa configurac
c
ción.
10
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
1.1.3 Heterodinaje óptico
El heterodinaje es un sistema consistente en trasladar señales a otros rangos
de frecuencia mediante la combinación con una frecuencia de referencia que a
menudo es referida como oscilador local.
En el caso de las comunicaciones ópticas, el heterodinaje de una señal óptica
utilizando un láser actuando como oscilador local es especialmente útil puesto
que traslada el espectro óptico a señales eléctricas y permite medir con
precisión el espectro utilizando analizadores de espectros eléctricos, que tienen
mucha mejor resolución que los analizadores de espectros ópticos.
Es decir, partiendo de un campo eléctrico al que definiremos como:
=
+ )( .
cos(
)
Donde
es una frecuencia suficientemente alta como para no poder ser
medida por un analizador de espectros eléctrico. Consideramos también una
frecuencia modulada o en este caso simplemente un oscilador local:
=
)( .
· cos(
)
Si tenemos en cuenta que en recepción obtenemos el campo al cuadrado,
elevamos la suma de ambas componentes al cuadrado obteniendo:
=(
+
2
cos(2
+2 )+
+
2
cos (
+
2
) =
+
cos(2
−
)+
) +
+
cos (
( .
+
) +
)
En la anterior expresión podemos ver que nos aparece una primera
componente constante, un segundo grupo a alta frecuencia dependiente de la
suma de frecuencias o de las frecuencias iniciales y otra componente
dependiente de la diferencia de frecuencias. Tal salida se filtra de modo que
solamente obtendremos el componente de la diferencia de frecuencias.
Características básicas del modulador Mach‐Zehnder 11 Si la frecuencia
del oscilador local se configura suficientemente alta, la
frecuencia resultado de la diferencia de frecuencias estará en el rango medible
por un analizador de espectros eléctrico.
1.2
Características físicas
1.2.1 El efecto Pockels
El efecto electroóptico lineal o efecto Pockels, nombrado en honor al físico
alemán que lo enunciara en 1893, es el efecto por el cual el índice de
refracción de un medio es modificado según se aplique un campo eléctrico al
mismo.
El efecto electroóptico lineal se da en algunos materiales cristalinos utilizados
en la fabricación de moduladores como pueden ser el niobato de litio (LiNbO3),
el fosfato de potasio dideuterio (KDP) o el tantalato de litio (LiTaO3), así como
en algunos semiconductores como el fosfuro de indio (InP).
En el caso del LiNbO3, la intensidad del efecto electroóptico es máxima cuando
tanto el campo óptico como el eléctrico están polarizados en la dirección del eje
de simetría del cristal, conocido como eje óptico y que es la dirección en la cual
el rayo no sufre doble refracción. Eso obliga a colocar los electrodos respecto
de las guías de una determinada forma dependiendo del corte del cristal
respecto del eje óptico.
1.2.2 Estructura del corte: X-cut y Z-cut
El corte del cristal en un modulador afecta tanto a la eficiencia del propio
modulador como al chirp, fenómeno que estudiaremos en detalle en el capítulo
2. El chirp se define como la fase residual que aparece al modular la amplitud.
Los moduladores Mach-Zehnder se diseñan como X-cut o Z-cut, cuyos
nombres responden a la dirección del corte respecto al eje óptico.
En el caso de la estructura Z-cut, se coloca un electrodo encima de la guía de
onda, concentrando así el campo. Podemos ver el esquema de un modulador
con la estructura Z-cut en la figura 1.6:
12
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Figura
a 1.6 Seccción de un modulador Z-cut
Por el contrariio, en el caso del m odulador con
c estruc
ctura X-cutt los electrrodos
no e
están sobre
e las guías
s de onda . Podemos
s ver el es
squema dee un modulador
con la estructu
ura X-cut en la figura 1.7:
Figura
a 1.7 Seccción de un modulador X-cut
Las configuracciones com
mentadas sse refieren
n a los mod
duladores más típico
os en
la prráctica que
e son los moduladore
m
es single-d
drive, es de
ecir, con unn único ac
cceso
elécttrico que es común para cad
da uno de los brazos del interrferómetro
o que
form
ma el modu
ulador. En los modula
adores sing
gle-drive, en
e cada unna de las guías
g
ópticcas que forma el inte
erferómetro
o se tienen
n campos eléctricos polarizado
os en
Caracteerísticas básicas d
del modulador Mach‐Zehnder
13 la misma direccción y sen
ntidos opue
estos. El cambio
c
de fase en caada guía te
endrá
o valor y dis
stinto signo
o en cada guía (conffiguración ppush-pull)..
puess el mismo
Men
nos frecuentes en la
a práctica
a son los modulado
ores dual-ddrive, con dos
acce
esos eléctrricos con lo
os que es posible co
ontrolar de manera inndependien
nte la
fase de la seña
al óptica en cada una
a de las gu
uías.
entajas de
el X-cut re
especto de
el Z-cut es que al tener un corte
Una de las ve
simé
étrico, el chirp
c
provo
ocado por el modula
ador es prá
ácticamen te cero. Por
P el
conttrario, en el caso del Z-cut e
el valor de
el parámetro α o paarámetro chirp
añad
dido es de
d aproxim
madamentte 0.7.De otro mod
do, el Z--cut mejorra el
solapamiento entre cam
mpo eléctri co y óptic
co respecto
o al X-cutt en un 20
0% y
pressenta un Vπ o tensión
n de media
a onda men
nor.
Así, si dispon
nemos de dos modu
uladores de
d tipos diferentes een los que no
sepa
amos con certeza de
d qué tip
po es cada
a uno, sim
mplementee tenemos que
enco
ontrar el valor
v
de la tensión
n de media onda mediante
m
su función
n de
transsferencia tal y como podemos o
observar en
e la figura
a 1.8:
Figura 1.8 Medidas
s de la tenssión de me
edia onda en
e modulaadores con
diferentess parámetrros físicos
No o
obstante, la diferenc
cia entre lo
os valores de esta te
ensión es menor a bajas
b
frecu
uencias ta
al como estudiaron
n Gorman
n y Axha
a en [2],, así que
e es
reco
omendable realizar la
a medida d
del valor de
e Vπ a frec
cuencias aaltas para evitar
e
errorres de apre
eciación.
14
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Además, este método es poco práctico realmente puesto que exige
encontrarnos ante dos moduladores con parámetros físicos similares, tanto de
longitud (L) como de altura o espesor de los electrodos (T), dado que con
valores diferentes para esos casos las medidas pueden variar sensiblemente.
De otro modo, podremos establecer qué estructura presenta un modulador
Mach-Zehnder dado midiendo experimentalmente o conociendo previamente el
valor de su parámetro chirp. Concretamente, si tenemos un valor cercano a 0.7,
estaremos ante una estructura Z-cut y si tenemos un valor de 0 o cercano a 0
estaremos ante una estructura X-cut.
Para ello, en los siguientes capítulos estudiaremos detalladamente qué es el
fenómeno del chirp y cómo podemos medirlo.
Estudio del chirp
15
CAPÍTULO 2. ESTUDIO DEL CHIRP
2.1
Definición de chirp
De forma general, en modulaciones ópticas entendemos por chirp una fase
residual y generalmente indeseable que aparece junto a la modulación de
amplitud. En los moduladores MZ el chirp puede tener origen óptico o eléctrico,
como se explica más adelante.
El chirp, es decir, esta fase residual indeseada puede caracterizarse a partir del
coeficiente α como:
=
·
·
1
( . )
2
definido como tal por primera vez por Koyama e Iga en [1]. Podemos escribir
esa función en función de α, que es una constante referente al porcentaje de
modulación de intensidad. De este modo, la expresión anterior la redefinimos
en función de α:
=2 ·
/
/
( . )
Nuestro objetivo pues, será conseguir eliminar el chirp de cara a poder evitar
en caso necesario sus efectos indeseados. Para ello, estudiaremos las
expresiones del chirp eléctrico y el chirp óptico e intentaremos contrarrestar la
una con la otra.
Inicialmente se creía que lo único que aparecía era chirp eléctrico.
Concretamente, este fenómeno se debe a que no hay la misma cantidad de
señal eléctrica para una rama del modulador que para otra, de modo que aún
teniendo la misma amplitud, las dos ramas no tienen la misma fase.
Tiempo después se observa que los resultados no son los que debieran y se
intuye que existen más aportaciones al chirp además de la ya conocida:
aparece el chirp no solamente a causa de la descompensación de la cantidad
de RF que llega a cada brazo del modulador sino también al tener una ER
finita, debido a la falta de simetría del modulador.
A continuación buscaremos pues las expresiones matemáticas de ambos tipos
de chirp de cara a poder encontrar una expresión genérica que los relacione.
16
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
2.2
Chirp eléctrico
o
mos el ch
hirp como
o la suma
a vectoria
al de las dos señ
ñales,
Si cconsideram
gráfiicamente observamo
o
os perfecttamente co
omo a fas
se no com
mplementa
aria y
mism
ma amplitu
ud tendrem
mos una fasse residual en la sum
ma vectoriaal de ambo
os en
la fig
gura 2.1:
Fig
gura 2.1 Fa
ase residua
al aparecid
da al suma
ar vectorialmente doss vectores con
fase de amplitud
a
ig
gual y fase no comple
ementaria
En la gráfica, observam
mos que lo
os dos vec
ctores sum
mandos tieenen la misma
m
amp
plitud, pero fase no co
omplemen
ntaria. Al re
ealizarse la
a suma vecctorial, apa
arece
una fase residu
ual ϕ en el vector ressultante. Ese es, pue
es, el chirp eléctrico.
Así pues, para
a este cas
so, el cam
mpo eléctric
co, a partir de la exxpresión 1.10 y
dado
o que para
a este conc
creto caso γ=1, es de
efinido com
mo:
( )=
+ ·
·
( . )
Con θb como la
l fase de bias. En e
este caso, se ha tom
mado igual a 0 en un
na de
las rramas, sim
mplemente
e escogien
ndo el origen de tiem
mpos en eel momentto en
que en una de
d las ramas la fa
ase sea ju
ustamente 0, simpliificando así la
exprresión.
Cogiendo la anterior
a
ex
xpresión exxpresada en
e módulo
o y fase e igualándo
olo a
, tenem
mos:
√ ·
Estudio del chirp
17
( )=2·
(
)
·
·
−1
·
2
· cos
+
2
=√ ·
( . )
Expresión a partir de la cual hallamos el valor de la fase y la intensidad:
=
+1
·
2
+
−1
·
2
=
2
+
( . )
2
( . )
A partir de lo cual realizamos los cálculos necesarios para obtener el valor de α
según la expresión 2.2, con lo que obtenemos:
=−
·
sin(( ·
)
+1
( . )
−1
·
De esa fórmula podemos aislar el factor η de cara a expresar futuras
ecuaciones solamente dependientes de α. Así, operando en la expresión
anterior obtenemos:
=
·
−1
·
+1
( . )
Lo usual es polarizar el modulador en su zona lineal, esto es, trabajar en el
punto de cuadratura θb=π/2. Por tanto, la expresión anterior quedaría tal que:
=
−1
( . )
+1
18
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
2.3
Chirp óptico
mpo despu
ués se obs
serva que los resulta
ados no so
on los quee debieran y se
Tiem
intuyye que exiisten más aportacion
nes al chirp: aparec
ce chirp all tener una
a ER
finita
a, debido a la falta de simetrría del mo
odulador. Efectivameente, pode
emos
comprobar grá
áficamente como, al ttener dos señales co
on la mism
ma fase perro de
signo
o contrario
o y diferentte amplitud
d, aparece una fase residual ϕ en el resultado
de la
a suma vecctorial de ambos
a
en lla figura 2..2:
Fig
gura 2.2 Fa
ase residua
al aparecid
da al suma
ar vectorialmente doss vectores con
d
diferente
amplitud
a
y misma fas
se con diferrente signoo
En e
estas cond
diciones, el campo e
eléctrico a la salida del
d modulaador con θRF=0
apliccado en la expresión 1.10 es:
=
+
( .
)
Dond
de θb1 y θb2 son la fase
f
a cad
da rama de
el modulad
dor que enn nuestro caso
partiicular están en contrrafase de fforma que cumple co
on la confi guración pushp
pull, y γ es la relación
r
de
e señal ópt ica en cada una de las ramas.
Si la
a expresión
n anterior, tal y com
mo hemos realizado con el ch irp eléctric
co, la
igualamos a √ ·
, y aplicando
a
lla condició
ón de mism
ma fase y diferente signo
s
tal que θb1=-θb2
mos:
b , obtenem
Estudio del chirp
19
=
1+
4
+ 2 · · cos(
2
) ( .
)
Y la fase que será:
(1 − ) sin
=
( .
(1 + ) cos
)
De nuevo calculamos las derivadas y sustituimos en la fórmula de Koyama e
Iga, de modo que obtenemos la expresión:
=
1−
2 · · sin(
)
( .
)
Dado que lo que queremos es expresar γ en función del parámetro α,
finalmente obtenemos:
=
·
(
)+1−
)( .
· sin(
)
Y en cuadratura:
=
2.4
+1−
( .
)
Chirp total
Normalmente encontraremos tanto chirp óptico como chirp eléctrico. Para
conseguir la expresión del chirp total, deberemos rehacer los cálculos de los
dos apartados anteriores para el caso en que tengamos ambos tipos de fase
residual. Usando la definición genérica en 2.2 y operando, obtenemos la
expresión del factor α para el chirp total:
=
+
−
sin(
·
+1
) · ( − 1)
( .
)
Tomando las expresiones calculadas en 2.8 y 2.14, podemos reescribir la
expresión anterior en función de αo y αe:
20
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
=
+
+
·
(θ )
+
·
· sin(θ
θ ) − (θ ) · (
· sin((θ ) + 1)
+
·
·
θ
2
( .
)
Evalluada en el
e punto de cuadraturra tal que θb=π/2, obttenemos:
=
−
·(
+ 1 − 2)(( .
)
Pode
emos ver la gráfica de contorn
no de la ex
xpresión del
d chirp tootal en el punto
p
de ccuadratura, 2.18, en un rango de valore
es αo y αe suficientem
mente gra
andes
para
a observar la forma de la misma
a, en la figura 2.3:
gura 2.3 Gráfica de lo
os niveles de la exprresión del chirp
c
total een función del
Fig
chirp ópticco y el chirrp eléctrico
o
Estudio del chirp
21
2.4.1 Aproximaciones
s
Com
mo vemos, la expre
esión gen
nérica del chirp tota
al, 2.17, es demas
siado
complicada pa
ara trabajar con ella cómodamente. No obstante,
o
ppodemos hacer
h
una primera aproximac
a
ión media
ante el cálculo del Polinomio de Taylo
or en
nuesstra expressión genérica del parrámetro α para
p
el chirp total.
Realizando esa operació
ón y simplifficando las
s expresion
nes, obteneemos que::
≃
+
( .
)
e se estudió
ó por prime
era vez po
or Bravetti, Ghislotti y Balsamo en el
Exprresión que
artícculo [11]. En
E ese artículo, se lllega a esta
a conclusión a partirr de resulttados
num
méricos. En
n este caso
o, se ha lle
egado med
diante aproximación dde la expre
esión
gene
eral.
De nuevo, ob
bservamos
s la gráficca de con
ntorno esta primeraa aproxima
ación
realizada en la
a figura 2.4
4:
F
Figura 2.4 Gráfica de
e los nivele
es de la primera aproximación ccalculada en
e
fu
unción del chirp óptic
co y eléctric
co
22
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Como vemos, esa gráfica se parece muy poco, a priori, a la gráfica de la
expresión genérica, aunque más adelante veremos si esta aproximación es
suficiente en entornos concretos de valores de chirp.
Podemos ir más allá y buscar el Polinomio de Taylor para el siguiente orden.
Calculamos las derivadas en αo y αe en la expresión 2.17, que son:
=
θ
−
2
(
·
· (sin(θ ) − ·
· sin(θ ) − ( .
=
θ
+
+
2
sin(θ )
·
(θ ) ·
( .
(
)
(
) )
· sin(θ ) + 1)
+ 1
) (θ ) − ·
·
·
(θ ) ·
· sin(θ ) + 1)
+ 1
) Con ellas, calculamos el polinomio de Taylor que, evaluando cada componente
en 0 y simplificando nos da:
≃
+
+
·
(θ )
+
·
· sin(θ ) − (θ ) · (
· sin(θ ) + 1)
+
·
·
θ
2
( .
) Tal expresión, evaluada en el punto de cuadratura es igual a:
≃
−
·
+ 1 − 2 ( .
) Que, curiosamente, ya son exactamente iguales a las expresiones originales,
2.17 y 2.18, lo cual también podríamos comprobar gráficamente.
Además por simple inspección de la expresión 2.23 podemos observar que,
cuando αo es pequeño, tal expresión es aproximadamente igual a nuestra
aproximación en la expresión 2.19. El siguiente paso será encontrar un entorno
en que nuestra aproximación funcione con un error suficientemente pequeño
de cara a facilitarnos el cálculo.
Observando la gráfica de nuestra aproximación y la función original, vemos que
el entorno donde las pendientes de ambas funciones se parecen, esto es,
Estudio del chirp
23
dond
de la origin
nal se pare
ece lo máss posible a una recta de penddiente nega
ativa,
es en el entorn
no de 0.
Así, si vemos ambas
a
grá
áficas en u n entorno suficientem
mente cerccano a 0, como
c
hace
emos en la
as figuras 2.5
2 y 2.6:
Figura 2.5
5 Gráfica de
d contorno
o de la función origin
nal en el enntorno de 0
24
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Figura 2..6 Gráfica de contorn
no de la ap
proximación en el enttorno de 0
2.4.2
2 Compa
aración de resultados
A simple vista
a, observan
ndo las fig
guras 2.5 y 2.6, pod
dríamos assegurar qu
ue tal
apro
oximación es útil, aunque pueden comparars
se ambass expresiones
num
méricamente. Para ello, simplem
mente resta
amos 2.18 y 2.19:
=
−
·
+ 1( .
)
Dond
de e es ell error. Pod
demos verr la gráfica
a de conto
orno de la expresión 2.24
en la
a figura 2.7
7:
Estudio del chirp
25
Fiigura 2.7 Gráfica
G
de la diferenccia de resu
ultados enttre las figu ras 2.5 y 2.6
2
Com
mo esperáb
bamos, en la gráfica
a vemos qu
ue las diferencias soon reducidas (y
más cuando nos
n acerca
amos a enttornos de 0) y que dicha
d
aprooximación sería
más exacta en
n tales ento
ornos de 0 .
Adem
más, pode
emos obse
ervar que es menos sensible
e a cambi os en el chirp
ópticco que a ca
ambios de
e chirp elécctrico. Es decir,
d
que el
e entorno de chirp óptico
ó
en e
el que la ap
proximación es válida
a es mayorr.
En e
efecto, vem
mos que si aumentam
mos el rang
go de valorres del chirrp eléctrico
o y el
chirp
p óptico, en unos lím
mites simila
ares a los de la figurra 2.3, nueestra gráfic
ca de
la diferencia de res
sultados e
entre una
a y otra
a expres iones ca
ambia
conssiderablem
mente, como podemo
os observarr en la figura 2.8:
26
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Fig
gura 2.8 Gráfica
G
de la diferenccia de resultados en un
u entornoo más gran
nde
2.4.3
3 Anulac
ción del chirp
c
Ahorra que hem
mos conseguido exprresar el ch
hirp total en
n función dde tanto el chirp
elécttrico como
o el óptico,, en vez d e a partir de los parrámetros η y γ, pode
emos
estudiar en qué condiciones se anu
ulará el chirp.
o que sabe
emos que el chirp elléctrico es el único que
q podem
mos modific
car al
Dado
mod
dificar η, pu
uesto que el chirp óp
ptico viene
e dado porr diseño, loo que vam
mos a
hace
er es inten
ntar enconttrar una e xpresión del
d chirp eléctrico
e
quue haga que la
exprresión del chirp
c
total se iguale a cero.
ociendo ell chirp óptico a parti r del cono
ocimiento experiment
e
tal del valo
or de
Cono
γ, ha
allado a pa
artir de la ER
E medida
a en la función de tra
ansferenciaa tal y com
mo se
deta
alla en el ca
apítulo 3, encontraría
e
amos una expresión del chirp eeléctrico ta
al que
hicie
era que el chirp
c
total fuese igua
al a cero. Conocido
C
el
e valor del chirp eléc
ctrico,
y conocida la ecuación
e
que
q relacio
ona η con αe, podrem
mos enconttrar un valo
or de
η tall que, a ciierto valor de γ, anu
ule el chirp
p total. Parra ello, y ppartiendo de
d la
exprresión 2.22
2, que igua
alamos a ce
ero:
Estudio del chirp
27
+
+
·
(θ )
+
·
· sin(θ ) − (θ ) · (
+
· sin(θ ) + 1)
·
θ
2
·
= 0
(2.25)
De la anterior expresión aislamos αe:
=−
·
+
(
)
+
·
(
)
(
)·
(
·
)
+ 1
(2.26)
De cara a poder representarlo gráficamente, repetimos cálculos para la
expresión en el punto de cuadratura:
−
·
+ 1 − 2 = 0( .
)
Operamos para aislar αe:
=
+ 1 − 2
( .
)
Expresión que podemos ver gráficamente en la figura 2.9:
28
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Figu
ura 2.9 Va
alores del chirp
c
eléctrrico dependiendo dell chirp ópti co para an
nular
e
el chirp tota
al
De o
otro modo,, podemos
s calcular ccuándo el chirp valdrá 0 para ciertos va
alores
de η y γ, puesto que
q
estoss son valores
v
qu
ue podem
mos enco
ontrar
expe
erimentalm
mente. Parra ello, tom
mamos inicialmente la expressión 2.14 y la
igualamos a 0::
+
−
sin(
·
+1
) · ( − 1)
= 0( .
)
Aisla
amos η y buscamos
b
cuál
c
es su expresión
n:
=−
2 · sin( ) − · (
· sin
n
·
− sin
−
·
+ 2 · · sin
)
( .
)
Estudio del chirp
29
Por tanto, si η y γ se rela
acionan en
ntre sí com
mo en la ex
xpresión 2..30, el valo
or del
p total será
á igual a cero
c
y de tal modo habremos
s evitado laa presencia de
chirp
ese fenómeno indeseado
o.
Tal e
expresión en
e punto de
d cuadratu
ura es simplemente igual
i
a:
=−
1
( .
)
Pode
emos obse
ervar tal ex
xpresión grráficamentte en la figu
ura 2.10:
Figura 2.10
2
Gráfic
ca de la exxpresión 2.31 como η dependieendo de γ
uando γ vale
Com
mo vemos en la figura 2.10, cu
v
1 y η es igual a -1, no ha
abría
ninguna aporta
ación del chirp
c
tal qu e αtot=0.
Así, si conoce
emos expe
erimentalm ente el va
alor de γ, podemos
p
cconfigurar η de
tal m
modo que anulemos
a
el
e efecto d el chirp en
n el modula
ador estudiiado.
30
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
En el siguiente capítulo se analiza la obtención de los valores de los
parámetros γ, η y φ utilizados en el análisis teórico de este capítulo a partir de
medidas experimentales.
Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp
31
CAPÍTULO 3. CÁLCULO EXPERIMENTAL DE LOS
PARÁMETROS EN LA EXPRESIÓN GENERAL DEL
CHIRP
En el anterior capítulo, en el que hemos estudiado el fenómeno del chirp,
hemos usado con asiduidad los parámetros γ, η y φ.
Aunque al escribir las respectivas formulaciones del campo Eout hemos
explicado resumidamente qué eran tales parámetros, en este capítulo
pasaremos a explicar cómo podemos obtenerlos de modo experimental.
3.1 Parámetro γ
Partiendo de la expresión 1.10, pero de forma que tengamos en cuenta las
posibles diferencias de fase eléctrica entre la señal de RF que llega a cada uno
de los electrodos:
·
(
)
+ ·
·
·
(
)
( . )
Donde θRF = VRF·π/Vπ y φ es la diferencia de fase entre las señales que se
aplican a cada electrodo. A partir de esa expresión, realizamos la expansión de
Jacobi-Anger, que es un modo de expandir exponenciales de funciones
trigonométricas cuya expresión general es:
( )
=
( )+2
( ) cos( · )( . )
Donde Jn es la función de Bessel n-ésima. Realizando pues la expansión de
Jacobi-Anger de la expresión 3.1, obtenemos:
(
)+2
(
) cos(
)+ ·
( ( ·
(3.3)
)+2
·
cos(
+
)
32
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
La parte CW (Continuous Wave) se puede reescribir del siguiente modo:
(
)+ ·
( ( ·
)( . )
A la hora de calcular experimentalmente el valor de γ consideraremos VRF=0 o
lo que es lo mismo, no aplicaremos señal de RF al modulador sino solo de
señal de bias. De este modo, sabiendo que la función de Bessel de grado 0
evaluada en 0 es igual a 1, tendremos que la expresión anterior es ahora igual
a:
1+
( . )
La intensidad que se mida a la salida del modulador será igual al módulo al
cuadrado de la expresión anterior:
1 + γ ·
=
1 + γ + 2 · γ · cos(2 ·
)( . )
Cambiamos el bias para pasar de un máximo a un mínimo de intensidad,
teniendo así un máximo en:
1 + γ + 2 · γ( . )
Y un mínimo en:
1 + γ − 2 · γ( . )
Si dividimos ambas expresiones, obtenemos que:
=
1+γ +2·γ
1+
=
1+γ −2·γ
1−
( . )
Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp
33
En definitiva, encontrar el valor del parámetro γ sería encontrar el valor de la
ER o Extinction Ratio de nuestro modulador.
Podemos reescribir la expresión de la ER con la expresión obtenida en 3.9, de
modo que:
= 20 log
1+
1−
( .
)
De ahí podemos aislar el parámetro γ de modo que:
=
10
−1
10
+1
( .
)
En realidad, la solución de γ es doble, pero escogemos solo aquella que hace
que γ esté entre 0 y 1. De este modo, conociendo el valor de la ER (un valor
típico es 40 dB), podemos calcular el valor de nuestro parámetro γ.
Por consiguiente, podríamos utilizar el valor del parámetro γ encontrado para
calcular el valor de η para conseguir un sistema con un chirp total igual a 0, tal
y como hemos hecho en el capítulo 2, utilizando, dependiendo del punto donde
estudiemos nuestro sistema, las expresiones 2.26 o 2.27.
Tal cálculo nos es realmente útil puesto que el parámetro γ es fijo y viene dado
por las características físicas del modulador, mientras que el parámetro η
podemos modificarlo variando la cantidad de señal eléctrica que introducimos
en cada una de las ramas disponiendo de un modulador dual-drive (con un
conector independiente para cada guía óptica) en el cual puede realizarse tal
acción.
Para ello necesitamos saber cómo calcular de modo experimental ese
parámetro, cosa que resolveremos a continuación.
34
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
3.2 Parámetro η
Recordemos que este parámetro relaciona las amplitudes de las tensiones
aplicadas a cada una de las ramas del modulador MZ y que, por tanto, es el
único parámetro que podemos modificar en caso de tener un modulador dualdrive, en contra del parámetro γ que nos viene dado físicamente por el propio
modulador.
Cabe decir que lo usual en la práctica es disponer de moduladores single-drive
basados en línea coplanar como los descritos en el capítulo 1. No obstante,
basados en estos resultados podrían plantearse configuraciones en las que
fuese posible controlar un cierto desequilibrio entre las amplitudes de señal en
cada electrodo al objeto de reducir e incluso anular el nivel del chirp del
modulador.
La idea para obtener η experimentalmente es medir la potencia de señal
continua a la salida del modulador para diferentes valores de RF, es decir, ir
variando el nivel de RF hasta que la señal de salida se cancela. Desde el punto
de vista experimental, tal punto se puede determinar con precisión.
Igualamos a cero la expresión 3.4, reescribiéndola tal que:
(
)− ·( ( ·
)) = 0( .
)
Para proceder, debemos observar la salida continua del modulador e ir
modificando VRF hasta que encontremos el punto en el cual dicha tensión
provoca que la continua sea igual a cero.
Lo que queremos, pues, será encontrar el valor de VRF para el cual la
componente continua de la salida del modulador sea exactamente igual a 0 y, a
partir de ahí, podremos trabajar la expresión para encontrar el valor de η.
Podemos reescribir 3.12 de modo que:
(
( ·
)
)
= ( .
)
Cálculo experimental de los parámetros en la expresión general del chirp
35
Viendo así que nos hallamos ante un nuevo modo de caracterizar el parámetro
γ en caso de que por alguna circunstancia conozcamos previamente el valor de
η.
Por tanto, conociendo los valores de RF y γ, procederemos a encontrar para
qué valor la función de Bessel de orden cero cumple la siguiente igualdad:
( ·
(
)=
)
( .
)
3.3 Parámetro φ
Este parámetro lo mediremos con la ayuda de un analizador de redes que sea
capaz de heterodinar una señal mostrando las bandas positiva y negativa del
espectro tal y como hemos explicado en el apartado 1.1.3. El analizador debe
ser VNA dado que lo que vamos a observar es fase. Para proceder, deberemos
tomar la parte de 3.3 dependiente de la frecuencia que anteriormente no
tuvimos en cuenta puesto que aplicábamos señal de RF.
Tenemos pues:
2 · (
)·
(
) + (2 · ( ·
) · cos(
+ )) · ·
( .
)
Podemos reescribir tal expresión en modo exponencial, con lo que
obtendríamos lo siguiente:
2 · (
)·
±
+ ·
( ·
(
·
)
)
·
±
·
±
( .
)
De nuevo reescribiremos la expresión de modo que trabajaremos solo con la
parte entre paréntesis de 3.16:
+ ·
( ·
(
)
)
·
·
(
)
( .
)
36
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Que es la banda positiva
a del espe
ectro. En efecto,
e
hete
erodinandoo nuestra señal
s
bservar ta
ambién la banda negativa, siguiendoo la siguiente
podrremos ob
exprresión:
+ ·
( ·
(
)
)
·
·
(
)
( .
)
De e
este modo
o, realizand
do cambio
os en la te
ensión de bias podeemos conseguir
que se anule una
u de las bandas (p
positiva o negativa)
n
del
d espectrro, en un modo
m
simillar al del anterior
a
ap
partado y cconsiguiend
do, de nue
evo, una bbuena prec
cisión
de la
a medida.
ervando trras heterodinar tanto
o la banda
a positiva como la bbanda neg
gativa
Obse
tend
dremos algo similar a lo que pod
demos obs
servar en las figuras 3.1 y 3.2:
Figu
ura 3.1 Ba nda positiv
va del espe
ectro
Cálculo experimental de los parámetros en la expre
esión general de
el chirp
37
Figu
ura 3.2 Ban
nda negativa del espectro
Proccederemoss pues a encontrar para qué
é valores de θb cadda una de
e las
band
das tiene un
u valor mínimo, enccontrando un valor pa
ara la bandda positiva
a y la
band
da negativa
a y que co
onoceremo
os respectiv
vamente como θb1 y θ b2.
A partir de la
as expres
siones 3.1 7 y 3.18 podemos
s observarr que parra la
componente exponencia
al relaciona
ada con el parámetro
o φ tendrem
mos un míínimo
cuan
ndo tenga un valor igual a π, de modo que nos encontrareemos ante
e dos
exprresiones ta
ales que:
+
= ( .
)
−
= ( .
)
En la
as que, tra
as operar, podemos
p
l legar a la siguiente
s
expresión:
e
=
−
2
( .
)
38
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Con la que conseguimos caracterizar el parámetro φ cuándo son conocidos los
valores de θb1 y θb2 que son los valores que permiten anular respectivamente
las bandas positiva y negativa en el espectro de la señal óptica modulada.
Métodos comerciales de medida del chirp
39
CAPÍTULO 4. MÉTODOS COMERCIALES DE MEDIDA
DEL CHIRP
Una vez estudiado el fenómeno del chirp, uno de los objetivos del presente
trabajo ha sido investigar los diferentes métodos que las empresas que en la
actualidad suministran productos relacionados con la fotónica utilizan para la
caracterización y la medida del chirp en moduladores MZ.
4.1 Método de la discriminación de frecuencias
En la empresa Photline Technologies, afincada en Besançon (Francia), el
método utilizado principalmente para la medida del chirp en moduladores
electroópticos es el de la discriminación de frecuencias.
En este método, se utiliza un interferómetro Mach Zehnder (MZI) a la salida del
modulador, componente que se ha explicado en el apartado 1.1.2.
4.1.1 Funcionamiento
El dispositivo de medición se basa en la utilización de un analizador de redes
vectorial o VNA (Vectorial Network Analyzer) de hasta 20 GHz. El puerto de
salida se conecta a la entrada RF del modulador a testear mientras que a la
fibra de entrada del modulador se conecta un emisor láser.
La fibra de salida del modulador se conecta a un interferómetro Mach-Zehnder
basado en fibra óptica monomodo y compuesto por dos ramas de una longitud
ligeramente diferente de modo que el rango espectral libre del filtro óptico sea
de aproximadamente 50 GHz.
Una de las ramas se equipa de una cuña piezoeléctrica para aplicarle una
señal de modo que se mantenga la FSR del interferómetro. Una de las salidas
del interferómetro está conectada a un detector óptico o fotodetector para
controlar el punto de funcionamiento a partir del nivel de potencia óptica
medido. La otra salida se conecta a otro fotodetector a su vez conectado al
puerto de entrada del VNA.
El principio de medida consiste en la aplicación de una señal de modulación de
frecuencia variable y amplitud fija como señal de calibración en el modulador.
40
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Pode
emos obse
ervar un esquema
e
d
del montaje
e para la realizaciónn de la me
edida
med
diante este método en
n la figura 4.1:
Figu
ura 4.1 Esquema de medida de
el chirp por el método de la disscriminació
ón de
ffrecuencias
El sistema bassa su funcio
onamiento
o en el estu
udio de la intensidad a la salida
a del
interrferómetro en pendie
ente positivva y negativ
va. Inicialm
mente, partte de:
( )=
( )·
(
( ))
( . )
de P es la potencia óptica
a. Para la
a expresió
ón de la salida en
e el
Dond
interrferómetro Mach-Zeh
hnder (MZI ) se usa típicamente la expresiión:
( ) = | ( ) + ( − )| ( . )
el que apa
arece un re
etraso tem poral τ de
ebido a los
s rayos qu e se comb
binan
En e
de n
nuevo. Pod
demos verr un esque
ema del dis
scriminado
or de frecuuencias ba
asado
en u
un interferó
ómetro Mac
ch-Zehnde
er en la figu
ura 4.2:
Método
os comerciales de medida del chirp
41
Fig
gura 4.2 Discriminad
D
dor de freccuencias a partir de un
u interferóómetro Mac
chZehnder
ustituimos E(t) en la expresión
n 4.2 por la
a expresión
n 4.1 tal y como exp
plican
Si su
Hui y O’Sulliva
an en [13] obtenemoss tras desa
arrollar las expresionnes cuadrá
áticas
y considerando
o que en cada
c
rama tendremos
s un valor de potenciia diferente
e:
( )=
( )+
( ) ( − ) · coss(∆ +
( − )+2
)( . )
de ∆ , qu
ue conoce
eremos co
omo fase de bias del
d MZI y que no debe
Dond
conffundirse co
on la fase de
d bias dell modulado
or, es defin
nida por:
∆ ( )=
( ) − ( − )( . )
Pode
emos conssiderar que
e, bajo la condición de que el tiempo dee retardo entre
e
las d
dos ramass del interfferómetro sea much
ho más pequeño quee el tiemp
po de
cohe
erencia de la fuente:
( )− ( − ) ≃
· = ∆ ( ) · ( . )
42
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Donde ∆ω(t) es el valor del chirp, escrito así para mayor comodidad. Si ahora
configuramos en 4.3 de modo el interferómetro trabaje en la otra pendiente,
tenemos que puede ser reescrita del siguiente modo:
( )=
( )+
( − )−2
( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( . )
Y si de ahí aislamos el valor del chip, obtenemos la siguiente expresión:
∆ ( )=
1
·
( )+
( − )− ( )
( ) ( − )
2
( . )
Así pues para obtener el valor del chirp necesitamos conocer P1, P2 e I(t). Para
ello, primeramente deberá verse la función de transferencia en el dominio
frecuencial del interferómetro, que será una sinusoide.
Si medimos el período de la sinusoide, al que llamaremos
, lo podremos
relacionar con el valor , puesto que este valor se relaciona con la frecuencia
anterior de modo que:
=
1
( . )
Seguidamente, bloquearemos la primera rama del interferómetro de modo que
mediremos la forma de onda I2(t). I2(t) se relaciona con la potencia P2(t)
mediante:
( )=ℜ ( )≃
( )( . )
Donde ℜ es la responsividad del fotodiodo que consideramos
aproximadamente 1, quedando de este modo la expresión 4.7 tal que:
∆ ( )=
·
( )+ ( − )− ( )
2
( ) ( − )
( .
)
Métodos comerciales de medida del chirp
43
A continuación, repetiremos el anterior paso pero bloqueando esta vez la
segunda rama del interferómetro de modo que midamos la forma de onda I1(t).
Y desde ese momento podemos otorgar un valor al chirp conociendo I1(t), I2(t) e
I(t) que no es más que la intensidad en la fase de bias del interferómetro que
hayamos seleccionado para la medición.
No obstante, el hecho de tener que bloquear una de las ramas del
interferómetro para cada medida es en sí un método complicado y costoso, y
Photline utiliza las pendientes positiva y negativa. Esto es, si la fase de bias del
interferómetro ∆ se sitúa en el punto π/2+2kπ, la pendiente es positiva y por
tanto reescribiremos 4.6 de modo que:
=
( )+
( − )+2
( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( .
)
Por el contrario si nos encontramos en la pendiente negativa, es decir, con la
fase de bias del interferómetro ∆ en 2kπ-π/2:
=
( )+
( − )−2
( ) ( − ) · sin(∆ ( ) · ) ( .
)
Podemos ver una gráfica de la variación de intensidad y los puntos utilizados
para la medición en la figura 4.3:
44
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Figura 4..3 Función de transfe
erencia dell interferóm
metro Machh-Zehnder
A pa
artir de 4.11 y 4.12 po
odemos esscribir dos nuevos pa
arámetros:
( )+
2
=
( )
=
( ) ( .
( )+
)
Y:
=
( )−
2
( )
( ) ( ) · sin(∆ ( ) · )( .
=2
)
odemos co
ombinar am
mbas expre
esiones para obtenerr:
Y po
∆ ( )=
·
( )+
2
( )
( ) ( )
·
( )
( .
( )
)
Si en
n un caso ideal las fibras son d
de 3dB, en ese caso P1(t)=P2(t)) y por tantto
pode
emos reescribir 4.15 de modo q
que:
Métodos comerciales de medida del chirp
45
∆ ( )=
( )−
( )+
·
( )
( .
( )
)
En caso de no idealidad de las fibras, consideramos P2(t)=ηP1(t) y por tanto la
expresión 4.16 queda tal que:
∆ ( )=
·
1+
2
·
( )−
( )+
( )
( .
( )
)
Dado que η es un parámetro conocido de las fibras, que no debe confundirse
con el parámetro anteriormente estudiado y expresado con la misma letra, el
valor del chirp puede ser fácilmente definido.
4.2 Método de la discriminación de frecuencias
mediante un filtro gaussiano
Este método es también utilizado por la empresa francesa Photline
Technologies y es similar al método de la discriminación de frecuencias. La
diferencia principal estriba en que se utiliza un filtro gaussiano a la salida del
modulador Mach-Zehnder a testear en lugar de un interferómetro.
4.2.1 Funcionamiento
El montaje experimental para realizar la medición del chirp según este sistema
es similar al anterior. Podemos ver un ejemplo de montaje en la figura 4.4:
46
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
Figura 4..4 Esquem
ma de monttaje para el
e método de
d discrimi nación de
frecu
uencias me
ediante un filtro gaussiano
Phottline usa para
p
este montaje u n filtro gau
ussiano sintonizablee. La pendiente
máxxima del filttro es de va
alor:
=
√2
( .
√ ·∆
)
endiente mínima
m
con
n exactame
ente el mismo valor que 4.18 pero nega
ativo.
Y pe
La a
anchura esspectral us
sual en Ph
hotline a 1//e es de ∆ =1.3 nm. Expresad
do en
frecu
uencia, ussando la mitad de la anchura del espectro, la diferencia
a de
-1
frecu
uencias ess 81 GHz lo cual da
a una pend
diente máx
xima de (994 GHz) y un
desp
plazamientto lateral de ∆F/√2=5
57 GHz.
Para
a caracterrizar el chirp
c
se rrealizan dos
d
medic
ciones succesivas de
d la
mod
dulación de intensid
dad, una en la pen
ndiente ne
egativa y la otra en
e la
pend
diente positiva. Tales
s medidass, realizables gracias
s a la sintoonizabilidad
d del
filtro, cumplirá
án la siguie
ente expressión:
Métodos comerciales de medida del chirp
47
±(
)=
1±
√2
∆ ( )
∆
( .
)
Donde Io es la potencia óptica máxima de la señal sin filtro óptico o la máxima
potencia en la función de transferencia del filtro gaussiano. A partir de la
expresión anterior podemos deducir, pues, la excursión frecuencial que es lo
que conocemos como chirp:
∆ ( )=
−
2·
·
·
∆
√2
( .
)
Observamos que el caso es similar al de la discriminación de frecuencias
mediante un interferómetro Mach-Zehnder, con la diferencia de que aunque el
montaje y setup del método es más sencillo que en el caso anterior, la
necesidad de utilizar un filtro sintonizable lo hace sustancialmente más caro.
4.3 Método de la medida del espectro
El método de la medida del espectro de salida es utilizado por la empresa
española con sede en Zaragoza Aragon Photonics aunque fue desarrollado
inicialmente por la empresa francesa Photline Technologies en colaboración
con la Université del Franché Comté, en Francia.
Aragon Photonics ha perfeccionado el método con la introducción del
analizador de espectros BOSA desarrollado por la propia empresa, del cual
hablaremos más adelante.
Según sus desarrolladores, este método permite medir el parámetro alfa
relacionado con el chirp con una precisión del 5% independientemente del valor
de la Extinction Ratio del modulador.
4.3.1 Funcionamiento
El esquema de montaje de este método de medición del chirp es más simple
que en los casos anteriores aunque precisa de más cálculos y mediciones a
realizar. Para este caso, Aragon Photonics utiliza generalmente un diodo laser
polarizado a 1.55μm que se conecta al modulador Mach-Zehnder a
48
Método
os de caracteriz
zación de modulladores electro--ópticos
cara
acterizar, que
q
debe ser
s dual-d rive. Adem
más, se co
onecta al m
moduladorr una
fuen
nte de conttinua ajusta
able para polarizarlo
o con fases
s diferentees entre las
s dos
rama
as del Macch-Zehnder.
Al m
modulador se aplica una tensió
ón sinusoid
dal de form
ma V(t)=Vo cos(Ωt) siendo
Ω la
a frecuenccia de mo
odulación. A la salida del modulador
m
a un
se coloca
analizador de espectros
e
óptico. El ccampo ópttico a la sa
alida se exppresa com
mo:
( )=
·
(
·
)
(
+
)
( .
)
Dond
de ωo y Eo son res
spectivame
ente la fre
ecuencia y la amplittud de la onda
ópticca, γ es el parámetro
o estudiad
do previam
mente en es
ste trabajoo en el cap
pítulo
3, y por último
o A1 y A2 indican la magnitud de la fase óptica indducida en cada
rama
a, que se relaciona con el antteriormente estudiad
do parámeetro η de modo
m
que:
=
( .
)
de observvarse un esquema básico de
el montaje
e para esste método
o de
Pued
med
dida en la figura 4.5:
Fiigura 4.5 Esquema
E
de
d montaje
e para el método
m
de la medida del especttro
Métodos comerciales de medida del chirp
49
En este método, detallado por Courjal, Dudley y Porte [4], se recalcula la
expresión del parámetro α según la expresión 2.2 a partir de la 4.21 de modo
que la expresión de tal parámetro en el punto de cuadratura es igual a:
=
+ ·
·( −
)
( .
)
El método propuesto consiste en la caracterización de A1, A2 y γ a partir de la
densidad espectral y a partir de su conocimiento encontramos el parámetro α
desde la anterior expresión 4.23. Si usamos la relación 4.22 en la expresión
4.23 llegaremos a:
=
1+ ·
( .
· ( − 1)
)
Que no es sino la expresión de la que partíamos en el capítulo 2 para
conseguir expresar el chirp total en función de chirp óptico y chirp eléctrico,
expresada en el punto de cuadratura π/2.
A partir de la expresión 4.21 se puede efectivamente comprobar que la
densidad espectral puede permitir el determinar A1, A2 y γ si se configura la
bias correctamente. Efectivamente, si la bias se ajusta a 0 el espectro de salida
en pequeña señal puede escribirse como:
( )=
· (1 + ) · ( −
)+
4
·(
+
) ·
−(
± )( .
)
± )( .
)
Mientras que si se ajusta a π, el espectro de salida pasa a ser:
( )=
· (1 − ) · ( −
)+
4
·(
−
) ·
−(
Para determinar los diferentes parámetros que definen el chirp se selecciona la
fase de bias igual a 0 comprobando y monitorizando la fuente de potencia de
modo que el pico central de la densidad espectral sea máximo.
50
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
En ese momento se realizan las medidas del pico central, que se conocerá
como Io(ωo), y el de la primera banda lateral que se conocerá como Io(ωo+Ω).
Acto seguido deben repetirse las medidas para una bias de π, que se
conocerán como Iπ(ωo) y Iπ(ωo+Ω) respectivamente.
Operando a partir de 4.25 y 4.26, este método relaciona A1, A2, γ y α con la
densidad espectral I del siguiente modo:
=
/
/
/
(
/
(
)·
)·
)−
/
(
)
/
(
)+
/
(
)
/
(
=2·
/
(
(
=2·
=
/
/
/
(
(
( .
)
+ )+
/
(
+ )
(
)+
/
(
)
+ )−
/
(
+ )
(
/
(
)
(
)·
)−
/
+ )+
+ )−
/
(
)·
/
/
( .
)
( .
)
(
(
+ )
( .
)
+ )
Podemos ver un ejemplo de medida de la salida óptica del modulador para
realizar este método de medición del chirp en la figura 4.6:
Método
os comerciales de medida del chirp
51
F
Figura 4.6
6 Ejemplo de
d medida del espec
ctro óptico con
c bias iggual a 0 y π
Rela
acionándolo con la
as expres iones des
sarrolladas
s en el capítulo 2, y
combinando 4.22 con 4.2
24 y 4.25 ttenemos que:
=
2·
/
(
( (
+ )−2
)−
(
/
(
+ )
)) · (4 · (
·
/
(
+ )−4·
)+
(
/
(
+ ))
)
( .
)
De m
modo que estamos ante
a
un mé
étodo para
a caracteriz
zar el chirpp basado en la
med
dida experiimental de
e los pará
ámetros γ y η de un
n modo siimilar a lo
o que
mos realizado en el capítulo
c
3.. Es decir,, ambos métodos
m
tieenen el mismo
m
hem
objetivo, caraccterizar los diferentess parámetrros del chirrp, pero see acercan hacia
h
tal ca
aracterizacción de mo
odos difere
entes.
En e
este caso,, Photline no tiene en cuenta
a el parám
metro φ quue nosotro
os sí
tene
emos cuen
nta en nu
uestro mé
étodo de caracteriz
zación expperimental del
capíítulo 3, mie
entras que
e por otro lado no considera
c
el
e valor dee VRF com
mo un
valor conocido (a parttir del va
alor de Vπ encontrrado en la función
n de
transsferencia) y también
n lo define experimentalmente.. En este ccaso, A1 no
n es
más que el vallor de VRF.
Adem
más, en esste método
o no es ne cesario he
eterodinar las señaless ópticas como
c
sí lo es en nue
estro caso al aproveccharse de la alta resolución deel analizado
or de
espe
ectros ópticco utilizado
o.
52
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Por su parte, Aragon Photonics ha desarrollado un analizador de espectros
óptico de alta resolución (conocidos por las siglas inglesas HROSA), al que ha
bautizado como BOSA, capaz de realizar los anteriores cálculos
automáticamente mediante la función implementada en el BOSA conocida
como Macro Toolfunction. Dicha función permite crear al usuario sus propias
“macros” (es decir, pequeños programas) para que el analizador realice
cálculos automáticamente.
La principal ventaja del BOSA no obstante radica en el aumento en la precisión
a la hora de medir el parámetro α, debido a la alta resolución frecuencial que
ofrece.
Conclusiones 53 CONCLUSIONES
En este trabajo de fin de carrera se ha efectuado una revisión de los conceptos
básicos relativos a los moduladores electro-ópticos Mach-Zehnder.
Se ha visto que los moduladores electro-ópticos Mach-Zehnder se fabrican a
partir de cristales en los que tiene lugar el efecto Pockels o efecto electróptico,
gracias al cual puede modularse la fase de una onda óptica que viaja por el
cristal a partir de las variaciones temporales de una señal eléctrica aplicada a
los electrodos conductores depositados sobre el cristal. La modulación de fase
se transforma en una modulación de amplitud mediante una configuración
interferométrica conocida con Mach-Zehnder, de ahí el nombre de este tipo de
moduladores.
A partir de su principio de funcionamiento básico se ha deducido la expresión
matemática de la función de transferencia de los moduladores, y se han
definido sus parámetros básicos.
Adicionalmente se ha estudiado el efecto Pockels, en el que basan su
funcionamiento los moduladores electro-ópticos, y se han estudiado las
diferentes clasificaciones según el corte del cristal, proponiendo modos para
diferenciarlos.
Se ha estudiado detalladamente el fenómeno del chirp, que hemos definido
como la fase residual que aparece junto a la modulación de amplitud,
diferenciando claramente los diferentes orígenes que pueden provocarlo, tanto
eléctrico como óptico.
Junto con esto se han encontrado expresiones que definen el fenómeno del
chirp, tanto en el punto trabajo más habitual, el punto de cuadratura, así como
de un modo general, en función de parámetros que sean experimentalmente
medibles. Igualmente se ha encontrado para facilitar los cálculos una
aproximación funcional en entornos suficientemente cercanos a cero.
Por otro lado y partiendo de las expresiones encontradas se ha establecido
bajo qué condiciones se consigue anular el chirp. Adicionalmente, se han
propuesto métodos para caracterizar experimentalmente los parámetros que
definen tales condiciones. Esos métodos de medición son suficientemente
precisos y sencillos en cuanto que no exigen la utilización de excesivos
recursos.
54
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
De la misma forma, se han descrito y analizado diferentes métodos de
caracterización del chirp utilizados por empresas comerciales, encontrando
ventajas y desventajas de los mismos además de definir cuáles son los
componentes para su montaje experimental. Concretamente, se concluye que
tales métodos requieren de componentes de precio elevado, como es el caso
de un filtro sintonizable o un analizador de espectros óptico de alta resolución
(HROSA).
En cuanto a líneas futuras de investigación, se propone como tema de futuros
trabajos la puesta en práctica de los métodos aquí planteados para la medida
de los parámetros básicos de los moduladores y su contrastación con las
expresiones analíticas aquí encontradas.
Otra propuesta sería la de comprobar si el método para el cálculo del chirp y la
anulación del mismo podría dar lugar a aplicaciones comercialmente rentables.
Referencias
55
REFERENCIAS
[1] Koyama, Fumio e Iga, Kenichi, “Frequency Chirping in External Modulators”,
Journal of Lightwave Technology, Vol.6, nº 1, Págs 87-93, Enero 1988
[2] Gorman, T. y Haxha, S., “Full-wave Comparison of Z-Cut and X-Cut Lithium
Niobate (LiNbO3) Electrooptic Modulators Using Finite Element Method”,
Proceedings of the World Congress on Engineering, Vol.1, 2007
[3] Sorin, Wayne V.; Chang, Kok Wai; Conrad, Geraldine A. y Hernday, Paul R.,
“Frequency Domain Analysis of an Optical FM Discriminator”, Journal of
Lightwave Technology, Vol.10, nº 6, Págs 787-793, Junio 1992
[4] Courjal, N; Dudley, J.M. y Porte, H, “Extinction-ratio-independent Method for
Chirp Measurements in Mach-Zehnder Modulators”, Optics Express, Vol.12, nº
3, Págs 442-448, Febrero 2004
[5] Schiess, M., y Carldén, H., “Evaluation of the Chirp Parameter of a MachZehnder Intensity Modulator”, Electronic Letters, Vol.30, nº 18, Págs 15241525, Septiembre 1994
[6] Oikawa, Satoshi; Kawanishi, Tetsuya e Izutsu, Masayuki, “Measurement of
Chirp Parameters and Halfwave Voltages of Mach-Zehnder – Type Optical
Modulators Using a Small Signal Operation”, IEEE Photonics Technology
Letters, Vol.15, nº 5, Págs 684-684, Mayo 2003
[7] Oikawa, Satoshi; Kawanishi, Tetsuya; Izutsu, Masayuki y Kogo, Kenji,
“Direct Measurement of Chirp Parameters of High-Speed Mach-Zehnder-Type
Optical Modulators”, Optics Communications, nº 195, Págs 399-404, 2001
[8] Devaux, F.; Sorel, Y. y Kerdiles, J.F., “Simple Measurement of Fiber
Dispersion and of Chirp Parameter of Intensity Modulated Light Emitter”,
Journal of Lightwave Technology, Vol.11, nº 12, Págs 1937-1940, Diciembre
1993
[9] Kim, Hoon y Gnauck, Alan H., “Chirp Characteristics of Dual-Drive MachZehnder Modulator With a Finite Extinction Ratio”, IEEE Photonics Technology
Letters, Vol.14, nº 3, Págs 298-300, Marzo 2002
[10] Walklin, Sheldon y Conradi, Jan, “Effect of Mach-Zehnder Modulator DC
Extinction Ratio on Residual Chirp-Induced Dispersion in 10-GB/s Binary and
56
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
AM-PSK Duobinary Lightwave Systems”, IEEE Photonics Technology Letters,
Vol.9, nº 10, Págs 1400-1402, Octubre 1997
[11] Bravetti, P.; Ghislotti, G. y Balsamo, S, “Chirp-Inducing Mechanisms in
Mach-Zehnder Modulators and Their Effect on 10 Gb/s NRZ Transmission
Studied Using Tunable-Chirp Single Drive Devices”, Journal of Lightwave
Technology, Vol.22, nº 2, Págs 605-611, Febrero 2004
[12] Djupsjobacka, Anders, “Residual Chirp in Integrated Optic Modulators”,
IEEE Photonics Technology Letters, Vol.4, nº 1, Págs 41-43, Enero (1992)
[13] Hui, Rongqing y O’Sullivan, Maurice, Fiber Optic Measurement
Techniques, Elsevier Academic Press, Londres, 2009
[14] Fernández, Lorena y Cardona, Josep, “Estudio de técnicas de modulación
para enlaces ópticos”, TFC, Febrero 2009
[15] Liébana, Mireia y González, Jennifer, “Sistemas de predistorsiónlinealización para enlaces ópticos”, TFC, Junio 2010
Anexo
57
AN
NEXO
OS
TÍTU
ULO DEL TFC:
T
Méto
odos de ca racterización de mod
duladores eelectroópticcos
TITU
ULACIÓN: Ingeniería
a Técnica d
de Telecom
municación
n, especiallidad
Siste
emas de Telecomuni
T
icación
AUT
TOR: Jaum
me Díaz Alonso
A
DIRE
ECTOR: María
M
Conc
cepción Sa
antos Blanc
co
CHA:
FEC
58
Métodos de caracterización de moduladores electro-ópticos
Anexo 1: Programas utilizados en MATLAB
Función para cálculos de las expresiones del capítulo 2:
syms eta lambda phi xo xe
chirptot=xe+1/((eta-1)*sin(phi))*(eta+1-(eta*lambda^2+1)/lambda); % esta es la
%funcion completa del chirp total
chirptotphi=(eta*lambda^2+1)/(lambda*(eta-1));
eta_ec=(tan(phi/2)*xe+1)/(tan(phi/2)*xe-1); % esto es n en funcion de xe
lambda_ec=-sin(phi)*xo+sqrt(xo^2*(sin(phi))^2+1); % esto es l en funcion de xo
ss=subs(chirptot,lambda,lambda_ec);
chirptot_gener=simple(subs(ss,eta,eta_ec)); %funcion generica en funcion de n
%y l
diff_xe=diff(chirptot_gener,xe);
diff_xo=diff(chirptot_gener,xo);
diff_xe1=subs(diff_xe,xe,0);
diff_xo1=subs(diff_xo,xo,0);
generica_en_phi=simple(simple(subs(chirptot_gener,phi,pi/2)));
chirp_aprox=simple(subs(chirptot_gener,xo,0)+subs(chirptot_gener,xe,0));
chirp_aprox_diff=simple(simple(diff_xo1*xo+diff_xe1*xe)); %aproximacion
%primer orden
aprox_diff_en_phi=simple(simple(subs(chirp_aprox_diff,phi,pi/2)));
%aproximacion en punto de cuadratura
aa=diff(diff_xe,xe);
ab=diff(diff_xe,xo);
ac=diff(diff_xo,xe);
ad=diff(diff_xo,xo);
segundader=simple(chirp_aprox_diff+1/2*(xe^2*(subs(aa,xe,0))+xo^2*(subs(ad,
xo,0))+subs((subs(ac,xo,0)),xe,0)*xe*xo+subs((subs(ab,xo,0)),xe,0)*xe*xo));
%aproximacion segundo orden
segundader_phi=simple(subs(segundader,phi,pi/2)); %aprox segundo orden en
%cuadratura
Anexos
Función para gráficas de expresiones y errores:
ae=[-0.3:0.001:0.3]';
ao=[-0.3:0.001:0.3];
mm=ones(size(ae))*ao;%matrix auxiliar
mm3=ae*ones(size(ao));%matrix auxiliary
res=mm-ae*((ao.^2+1).^1/2)+mm3.*2;%aprox_diff_en_phi reformulada para
poder observarla en grafica
res2=ae*ones(size(ao))+ones(size(ae))*ao;%chirp_aprox reformulada
resgener=mm-ae*((ao.^2+1).^1/2)+mm3.*2;%generica_en_phi reformulada
error=resgener-res2;
figure(1)
[c,h]=contour(ao,ae,res2);clabel(c,h);
figure(2)
[c,h]=contour(ao,ae,res);clabel(c,h);
figure(3)
[c,h]=contour(ao,ae,resgener);clabel(c,h);
figure(4)
[c,h]=contour(ao,ae,error);clabel(c,h);
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Ane
exo 2: Arrtículos de interé
és
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