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ELEMENTOS DE FÍSICA DE LOS PROCESOS BIOLÓGICOS
EDICIÓN PREVIA MAYO 2011
FÍSICA
Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología
SEDE GRAL. ROCA ALTO VALLE
Prof. Daniel Martínez
Unidad I: “Magnitudes escalares y vectoriales”
Intoducción
La Física, la Química y la Biología son ciencias que habitualmente se estudian en las escuelas y
en la universidad como asignaturas diferentes, pero las tres pertenecen a un mismo grupo llamado
ciencias naturales. Esta división es simplemente por conveniencia para facilitar su estudio, pero la
naturaleza es una sola.
El objeto de estudio de las ciencias naturales es la naturaleza, y en particular la búsqueda de
leyes que explican el mundo natural. La única forma de verificar las leyes naturales es a partir del
método experimental, es decir por medio de la realización de experimentos que implican la
realización de mediciones.
Una medición es un procedimiento que consiste en comparar un patrón seleccionado con el
sistema de estudio cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está
contenido en esa magnitud.
Una magnitud física es una propiedad de un objeto o de un sistema a la que se le pueden
asignar distintos valores como resultado de una medición.
Por ejemplo, cuando escuchamos el reporte metereológico del clima se informan los valores de
varias magnitudes físicas relacionadas con el estado del tiempo: temperatura ambiente, humedad
relativa, presión, visibilidad, y velocidad del
viento.
Una posible información sería como indica la
Figura 1.1. :
Temperatura: 8,4 °C
Humedad: 67 %
Presión: 911 hPa (hectopascales)
Visibilidad: 10 km
Fig. 1.1. Información metereológica extraída de un
Vientos en superficie a 38 km/h del sector oeste
diario digital del día 10/5/11
En el ejemplo anterior, podemos observar dos cosas:
1) cada valor de la cantidad medida está acompañada de su unidad:
°C (grados celsius) para la temperatura, % o más precisamente %masa/masa para la humedad
relativa, la presión en hPa (hectopascales), la visibilidad en km y la velocidad del viento en km/h.
2) Para las primeras cuatro cantidades, alcanza con un sólo número para definirlas
completamente, mientras que para la velocidad del viento no solamente es necesario indicar la
rapidez con que se mueve la masa de aire sino también de donde viene (en el ejemplo desde el
sur, dirigiéndose hacia el norte) ya que el efecto sobre las condiciones climáticas de un viento de
1
38 km/h que provenga del sector oeste puede ser muy distinto que otro de la misma intensidad
pero proveniente del sur.
Las magnitudes físicas para las cuales un solo número con su correspondiente unidad (Ej.: 2 cm;
9 s) alcanza para definirlas se llaman magnitudes escalares, mientras que aquellas que se
necesitan indicar no solamente la intensidad sino también la dirección y el sentido se llaman
magnitudes vectoriales.
Otro ejemplo típico de una magnitud vectorial es la fuerza. Por ejemplo, no es difícil darse cuenta
que el efecto de una fuerza de por ejemplo 4 kgf es distinto si se ejerce sobre un cuerpo de
izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
Representación gráfica de magnitudes vectoriales: vectores
Para definir completamente una magnitud vectorial, se deben indicar tres cantidades que son la
dirección, el sentido y la intensidad o módulo.
La representación gráfica de la magnitud vectorial se hace por medio de un segmento orientado,
llamado vector, cuya dirección y sentido coincide con la de la magnitud a representar y su
intensidad está representada por el tamaño del vector en una escala determinada.
En castellano dirección y sentido no son sinónimos: En el diccionario de la Real Academia
Española puede encontrarse la siguiente definición:
Dirección: Línea sobre la que se mueve un punto, que puede ser recorrida en dos sentidos
opuestos.
En la figura 1.2. se representan tres direcciones, en cada una de ellas existen dos sentidos que se
representan con flechas y los signos + y –.
Fig.1.2. Tres direcciones en el plano, con dos sentidos para cada dirección
2
Supongamos que queremos representar la velocidad un viento de 12 km/h proveniente de la
dirección Noroeste. Para ello podemos dibujar dos direcciones principales Sur-Norte y Oeste-Este
y una escala en estas direcciones en km/h. El vector velocidad será el que se muestra en la
figura 1.3.
Fig. 1.3. Representación del vector velocidad de 12 km/h en la dirección
noroeste - sudeste y con sentido desde el noroeste al sudeste.
Símbolos usados para representar magnitudes vectoriales y sus módulos
Una magnitud vectorial se representa por medio de de la letra que representa su nombre con una
G
flecha sobre ella. Por ejemplo: v representa una velocidad, como es el caso de la figura 1.3.,
G
mientras que F representa una fuerza.
Algunos textos emplean letras en negrita para representar estas magnitudes, por ejemplo v y F
representan una velocidad y una fuerza respectivamente.
En este texto emplearemos la primera notación.
El módulo o intensidad de un vector se suele representar por medio del símbolo de la magnitud
física vectorial encerrada entre barras. Por ejemplo, en el caso de la figura 1.3., el módulo del
G
vector velocidad es: v = 12 km/h
Operaciones algebraicas con vectores
Al igual que los números, los vectores pueden sumarse y restarse entre sí. También es posible
multiplicar un vector por un número y dos vectores entre sí. Veremos primeramente cómo se
realizan las operaciones de suma resta y multiplicación de un vector por un número en forma
3
gráfica y posteriormente en forma analítica. Las multiplicaciones de un vector por otro quedan
fueran del alcance de este módulo introductorio.
Suma y resta de vectores colineales en forma geométrica
Dos vectores de llaman colineales cuando tienen la misma dirección, pudiendo ser de igual
sentido o de sentidos contrarios
G
G
Para sumar o restar dos vectores a y b en forma geométrica puede seguirse el siguiente
G
G
procedimiento que consiste en dibujar el vector b a partir de la punta del vector a
G
G
G
El vector c que se obtiene uniendo la cola de a con la punta de b .
Ejemplos
Fig. 1.4. Suma y resta de vectores de la misma dirección
Suma de vectores no colineales en forma gráfica
Cuando se desea sumar dos vectores no colineales (es decir que no tienen la misma dirección)
pueden seguirse dos reglas que dan como resultado el mismo vector suma. Dependiendo de la
situación que se presente, convendrá emplear una u otra regla
Regla del paralelogramo
G
G
Si se tienen dos vectores a y b como los de la figura1.5.a., para obtener el vector suma por la
G
G
llamada regla del paralelogramo, se traza una paralela al vector a que pase por la punta de b y
G
G
una paralela al vector b que pase por la punta de a , se forma entonces un paralelogramo como
muestra la figura 1.5.b. El vector suma será aquel que se obtiene dibujando la diagonal del
paralelogramo que pasa por la cola de ambos vectores como muestra la figura 1.5.c.
4
Fig. 1.5.a. Dos vectores no
colineales
G
Fig. 1.5.b. Paralelogramo
formado por los vectores
G
Fig. 1.5.c. Suma de los vectores a y b
obtenido por la regla del paralelogramo
.
Regla del triángulo de vectores
G
G
Se puede obtener la suma de dos vectores como los a y b la figura 1.5.a. (o cualquier otro par de
G
vectores), por medio de la regla del triángulo dibuja cola de b a partir de la punta de
G
a conservando la misma dirección módulo y sentido (figura 1.6.b.). El vector suma será aquel que
G
G
se obtiene uniendo la cola de a con la punta de b (figura 1.6.c.). Comparando los resultados de
ambos métodos puede verse que son equivalentes.
Fig. 1.6.a. Dos vectores no
colineales
G
G
Fig. 1.6.b. Vectores a y b
dibujados uno a continuación
del otro.
G
Fig. 1.6.c. Suma de los vectores a y
obtenido por la regla del triángulo.
G
b
La regla del triángulo puede generalizarse fácilmente a cualquier número de vectores,
simplemente dibujando un vector a continuación de otro, siendo el resultado de la suma el vector
que se obtiene uniendo la cola del primero cola la punta del último. Esta regla se conoce con el
nombre de polígono de vectores. La figura 1.7. muestra la regla del polígono para la suma de 4
vectores.
Fig. 1.7. Cuatro vectores no colineales y obtención del vector suma por el método del polígono.
5
Resta de vectores no colineales en forma gráfica
Si queremos restar un número de otro, por ejemplo 7 – 4, el resultado de esta operación es un
tercer número que sumado a 4 (sustraendo) nos da 7 (minuendo). En este caso el resultado es 3
ya que 4 + 3 = 7. La resta entre dos vectores se define de forma idéntica, vale decir que si se
G
G
G G
G
tienen dos vectores a y b , la operación resta o diferencia entre a − b es un tercer vector c tal
G G G
que se cumple que b + c = a .
G
Una forma de obtener gráficamente el vector resta entre un vector a (minuendo) y otro
G
b (sustraendo) es dibujar un vector los extremos de ambos vectores y el sentido sea desde el
G
G
sustraendo hacia el minuendo. La figura 1.8. ilustra el procedimiento para los vectores a y b ,
Fig. 1.8. Método gráfico para obtener la resta entre dos vectores.
Multiplicación de un vector por un número o escalar
La operación de multiplicar un vector por un escalar da como resultado otro vector de la misma
dirección. Su sentido también es el mismo si el número por el cual se multiplica es positivo y se
invierte el sentido si el número es negativo. La intensidad del vector resultante es igual al producto
de la intensidad del vector por el número.
Ejemplos
G
1) Multiplicación de un vector A por 3
Fig. 1.9.a. Multiplicación de un vector
por el número 3.
G
2) Multiplicación del vector A por 0,5
Fig. 1.9.b. Multiplicación de un vector
por el número 0,5.
G
3)Multiplicación del vector A por –2
Fig. 1.9.c. Multiplicación de un vector
por el número –2.
6
Descomposición de un vector en componentes
Dadas dos direcciones en el plano, por ejemplo las tradicionales x e y, todo vector en este plano
puede descomponerse en otros dos vectores que tienen la dirección de cada uno de estos ejes.
Estos dos vectores se llaman componentes vectoriales del vector y tienen la propiedad de que
la suma vectorial de estas componentes da como resultado el vector original.
En las figura 1.10.a. y 1.10.b. se muestran ejemplos de descomposición de dos vectores en el
plano definido por las direcciones x e y.
Fig. 1.10.b. Descomposición de un
vector en el segundo cuadrante.
Fig. 1.10.a. Descomposición de un
vector en el primer cuadrante.
De la regla del paralelogramo para suma de vectores, puede verse que:
G
G
G
G
G
G
y
A x + Ay = A
B x + By = B
Expresión analítica de vectores: versores
Una forma muy útil de expresar vectores en forma analítica es empleando notación de versores
Por definición un versor es un vector de módulo unitario (en la escala que corresponda) que tiene
la dirección de uno de los ejes (x, y o z) y con sentido positivo en ese eje.
Los versores correspondientes a los ejes x e y del plano se representan con los símbolos iˆ y
respectivamente.
En la figura 1.11. se representan en una escala arbitraria ambos vectores unitarios
Fig. 1.11. Versores iˆ y
7
ĵ .
ĵ ,
G
Supongamos ahora que queremos representamos un vector fuerza F de 4 kgf dirigido según el
eje x (figura 1.12.)
Fig. 1.12. Multiplicación del versor iˆ por 4 kgf
Teniendo en cuenta lo visto en la sección multiplicación de un vector por un número resulta que el
G
G
vector F , puede escribirse como F = 4kgf iˆ , en donde 4 kgf indica la intensidad magnitud o
módulo del vector y el símbolo iˆ su dirección y sentido.
Consideremos ahora un caso en dos dimensiones como el ejemplo de la figura 1.3. que
representa un vector velocidad de intensidad 12 km /h con dirección y sentido de noroeste a
sudeste.
Este vector admite una descomposición en componentes vectoriales como muestra la figura 1.13.
Fig. 1.13. Representación de la velocidad de un viento de 12 km/h
en la dirección noroeste sureste y sus componentes vectoriales.
El vector velocidad puede expresarse empleando la notación de versores como
G
km ˆ
km ˆ
v = 8,4
i − 8,4
j
h
h
Las cantidades que multiplican a cada uno de los versores iˆ y
8
ĵ , (en el ejemplo
8,4
km
km
y – 8,4
) son números que reciben el nombre de componentes escalares del vector
h
h
G
G
G
Para cualquier otro vector A , cada una de las componentes vectoriales A x y Ay se obtienen
multiplicando la componente escalar correspondiente que se representa sin flecha Ax y Ay
Por el versor que le corresponde, o sea:
G
A x = Ax iˆ
G
A y = Ay jˆ
G G
G
Y, por lo tanto, siendo A = Ax + Ay
Resulta que la expresión general de cualquier vector, se representa analíticamente por medio de
versores como:
G
A = Ax iˆ + Ay ˆj
G
Las componentes escalares de un vector A reciben el nombre también de componentes
cartesianas de dicho vector.
Módulo y ángulo de un vector con el eje x. Componentes polares
Existe otra forma de expresar analíticamente un vector dando como información el módulo del
vector y el ángulo que forma con el eje x. A esta forma de expresarlo se denomina notación del
vector en componentes polares.
G
Consideremos el siguiente vector A que forma un ángulo α con el eje x como muestra la figura
1.14.
En la misma se han indicado también las componentes escalares Ax y Ay .
Fig. 1.14. Representación de un vector y su
descomposición en componentes escalares.
9
El triángulo rectángulo formado tiene una hipotenusa cuyo valor es el módulo del vector, es decir
G
A y catetos de longitudes Ax y Ay (notar que la línea punteada perpendicular tiene una longitud
igual a Ay ).
Por lo tanto, si conocemos los valores de las componentes escalares del vector, de acuerdo al
teorema de Pitágoras, se obtiene que el módulo o intensidad del vector se calcula como
G
A = Ax2 + Ay2
(1.1)
Por otro lado, el ángulo a se calcula mediante la expresión:
⎛ Ay ⎞
⎟
⎝ Ax ⎠
α = arctan ⎜
(1.2)
G
Las expresiones (1.1) y (1.2) permiten determinar las componentes polares ( A y α) del vector a
partir de sus componentes cartesianas ( Ax y Ay )
Es útil conocer las relaciones que permiten pasar de coordenadas polares a cartesianas, es decir
si se conocen el valor del módulo del vector y el ángulo que forma con el semieje positivo x,
calcular las componentes escalares.
Esto se obtiene fácilmente recordando las definiciones de coseno y seno de un ángulo
A
cos(α ) = Gx
A
por lo tanto
G
Ax = A cos(α )
(1.3)
A
sen(α ) = Gy
A
por lo tanto
G
Ay = A sen(α )
(1.4)
Ejemplo 1.
10
1. Un vehículo se mueve con una velocidad de 72 km/h (20 m/s) en la dirección y sentido indicada
en la figura 1.15.
1.a. Determinar las componentes escalares del vector velocidad.
1.b. Expresar en forma analítica el vector empleando
versores.
Fig. 1.15. Representación de un vector
velocidad.
Solución:
1.a. De las expresiones (3) y (4) obtenemos que
G
m
m
m
v x = v cos(α ) = 20 cos(143°) = 20 ( −0, 8) = −16
s
s
s
G
m
m
m
v y = v sen(α ) = 20 sen(143°) = 20 (0, 6) = 12
s
s
s
1.b. La expresión analítica del vector es por lo tanto
G
m
m
v = −16 iˆ + 12 ˆj
s
s
Ejemplo 2.
G
2. Una fuerza tiene la expresión F = 80 kgf iˆ − 60 kgf ˆj
2.a. Representarla gráficamente
2.b. Hallar el módulo y el ángulo que forma con el eje x
Solución:
2.a.
Fig. 1.16. Representación del vector
del ejemplo 2
2.b. Cálculo del módulo
11
G
De la expresión (1) se tiene que F = Fx2 + Fy2 =
( 80kgf )
2
+ ( −60 kgf ) =
2
(1000kgf )
2
G
F = 100kgf
Para calcular el ángulo que forma con el eje x, empleamos la relación (2)
⎛ Fy ⎞
⎟
⎝ Fx ⎠
α = arctan ⎜
⎛ −60 kgf ⎞
⎟
⎝ 80 kgf ⎠
α = arctan ⎜
⎛ 3⎞
⎝
⎠
α = arctan ⎜ − ⎟
4
Por medio de la calculadora obtenemos el valor α ≅ − 37° , pero este valor corresponde a un
ángulo medido en sentido horario a partir del eje x, y por estar en el 4to cuadrante como muestra
la figura de la respuesta, el valor medido en sentido antihorario es 360°– 37° = 323°
Por lo tanto α ≅ 323°
Ejemplo 3. Fuerzas de los músculos de un perro en una mordida.
G
La fuerza M que puede ejercer un perro, en una mordida
es de 75 kgf. Esto se logra a partir de las fuerzas que
G
ejercen los músculos macetero Fm (que tira hacia atrás)
G
y pterygoides Fp (que empuja hacia arriba y adelante).
Suponiendo una situación en donde no hay fuerza de
reacción en la articulación de la mandíbula (pivote),
G
G
determinar las fuerzas que Fm y Fp supuestas
Fig. 1.17. Mandíbula inferior de un perro
y fuerzas que actúan.
de la misma intensidad.
Solución
Dibujamos primeramente las fuerza actuantes con un origen común
(punto O), para facilitar la descomposición (figura1.18).
G
Como interesa determinar la fuerza M que tiene la dirección del eje
y, planteamos solo la descomposición de las fuerzas
G G
Fp y Fm sobre este eje. La ecuación de Newton para el caso en
que el sistema está en reposo resulta
G
G
G
Fp sen( 25°) + Fm sen( 25°) − M = 0
Fig. 1.18. Diagrama de fuerzas que
actúan sobre la mandíbula de un perro,
llevadas a un mismo punto.
12
G
G
G
Como las fuerzas de los músculos tienen en este caso la misma intensidad Fp = Fp = F , resulta
despejando de la ecuación anterior
G
F =
G
M
2sen(25°)
o sea
G
75 kgf
F =
= 88,7 kgf
2 ×0,423
Ejemplo 4. Fuerzas actuantes sobre un brazo extendido
El músculo deltoides ejerce una fuerza
de 300 N sobre un brazo extendido que
pesa 32 N, calcular la fuerza de reacción
G
R que se ejerce sobre la articulación del
húmero. (figura 1.19)
Fig. 1.19. Fuerza ejercida por el
músculo deltoides, peso del brazo y
reacción sobre la articulación del
húmero.
Solución
Para que el brazo esté en equilibrio debe cumplirse que la suma vectorial de las fuerzas
G G
G
Fd , Pb y R sea igual a cero.
Es decir
G
G
G
Fd + Pb + R = 0
(1.5)
Eligiendo un sistema de coordenadas x-y orientado en la forma tradicional como en la figura 1.11.,
la ecuación (1.5), la descomponemos en dos ecuaciones:
Fd x + Pb x + Rx = 0
(1.6)
Fd y + Pb y + Ry = 0
(1.7)
Reemplazando las componentes escalares y escribiendo explícitamente sus signos se obtiene:
G
G
G
− Fd cos( 20°) + 0 + R cos(θ ) = 0
−300 N ⋅ cos( 20°) + R cos(θ ) = 0
o bien
(1.8)
G
G
G
Fd sen( 20°) − Pb + R sen(θ ) = 0
G
300 N ⋅ sen( 20°) − 32 N + R sen(θ ) = 0
o bien
Efectuando cálculos las ecuaciones (1.7) y (1.8) se escriben como:
13
(1.9)
G
−281, 9 N + R cos(θ ) = 0
(1.10)
G
70, 6 N + R sen(θ ) = 0
(1.11)
Y pasando de miembro:
G
R cos(θ ) = 281, 9 N
(1.12)
G
R sen(θ ) = −70, 6 N
(1.13)
G
De estas dos ecuaciones debemos despejar el valor de R y el de θ
G
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1.13) y (1.12) se simplifica R y siendo el seno de
un ángulo dividido el coseno de ese mismo ángulo igual a la tangente, resulta
tan(θ ) = −0, 25
o sea
θ = −14°
Lo cual significa que la dirección de la fuerza
sobre el húmero está por debajo de la
horizontal como muestra la figura 1.20.
Fig. 1.20. Dirección correcta de la fuerza
de reacción sobre la articulación del
húmero.
G
Para calcular el valor de R despejamos por ejemplo de (1.12) obteniéndose
G
R = 290,5N
Ejercicios
Expresión analítica y representación gráfica de vectores:
1. Expresar analíticamente y representar gráficamente (ejes x , y o NS-EO) los
y>0
siguientes vectores de los cuales se sabe que del:
G
x>0
1.a v A el módulo es 3 y que apunta en la dirección positiva del eje x.
G
1.b v B el módulo es 2 y que apunta en la dirección negativa del eje x.
G
N
1.c v C el módulo es 4 y que apunta en la dirección positiva del eje y.
G
1.d v D el módulo es 3 y que apunta en la dirección negativa del eje y.
G
1.e FA : FAx = 3 kgf ; FAy = –4 kgf
G
1.f FB : FBx = -2 kgf ; FBy = 5 kgf
14
O
E
S
G
1.g FC el módulo es 5 kgf y su dirección forma un ángulo de 30° con la dirección OE.
G
1.h g el módulo es 10 m/s2 y su dirección es perpendicular a la horizontal sobre la superficie
terrestre y apunta hacia el centro de la Tierra.
Producto de un vector por un escalar:
2.a Cinco muchachos arrastran horizontalmente una caja con velocidad constante ejerciendo
fuerzas horizontales y en la misma dirección tirando de una cuerda. Si cada uno realiza una fuerza
de 8 kgf, ¿cuál es la fuerza total que realizan los muchachos sobre la caja?
G
G
G
2.b Cuál es el escalar por el cual se multiplicó el vector A = 4i − 8 j si se obtuvo el
JJG
G
G
A ' = −2 i + 4 j y qué características del vector cambiaron (módulo, dirección, sentido).
JG
G
G
2.c Si se triplica vector fuerza F = 3kgf i − 4kgf j , cuáles serán sus nuevas componentes y qué
características del vector cambiaron (módulo, dirección, sentido).
Suma de vectores:
3. Hallar gráfica y analíticamente el módulo y la dirección de la fuerza resultante del siguiente
sistema de fuerzas concurrentes aplicadas a un cuerpo: F1 = 4,5 kgf hacia el noreste; F2 = 2,3 kgf
hacia el este y F3 = 1,4 kgf hacia el sur.
4. Un objeto de 44,5 kgf de peso está suspendido mediante
dos cuerdas que forman un ángulo de 30º con un techo
horizontal. Calcular la tensión en cada cuerda.
5. La figura muestra un esquema simplificado de fuerzas que actúan
sobre la pata de un insecto apoyada sobre el agua.
El peso del insecto es 12 mgf y la pata debe soportar 1/6 de este.
Determinar la intensidad de cada una de las fuerzas F1 y F2 siendo θ=
30°.
15
6. La figura muestra la forma un esquema de las fuerzas que se ejercen
G
sobre la rótula debido al tendón cuádriceps Fc y al ligamento rotuliano
G
Fl r . Si los módulos de las fuerzas son de 120 N y 80 N respectivamente,
determinar la fuerza que ejercen sobre la rótula (módulo dirección y
sentido).
JG
7. El tendón del bíceps de la figura, ejerce una fuerza F de 6 kgf
sobre el antebrazo. El brazo aparece doblado de tal forma que
forma un ángulo de 125° con el húmero. Hallar las componentes
JG
de F :
7.a paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora),
7.b perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén).
JG
8. El brazo de una persona es elevado por las fuerzas anterior ( F a ) y
JG
posterior ( F p ) del músculo deltoides. Si las intensidades de cada una de
JG
JG
estas fuerzas son F a = 5kgf y F p = 3,5 kgf, determinar la intensidad de
la fuerza resultante sobre el brazo y el ángulo que forma con el eje y.
9. Un hilo atado a los dos últimos molares se hace pasar por un incisivo
para ejercer una fuerza que lo acomode en posición
Si la tensión del hilo es de 2 kgf, determinar la intensidad de la fuerza
resultante que ejerce el hilo sobre el incisivo y el ángulo que forma con
la dirección vertical.
10. La figura es un esquema de un músculo pectoral extendido, sobre éste
se han representado tres fuerzas de la misma intensidad (75 N) que
realizan la fibras sobre la columna vertebral.
16
Determinar la fuerza resultante que actúa la columna (módulo, dirección y sentido).
Operaciones con escalares:
11. Efectuar los cálculos siguientes y expresar la respuesta hasta con dos decimales.
11.a 913,3 m x 1,65 cm x 1,247 mm (expresado en centímetros cúbicos);
11.b 3,0278g + 0,1104 kg + 4934 cg (expresado en gramos).
11.c Siendo la densidad el cociente entre la masa y volumen. ¿Cuál es la densidad de la mezcla
de un 20 cm3 jarabe de frutas de densidad 1,2 g/cm3 y 80 cm3 de agua?
12. Expresar cada uno de los siguientes valores en notación científica y las unidades en símbolos:
12.a La velocidad del sonido en el aire a 20 °C: 34000 centímetros por segundo
12.b El diámetro medio de la célula humana: diez millonésima parte del metro.
12.c El radio ecuatorial de la Tierra: seis mil trescientos setenta y ocho kilómetros.
Unidad I: Respuestas
1. De elaboración personal. (Consultar en clase)
2a. FTotal = 40 kgf
2b. –0,5
módulo y sentido
JG ; cambian:
G
G
2c. F = 9 kgf i − 12kgf j ; cambia el módulo
3. Módulo: 5,76 kgf; dirección α≈ 18°, cuadrante NE; sentido: saliente desde el centro del cruce
de los ejes NS-EO.
4. 44,5 kgf.
5. El módulo F1 ó el de F2 es 1,15 mgf
G
6. R = 105,8 N ; θ = 19,1°
7.a Fparalela = –3,4 kgf
7.b Fperpendicular = 4,9 kgf
G
8. R = 7,4 kgf ; θ = 10,8°
11.a 18791,60 cm3
11.b 162,77 g
11.c δM= 1,04 g/cm3
12.a 3,4 104 cm/s
12.b 1,0 10–7 m
12.c 6,378 103 km
17
Unidad II: “Sistemas de unidades”
Introducción
Como se mencionó en el capítulo 1, en el resultado de una medición debe indicarse siempre la
unidad en que se mide la magnitud física medida (es decir cuántas veces un patrón definido está
contenido dentro la magnitud física).
Lamentablemente, por razones históricas y culturales, existen muchas unidades distintas para
expresar el resultado de una medición, y por lo tanto, nos vemos en la obligación de saber
transformar correctamente una unidad en otra de la misma magnitud física.
Se han producido acontecimientos graves por cometer errores de transformaciones de un sistema
a otro
Por ejemplo, en julio de 1983, los técnicos de mantenimiento de un
avión de Air Canada, emplearon un factor incorrecto para transformar
la masa en libras a kilogramos de combustible a cargarle a la nave, y
por lo tanto despegó con la mitad del combustible requerido para el
viaje. La pericia de uno de los pilotos permitió aterrizar el
Fig. 2.1. El avión del vuelo 143 de Air Canada
avión en una pista fuera de servicio (figura 2.1.)
luego del aterrizaje forzoso debido a un mal
cálculo de transformación de unidades
Otro acontecimiento similar se produjo en 1999 cuando ingenieros de la Nasa realizaron
incorrectamente una transformación del sistema británico al métrico en los programas de vuelo de
una nave no tripulada a Marte, que finalizó con la destrucción de la misma sobre la superficie
marciana, con una pérdida de 125 millones de dólares.
Tanto en la industria como en la medicina debe prestarse mucha atención a la realización correcta
de pasajes de unidades, puesto que un descuido puede conducir a pérdidas de vidas.
En este capítulo se tratará primeramente el cálculo de áreas y volúmenes de las figuras y cuerpos
más usuales de encontrar dentro de los campos de acción de un técnico en alimentos o de un
médico veterinario, así también como la transformación de los distintos múltiplos y submúltiplos de
las unidades en que se expresan las áreas y volúmenes.
Posteriormente se verán los sistemas de unidades más comunes usados actualmente
18
Ejemplo 1
El ancho y el largo de una hoja de papel A4 es 210 mm y 297 mm respectivamente, mientras que
la de un papel carta 215,9 mm y 279,4 mm. Determinar el área de cada una de ellas expresadas
en cm2. Exprese los resultados con 1 cifra significativa para los decimales. ¿Cuál de ellas es
mayor?
Solución:
Como en ambos casos se trata de rectángulos, el área es el producto del ancho por el alto, es
decir
Para la hoja tipo A4
AA 4 = 21,0 cm ⋅ 29,7 cm = 623,7000 cm2 , que expresado con 1 cifra decimal resulta
AA 4 = 623,7 cm2
Para el caso de la hoja tipo carta
Acarta = 27,94 cm ⋅ 21,59 cm = 603,2246 cm2 que expresado con 1 cifra decimal resulta
Acarta = 603,2 cm2
Ejemplo 2
Un alambre de acero para alambrado eléctrico (boyero) tiene 100 m de
longitud y 1,5 mm de diámetro. Determinar el volumen de acero necesario para
fabricar el mismo. Expresarlo en cm3.
Fig. 2.2. Un rollo de alambre.
Solución:
Cuando se endereza el alambre, podemos darnos cuenta que se trata de un cilindro de 1,5 mm de
diámetro y 100 m de altura.
Es decir d = 1,5mm = 0,15 cm h = 100 m = 10000 cm
Empleando la expresión del volumen V =
V=
π d2
4
h=
π d2
4
h
3,14 (0,15 cm)2
10000 cm
4
19
V = 176,7 cm3
Ejemplo 3
Cuántas vueltas tendrá el alambre del Ejemplo 2 si se enrosca en rollo de 0,3 m de diámetro.
Solución:
El perímetro de cada vuelta circular es Perím = π d , supongamos que se necesitan N vueltas
para enroscar los 100 m de alambre, por lo tanto la longitud total del alambre será:
h = Nπ d
por lo cual N =
h
100m
3,14 ⋅ 0,3m
N=
πd
N = 126 vueltas
Ejemplo 4
Cuál es el diámetro de un cable de cobre de 4 mm2 de sección
La sección es el área transversal de cable que se supone cilíndrico. Por lo tanto el objetivo del
problema es calcular el diámetro de un círculo de 4 mm2 de superficie.
De la expresión S =
π ⋅d2
4
, despejamos d, obteniéndose:
d=
4S
π
4 ⋅ 4 mm2
= 2, 3 mm
3,14
=
Ejemplo 5
Una célula puede suponerse que se asemeja a una esfera de 10–5 m (10 μm)
de diámetro. Calcular el volumen de la misma y la superficie lateral.
Solución:
Cálculo del volumen
π d3 3,14(10-5m)3
=
V=
6
6
Fig. 2.3. Corte de una célula
V = 5, 2 ⋅ 10 m
-16
animal
3
Cálculo la superficie
S = π d 2 = 3,14 ⋅ (10-5 m)2
S = π d 2 = 3,14 ⋅10-10 m2
20
Factores de conversión
Existen muchas formas de transformar una unidad en otra. Una forma cómoda de realizar estas
transformaciones es emplear los llamados factores de conversión. Un factor de conversión se
construye por medio del cociente entre la relación entre dos unidades de la misma magnitud física,
de tal forma que de cómo resultado el número 1 de tal forma que la unidad que deseamos que se
simplifique quede en el denominador, mientras que en el denominador figurará la unidad a la cual
deseamos llegar.
Ejemplos:
Supongamos que deseamos transformar una longitud de 45 cm a metros.
Para ello partimos de la identidad 1 m = 100 cm y construimos un factor de conversión en donde
el m figure en el numerador y cm en el denominador:
1m
=1
100 cm
Por los tanto, 45 cm serán:
45 cm ⋅ 1 = 45 cm ⋅
1m
= 0, 45 m
100 cm
Unidades de superficie y de volumen
Tanto en la técnica como en cuestiones científicas es frecuentemente necesario realizar
transformaciones de unidades de superficie y de volumen. A pesar de ser algo elemental, muchos
estudiantes del primer año de carreras universitarias desconocen como realizar correctamente
estas transformaciones.
Explicaremos en detalle las transformaciones más comunes, como por ejemplo transformar m2 en
cm2 y viceversa o litros a cm3 y m3.
En la figura 2.4. se muestra un cuadrado de 1 m x 1 m es decir de 1 m2. Cada lado está dividido
en 10 partes iguales de 1 dm cada una, por lo tanto cada uno de los cuadrados pequeños tiene
una superficie de 1 dm2.
Fig. 2.4. Un cuadrado de 1 m de lado subdividido en 100 cuadrados de 1 dm de lado.
21
Ahora bien, Si contamos cuántos cuadrados de 1 dm2 entran en el cuadrado de 1 m2, resultan ser
10 x 10 = 100, por lo tanto la superficie de 1 m2 equivale a 100 dm2.
¿De que otra forma podemos llegar a este resultado?
En 1 m hay 10 dm pues deci es un submúltiplo que indica décima parte (ver apéndice múltiplos y
submúltiplos) es decir que
1 m = 10 dm
(2.1)
Por lo tanto elevando al cuadrado cada miembro de la expresión (2.1), resulta
1 m2 = (1 m ) = (10 dm ) = 100 dm2
2
2
De forma semejante podemos calcular cuántos cm2 hay en 1 m2.
Para ello notamos que en la figura, cada cuadradito de 1dm2 está formado a su vez por 100
cuadraditos más pequeños de 1cm2, por lo tanto también resulta que: 1 dm2 equivale a 100 cm2.
De aquí surge que la cantidad de cuadraditos de 1cm2 que hay en un cuadrado de 1 m de lado es
100 x 100 = 10000, y por lo tanto 1 m 2 = 10 000 cm2
Otra forma de llegar al resultado es recordar que 1 m = 100 cm y por lo tanto elevando al
cuadrado
1 m2 = (1 m ) = (100 cm ) = 10 000 cm2
2
2
Veamos ahora cómo se transforman algunas unidades de volumen
Fig. 2.5. Un cubo de 1 dm de lado subdividido en 1000 cubos más pequeños de 1 cm de lado.
22
En la figura 2.5. se muestra un cubo de 1 dm de lado. Su volumen es por lo tanto 1 dm3, que
equivale también a un litro (1 L). Cada lado está dividido en 10 partes iguales de 1 cm cada una.
Se puede observar que dentro del cubo de 1 dm3 caben 10 x 10 x 10 = 1000 cubos pequeños de 1
cm3 cada uno
Por lo tanto:
1 dm3 = 1 L = 1000 cm3
¿Cuántos cm3 equivalen a 1 m3?
1 m3 = (1 m ) = (100 cm ) = 1 000 000 cm3
3
3
Ejemplo 6
Un adulto promedio tiene 5,2 litros de sangre. Expresar este volumen en m3
Cada litro, como se vio anteriromente equivale a 1 dm3 por lo tanto, y cada m3 equivale a
1 m3 = (1 m ) = (10 dm ) = 1 000 dm3 = 1 000 L
3
3
O sea que el factor de conversión lo expresamos como
1 m3
=1
1000 L
Luego, 5,2 L = 5,2 L/
1 m3
= 0,0052 m3
1000 L/
Ejemplo 7
El mercurio tiene una densidad de 13,6 g/cm3. Expresar este valor
en kg/m3.
Solución
Fig. 2.6. Una gota de mercurio
1000 g equivalen a 1 kg, por lo tanto uno de los factores de
conversión lo construimos
23
sobre la superficie de una mesa.
1 kg
=1
103 g
Por otra parte vimos anteriormente que 1 m3 = 106 cm3 y por lo tanto un segundo factor a emplear
será
106 cm3
=1
1 m3
En definitiva, la transformación será:
13,6
g
g 1 kg 106 cm3
kg
=
13,6
⋅
⋅
= 13600 3
cm3
cm3 103 g 1 m3
m
Para futuras transformaciones de unidades de densidad podemos emplear entonces la regla que
1
g
kg
== 1000 3
3
cm
m
De allí que la densidad del agua 1 g/cm3 o 1000 kg/m3
Ejemplo 8
El diámetro de una lata de duraznos en conserva es de 100 mm y su altura 115 mm. Determinar
su volumen. Expresar el resultado en cm3 y litros.
Solución
Como primer paso transformamos los datos de altura y diámetro a cm
d = 100 mm = 10,0 cm
h = 115mm = 11,5 cm
Usamos la fórmula del volumen de un cilindro en función de su diámetro
V=
π ⋅d2
4
h
V=
π ⋅ (10,0 cm )
4
2
11,5 cm = 903,2 cm3
Para pasar el resultado a litros empleamos el factor de conversión
V = 903,2 cm3 = 903,2 cm3
1L
= 1 , resultando
1000 cm3
1L
= 0,903L
1000 cm3
Ejemplo 9
El kilogramo patrón se define como la masa de un cilindro de platino-iridio
cuyo diámetro es igual a su altura que está guardado en la oficina de pesos y
medidas de la ciudad de Sèvres (Francia). Si la densidad de esta aleación es
21464 kg/m3, calcular la altura y el diámetro del cilindro y expresar el
resultado en mm.
Fig. 2.7. Fotografía del kilogramo
patrón.
24
Solución
La masa de este cilindro es por definición m = 1 kg, siendo la densidad en cociente entre la masa
y el volumen δ =
m
m
,el volumen es V =
δ
V
Remplazando valores se obtiene
V=
1 kg
π D 2H
-5
3
V
=
,
El
volumen
de
un
cilindro
en
función
de
su
diámetro
es
=
⋅
4,659
10
m
4
21464 mkg3
Y siendo D = H = x en este caso V =
π x3
4
Despejando x se obtiene que
x=
3
4V
π
, reemplazando se obtiene x =
3
4 ⋅ 4,659 ⋅ 10-5 m3
3,1416
x = 0, 039 m
x = 39 mm
Ejemplo 10
Un lote tiene forma de trapecio cuyas dimensiones son 250 m de base mayor, 150 m de base
menor y 80 m de altura. Calcular la superficie del lote y expresarla en áreas y hectáreas
(1 área = 100 m2; 1 ha = 100 áreas = 10000 m2)
Solución
Los datos del problema son
B = 250 m b = 150 m h = 80 m
Aplicando la fórmula de la superficie del trapecio
S=
(B + b ) ⋅ h
2
S=
(250 m + 150 m) 80 m
= 16 000 m2
2
Le factor de conversión para transformar a áreas es
1 área
=1
100 m2
Por lo tanto la superficie es
S = 16 000 m2 = 16 000 m2
1 área
= 160 áreas
100 m2
Como cada área es la centésima parte de la hectárea, se comprueba fácilmente que la superficie
del lote es
S = 1,60 ha
25
Sistemas de unidades
Se llama sistema de unidades a un conjunto de unidades que es empleado para especificar
cualquier cantidad medible.
Todo sistema de unidades se define en base a un subconjunto de unidades llamadas
fundamentales, mientras que el resto de ellas resultan unidades derivadas de éstas
Así por ejemplo, en la mecánica (rama de la física que estudia el movimiento y reposo de los
cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas) se necesitan sólo tres unidades
fundamentales. Cuando la mecánica se estudia junto con el electromagnetismo se debe definir
una cuarta unidad fundamental.
Si bien existen muchos sistemas de unidades, trataremos aquí los más usuales dentro del campo
de aplicación de la industria agroalimentaria y de la medicina veterinaria.
Estos son el sistema internacional de unidades (SI), el cegesimal (cgs) y el técnico.
Escribiremos en forma de tabla especificando en negrita cuáles son las magnitudes
fundamentales, mientras que las unidades derivadas las escribiremos sin negrita,
SI
magnitud
Nombre
símbolo
nombre
Longitud
metro
m
centímetro
cm
Masa
kilogramo
kg
gramo
g
Tiempo
segundo
s
segundo
s
----
m
s
centímetro por
----
m
s2
kg ⋅ m
s2
Velocidad
metro por
segundo
definición
cgs
metro por
Aceleración
segundo
cuadrado
definición
símbolo
----
cm
s
gal
cm
s2
Gal
N
dina
g ⋅ cm
s2
dyn
J
ergio
segundo
Fuerza
newton
Energía
joule
Potencia
watt
J kg ⋅ m2
=
s
s3
W
ergio por segundo
ergio g ⋅ cm2
=
s
s3
erg
s
Presión
pascal
N
kg
=
m2 m s 2
Pa
baria
baria
dyn
cm2
A
statamperio
dyn cm
erg
s
C
Franklin
A⋅s
Fr
Intensidad
de corriente
Carga eléctrica
N⋅ m =
kg ⋅ m2
s2
dina ⋅ cm =
g ⋅ cm2
s2
ampere
o
½
amperio
coulomb
A ⋅s
26
erg
Definiciones de unidades fundamentales en el SI
Metro (m): un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo
de 1/299 792 458 de segundo.
Kilogramo (kg): un kilogramo es una masa igual a la de un cilindro de 39 milímetros de diámetro
y de altura, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres; Francia.
Segundo (s): el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente
a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Amperio o ampere (A) : un amperio es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza
igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.
Kelvin (K): un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de
la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
Otras unidades fuera de sistemas
Kilogramo fuerza
El kilogramo fuerza es la unidad de fuerza en el sistema técnico de unidades, que prácticamente
está en desuso. Se define como 1 kgf = 9,80665 N y corresponde a la fuerza que ejerce la tierra
sobre un cuerpo de 1 kg en donde la aceleración de la gravedad vale 9,80665 m/s2
De acuerdo a esta definición un cuerpo que pese, por ejemplo 72 kgf tiene una masa de 72 kg
(siempre y cuando la aceleración corresponda a la anteriormente indicada)
Para fines prácticos se puede aproximar el valor 9,80665 a 9,81.
Bar
Es una unidad de presión muy utilizada en química y equivale a 106 barias
Milímetros de mercurio
Es una unidad de presión frecuentemente utilizada en medicina y fisiología, la equivalencia con el
pascal es 1 mmHg =133,3224 Pa y su origen deriva de que el valor de presión de 1 atmósfera
equivale a 760 mm Hg
27
Ejemplo 11
El psi (pound per square inch o libra por pulgada cuadrada) es
una unidad de presión en el sistema británico que aún se sigue
empleando en ciertas ramas de la industria.
1 psi equivale a 6894,8 Pa. Los neumáticos de un auto suelen
inflarse con una presión de 28 psi. ¿A cuántas atmósferas
equivale esta presión? Dato 1 atm = 101325 Pa
Fig. 2.7. La presión manométrica
Los factores de conversión que empleamos son
de las cubiertas se mide aún hoy
en psi.
6894,8 Pa
=1
1 psi
1 atm
=1
101 325 Pa
De manera que:
28 psi = 28 psi
6894,8 Pa
1 atm
= 1,91 atm
1 psi 101 325 Pa
Ejercicios
Utilizar los siguientes valores cuando sea necesario:
g = 9,81 m/s2; 1 kgf = 9,81 N; 1 N = 105 dina
Áreas y volúmenes
1. Un lote rectangular mide 17,5 m x 50 m. Calcular su superficie en
m2 y en ha (hectáreas).
2. Indicar justificando cuál es la respuesta correcta
2.a. El ancho de una hoja de papel de impresora (A4) tiene alrededor de:
1) 22 m
2) 22 dm
3) 22 cm
4) 22 mm.
2.b. El grosor del alambre de un clip para papeles es aproximadamente:
1) 1 mm
2) 10 mm
3) 1 cm
4) 10 cm
2.c. El alto de una habitación es
1) 30 m
2) 3000 cm
3) 3000 mm
28
4) 0,3 km
3. El diámetro de una tubería es de 4 cm. Determinar su área transversal o sección en cm2 y m2.
4. Un cable tiene una sección de 2 mm2. Determinar el diámetro y expresarlo en mm, cm y m.
5. Según el decreto N° 65794/35, de 23 de Agosto de 1935, la localidad de Choele Choel tiene
una superficie de 19606 hectáreas 38 áreas y 37
centiáreas
Expresar esta superficie en km2
6. La figura muestra el contorno de la Provincia de
Río Negro. Cada cuadrado es de 100 km x 100 km.
Estimar la superficie de la provincia.
7. En la figura se muestran las dimensiones típicas de
una cancha de fútbol profesional.
7.a. Calcular las superficies de los siguientes sectores:
el campo de juego, el área grande y el círculo central.
Expresar los resultados en m2 y ha.
7.b. Cuántas veces mayor es el campo de juego
respecto del área grande.
8. Una tableta de aspirina contiene 0,33 g de aspirina. Un paciente artrítico de 70,2 kg de peso
toma dos tabletas de aspirinas diarias.
8.a. ¿Qué cantidad de aspirina, expresada en miligramos, hay en las dos tabletas?
8.b. ¿Cuál es la dosis de aspirina expresada en miligramos por kilo de peso?
8.c. Con esta dosis diaria de tabletas de aspirina, ¿cuántos días tardaría en consumir 45,83 g de
aspirina?
9. El perímetro de una pelota de fútbol es de 70 cm.
9.a. ¿Cuál es su diámetro?
9.b. ¿Cuál es su volumen?
10. Sabiendo que las 2/3 partes de la superficie del planeta Tierra están cubiertas de agua y la
profundidad media de los océanos es 2,7 km:
29
10.a. Calcular el volumen del agua de los océanos expresado en m3.
10.b. Conociendo que el volumen de agua de una gota de agua es la
vigésima parte de 1 ml, calcular cuántos moles de gotas de agua existen en
los océanos terrestres.
10.c. Calcular la masa de agua contenida en los océanos.
Datos: Diámetro de la tierra: 12756 km, Densidad del agua de mar: 1,03 g/cm3.
11. El mycoplama pneumoniae es el microorganismo
más pequeño capaz de auto reproducirse. Tiene un
tamaño inferior a una bacteria pero superior al de un
virus.
La imagen muestra una tomografía electrónica de uno
de estos organismos. Estimar la masa en gramos de
este microorganismo suponiendo que tiene forma
esférica con un diámetro 1 μm y que su densidad es idéntica a la del agua (1000 kg/m3)
12. Un chancho pesa 160 kgf
12.a. Expresar su peso en newton.
12.b. ¿Cuál es su masa en kg?
13. Una hormiga pesa aproximadamente 6 mgf (0,006 gf).
13.a. Expresar su peso en:
1) kilogramos fuerza
2) newtons
3) dinas
13.b. Si puede levantar una carga de 50 veces su peso, ¿Cuál es
el valor del peso de la carga?
Expresar el resultado en N.
14. La densidad del agua es 1 g/cm3
14.a. Expresar este valor en kg/m3
30
14.b. Una persona de 65 kgf bebe 2 litros de agua ¿cuánto pesará luego de beber suponiendo
que durante la ingesta no elimina líquidos por sudoración u orina?
15. La densidad del aire es 1,2 kg/m3.
Expresar este valor en g/cm3.
¿Cuál es el peso del aire contenido en una sala de 4 m x 4m x 3 m?
16. Una solución de cloruro de sodio está formada por 160 g
de la sal disueltos en 800 cm3 de agua. Calcular:
16.a. La concentración de la solución en % masa/V.
16.b. La densidad de la solución.
Suponer que en la disolución del soluto no se produce cambio de volumen.
17.a. El animal que corre más rápido es el
guepardo o chita, alcanzado velocidades de 115
km/h. Expresar esta velocidad en m/s.
17.b. El animal que anda más lento es el caracol
romano, alcanzado velocidades de 1,6 mm/s.
Expresar esta velocidad en km/h.
18. La mayor temperatura registrada fue de
57,7 °C en Libia en 1922, la menor temperatura
fue de –89,2°C y se registró en la estación Vostok
(Antártida) en 1983.
18.a. Expresar estas temperaturas en kelvin (K).
18.b. Calcular la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja en °C y en K
19. Expresar en (joule) J y en kilojoule (kJ) la energía que suministran
100 ml de la gaseosa de la figura, sabiendo que
1 cal = 4,18 J.
20. Una atmósfera (atm) equivale a 101325 pascales (Pa).
20.a. Expresar en Pa y baria la presión en el interior de una botella de champaña (6 atm)
20.b. Expresar en atm una presión de 990 hPa (hectopascal) (1 hPa = 100 Pa).
21. En las estaciones de servicio de GNC puede leerse un cartel que dice máxima carga 200 Bar.
Sabiendo que 1 Bar = 106 barias. Expresar este valor en atm y en Pa.
31
22. La presión manométrica normal de un ser
humano joven se encuentra entre 120 mmHg
(presión sistólica) y 80 mmHg (presión diastólica).
Expresar estas presiones en pascales y barias,
sabiendo que 760 mmHg = 101325 Pa y 1 Pa = 10
baria.
23. Una cámara frigorífica posee un sistema de acondicionamiento de clima que extrae 40000 kcal
cada hora. Transformar en joule y en ergios la cantidad de energía que extrae en un día de
funcionamiento.
Unidad II: “Sistemas de unidades” RESPUESTAS
1. 875 m2
2.a
0,0875 ha
3)
3. 12,57 cm2
4. 1,6 mm
2.b
1)
2.c
3)
0,00126 m2
0,16 cm
0,0016 m
5. 196,06 km2
6. 200 000 km2
7.a. Campo = 7700 m2 = 0,77 ha
Área grande = 665,2 m2 = 0,0665 ha
Círculo = 263 m2 = 0,0263 ha
7.b 11,57 veces
8.a. 660 mg
8.b.
9.4 g/kg
8.c. 70 días
9.a d = 22,28 cm
9.b V = 5792,19 cm3
32
10.a. 9,2·1017m3
10.c. 9,48 1020 kg
10.b. 30,55 mol
11. 5,24·10–13 g
12.a. 1569.6N
12.b. 160 kg
13.a. 1) 6 10–6 kgf
2) 5,89 10–5 N
3) 5,89 dina
13.b. 2,94 10–3 N
14.a. 1000 kg/m3
14.b. 67 kgf
15.a. 1,2 10-3 g/cm3
15.b. 57,6 kgf
16.a. 20% m/V
16.b. 1,2 g/cm3
17.a. 31,94 m/s
17.b. 0,01 km/h
18.a. Tmáx = 330,7 K
19. 1,84 105 J
20.a. 6,08 105 Pa
21. 197,38 atm
Tmín = 183,8 K
18.b. Δt = 146,9 °C
183,92 kJ
6,08 106 baria
20.b. 0,98 atm
2·107 Pa
22. psistólica = 1,60 104 Pa = 1,60 105 baria
pdiastólica = 1,07 104 Pa = 1,07 105 baria
23. 4·109 J = 4·1016 erg
33
ΔT = 146,9 K
Unidad III: “Potencias de diez y escalas logarítmicas”
Potencias de diez
Tanto en física como en química o en biología es necesario realizar cálculos con cantidades muy
grandes como por ejemplo:
••Masa de la Tierra: 6240000000000000000000000 kg (seis cuatrillones doscientos cuarenta mil
trillones de kg)
••Número de Avogadro: 602200000000000000000000 (seiscientos dos mil trescientos trillones de
partículas)
••Número de pares de bases en el genoma humano 3000000000 (tres mil millones)
O muy pequeñas:
••Carga del electrón:
0,00000000000000000016 C (dieciséis trillonésimos de coulomb)
••Masa de un átomo de hidrógeno 0,00000000000000000000000000166 kg
Para evitar errores al escribir estos números (incorporando ceros de más o de menos) se suele
usar una notación compacta llamada notación científica, teniendo en cuenta que cualquier número
puede escribirse de la forma N ⋅ 10n
En donde N es un número comprendido entre 1 y 10 (no necesariamente entero) y n un número
entero (positivo o negativo)
Básicamente la técnica para determinar en número n consiste en contar el número de lugares que
debe correrse la coma decimal (si es que está presente) hasta número N. Si se debe correr hacia
la izquierda n será positivo, mientras que si se corre hacia la derecha negativo.
Los siguientes ejemplos aclaran el método
Supongamos que debemos expresar en notación científica el número
3451234,378 para llegar al número 3 debemos correr la coma seis lugares y por lo tanto n = 6 y el
número expresado en notación científica es:
3,451234378·106
Si debemos expresar el número 0,00000000288; vemos que para llegar al número 2 debemos
correr la coma decimal nueve lugares hacia la derecha, por lo tanto n = –9 y el número se escribe
entonces como
2,88·10–9
En los ejemplos vistos en el inicio, la masa de la Tierra se escribe en forma simplificada
34
6,24·1024 kg y la carga del electrón 1,6·10–19 C. El resto de los ejemplos se deja como ejercicio.
Algunos detalles deben tenerse presente
1) si n = 0, el número no se escribe en notación científica, por ejemplo 1,93·100 se
escribe simplemente 1,93 ya que 100 = 1
2) si n = 1, el número 1 no se escribe, por ejemplo 1,93·101 se escribe simplemente
1,93·10
3) Debe tenerse especial cuidado cuando se utiliza una calculadora científica y en la
operación debe multiplicarse o dividirse por 10n. Por ejemplo si tenemos que
realizar la operación
4
·
2
4,25 ⋅ 106
pulsamos las teclas de la siguiente forma
109
5
6
exp
÷
1
exp
9
=
Notar que escribimos 1 exp 9 y no 10 exp 9, pues si realizamos esto último
obtenemos el resultado 4,25·10–4 que es 10 veces más pequeño que el
correcto 4,25·10–3
35
Tabla de múltiplos y submúltiplos, sus nombres y prefijos
10n
Prefijo
Símbolo
Escala
Equivalencia decimal en los Prefijos del SI
12
Tera
T
Billón
1 000 000 000 000
109
giga
G
Mil millones / Millardo
1 000 000 000
6
mega
M
Millón
1 000 000
10
3
kilo
k
Mil / Millar
1 000
102
hecto
h
Cien / Centena
100
1
deca
da
Diez / Decena
10
10
ninguno
Uno / Unidad
1
10−1
deci
d
Décimo
0,1
−2
centi
c
Centésimo
0,01
−3
mili
m
Milésimo
0,001
10
−6
micro
μ
Millonésimo
0,000 001
10−9
nano
n
Milmillonésimo
0,000 000 001
−12
pico
p
Billonésimo
0,000 000 000 001
10
10
10
0
10
10
10
36
Ejemplos de uso de los múltiplos y submúltiplos
1) Los hornos de microondas funcionan emitiendo radiación electromagnética de una frecuencia
de 2,4 GHz, (2,4 gigahertz) es decir 2,4·1012 Hz.
2) Las membranas celulares tienen un espesor de 10 nm (diez manómetros) es decir 10·10–9 m.
3) La presión atmosférica normal se define como 1013,25 hPa (hectopascales) es decir 101325
Pa.
Logaritmos
Recordemos la definición de logaritmo en base b de un número real N.
Se llama logaritmo en base b de un número real N, y se escribe logb N a un número real x tal que
bx = N
Observación: La base de los logaritmos b siempre es >0
Ejemplos
log2 8 = 3
pues
23 = 8
log3 81 = 4
pues
34 = 81
log10 100000 = 6
pues
106 = 1000000
logb 1 = 0
pues
b0 = 1 para cualquier número real b > 0
Propiedades de los logaritmos
logb (N1 ⋅ N2 ) = logb (N1 ) + logb (N2 )
N
logb ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = logb (N1 ) − logb (N2 )
⎝ N2 ⎠
en particular logb
( N1 ) = − log (N )
b
logb ( N n ) = n logb (N )
Fórmula de cambio de base de logaritmos
Sean dos bases b1 y b2 de logaritmos, para calcular el logaritmo en base b2 de un cierto número N
se usa la siguiente fórmula de cambio de base
37
logb2 N =
logb1 N
logb1 b2
Ejemplo
log4 16 =
log2 16 4
= =2
log2 4 2
Logaritmos decimales y naturales
Las bases de los logaritmos más empleadas en las expresiones matemáticas son 10 (logaritmo
decimal) y e (logaritmo natural), en donde e es un número irracional (con infinitas cifras decimales
no periódicas) e = 2,2718282…..
Para estas bases, los logaritmos se acostumbran a escribir en forma más compacta como se
indica a continuación
log10 = log
loge = ln
Frecuentemente en fisicoquímica aparecen expresiones con logaritmos naturales que es
conveniente expresar en forma de logaritmos decimales para su más sencilla representación.
0,4343…
2,3026
ln N =
log N
log e
ln N =
log N
log(2,7182)
ln N =
log N
0,4343
ln N = 2,30 log N
Función inversa del logaritmo
La ecuación
logb x = y
En donde la incógnita es x, tiene por definición de la función logaritmo la solución
x = by
La función f(y) = by recibe el nombre de antilogaritmo
Así por ejemplo si queremos calcular que número x satisface la ecuación
log x = −0,025 el resultado es x = 10−0,025 o resolviendo con la calculadora x = 0,944
Ejemplo
El potencial de reposo en el interior de una membrana celular para un catión puede calcularse a
partir de la ecuación de Nernst
n
Vi = 26,7 mV ⋅ ln ⎛⎜ e ⎞⎟
⎝ ni ⎠
38
En donde ne y ni son las concentraciones del ión en el exterior e interior de la célula
respectivamente
Si el potencial de reposo para el sodio (Na+) en el interior de una célula nerviosa es 67 mV.
n
1) Calcular la relación entre las concentraciones en el exterior y el interior ⎛⎜ e ⎞⎟ de la célula.
⎝ ni ⎠
2) Si la concentración del ión sodio en el exterior de la célula es ne = 145
mol
, calcular la
m3
concentración en el interior.
Solución
1) El potencial de reposo es Vi = 67mV
De la ecuación
n
n
67mV = 26,7mV ⋅ ln ⎛⎜ e ⎞⎟ , debemos despejar ⎛⎜ e
⎝ ni ⎠
⎝ ni
⎞ , para ello pasamos 27 mV dividiendo al primer
⎟
⎠
miembro con lo que nos queda
n
67mV
= ln ⎛⎜ e ⎞⎟
⎝ ni ⎠
26,7mV
n
2,51 = ln ⎛⎜ e ⎞⎟ o bien
⎝ ni ⎠
n
ln ⎛⎜ e ⎞⎟ = 2,51
⎝ ni ⎠
Aplicando la función inversa del logaritmo natural es decir ex nos queda
ne
= e2,51
ni
o sea
ne
= 12,3
ni
2) La concentración de Na+ en el interior será
mol
145 3
ne
m
ni =
=
12,3
12,3
ni = 11,8
39
mol
m3
Representaciones gráficas en escalas logarítmicas
sustancia
Supongamos que tenemos una tabla como la de la
M
D
(dalton)
m2/s
–9
oxígeno
32
1·10
glucosa
180
5·10
–10
la masa molecular M expresada en daltons (un dalton es
sucrosa
390
4·10
–10
una unidad que equivale a la masa de un átomo de
rafinosa
580
3,3·10–10
inulina
5000
1,8·10–10
ribonucleasa
13500
1,1·10
figura, en donde figura los nombres de varias sustancias,
hidrógeno), y en la tercera columna el coeficiente de
difusión D de esta sustancia en agua a 20°C.
Si representamos en un gráfico x-y, con escala lineal el
coeficiente de difusión en función de la masa molecular
–10
β-lactoglobina
35000
8·10
–11
hemoglobina
68000
7·10
–11
catalasa
250000
4·10–11
obtenemos una serie de puntos como muestra la figura
No se observa ningún patrón de que alguna función conocida coincida con la serie de puntos.
Cuando ocurre una situación como la presentada, una forma de lograr identificar alguna relación
entre los valores de las abscisas y los de las ordenadas es realizar una transformación de los
datos. Existen muchas formas de realizar transformaciones de los datos, por ejemplo elevar a
alguna potencia los valores de las abscisas o aplicarles alguna función como la logarítmica.
Muchos de los fenómenos que suelen presentarse en física biológica, como se verá en los
ejercicios propuestos, se logran explicar más fácilmente a través de la relación de los logaritmos
de las variables que los describen.
El ejemplo presentado del coeficiente de difusión de una sustancia en función de la masa
molecular es también uno de estos casos.
40
Para explicar como representar valores en gráficos logarítmicos, comencemos calculando los
logaritmos de los números naturales del 1 al 10, que expresaremos con dos cifras decimales
log(1) = 0,00
log(2) = 0,30
log(6) = 0,78
log(7) = 0,85
log(3) = 0,48
log(4) = 0,60
log(8) = 0,90
log(9) = 0,95
log(5) = 0,70
log(10) = 1,00
Si representamos los valores de los logaritmos anteriores en un segmento cuyos extremos son el
cero y el uno, estos quedan representados por los puntos de la figura
Los logaritmos del 10 al cien se obtienen fácilmente de los valores de la tabla xx corriendo
sumando una unidad, ya que por ejemplo log(50) = log(5 ·10) = log(5) + log(10) = log(5) +1
41
log(10) = 1,00
log(20) = 1,30
log(30) = 1,48
log(60) = 1,78
log(70) = 1,85
log(80) = 1,90
log(40) = 1,60
log(50) = 1,70
log(90) = 1,95
log(100) = 2,00
Podemos realizar lo mismo ubicando los logaritmos de los números del 100 al 100.
Si unimos los tres segmentos y colocamos marcas que representen algunos de los logaritmos del
1 al 1000, se obtiene una escala logarítmica como muestra la figura
Observemos algunas cuestiones
1) En cada segmento 1-10; 10-100; 100-1000 el espaciamiento entre los valores de
logaritmos no es el mismo, sino que va disminuyendo hacia la derecha.
2) El punto medio del segmento 1-10 no corresponde al valor 5, sino que aproximadamente al
valor 4. Lo mismo sucede en los segmentos 10-100 y 100- 1000 en donde los puntos
medios están ubicados cercanos al los valores 40 y 400 respectivamente.
3) En una escala lineal del ancho de la página en donde se representen los números
comprendidos entre el 1 y el 1000 estaría tan comprimida que no se distinguirían unos de
otros.
En esta escala podemos representar tanto números pequeños como por ejemplo el 7 o grandes
como el 850. Esto se muestra en la figura por medio de puntos
Notar que el valor 850 está representado no exactamente en la mitad del intervalo 800-900, sino
ligeramente hacia la derecha de este punto medio.
42
Veamos ahora cómo representar un par de valores en un gráfico doble logarítmico como el de la
figura xx, eligiendo los valores correspondientes a la glucosa con una masa molecular de 180
y un coeficiente de difusión de 5·10–10 m2/s.
Localizamos primeramente el valor 180 en el eje de las abscisas, que está próximo al valor 200 y
levantamos una línea vertical que pase por esta posición. A continuación, en el eje de las
ordenadas localizamos el valor 5·10–10 y trazamos una línea horizontal que pase por este unto. La
intersección de ambas líneas da el punto buscado correspondiente a al glucosa.
Ejemplo
Como puede verse en la figura los puntos correspondientes al ejemplo se encuentran
prácticamente alineados. En la figura xxx se ha trazado aproximadamente la línea que une estos
puntos
43
La ecuación de esta recta es
log(D ) = −0,35 log(M ) − 8,5
Supongamos que se quiere determinar la masa molecular de una prolactina por medio del su
difusión agua, obteniéndose un valor de 10–10 m2/s. ¿Cuál es el valor de la masa molecular?
Reemplazando en la ecuación anterior
log(10−10 ) = −0,35 log(M ) − 8,5
Y despejando
−10 = −0,35 log(M ) − 8,5
0,35 log(M ) = 1,5
log(M ) =
1,5
= 4,3
0,35
M ≅ 20000
M = 104,29
44
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestran los valores de la
presión del vapor de agua en función de para ciertas
temperaturas medidas en °C.
Mostraremos en este ejemplo que los logaritmos de los
valores de las presiones de vapor están relacionados
con las inversas multiplicativas de las temperaturas
absolutas.
t (°C)
0
5
10
15
20
30
37
40
p(kPa)
0,64
0,87
1,2
1,7
2,3
4,3
6,3
7,4
t (°C)
60
80
100
150
200
250
300
374,1
p(kPa)
20,3
47,6
101,3
480
1500
4000
8600
22000
Para ello calculamos primeramente las temperaturas en kelvin (T), sumando 273 a las
temperaturas en °C y luego invertimos los valores es decir calculamos 1/T.
Los resultados los pueden verse en la tabla xxx
t (°C)
0
5
10
15
20
30
37
40
T (K)
273
278
283
288
293
303
310
313
1/T (1/K)
0,0037
0,0036
0,0035
0,0035
0,0034
0,0033
0,0032
0,0032
t (°C)
60
80
100
150
200
250
300
374,1
T (K)
333
353
373
423
473
523
573
647,1
1/T (1/K)
0,0030
0,0028
0,0027
0,0024
0,0021
0,0019
0,0017
0,0015
Seguidamente por comodidad para representar en escala logarítmica los valores de presión los
escribimos en notación científica junto a los valores obtenidos de las inversas de las temperaturas
absolutas
1/T (1/K)
0,003663
0,003597
0,003534
0,003472
0,003413
0,0033
0,003226
0,003195
p(kPa)
0,64
0,87
1,2
1,7
2,3
4,3
6,3
7,4
1/T (1/K)
0,003003
0,002833
0,002681
0,002364
0,002114
0,001912
0,001745
0,001545
45
p(kPa)
20,3
47,6
101,3
480
1500
4000
8600
22000
100000
10000
1000
100
10
1
0,1
0,001
0,002
0,003
0,004
Ejercicios
1. Sin usar la calculadora, y con ayuda de los resultados del ejercicio 1 y las propiedades de los
logaritmos, determiná los logaritmos decimales de los siguientes números. (Expresá el resultado
con dos cifras decimales).
log(100) =
log(300) =
log(3000) =
log(9000) =
log(0,8) =
log(0, 07) =
2. Representar en la siguiente escala los valores de los logaritmos hallados en el ejercicio 1)
46
5. El pH de una solución se define como pH = − log ⎡ H + ⎤
⎣
⎦
En donde ⎡ H + ⎤ es la concentración de ión hidrógeno en la solución
⎣
⎦
5.a. Calcular el pH de las siguientes soluciones sabiendo que la concentración de ión hidrógeno
es:
a) ⎡ H + ⎤ = 10−9
⎣
b) ⎡ H + ⎤ = 10−7
⎦
⎣
c) ⎡ H + ⎤ = 10−3,5
⎦
⎣
⎦
5.b. Despejar de la ecuación pH = − log ⎡ H + ⎤ , la concentración de ión hidrógeno ⎡ H + ⎤
⎣
⎣
⎦
⎦
5.c. Calcular el valor de ⎡ H + ⎤ para las siguientes soluciones conociendo que su pH es:
⎣
a)
1
⎦
b)
12
c)
4,3
6. Los siguientes valores corresponden a la masa corporal (en kg) de una especie de cucaracha
(Periplaneta americana) y de la longitud de un segmento de pata (en metros)
Masa
Longitud
(kg)
(m)
3·10
-6
4,1·10-4
1,3·10-5
6,5·10-4
9·10-5
1,2·10-3
1·10-3
2,7·10-3
Adaptado de: Prange, H. D. 1977. The scaling and mechanics of arthropod exoskeletons. In Scale
Effects in Animal Locomotion, (ed. T. J. Pedley). London: Academic Press.
Representar en el siguiente gráfico logarítmico la longitud del segmento de pata en función de la
masa corporal
47
7. En la siguiente tabla se presentan la masa y la tasa metabólicas basal (TMB) para distintos
animales
Animal
Masa
TMB
(kg)
(watt)
ratón
0,012
0,2
conejo
1,5
5
cerdo
70
40
caballo
200
300
elefante
2500
2000
Adaptado de: Smil V. 2000. Laying down the law. Nature: 403. p 597
Representar en la siguiente tabla la TMB en función de la masa de cada animal
48
8. El decibel (dB) es una unidad utilizada para medir el nivel de potencia o intensidad del ruido. Se
utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones
de intensidad sonora sigue una escala aproximadamente logarítmica, no lineal.
El rango de potencias que puede registrar el oído humano es muy amplio desde
10–12 W (umbral de audición) hasta 102 W (umbral de dolor), para ello se emplea una escala
logarítmica definida como:
P
I = 10 log
10
−12
dB
W
En donde P es la potencia sonora medida en watts que llega al oído.
8.a. Calcular la intensidad sonora para un ruido de
a) 10–8 W
b) 4,5·10–6 W
c) 1,5 W
49
8.b. De acuerdo a los resultados anteriores y empleando la siguiente tabla estimar a que tipo de
nivel de intensidad sonora se asemejan los ruido anteriores.
Nivel de intensidad del sonido
Explosión del Volcán Krakatoa. Se
180 dB
cree que es el mayor sonido
80 dB
Tren
registrado en la historia.
140 dB
Umbral de dolor
70 dB
Aspiradora
130 dB
Avión despegando
50/60 dB
Aglomeración de gente
120 dB
Motor de avión en marcha
40 dB
Conversación
110 dB
Concierto / acto cívico
20 dB
Biblioteca
100 dB
Perforadora eléctrica
10 dB
Respiración tranquila
90 dB
Tráfico / Pelea de dos personas
0 dB
Umbral de audición
8.c. Un mecánico emplea una perforadora eléctrica. ¿Cuál es la potencia sonora que emite este
dispositivo?
50
Unidad V: Respuestas
1.
log(1) = 0, 00
log(2) = 0,30
log(3) = 0, 48
log(6) = 0, 78
log(7) = 0,85
log(8) = 0,90
log(4) = 0, 60
log(5) = 0, 70
log(9) = 0,95
log(10) =1, 00
2.
log(100) = 2, 00
log(30) = 1, 48
log(70) = 1,85
3.
log(100) = 2
Justif.: log(100) = log(102 ) = 2 ⋅ log(10) = 2 ⋅1 = 2
log(300) = 2, 48 Justif.: log(300) = log(3 ⋅100) = log(3) + log(100) = 0, 48 + 2 = 2, 48
log(3000) = 3, 48 Justif.: log(3000) = log(3 ⋅1000) = log(3) + log(1000) = 0, 48 + 3 = 3, 48
log(9000) = 3,95 Justif.: log(9000) = log(9 ⋅1000) = log(9) + log(1000) = 0,95 + 3 = 3,95
log(0,8) = −0,10 Justif.: log(0,8) = log(8 ⋅ 0,1) = log(8) + log(10−1 ) = 0,90 − 1 = −0,10
log(0, 07) = −1,15 Justif.: log(0, 07) = log(7 ⋅ 0, 01) = log(7) + log(10−2 ) = 0,85 − 2 = −1,15
4.
5.a.
a) pH = 9
b)
pH = 7
c) pH = 3,5
51
5.b.
⎡ H + ⎤ = 10− pH
⎣ ⎦
5.c.
a) ⎡ H + ⎤ = 10−1
⎣
⎦
b) ⎡ H + ⎤ = 10−12
⎣
⎦
6.
52
c) ⎡ H + ⎤ = 10−4,3
⎣
⎦
7.
8.a.
a) I = 40 dB
b) I = 66,5 dB
c) I = 121,76 dB
8.b.
a) Conversación
b) Aspiradora
c) Motor de avión
8.c.
I = 100 dB
P = 10–2 W
53
APÉNDICE I FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos el triángulo rectángulo de la figura A1.1. cada uno de
los lados a y b reciben el nombre de catetos, mientras que el lado
mayor c se llama hipotenusa. En particular, respecto del ángulo α,
el lado b recibe el nombre de cateto opuesto, mientras que
Fig. A1.1. Triángulo rectángulo
el lado a se llama cateto adyacente.
empleado para definir las funciones
Se definen las funciones trigonométricas (tri = tres, gono = ángulo, métricas = medición) del
ángulo α, seno, coseno y tangente
sen α =
cateto opuesto b
=
hipotenusa
c
(A1.1)
cos α =
cateto adyacente a
=
hipotenusa
c
(A1.2)
tan α =
cateto opuesto
b
=
cateto adyacente a
(A1.3)
Propiedades
1) Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidad ya que resultan del cociente
entre dos longitudes
2) El seno y el coseno de un ángulo adoptan valores comprendidos en el intervalo [–1;1], mientras
que la tangente en el intervalo [– ∞ ; ∞ ]. En el caso de ángulos del primer cuadrante como el caso
de la figura A1.1. ) el seno y el coseno de un ángulo adoptan valores comprendidos en el intervalo
[0;1], mientras que la tangente en el intervalo [0; ∞ ].
3) El seno de un ángulo dividido el coseno de ese mismo ángulo es igual a la tangente.
Demostración
b
sen α c/ b
pero, de la expresión A1.3
= =
cos α a a
c/
b
es igual a tan α
a
sen α
= tanα
cos α
(A1.4)
4) El cuadrado del seno de un ángulo más el cuadrado del coseno de ese mismo ángulo es igual 1
54
Es decir: sen2 α + cos2 α = 1
A esta ecuación se la llama relación pitagórica
Demostración:
sen2 α + cos2 α =
( bc ) + ( ac )
2
2
b
a
b2 + a2
+
=
c2
c2
c2
2
=
2
Pero como del teorema de Pitágoras c 2 = b 2 + a 2
Consideraremos ahora las funciones trigonométricas de ángulos en otros cuadrantes, para ello
consideramos el llamado círculo trigonométrico de radio ρ llamado radio vector.
Fig. A1.2a. Un ángulo α en el primer
Fig. A1.2b. Un ángulo β en el segundo
cuadrante.
cuadrante.
Fig. A1.2c. Un ángulo γ en el tercer
Fig. A1.2d. Un ángulo δ en el cuarto
cuadrante.
cuadrante.
Las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante se definen de la misma forma que en el
primero, cambiando la nomenclatura (forma de llamar las cantidades que definen las funciones) y
la notación (forma de representar estas cantidades).
55
A la cantidad x se la llama abscisa, pudiendo ser un número positivo, negativo o cero. La cantidad
y se la llama ordenada, pudiendo ser también >0, <0 o = 0. Se indicó ya que ρ se lo llama radio
vector, pero éste es siempre positivo.
Las definiciones de las funciones trigonométricas principales son:
sen α =
ordenada
y
=
radio vector ρ
(A1.5)
cos α =
abscisa
x
=
radio vector ρ
(A1.6)
tan α =
ordenada y
=
x
abscisa
(A1.7)
Puede comprobarse fácilmente que la relación A1.4 sigue siendo válida con esta generalización
de las definiciones.
Signos de las funciones trigonométricas
Teniendo que en cuenta que tanto la abscisa como la ordenada pueden adoptar valores positivos,
negativos o cero de acuerdo al ángulo que las defina, también las funciones trigonométricas de los
ángulos en distintos cuadrantes pueden ser >0, = 0 o < 0.
Así por ejemplo, en el segundo cuadrante (figura A1.2b.) la ordenada es positiva, mientras que la
abscisa es negativa y por lo tanto, el seno tomará valores positivos en este cuadrante y el coseno
y la tangente valores negativos.
En la figura A1.3. se muestran los signos que adoptan las funciones trigonométricas en los cuatro
cuadrantes y en los límites de estos (ángulos de 0°, 90°, 180° y 270°)
coseno
seno
tangente
Fig. A1.3. Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
Funciones trigonométricas inversas
56
Las funciones trigonométricas inversas permiten calcular el valor del ángulo (o de los ángulos)
para el cuál una función trigonométrica tiene un cierto valor.
Las funciones inversas del seno, coseno y tangente se llaman arcoseno (arcsen (x)), arcocoseno
(arcos(x)) y arcotangente (arctan(x)) respectivamente.
Siempre que exista solución, para toda función trigonométrica inversa existen dentro del intervalo
[0°;360°] pueden existir dos ángulos x tales que f ( x ) = a , en donde f es la función trigonométrica
inversa
Ejemplo
Supongamos que se desea calcular el ángulo α tal que sen (α ) = 0, 5 , la solución se obtiene, por
ejemplo con la calculadora α = arcsen ( 0, 5 ) . El resultado que arroja la calculadora es 30°
(debe programarse la calculadora de tal forma que los ángulos se midan en grados sexagesimales
es decir, la función deg)
Sin embargo, analizando la figura A1.4. vemos que también existe un segundo ángulo β de 150°
tal que sen β = 0,5. El motivo es que en ambos casos el valor de la ordenada y (y del radio vector
es el mismo)
En general, para la función arcsen(x), si la calculadora da como resultado un ángulo α, el otro
ángulo β es el suplementario de α, es decir
β = 180° − α
(A1.8)
Las calculadoras siempre dan como resultado para la determinación de una función trigonométrica
inversa un solo ángulo comprendido ente –90° y 90°.
Para la función arcos(x),la fórmula de transformación es:
β = 360° − α
(A1.9)
Mientras que para la función arctan(x)
β = 180° + α
(A1.10)
Ejemplo
Hallar los ángulos menores que un giro (360°) tales que verifican las siguientes ecuaciones
(a) sen(α ) = 0
(b) sen(α ) = −1
(c) cos(α ) =
1
2
(d) tan(α ) = 4, 25
Solución
(a) De la figura A1.3 (izq) vemos que los valores α iguales a 0° y 180° satisfacen esta ecuación.
Otra forma: empleando la calculadora obtenemos que arcsen(0) = 0° (primera solución). De la
ecuación (A1.8), se obtiene que 180° es otra solución.
57
(b) sen(α ) = −1 De la figura A1.3 (izq), vemos que α = 270° es solución del problema. No hay
ninguna otra solución en el intervalo [0°;360°] pues si aplicamos la relación (A1.8), se obtiene un
ángulo negativo.
(c) cos(α ) =
1
. Con la calculadora obtenemos que arccos(0,5) = 60°, por lo tanto α = 60° es una
2
solución. De (A1.9) β = 360° − 60° = 300° es otra solución como se puede comprobar calculando
cos(300°)
(d) tan(α ) = 4, 25 . De la calculadora obtenemos que arctan(4,25) = 75,76°, la otra solución se
obtiene de la ecuación (A1.10) β = 180° + 75, 76° = 255, 76°
Ejercicios
A1.1. Calcular los valores de α en los siguientes casos
(a) sen(α ) = 0, 5 y cos(α ) < 0
(b) tan(α ) = 3 y sen(α ) < 0
(c) sen(α ) = −
7
y cos(α ) < 0
16
(d) tan(α ) = − 0, 75 y cos(α ) < 0
A1.2. ¿Qué longitud debe tener una escalera para poder alcanzar un estante ubicado a 2,30 m de
altura, formando un ángulo de 10° con la vertical?
A1.3. Calcular las incógnitas los valores del ángulo y de los lados en los siguientes triángulos
Datos
A1.3.a.
Incógnitas
a=4m
b=
β = 60°
c=
α=
A1.3.b.
a = 4 cm
c=
b = 3 cm
α=
β=
A1.3.c.
c = 10 m
a=
α = 35°
b=
β=
A1.4. El valor del seno de un ángulo del primer cuadrante es 0,33, calcular cuánto vale la tangente
y el coseno de ese ángulo
58
APÉNDICE II ÁREAS Y VOLÚMENES
Áreas de algunas figuras
Las figuras más usuales cuyas áreas o perímetros deban conocerse
triángulo
rectángulo
Perím = A1 + A 2 + A 3
S=
b⋅h
2
trapecio
Perím = 2 (a + b )
círculo
Perím = 2 π r
Perím = A1 + A 2 + A 3 + A 4
S = a⋅b
S=
(B + b ) ⋅ h
2
S =π ⋅r2
S=
Fig. 2.2. Perímetro y superficie de algunas figuras.
π ⋅d2
A : lado; r : radio; d : diámetro.
VOLÚMENES Y ÁREAS LATERALES DE ALGUNOS CUERPOS
Cubo de arista a
V = a3
Prisma de aristas a, b y c
V = abc
A = 6 a2
Cilindro de radio R y altura H
V =π R H
2
V=
π D2 H
Abase = π R
A = 2a b + 2bc + 2a c
Esfera de radio R
2
4
V = π R3
3
A = 4π R 2
π D3
A = π D2
V=
Alateral = 2π R H
4
59
6
4