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Apéndice Matemático Cap. 5.
Producción (enfoque estructurado)
Dentro del capı́tulo de producción, uno de los conceptos más importantes para el análisis
está representado por la ecuación (5.3) de tu texto; La tasa Marginal de Sustitución Técnica
(TMST) de trabajo por capital.
Tasa marginal de sustitución técnica
(de trabajo por capital)
= T M ST (de L por K)
= −(Pendiente de la isocuanta.)
Cambio en el insumo capital
=
Cambio en el insumo trabajo
donde todos estos cambios se refieren a una situación donde la producción (q) se mantiene constante.
Por otro lado, por la ecuación (5.4) tenemos
T M ST (de L por K) =
P M gL
P M gK
La cual, recordando el apéndice matemático del capı́tulo 2, puede ser expresada utilizando
el cálculo diferencial parcial de la siguiente manera.
T M ST (de L por K) =
P M gL
=
P M gK
∂f (K,L)
∂L
∂f (K,L)
∂K
(1)
es la productividad marginal de cada factor (particularmente del trabajo en este
donde ∂f (K,L)
∂L
caso), y f (K, L) es la función de producción.
Ejemplo 1 De acuerdo a la función de producción siguiente
√
f (X, Y ) = XY
determinar la productividad marginal de X, la productividad marginal de Y, y por último la TMST.
Solution 1 Recordando el apéndice matemático del capı́tulo 2, esta función de producción es exactamente la misma (en esa ocasión fue analizada como función de utilidad), por lo tanto, la P M gx ,
es determinada de la siguiente manera.
i 1 Y ∂f (X, Y )
∂ h√
2
√
P M gx =
=
XY =
∂X
∂X
2 2 XY
1
Por otro lado, la P M gy será.
P M gy =
i 1 X ∂f (X, Y )
∂ h√
2
√
XY =
=
∂Y
∂Y
2 2 XY
Y por lo tanto, la T M ST será.
T M ST (de X por Y)
=
=
=
2
P M gX
=
P M gY
Y
√
2
XY
1
2
1
2
Y
X
X
√
2
XY
∂f (X,Y )
∂X
∂f (X,Y )
∂Y