GALILEO GALILEI ( 1564 – 1642 ) GUIA TEORICA N°2

C U R S O : FÍSICA COMÚN
MATERIAL N°02
GUIA TEORICA N°2
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO
GALILEO GALILEI ( 1564 – 1642 )
Físico, Matemático y Astrónomo Italiano. Descubrió Las Leyes de la Caída Libre, las del
péndulo simple, la de la inercia y la de los movimientos relativos. Construyó un telescopio de
refracción con el cual estudio el mundo celeste. Con él comenzó la física en el sentido moderno
de la palabra.
Apoyo el sistema copernicano y entre sus obras destacan “Sidereus Nuntius”,
“Diálogo sopra due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano”.
Acusado por el tribunal eclesiástico del Santo oficio de propagar la tesis heliocéntrica, fue
condenado a prisión perpetua y prohibido sus libros.
GALILEO Y LA CINEMÁTICA
Los antiguos inventaron máquinas muy ingeniosas que les ayudaban en sus trabajos, pero prácticamente no nos
dejaron leyes correctas en ninguna ciencia experimental, mientras que sus descubrimientos fueron muy numerosos
en matemática.
Se ha dicho que el espíritu humano solamente tiene que recogerse en sí mismo para hacer avanzar las
matemáticas, mientras que la ciencia experimental pide una marcha contraria; exige una gran acumulación de
hechos y de observaciones precisas, y esto fue el gran defecto de la antigüedad. A partir de la razón sin la base
sólida de la experiencia construyeron sus teorías que como los edificios levantados sin un fondo consistente, se
derrumban al menor soplo.
El método experimental no aparece bruscamente; resulta de un esfuerzo colectivo. Si el renacimiento literario es
un regreso a la antigüedad, el renacimiento científico es una partida hacia el conocimiento del mundo material.
GALILEO
Galileo, en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias inició este período. Y por primera vez, una ley en
física, en particular en cinemática, el movimiento uniformemente acelerado, se escribe matemáticamente.
Resumamos sus ideas sobre la caída de los cuerpos. Observa que si se lanza una bala horizontalmente, la
gravedad que actúa verticalmente hacia abajo no podrá ni aumentar ni disminuir la velocidad horizontal y que por
tanto, ésta se conserva.
Define la aceleración diciendo:
”Llamaré movimiento uniformemente acelerado a aquello que desde el comienzo confiere iguales incrementos de
velocidad en tiempos iguales”.
Establece las ecuaciones del movimiento de los proyectiles y deduce que la trayectoria es una parábola y que el
alcance es máximo para un ángulo de tiro igual a 45°.
Se preguntaba si podemos saber mediante un experimento si nos movemos con velocidad uniforme. Concluye sus
observaciones con esta frase:
”La piedra que cae del mástil de una nave golpea en el mismo lugar, esté quieta o en movimiento la nave”.
Notemos por lo tanto que Galileo enunció por primera vez el principio de la relatividad para la mecánica. Einstein
lo generalizó para todos los tipos de fenómenos.
Es interesante mostrar que Galileo nunca hizo una hipótesis que no pudiera comprobar, de aquí estas palabras:
“¿Cuál será la causa de la aceleración? Parece que ahora no es el momento más propio para investigar la causa
de la aceleración de la caída de los cuerpos, respecto al cual han sido expresadas varias opiniones por varios
filósofos... pero realmente no vale la pena. Por el presente, es propósito nuestro simplemente investigar y
demostrar siempre que sea posible, algunas de las propiedades del movimiento acelerado cualquiera que sea la
causa del movimiento”.
Realmente fue Galileo el primero que analizó detenidamente ciertos fenómenos, que aplicó integralmente el
método experimental, que empleó las funciones matemáticas en las ciencias y que publicó sus investigaciones; es
por esto que se le conoce como “el padre de la física”.
2
1.
DESCRIPCIÓN GENERAL
La cinemática estudia el movimiento prescindiendo de las causas que lo producen y de la naturaleza del
cuerpo que se mueve, haciendo intervenir únicamente el ESPACIO y el TIEMPO como magnitudes fundamentales.
Para la descripción de los movimientos se hace abstracción de las dimensiones de los cuerpos que se
mueven, denominados PARTÍCULAS, PUNTOS MATERIALES o, simplemente, MOVILES.
Un cuerpo se mueve cuando en el transcurso del tiempo cambia de POSICIÓN respecto de algún punto fijo
considerado como SISTEMA DE REFERENCIA. Para efectuar mediciones elegimos, ligado a este sistema de
referencia, un SISTEMA DE COORDENADAS apropiado.
El problema surge de la elección de ejes coordenados que estén en reposo absoluto, a los cuales referir todos
los movimientos. Esto, en realidad, es imposible, ya que no disponemos de ningún punto de referencia que sea
inmóvil. Pero para nuestro estudio consideraremos ejes coordenados ligados a la Tierra, porque, generalmente
estamos acostumbrados a considerar el movimiento de los cuerpos suponiendo la Tierra en reposo. Es claro,
entonces, que reposo y movimiento son conceptos relativos.
2.
RAPIDEZ MEDIA
Llamaremos TRAYECTORIA del movimiento a la curva que describe el cuerpo. En los casos más sencillos
esta trayectoria es rectilínea pero puede adoptar cualquier forma regular o irregular.
B
Supongamos una partícula que se mueva sobre una trayectoria
cualquiera, como muestra la figura, entre dos puntos fijos A Y B.
A
Llamaremos ∆d a la medida de la longitud del CAMINO RECORRIDO por la partícula entre A y B, y ∆t al
tiempo empleado en recorrer esa distancia, sin tomar en cuenta posibles irregularidades durante el trayecto.
Se define RAPIDEZ MEDIA:
∆d
∆t
Vm =
en el S.I. se mide en m
s
3
(1)
3.
RAPIDEZ INSTANTANEA
La única forma de conocer el movimiento de un cuerpo en cada instante, es medir su rapidez media para
distancias recorridas muy pequeñas durante intervalos de tiempo también muy pequeños.
Se define RAPIDEZ INSTANTANEA.
V=
lím
∆t 0
∆d
∆t
(2)
El procedimiento matemático para obtener el límite de un cuociente como este, incluye la base del “Cálculo
Diferencial” (Materia ajena a este curso). Sin embargo veremos, más adelante, procedimientos a nuestro alcance
que permitan calcular la rapidez instantánea.
Si la rapidez de la partícula es constante en el tiempo.
Vm = V
4.
MOVIMIENTO RECTILINEO
Si una partícula se mueve sobre una trayectoria rectilínea, diremos que tiene MOVIMIENTO RECTILINEO.
Definiremos la POSICIÓN de una partícula P (lugar que ocupa en el espacio, sobre la trayectoria, en un
instante dado) ubicando un sistema de coordenadas, por ejemplo el eje X, sobre la trayectoria, especificando su
ORIGEN O y un SENTIDO POSITIVO sobre el eje.
Diremos que el vector que une el origen O a la partícula es el VECTOR POSICIÓN X
X
P
Po
O
Xo
X
∆X
Si el cuerpo se mueve sobre la recta, su abscisa dependerá del tiempo. Eligiendo, arbitrariamente el instante
t = O y con ayuda de un reloj, se puede asignar a cada posición de la partícula un tiempo t.
Matemáticamente diremos que el vector posición es una función del tiempo y escribimos,
X = X(t) ,
esta ecuación, también recibe el nombre de ITINERARIO.
4
Si la partícula se mueve desde la posición inicial Xo en el instante to, hasta la posición X en el instante t,
diremos que el VECTOR DESPLAZAMIENTO es:
∆X = X - Xo
y que se realizó en el intervalo de tiempo
∆t = t - to
La unidad de posición o desplazamiento en el S.I. es el metro.
Nótese que el desplazamiento es independiente del origen de coordenadas.
5.
VELOCIDAD MEDIA
Se define VECTOR VELOCIDAD MEDIA de la partícula como el cuociente entre el vector desplazamiento y el
intervalo de tiempo correspondiente y la anotamos.
Vmx =
X - Xo
t - to
∆X
∆t
=
(3)
De la definición se desprende que la velocidad media es un vector que tiene siempre la misma dirección y
sentido que el desplazamiento, o sea, es un vector en la dirección de la trayectoria.
Una velocidad positiva indica que el cuerpo se desplaza en el sentido positivo del eje coordenado. Una
velocidad negativa indicará lo contrario.
Obsérvese que el módulo de la velocidad media es siempre menor o igual que la rapidez media.
Vmx
6.
≤
Vm
VELOCIDAD INSTANTANEA
La velocidad media no describe el movimiento en cada instante, por lo tanto no es adecuada para una
descripción precisa del movimiento.
Podemos definir el VECTOR VELOCIDAD INSTANTANEA o, simplemente, VELOCIDAD en un instante
dado, como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente, cuando este se aproxima a
cero, es decir:
Vx =
lím ∆X
∆t 0 ∆t
(4)
5
La velocidad es una función del tiempo.
Vx =
Vx ( t )
Obsérvese que el módulo de la velocidad corresponde a la rapidez instantánea de la partícula.
Vx
7.
= V
ACELERACIÓN
Cuando la velocidad de una partícula cambia en el tiempo (en el movimiento rectilíneo sólo en tamaño y/o
sentido) diremos que tiene una ACELERACION, que es una medida de este cambio, es decir, la aceleración es la
rapidez con que cambia la VELOCIDAD INSTANTANEA de la partícula.
ACELERACIÓN MEDIA
Si la velocidad de una partícula varía de Vox en el instante to hasta un valor Vx en el tiempo t , se define
ACELERACION MEDIA.
Vx - Vox
amx = t - t
o
El vector amx
trayectoria.
=
∆VX
∆t
(5)
tiene siempre la misma dirección y sentido que el vector ∆Vx , o sea, tiene la dirección de la
Cuando la partícula se dirige en el sentido positivo del eje, una aceleración positiva indica que la velocidad
está creciendo, mientras que una aceleración negativa muestra que la velocidad está disminuyendo. Pero, cuando
la partícula se dirige en el sentido negativo del eje, una aceleración positiva nos dice que la velocidad está
disminuyendo, mientras que una aceleración negativa muestra una velocidad cuyo tamaño aumenta.
ACELERACIÓN INSTANTANEA
Se define VECTOR ACELERACIÓN INSTANTANEA, o simplemente, ACELERACION.
aX =
La unidad de aceleración en el S.I. es
lím
∆t O
∆Vx
∆t
(6)
⎡m⎤
⎢⎣ s2 ⎥⎦
6
El vector aceleración es una función del tiempo, lo que escribimos
ax = ax ( t )
Las ecuaciones X = X ( t )
;
Vx = Vx ( t )
y
ax = ax ( t )
se denominan ECUACIONES CINEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO
movimiento.
ya que determinan completamente cualquier
Nótese que estas ecuaciones vectoriales se transforman rápidamente en ecuaciones ESCALARES para el
movimiento rectilíneo ya que todos los vectores posición, velocidad y aceleración tienen la dirección de la
trayectoria y el signo + o - que pueden tener, nos indicará el sentido de cada vector. Luego escribimos las
ecuaciones cinemáticas del movimiento:
X =X (t)
8.
;
Vx = Vx ( t )
;
ax = a x ( t )
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
A todo movimiento con RAPIDEZ CONSTANTE se le llama UNIFORME.
En este caso, como la trayectoria es rectilínea la VELOCIDAD es CONSTANTE y la ACELERACIÓN NULA.
En estas condiciones los valores medio e instantáneo de la velocidad son iguales y podemos escribir:
Vx =
X - Xo
t - to
Consideraremos como CONDICIÓN INICIAL que en el instante to = O , la posición era Xo
Vx =
X - Xo
t
ó
X = Vxt + Xo
(7)
En resumen, las ecuaciones cinemáticas del M.R.U. son
ax = O
Vx = CTE
x = Vxt + Xo
7
Es conveniente dibujar las gráficas representadas por estas ecuaciones.
Vx = CTE , es una recta paralela al eje t
Vx
O
X = Vxt + Xo
t
es una recta que corta al eje X en Xo y cuya pendiente es Vx
X
Xo
t
O
9.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A)
Diremos que un movimiento rectilíneo es UNIFORMEMENTE ACELERADO cuando su aceleración ax es
CONSTANTE en el tiempo, es decir, los valores medio e instantáneo de la aceleración son iguales, luego
podemos escribir.
Vx - Vox
t - to
ax =
Tomaremos como primera condición inicial que en el instante to = O , la velocidad inicial sea Vox , así.
Vx - Vox
t
ax =
ó
(1)
Vx = axt + Vox
Cuando la velocidad cambia uniformemente su valor medio se puede calcular
Vmx = 1
2
( Vx + Vox )
pero
Vmx =
X - Xo
t - to
8
Supondremos, como segunda condición inicial, que en el instante to = O , la posición inicial era Xo , entonces
X - Xo
t
Vx + Vox
2
=
ó
(2)
X=
Vx + Vox
2
t + Xo
Las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) son suficientes para obtener TODA la información acerca del M.R.U.A., sin
embargo, es útil agregar otras dos ecuaciones.
Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) se obtiene
2
X = 1 ax t + Vox t + Xo
2
Si despejamos el tiempo t de la ecuación ( 1 ) y lo reemplazamos en ( 2 ), resulta
2
2aX( X - Xo ) = Vx - Vox
2
En resumen, las ecuaciones cinemáticas del M.R.U.A son
ax = CTE
Vx = axt + Vox
X = Vx + Vox
2
t + Xo
X = 1 ax t2 + Vox t + Xo
2
2
2aX (X - Xo) = Vx - Vox
2
Las gráficas representadas por estas ecuaciones son
ax = CTE , una recta paralela al eje t.
ax
O
t
9
Vx = axt + Vox , una recta que corta al eje Vx en Vox y cuya pendiente es ax
Vx
Vox
O
X =
t
2
1
a t + Vox t + Xo , una parábola
2 x
X
O
t
10. ESTUDIO GRÁFICO DE LOS MOVIMIENTOS RECTILINEOS
Por medios algebraicos, obtuvimos las ecuaciones cinemáticas de DOS movimientos rectilíneos.
A
continuación, mediante el análisis gráfico de los diagramas posición – tiempo, velocidad – tiempo y aceleración –
tiempo , estudiaremos CUALQUIER movimiento rectilíneo.
POSICIÓN – TIEMPO (ITINERARIO)
La figura representa la posición, en función del tiempo, del movimiento rectilíneo de un cuerpo.
X
B
X
∆X
Xo
A
0
B”
to
∆t
B´
t
t
Cuando el cuerpo se mueve de Xo hasta X, su velocidad media es:
Vmx =
X - Xo
=
t - to
∆X
∆t
en el gráfico esta expresión representa la PENDIENTE DE LA RECTA SECANTE que une los puntos A y B.
10
Si el cuerpo se “mueve” de A hasta B´ o B´´ , los desplazamientos (∆X)´ y (∆X)´´, y los
correspondientes intervalos de tiempo (∆t)` y (∆t)´´ son cada vez más pequeños. Las velocidades medias
(∆X)` y (∆X)`` , pendientes de las rectas AB´ y AB´´ se acercaran en estos sucesivos pasos a la definición de
∆t
∆t
velocidad instantánea. En el límite, cuando B´´ se confunde con A , la recta AB´´ se transforma en TANGENTE a la
curva en el punto A y la velocidad instantánea será la pendiente de esta tangente en el punto A.
X
A B``
t
RAPIDEZ – TIEMPO
La figura representa la gráfica de la rapidez, en función del tiempo, de un movimiento rectilíneo.
VX
Q
Q`
Q``
P
t
0
Si seguimos el mismo razonamiento que para el gráfico X – t , podemos concluir que la aceleración media
queda representada por la pendiente de la recta secante que une los puntos del gráfico entre los que se calcula
(PQ , por ejemplo). La aceleración instantánea corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el
instante requerido.
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El gráfico Vx - t nos permite obtener otra información.
Consideremos el rectángulo achurado de la figura.
VX
Q
VX
P
0
to
t + ∆t t1
t
t
∆t
El “AREA” de este rectángulo es:
∆A = Vx ∆t
Nótese que, si ∆t se aproxima a cero, el área del rectángulo se confunde con el área determinada por la
curva, las ordenadas de t y t + ∆t y el eje t
Como
Vx =
∆t
lím ∆X
O ∆t
∆X = Vx ∆t
∆X = ∆A
cuando ∆t
O
Lo que nos indica que el área del rectángulo es igual al desplazamiento del cuerpo (cuando ∆t
O)
Si ahora dividimos toda el “AREA BAJO LA CURVA” y limitada por las ordenadas de to y t1, y el eje t en
una infinidad de pequeños rectángulos semejantes al anterior la suma de todas sus áreas será igual al
desplazamiento total entre to y t1.
ACELERACIÓN - TIEMPO
Si se sigue el mismo razonamiento que en la segunda parte del gráfico Vx - t, concluimos que en un gráfico
ax - t el “AREA BAJO LA CURVA” mide el cambio de velocidad ∆Vx.
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