Ondas sonoras armónicas

Ondas sonoras armónicas
Para describir el desplazamiento de una molécula de aire
respecto a su posición de equilibrio usamos:
s ( x, t ) = sm cos ( kx − ω t )
Aquí sm representa el desplazamiento máximo a la derecha o
la izquierda de la posición de equilibrio. Estos
desplazamientos dan lugar a variaciones de densidad y
presión del aire. Una onda de desplazamiento dada por la
ecuación anterior implica una onda de presión dada por
∆p ( x, t ) = ∆pm sin ( kx − ω t )
En la ecuación, ∆p (presión acústica) representa el cambio
en presión respecto a la presión de equilibrio y ∆pm es el
valor máximo del cambio (amplitud de la onda de presión).
Ondas sonoras armónicas
onda de desplazamiento
situación equilibrio
llegada de la onda
El oído puede responder a presiones
acústicas entre 3x10-5 Pa y 30 Pa. Las
amplitudes ∆pm y sm están relacionadas
por
∆pm = ( v ρω ) sm
La velocidad de una onda de sonido en un
fluido está dada por
onda de presión
v=
B
ρ
donde ρ es la densidad y B es el módulo
de compresibilidad. En aire a temperatura
de ambiente, v = 340 m/s.
Energía de ondas sonoras
Para ondas en una cuerda, vimos que la energía total
promedio de un segmento dx está dada por:
dE prom.
1
= µ ω 2 A2 dx
2
Podemos usar esta ecuación para ondas sonoras si
hacemos los siguientes cambios:
µ dx → ρ dV
A → sm
∴ dE prom.
1
2 2
= ρ ω s0 dV
2
Ondas sonoras en tres dimensiones
Si una fuente puntual emite
ondas uniformemente en
todas direcciones, la energía a
una distancia r está distribuida
en una corteza de radio ∆r y
área A=4πr2.
Se define la intensidad por
I=
Pprom.
A
=
Pprom.
4π r
2
Las unidades de I son W/m2.
Pero
Pprom. =
∆E prom.
∆t
1
y ∆E prom. = ρω 2 sm2 ∆V
2
En un tiempo ∆t, la energía se encuentra en el volumen
∆V=A∆r. Por lo tanto,
Pprom.
I=
1
ρω 2 sm2 ( A∆ r ) 1
2 2
2
=
= ρ vω sm A
∆t
2
1
1 ( ∆pm )
2 2
= ρ vω sm =
A
2
2 ρv
Pprom.
2
Ejemplo:
La bocina de un amplificador de
guitarra tiene un diámetro de 30 cm y
vibra con una frecuencia de 1 kHz y
una amplitud de 0.020 mm.
Suponiendo que las moléculas de
aire próximas a la bocina tienen la
misma amplitud de vibración,
determina (a) la amplitud de presión
acústica justo frente a la bocina, (b) la
intensidad sonora en esta posición y
(c) la potencia irradiada. Si el sonido
se irradia uniformemente en la
semiesfera frente a la bocina, calcula
la intensidad a una distancia de 5m.
Nivel de intensidad y sensación sonora
El oído humano responde a intensidades entre 10-12 W/m2
y 1 W/m2. Es conveniente en este caso usar una escala
logarítmica para medir intensidades de sonido:
I
β = 10 log
I0
donde I0 es una intensidad de referencia que tomaremos
igual a 10-12 W/m2 que es la intensidad umbral de
audición.
Coherencia
Dos fuentes son coherentes si están en fase o tienen una
diferencia de fase constante (independiente del tiempo). Un
ejemplo son dos bocinas conectadas al mismo amplificador.
Si la diferencia en fase depende del tiempo, entonces las
fuentes son incoherentes. Por ejemplo, dos bocinas
alimentadas por diferentes amplificadores. En ese caso, la
interferencia en un punto del espacio varía rápidamente
pasando de constructiva a destructiva y viceversa, y no se
observa ningún esquema de interferencia. En cada punto la
intensidad resultante es la suma de las intensidades de las
fuentes aisladas.
Diferencia en fase debido a la diferencia de
trayectos
δ = (kx2 − ω t ) − (kx1 − ω t ) = k (x2 − x1 ) = k∆x
δ = 2π
∆x = λ
∆x
λ
Si ∆x=0, λ, 2λ, 3λ, …=nλ, entonces
δ = 2π
nλ
λ
= 2π n, n = 0, 1, 2, …
En este caso la interferencia es
constructiva.
Diferencia en fase debido a la diferencia de
trayectos
∆x =
λ
2
Si ∆x = λ/2, 3(λ/2), 5(λ/2), …=(n+1/2)λ,
entonces
(
1⎞
n + 1 2 )λ
⎛
δ = 2π
= 2π n + ,
λ
δ = π , 3π , 5π , …
⎜
⎝
⎟
2⎠
En este caso la interferencia es
destructiva.
n = 0, 1, 2, …
Ejemplo:
Dos bocinas están conectadas al mismo generador de
ondas sinusoidales, por lo tanto oscilan en fase. En un
punto que está a una distancia de 5 m de una bocina y a
5.17 m de la otra bocina, la amplitud del sonido procedente
de cada bocina por separado es p0. Hallar la amplitud de la
onda resultante si la frecuencia de las ondas sonoras es
(a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz.
Solución: Usa
amplitud = 2 p 0 cos
δ = 2π
∆x
λ
δ
2
Ejemplo:
Dos bocinas están frente a frente a una distancia de 90 cm
del punto medio. Ambas están conectadas al mismo
generador de ondas sinusoidales con frecuencia de 680
Hz. Localiza los puntos para los cuales la intensidad del
sonido es (a) máxima y (b) mínima. Despreciar la variación
de intensidad con la distancia y usar 340 m/s para la
velocidad del sonido.
90 cm
90 cm
∆ x = ( 90 + x ) − ( 90 − x ) = 2 x