aplicación derivadas

TEMA 7 Aplicación de derivadas
APLICACIÓN DERIVADAS
1
RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU
DERIVADA
 Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0.
 Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.
EJERCICIOS:
1º.- Dada la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.
b) Dónde decrece.
Selectividad nº 16, 40 a)
2
RELACIÓN ENTRE CURVATURA Y SEGUNDA DERIVADA
Si f ´´(x0) > 0→ f es cóncava en x0
(la curva queda por arriba de la
Si f ´´(x0) < 0→ f es cónvexa en x0
tangente)
x0
x0
EJERCICIO: Dada la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde es cóncava.
b) Dónde es convexa.
3
EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS
Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0A
si f(x0)f(x) xA [f(x0)f(x) xA]
Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0A
cuando E(x0) tal que
f(x0)f(x) x E(x0)
( f(x0)f(x) xE(x0) )
4
(AD)
(AD)
ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN
Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en
él, puede presentar extremos en:
 Derivables

Los Puntos Interiores →
 No Derivables
(absolutos o relativos)
Los Extremos del Intervalo (Absolutos)
pág. 95
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
a
4.1
xo
x1
x2
x3
b
EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES
Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x)=0. En ellos la recta
tangente es horizontal
 Si una función alcanza un Máximo en un punto c(a,b) en el que es
derivable:
 f '(c)  0 Condición Necesaria

 f ' ' (c)  0, C.S .

La condición suficiente puede
sustituirse por el estudio de la
monotonía a izq y dcha de los
valores que anulan la primera
derivada
Si una función alcanza un mínimo en un punto c(a,b) en el que es
derivable:
 f '(c)  0 Condición Necesaria

 f ' ' (c)  0, C.S .
La condición suficiente puede
sustituirse por el estudio de la
monotonía a izq y dcha de los
valores que anulan la primera
derivada
EJERCICIO: Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = x3 – 3x2 – 9x + 5. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos.
b) Ídem para y = y = –3x4 + 4x3
4.2
EXTREMOS ABSOLUTOS
Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]:
1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta
anterior
2º.- se calcula f(a) y f(b)
3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de
la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el
mínimo absoluto.
EJERCICIOS:
pág. 96
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1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 + x - 9 en el
intervalo [0,3].
Selectividad nº 31 a, b, nº 33, nº 34 a), 48, 50a
5
ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN UNA FUNCIÓN
Son aquellos que separan arcos de curva cóncavos y
convexos, es decir, en ellos cambia la curvatura de la
función. En ellos la tangente atraviesa la curva.
Si una función presenta un punto de inflexión en x0,
en el que es dos veces derivable:
x0
 Condición Necesaria : f  (c)  0
Condición Suficiente : Se estudia la curvatura a ambos


 lados del punto;si cambia en x  c hay inflexión
EJERCICIOS:
1.- Determinar los puntos de inflexión de la función: y = x3 – 3x2 – 9x + 5.
2.- Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ' (0) = 2 y tiene
dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.
a) Halla a, b, c y d.
b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
3.- La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene
extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c.
4.- Halla los coeficientes a, b, c, d de la función f(x) = ax3+bx2+cx+d. sabiendo que la
ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1,0) es y= - 3x+3, y
que la función tiene un extremo relativo en x = 0
Selectividad nº: 22, 26 a), 36, 41 a) b), 43a) b)
6
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
En estos problemas se trata de conseguir un volumen, unos beneficios, una
población… máximos; o unos costes, un área… mínimos. En ellos nos interesan los
extremos absolutos, por lo que siempre habrá que calcular el valor de la función en los
extremos del intervalo.
EJERCICIO:
1º.- De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las
dimensiones de aquel cuya área es máxima.
pág. 97
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
2º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal
menor?
3º.- Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen
igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de
hojalata.
4º.- Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área
máxima?
5º.- Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad
máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?
6º.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8
dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea
mínima.
7º.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se
inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del
triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales:
a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di
cuál es el dominio de la función.
b) Halla el valor máximo de esa función.
8º.- Halla la base y la altura de una cartulina
rectangular de perímetro 60 cm que, al dar
la vuelta completa alrededor de un lado
vertical, genere un cilindro de volumen
máximo.
9º.- Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y
capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado
material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro.
Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.
10º.- Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sin
tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del
cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de
la caja no puede pasar de 2 dm, ¿cuál es la medida del lado del cuadrado que
debemos recortar?
11º.- El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene
dado por f (t) = 9 - (t - 2)2, 0 ≤ t ≤ 4,5. Deduce en que valor de t alcanzo su
máximo valor y en que valor de t alcanzo su valor mínimo.
12º.- Dos postes de 12 y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un
cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos.
pág. 98
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea
mínima?
Selectividad Todos excepto los 4 primeros. Empezar por el final (no olvidar 43c)
7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
A pesar de que, para representar una función, siempre haremos el mínimo número de
cálculos, suele ser imprescindible:
1. Dominio y continuidad
2. Asíntotas y Ramas Infinitas
3. Monotonía y Extremos
4. Curvatura y puntos de inflexión
En el supuesto de que estos cálculos no aporten los datos suficientes para la
representación, se podrá completar con: puntos de corte con los ejes, simetrías, tabla de
valores...
7.1
REPASO DE ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS
Asíntota horizontal:
 Si lim f ( x)  l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la derecha es
x 

la recta de ecuación: y= l
Si lim f ( x)  l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la izquierda
x 
es la recta de ecuación: y= l
Asíntota Vertical:
Si lim f ( x)  , a   , hay asíntota vertical; es la recta de ecuación x= a.
x a
Para saber la posición de la curva respecto a la asíntota es preciso calcular los
límites laterales.
Asíntota Oblicua:
 Si:
f ( x)
 m  0 y lim  f ( x)  mx  n siendo m, n  
x 
x 
x 
x
Entonces la recta y= mx+n es una asíntota oblicua por la derecha. Para
calcularla por la izquierda, se efectúan los mismos cálculos con x   .

P( x) 
 la localización de la asíntota
 En el caso de funciones racionales  y 
Q( x) 

oblicua es mucho más sencilla:
Si grado de P(x) – grado de Q(x) = 1 hay asíntota oblicua. Su ecuación es
y= mx+n, siendo mx+n el cociente de dividir P(x) entre Q(x)
Ramas Parabólicas
lim f ( x)   , lim
pág. 99
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

lim f ( x)  
Si x
y no hay asíntota oblicua, entonces puede haber rama
parabólica. Análogamente se procede para x  

P( x) 
 si grado de P(x) – grado de
En el caso de funciones racionales  y 
Q( x) 

Q(x) > 1 hay rama parabólica
EJERCICIOS:
Selectividad: 35 a), 37 a) 43 a), 49
Representa las funciones1:
1.- y = x3 – 3x2 – 9x + 5
2.-
y
3.- y 
x2
x  3
2
x
ln x
4.-
y
5.-
y  x2 1
x
ex
Recuerda las funciones elementales ln x, ex, sen x, cos x… y sus transformadas obtenidas sumando o
restando k, a la función y a la x
1
pág. 100
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EJERCICIOS SELECTIVIDAD
1.-Un hilo de alambre de longitud dada se corta en dos trozos, formando con uno de
ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Demuestra que la suma de las
áreas es mínimo cuando el lado del cuadrado es doble que el radio del círculo. (1994)
2.- Un camión está a 975 Km al este de un automóvil y está viajando hacia el oeste a
una velocidad constante de 60 Km/h. Mientras tanto, el automóvil está yendo al norte
a una velocidad constante de 90 Km/h. ¿En qué momento estarán el camión y el
automóvil más próximos el uno del otro? (1994)
3.- En un instante t = 0 el móvil A está situado en (100,0) y el móvil B se halla en el
punto (0,5). Ambos comienzan un movimiento uniforme con velocidades v A = - 3i y
vB = 2i-j. Determinar el instante y las posiciones para las que la distancia entre
ambos móviles sea mínima. (1995)
4.- Una partícula recorre la curva y = -x2 +10x – 25 de manera que en el tiempo t
segundos ocupa la posición x = t e y = - t2 +10t – 25. Al llegar al instante t = 5
segundos se escapa por la tangente a la curva recorriendo diez unidades de longitud
en cada segundo en la dirección positiva del eje OX, es decir hacia la derecha.
Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos. (1995)
5.- Se divide un alambre de longitud 100m en dos trozos. Con uno de ellos se forma un
triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determina las longitudes de esos
trozos para que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea máxima. (1995)
6.- Representar la función f(x) tal que:
f(x) = x+6
si
x[ - 6,- 3]
f(x) = 3
si
x( - 3, 3)
f(x) = 6 - x
si
x[ 3,6]
Halla el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representa la función
f ´(x). ( A Junio 1996)
7.- Halla la base “x” y la altura “y” de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que
al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical genere un cilindro de
volumen máximo. (B Junio 1996)
8.- Un punto material recorre la parábola y2 = 8x – 9. Determinar razonadamente en que
posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (A Septiembre1996)
9.- Un hilo elástico tiene un extremo fijo en el punto O = (0,0) y el otro extremo P
recorre la curva (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4 Determinar las coordenadas de P cuando sea
máxima la longitud OP, interpretando geométricamente el resultado obtenido.
(B Junio 1997)
pág. 101
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
10.- Descomponer un segmento del longitud 20 metros en cuatro partes para obtener el
paralelogramo de la mayor área posible. (A Septiembre1997)
11.- Un punto material recorre la parábola y = x2 – 7. Determinar razonadamente la
posición o posiciones en que la distancia del punto al origen (0,0) es mínima.
(B Junio.1998)
12.- Un hilo de 100 metros se divide en dos trozos de longitudes x e y; con el primero
se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente:
a) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea
máxima.
b) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea
mínima. (B Septiembre.1998)
13.- Con un hilo de 60 cm formamos un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus
lados engendra un cilindro de área total (área lateral + área de las bases) máxima.
(B Junio 1999)
x2 y2

 1 . Deduce las posiciones
25 9
del punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máxima, y también las
posiciones de P para las que su distancia es mínima. (A Septiembre.1999)
14.- El punto P(x,y) recorre la elipse de ecuación
15.- El punto P(x,y) recorre la curva y = x2. Utilizando razonadamente el cálculo de
derivadas, calcula la posición del punto P para la cual su distancia al punto (0, -4) es
mínima. (A Junio.2000)
16.- A través de la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con
su crecimiento o decrecimiento, obtén en que puntos del intervalo [ - 2,2] son
crecientes o decrecientes las funciones:
a) f(x)= x2
b) g(x)= x3 – 7 (2000)
17.- Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes “x” e “y”. Con el trozo
de longitud “x” se forma un cuadrado y con el de longitud “y” se forma un
rectángulo, el lado mayor del cual mide el doble que el lado menor. Encuentra “x” e
“y” para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máxima. Idem
para que sea mínima. (A.Septiembre.2000)
18.- Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes “x” y
“100 – x”. Con el de longitud “x” se forma un triángulo equilátero y con el otro
segmento se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del
cuadrado.
a) Determina el dominio de la función f; es decir, los valores que puede tomar “x”
b) Con el estudio de la derivada de f obtén cuando f es creciente y cuando es
decreciente.
c) Indica razonadamente para que valor de “x” se obtiene que la suma de las áreas
del triángulo y del cuadrado es mínima. (A Junio.2001)
pág. 102
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
si  3  x  3
 4
19.- Sea la función definida por f ( x )  
Justifica si f es
7  x si 3  x  7
derivable o no en x = 3. ¿Que significado geométrico tiene el resultado obtenido?
(B Junio.2001)
20.- Descomponer un segmento de longitud 200 m en cuatro partes, de manea que esas
partes sean los lados de un rectángulo cuya área sea máxima dentro de la familia de
rectángulos de perímetro 200 m. (B Septiembre.2001)
x
21.- Considerad las funciones definidas para x ≥ 0, f ( x)  arcsen
y
1 x2
1
g( x )  arccos
. Calculad f´(x) y g´(x) expresadlas del modo más
1 x2
simplificado posible. Comparad los resultados y deducid justificadamente la
diferencia entre f(x) y g(x) (B Junio 2002)
22.-Sea f(x)=x3 + ax2 + bx + c. Hallad a, b, c sabiendo que f alcanza un máximo en x = 4 y un mínimo en x = 0 y que f(1) =1 (A Septiembre. 2002).
23.- Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x cm
y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las
expresiones de las funciones A y f tales que:
A(x) = Área del triángulo. f(x) = {A(x)}2 Indicar además entre qué valores puede
variar x.
c) Obtener, razonadamente, el valor de x para el que f(x) alcanza el valor máximo.
( B Junio.2003)
24.- En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m 2, que debe tener forma
de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 euros. Si x es la medida en metros de
uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función de f tal que f(x) sea
el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x. b) Deducir
razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo.
(A Septiembre 2003)
25.- Encontrar razonadamente el punto de la curva y=
1
1 x2
en que la recta tangente a
la curva tiene pendiente máxima y calcular el valor de esa pendiente. (Junio 2004.
3,3 puntos)
26.- Sea f(x)= x2+mx (donde m es un parámetro real) y f ’ (x) la función derivada de
f(x). Se pide:
a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x=-3/4
1,5 puntos
2b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida
entre la curva y=f(x) y la recta de ecuación y = f ‘ (x) 1,8 puntos ( septiembre
2004.)
2
Este apartado se hará en el tema de Áreas
pág. 103
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
x ln x  a si x  0


27.- Hallar las constantes reales a y b para que f(x)=  b
si x  0 sea una
 senx
si x  0

x

función continua para todo valor de x. (3,3 puntos. Junio 2005)
28.- En el plano se tiene la curva y = x2+2x – 1. Encontrar razonadamente las
ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2 , 3) y son tangentes a dicha
curva. (Septiembre 2005. 3,3 puntos).
29.- a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuántos radianes α debe
medir su ángulo central para que su área sea máxima? (1,8 puntos). (Nota:
Perímetro = 2R +R α ; Área = ½ α R2)
b) El, área de otro sector circular es de 1m2. ¿Para qué radio es mínimo su
perímetro? (1,5 puntos. Septiembre 2005).
30.- Dada la función y= Ln x en el intervalo [1,e], siendo e= 2,718281…:
a) Razonar que existe un punto P de la gráfica y= Ln x en el que la recta tangente a
ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(1,0) y B(e,1)
(1 p)
b) Obtener el punto P considerado en a) (1,8 p)
c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y= Ln x en P (0,5 p) Junio 06
31.- a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función g(x)= x2 – 4, cuando
 1  x  4 (1,1 p)
b) Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función
f ( x)  x 2  4 en el intervalo [-1,4] (1,1 p)
c) 3Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y= f(x) y las
rectas x= -1 e y= 0 (1,1 p) Junio 06
32.- El coste de un marco de una ventana rectangular es de 12,5 € por metro lineal de
los lados verticales y 8€ por metro lineal de los lados horizontales.
a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana
de 1 m2 de superficie para que resulte lo más económico posible (2,3 p)
b) Calcular, además el coste de ese marco más económico posible considerado en a)
(1 p)
Junio 2006
33.- a) Obtener la derivada de la función f(x) ax b sen x (0,5 puntos). Calcular a
y b si O (0, 0) es un punto de la curva y ax b sen x , cuya recta tangente en
O(0, 0) es el eje OX (1,8 puntos).
3
Este apartado se hará en el tema de Áreas
pág. 104
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
b) Justificar que la función g(x)  
2

x sen x se anula en dos puntos del
intervalo 0,  (0,5 puntos).
c) Calcular esos dos puntos (0,5 puntos).
Septiembre 2006
34.- Dadas las funciones f (x) x 3 - 3x 8 y g(x) 3x , se pide:
a) Calcular el máximo absoluto de la función f (x) en el intervalo 3, 0(1 p).
b) Calcular el punto de corte de la curva y f (x) y la recta y g(x) (1 punto).
c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y f (x) y las rectas y g(x) ,
x 3 y x 0 (1,3 puntos).
Septiembre 2006
35.- Se consideran las funciones reales f(x) = 12x3 – 8x2+9x – 5 y g(x) = 6x2 – 7x+2.
Se pide:
f (x)
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función
(1,6
g( x )
puntos).
f (x)
b) Calcular la función H(x) = 
dx que cumple H(1)=1. (1,7 puntos)
g( x )
Junio 2007.
36.-Se considera la función real f (x) x3ax2bx c, donde a, b y c son parámetros
reales.
a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x)
en los puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje OX. (2 puntos).
b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que
se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de f(x) está en el eje OX. (1,3
puntos). Junio 2007
37.- Dadas las funciones reales f (x)= 4x2+ 2x +10 y g(x) = x3+x 2 +5x+5. Se pide:
f(x)
a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función
(1,6 P.
g(x)
f(x)
b) Calcular la función H(x)  
dx que cumple H(0) = 0. (1,7 puntos). Sept 07
g(x)
4
38.-. Sea la función con dominio los números reales no nulos f(x) 
x
a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x)
en el punto de abscisa x = 2. (1.8 puntos) .
b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas tangentes
a la gráfica en M y N se cortan en el punto (4 , - 8 ). (1.5 puntos).
Sept 2007
39.- Se considera la función real f(x) = x2 – 4. Obtener, explicando el proceso de
cálculo:
a) La gráfica de la curva y = f(x). (0,7 puntos).
b) Los valores de x para los que está definida la función real g(x) = Ln f(x). (1,3 p)
pág. 105
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(x), razonando si
tiene, o no, máximo absoluto. (1,3 Puntos) Junio 2008.
40.- Junio 2009
a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y
1
decrecimiento de la función f(x) =
. (1 punto)
3  x 3  x 
1
b) Obtener razonadamente los valores de A y B tales que
=
3  x 3  x 
A
B
(1 punto)

3 x 3 x
c) Calcular razonadamente el área de la superficie S limitada por la curva
1
y=
, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = - 2 y x = 2.
3  x 3  x 
(1,3 puntos)
41.- Dada la función f(x) = ex – e – x, se pide calcular razonadamente:
a) La función f(x)+f( - x). (1,1 puntos)
b) La integral

a
a
f ( x )dx , donde a es un número real positivo. (1,1 puntos)
c) El punto de inflexión de f(x). (1,1 puntos)
Junio 2009
42.- Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x – 6 y g(x) = (x – 2)(x2+9). Se
pide obtener razonadamente:
a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función
(1,6 puntos)
b) La función
que cumple
. (1,7 puntos)
Sep 2009
43.- Dada la función real
, se pide calcular razonadamente:
a) Las derivadas primera y segunda de la función f(x). (0,8 puntos)
b) Los puntos de inflexión de la curva y = f(x). (1 punto)
c) La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva y = f(x). (1,5 p) Sep 09
44.- Se quiere construir un estadio cerrado de 10.000 m2 de superficie. El estadio está
formado por un rectángulo de base “x” y dos semicírculos exteriores de diámetro
“x”, de manera, que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los
semicírculos. El precio de 1 m2 de valla para los lados verticales del rectángulo es
de 1 € y el precio de 1 m2 de valla para las semicircunferencias es de 2 €. Se pide
obtener razonadamente:
a) La longitud del perímetro del campo en función de “x”. (3 puntos)
b) El coste f(x) de la valla en función de “x”. (3 puntos)
c) El valor de “x” para que el coste de la valla sea mínimo. (4 puntos) Junio 2010
pág. 106
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
45.- Dada la función polinómica f(x)= 4 – x2, se pide obtener razonadamente:
a) La gráfica de la curva y = 4 – x2. (2 puntos)
b) El punto P de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación
x+y=0. (3 puntos)
c) Las rectas que pasan por el punto (- 2, 1) y son tangentes a la curva y = 4 – x2,
obteniendo los puntos de tangencia. (5 puntos)
Junio 2010
46.- Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La
circunferencia tiene centro en (0,0) y radio 5. Uno de los vértices del triángulo es el
punto A=(-5,0). Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la
circunferencia B=(x, y) y C=(x, - y). Se pide obtener razonadamente:
a) El área del triángulo en función de x. (3 puntos)
b) Los vértices B y C para los que es máxima el área del triángulo. (5 puntos)
c) El valor máximo del área del triángulo. (2 puntos)
Septiembre 2010
47.- Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que:
Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4 - x2, - 2≤ ≤2 , y el
segmento A y B es horizontal.
Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = x2 - 16, - 4≤ ≤4 , y
el segmento C y D es también horizontal.
Los puntos A y C tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real
positivo x.
Los puntos B y D tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real
positivo -x.
Se pide obtener razonadamente:
a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número
real positivo x. .(4 puntos)
b) El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima. .(4 puntos)
c) El valor del área máxima. (2 puntos)
Junio 2011
48.- Un coche recorre un arco de parábola Γ de ecuación 2y=36 – x2, variando la x de -6
a 6. Se representa por f(x) a la distancia del punto (0,9) al punto (x,y) del arco Γ
donde está situado el coche.
Se pide obtener razonadamente:
a) La expresión de f(x). (2 puntos)
b) Los puntos del arco Γ donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos. (2 p)
c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x). (2 puntos)
d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ y el segmento
rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0). (4 puntos)
Sep 2011
49.- Dada la función f definida por:
Obtener razonadamente:
a) El dominio y recorrido de la función f. (2 puntos)
b) Los valores de x donde la función f alcanza el máximo y el mínimo relativo.
(2 puntos)
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TEMA 7 Aplicación de derivadas
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función f. (2 puntos)
d) Los valores de x donde la función tiene puntos de inflexión. (2 puntos)
e) La gráfica de la curva, explicando con detalle la obtención de la asíntota
horizontal. (2 puntos).
Sep 2011
50.- Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la
base del logaritmo es el número e. Sea la función f, que para un número positivo está
definida por la igualdad
4
Obtener razonadamente:
a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo. (4puntos).
b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xln x en el punto (1 , 0). (3
puntos)
c) El área limitada entre las rectas y= 0, x=e y x=e2 y la curva y = 4xln x
(3 puntos)
Junio 2012
51.- Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0 , 12), B=(-x , x2) y
C=(x , x2), siendo x2<12.
Obtener razonadamente:
a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C. (2 puntos)
b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea
máxima. (3 puntos)
Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S
limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola y = x2, cuando - 2≤x≤2.
Obtener razonadamente:
c) El área de la superficie S. (3 puntos).
d) El área total del escudo (2 puntos).
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Junio 2012
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