(23 de sept) - Tecnológico Comfenalco

Introducción al Cálculo Diferencial
Elaborado por:
Juan Carlos Acosta Jiménez
IDENTIFICACIÓN
NOMBRE DEL
PROGRAMA
PERMANENCIA ACADÉMICA
DESTINATARIOS
Estudiantes de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco.
También está dirigido a estudiantes de grado de 10o y 11o de instituciones
de básica secundaria.
PROYECTO
EDUCATIVO Y
TITULO DEL
CURSO
ÁREA DE
FORMACIÓN
NIVEL
ACONSEJABLE
PARA SU
UTILIZACIÓN
ENTORNO DE
APRENDIZAJE
OVA de Cálculo
Ciencias básicas (Matemáticas)
Para estudiantes de bachillerato de grados 10o y 11o y estudiantes de I
semestre de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco.
Aula virtual TECNOLOGICO VIRTUAL (plataforma institucional)
DIRECCIÓN (URL)
DE LA
http://aulavirtual.tecnologicocomfenalcovirtual.edu.co/aulavirtual/course/view.ph
PLATAFORMA DE p?id=5006&section=1
PUBLICACIÓN
PRODUCIDO POR
Juan Carlos Acosta Jiménez
LICENCIA
Derechos Reservados
CIUDAD Y FECHA
DE PRODUCCIÓN
Cartagena de indias, Septiembre 16 de 2014
COLOMBIA
[email protected]
INTRODUCCIÓN
Esta Guía orienta el uso del contenido del Cálculo, dirigida a docentes y estudiantes
de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco de Cartagena, interesados en
desarrollar cursos de matemáticas básicas de I semestre en el Aula virtual.
Se comenzará con los siguientes interrogantes:
1) Cuando hablas por celular, ¿De qué depende el costo de la llamada?
2) Un vendedor de electrodomésticos tiene un sueldo fijo de $750.000 y recibe una
comisión por cada artículo vendido. ¿De qué dependerá su sueldo el próximo mes?
Al analizar estas preguntas anteriores, te darás cuenta de que en ambos casos existe
una relación entre dos cantidades, y que una de las cantidades depende de la otra;
Para describir esa correspondencia, usamos un concepto que se llama función.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar habilidades en el estudiante que le permitan
plantear, analizar y resolver situaciones de la vida cotidiana a
través de la modelación de funciones y de la obtención de
máximos y mínimos que optimicen los recursos disponibles en un
entorno dado.
-
OBJETIVOS ESPECIFICOS
-
-
Realizar operaciones con números reales que permitan
simplificar procedimientos algebraicos.
Identificar el tipo de gráfica de una función con el fin de buscar
los intervalos sobre los cuales una función es creciente o
decreciente.
Usar derivadas para resolver problemas de la vida real con
razones de cambio de relacionadas.
CONTENIDO
TITULO DEL TEMA
Introducción al Cálculo Diferencial
1. Números reales
1.1 Actividad de conocimientos previos: Sistemas numéricos
1.2 Operaciones con números enteros (ℤ)
1.3 Operaciones con números racionales (ℚ)
1.4 Actividad de retroalimentación
1.5 Operaciones con números reales (ℝ)
1.6 Actividad de profundización
ESTRUCTURA DEL
CONTENIDO
2. Funciones
2.1 Concepto de función
2.2 Dominio y rango de funciones
2.3 Tipos de funciones
3. Derivada de una función
3.1 ¿Para qué sirven las derivadas?
3.2 Conceptos básicos sobre derivadas
3.3 Reglas de derivación
3.4 Actividad de retroalimentación
3.5 Bosquejo de curvas
3.6 Aplicaciones de la derivadas
3.7 Actividad de profundización
METODOLOGÍA
Se desarrolla la temática de operaciones con números reales
resaltando el manejo adecuado de las fracciones, junto con la
resolución de una gran variedad de ejemplos. En la segunda
parte, se introduce el concepto de función y sus distintas
tipificaciones, y finalmente se discute las utilidades del uso de
derivadas en todos los campos y se proponen actividades de
retroalimentación y de profundización.
OBSERVACIONES SOBRE
SU USO
Aunque el material puede ser explorado en una o más sesiones
según el requerimiento del lector.
ONSERVACIONES SOBRE
LA EXPLORACIÓN
El recurso es un material del tipo (texto, video, multimedia e
interactivo) por lo que se debe dispone de animaciones y links
externos de profundización.
ACCIONES
ANTES DEL VISIONADO
DURANTE EL VISIONADO
Actividades guiadas en
relación a los conocimientos
previos de:
Actividades guiadas
relacionadas con el
material:
Conocimientos previos
En esta actividad, el discente
debe resolver un interrogante,
el cual es retroalimentado
inmediatamente.
Retroalimentación
Animaciones flash de la temática
de forma retroalimentada donde
el estudiante lo visualizará las
veces que quiera con el fin de
aclarar sus dudas.
DESPUES DEL VISIONADO
Actividades relacionadas con
la evaluación:
Profundización
Se diseña un trabajo colaborativo
de la temática donde apliquen los
conocimientos aprendidos, el cual
se debe construir en forma grupal y
se utilizará la herramienta de
subida avanzada de archivos.
RECURSOS NECESARIOS
TECNOLÖGICOS
-
Aula virtual plataforma Tecnológico Virtual
Cuenta de usuario
Correo Institucional
Archivos .PDF, DOC (Word), PPT (Power Point).
Animaciones y archivos de video .AVI, .WMV, .FLV
DIDACTICOS
(Otros materiales de apoyo):
-
Guía de Actividades
Retroalimentación de talleres
Links de simulaciones con ejercicios resueltos y
propuestos
GLOSARIO
FRACCIÓN
NÚMEROS REALES
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
CÁLCULO DIFERENCIAL
CURVA
DERIVACIÓN
VARIABLE DEPENDIENTE
VARIABLE INDEPENDIENTE
Es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
Familia de números formados por los números racionales e
irracionales.
Familia de números formados por el cociente de dos enteros
donde el número de denominador debe ser siempre diferente de
cero.
Familia de números donde su parte decimal debe ser no
periódica.
Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en
las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran
solamente los incrementos en las cantidades variables; se
antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento.
Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección
y no contiene ninguna posición de línea recta.
Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función.
Magnitud que en una relación o función depende del valor que se
le asigne a otras variables.
Magnitud que no depende de otra para obtener su valor.
BIBLIOGRAFÍAS
o
o
REFERENCIAS
o
o
o
Anton Howard, Cálculo de una variable: “Trascendentes tempranas”,
2ed. México, Limusa Willey, 2009.
Edward, Henry, Penney David, Cálculo con trascendentes tempranas,
7ed, Pearson Educación, México, 2008.
Larson. R, Hostetler. R, Edward. B, Cálculo I, 8ed, Mc Graw Hill, 2006
Stewart James, Cálculo “Trascendentes tempranas”, 4ed. México,
Thomson Learning, 2002.
Thomas, Cálculo de una variable, 12ed. Pearson Educación, 2011.
Matemáticas para bachillerato y carrera de ciencias
http://matematicasbachiller.com/
Espacio que brinda materiales de libre uso, didácticos y actualizados.
SITIOS SUGERIDOS
Matemático
http://matematico.es/
Espacio de libre uso que brinda muchos ejemplos de operaciones
básicas de matemáticas con animaciones
CONTENIDOS
1. Números Reales
1.1 Actividad de conocimientos previos: Sistemas numéricos
De acuerdo a tus conocimientos, responde la siguiente pregunta ¿Cuál sistema
numérico usamos diariamente?
a) Sistemas numéricos antiguos
b) Sistema binario
c) Sistema decimal
Retroalimentación
La mayoría de los tópicos desarrollados en los cursos de matemáticas a nivel de
pregrado y secundaria están relacionados con los sistemas numéricos,
específicamente con los números reales. Dichos sistemas se usan para representar
cantidades abstractas llamadas números y se definen por la base que utiliza; por
ejemplo: El número decimal 10 es igual al número binario 1010, el cual es
equivalente al número octal 12 y es representado en el sistema hexadecimal con
la letra A.
Nuestro sistema de numeración es decimal y utiliza 10 símbolos llamados dígitos.
1.2 Operaciones con números enteros (ℤ)
Inicialmente empezamos con los Números naturales, los cuales fueron creados por
la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones, se representan
con la letra ℕ, el primer elemento es el número 1, no tienen un último elemento.
ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, … }
Podemos representar los números naturales sobre una recta numérica de la
siguiente manera:
Los Números enteros se forman con los números naturales, sus opuestos y el cero.
Se denotan con la letra ℤ y se pueden representar así:
ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
En la recta numérica se representan así:
Dados los números enteros a, b, c y d establecemos las siguientes operaciones
básicas entre ellos.
Operaciones
Definición
o
Adición y
Sustracción
o
Ejemplos
Si los signos de las dos
cantidades son iguales, los
números se suman y queda
el mismo signo.
Si los signos de las dos
cantidades son diferentes,
los números se restan y se
coloca el signo del número
mayor.
Ley de los signos
Producto y
Cociente
(+) × (+) = (+)
(−) × (−) = (+)
(+) × (−) = (−)
(−) × (+) = (−)
(+) ÷ (+) = (+)
(−) ÷ (−) = (+)
(+) ÷ (−) = (−)
(−) ÷ (+) = (−)
1) 2 − 7 = −5
2) −3 − 9 = −12
3) −12 + 9 = −3
4) 5 − 9 − 8 + 10 = −2
5) 10 − 9 + 8 − 7 + 6 − 5 = 3
6) −13 − 14 − 15 + 42 = 0
1) (−2) × (23) = −46
2) (−5) × (−3) = 15
3) (−20) ÷ (4) = −5
4) (85) ÷ (−5) = −17
5) −(−(−10)) = −10
6) 2 × 12 ÷ 4 = 6
7) (−3 + 2) × (−5 − 2) = 7
8) (−5 − 2) ÷ (3 − 2) = −7
1.3 Operaciones con números racionales (ℚ)
Los números naturales eran un recurso que permitían satisfacer la necesidad de
contar objetos, el hecho de fraccionar la unidad en partes iguales dio origen al
concepto de fracción. Los números racionales se simbolizan con la letra ℚ y están
formados por los números que representan cocientes entre números enteros, esto
es:
a
ℚ = { /donde a, b son numeros enteros y b ≠ 0}
b
Este conjunto numérico se representan por fracciones reducidas a su mínima
expresión (completamente simplificadas) donde
−a
b
a
a
= −b = − b
a
Todos los números enteros son racionales pues se cumple que a = 1
Dados los números racionales
entre ellos.
a
b
y
c
d
establecemos las siguientes operaciones
Operaciones
Definición
Ejemplos
a c ad + bc
+ =
b d
bd
Adición o
Suma
a c ad − bc
− =
b d
bd
Sustracción o
Resta
1)
2
3
4
2)
−3
5
+
7
8
3)
−1
+
4
1)
−3
6
−
7
10
=
−3(10)−7(6)
7(10)
=
−30−42
70
2)
−5
−2
− 9
3
=
−5(9)−3(−2)
3(9)
=
−45+6
27
+5=
3) 7 −
2(5)+3(4)
3(5)
=
−3(8)+7(5)
7(8)
−1
4
2=
5
8
=
7
2
+1=
5
=1−8=
10+12
15
22
= 15
−24+35
56
=
11
56
−1(1)+4(2)
4(1)
=
−1+8
4
=
7(8)−1(5)
1(8)
=
=
=
56−5
8
7
=4
−72
70
−39
27
=
=
=
−36
35
−13
9
51
8
−8
9
−8(9)
−72
−36
−12
× =
=
=
=
= −12
3
2
3(2)
6
3
1
9
−4
9
−4(9)
−36
−18
−4 × = × =
=
=
= −18
2
1
2
1(2)
2
1
Producto o
Multiplicación
a c ac
× =
b d bd
1)
Cociente o
División
a c ad
÷ =
b d bc
1)
20
7
2)
1
7
2)
÷
−4
15
=
20(15)
7(−4)
1
÷ 10 = 7 ÷
10
1
=
300
−28
=
1(1)
150
−14
=
75
−7
1
= 7(10) = 70
1.4 Actividad de retroalimentación
1) Realice las operaciones indicadas y relacione la respuesta correcta
−13
−5
2
−6
−9
−(8)
7
4
− 10
3
a)
b)
c)
d) 7 −
−26
3
15
56
−23
2
23
3
−2
3
Nota: Crear y/o habilitar la herramienta de flechas para que se puedan relacionar las
opciones, después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación.
a)
−13
−
2
b)
−6
−9
−(8)
7
c)
4
3
5=
−13
−5
+ 1
2
=
−6
9
+ (8)
7
4
− 10 = 3 −
d) 7 −
−2
3
7
1
=
2
3
10
1
= + =
=
−13−5(2)
2
=
−13−10
2
−6(8)+7(9)
56
4(1)−3(10)
3
7(3)+1(2)
3
=
=
=
=
4−30
3
21+2
3
=
−23
2
−48+63
56
=
23
3
=
−26
3
=−
15
= 56
23
2
2) ¿Cuántos litros de agua contiene un depósito de 400 litros que está ocupado en
sus 3/5 partes?
a) 210 litros
b) 240 litros
c) 180 litros
d) 270 litros
Nota: después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación.
3
3×400
Hay que calcular los 3/5 de 400, es decir: 5 × 400 = 5 = 240 litros
3) Juan leyó la semana pasada la mitad de un libro y esta semana la tercera
parte, pero aún le faltan 30 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro?
a) 120 páginas
b) 180 páginas
c) 160 páginas
d) 100 páginas
Nota: después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación.
1
1
5
1
Juan ha leído 2 + 3 = 6 partes del libro, le faltaría 6 del total dicho libro, esto
implica que el libro tiene 30 × 6 = 180 páginas.
1.5 Operaciones con números reales (ℝ)
Existe otro tipo de números que no pueden escribirse en la forma
a
b
con a y b
enteros, éstos se conocen como Números Irracionales y se representan con la
letra (𝑰), son decimales no periódicos infinitos, por ejemplo:
1) π = 3,141592 ….
2) e = 2,718281828459 …
3) 0,34344344434444 ….
4) 0,12345678910111213 … ..
5) √2 = 1,4142 …
El siguiente esquema muestra la relación entre los conjuntos numéricos más
usuales.
Del anterior, concluimos que los Números reales se conforman por la unión de los
números racionales e irracionales, se denota con la letra ℝ y se pueden realizar
operaciones combinadas llamadas polinomios aritméticos.
Ejemplos:
−3
5
6
1) Reducir el siguiente polinomio aritmético ( 7 + 8) × 5
Solución:
Aplicando las definiciones de suma y multiplicación de fracciones tenemos que
−3
5
6
−3(8)+7(5)
6
)×5
7(8)
( 7 + 8) × 5 = (
−24+35
6
)×5
56
=(
11
6
11(6)
66
33
= 56 × 5 = 56(5) = 280 = 140
2
1
2) Simplificar la siguiente expresión [(−5 + 3) − ( ÷ 3)] +
5
2
2
1
2
1
Solución: [(−5 + 3) − (5 ÷ 3)] + 2 = [(−2) − (5 ÷ 3)] + 2
2
1
= [(−2) − (15)] + 2
−2(15)−2
1
]+2
15
−30−2
1
[ 15 ] + 2
−32
1
[ 15 ] + 2
=[
=
=
=
−32(2)+15(1)
15(2)
=
−64+15
30
=
−49
30
1.6 Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente de y espera la
respectiva retroalimentación.
1) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las seis de la tarde?
2) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de
zinc. ¿Cuántos Kilogramos de cada metal habrá en 348 Kg de aleación?
3) Dos ciudades se encuentran a 240 Km de distancia. Un caminante recorre un
día 1/6 de esa distancia, otro día 1/4 y un tercer día 1/8 de la misma. ¿A qué
distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día?
4) Un propietario vendió primeramente 3/4 de su finca y después ½ de lo que le
quedaba. Si todavía le quedaron 4 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de la finca?
5) Una epidemia mató los 3/7 de las vacas de un granero y de las que le quedaron
vendió 1/2. Si todavía le quedaron 24 vacas, ¿Cuántas vacas tenía al principio,
cuántas murieron y cuántas vendió?
2. Funciones y modelos matemáticos
2.1 Concepto de función
En nuestra vida diaria encontramos una infinidad de situaciones en las que
identificamos una relación entre dos cantidades que dependen una de la
otra.
Una función 𝒇 de un conjunto 𝐴 a un conjunto 𝐵 es una correspondencia que asigna
a cada elemento 𝑥 de 𝐴 exactamente un elemento 𝑦 de 𝐵. Lo anterior lo podemos
denotar así:
𝑓: 𝐴 → 𝐵
La expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa que “𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥", en donde 𝑦 se llama
variable dependiente y 𝑥 se llama variable independiente.
2.2 Dominio y rango de funciones
El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de la
variable independiente 𝑥; mientras que el rango es el conjunto de valores
correspondientes a la variable dependiente 𝑦.
Para graficar funciones, evaluamos valores arbitrarios de la variable
independiente 𝑥 en la fórmula 𝑦 = 𝑓(𝑥) , obteniendo los correspondientes valores
de la variable dependiente 𝑦. Veamos algunos ejemplos:
1) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 , realice un bosquejo de la gráfica de la función e identifique
su dominio y rango.
Solución:
Por definición, la gráfica de 𝑓(𝑥) es la gráfica de la ecuación 𝑦 = √𝑥 − 1, la
siguiente tabla es una lista de coordenadas de varios puntos sobre la gráfica:
𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒙)
-1
𝑓(−1) = √−1 − 1 = √−2
(No existe en R)
0
𝑓(0) = √0 − 1 = √−1
(No existe en R)
1
𝑓(1) = √1 − 1 = √0 = 0
2
𝑓(2) = √2 − 1 = √1 = 1
3
𝑓(3) = √3 − 1 = √2 ≈ 1.4
4
𝑓(4) = √4 − 1 = √3 ≈ 1.7
5
𝑓(5) = √5 − 1 = √4 = 2
6
𝑓(6) = √6 − 1 = √5 ≈ 2.2
Según la gráfica, el dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales 𝑥
tales que 𝑥 ≥ 1, lo cual equivale al intervalo [1, ∞).
El rango de 𝑓 es el conjunto de todos los números reales 𝑦 tales que 𝑦 ≥ 0, lo
cual equivale al intervalo [0, ∞).
2) Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥, entonces el bosquejo de la gráfica es:
Por lo tanto, el dominio de 𝑓 lo constituye todos
𝜋
2
los valores reales de 𝑥 tales que 𝑥 ≠ + 𝑛𝜋.
El rango (también llamado recorrido) son todos
los números reales, esto es (−∞, ∞).
3) Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la
regla de la línea vertical, al cual consiste en trazar líneas verticales en la
gráfica de la función; si las dichas líneas cortan la gráfica en un solo punto
entonces si es función.
Las siguientes gráficas no representan funciones:
Constante
𝑓 𝑥 =𝑘
2.3 Tipos de funciones
Lineal
Cuadrática
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Algebraicas
Polinómica
Tipos de
Funciones
Trascendentales
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Racionales
𝑓 𝑥 =
Radicales
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(x)
𝑔(𝑥)
Exponencial
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑔(𝑥)
Logarítmica
ln 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 = sen x
Trigonométricas
A trozos
Especiales
𝑓 𝑥 = cos x
𝑓 𝑥 = tan x
𝑓 𝑥 = cot x
𝑓 𝑥 = sec x
𝑓 𝑥 = csc x
𝒇𝟏 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟏
𝒇𝟐 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟐
𝒇 𝒙 =
…
𝒇𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝒏
Parte entera
𝑓 𝑥 = 𝑥
Valor
absoluto
𝑓 𝑥 = 𝑥
Las funciones se clasifican en algebraicas, trascendentales y en especiales, veamos
algunos ejemplos:
1) Funciones cuadráticas
2) Función definida a trozos
3) Función valor absoluto
4) Función parte entera
5) Funciones polinómicas
6) Funciones racionales
7) Funciones exponenciales
8) Funciones logarítmicas
9) Funciones trigonométricas
3. Derivada de una función
3.1 ¿Para qué sirven las derivadas?
El cálculo diferencial e integral es la herramienta matemática más poderosa en la
actualidad. Sobre ellos se desarrolla muchos conceptos de la física y química, como
por ejemplos:
o la mecánica de fluidos y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones y de
las represas.
o El descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hicieron posible todos
los electrodomésticos, la TV y otros con el cálculo de circuitos.
o En múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para
comprender problemas muy complejos, como en resistencia de materiales.
La aplicación de derivadas sirve para resolver problemas de optimización de
resultados, cuando debemos encontrar los extremos de una función, es decir,
dónde una función alcanza sus máximos y mínimos relativos o si no es un extremo.
Se pueden observar otras aplicaciones en los siguientes links:
o
Aplicación de Calculo diferencial en clepsidras
https://www.youtube.com/watch?v=ce-BUePo2SE&feature=youtu.be
o
Aplicaciones de cálculo diferencial: el menor costo de un cilindro
https://www.youtube.com/watch?v=RJKEnzUXinI&feature=youtu.be
o
Cálculo diferencial aplicado a la industria del skateboard
https://www.youtube.com/watch?v=0CFtE9oUS5A
o
Otras aplicaciones del cálculo diferencial
https://www.youtube.com/watch?v=vnzENwwqbDc
3.2 Conceptos básicos sobre derivadas
La derivada de 𝒇 en 𝑥 está dada por
𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
siempre que ese
límite exista. Ese resultado también es una función de 𝑥 y representa la pendiente
𝑚 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)).
El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función
es derivable en 𝒙 si su derivada en 𝑥 existe. Decimos que la función es derivable
en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de
ese intervalo.
Además de 𝑓 ′ (𝑥), que se lee “𝑓 prima de 𝑥”, se usan otras notaciones para la derivada
de 𝑦 = 𝑓(𝑥).las más usuales están dadas por:
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑
=
𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ejemplos:
1) Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5
Solución:
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
ℎ→0
𝑓 ′ (𝑥) = lim
= lim
3(𝑥+ℎ)2 +4(𝑥+ℎ)−5−(3𝑥 2 +4𝑥−5)
3(𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 )+4𝑥+4ℎ−5−3𝑥 2 −4𝑥+5
ℎ
ℎ→0
= lim
3𝑥 2 +6𝑥ℎ+3ℎ2 +4𝑥+4ℎ−5−3𝑥2 −4𝑥+5
Elevamos el binomio 𝑥 + ℎ al cuadrado
y realizamos los productos indicados
Simplificamos términos semejantes
ℎ
ℎ→0
= lim
Evaluamos la función en 𝑥 y 𝑥 + ℎ
ℎ
ℎ→0
= lim
Aplicamos la definición de la derivada
6𝑥ℎ+3ℎ2 +4ℎ
ℎ→0
ℎ
= lim (6𝑥 + 3ℎ + 4)
ℎ→0
= 6𝑥 + 4
Dividimos cada término del trinomio del numerador entre ℎ
Calculamos el límite cuando ℎ → 0
2) Pruebe que si 𝑓(𝑥) = 𝑘 entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 0 para todo 𝑘 ∈ ℝ
Solución:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑘−𝑘
0
𝑓 ′ (𝑥) = lim
= lim
= lim = lim 0 = 0
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
ℎ→0 ℎ
ℎ→0
ℎ
3) Determine la pendiente de la gráfica de 𝑓 = √𝑥 en los puntos (1,1) y (4,2)
Solución:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
√𝑥 + ℎ − √𝑥
√𝑥 + ℎ − √𝑥 √𝑥 + ℎ + √𝑥
= lim
= lim (
)(
)
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ
√𝑥 + ℎ + √𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
(𝑥+ℎ)−𝑥
= lim ℎ(√𝑥+ℎ+
√𝑥)
ℎ
lim
ℎ→0 ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)
1
lim
(√𝑥+ℎ+
√𝑥)
ℎ→0
1
2√𝑥
ℎ→0
=
=
=
Por tanto, en el punto (1,1) la pendiente es 𝑓 ′ (1) = 2
la pendiente es 𝑓 ′ (4) = 2
gráfica:
1
√4
1
1
√1
1
= 2 y en el punto (4,2)
= 4, lo cual se puede observar en la siguiente
3.3 Reglas de derivación
Se muestran algunas fórmulas y propiedades que nos permiten derivar una gran
variedad de funciones. Una vez que las hayamos comprobado serán capaces de
derivar funciones sin tener que aplicar la definición de derivada.
Nombre
Función
Fórmula
Derivada de una
constante
𝑓(𝑥) = 𝑐
𝑓 ′ (𝑥) = 0
Derivada de un
múltiplo constante
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐
Derivada de una
potencia
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
Derivada de una suma o
resta de dos funciones
𝑓± 𝑔
(𝑓 ± 𝑔)′ = 𝑓 ′ ± 𝑔′
Derivada del producto
de dos funciones
𝑓× 𝑔
(𝑓 × 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑔′ 𝑓
Derivada del cociente
de dos funciones
𝑓/ 𝑔
𝑓 ′ 𝑔 − 𝑔′ 𝑓
(𝑓/ 𝑔) =
𝑔2
Derivadas de funciones
trigonométricas
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥) = cos 𝑥
𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑥) = −sen 𝑥
𝐷𝑥 (𝑡𝑎𝑛 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑡 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑐 𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥
𝐷𝑥 (𝑐𝑠𝑐 𝑥) = − csc 𝑥 cot 𝑥
Derivadas de funciones
exponenciales
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥)
𝐷𝑥 (𝑒 𝑔(𝑥) ) = 𝑔′ (𝑥) ∙ 𝑒 𝑔(𝑥)
Derivadas de funciones
logarítmicas
𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥)
Derivadas de funciones
compuestas
(Regla de la Cadena)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
′
𝐷𝑥 (ln 𝑔(𝑥)) =
𝑔′ (𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)
Observemos los siguientes ejemplos:
1) 𝐷𝑥 (−8) = 0
2) 𝐷𝑥 (36052) = 0
3) 𝐷𝑥 (√5) = 0
4) 𝐷𝑥 (2.57) = 0
5) 𝐷𝑥 (𝜋) =0
6) 𝐷𝑥 (−8𝑥) = −8
7) 𝐷𝑥 (36052𝑥) = 36052
8) 𝐷𝑥 (√5𝑥) = √5
2
2
2
9) 𝐷𝑥 (3𝑥 2 ) = 𝐷𝑥 (3 𝑥 −2 ) = 3 (−2)𝑥 −2−1 =
6
1
10) 𝐷𝑥 ( √𝑥 ) = 𝐷𝑥 (𝑥 6 ) =
1
6
1
𝑥 6−1 =
1
6
−5
𝑥6 =
−4
3
𝑥 −3
1
6
6 √𝑥 5
11) 𝐷𝑥 (𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝐷𝑥 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑥 = (1)𝑆𝑒𝑛 𝑥 + (cos 𝑥)𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
12) 𝐷𝑥 (ln(4𝑥 − 3)) =
𝐷𝑥 (4𝑥−3)
ln(4𝑥−3)
4
= ln(4𝑥−3)
13) Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) =
3𝑥 2 −2𝑥
3𝑥
Solución: Al aplicar la fórmula de la derivada de un cociente, obtenemos.
𝑓
𝑓 ′ 𝑔 − 𝑔′ 𝑓 3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥 2 − 2𝑥)(3) 18𝑥 2 − 6𝑥 − 9𝑥 2 + 6𝑥 9𝑥 2
𝐷𝑥 ( ) =
=
=
= 2=1
(3𝑥)2
𝑔
𝑔2
9𝑥 2
9𝑥
14) Hallar la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(4𝑥 3 ) − 2 𝑐𝑜𝑡 (𝑥 2 ) + 𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1)
Solución: Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando las
fórmulas correspondientes para obtener la derivada de cada término y
simplificando, se tiene:
2
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥 [𝑡𝑎𝑛(4𝑥3 )] − 𝐷𝑥 [2 𝑐𝑜𝑡 (𝑥 )] + 𝐷𝑥 [sec(2𝑥 − 1)]
= [𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 3 )𝐷𝑥 (4𝑥 3 )] − [−2 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥 2 )𝐷𝑥 (𝑥 2 )] + [𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑥 − 1)𝐷𝑥 (2𝑥 − 1)]
= 12𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 3 ) + 4𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥 2 ) + 2 𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑥 − 1)
15) Hallar la quinta derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 2𝑥 6 − 5𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 + 2
Solución: Se busca la primera derivada de la función y luego la segunda y así
sucesivamente, es decir:
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥 6 + 12𝑥 5 − 20𝑥 3 + 24𝑥 2 − 2
𝐷𝑥2 𝑓(𝑥) = 42𝑥 5 + 60𝑥 4 − 60𝑥 2 + 48𝑥
𝐷𝑥3 𝑓(𝑥) = 210𝑥 4 + 240𝑥 3 − 120𝑥 + 48
𝐷𝑥4 𝑓(𝑥) = 840𝑥 3 + 720𝑥 2 − 120
𝐷𝑥5 𝑓(𝑥) = 2520𝑥 2 + 1440𝑥
16) Hallar ℎ′′ (𝑥) donde ℎ(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥
1⁄
4
Solución: Al aplicar fórmulas de derivación tenemos que ℎ′ (𝑥) =
ℎ′′ (𝑥) =
17) Determine la derivada de la función racional 𝑓(𝑥) =
1
2√𝑥
−1
−
3
4𝑥 ⁄2
𝑥 2 −𝑥−3
𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1
Solución: Aplicamos la propiedad de derivada de un cociente, es decir:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
=
=
[
𝑑
𝑑
(𝑥 2 −𝑥−3)∗(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)]−[ (𝑥3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)∗(𝑥 2 −𝑥−3)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2
[(2𝑥−1)∗(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)]−[(3𝑥 2 +10𝑥−2)∗(𝑥 2 −𝑥−3)]
(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2
−𝑥 4 +2𝑥 3 +12𝑥2 +32𝑥−7
(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2
1
3
2𝑥 ⁄4
3
+
7
8𝑥 ⁄4
3.4 Actividad de retroalimentación
En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones
planteadas.
1) Al derivar la función 𝑦 =
a)
𝑥 4 +2𝑥 3 +8𝑥 2 −16𝑥+3
(𝑥 2 +𝑥−1)2
b)
𝑥 4 +2𝑥 3 −5𝑥 2 −2
(𝑥 2 +𝑥−1)2
c)
d)
𝑥 3 −𝑥 2 +𝑥+1
𝑥 2 +𝑥−1
obtenemos:
𝑥 4 +2𝑥 3 +5𝑥 2 −2
(𝑥 2 +𝑥−1)2
𝑥 4 −2𝑥 3 +5𝑥 2 −2
(𝑥 2 +𝑥−1)2
2) Dada la función 𝑔(𝑦) = √7 − 𝑦 2 + 3𝑥 + 4𝑦 tenemos que:
a) 𝑔′ (𝑦) =
b) 𝑔′ (𝑦) =
c) 𝑔′ (𝑦) =
d) 𝑔′ (𝑦) =
𝑦−2
√𝑥+𝑦 2 −4𝑦+4
2𝑦−3
√𝑥+2𝑦 2 −6𝑦+4
3𝑦 2 +1
2√5𝑥+𝑦 3 +𝑦+4
2−𝑦
√3𝑥−𝑦 2 +4𝑦+7
𝑥−2
3) El valor de la primera derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥+3) es:
a) −
b)
c)
d)
3
(𝑥 −2)(𝑥 +1)
4
(𝑥 −2)(𝑥 +2)
5
(𝑥 −2)(𝑥 +3)
4
− 𝑥 −1 𝑥+3
(
)(
)
4) Al encontrar 𝑢′ (𝑥) dado que 𝑢(𝑥) = −3𝑒 −2−3𝑥
a) 18𝑥𝒆
tenemos:
−3𝑥 2 −2
2 −1
b)
12𝑥𝒆−2𝑥
c)
−12𝑥𝒆2𝑥
d) −12𝑥𝒆3𝑥
5) El resultado de
a)
b)
c)
d)
2
2 +4
2 +2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
donde 𝑦 = −2𝑥𝑆𝑒𝑛(6𝑥) está dado por:
−18𝑥cos(6𝑥) − 3sen(6𝑥)
−12𝑥cos(6𝑥) − 2sen(6𝑥)
12𝑥sen(6𝑥) − 2cos(6𝑥)
18𝑥sen(6𝑥) − 3cos(6𝑥)
3.5 Bosquejo de curvas
Las derivadas se utilizan para obtener información sobre el comportamiento de
una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a
representarla gráficamente.
Dada una función, podemos identificar si esta aumenta, disminuye o permanece
constante dentro de un intervalo específico, esto es:
Al utilizar derivadas debemos tener en cuenta lo siguiente:
Dada una función continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] y derivable en el intervalo abierto
(𝑎, 𝑏), se tiene el siguiente criterio.
i) Si 𝑓 ′ (𝑥) > 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es creciente en [𝑎, 𝑏]
ii) Si 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es decreciente en [𝑎, 𝑏]
iii) Si 𝑓 ′ (𝑥) = 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es constante en [𝑎, 𝑏]
Veamos el siguiente ejemplo.
3
Determinar los intervalos sobre los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 es creciente o
decreciente.
Solución: Puesto que la función 𝑓(𝑥) es un polinomio de grado 3, entonces es
continuo y derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los
puntos críticos de 𝑓, debemos resolver la ecuación 𝑓 ′ (𝑥) = 0 o identificar los
puntos en donde 𝑓 ′ (𝑥) no existe. En efecto:
Si 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑥 entonces
3𝑥 2 − 3𝑥 = 0
3𝑥(𝑥 − 1) = 0
𝑥=0 ó 𝑥=1
Como no hay puntos para los cuales 𝑓 ′ no exista, se concluye que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1
son los únicos puntos críticos. En la siguiente tabla se resume la prueba de los
tres intervalos que se forman con estos dos puntos críticos.
Intervalo
−∞ < 𝑥 < 0
Valor de prueba
𝑥 = −2
Signo de 𝑓 ′ (𝑥)
𝑓 ′ (−2) = 18 > 0
1
3
𝑓′ ( ) = − < 0
2
4
𝑓 ′ (2) = 6 > 0
Conclusión
Creciente
Decreciente
Creciente
0<𝑥<1
𝑥=
1
2
1<𝑥<∞
𝑥=2
3
Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 crece en los intervalos (−∞, 0) y (1, ∞),
pero es decreciente en (0,1).
Una función se dice que es estrictamente monótona sobre un intervalo si es
creciente o decreciente en todo el intervalo, lo cual se observa en los siguientes
dos gráficas.
Criterio de la primera derivada
Supongamos que c es un punto crítico de una función continua f que es continua
en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), excepto posiblemente en el mismo c. Entonces 𝑓(𝑐)
puede clasificarse así:
i) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo
en (𝑐, 𝑓(𝑐)).
ii) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo
en (𝑐, 𝑓(𝑐)).
iii) Si 𝑓 ′ (𝑥) es positiva en ambos lados de c, o negativa en ambos lados de c,
entonces el criterio no decide.
Veamos el siguiente ejemplo.
1
Encuentre los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 el
intervalo (0,2𝜋).
1
1
Solución: La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es 𝑓 ′ (𝑥) = 2 − cos 𝑥.
Como 𝑓 es continua en el intervalo (0,2𝜋) los puntos críticos se encuentran
1
haciendo 𝑓 ′ (𝑥) = 0, esto es, 2 − cos 𝑥 = 0
1
cos 𝑥 = 2
1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos (2)
𝑥=
𝜋
3
ó 𝑥=
5𝜋
3
En la siguiente tabla se resume la prueba de los tres intervalos que se forman con
estos dos puntos críticos en el intervalo (0,2𝜋).
Intervalo
0<𝑥<
Valor de prueba
𝑥=
𝜋
3
𝜋
5𝜋
<𝑥<
3
3
𝜋
4
𝑥=𝜋
Signo de 𝑓 ′ (𝑥)
𝜋
𝑓′ ( ) < 0
4
𝑓 ′ (𝜋) > 0
Conclusión
Decreciente
Creciente
5𝜋
< 𝑥 < 2𝜋
3
7𝜋
𝑥=
4
7𝜋
𝑓′ ( ) < 0
4
Decreciente
𝜋
Puesto que 𝑓 ′ (𝑥) cambia de negativa a positiva en , entonces f tiene un mínimo
relativo en
𝜋
𝜋
(3 , , 𝑓(3 , )).
3
Además, como 𝑓
′ (𝑥)
cambia de positiva a negativa en
5𝜋
5𝜋
,
3
5𝜋
entonces f tiene un máximo relativo en ( 3 , 𝑓( 3 )), lo cual se observa en el
siguiente bosquejo de la gráfica.
Concavidad
La concavidad hace referencia a la forma en que se curva la gráfica de una función,
se dice que la función 𝑓 en cóncava hacia arriba en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si
𝑓 ′ (𝑥) es creciente en (𝑎, 𝑏). Similarmente, se dice que la función 𝑓 en cóncava
hacia abajo en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si 𝑓 ′ (𝑥) es decreciente en (𝑎, 𝑏).
También se puede usar el siguiente criterio para las concavidades:
i) Si 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 en (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
ii) Si 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 en (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Punto de inflexión
Es aquel en donde cambia de concavidad de la gráfica, el cual está dado para los
valores que satisface la ecuación 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ó en donde 𝑓 ′′ (𝑥) no esté definida.
Criterio de la segunda derivada
Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y Si 𝑓 ′′ (𝑥) existe en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏)
que contiene a 𝑐.
i) Si 𝑓 ′′ (𝑐) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)).
ii) Si 𝑓 ′′ (𝑐) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)).
iii) Si 𝑓 ′′ (𝑐) = 0, entonces el criterio no decide.
Resolvamos el siguiente ejemplo:
Trazar un bosquejo del gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10
Solución: En primera instancia buscamos los puntos críticos y los posibles puntos
de inflexión; es decir, buscamos los valores para los cuales 𝑓 ′ (𝑥) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑥) = 0.
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 12𝑥 2
𝑓 ′′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 24𝑥
Si 𝑓 ′ (𝑥) = 0, entonces 4𝑥 3 − 12𝑥 2 = 0
4𝑥 2 (𝑥 − 3) = 0
4𝑥 2 = 0 ó (𝑥 − 3) = 0
𝑥=0 ó𝑥=3
Si 𝑓 ′′ (𝑥) = 0, entonces 12𝑥 2 − 24𝑥 = 0
12𝑥(𝑥 − 2) = 0
12𝑥 = 0 ó (𝑥 − 2) = 0
𝑥=0 ó𝑥=2
En la siguiente tabla se resume la prueba de los cuatro intervalos que se forman con
estos tres puntos.
Intervalo
−∞ < 𝑥 < 0
0<𝑥<2
Valor de
prueba
𝑥 = −1
𝑥=1
Signo de 𝑓 ′ (𝑥)
𝑓 ′′ (−1) = −16 < 0
𝑓 ′′ (1) = −8 < 0
5
𝑓 ′′ ( ) = −12.5 < 0
2
𝑓 ′′ (4) = 64 > 0
Signo de 𝑓 ′′ (𝑥)
𝑓 ′ (−1) = 36 > 0
𝑓 ′ (1) = −12 < 0
5
𝑓 ′ ( ) = 15 > 0
2
𝑓 ′ (4) = 96 > 0
Monotonía
creciente
decreciente
creciente
creciente
Curvatura
cóncava hacia
abajo
cóncava hacia
abajo
Cóncava
hacia abajo
cóncava hacia
arriba
Conclusiones
2<𝑥<3
𝑥=
5
2
3<𝑥<∞
𝑥=4
Hay un mínimo relativo en 𝑥 = 3
Hay dos puntos de inflexión en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2
El siguiente gráfico bosqueja la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10
3.6 Aplicaciones de la derivadas
Una vez que se han determinado los intervalos de crecimiento o decrecimiento,
se pueden localizar los extremos máximos o mínimos de la función, a este proceso
se llama Optimización y utiliza los criterios de la primera y segunda derivada
descritos anteriormente. Veamos los siguientes ejemplos:
1) Se quiere hacer una caja abierta cortando pequeños cuadrados congruentes en
las esquinas de una lámina de hojalata que mide 12 por 12 pulgadas, y doblando
los lados hacia arriba. ¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados que se corten
de las esquinas para que la caja tenga la máxima capacidad posible?
Solución:
Empezamos por hacer un planteamiento gráfico del problema, que nos permita
visualizar la situación.
En la figura, los cuadrados de las esquinas tienen lados de 𝑥 pulgadas. El volumen
de la caja es una función de esta variable y está dado por:
𝑉(𝑥) = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∙ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = (12 − 2𝑥) ∙ (12 − 2𝑥) ∙ 𝑥
= 𝑥(12 − 2𝑥)2
= 4𝑥 3 − 48𝑥 2 + 144𝑥
Como los lados de la lámina tienen sólo 12 pulgadas de largo, entonces 𝑥 ≤ 6 y
el dominio de 𝑉(𝑥) es el intervalo [0,6]. Ahora debemos maximizar la función
volumen, para esto buscamos sus puntos críticos, en efecto:
𝑉(𝑥) = 4𝑥 3 − 48𝑥 2 + 144𝑥
𝑉 ′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 96𝑥 + 144
𝑉 ′′ (𝑥) = 24𝑥 − 96
Si 𝑉 ′ (𝑥) = 0, entonces 12𝑥 2 − 96𝑥 + 144 = 0
12(𝑥 2 − 8𝑥 + 12) = 0
12(𝑥 − 2)(𝑥 − 6) = 0
(𝑥 − 2) = 0 ó (𝑥 − 6) = 0
𝑥=2 ó𝑥=6
Luego, utilizamos el criterio de segunda derivada:
𝑉 ′′ (2) = −48 < 0, lo cual implica que hay un máximo relativo en 𝑥 = 2
𝑉 ′′ (6) = 48 > 0, lo cual implica que hay un mínimo relativo en 𝑥 = 6
Por lo tanto, el máximo volumen de la caja abierta es de
𝑉(2) = 4(2)3 − 48(2)2 + 144(2) = 128 pulgadas cúbicas, lo cual ocurre cuando
los cortes cuadrados miden 𝑥 = 2 pulgadas por lado.
2) En la administración y economía, también podemos utilizar las derivadas, para
ello, definiremos los siguientes conceptos:
𝑟(𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑐(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑢(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥) = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑟 ′ (𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑐 ′ (𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑢′ (𝑥) = 𝑟 ′ (𝑥) − 𝑐 ′ (𝑥) = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟(𝑥) = 𝑐(𝑥)
Según lo anterior, si 𝑟(𝑥) = 9𝑥 y 𝑐(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 15𝑥, donde 𝑥 representa
miles de unidades. ¿Cuál es el nivel de producción que maximice la utilidad?
Solución:
Debemos maximizar la función utilidad 𝑢(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥)
= 9𝑥 − 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 15𝑥
= −𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥
Buscamos los puntos críticos, los cuales ocurren cuando 𝑢′ (𝑥) = 0, en este caso
tenemos que 𝑢′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 12𝑥 − 6 = 0 la cual es una ecuación cuadrática con
soluciones:
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −12 ± √(12)2 − 4(−3)(−6) −12 ± √72
=
=
= 2 ± √2
2𝑎
2(−3)
−6
Luego, los niveles que permitirían maximizar la utilidad son 𝑥 = 0,586 miles de
unidades, o 𝑥 = 3,414 miles de unidades.
Ahora utilizamos el criterio de la segunda derivada, esto es:
𝑢′′ (𝑥) = −6𝑥 + 12
𝑢′′ (0,586 ) = −6(0,586 ) + 12 > 0, lo implica que hay un mínimo en 𝑥 = 0,586
𝑢′′ (3,414 ) = −6(3,414 ) + 12 < 0, lo implica que hay un máximo en 𝑥 = 3,414.
Por tanto, al producir 3414 unidades se tendrá una máxima ganancia.
3.7 Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente de y espera la
respectiva retroalimentación.
1) Calcular la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 + 3)6
3
b) 𝑔(𝑥) = √−2𝑥 3 − 8𝑥 2 ∓ 3𝑥
c) ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑥 (7𝑥 2 + 4)
d) 𝑢(𝑥) =
𝑥+2
𝑒 𝑥 −3
e) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
2
f) 𝑦 = 𝑥 4 ln(𝑥)
g) 𝑦 =
𝑥+ln(𝑥)
𝑥4
h) 𝑦 = ln(−6 + 4𝑥 2 )
2) Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que
produce a un precio de $6000 cada uno. El costo de producir x artículos a la
semana es 𝑐(𝑥) = 50000 + 36000𝑥 − 300𝑥 2 + 10𝑥 3 . Encuentre la utilidad
marginal cuando el número de unidades producidas es 10.
3) El costo semanal por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está
dado por c(𝑥) = 50000 − 2000𝑥 + 100𝑥 2 .
a) ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades?
b) ¿Cuál es el costo marginal al producir 20 unidades?
4) Una compañía encuentra que su utilidad está dada por 𝑅(𝑝) = 2𝑝𝑒 −0.1𝑝 cuando
cada unidad de su producto se vende a p dólares. Encuentre la utilidad marginal
con respecto al precio cuando el precio es de 10 dólares.
5) Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el
terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las
dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.
6) Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la
1
ecuación ℎ = − 4 𝑡 2 + 60𝑡, donde h es la altura en metros y t el tiempo en
segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.
7) Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de
lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido
en él sea máximo?