Tema 3

Tema III: Complejidad en tiempo
1.- Probar que la clase P es cerrada bajo unión, intersección, complementario y
concatenación.
2.- Sea L1 , L2 ⊆ Σ∗ . Supongamos que L1 ∈ P y que ∅ =
6 L2 6= Σ∗ . Probar que
L1 6p L2 .
3.- Si L1 , L2 ⊆ {0, 1}∗ definimos L1 ⊕ L2 = L1 {0} ∪ L2 {1}.
1. Probar que L1 6p L1 ⊕ L2 y que L2 6p L1 ⊕ L2 .
2. Probar que si L1 6p L3 yL2 6p L3 , entonces L1 ⊕ L2 6p L3 .
4.- Si C es una clase de lenguajes, se define la clase co-C = {L ⊆ Σ∗ : L ∈ C}.
Probar que P = co-P ⊆ co-NP.
5.- EL problema PRIMOS-RELATIVOS es el siguiente:
Dados dos números naturales, determinar si son primos entre sı́.
Probar que el problema PRIMOS-RELATIVOS pertenece a la clase P.
6.- EL problema CONEXO es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, determinar si es conexo.
Probar que el problema CONEXO pertenece a la clase P.
7.- Sea G = (V, E) un grafo no dirigido. Una coloración de G con k (k > 1) colores
es una aplicación de V en {1, . . . , k}.
Diremos que una coloración, f , de G = (V, E) es válida sii para cada {u, v} ∈ E se
tiene que f (u) 6= f (v).
Diremos que un grafo es k–coloreable sii posee una coloración válida con k colores.
EL problema k–COL es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, determinar si es coloreable con k colores.
Probar que el problema 3–COL pertenece a la clase NP.
8.- Diremos que un grafo no dirigido, G = (V, E) es bipartito si existen V1 , V2 ⊆ V
tales que V1 ∩ V2 = ∅ y para cada {u, v} ∈ E se tiene que
(u ∈ V1 ∧ v ∈ V2 ) ∨ (u ∈ V2 ∧ v ∈ V1 )
Probar que son equivalentes las condiciones siguientes:
1. G es un grafo bipartito.
2. G es un grafo 2–coloreable.
3. G es un grafo que carece de ciclos de longitud impar.
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Indicación: (2) =⇒ (3) Pruébese que si G es 2–coloreable, entonces todos los nodos
de un ciclo que ocupen posiciones de la misma paridad tienen asignado el mismo
color (por una coloración válida de G).
(3) =⇒ (1) Si G carece de ciclos de longitud impar, considérese un bosque, B =
(V, F ), de recorrido en profundidad, y los conjuntos
V1 = {u ∈ V : u es de profundidad par en algún árbol del bosque}
V1 = {u ∈ V : u es de profundidad impar en algún árbol del bosque}
9.- EL problema BIPARTITO es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, determinar si es bipartito.
Probar que el problema BIPARTITO pertenece a la clase P.
10.- EL problema TRIÁNGULO es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, determinar si contiene algún triángulo (subgrafo completo de tamaño 3).
Probar que el problema TRIÁNGULO pertenece a la clase P.
11.- Probar que la clase NP es cerrada bajo unión, intersección y concatenación.
12.- Dado un grafo no dirigido, G = (V, E), diremos que V1 ⊆ V es un clique de G
sii V1 determina un subgrafo completo de G; es decir, si para cada u, v ∈ V1 (u 6= v)
se tiene que {u, v} ∈ E. El número de vértices de V1 se denomina tamaño del clique.
EL problema CLIQUE es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, G, y un número natural k, determinar si G
posee un clique de tamaño k.
Probar que el problema CLIQUE pertenece a la clase NP.
13.- Dado un grafo no dirigido, G = (V, E), diremos que V1 ⊆ V es un recubrimiento de vértices de G sii para cada arista de G se tiene que, al menos, uno de
los extremos pertenece a V1 . El número de vértices de V1 se denomina tamaño del
recubrimiento de vértices.
EL problema VC es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, G, y un número natural k, determinar si G
posee un recubrimiento de vértices de tamaño k.
1.- Probar que el problema VC pertenece a la clase NP.
2.- Probar que CLIQUE 6p VC.
14.- Dado un grafo no dirigido, G = (V, E), diremos que V1 ⊆ V es un conjunto
independiente de vértices de G sii para cada u ∈ V1 , v ∈ V1 se tiene que {u, v} ∈
/
E. El número de vértices de V1 se denomina tamaño del conjunto independiente.
EL problema CI es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, G, y un número natural k, determinar si
existe un conjunto independiente de vértices de G de tamaño k.
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1.- Probar que el problema CI pertenece a la clase NP.
2.- Probar que VC 6p CI.
15.- Dado un grafo dirigido, G = (V, E), diremos que un camino simple de G es
hamiltoniano si contiene todos los vértices del grafo.
EL problema CAMINO-HAMILTONIANO es el siguiente:
Dado un grafo dirigido, G, y dos nodos distinguidos, v1 y v2 , determinar
si existe un camino hamiltoniano desde v1 a v2 .
Probar que el problema CAMINO-HAMILTONIANO pertenece a la clase NP.
16.- EL problema SUB–ACÍCLICO es el siguiente:
Dado un grafo no dirigido, G, y un número natural k, determinar si G
posee un subgrafo acı́clico de tamaño k.
Probar que el problema SUB–ACÍCLICO pertenece a la clase NP.
17.- EL problema SUBSET–SUM es el siguiente:
Sean A un conjunto finito, w una función peso sobre A (aplicación de
A en N) X
y k ∈ N. Para cada B ⊆ A se define el peso de B como sigue:
w(x). Determinar si existe B ⊆ A tal que w(B) = k.
w(B) =
x∈B
EL problema PARTICIÓN es el siguiente:
Sean A un conjunto finito y w una función peso sobre A. Determinar
si existe una partición {B, C} de A tal que w(B) = w(C).
1.- Probar que el problema SUBSET–SUM pertenece a la clase NP.
2.- Probar que SUBSET − SUM ≡p PARTICIÓN.
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