Formulario sobre igualadores y Viterbi

Formulario – igualadores – detector ML Luca Mar3no Francisco J. Rodríguez Ruiz Apuntes-­‐Laboratorio no revisados (cuidado!!!) Detección cuando hay ISI •  Cuando tenemos ISI (interferencias entre símbolos) tenemos 3 alterna3vas:   Óp3ma: (Decisor óp3mo en presencia de ISI) detección de la secuencia de máxima verosimilitud (con el algoritmo de Viterbi lo hacemos de forma eficiente).   Subóp3mas: uso de igualadores de canal y luego un decisor símbolo a símbolo (sin memoria).   La peor en términos de prestaciones: también podríamos u3lizar directamente un decisor símbolo a símbolo (sin memoria), si es el caso retardando la decisión, pero claramente nos da peores prestaciones aunque menor complejidad. €
Criterio MMSE Criterio “Zero forcing” 1
jω
− jωd
W (e ) =
e
P(e jω )
€
Ignorando el ruido W (e jω ) =
P * (e jω )
jω
2
P(e ) +
σ z2
Es
e− jωd
Sin restricciones => Filtro IIR (todo polos -­‐ AR) €
Sin restricciones => Filtro IIR (ARMA) −1 H 

H
w = (P P) P c
Con restricciones=> Filtro FIR Ignorando el ruido €

σ z2
H
w = P P + Es I
(
Con restricciones=> Filtro FIR )
−1

P c
H
Construcción matriz de “convolución de canal” P K = memoria p[n] (longitud canal -1)
K W +1 = coeficientes filtro igualador w[n]
⎡ p[0]
0
0
0 ⎤
⎢
⎥
p[1]
p[0]
0
0
⎢
⎥
⎢ ...
p[1] p[0]
0 ⎥
⎢
⎥
...
p[1] p[0] ⎥
P = ⎢ p[K ]
⎢ 0
p[K ]
...
p[1] ⎥
⎢
⎥
0
0
p[K
]
...
⎢
⎥
€
⎢⎣ 0
0
0
p[K ]⎥⎦
K W +1
Siempre más líneas, que columnas (matriz rectangular) €
K + K W +1
Calculo del coeficientes del filtro w[n] d = retardo decisión
€
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢...⎥
 ⎢ ⎥
c[d]
c = ⎢ 1 ⎥
K + K W +1
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
€
0
⎢ ⎥
€ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
€
€
€
€
−1 H 

H
w = (P P) P c

σ z2
H
w = P P + Es I
(
)
−1
Vector columna de dimensión K W +1

P c
H
Prestaciones – Prob. de Error Probabilidad de error de los igualadores SIN restricción de coeficientes Distancia mínima entre símbolos de la constelación Numero máximo de símbolos a distancia dmin en la constelación 1
σ =σ
2π
2
ed
€
2
z
∫
+π
−π
€1
P(e jω )
2
⎛
d min
⎜
Pe ≈ kQ
⎜ 2 σ 2
ed
⎝
dω
⎞
⎟
⎟
⎠
σ e2d = σ z2
€
1
2π
∫
1
+π
−π
jω
2
P(e ) +
σ z2
Es
dω
Probabilidad de error de los igualadores con restricciones de coeficientes Solución óp3ma 

c = Pw
Distancia mínima entre símbolos de la constelación Numero máximo de símbolos a distancia dmin en la constelación σ =σ
⎞
⎟
⎟
⎠
Potencia del ruido filtrado Kw
2
z'

c = [c[0], c[1],..., c[K + K w ]]
⎛
d min c[d]
⎜
Pe ≈ kQ⎜
2 € 2
2
σ
⎝ € z ' + σ ISI
€
2
z
∑ w[k]
k =0
Potencia ISI residual K +K w
2
con el criterio mínimos cuadrados 2
σ ISI
= Es
∑ c[k]
k=0
k≠d
2
Probabilidad de una secuencia errónea ⎛
⎞
D
Pe ≈ κ 0Q⎜⎜ min2 ⎟⎟
⎝ 2 σ z ⎠
Dmin =
€
Probabilidad de error de un detector ML de secuencias (probabilidad de error con u3lizando el algoritmo de Viterbi) representa la distancia Euclídea mínima entre dos secuencias sin ruido. κ 0 = representa el máximo número de secuencias recibidas €
€
que se hallan a una distancia Dmin de una posible secuencia recibida. Resumen sobre probabilidades de error ⎛
⎞
D
Pe ≈ κ 0Q⎜⎜ min2 ⎟⎟
⎝ 2 σ z ⎠
Detector ML (con alg. Viterbi) €
⎛
d min
⎜
Pe ≈ kQ
⎜ 2 σ 2
ed
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
d min c[d]
⎜
Pe ≈ kQ⎜
2
2
2
σ
+
σ
⎝
z'
ISI
Igualadores sin restricciones €
⎞
⎟
⎟
⎠
Igualadores con restricciones €