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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Análisis de la Respuesta a la Carga de Impacto en Estructuras Mecánicas
Mediante Transformada Wavelet
presentada por
Jorge Daniel Flores Porras
Ing. Mecánico por el I. T. de Cd. Madero
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Directores de tesis:
Dr. Martín Eduardo Baltazar López
M. C. Eladio Martínez Rayón
Jurado:
Dr. Jorge Colín Ocampo – Presidente
Dr. Enrique S. Gutiérrez Wing – Secretario
Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik – Vocal
M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México.
29 de Febrero de 2008
Dedicatorias
A mis padres, David Flores Lemus y Laura Elia Porras Wong, porque me han brindado todo
su amor, amistad y apoyo incondicional siempre que lo he necesitado… muchas gracias!
A mis hermanos David Estuardo y Ángel Omar, por darme siempre su amistad, consejos y
sobre todo la confianza y apoyo durante toda mi vida
AGRADECIMIENTOS
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de
Educación Superior Tecnológica (DGEST) por el apoyo económico brindado.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet) por la formación
académica que me otorgó a través de sus profesores.
A mis asesores de tesis, Dr. Martín Eduardo Baltazar López y M. C. Eladio Martínez Rayón,
por brindarme su amistad, así como su apoyo y dedicación durante el desarrollo de este
trabajo ¡Muchas gracias!
A los miembros del jurado revisor, Dr. Jorge Colín Ocampo, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik y
Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing, por sus valiosas aportaciones durante la revisión de este
trabajo.
A nuevos amigos y compañeros de clase: Chava, Luis Carlos, Daniel, Toño, Eric, Diabb,
Monserrat, Efraín, Ángel, David, Luis, Mario, Melvyn, Gabo, Memo, Gijón, Tun, Pepe y
Vladimir.
A Anita Pérez y a la Sra. Isabel, por ser personas tan agradables y siempre recibirme con una
sonrisa.
A todas aquellas personas que su nombre se me escapa, y que de una manera u otra
contribuyeron para realizar esta meta en mi vida.
Resumen
En el presente trabajo, se analizó la respuesta dinámica que presentan las estructuras
mecánicas al ser sometidas a cargas de impacto por el método de la transformada wavelet. La
respuesta de las estructuras se analizó tanto para altas como bajas frecuencias. El análisis de la
respuesta de la estructura para altas frecuencias se realizó por medio de propagación de ondas
dispersivas. Para verificar los resultados, se utilizaron los modelos de las teorías de vigas de
Timoshenko y de Euler-Bernoulli. Para el análisis de la respuesta de la estructura a bajas
frecuencias, se desarrolló un algoritmo para encontrar una función de respuesta en el dominio
de la frecuencia por medio de wavelets. Para ambos casos, se utilizó el concepto de entropía
de Shannon para determinar la localización óptima en tiempo-frecuencia de señales
experimentales.
Abstract
In the present work, the dynamic response of structures subjected to mechanical impact was
analyzed by means of the wavelet transform. The response of the structure was analyzed at
high and low frequencies . For high frequencies, some dispersive wave signals were used.
Results were verified by the Timoshenko and Euler-Bernoulli beam theory. An algorithm to
find the wavelet-based frequency response function of structures was developed to analyze
the response at low frequencies. For both cases, the Shannon entropy concept was used to
determine the optimal time-frequency localization of experimental data.
Contenido
Contenido
Lista de figuras
iv
Lista de tablas
vii
Nomenclatura
viii
Introducción
1
Capítulo I. Revisión Bibliográfica
4
1.1. Objetivo general
12
1.2. Objetivos particulares
12
1.3. Alcance
13
Capítulo II. Marco Teórico
12
2.1. Propagación de ondas
14
2.1.1. Velocidad de grupo
14
2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli
17
2.1.3. Análisis espectral de la teoría de vigas de Timoshenko
19
2.2. Función de respuesta a la frecuencia
21
2.3. Transformada wavelet
22
2.3.1. Tipos de wavelets
24
2.3.2. Proceso de identificación de estructuras coherentes
27
2.3.3. Criterio para determinar la localización óptima de señales en tiempo-frecuencia
31
Capítulo III. Validación de Algoritmos
33
i
Contenido
3.1. Validación del algoritmo de transformada wavelet
33
3.2. Validación del algoritmo de entropía de Shannon
36
3.3. Validación del algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia
39
Capítulo IV. Descripción del Banco Experimental
42
4.1. Introducción
42
4.2. Configuración del banco de pruebas
42
4.3. Primer método experimental. Propagación de ondas
44
4.4. Segundo método experimental. Función de respuesta en tiempo-frecuencia
47
Capítulo V. Análisis de Resultados
51
5.1. Análisis de señales de propagación de ondas por medio de la transformada wavelet de
Gabor
51
5.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular
51
5.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular
56
5.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada
58
5.2. Análisis de señales de vibración mecánica por medio de transformada wavelet
de Gabor
61
5.3. Discusión de resultados
67
Capítulo VI. Conclusiones y Recomendaciones
71
6.1. Conclusiones
71
6.2. Recomendaciones y trabajos futuros
72
Referencias
74
ii
Contenido
Apéndice I
78
Apéndice II
82
Apéndice III
87
iii
Lista de Figuras
Lista de Figuras
Figura 2.1. Relación de dispersión para viga de Euler-Bernoulli
18
Figura 2.2. Relación de espectro de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli
20
Figura 2.3. Relaciones de dispersión de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli
20
Figura 2.4. Función de transferencia
21
Figura 2.5. Función de respuesta a la frecuencia
21
Figura 2.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia
22
Figura 2.7. Wavelet sombrero mexicano sobrepuesta a una función senoidal
25
Figura 2.8. Wavelet Morlet sobrepuesta a una función senoidal
25
Figura 2.9. Wavelet de Gabor
26
Figura 2.10. Wavelet de escala y posición específicas en la señal. Contribuciones positivas
y negativas a la transformada.
28
Figura 2.11. Wavelet en fase con la señal a analizar
28
Figura 2.12. Wavelet fuera de fase con la señal a analizar
29
Figura 2.13. Wavelet fuera de fase con la señal. Correlación cero
29
Figura 2.14. Wavelet comprimida. No iguala a la forma de la señal
30
Figura 2.15. Wavelet estirada, no iguala a la señal localmente
30
Figura 3.1a. Señal con contenido de tres frecuencias en todo el tiempo
33
Figura 3.1b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a (  = 5.3364)
33
Figura 3.2a. Señal con contenido de tres frecuencias en tiempos diferentes
34
Figura 3.2b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a (  = 5.3364)
34
Figura 3.3a. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a  = 15
35
Figura 3.3b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a (  = 15)
35
Figura 3.4a. Señal tipo chirp
36
Figura 3.4b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a (  = 5.3364)
36
Figura 3.5a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.4a
37
iv
Lista de Figuras
Figura 3.5b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a (  = 6.4)
37
Figura 3.6a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.1a
38
Figura 3.6b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a (  = 19)
38
Figura 3.7a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.2a
38
Figura 3.7b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a (  = 11.6)
38
Figura 3.8a. Señal en el dominio del tiempo
39
Figura 3.8b. Costo de entropía de la señal de la figura 3.8a
39
Figura 3.9. Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia
40
Figura 3.10. Espectro de magnitud de la señal de la figura 3.8a
40
Figura 4.1. Configuración del sistema de adquisición de datos
43
Figura 4.2. Pantalla característica del osciloscopio para propagación de ondas
45
Figura 4.3a. Señal de propagación de ondas
46
Figura 4.3b. Entropía de la señal de la figura 4.3a
46
Figura 4.4. Espectrograma de la señal de la figura 4.3a con  = 4.8
46
Figura 4.5. Diagrama de flujo para el análisis de señales de propagación de ondas
48
Figura 4.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia con wavelets
49
Figura 4.7. Función de respuesta en tiempo-frecuencia
49
Figura 4.8. Diagrama de flujo para el análisis de señales de vibración en
tiempo-frecuencia
50
Figura 5.1. Configuración del experimento
52
Figura 5.2a. Señal de propagación de ondas
52
Figura 5.2b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.2a
52
Figura 5.3. Espectrograma de la señal de la figura 5.2a. (  = 3.9)
53
Figura 5.4. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de Timoshenko y
Euler-Bernoulli
54
Figura 5.5. Porcentajes de error de la señal de la figura 5.2a
56
Figura 5.6a. Señal de propagación de ondas
57
Figura 5.6b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.6a.
57
Figura 5.7. Espectrograma de la señal de la figura 5.6a con  = 3.9
57
v
Lista de Figuras
Figura 5.8. Tiempos de arribo teóricos para las teorías de vigas de Timoshenko y
Euler-Bernoulli
58
Figura 5.9a. Señal de propagación de ondas
59
Figura 5.9b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.9a
59
Figura 5.10. Espectrograma de la señal de la figura 5.8a con  = 3.0
60
Figura 5.11. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de Timoshenko y
Euler-Bernoulli
60
Figura 5.12a. Respuesta al impulso en el nodo 2
62
Figura 5.12b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.12a
62
Figura 5.13. Espectrograma de la señal de la figura 5.12a con  = 60
62
Figura 5.14. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.12a
63
Figura 5.15a. Respuesta al impulso en el nodo 16
64
Figura 5.15b. Curva de entropía de la señal 5.15a
64
Figura 5.16. Espectrograma de la señal de la figura 5.15a con  = 60
64
Figura 5.17. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.14a
65
Figura 5.18a. Respuesta al impulso en el nodo 21
66
Figura 5.18b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.18a
66
Figura 5.19. Espectrograma de la señal de la figura 5.18a con  = 60
66
Figura 5.20. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.18a
67
Figura A1.1. Viga delgada y distribución de cargas
78
Figura A2.1. Viga de Timoshenko con cargas en los extremos
82
Figura A3.1. Espécimen de prueba I
87
Figura A3.2. Espécimen de prueba II
88
Figura A3.3. Espécimen de prueba III
88
Figura A3.4. Martillo de impacto con diferentes puntas
89
Figura A3.5. Acelerómetro
90
Figura A3.6. Osciloscopio digital
90
Figura A3.7. Amplificadores de señales
91
Figura A3.8. Cables de bajo ruido
91
vi
Lista de Tablas
Lista de tablas
Tabla 3.1. Comparación de frecuencias naturales obtenidas por teoría y práctica
Tabla 5.1. Comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo
41
55
vii
Nomenclatura
Nomenclatura
a
Parámetro de escala
A
Área de sección transversal
AISI
Instituto Americano del Hierro y el Acero
ASTM
Sociedad Americana para Pruebas y Materiales

Factor de forma de la wavelet de Morlet
b
Parámetro de traslación
c
Velocidad de fase
cg
Velocidad de grupo
Cg
Condición de admisibilidad
C1 ( E1 )
Función de costo de entropía
eint
Identidad de Euler
E
Modulo de Elasticidad, Energía
E1
Señal o distribución de coeficientes
 xx
Deformación normal en la dirección x
FFT
Transformada rápida de Fourier
F (s)
Excitación en el dominio de Laplace
F ( )
Excitación en el dominio de la Frecuencia
F ( , t )
Excitación en el dominio tiempo-frecuencia
f
Frecuencia
f(t)
Señal a analizar
Gˆ n
Función de transferencia
G
Módulo de rigidez
g
Gravedad
viii
Nomenclatura

Factor de forma de la wavelet de Gabor
 xy
Deformación cortante
H (s)
Función de transferencia
H ( )
Función de respuesta en el dominio de la frecuencia
H ( , t )
Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia
I
Momento de inercia de área
i, j
Número imaginario
k
Número de onda, constante
K1
Coeficiente de cortante
K2
Coeficiente de inercia de rotación
M
Momento flexionante

Coeficiente de amortiguamiento viscoso
Pˆn
Amplitud espectral
 xx
Esfuerzo normal en la dirección x
 (t )
Wavelet madre

Aceleración angular
qv ( x, t )
Carga transversal
q
Torque distribuido

Densidad
t
Tiempo
T ( a, b)
Transformada wavelet, coeficientes wavelet
TWC
Transformada wavelet continua
TWG
Transformada wavelet de Gabor
u ( x, t )
Desplazamiento
V
Carga cortante

Aceleración transversal
 , n
Frecuencia circular, frecuencia natural
ix
Nomenclatura
x
Coordenada horizontal
X (s)
Respuesta en el dominio de Laplace
X ( )
Respuesta en el dominio de la frecuencia
X ( , t )
Respuesta en el dominio tiempo-frecuencia
x
Introducción
Introducción
Cuando una estructura se somete a una carga dinámica, se generan vibraciones de baja y alta
frecuencia que pueden, en un momento dado, afectar diferentes componentes de la estructura
misma. Sin embargo, una carga dinámica puede tomar varias formas: algunas cargas se
aplican y suprimen de modo repentino, mientras otras persisten largos períodos de tiempo y
varían continuamente de intensidad [1] (cargas fluctuantes).
Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos entran en colisión o cuando un objeto
golpea una estructura al caer [1]. Las cargas fluctuantes son generadas por maquinaria
rotatoria, ráfagas de viento, olas marinas, sismos, entre otras.
Para el caso en que una estructura se sujeta a una carga de impacto, esta vibrará a una o más de
sus frecuencias naturales, las cuales dependen del tiempo de duración de la carga [2]. Si el
tiempo de excitación es pequeño, son más las frecuencias naturales que se excitarán que si el
tiempo es grande. Si el tiempo de contacto es tan grande como una carga estática, el número
de frecuencias que se excitan es cero.
Por otro lado, la respuesta de una estructura al impacto también se compone de ondas
transitorias que se propagan en toda la estructura. Si el impacto se aplica transversalmente a la
estructura, se generan ondas dispersivas que viajan en la estructura con diferente velocidad de
propagación, las cuales son función de la frecuencia. Si el impacto es sobre el eje longitudinal,
las ondas que se generan se conocen como no dispersivas u ondas longitudinales, las cuales
viajan con la misma velocidad de propagación por la estructura.
La herramienta que se ha utilizado para analizar la respuesta de estructuras a cargas de
impacto, se basa en la transformada de Fourier. Esta técnica transforma una señal en el
dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, la cual es una forma más útil, pues se puede
1
Introducción
conocer el contenido de frecuencias que la señal posee. Por consiguiente, con base en las
frecuencias naturales del sistema, es posible obtener otros parámetros estructurales propios de
una estructura, como el amortiguamiento o la forma de vibración, que sirven para caracterizar
una estructura y en un momento dado, utilizar estos parámetros modales para realizar
modificaciones estructurales que puedan llevar a un mejor desempeño o diseño de la
estructura que se está analizando.
Por otro lado, se puede utilizar la propagación de ondas en conjunto con la transformada de
Fourier para análisis de señales como método de evaluación no destructiva en materiales,
donde es posible identificar discontinuidades que pueda presentar una señal debido a grietas
en un material, inclusiones, porosidad en una soldadura, etc., entre otras. Para llevar a cabo
esta técnica de evaluación no destructiva, se necesitan dos puntos de detección de la respuesta
de la estructura a un impacto [3], con el fin de relacionar los tiempos de arribo de las ondas de
propagación con diferentes puntos de la estructura.
Sin embargo, como se mencionó en el párrafo anterior, se necesitan dos puntos de detección
de la respuesta de la estructura, los cuales involucran un mayor costo para la instrumentación
de la estructura de prueba.
No obstante, con el uso de la transformada wavelet solo se necesita un punto de detección y un
punto de excitación para conocer información del tiempo y la frecuencia en que un evento
tuvo lugar, lo que proporciona una ventaja sobre la transformada de Fourier par analizar este
tipo de fenómenos, puesto que se pueden identificar los tiempos de arribo de ondas
propagantes en una estructura con un solo punto de detección, lo cual proporciona un menor
costo de instrumentación.
Asimismo, debido a que la transformada wavelet es una herramienta de procesamiento de
señales en tiempo-frecuencia y puesto que la respuesta dinámica de estructuras sujetas a
impacto mecánico es altamente transitoria, sería interesante investigar la variación temporal de
2
Introducción
la respuesta dinámica de estructuras sujetas a impacto mecánico por medio de transformada
wavelet.
En el presente trabajo de investigación, se propone un método para analizar la respuesta de
estructuras mecánicas al ser sometidas a cargas impacto por medio de transformada wavelet.
Esta tesis consta de seis capítulos, en los cuales se presenta e manera progresiva el desarrollo
de la investigación.
En el capítulo uno se presenta la revisión bibliográfica del estado del arte del tema de
investigación, así como el objetivo, los objetivos particulares y el alcance de esta tesis.
El capítulo dos contiene la teoría básica para el desarrollo de los algoritmos utilizados para el
procesamiento de datos experimentales. Asimismo, la teoría sirve como base de comparación
de datos experimentales.
En el capítulo tres se validan los algoritmos desarrollados en esta tesis con datos propuestos en
investigaciones anteriores.
En el capítulo cuatro se describe el procedimiento para la obtención de datos experimentales,
así como también se proporciona la ruta crítica para el procesamiento de las señales obtenidas
por experimentación.
En el capítulo cinco se presentan los resultados obtenidos con base en los experimentos
realizados, así como una discusión sobre los mismos.
Por último, en el capítulo seis se presentan las conclusiones y se proponen recomendaciones y
trabajos futuros para extender el campo de investigación de esta tesis.
3
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
Uno de los primeros trabajos sobre análisis de impacto lo realizó Schwieger [4], quién expone
que la carga máxima de impacto transversal en vigas es independiente de las condiciones de
frontera.
En este contexto, se considera que la longitud de la viga es muy grande en
comparación con el ancho de la viga, de manera que las ondas elásticas que chocan con los
soportes se reflejan y regresan al punto de contacto después de que se alcanza el pico de
esfuerzo máximo. De esta manera, se deduce una fórmula para calcular la carga de impacto y
la deformación de la viga, en forma tal que la deflexión central solamente depende de la fuerza
de contacto y es función del tiempo. Comprueban los resultados teóricos con un modelo
experimental, para el cual utilizan extensómetros, sensores de desplazamiento y
fotoelasticidad para visualizar la propagación de ondas elásticas en la viga.
Dentro del estudio de la propagación de ondas en elementos estructurales, sobresale el trabajo
de Doyle [3], en el cual propone un método para evaluar la propagación de ondas flexionantes
incidentes y de reflexión, estas últimas a causa de discontinuidades dentro del elemento
estructural. Estas discontinuidades son cambios de sección transversal en el espécimen y los
extremos libres del mismo. Obtuvo señales de deformación por medio de extensometría
eléctrica en dos posiciones diferentes en el espécimen. Las señales las transformó al dominio
de la frecuencia por medio del uso del algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT),
de manera que caracterizó las ondas incidentes y de reflexión. Realizó una comparación del
método experimental con la teoría de vigas Euler-Bernoulli, ya que los picos de máxima
amplitud del espectro de frecuencias de las señales de deformación estaban dentro del
intervalo de frecuencias donde no existe gran diferencia entre ésta teoría y la teoría de vigas de
Timoshenko. Concluye que de acuerdo al tipo de discontinuidades, pueden ocurrir cambios de
amplitud, fase, así como también cambios en el número de onda.
4
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
Por otro lado, Doyle [5], desarrolla un método para determinar la localización y el tiempo
donde se origina un pulso, por decir, un impacto, en una estructura. Utiliza una viga
instrumentada con extensómetros para determinar la deformación dinámica en dos posiciones
diferentes del elemento. Con base en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, se obtienen
relaciones de amplitud y fase de las ondas elásticas que se propagan en la estructura. Estas
relaciones se utilizan para determinar una aproximación de la posición del pulso. Asimismo,
se determina el tiempo en que se inicia el pulso, por medio de la reconstrucción de las señales
de deformación en el dominio del tiempo.
Las dos teorías que más se utilizan para predecir el comportamiento de la propagación de
ondas elásticas en vigas, son las teorías de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. La primera es
más sencilla, por ser de menor orden. En general, puede utilizarse en aplicaciones donde las
amplitudes máximas del espectro de frecuencia que se investiga caen dentro de un intervalo de
frecuencias bajo, donde no existe gran diferencia en la relación de espectro entre ésta teoría y
la de Timoshenko. Además, la teoría de Euler-Bernoulli no toma en cuenta los efectos de
deformación cortante ni de inercia de rotación.
Por otro lado, la teoría de Timoshenko es más complicada, por ser de mayor orden. En ésta
teoría se introducen los efectos de deformación cortante y de inercia de rotación [5]. Por
consiguiente, se puede utilizar ésta teoría para modelar con muy buena precisión, problemas
de propagación de ondas en estructuras.
En la teoría de vigas de Timoshenko se introduce un coeficiente de carga cortante, por la
suposición de que la carga transversal no es constante y, por tanto, varía conforme varía la
sección transversal de un elemento de carga [6].
Desde la aparición del coeficiente de cortante en la teoría de Timoshenko, este coeficiente ha
sido el centro de atención de mucho trabajo de investigación. Entre las numerosas
publicaciones para encontrar el mejor coeficiente de cortante, destaca el trabajo de Hutchinson
[6],
quién publicó resultados para el coeficiente de cortante para diferentes secciones
5
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
transversales. Realizó su investigación en base a la elección de un campo de desplazamientos
de una viga bajo la suposición de que las secciones planas permanecen planas después de
sufrir deformación. Concluye que el resultado que obtiene para una sección transversal
circular es el mismo que obtuvo Timoshenko en 1922, y el cual se considera como “correcto”,
ya que se ha verificado con experimentación y con resultados precisos de soluciones en tres
dimensiones. Asimismo, hace una comparación entre los resultados que obtuvo y los
resultados de otros autores.
Por otro lado, concluye que el nuevo coeficiente de cortante es consistente con los valores que
se obtienen de la teoría de elasticidad en tres dimensiones para la sección transversal circular.
Para secciones transversales rectangulares, encontró que el nuevo coeficiente de cortante es
una función de la relación de aspecto, es decir, la relación entre el ancho y el espesor de la
viga. Ningún trabajo anterior a este considera al coeficiente de cortante como función de la
razón de aspecto.
El análisis de señales empezó con el trabajo de Joseph Fourier a principios del siglo XIX [7].
Propuso que cualquier señal
periódica podía aproximarse por medio de una suma de
funciones armónicas de diferentes frecuencias. Las funciones base que utilizó son el seno y el
coseno. Por consiguiente, este postulado dio pauta a la herramienta matemática conocida como
series de Fourier.
Ésta herramienta es esencialmente útil para representar funciones o señales que no varían en el
tiempo; es decir, que son periódicas. Sin embargo, muchas señales son de naturaleza
transitoria, de manera que surge una complicación para representar éstas señales de manera
satisfactoria. Con base en éste problema, surge la transformada de Fourier, que es una
generalización de las series de Fourier. La transformada de Fourier tuvo gran impacto en
muchos campos de las matemáticas, ciencia e ingeniería [7]. Entre sus aplicaciones se
encuentran la teoría de integración, expansiones de funciones, vibraciones, difusión de calor,
etc., por citar algunas.
6
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
Con el advenimiento del mundo digital, en 1965, Cooley y Tukey [8], publicaron un método
rápido y eficiente para calcular series complejas de Fourier. A éste método se le conoce como
transformada rápida de Fourier (FFT), y tuvo un gran impacto en la comunidad de
procesamiento de señales, ya que descompone una señal en sus componentes de frecuencia de
manera rápida y con muy poco costo computacional.
Sin embargo, al utilizar la transformada de Fourier para el análisis de señales, solamente se
cambia la representación de la señal, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia,
donde se pierde totalmente la información temporal. No obstante, existen muchas aplicaciones
donde se requiere conocer la evolución en el tiempo de algún evento transitorio. En esta
instancia, es donde el análisis de señales transitorias en el dominio de la frecuencia tiene
limitaciones, ya que solamente proporciona información del contenido espectral de una señal,
y ninguna información temporal.
Para resolver éste problema, Dennis Gabor introdujo, en 1946, el concepto de transformada
corta de Fourier [9]. Esta técnica supone que la señal a analizar es periódica en un intervalo de
tiempo, y calcula la transformada de Fourier de los segmentos de señal, los cuales están
delimitados por una función de ventana. En otras palabras, la técnica utiliza una función de
ventana de ancho constante, la cual multiplica una porción de la señal de interés, y
posteriormente calcula su transformada de Fourier. Subsecuentemente, la ventana se desplaza
un tiempo “t”, de manera que en ésta nueva posición, multiplica a otra porción de la señal a
analizar, sin entrelazar partes anteriormente analizadas, y vuelve a calcular la transformada de
Fourier de la porción de la señal. El proceso se repite hasta que se cubre la totalidad de la
señal. Este proceso se puede ver como la convolución de una función de ventana con la señal
de interés.
La transformada corta de Fourier, a diferencia de la transformada de Fourier, representa un
mapa tiempo-frecuencia de la señal [9]. Provee información sobre el tiempo y la frecuencia en
que un evento tuvo lugar. Sin embargo, la precisión con la que se obtiene la información se
limita de acuerdo a la elección del tamaño de ventana. En general, para una elección del ancho
7
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
de ventana pequeño, se obtiene mejor localización en el tiempo de la señal a analizar, pero
pobre localización en frecuencia. Por el contrario, para un ancho de ventana grande, se obtiene
mayor localización en frecuencia, pero pobre localización en el tiempo.
Un inconveniente de ésta representación de señales es, que una vez que se selecciona el
tamaño de la ventana, ésta es igual en todo el proceso de análisis [9]. Sin embargo, muchas
señales que contienen eventos transitorios, discontinuidades, principios y finales de eventos,
etc., necesitan una aproximación más flexible, en la cual se pueda variar el tamaño de ventana,
para obtener una mejor representación del tiempo o la frecuencia en que ocurre un evento
dentro de la señal. Por tanto, el siguiente paso lógico fue encontrar una herramienta que
cumpliera con éste requisito.
La transformada wavelet, surge de los trabajos de Jean Morlet, Yves Meyer e Ingrid
Daubechies, entre otros, a mediados de 1980 [10]. Ésta herramienta transforma la señal de
interés en otra representación, la cual presenta la información de la señal en una forma más
útil. En términos matemáticos, la transformada wavelet es la convolución de la función
“wavelet” con la señala analizar, de una forma similar a la transformada corta de Fourier.
Una “wavelet” [11] es una onda localizada que cumple ciertos requerimientos matemáticos.
El análisis de señales con la transformada wavelet es similar al de transformada corta de
Fourier. La diferencia estriba en que la ventana para la transformada wavelet cambia de
tamaño al hacer el análisis. Utiliza una ventana corta donde se requiere información de alta
frecuencia de la señal, y una ventana grande donde se necesita información de baja frecuencia
de la señal, lo que provee un análisis más flexible. No obstante, el análisis por wavelets
produce una representación tiempo-escala.
Después de la introducción de la transformada wavelet, un gran número de investigadores de
múltiples campos de la ciencia y la ingeniería empezaron a utilizar ésta técnica para analizar
una gran cantidad de fenómenos físicos. Sin embargo, fueron pocos los artículos publicados en
ese entonces, la mayoría de carácter científico. Fue hasta finales de la década de los 80 donde
8
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
el análisis por wavelets empezó a trascender en muchos campos de la ingeniería.
Fue entonces que en 1989, Mallat [12], estudió las propiedades de un operador que
aproximaba una señal a una resolución determinada. Mostró que la diferencia de información
para la representación de una señal en diferentes resoluciones podía extraerse por medio de la
descomposición de la señal con una base de wavelets ortonormales, la cual es una familia de
funciones que se construye por traslación y dilatación de una función madre. Además, estudió
la aplicación de la representación wavelet a la compresión de imágenes y el análisis de
fractales.
Por otro lado, Ingrid Daubechies [13] publicó un artículo sobre wavelets, el cual presentó la
base matemática para la formulación de la transformada wavelet. En su artículo proporciona la
descripción para el análisis y reconstrucción de señales por medio de wavelets, así como para
la transformada corta de Fourier. Define la transformada wavelet como el producto interior de
dos funciones. Además, hace la comparación de los dos métodos de análisis tiempofrecuencia, el de transformada corta de Fourier y la transformada wavelet. Por último, estudia
las dos formas de análisis por wavelets; la transformada wavelet continua y la transformada
wavelet discreta.
Otro aspecto importante para la aplicación de wavelets la propuso Mallat [14], donde estudió
las singularidades de oscilaciones rápidas con transformada wavelet, para lo cual empleó el
módulo máximo de la transformada. Así, desarrolló un algoritmo para remover ruido blanco
en señales, donde analizó la evolución de los coeficientes máximos de las escalas. Empleó el
algoritmo en señales de dos dimensiones, donde utilizó la reducción de ruido para mejorar la
visualización de imágenes.
Las publicaciones de Mallat y Daubechies dieron
lugar a muchos otros artículos sobre
wavelets, entre los que destacan el de Rioul y Vetterli [15], donde presentan una revisión de
las técnicas de wavelets para el procesamiento de señales. Exponen la teoría y propiedades de
la transformada. Muestran la conexión de ésta herramienta entre varios campos de
9
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
investigación, pero es el campo del procesamiento de señales donde concentran su aplicación.
Por su parte, Hlawatsch y Boudreaux-Bartels [16], revisan la aplicación de representaciones
lineales y cuadráticas, donde las representaciones lineales son la transformada corta de Fourier
y la transformada wavelet, y las representaciones cuadráticas son distribuciones de Wigner y
varias versiones de ésta distribución. En general, contribuyen con una descripción concisa de
los diferentes tipos de representaciones tiempo-frecuencia.
Fue entonces que Kishimoto et. al. [17], consideró el uso de la transformada wavelet para la
representación de señales dispersivas en tiempo-frecuencia. Proporcionó una descripción de
las propiedades de la transformada wavelet, donde utilizan una wavelet de Gabor como
función analítica. Utilizan este método para analizar la dispersión de ondas flexionantes en una
viga, donde identifican la velocidad de grupo, la cual es la velocidad a la que se propagan las
ondas dentro del material.
Asimismo, Inoue et. al. [18], estudian la aplicación de la transformada wavelet en el análisis
experimental de tiempo-frecuencia de ondas dispersivas en estructuras. Identifican la
velocidad de grupo con que se propagan las ondas elásticas dentro de un elemento estructural,
además de la aplicación del método para la identificación del lugar de impacto.
Lo anterior dio paso a la investigación de Baltazar [19] quién estudió la aplicación de la
generación de ondas ultrasónicas por medio de un pulso láser en tuberías. Además, utilizó
interferometría óptica láser para la detección de la velocidad de propagación de ondas
ultrasónicas dentro del elemento a prueba. Analizó las señales de propagación por medio de
transformada wavelet, y concluyó que el método puede aplicarse para la detección de defectos
superficiales en tuberías.
Por otro lado, Hong y Kim [20] proponen un método para determinar la mejor localización
tiempo-frecuencia de una señal por medio de transformada wavelet. Utilizan el concepto de
entropía de Shannon para evaluar la concentración de energía de señales y, de ésta manera,
determinan el valor del factor gamma de la wavelet de Gabor que representa la mayor
10
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
concentración de energía.
No obstante, Ruzzene et. al. [21] utiliza la transformada wavelet para propósitos de
identificación de sistemas. Resalta las ventajas de la transformada wavelet en el análisis de
señales que decaen exponencialmente con el tiempo. Asimismo, hace una comparación con las
técnicas de análisis tiempo-frecuencia anteriormente utilizados.
En el trabajo de Tang [22] utiliza la transformada corta de Fourier (STFT) y la transformada
wavelet para analizar señales que decaen exponencialmente con el tiempo. Concentra su
investigación en como estos dos métodos pueden recuperar la constante de decaimiento de
cada contenido de frecuencia en las señales en situaciones de anchos de banda pequeños.
Concluye que la STFT es en general, más confiable que la transformada wavelet para este
propósito.
Slavic et. al. [23] presentan un método para identificar el amortiguamiento de un sistema de
múltiples grados de libertad por medio de transformada wavelet. El estudio se concentra en
una descripción del ruido instantáneo, los efectos de borde de la transformada wavelet, el
desplazamiento en la frecuencia de la transformada y la selección del parámetro sigma (  ) de
la wavelet de Gabor.
Argoul y Le [24] proponen el uso de cuatro indicadores instantáneos para caracterizar el
comportamiento no lineal de estructuras mecánicas. Utilizan la wavelet de Cauchy para
desarrollar los indicadores. Proporcionan resultados preliminares para caracterizar el
comportamiento no lineal de una viga.
Le y Argoul [25] utilizan la transformada wavelet para identificar parámetros estructurales.
Presentan un procedimiento para parámetros modales en base a la transformada wavelet, así
como también tratan los efectos de borde y la elección de la localización tiempo-frecuencia de
la transformada wavelet.
11
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
Sone et. al. [26] estiman parámetros característicos de estructuras por un método de
identificación que se basa en el análisis de señales de aceleración por medio de transformada
wavelet. Concluyen que el método que proponen es capaz de identificar los parámetros
estructurales tales como matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez con suficiente
precisión.
De acuerdo a la revisión bibliográfica, no existe un trabajo completo que involucre el análisis
de la respuesta a la carga de impacto en estructuras tanto a bajas frecuencias como a altas
frecuencias por medio de la transformada wavelet continua.
1.1. Objetivo general
Desarrollar un sistema de procesamiento de señales de vibración asociadas al diagnóstico de
estructuras sujetas a impacto mecánico por medio del método de transformada wavelet.
1.2. Objetivos particulares
1. Aplicar la transformada wavelet continua para analizar señales tanto de propagación de
ondas como de vibración en elementos estructurales.
2. Verificar las ventajas de utilizar el método de la transformada wavelet sobre la transformada
de Fourier.
3. Validar el uso de la entropía de Shannon como una medida óptima de localización en
tiempo-frecuencia
4. Encontrar la variación temporal de las frecuencias naturales en estructuras en base a una
función de respuesta a la frecuencia por medio de wavelets.
12
Capítulo I
Revisión Bibliográfica
1.3. Alcance
El presente trabajo de investigación es una extensión del estudio de fenómenos de impacto
presentes en estructuras mecánicas. La variante que se presenta es el uso de un método de
análisis en tiempo-frecuencia para evaluar la respuesta de estructuras sujetas a cargas de
impacto. A diferencia de estudios anteriores que consideran la respuesta de estructuras en el
dominio de la frecuencia solamente, o que analizan el comportamiento dinámico de
estructuras solo a bajas
o altas frecuencias por separado, en esta tesis se considera el
comportamiento dinámico de estructuras tanto a bajas como a altas frecuencias. Por tanto, el
alcance de esta tesis es implementar un algoritmo para obtener funciones de respuesta en el
dominio conjugado de tiempo-frecuencia para analizar la respuesta que presentan las
estructuras a bajas frecuencias, así como también la evaluación de la respuesta dinámica en
una estructura a altas frecuencias por medio del método de la transformada wavelet.
13
Capítulo II
Marco Teórico
Capítulo II
Marco Teórico
Introducción
En el presente capítulo, se definen los conceptos básicos utilizados para desarrollar los
algoritmos que se presentan en el capítulo tres. Se desarrolla el análisis espectral de las teorías
de vigas de Timoshenko y de Euler-Bernoulli para encontrar resultados teóricos de los tiempos
de arribo de la ondas de propagación y la manera de como estos se relacionan con el contenido
de frecuencia con el que viajan dichas ondas. Los resultados teóricos obtenidos sirven de
comparación con los resultados prácticos obtenidos en el capítulo cinco. Asimismo, se da una
breve introducción a las funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia y su relación
con el método tiempo-frecuencia de análisis de señales con transformada wavelet. Por último,
se explica el funcionamiento de la transformada wavelet y el concepto de entropía de Shannon
para seleccionar el parámetro óptimo de localización de una señal en tiempo-frecuencia.
2.1. Propagación de ondas
2.1.1. Velocidad de grupo.
La solución de la respuesta a la carga dinámica aplicada a estructuras se compone de la
superposición de armónicos y se observa que algunos son ondas, otros son ondas
amortiguadas, mientras otros son vibraciones [27]. Todos se combinan para dar el movimiento
que puede observarse. De especial interés es saber como describir la parte propagante del
disturbio, puesto que esta parte es la que llega a los lugares remotos.
La solución puede escribirse de la forma exponencial:
14
Capítulo II
u  x, t    PˆnGˆ n  kn x  eint   Pˆn e  ikn x eint
Marco Teórico
(Ec. 2.1)
Donde:
u  x, t   Solución de la ecuación
Pˆn  Amplitud espectral
Gˆ n  kn x   Función de transferencia del sistema
eint  Identidad de Euler
El número de onda puede escribirse en términos de sus partes real e imaginaria como:
k  k R  ik I
(Ec. 2.2)
Que resulta en la respuesta de onda de la forma:
 i k x t
u  x, t    Pˆn e kI x e  R 
(Ec. 2.3)
Esta solución consta de tres partes: La amplitud espectral Pˆn , un término de decaimiento
exponencial espacial e  kI x y las senoides que se propagan e i  kR x t  . La velocidad de fase de
estas senoides se da por la relación:
c

kR
(Ec. 2.4)
Esta es la velocidad a la cual se mueven los armónicos individuales. Puesto que la señal que se
observa es la superposición de todas las senoides, entonces es de interés investigar como ésta
respuesta de grupo difiere de las senoides individuales. Por consiguiente, se considera la
interacción de dos componentes propagantes vecinos, como sigue:
15
Capítulo II
u  x, t   Pˆn e  ikn x eint  Pˆn 1e  ikn1x ein1t
Marco Teórico
(Ec. 2.5)
Si los componentes anteriores se escriben en términos de una frecuencia central
*  n  n 1  / 2 , número de onda k *   kn  kn1  / 2 y amplitud P*   Pn  Pn 1  / 2 ,
entonces el resultado es [17, 27]:
1 
d * 
u  x, t   Pˆ *e  i k *x  *t  2 cos  k  x 
t
dk *  
2 
(Ec. 2.6)
La onda resultante se compone de dos partes, además de la amplitud de espectro promedio.
Existe una senoide, la cual se llama onda portadora o guía, de frecuencia promedio  * y
número de onda k * , y viaja con la velocidad promedio c*   * / k * . Esta senoide es
modulada por otra onda de nombre onda de grupo, de número de onda k / 2 , frecuencia
k  d  * / dk * / 2 y viaja a una velocidad de onda d * / dk * . La velocidad de fase de la
modulación se llama velocidad de grupo. Esto es:
cg 
d
dk
(Ec. 2.7)
Para el caso de impacto longitudinal, la velocidad de fase es igual a la velocidad de grupo.
Para el caso de impacto transversal, la velocidad de grupo es el doble de la velocidad de fase.
Mientras el análisis anterior se supuso solamente para dos frecuencias, el análisis se extiende
para un número mayor de armónicos que dan lugar a una onda guía modulada por una onda de
grupo. En general, no se puede observar el movimiento de las ondas individuales que viajan a
frecuencias de fase, sino que solamente se puede ver el movimiento de las ondas que viajan a
la velocidad de grupo. Por tanto, es de especial interés observar el comportamiento de dicho
conjunto de ondas, que es lo que se observa cuando se analiza una señal por métodos tiempofrecuencia, como por ejemplo, el método de la transformada wavelet, que es el análisis que se
efectúa en esta tesis.
16
Capítulo II
Marco Teórico
2.1.2. Análisis espectral de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli
Con el objetivo de conocer la dependencia de la velocidad de grupo en función de la
frecuencia, para posteriormente compararla con un análisis por medio de wavelets de señales
reales de propagación en elementos estructurales, se desarrolla un análisis espectral de la
ecuación de movimiento de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, así como también de la
teoría de vigas de Timoshenko.
La ecuación de vigas de Euler-Bernoulli es:
 4
 2

EI 4   A 2   A
 q  x, t 
x
t
t
(Ec. 2.8)
Se considera que la viga tiene propiedades constantes en toda su longitud (ver apéndice I). La
parte homogénea de la ecuación diferencial en representación espectral es:
d 4ˆ
  4ˆ  0
4
dx
2 
 2  A  i A
EI
(Ec. 2.9)
(Ec. 2.10)
Donde:
  Frecuencia circular
  Densidad del material
A  Área de la sección transversal del elemento
  Amortiguamiento viscoso por unidad de volumen
E  Módulo de Young del material
I  Segundo momento de área de la sección transversal del material
17
Capítulo II
Marco Teórico
Resolviendo la ecuación (2.10) para el número de onda k   , y despreciando el
amortiguamiento, se llega a las relaciones para las velocidades de fase y de grupo.
1/ 4
 EI 

c  

k
  A
(Ec. 2.11)
1/ 4
 EI 
d
cg 
2 

dk
  A
 2c
(Ec. 2.12)
Se aprecia que ambas velocidades varían con respecto a las propiedades de la viga y con la
raíz cuadrada de la frecuencia, lo que proporciona su carácter de ondas dispersivas. La gráfica
de las velocidades de fase y de grupo se aprecia en la figura 2.1.
Relación de dispersión para vigas
Velocidades de Fase y Grupo [m/seg]
3500
3000
2500
2000
1500
1000
velocidad de fase
velocidad de grupo
500
0
0
0.5
1
1.5
2
Frecuencia [Hz]
2.5
3
4
x 10
Figura 2.1. Relación de dispersión para viga de Euler-Bernoulli.
18
Capítulo II
Marco Teórico
2.1.3. Análisis espectral de la teoría de vigas de Timoshenko.
La ecuación de vigas de Timoshenko (ver apéndice II) es [27]:
  

     A  q
x  x

2

 

EI 2  GAK1       IK 2
x
 x

GAK1
(Ec. 2.13)
Puesto que hay dos variables dependientes,  y  , y los coeficientes son constantes, se
asumen las soluciones de la forma:
  0 e i ( kx t )
(Ec. 2.14)
  0e i ( kx t )
Sustituyendo en las ecuaciones de Timoshenko, queda:
GAK1k 2   A 2

ikGAK1

 0 
ikGAK1
0
2
EIk  GAK1   IK 2  0 
2
(Ec. 2.15)
La ecuación característica resulta de obtener el determinante de la ecuación 2.15, y es:
GAK1EI  k 4  GAK1 IK 2 2  EI  A 2  k 2    IK 2 2  GAK1   A 2  0
(Ec. 2.16)
19
Capítulo II
Marco Teórico
Relación de espectro
0.18
0.16
Número de onda [1/mm]
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
Timoshenko
Bernoulli
0.02
0
0
1
2
3
4
Frecuencia [Hz]
5
6
4
x 10
Figura 2.2. Relación de espectro de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.
De ésta ecuación, se obtiene la relación de espectro y la relación de dispersión para vigas de
Timoshenko, como se muestra en las figuras 2.2 y 2.3. Se visualiza en las figuras 2.2 y 2.3
como afecta la introducción de la deformación cortante y la inercia de rotación en las
relaciones de espectro y de dispersión.
Relación de dispersión
5000
Velocidad Cg [m/seg]
4000
3000
2000
1000
Timos henko
Bernoulli
0
0
1
2
3
4
Frecuencia [Hz]
5
6
4
x 10
Figura 2.3. Relaciones de dispersión de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.
20
Capítulo II
Marco Teórico
2.2. Función de respuesta a la frecuencia.
Una función de respuesta en el dominio de la frecuencia es una técnica de análisis modal que
sirve como punto de partida para la obtención de parámetros modales como: frecuencias
naturales, amortiguamiento y formas modales de una estructura.
Se fundamenta en la función de transferencia de un sistema, la cual es la razón entre la
transformada de Laplace de la respuesta y la transformada de Laplace de la excitación en un
sistema. La figura 2.4 representa esquemáticamente este concepto, donde H(s) es la función de
transferencia, X(s) es la respuesta en el dominio de Laplace y F(s) es la excitación en el
dominio de Laplace.
F(s)
H(s)
X(s)
Figura. 2.4. Función de transferencia
H ( s) 
X (s)
F ( s)
(Ec. 2.17)
No obstante, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia es la razón entre la
transformada de Fourier de la respuesta del sistema y la transformada de Fourier de la
excitación de dicho sistema. La figura 2.5 representa este concepto, para el cual, H ( ) es la
función de respuesta en el dominio de la frecuencia, X ( ) y F ( ) son la respuesta y la
excitación en el dominio de Fourier.
F(  )
H(  )
X(  )
Figura. 2.5. Función de respuesta a la frecuencia
21
Capítulo II
H ( ) 
Marco Teórico
X ( )
F ( )
(Ec. 2.18)
Sin embargo, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia provee la información de
un sistema en el dominio de la frecuencia solamente, donde se pierde totalmente la
información temporal. Por consiguiente, sería interesante conocer la variación temporal de una
función de respuesta en el dominio de la frecuencia, sin perder información espectral. En el
capítulo IV de ésta tesis, se proporciona un método para encontrar dicha representación, que
en otras palabras, se podría llamar función de respuesta en tiempo-frecuencia. En la figura 2.6,
se muestra el esquema para representar a la función de respuesta en el dominio tiempofrecuencia. F(  ,t ), H(  ,t ) y X(  ,t ) representan la excitación, la función de respuesta y la
respuesta en el dominio tiempo-frecuencia, respectivamente.
F(  ,t )
H(  ,t )
X(  ,t )
Figura 2.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia
H ( , t ) 
X ( , t )
F ( , t )
(Ec. 2.19)
2.3. Transformada wavelet
La transformada wavelet es un método de análisis que convierte una función (o señal) en otra
forma, la cual hace ciertas características de la señal original más amenas para su estudio [11].
Para desarrollar la transformada wavelet, se necesita una wavelet, que es una forma de onda
localizada. De hecho, una wavelet es una función  (t ) que satisface ciertos requerimientos
matemáticos. Estas funciones son manipuladas en un proceso de traslación (i. e. movimientos
22
Capítulo II
Marco Teórico
a través del eje temporal) y un proceso de dilatación (i. e. cambios de tamaño) para
transformar la señal en otra forma, la cual se desarrolla en tiempo y escala.
El término “wavelet” significa onda pequeña. Esto es, una función de longitud finita o de
soporte compacto. Para que una función sea clasificada como wavelet, se deben satisfacer
ciertos criterios:
1. La wavelet debe tener energía finita, donde E es la energía de la función.

E
  (t )
2
dt  
(Ec. 2.20)

2. Si ˆ ( f ) es la transformada de Fourier de  (t ) , i. e.

ˆ ( f )    (t )e  j 2 ft dt
(Ec. 2.21)

Entonces, la siguiente condición debe satisfacerse:
ˆ ( f )
Cg  
df  
f
0

2
(Ec. 2.22)
Esto implica que la wavelet no tiene componente de frecuencia cero ˆ (0)  0 , o de otra
forma, la wavelet debe tener
promedio cero. Ésta ecuación se llama condición de
admisibilidad, y C g se llama constante de admisibilidad.
3. Un criterio adicional que se debe mantener para wavelets complejas, es que la transformada de
Fourier debe ser real y debe desaparecer para frecuencias negativas.
En términos
matemáticos, la transformada wavelet continua es:
23
Capítulo II
T ( a, b) 
1
a
Marco Teórico



 t b 
f (t ) * 
 dt
 a 
(Ec. 2.23)
Donde T (a, b) son los coeficientes wavelet de la señal, f (t ) es la señal a analizar,  (t ) es la
función analítica o wavelet madre, donde el asterisco denota complejo conjugado, b es el
parámetro de traslación a lo largo del eje temporal, a es el parámetro de escala y 1/ a es un
factor de conservación de energía. Por tanto, la transformada wavelet continua (TWC) se
define como la convolución entre la wavelet y la señal de interés, lo que produce los
coeficientes wavelet.
Se utiliza el término wavelet madre, porque de ésta función parten las demás wavelets que se
utilizan en el análisis. Es decir, la wavelet madre es la función original  (t ) , y de aquí se
producen las demás wavelets por traslación  (t  b) y por escalamiento  ((t  b) / a) .
2.3.1. Tipos de wavelets
Aunque existen muchas funciones analíticas o wavelets, no es el objetivo de esta tesis explicar
las propiedades de todas las wavelets. Sin embargo, se describen algunas de ellas, que son
comunes en la literatura de procesamiento de señales.
La wavelet Sombrero mexicano es la segunda derivada de la función Gaussiana y se ilustra en
la figura 2.7. La función que representa la wavelet sombrero mexicano es:
t
2 1
2
2

1

t
e


3 4
2
 MH
(Ec. 2.24)
24
Capítulo II
Marco Teórico
Wavelet sombrero mexicano
1
Wavelet
Senoide
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tiempo [seg]
2
3
4
Figura 2.7. Wavelet sombrero mexicano sobrepuesta a una función senoidal.
La forma de la wavelet Morlet se aprecia en la figura 2.8. Esta wavelet es una función
exponencial compleja ventaneada por la función Gaussiana, y se define por la fórmula:

  j t
e 2
e


2
 t
2
e 2 ;   

ln 2

2
(Ec. 2.25)
Wavelet Morlet
1
Wavelet
Senoide
0.8
0.6
0.4
0.2
Amplitud
M
1
4

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tiempo [seg]
2
3
4
Figura 2.8. Wavelet Morlet sobrepuesta a una función senoidal.
25
Capítulo II
Marco Teórico
La Wavelet de Gabor se ilustra en la figura 2.9, y se define de la siguiente forma:
2
G 
4
1

0
e

 0 
 

   t 2  i0t
2
(Ec. 2.26)
Wavelet Gabor
1
Wavelet
Senoide
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tiempo [seg]
2
3
4
Figura 2.9. Wavelet de Gabor
La wavelet de Gabor es una función exponencial compleja ventaneada por una función
Gaussiana. Esta wavelet posee la mayor resolución de todas las wavelets [17, 18], es decir, la
menor área de tiempo-frecuencia, de acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg, que
establece que no es posible representar un punto en un mapa tiempo-frecuencia, sino que
solamente se puede representar un área en un mapa tiempo-frecuencia.
En la ecuación 2.26, 0 es una frecuencia característica de la wavelet y  controla el número
de oscilaciones de la wavelet madre. Para el caso de la wavelet Morlet, el factor de forma se
denota con  .
26
Capítulo II
Marco Teórico
2.3.2. Proceso de identificación de estructuras coherentes.
El término “estructura coherente” se refiere a la similitud entre una señal y una función
analítica durante el proceso de análisis de la señal.
La figura 2.10, intenta visualizar la mecánica de la transformada wavelet, que se representa
por la ecuación 2.23. En la figura, una wavelet de escala “a”, centrada en una posición “b” en
el eje temporal, se muestra superpuesta a una señal arbitraria. Los segmentos de tiempo donde
la señal y la wavelet son positivos, resultan en una contribución positiva a la integral de la
ecuación 2.23, por ejemplo, la posición A en la figura [11].
No obstante, los segmentos de tiempo donde la wavelet y la señal son negativos, resultan en
una contribución positiva a la integral (región B). Las regiones donde la wavelet y la señal son
de diferente signo, resultan en una contribución negativa a la integral, por ejemplo, las
regiones C, D y E en la figura.
Las figuras 2.11 a 2.15, muestran una onda senoidal analizada en varios lugares por wavelets
sombrero mexicano de varias escalas. El valor de la transformada de convolución (Ec. 2.23)
depende del desplazamiento y de la escala de la wavelet.
En la figura 2.11, se muestra una wavelet de misma periodicidad que la señal, sobrepuesta en
la señal en un lugar b, la cual produce razonable emparejamiento entre la wavelet y la señal.
Además, se puede ver que existe una alta correlación entre la señal y la wavelet a esta escala a
y posición b. Por tanto, la integral del producto de la señal y la wavelet producen un alto valor
positivo de T(a, b) en esta posición.
Se aprecia en la misma figura 2.11 como el término “estructura coherente” tiene sentido, ya
que la wavelet tiene coherencia con la señal a analizar.
27
Capítulo II
Marco Teórico
Figura 2.10. Wavelet de escala y posición específicas en la señal. Contribuciones positivas y negativas a la transformada [11].
Correlación entre señal y wavelet
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo [seg]
0.1
0.12
Figura 2.11. Wavelet en fase con la señal a analizar.
La figura 2.12, muestra la wavelet desplazada a una nueva posición, donde la wavelet y la
señal parecen estar fuera de fase. En este caso, la convolución produce un alto valor negativo
de T(a, b). Entre estos dos extremos, el valor de la transformada se reduce desde un máximo
hasta un mínimo. La figura 2.13, muestra el punto en el cual la wavelet y la señal producen un
valor próximo a cero de T(a, b). En las tres figuras anteriores, se utilizó una wavelet que iguala
28
Capítulo II
Marco Teórico
localmente a la señal; esto es, tiene aproximadamente la misma forma y tamaño que la señal
en la vecindad de b.
Correlación entre señal y wavelet
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo [seg]
0.1
0.12
Figura 2.12. Wavelet fuera de fase con la señal a analizar.
Correlación entre señal y wavelet
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo [seg]
0.1
0.12
Figura 2.13. Wavelet fuera de fase con la señal. Correlación cero.
La figura 2.14 muestra el efecto que tiene el usar una escala a más pequeña de la wavelet en la
transformada.
29
Capítulo II
Marco Teórico
Correlación entre señal y wavelet
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo [seg]
0.1
0.12
Figura 2.14. Wavelet comprimida, no iguala a la forma de la señal.
Correlación entre señal y wavelet
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo [seg]
0.1
0.12
Figura 2.15. Wavelet estirada, no iguala a la señal localmente.
Se puede apreciar que las partes positivas y negativas de la wavelet convolucionan con casi la
misma parte de la señal, produciendo un valor de T(a, b) cerca de cero. Por tanto, los
coeficientes de la transformada T(a, b) tienden a cero cuando la escala a tiende a cero.
Además, los coeficientes también tienden a cero cuando la escala a tiende a ser muy grande,
como se muestra en la figura 2.15, a causa de que la wavelet cubre muchas partes repetidas
30
Capítulo II
Marco Teórico
negativas y positivas de la señal, produciendo valores de los coeficientes próximos a cero. Por
tanto, cuando la wavelet es o muy grande o muy pequeña comparada con las características de
la señal, la transformada proporciona valores cercanos a cero.
2.3.3. Criterio para determinar la localización óptima de señales en tiempo-frecuencia
El concepto de entropía en éste contexto, es un poco diferente al que se utiliza en
termodinámica. Aquí, el término entropía se utiliza para describir la cantidad de información
cuantitativamente, o mejor aún, como una medida de concentración de energía
o
incertidumbre [20].
Para una señal o distribución de coeficientes E1  ei 1i  N , la concentración de energía puede
estimarse por medio del costo de entropía, definido como:
C1 ( E1 )   Pi log Pi
(Ec. 2.27)
i
Donde:
ei
Pi 
2
(Ec. 2.28)
2
E1
N
 P 1
i 1
E1
(Ec. 2.29)
i
2
N
  ei
2
(Ec. 2.30)
i 1
Por definición, los límites del costo de entropía son:
31
Capítulo II
0  C1 ( E1 )  log N
Marco Teórico
(Ec. 2.31)
Aunque la wavelet de Gabor posee la menor caja de Heisenberg, es decir, la menor área
tiempo-frecuencia, es necesario escoger el valor óptimo de la forma de la wavelet que
proporcione la mejor localización en tiempo-frecuencia de una señal. Por tanto, si se logra
encontrar una representación en tiempo-frecuencia de una señal para la cual la el costo de
entropía sea mínimo, esa representación será la que contenga la mayor concentración de
energía. Esto se traduce a encontrar el valor del factor de forma de la wavelet de Gabor que
produzca el menor costo de entropía para una señal.
32
Capítulo III
Validación de Algoritmos
Capítulo III
Validación de Algoritmos
3.1. Validación del algoritmo de transformada wavelet
Para validar la efectividad de la herramienta de análisis de señales que se utiliza en esta tesis,
se realizó un algoritmo de transformada wavelet en el programa Matlab®. Para tener certeza
que el programa trabaja correctamente, se generaron señales con contenido de frecuencia
conocido y se analizaron con el programa. La primera señal tiene un contenido de frecuencia
de 500, 1000 y 2000 Hz presentes en todo el tiempo. La segunda señal tiene un contenido de
frecuencia de 500 Hz de 0 a 0.03 segundos, de 1000 Hz de 0.03 a 0.06 segundos y de 2000 Hz
de 0.06 a 0.1 segundos. Las siguientes figuras muestran las señales y su correspondiente
espectrograma, para el cual, se utilizó una wavelet madre de Gabor.
1. Señal con contenido de 500, 1000 y 2000 Hz presentes en toda la duración de la señal.
500 Hz + 1000 Hz + 2000 Hz
2
1.5
1
Amplitud
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.01
0.02
0.03
0.04 0.05 0.06
Tiempo [seg]
0.07
0.08
0.09
Fig. 3.1a. Señal con contenido de tres frecuencias en
Fig. 3.1b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a
todo el tiempo
(  = 5.3364)
33
Capítulo III
Validación de Algoritmos
Se aprecia en la figura 3.1b que la transformada wavelet descompone una señal en el tiempo
en su representación tempo-frecuencia efectivamente, donde se observa que el contenido
espectral de la señal actúa en todo el dominio del tiempo.
2. Señal con contenido de frecuencia de 500 Hz de 0 a 0.03 segundos, de 1000 Hz de 0.03
a 0.06 segundos y de 2000 Hz de 0.06 a 0.1 segundos. Se utiliza una wavelet de Gabor
con valor de  = 5.3364.
500 Hz de 0-0.03 seg, 1000 Hz de 0.03-0.06 seg, 2000 Hz de 0.06-0.1 seg
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.01
0.02
0.03
0.04 0.05 0.06
Tiempo [seg]
0.07
0.08
0.09
Fig. 3.2a. Señal con contenido de tres frecuencias en tiempos
Fig. 3.2b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a
diferentes
(  = 5.3364)
Nuevamente, se aprecia en la figura 3.2b como la transformada wavelet de Gabor descompone
a la señal de la figura 3.2a en su representación tiempo-frecuencia, donde se resaltan los
tiempos en los que actúa cada contenido de frecuencia de la señal.
Sin embargo, la selección del valor gamma de la wavelet de Gabor afecta significativamente la
descomposición de cualquier señal en su representación tiempo-frecuencia. El valor gamma
representa el número de oscilaciones de la wavelet. Es decir, para valores pequeños de gamma,
la wavelet Gabor tendrá una oscilación menor y, por consiguiente, una mayor localización del
tiempo en el que ocurren las frecuencias, pero pobre localización del contenido espectral de la
señal. Por el contrario, para valores grandes de gamma, la wavelet de Gabor obtiene mayores
34
Capítulo III
Validación de Algoritmos
oscilaciones, de manera que se tiene una mayor localización del contenido espectral de la
señal, pero menor localización del tiempo en que ocurren dichas frecuencias. Para mostrar la
variación del espectrograma en función de la selección del valor gamma de la wavelet de
Gabor, se analizaron las señales de las figuras 3.1a y 3.2a con valores diferentes de gamma.
Los espectrogramas de cada análisis de observan en las figuras 3.3a y 3.3b.
Fig. 3.3a. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a
Fig. 3.3b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a
(  =15)
(  =15)
En los espectrogramas de las figuras 3.3a y 3.3b se aprecia como cambia el espectrograma de
una señal determinada al variar el valor del factor de forma gamma de la wavelet de Gabor,
que como se ve en este caso, al aumentar el valor de gamma se incrementa la localización en
frecuencia de la señal, pero se reduce la localización en el tiempo.
Por tanto, el algoritmo que se utiliza en esta tesis analiza efectivamente el contenido de
frecuencia de señales, así como su variación en el tiempo. Sin embargo, se debe seleccionar un
valor del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor adecuado para cada señal, con la
finalidad de encontrar la representación tiempo-frecuencia óptima de cada señal en cuestión
[20, 28]. Un criterio para encontrar la representación óptima de señales en tiempo-frecuencia,
es por medio del uso de la entropía de Shannon, que se describe en la siguiente sección.
35
Capítulo III
Validación de Algoritmos
3.2. Validación del algoritmo de entropía de Shannon
En la sección 2.3.3 del capítulo II de esta tesis, se introdujo el concepto de entropía de
Shannon, que como se mencionó, es una medida de concentración de energía o incertidumbre
de una señal [20]. Si se utiliza este concepto en conjunto con la transformada wavelet de
Gabor, el proceso de encontrar la entropía mínima de una señal en tiempo-frecuencia, se
traduce en encontrar el valor del factor de forma gamma de la wavelet de Gabor que produzca
el espectrograma con la mayor concentración de energía.
Para validar este concepto, se realizó un algoritmo en Matlab® para encontrar la mínima
entropía de una señal en tiempo-frecuencia. Se utilizó una señal con contenido de frecuencia
variable con el tiempo, la cual es la señal que utilizó Baltazar [19]. En su investigación,
Baltazar utilizó diferentes valores del factor de forma gamma para la wavelet Gabor, con la
finalidad de encontrar el valor que presentara menor dispersión de la señal en cuestión.
Concluye que el valor que presentó menor dispersión es para un valor de  = 5.3364. En la
figura 3.4a se observa la señal tipo chirp y en la figura 3.4b se aprecia su espectrograma con
 = 5.3364.
Señal chirp: f(t) = sen(w*t2) / t(max)
1
0.8
0.6
0.4
Amplitud
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo [seg]
7
Fig. 3.4a. Señal tipo chirp
8
9
-5
x 10
Fig. 3.4b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a
(  = 5.3364)
36
Capítulo III
Validación de Algoritmos
En la figura 3.5a, se presenta la curva de entropía de Shannon para la señal en cuestión. El
espectrograma de la figura 3.5b corresponde al análisis de la señal chirp con el valor del factor
de forma que presenta la mínima entropía; esto es,  = 6.4.
Curva de Entropía
370
365
Entropía de Shannon
360
355
350
345
340
335
X: 6.4
Y: 329.1
330
325
5
5.5
6
6.5
Gamma
7
7.5
8
Fig. 3.5a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.4a
Fig. 3.5b. Espectrograma de la señal de la figura 3.4a
(  = 6.4)
Se observa que prácticamente no existe diferencia entre los espectrogramas para los valores de
gamma de 5.3364 y 6.4.
Por otra parte, Arzola [28], en su investigación, evaluó la misma señal chirp y encontró que el
valor que producía la entropía mínima de la señal es para un valor de  = 6.2. Por tanto, se
considera que el algoritmo que se utiliza en esta tesis para encontrar la entropía mínima de una
señal en tiempo-frecuencia es correcto.
Sin embargo, puesto que cada señal real posee diferente energía, es necesario encontrar la
entropía de Shannon para encontrar el espectrograma que produce la mayor concentración de
energía.
En las figuras 3.6a y 3.6b se observan la curva de entropía y el espectrograma correspondiente
a la entropía mínima para la señal de la figura 3.1a, respectivamente.
37
Capítulo III
Validación de Algoritmos
Entropía de Shannon
449.9
449.85
449.8
Costo de Entropía
449.75
449.7
449.65
449.6
449.55
X: 19
Y: 449.5
449.5
449.45
18
18.2
18.4
18.6
18.8
19
19.2
Gamma
19.4
19.6
19.8
20
Fig. 3.6a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.1a.
Fig. 3.6b. Espectrograma de la señal de la figura 3.1a
(  = 19)
En las figuras 3.7a y 3.7b se aprecian la curva de entropía y el espectrograma correspondiente
a la mayor concentración de energía de la figura 3.2a, respectivamente.
Entropía de Shannon
474.5
474
Costo de Entropía
473.5
473
472.5
472
X: 11.6
Y: 471.3
471.5
471
10
10.2
10.4
10.6
10.8
11
11.2
Gamma
11.4
11.6
11.8
12
Fig. 3.7a. Costo de entropía de la señal de la figura 3.2a.
Fig. 3.7b. Espectrograma de la señal de la figura 3.2a
(  = 11.6)
En las figuras anteriores se aprecia como el cálculo de la entropía de Shannon se considera
como buena práctica para encontrar la representación óptima de señales en tiempo-frecuencia,
38
Capítulo III
Validación de Algoritmos
puesto que se gana localización en frecuencia sin perder localización en el tiempo de las
señales.
3.3. Validación del algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia
Para validar el algoritmo de función de respuesta en tiempo-frecuencia, se considera una señal
de respuesta en el dominio del tiempo. Para adquirir la señal, el espécimen de prueba se colocó
en posición libre-libre y se discretizó en 31 nodos. La señal es la razón entre la respuesta del
espécimen 1 (ver capítulo IV) tomada en el nodo 25 y la excitación del espécimen en el nodo
1. La señal se observa en la figura 3.8a, donde se grafica amplitud en (g/N) contra tiempo.
Función de Respuesta al Impulso
Ent ropía de Shannon
706
30
704
20
702
Costo de Entropía
Inertancia [g/N]
10
0
-10
-20
700
698
696
-30
694
-40
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tiempo [seg]
0.35
0.4
0.45
Fig. 3.8a. Señal en el dominio del tiempo.
692
0
10
20
30
40
50
Gamma
60
70
80
90
Fig. 3.8b. Costo de entropía de la señal de la figura 3.8a.
El espectrograma de la señal de la figura 3.8a se muestra en la figura 3.9, donde los picos de
amplitud máxima representan las frecuencias naturales a flexión de la viga.
El espectro de magnitud de Fourier de la señal en cuestión se grafica en la figura 3.10. En la
tabla 3.1 se comparan las frecuencias naturales obtenidas por teoría, transformada de Fourier y
transformada wavelet.
39
Capítulo III
Validación de Algoritmos
Figura 3.9. Función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia
Función de respuesta a la frecuencia
70
X: 162
Y: 72.89
X: 446
Y: 71
X: 98
Y: 65.69
60
X: 572
Y: 63.47
Inertancia [g/N]
50
X: 442
Y: 39.95
X: 238
Y: 37.88
40
X: 566
Y: 46.85
X: 50
Y: 30.41
30
X: 336
Y: 18.15
20
X: 332
Y: 12.47
10
X: 18
Y: 3.075
0
0
100
200
300
Frecuencia [Hz]
400
500
600
Figura 3.10. Espectro de magnitud de la señal de la figura 3.8a.
40
Capítulo III
Validación de Algoritmos
Tabla 3.1. Comparación de frecuencias naturales obtenidas por teoría y práctica
Cálculo experimental (Hz)
Inexactitud (%)
Cálculo
Frecuencias
teórico Transformada Transformada Transformada Transformada
naturales
wavelet de
wavelet de
(Hz)
de Fourier
de Fourier
Gabor
Gabor
Fn1
17.7
18
18
1.6
1.6
Fn2
48.8
50
50
2.4
2.4
Fn3
95.7
98
98
2.4
2.4
Fn4
158.3
162
160
2.3
1.07
Fn5
235.8
238
240
0.93
1.7
Fn6
329.7
332
334
0.69
1.3
Fn7
438.6
442
444
0.77
1.23
Fn8
563.8
566
568
0.39
0.74
Al comparar los resultados obtenidos de las frecuencias naturales por el método de la
transformada wavelet contra los resultados obtenidos por teoría y el método tradicional de la
transformada de Fourier, se observa la exactitud del método propuesto en esta tesis. Además,
debido a la característica de análisis flexible de la transformada wavelet, se aprecian las
variaciones temporales de las frecuencias naturales del espécimen de prueba.
Por tanto, se concluye que el método de análisis de funciones de respuesta en el dominio
tiempo-frecuencia por medio de transformada wavelet es un método efectivo para encontrar
las frecuencias naturales de estructuras.
41
Capítulo IV
Banco Experimental
Capítulo IV
Descripción del Banco Experimental
4.1. Introducción
En este capítulo se describe la parte experimental de esta tesis, donde se condujeron dos tipos
de pruebas dinámicas. . En la primera, se investiga la velocidad con que se propagan las ondas
flexionantes dentro de un elemento estructural, la cual es función de la frecuencia de las ondas.
En la segunda parte, se investiga la variación temporal de la función de respuesta a la
frecuencia de elementos estructurales.
El objetivo de las pruebas fue adquirir señales tanto de propagación de ondas como de
vibración para obtener los tiempos de arribo de las ondas propagantes, así como las
frecuencias naturales de una estructura por medio de la transformada wavelet.
4.2. Configuración del banco de pruebas.
El banco experimental se compone de especímenes de pruebas, un osciloscopio Tektronix
TDS 2004, un martillo de impacto marca Kistler tipo 9724A2000 con diferentes puntas, un
acelerómetro marca Kistler tipo 8628 B50, amplificadores de señales y una computadora
personal. Las características de cada componente se proporcionan en el apéndice III.
Se instrumentó el espécimen de prueba con un acelerómetro Kistler 8628 B50, para el cual se
montó sobre el material con cera, además que el acelerómetro tiene una cabeza magnética de
montaje. Se conectó el acelerómetro a un amplificador de señales por medio de un cable de
bajo ruido de conexión coaxial negativa tipo 10-32 del lado del acelerómetro y terminación
tipo BNC del lado del amplificador. El otro amplificador de señales se conectó al martillo de
42
Capítulo IV
Banco Experimental
impacto por medio de un cable de bajo ruido con terminaciones tipo BNC. Las salidas de los
dos amplificadores se conectaron a un osciloscopio digital por medio de cables con
terminaciones tipo BNC. La salida del amplificador del martillo se conectó al canal 1 del
osciloscopio, que representa la fuente de excitación del sistema. La salida del amplificador del
acelerómetro se conectó al canal 2 del osciloscopio, que representa la respuesta del sistema.
El osciloscopio, a su vez, se conectó a una computadora personal por medio de una interfaz
RS-232 para el posterior análisis de las señales. La configuración del banco de pruebas se
muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1. Configuración del sistema de adquisición de datos
43
Capítulo IV
Banco Experimental
Una vez que se tiene completa la configuración del sistema, es necesario hacer pruebas para
verificar que los instrumentos están trabajando adecuadamente, y posteriormente establecer las
variables dentro de los intervalos de medición, que depende del tipo de experimento a realizar.
4.3. Primer método experimental. Propagación de ondas.
Para esta prueba se estimuló una viga en condición libre-libre por medio de un impulso con el
martillo de impacto y se registró la respuesta de la viga en un osciloscopio. Para conocer la
velocidad de propagación de las ondas flexionantes dentro de la viga fue necesario adquirir
datos a una velocidad de muestreo del orden de MHz. Posteriormente se analizó la señal
adquirida por medio de transformada wavelet, como se describe a continuación.
La pantalla del osciloscopio donde se registró la señal de propagación se aprecia en la figura
4.2, la cual se describe a continuación. Se muestra en amarillo la señal de excitación y en azul
la señal de respuesta de la viga. El segundo símbolo en la esquina superior izquierda indica
que se tomaron datos en forma de muestreo normal. El símbolo “Ready” indica que la
adquisición se completó. El icono “M Pos: 250.0  s ” indica que la posición del mecanismo
de disparo está a 250.0  s a la izquierda de la línea vertical central de la pantalla.
En la esquina superior derecha, se encuentra el menú “Disparo”, en el cual se especifican las
condiciones en que se adquieren los datos. En este caso, se utilizó “flanco” como tipo de
disparo para el canal 1, que es el canal de la excitación del sistema. Se utilizó la pendiente
positiva de la curva del canal 1. El modo “normal” indica que la adquisición empezó hasta que
se alcanzó un límite en la pendiente de la curva del canal 1, el cual se especifica en la esquina
inferior derecha. En este caso, el límite es 40 mV con pendiente positiva.
En la esquina inferior izquierda, CH1 500 mV indica que la configuración para el canal 1 es de
500 mV por cada división en sentido vertical, en tanto que para el canal 2 es de 5 V por
división en dirección vertical. Por último, “M 50.0  s ” señala el intervalo de tiempo de
44
Capítulo IV
Banco Experimental
adquisición, que es de 50.0  s por cada división en dirección horizontal, lo que es 500  s en
toda la pantalla. Éste último icono señala indirectamente la velocidad de muestreo, que es la
razón entre el número de muestras que se tomaron y el tiempo de adquisición. La memoria del
osciloscopio permite registrar 2500 datos, lo que proporciona una velocidad de muestreo de
5x106 muestras por segundo.
Figura 4.2. Pantalla característica del osciloscopio para propagación de ondas
La señal adquirida se observa en la figura 4.3a, donde se hizo pasar por un filtro de paso bajo
para reducir ruido electrónico.
Posteriormente se calcula la entropía de Shannon de la señal filtrada, lo cual proporcionará la
representación tiempo-frecuencia con mayor concentración de energía de la señal en cuestión,
que se presenta con un valor de gamma de 4.8 de la wavelet de Gabor, como se aprecia en la
figura 4.3b.
45
Capítulo IV
Banco Experimental
Señal de propagación de ondas
Ent ropía de Shannon
60
570
40
560
Costo de Entropía
Amplitud [g]
20
0
-20
-40
550
540
530
-60
520
-80
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tiempo [seg]
3.5
4
510
4.5
Fig. 4.3a. Señal de propagación de ondas
4
4.2
4.4
4.6
-4
x 10
4.8
5
5.2
Gamma
5.4
5.6
5.8
Fig. 4.3b. Entropía de la señal de la figura 4.3a
Figura 4.4. Espectrograma de la señal de la figura 4.3a con
 = 4.8
46
6
Capítulo IV
Banco Experimental
Por último, se calculan los coeficientes wavelet de la señal para el valor de gamma que se
encontró en el paso anterior. Los picos de amplitud corresponden a las ondas que viajan a la
velocidad de grupo dentro del material. La distribución tiempo-frecuencia se observa en la
figura 4.4.
En resumen, el proceso de análisis de señales de propagación de ondas por medio de
transformada wavelet se aprecia en el diagrama de flujo de la figura 4.5.
4.4. Segundo método experimental. Función de respuesta en tiempo-frecuencia
Si se divide la señal de respuesta entre la señal de excitación y se procesa la señal resultante
por medio de wavelets, es posible obtener una función de respuesta en el dominio tiempofrecuencia. Sin embargo, la evaluación directa de la razón entre la señal de respuesta del
sistema y la señal de excitación en el dominio del tiempo, produce división por cero. Por tanto,
se optó por transformar las dos señales, de excitación y de respuesta, al dominio de la
frecuencia. De aquí se obtuvo su FRF. Una vez que se encontró la relación entre salida y
entrada, se aplicó la transformada de Fourier inversa para obtener la función de respuesta en el
dominio del tiempo. A esta señal, se le aplicó la transformada wavelet. En la figura 4.6 se
obtiene la representación de la función de respuesta en tiempo-frecuencia por medio de la
transformada wavelet de Gabor. En la misma figura, se observan las frecuencias naturales de
la viga, las cuales son: 18, 98, 240 y 442 Hz, respectivamente.
Se puede apreciar, por consiguiente, que la figura 4.6 representa la función de respuesta del
sistema en los dominios del tiempo y de la frecuencia simultáneamente, lo que es una ventaja
al sistema tradicional de representación de la respuesta en el dominio de la frecuencia
solamente, porque permite observar la variación en el tiempo de las amplitudes de cada
componente de frecuencia de la señal en cuestión.
Otro método para extraer la función de respuesta en tiempo-frecuencia de un sistema, es por
medio del siguiente procedimiento. Como la evaluación del cociente de la señal de respuesta
47
Capítulo IV
Banco Experimental
del sistema y la señal de excitación produce división por cero, se sumo un valor de uno a todos
y cada uno de los elementos de las señales de excitación y de respuesta. Al efectuar la división
de las señales, el cálculo arrojo otro vector, un vector de función de respuesta en el tiempo.
Por tanto, se procedió a calcular los coeficientes wavelet de la función de respuesta en el
tiempo, lo que produjo la función de respuesta en tiempo-frecuencia, que se muestra en la
figura 4.7. El procedimiento de análisis de las señales de vibración se aprecia en el diagrama
de flujo de la figura 4.8.
Cargar la señal
en el tiempo en
Matlab
Aplicación de filtro de
señales
Cálculo de la TWG
Cálculo de la entropía de
Shannon
¿Se encontró el valor
del factor gama que
produce la mínima
entropía?
No
Sí
Cálculo de la TWG con
valor de factor gamma que
produce la mayor
concentración de energía
Visualización
de resultados
Figura 4.5. Diagrama de flujo para el análisis de señales de propagación de ondas
48
Capítulo IV
Banco Experimental
Figura 4.6. Función de respuesta en tiempo-frecuencia con wavelets
Figura 4.7. Función de respuesta en tiempo-frecuencia.
49
Capítulo IV
Banco Experimental
Cargar la señal
en el tiempo en
Matlab
Aplicación de filtro de
señales
Aplicación de ventanas a las
señales de excitación y de
respuesta
Evaluación de la razón entre
la señal de respuesta y de
excitación
Cálculo de la TWG
Cálculo de la entropía de
Shannon
¿Se encontró el valor del
factor gama que produce
la mínima entropía?
No
Sí
Cálculo de la TWG con valor
de factor gamma que produce
la mayor concentración de
energía
Visualización de
resultados
Figura 4.8. Diagrama de flujo para el análisis de señales de vibración en tiempo-frecuencia
50
Capítulo V
Análisis de Resultados
Capítulo V
Análisis de Resultados
En este capítulo, se presentan los resultados obtenidos del análisis de señales de vibración en
estructuras mecánicas. El capítulo se divide en dos partes; la primera consta del análisis de
señales de propagación de ondas en elementos estructurales. La segunda parte del capítulo,
trata el análisis de señales de vibración y se discuten los resultados obtenidos de la función de
respuesta en el dominio conjugado de tiempo-frecuencia, por medio del uso de la transformada
wavelet de Gabor.
5.1. Análisis de señales de propagación de ondas por medio de la Transformada Wavelet
de Gabor
Se utilizaron tres especímenes diferentes para analizar la propagación de ondas flexionantes en
estructuras mecánicas. Los especímenes y sus propiedades mecánicas se describen en el
apéndice III. En cada espécimen, se utilizaron diferentes velocidades de muestreo para la
adquisición de señales. A continuación, se presentan los resultados obtenidos.
5.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular
Para adquirir una señal de propagación de ondas, se obtuvieron 2500 datos a una velocidad de
muestreo de 10X106 muestras por segundo. La carga de impacto en el espécimen fue a la
mitad de la longitud de la viga y la respuesta se obtuvo a 400 mm de distancia del lugar de la
excitación. La figura 5.1 ilustra la configuración del experimento. La señal en el dominio del
tiempo se observa en la figura 5.2a, donde se grafica la amplitud de la respuesta de aceleración
de la estructura en gravedades (g) contra tiempo.
51
Capítulo V
Análisis de Resultados
Figura 5.1. Configuración del experimento
En la figura 5.2b, se observa la gráfica de entropía de Shannon correspondiente a la señal de la
figura 5.2a, en la cual se grafica la función de costo de entropía contra gamma, que es el factor
de forma de la wavelet de Gabor.
Señal de propagación de ondas para el espécimen I
Ent ropía de Shannon
690
20
688
Costo de Entropía
Amplitud [g]
0
-20
-40
686
684
682
-60
680
-80
0
1
678
2
Tiempo [seg]
Fig. 5.2a. Señal de propagación de ondas
-4
x 10
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
Gamma
4.4
4.6
4.8
5
Fig. 5.2b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.2a.
Como puede observarse en la figura 5.2b, la mínima entropía corresponde al valor de gamma
3.9. Para este valor de gamma, el espectrograma de la señal de la figura 5.2a se observa en la
figura 5.3, que es el espectrograma con la mayor concentración de energía.
52
Capítulo V
Análisis de Resultados
Figura 5.3. Espectrograma de la señal de la figura 5.2a. (  = 3.9)
En esta figura se grafica la magnitud de la señal de propagación contra frecuencia y tiempo. El
intervalo de amplitud va desde un mínimo en azul hasta un máximo en rojo intenso. La
etiqueta ubica el punto de máxima amplitud de la figura, que corresponde a la velocidad de
propagación de ondas en el espécimen. Como se explicó en el capítulo II, esta es la velocidad
de grupo, que es la velocidad con que viajan un grupo de ondas dentro del material. Las letras
“X, Y y Z” en la figura corresponden al tiempo, frecuencia y amplitud de la señal,
respectivamente.
En la figura 5.4 se observan dos curvas de propagación de ondas calculadas teóricamente. En
azul se observa la curva de propagación para la teoría de vigas de Timoshenko, mientras que
en rojo se observa la curva de propagación para la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Estas
curvas se obtienen por medio de una relación entre las relaciones de dispersión y la distancia
de propagación desde el punto de impacto de la viga hasta el lugar donde se adquiere la
respuesta. La relación de dispersión es la velocidad de propagación de ondas. Sin embargo, si
53
Capítulo V
Análisis de Resultados
se relaciona la velocidad de grupo y la distancia de adquisición de la respuesta, se obtiene una
gráfica de frecuencia de velocidad de grupo contra tiempo, similar al análisis tiempofrecuencia por medio de la transformada wavelet. De ésta manera es posible obtener una
comparación directa entre teoría y práctica.
4
Tiempo de arribo a 400 mm
x 10
1.55
Timoshenko
Euler
11670 vs. 0.1908
12600 vs. 0.1825
13530 vs. 0.1708
14000 vs. 0.1583
14000 vs. 0.1492
14470 vs. 0.1258
1.5
1.45
Frecuencia [Hz]
1.4
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
0.12
0.14
0.16
0.18
Tiempo [mseg]
0.2
0.22
0.24
Figura 5.4. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de
Timoshenko y Euler-Bernoulli.
Los puntos que se observan en la figura 5.4 corresponden a los tiempos de arribo de las ondas
propagantes a diferentes frecuencias, los cuáles se obtuvieron de los puntos de amplitud
máxima del espectrograma que se observa en la figura 5.3. La tabla 5.1 muestra los resultados
de la comparación de estos puntos obtenidos experimentalmente con los correspondientes
puntos obtenidos por las teorías de vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli.
Se observa en la figura 5.4 que el punto correspondiente a un tiempo de arribo de 0.1492
milisegundos, con una frecuencia de 14000 Hz es el punto de mayor amplitud en el
espectrograma de la figura 5.3, el cual posee el menor porcentaje de error en la tabla 5.1.
54
Capítulo V
Análisis de Resultados
Tabla 5.1. Comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo
Comparación de tiempos de arribo
Tiempos de arribo
[mseg]
Frecuencia
[Hz]
Teoría de
Timoshenko
Inexactitud
[%]
Teoría de
Práctica
Euler-Bernoulli
Timoshenko vs.
Práctica
Euler-Bernoulli
vs. Práctica
11670
0.1541
0.1529
0.1908
23.81
24.78
12600
0.1498
0.1471
0.1825
21.82
24.06
13530
0.1461
0.1421
0.1708
16.90
20.19
14000
0.1443
0.1397
0.1583
9.70
13.31
14000
0.1443
0.1397
0.1492
3.39
6.80
14470
0.1426
0.1373
0.1258
11.78
8.37
En la tabla anterior se obtuvieron los porcentajes de error de diferentes puntos en el
espectrograma de la figura 5.3, y se verificó que el punto de máxima amplitud proporciona la
mayor precisión del tiempo de arribo que cualquier otro punto en el espectrograma. Sin
embargo, las amplitudes varían de acuerdo al valor de gamma seleccionado para analizar la
señal con transformada wavelet. Para verificar que el uso de la entropía de Shannon es de vital
importancia para encontrar los tiempos de arribo de ondas propagantes en una estructura con
la mayor precisión, se calcularon los porcentajes de error de diferentes puntos de máxima
amplitud de los espectrogramas de la señal de la figura 5.2a con diferentes valores de gamma.
En la figura 5.5 se observa que el menor porcentaje de error es de 3.39 y corresponde a un
valor de gamma de 3.9 y 4. De esta manera, se valida el uso de la entropía de Shannon para
encontrar de manera óptima los tiempos de arribo de las ondas propagantes en estructuras por
medio de transformada wavelet.
Para el análisis de la propagación de ondas en los siguientes especimenes, se utiliza el punto
de máxima amplitud del espectrograma con el valor óptimo del factor de forma gamma de la
wavelet de Gabor.
55
Capítulo V
Análisis de Resultados
Curva de error de la señal de propagación del espécimen I
5.2
5
4.8
Porcentaje de error
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Gamma
4
4.1
4.2
4.3
Figura 5.5. Porcentajes de error de la señal de la figura 5.2a
5.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular
Para adquirir la señal de propagación de ondas flexionantes correspondiente al espécimen II,
se utilizó una velocidad de muestreo de 10X106 muestras por segundo. La excitación se
produjo en el centro de la longitud de la viga y la respuesta se adquirió a 400 mm de distancia
del lugar de la excitación. En la figura 5.6a se observa la señal de propagación en el dominio
del tiempo y en la figura 5.6b se aprecia la curva de entropía de Shannon para esta señal.
En la figura 5.6b se observa que el valor de gamma de 3.9 es el que produce la menor entropía
de la señal en términos tiempo-frecuencia. Por tanto, se procedió a calcular el espectrograma
de la señal 5.6a con el valor de gamma de 3.9, puesto que representa la localización óptima de
la señal en tiempo-frecuencia. Tal espectrograma se observa en la figura 5.7. En la etiqueta de
la figura, se observa que el valor del tiempo de arribo para el grupo de ondas que viajan con
una frecuencia de 13770 Hz es de 0.1525 milisegundos.
56
Capítulo V
Análisis de Resultados
Señal de propagación de ondas para el espécimen II
Ent ropía de Shannon
690
40
685
680
Costo de Entropía
Amplitud [g]
20
0
-20
675
670
-40
665
-60
660
-80
0
1
655
2
Tiempo [seg]
Fig. 5.6a. Señal de propagación de ondas
3
3.2
3.4
3.6
-4
x 10
3.8
4
4.2
Gamma
4.4
4.6
4.8
5
Fig. 5.6b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.6a.
Figura 5.7. Espectrograma de la señal de la figura 5.6a con
 = 3.9
57
Capítulo V
Análisis de Resultados
4
x 10
Tiempo de arribo a 400 mm
1.55
Timoshenko
Euler
13770 vs. 0.1525
1.5
Frecuencia [Hz]
1.45
X: 0.1572
Y: 1.376e+004
1.4
1.35
X: 0.1565
Y: 1.376e+004
1.3
1.25
1.2
0.146 0.148 0.15 0.152 0.154 0.156 0.158 0.16 0.162 0.164 0.166
Tiempo [mseg]
Figura 5.8. Tiempos de arribo teóricos para las teorías de
vigas de Timoshenko y Euler-Bernoulli
Los tiempos de arribo teóricos de las ondas propagantes calculados por las teorías de vigas de
Timoshenko y de Euler-Bernoulli se observan en la figura 5.8, y son de 0.1565 y 0.1572
milisegundos, respectivamente. Al comparar estos tiempos con el tiempo obtenido por medio
del espectrograma de la figura 5.7, se obtiene una inexactitud de 2.55 % entre teoría de vigas
de Timoshenko y práctica y de 2.98 % entre la teoría de vigas de Euler-Bernoulli y práctica.
Se observa que existe muy buena precisión entre los tiempos de arribo teóricos y el obtenido
experimentalmente con transformada wavelet de Gabor.
5.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada
Esta señal se adquirió a una velocidad de 25X106 muestras por segundo. La carga de impacto
fue a la mitad de la longitud de la viga y la respuesta se obtuvo a 500 mm de distancia del
lugar de la excitación. La señal en el dominio del tiempo se observa en la figura 5.8a, donde se
58
Capítulo V
Análisis de Resultados
grafica la amplitud de la respuesta de aceleración de la estructura de prueba en gravedades (g)
contra tiempo.
Señal de propagación de ondas en el espécimen 1
Ent ropía de Shannon
688
30
687.5
25
687
Costo de Entropía
35
Amplitud [g]
20
15
10
5
686.5
686
685.5
685
0
684.5
-5
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo [seg]
7
8
684
9
Fig. 5.9a. Señal de propagación de ondas
3
3.5
-5
x 10
4
4.5
Gamma
5
5.5
6
Fig. 5.9b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.9a.
Para ésta señal, la entropía mínima corresponde a un valor de gamma de 3.0. El espectrograma
de la señal de la figura 5.9a con un valor de gamma de 3.0 para la wavelet de Gabor se observa
en la figura 5.10. En la etiqueta de la figura, se observa el tiempo de arribo a 500 mm de
0.1508 milisegundos para una frecuencia de 14000 Hz.
En la figura 5.11, se grafica la frecuencia de las ondas que se propagan en el espécimen contra
el tiempo de arribo de dichas ondas. Asimismo, se grafica el punto de amplitud máxima
obtenido en el espectrograma que se muestra en la figura 5.10.
La comparación de los tiempos de arribo de las ondas entre la teoría de vigas de Timoshenko
y práctica arroja una inexactitud de 4.7 %, mientras que la comparación entre la teoría de vigas
de Euler-Bernoulli y práctica proporciona una inexactitud de 33.64 %. Una vez más, los
resultados son congruentes con respecto a la teoría de vigas de Timoshenko.
59
Capítulo V
Análisis de Resultados
Figura 5.10. Espectrograma de la señal de la figura 5.9a con
4
 = 3.0.
Tiempo de arribo a 500 mm
x 10
3.8
Timoshenko
Euler
34530 vs. 0.09433
3.7
3.6
X: 0.07058
Y: 3.453e+004
Frecuencia [Hz]
3.5
X: 0.09899
Y: 3.453e+004
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
Tiempo [mseg]
0.12
0.13
0.14
Figura 5.11. Tiempos de arribo para las teorías de vigas de
Timoshenko y Euler-Bernoulli.
60
Capítulo V
Análisis de Resultados
5.2. Análisis de señales de vibración mecánica por medio de transformada wavelet de
Gabor
En esta sección se describen los resultados obtenidos a partir del procesamiento de señales de
vibración mecánica por medio de la transformada wavelet de Gabor. Para la adquisición de las
señales de vibración y su posterior análisis, se utilizó el espécimen III y el algoritmo para
obtener la función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia. Las propiedades del
elemento de prueba se describen en el apéndice III.
Para adquirir las señales de vibración, se discretizó el espécimen de prueba en 31 elementos,
con una distancia de 91 mm entre nodo y nodo. Se colocó un acelerómetro en el nodo 25, a
2722 mm de distancia del primer nodo, para encontrar la respuesta de la estructura al impulso.
Se procedió a impactar a la viga con el martillo de impacto en cada nodo, y se obtuvieron 31
señales de vibración, que corresponden a una fila de la matriz de función de respuesta a la
frecuencia de la estructura.
La primera señal corresponde a la señal de vibración de la estructura con la excitación en el
nodo 2 y la respuesta en el nodo 25. La señal es una función de respuesta al impulso y se
observa en la figura 5.12a, en la cual, se grafica inertancia (g/N) contra tiempo.
En la figura 5.12b se grafica la función de costo de entropía contra el valor del factor de forma
gamma de la wavelet de Gabor, con la finalidad de encontrar el valor de gamma que produce
la mínima entropía de la señal en términos tiempo-frecuencia. Se observa que en el intervalo
de valores de gamma de 60 hasta 90, la entropía es aproximadamente de 680. Prácticamente,
la variación de entropía en este intervalo de valores de gamma es mínima, por lo que si se
utiliza cualquier valor dentro de este intervalo se obtiene la mayor concentración de energía de
la señal, lo que se traduce en la localización óptima de la señal en tiempo-frecuencia.
61
Capítulo V
Análisis de Resultados
Función de Respuesta al Impulso
Ent ropía de Shannon
710
30
705
700
Costo de Entropía
Inertancia [g/N]
20
10
0
695
690
-10
685
-20
680
-30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tiempo [seg]
0.35
0.4
0.45
Fig. 5.12a. Respuesta al impulso en el nodo2
675
0
10
20
30
40
50
Gamma
60
70
80
90
Fig. 5.12b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.12a.
Figura 5.13. Espectrograma de la señal de la figura 5.12a con
 = 60
En la figura 5.13 se observa la función de respuesta en el dominio tiempo-frecuencia de la
estructura para la señal de la figura 5.12a, donde se utilizó un valor de 60 para el factor de
forma gamma de la wavelet de Gabor. En la figura, se grafica inertancia contra frecuencia y
tiempo. Los valores de inertancia están normalizados, van desde un mínimo en azul, que
62
Capítulo V
Análisis de Resultados
corresponde a un valor cero, hasta un máximo en rojo intenso, que corresponde a un valor de
uno. Los picos presentes en la figura representan las frecuencias naturales del espécimen. Las
etiquetas en la figura indican tiempo, frecuencia y amplitud para las letras X, Y y Z,
respectivamente.
Con el propósito de comparación, en la figura 5.14 se presenta el espectro de magnitud de
Fourier de la señal de la figura 5.12a. Los picos de amplitud máxima en la figura representan
las frecuencias naturales flexionantes de la viga en posición libre-libre. Se observa que los
picos de mayor amplitud en la figura 5.14 coinciden aproximadamente con los de la figura
5.13, los cuales identifican las frecuencias de 18, 50, 98, 162, 238, 332, 442 y 566 Hz, que son
las primeras 8 frecuencias naturales flexionantes de la viga, respectivamente.
Función de respuesta a la frecuencia
8
7
X: 98
Y: 7.394
X: 162
Y: 7.071
Inertancia [g/N]
6
5
X: 50
Y: 4.013
X: 446
Y: 3.329
4
X: 238
Y: 2.842
3
X: 442
Y: 1.629
2
X: 332
Y: 0.6911
X: 18
1
Y: 0.4478
0
0
X: 572
Y: 2.143
X: 566
Y: 1.009
100
200
300
Frecuencia [Hz]
400
500
600
Figura 5.14. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.12a.
La señal de la figura 5.15a corresponde a la función de respuesta al impulso de la estructura en
el nodo 16, que es el punto medio de la longitud de la viga. En la figura 5.15b se presenta la
curva de entropía de Shannon para la señal de la figura 5.15a.
63
Capítulo V
Análisis de Resultados
Función de Respuesta al Impulso
Ent ropía de Shannon
710
300
705
200
700
Costo de Entropía
Inertancia [g/N]
100
0
-100
695
690
685
680
-200
675
-300
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tiempo [seg]
0.35
0.4
0.45
Fig. 5.15a. Respuesta al impulso en el nodo 16
670
0
10
20
30
40
50
Gamma
60
70
80
90
Fig. 5.15b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.15a.
Figura 5.16. Espectrograma de la señal de la figura 5.15a con
 = 60
Se observa que en el intervalo de valores de gamma de 55 a 90 la entropía prácticamente no
varía y, por tanto, cualquier valor dentro de este intervalo representará una buena localización
en tiempo-frecuencia de la señal en cuestión.
64
Capítulo V
Análisis de Resultados
En la figura 5.16 se observa el espectrograma de la señal de la figura 5.15a con un valor de
gamma de 60. Solamente se observan las frecuencias naturales de los modos simétricos, ya
que el nodo 16 corresponde al centro de la viga y, por consiguiente, solamente se excitan los
modos de vibración cuyas amplitudes no son próximas a cero alrededor del nodo 16. Las
frecuencias naturales que se observan son de 18, 98, 240 y 444 Hz, y corresponden al primero,
tercero, quinto y séptimo modos de vibración de la viga.
En la figura 5.17 se presenta el espectro de magnitud de Fourier correspondiente a la señal de
la figura 5.15a. Se observa el mismo contenido de frecuencias que el espectrograma de la
figura 5.16.
Función de respuesta a la frecuencia
X: 446
Y: 11
10
9
Inertancia [g/N]
8
X: 98
Y: 6.426
7
X: 442
Y: 6.407
6
X: 238
Y: 4.531
5
4
3
2
X: 18
Y: 0.271
1
0
0
100
200
300
Frecuencia [Hz]
400
500
600
Figura 5.17. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.14a
En la señal de la figura 5.18a se observa la respuesta al impulso de la viga en el nodo 21. La
figura 5.18b ilustra la función de costo de entropía de la señal en tiempo-frecuencia. El
intervalo de valores gamma donde la entropía es mínima es de 60 a 90.
65
Capítulo V
Análisis de Resultados
Función de Respuesta al Impulso
Ent ropía de Shannon
715
60
710
40
705
Costo de Entropía
Inertancia [g/N]
20
0
-20
700
695
690
685
-40
680
-60
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tiempo [seg]
0.35
0.4
0.45
Fig. 5.18a. Respuesta al impulso en el nodo 21
675
0
10
20
30
40
50
Gamma
60
70
80
90
Fig. 5.18b. Curva de entropía de la señal de la figura 5.18a.
Figura 5.19. Espectrograma de la señal de la figura 5.18a con
 = 60
El espectrograma de la figura 5.19 corresponde a la señal de la figura 5.18a. Se utilizó un valor
de gamma de 60. Se aprecia como cambian las amplitudes de las frecuencias naturales al
cambiar la posición de la excitación. Nuevamente, la comparación de las frecuencias naturales
66
Capítulo V
Análisis de Resultados
obtenidas por medio de la función de respuesta en tiempo-frecuencia que se observa en la
figura 5.19 y la función de respuesta a la frecuencia de la figura 5.20, obtiene buena exactitud.
Función de respuesta a la frecuencia
15
X: 566
Y: 8.868
Inertancia [g/N]
10
X: 162
Y: 4.644
5
X: 50
Y: 2.417
X: 98
Y: 1.491
X: 332
Y: 0.4242
X: 18
Y: 0.19
0
0
100
X: 442
Y: 4.034
X: 238
Y: 3.939
200
300
Frecuencia [Hz]
400
500
600
Figura 5.20. Espectro de magnitud de la señal de la figura 5.18a.
Por tanto, se comprobó que el método de análisis de funciones de respuesta en el dominio
tiempo-frecuencia por medio de transformada wavelet es un método alternativo efectivo para
encontrar la función de respuesta en tiempo-frecuencia de estructuras mecánicas, además de
encontrar la variación temporal de las amplitudes de dichas frecuencias.
5.3. Discusión de resultados
Para las señales de propagación de ondas en estructuras, fue posible determinar los tiempos de
arribo de las ondas dispersivas generadas por impacto mecánico por medio de la transformada
wavelet. Para la verificación de los resultados, se utilizaron las teorías de vigas de Timoshenko
y de Euler- Bernoulli para comparar los valores de los tiempos de arribo que se obtuvieron por
experimentación con los tiempos de arribo teóricos que se obtienen en ambas teorías de vigas.
67
Capítulo V
Análisis de Resultados
Para el espécimen I, se utilizó el punto de máxima amplitud en el espectrograma de la figura
5.3, para el cual, el tiempo de arribo es de 0.1492 milisegundos, que corresponde a una
frecuencia de 14000 Hz. Este espectrograma corresponde a la señal de propagación analizada
con una wavelet de Gabor con un valor del factor de forma gamma de 3.9, el cual se
seleccionó de acuerdo al criterio de localización de entropía de Shannon. En la tabla 5.1 se
aprecia que el tiempo de arribo para el punto de máxima amplitud es el que produce el menor
porcentaje de inexactitud en comparación con las teorías de vigas de Timoshenko y de EulerBernoulli. Sin embargo, el resultado obtenido experimentalmente se aproxima más al valor
obtenido por la teoría de vigas de Timoshenko.
Para el espécimen II, se encontró un tiempo de arribo de 0.1525 milisegundos, correspondiente
a la frecuencia de 13770 Hz. Al igual que el espécimen I, se utilizó el punto de máxima
amplitud en el espectrograma de la figura 5.7, ya que es el punto que presenta mayor
aproximación de los datos teóricos. Este espectrograma se evaluó con un factor de gamma de
3.9, el cual se seleccionó conforme al criterio de entropía de Shannon. La comparación del
tiempo de arribo obtenido experimentalmente con los tiempos de arribo obtenidos por las
teorías de vigas de Timoshenko y de Euler-Bernoulli proporciona una inexactitud de 2.55 % y
de 2.98 %, respectivamente. Sin embargo, existe mayor aproximación en la teoría de vigas de
Timoshenko.
Para el espécimen III, se utilizó una wavelet de Gabor con un factor de gamma de 3, el cual es
el valor que presenta la mayor concentración de energía para la señal en tiempo-frecuencia de
acuerdo al criterio de entropía de Shannon. Nuevamente, se utilizó el pico de amplitud
máxima en el espectrograma correspondiente a este espécimen para encontrar el tiempo de
arribo obtenido por experimentación, el cual es de 0.09433 milisegundos, correspondiente a
una frecuencia de 34530 Hz. La comparación teórico-práctica de los tiempos de arribo
proporciona una inexactitud de 4.7% con respecto a la teoría de vigas de Timoshenko y de
33.64 % con respecto a la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Como se esperaba, se obtiene
una buena aproximación con la teoría de vigas de Timoshenko, sin embargo, no existe buena
68
Capítulo V
Análisis de Resultados
aproximación con la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, debido a que el punto de máxima
amplitud está fuera del intervalo de frecuencia donde se aplica esta teoría de vigas para la
evaluación de propagación de ondas dispersivas.
En general, para evaluar los tiempos de arribo de ondas propagantes producidos por impacto
mecánico en estructuras por medio de transformada wavelet, es primordial encontrar el valor
del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor que proporcione la mayor concentración
de energía de la señal en términos tiempo-frecuencia. Esto proporcionará una identificación
eficiente del punto de amplitud máxima de los tiempos de arribo de las ondas propagantes en
la estructura.
Para las señales de vibración mecánica del espécimen III, se logró determinar una función de
respuesta en el dominio tiempo-frecuencia, lo que proporciona las frecuencias naturales de una
estructura.
En todas las señales de vibración, se detectaron las frecuencias naturales de la estructura a
partir de los picos de máxima amplitud de los diferentes espectrogramas presentados en las
figuras 5.13, 5.15 y 5.19.
Al igual que en las señales de propagación de ondas dispersivas, fue necesario encontrar la
entropía de Shannon de cada señal de vibración para encontrar la distribución tiempofrecuencia de los espectrogramas que proporcionan la mayor concentración de energía y por
tanto, una buena localización de las frecuencias naturales del sistema.
En general, se concluye que el método propuesto en esta tesis para encontrar una función de
respuesta en tiempo-frecuencia es efectivo para localizar las frecuencias naturales de una
estructura. Lo interesante de los resultados obtenido de los espectrogramas de las figuras 5.13,
5.16 y 5.19, es que se encontró una variación en el tiempo de las frecuencias naturales de
vibración, lo que no se esperaba al obtener la función de respuesta en tiempo-frecuencia.
69
Capítulo V
Análisis de Resultados
Sin embargo, las variaciones de amplitud de las frecuencias naturales pueden ser debido a que
la estructura de prueba rebasó un límite lineal de comportamiento, lo que no podría conocerse
simplemente por medio de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.
70
Capítulo VI
Conclusiones y Recomendaciones
Capítulo VI
Conclusiones y Recomendaciones
6.1. Conclusiones
En el presente trabajo, se analizó la respuesta que presentan las estructuras mecánicas al
ser sometidas a una carga de impacto por medio de transformada wavelet. La respuesta se
analizó tanto a altas frecuencias como a bajas frecuencias, que corresponden a propagación
de ondas y vibraciones mecánicas en estructuras, respectivamente.
Se determinó que los puntos de máxima amplitud de los espectrogramas obtenidos del
procesamiento de señales de propagación de ondas por medio de transformada wavelet
proporcionan los tiempos de arribo de las ondas propagantes que producen la mayor
aproximación a los datos teóricos.
Para identificar de manera óptima los tiempos de arribo de las ondas propagantes
producidas por impacto mecánico por medio de transformada wavelet, es primordial
encontrar el valor del factor de forma gamma para la wavelet de Gabor que proporcione la
mayor concentración de la energía de la señal en términos tiempo-frecuencia, de acuerdo
al criterio de entropía de Shannon.
Tanto la teoría de vigas de Timoshenko como la de Euler-Bernoulli proporcionan buenos
resultados en el análisis de señales de propagación de ondas siempre y cuando las
frecuencias de las ondas propagantes estén dentro de un intervalo de hasta 15000 Hz. Sin
embargo, para señales de propagación con contenido de frecuencia mayor a 15000 Hz, se
recomienda usar solamente la teoría de vigas de Timoshenko.
71
Capítulo VI
Conclusiones y Recomendaciones
El algoritmo que se realizó para evaluar la función de respuesta de una estructura en
tiempo-frecuencia determina con gran precisión las frecuencias naturales de la estructura,
además de encontrar la variación temporal de las amplitudes de cada frecuencia natural.
Al igual que en las señales de propagación de ondas, para analizar señales de vibración por
medio de la transformada wavelet es necesario encontrar la entropía de Shannon de cada
señal de vibración para encontrar la distribución tiempo-frecuencia de los espectrogramas
que proporcionan la mayor concentración de energía y por tanto, una buena localización de
las frecuencias naturales del sistema.
6.2. Recomendaciones y trabajos futuros
1. Utilizar el método de la transformada wavelet para la detección de discontinuidades de
señales de vibración producidas por grietas, sopladuras, porosidades, etc., que tienen
lugar en estructuras mecánicas.
2. Realizar un algoritmo para el desenvolvimiento de la fase de señales de vibración
3. Elaborar un algoritmo para extraer el esqueleto del mapa tiempo-frecuencia de señales
de vibración, puesto que el esqueleto de la transformada wavelet esta ligado a la fase
de una señal.
4. Con los algoritmos anteriores en conjunto con el de transformada wavelet, extraer los
parámetros modales de estructuras mecánicas, como amortiguamiento y formas
modales.
5. Utilizar el algoritmo propuesto en esta tesis para analizar señales de vibración de
estructuras más complejas.
72
Capítulo VI
Conclusiones y Recomendaciones
6. Extender el análisis de funciones de respuesta en tiempo-frecuencia para elementos
estructurales no-lineales.
73
Referencias
Referencias
[1] Gere, J. M., Timoshenko, S. P., 1998, Mecánica de Materiales, International Thomson
Publishing, México, Cap. 2, pp. 12-132.
[2] Martínez, E., 1999, “Análisis del Impacto de Vigas de Sección Rectangular Sometidas a
Vibración Forzada”, Tesis de Maestría de Ciencias, Centro Nacional de Investigación y
Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México.
[3] Doyle, J. F., Kamle, S., 1985, “An Experimental Study of the Reflection and Transmission
of Flexural Waves at Discontinuities”, ASME J. Appl. Mech., 52, pp. 669-673.
[4] Schwieger, H., 1965, “A Simple Calculation of the Transverse Impact on Beams and Its
Experimental Verification”, Experimental Mechanics, pp. 378-384.
[5] Doyle, J. F., 1987, “An Experimental Method for Determining the Location and Time of
Initiation of an Unknown Dispersing Pulse”, Experimental Mechanics, pp. 229-233.
[6] Hutchinson, J. R., 2001, “Shear Coefficients for Timoshenko Beam Theory”, ASME J.
Appl. Mech., 68, pp. 87-92.
[7] Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., Nawab, S. H., 1998, Señales y Sistemas, Pearson
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[8] Cooley, J. W., Tukey, J. W., 1965, “An Algorithm for the Machine Calculation of
Complex Fourier Series”, Mathematics of Computation, 19(90), pp. 297-301.
[9] Matlab7(R), Wavelet Toolbox, The MahWorks Inc.
74
Referencias
[10] Faundez, P., Fuentes, A., “Procesamiento Digital de Señales Acústicas Utilizando
Wavelets”, Instituto de Matemáticas UACH.
[11] Addison, P. S., 2002, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics
Publishing, London, UK. Cap. 2.
[12] Mallat, S., 1989, “A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet
Representation”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2(7), pp.
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[13] Daubechies, I., 1990, “The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal
Analysis”, IEEE Trans. Inf. Theory, 36(5), pp. 961-1005.
[14] Mallat, S., Hwang, W. L., 1992, “Singularity Detection and Processing with Wavelets”,
IEEE Trans. Inf. Theory, 38(2), pp. 617-643.
[15] Rioul, O., Vetterli, M., 1991, “Wavelets and Signal Procesing”, IEEE Signal Processing
Magazine, pp. 14-38.
[16] Hlawatsch, F., Boudreaux-Bartels, G. F., 1992, “Linear and Quadratic Time-Frequency
Signal Representations”, IEEE Signal Processing Magazine, pp. 21-66.
[17] Kishimoto, K., Inoue, H., Hamada, M., Toshikazu, S., 1995, “Time Frequency Analysis
of Dispersive Waves by Means of Wavelet Transform”, ASME J. Appl. Mech., 62, pp. 841846.
[18] Inoue, H., Kishimoto, K., Shinuya, T., 1996, “Experimental Wavelet Analysis of Flexural
Waves in Beams”, Experimental Mechanics, 36(3), pp. 212-217.
75
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[19] Baltazar-Lopez, M., 2003, “Applications of TAP-NDE Technique to Non-Contact
Ultrasonic Inspection in Tubulars”, Ph. D. Thesis, Texas A&M University, College Station,
Texas.
[20] Hong, J. C., Kim, Y. Y., 2004, “Determination of the Optimal Gabor Wavelet Shape for
the Best Time-Frequency Localization Using the Entropy Concept”, Experimental Mechanics,
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[21] Ruzzene, M., Fasana, A., Garibaldi, L., Piombo, B., 1997, “Natural Frequencies and
Dampings Identification Using Wavelet Transform: Application to Real Data”, Mechanical
Systems and Signal Processing, 11(2), pp. 207-218.
[22] Tang, S., 2000, “On the Time-Frequency Analysis of Signals That Decay Exponentially
With Time”, Journal of Sound and Vibration, 234(2), pp. 241-258.
[23] Slavic, J., Simonovski, I., Boltezar, M., 2003, “Damping Identification Using a
Continuous Wavelet Transform: Application to Real Data”, Journal of Sound and Vibration,
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[24] Argoul, P., Le, T., 2003, “Instantaneous Indicators of Structural Behaviour Based on the
Continuous Cauchy Wavelet Analysis”, Mechanical Systems and Signal Processing, 17(1), pp.
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[25] Le, T., Argoul, P., 2004, “Continuous Wavelet Transform for Modal Identification Using
Free Decay Response”, Journal of Sound and Vibration, 277, pp. 73-100.
[26] Sone, A., Hata, H., Masuda, A., 2004, “Identification of Structural Parameters Using the
Wavelet Transform of Acceleration Measurements”, Transactions of the ASME Journal of
Pressure Vessel Technology, 126, pp. 128-133.
76
Referencias
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[28] Arzola, J. M., 2007, “Análisis de Vibraciones en Chumaceras Mecánicas Mediante
Transformada Wavelet”, Tesis de Maestría, Centro Nacional de Investigación y Desarrollo
Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México.
77
Apéndice I
Teoría de vigas Euler-Bernoulli
Apéndice I
Teoría de vigas Euler-Bernoulli
Se considera una viga larga y delgada con las cargas aplicadas como se muestra en la figura
2.1. El modelo Euler-Bernoulli considera que la deflexión en la línea de centros  ( x, t ) es
pequeña y solamente transversal. Mientras esta teoría asume la presencia de una carga
transversal, se desprecia cualquier deformación cortante a causa de la misma [1].
Si se expanden los desplazamientos en una serie de Taylor alrededor de desplazamientos del
plano medio u  x, 0  y  ( x, 0) se obtiene:
u  x, y   u  x, 0   y
 ( x, y )    x, 0   y
u
y

y
 ...  u ( x)  y ( x)  ...
(Ec. A1.1)
 ...   ( x)  y ( x)  ...
(Ec. A1.2)
y 0
y 0
Figura A1.1. Viga delgada y distribución de cargas
78
Apéndice I
Teoría de vigas Euler-Bernoulli
Donde la notación es:
u ( x )  u  x, 0  ,  ( x )    x, 0 
 ( x)  
u
y
, ( x) 
y 0

y
(Ec. A1.3)
(Ec. A1.4)
y 0
Puesto que interesan las deformaciones flexionantes, se hace u  x, 0   0 . Esta teoría de vigas
supone que la deflexión vertical es aproximadamente constante a través del espesor, mientras
los desplazamientos horizontales siguen la suposición de “las secciones planas permanecen
planas” [3]. Por consiguiente, se retiene solamente un término en cada expansión y por tanto
se obtienen los desplazamientos aproximados como:
u  x, y    y ( x)
(Ec. A1.5)
  x, y    ( x )
(Ec. A1.6)
Las deformaciones unitarias axiales y cortantes correspondientes a estas deformaciones son:
 xx 
u

 y
x
x
(Ec. A1.7)
 xy 
u  
 

   

y x 
x 
(Ec. A1.8)
Para una viga muy delgada, se hace la suposición de que no hay deformación cortante, a pesar
de que la fuerza cortante está presente. Por consiguiente, se obtiene:
79
Apéndice I

Teoría de vigas Euler-Bernoulli

x
(Ec. A1.9)
Y la única deformación es:
 2
 xx   y 2
x
(Ec. A1.10)
Para una viga de este tipo que experimenta deformación flexionante, se espera que el esfuerzo
dominante sea  xx . De aquí, se supone que la viga se encuentra en estado uni-axial:
 xx   yE

 2
  yE 2
x
x
(Ec. A1.11)
El momento resultante se obtiene integrando la relación anterior como:
M    xx ydA  EI
 2
x 2
(Ec. A1.12)
Donde I es el segundo momento de área y la combinación EI se llama rigidez a flexión. Se
consideran dos tipos de carga distribuida: q  x, t  es la carga transversal, mientras q es el
torque distribuido. Las ecuaciones de movimiento en la dirección y y alrededor del eje z son:
V
 2

  A 2  A
 q
x
t
t
(Ec. A1.13)
M
 V   q
x
(Ec. A1.14)
Se desprecia cualquier inercia de rotación. Sustituyendo para el momento obtenemos:
80
Apéndice I
q
 2   2 
 2

EI


A


A

q
x
,
t

q






x 2  x 2 
t 2
t
x
EI
 4
 2



A
 A
 q  x, t 
4
2
x
t
t
Teoría de vigas Euler-Bernoulli
(Ec. A1.15)
(Ec. A1.16)
81
Apéndice II
Teoría de vigas de Timoshenko
Apéndice II
Teoría de vigas de Timoshenko
Considere una viga rectangular de longitud L, espesor h, y ancho b. Si b es pequeño, entonces
se puede considerar a la viga en condición de esfuerzo plano [1].
Los desplazamientos se expanden en una serie de Taylor alrededor de los desplazamientos del
plano medio u  x, 0  y  ( x, 0) como:
u  x, y   u  x, 0   y
 ( x, y )    x, 0   y
u
y
y 0

y
y 0
 ...  u ( x)  y ( x)  ...
(Ec. A2.1)
 ...   ( x)  y ( x)  ...
(Ec. A2.2)
Figura A2.1. Viga de Timoshenko con cargas en los extremos
Donde la notación es:
u ( x )  u  x, 0  ,  ( x )    x, 0 
(Ec. A2.3)
82
Apéndice II
 ( x)  
Teoría de vigas de Timoshenko
u
y
, ( x) 
y 0

y
(Ec. A2.4)
y 0
El interés es sobre las deformaciones flexionantes, por tanto, u  x, 0  = 0. Se hace la
consideración de que la deflexión vertical es aproximadamente constante mientras la
horizontal es aproximadamente lineal. Por tanto, se retiene solamente un término en cada
expansión y los desplazamientos son:
u  x, y    y ( x) ;   x, y    ( x)
(Ec. A2.5)
Es decir, la deformación está gobernada por dos funciones independientes,  ( x) y  ( x) , que
dependen solamente de la posición a lo largo de la línea de centros de la viga. Las
deformaciones axiales y cortantes correspondientes a los desplazamientos anteriores son:
 xx 
u


u  
 
;  yy 
 y
 0 ;  xy 

   

x
x
y
y x 
x 
(Ec. A2.6)
Para una viga delgada sometida a deformación por flexión, se esperaría que  yy   xx . De
este modo, se hace  yy  0 . Por tanto, los esfuerzos son:
 xx   yE

 

;  xy  G   

x
x 

(Ec. A2.7)
Sustituyendo los esfuerzos en la densidad de energía de deformación, tenemos:
1
1
1

1

U     xx xx   xy  xy  d    E xx2  G xy2 d 
2
2
2
2




(Ec. A2.8)
Y sustituyendo la deformación para obtener la energía total de deformación, queda:
83
Apéndice II
Teoría de vigas de Timoshenko
2
L h/2
 2   2
1
  

U     Ey    G   
 bdydx
2 0  h / 2 
x  
 x 

U
2
2
L
1    
  

E
I

GA


  

 dx
2 0   x 
x  

(Ec. A2.9)
(Ec. A2.10)
La energía cinética total es:
L
1
1
2
T    u ( x, t ) 2    x, t   d       y 2 2   2 dAdx


2
20A

L
1
T     A 2   I 2  dx
20
(Ec. A2.11)
Si las fuerzas de superficie y las cargas sobre la viga son como se muestra en la figura 2.4,
entonces la energía potencial de las cargas es:
L
V    q( x) dx  M LL  M 00  VL L  V00
(Ec. A2.12)
0
L
V    q ( x ) dx  M  0  V  0
L
L
(Ec. A2.13)
0
Y usando el principio de Hamilton para la viga, obtenemos:
2
2
t2  L


1    
  
L
L
 1

       A 2   I  2    EI    GA   
   q  dx  M  0  V  0  dt  0
2
2   x 
x  

t1 


 0 
(Ec. A2.14)
Tomando la variación dentro de las integrales y usando integración por partes, obtenemos:
84
Apéndice II
t2
L
 
t1
0

Teoría de vigas de Timoshenko
 
   GA    x   EI
L


 2

 
 

 
 

L
L
 

  I  dx   GA   
 M    0  GA   
   A  q   dx   EI
  V    0  dt  0
x
x 
x 
x 
 x


 


0 

(Ec.
A2.15)
El hecho de que las variaciones  y  pueden variarse separada y arbitrariamente, y que los
desplazamientos sobre las integrales también son arbitrarios, se concluye que los términos de
los corchetes que:
  

     A  q

 x  x

2

 

EI 2  GA 
     I 
x

x


GA
(Ec. A2.16)
Las condiciones de frontera se obtienen de los términos restantes y se especifican en términos
de cualquier par de condiciones seleccionadas de los siguientes grupos:



   ;  ó M  EI
x
 x

 ó V  GA 
(Ec. A2.17)
Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones de movimiento de Timoshenko para una viga. Se
aprecia que en ésta teoría, se considera el efecto de la deformación cortante, así como el efecto
de la inercia rotacional.
Sin embargo, en esta teoría se introduce un coeficiente de carga cortante, por la suposición de
que la carga transversal no es constante y, por tanto, varía conforme varía la sección
transversal de un elemento de carga. Por consiguiente, las ecuaciones de Timoshenko para la
viga quedan en la forma de la ec. A2.18, donde el parámetro K1 es el coeficiente de cortante y
K 2 es un parámetro que afecta a la inercia de rotación.
85
Apéndice II
  

     A  q

x  x

2

 

EI 2  GAK1       IK 2
x
 x

Teoría de vigas de Timoshenko
GAK1
(Ec. A2.18)
86
Apéndice III
Banco Experimental
Apéndice III
Banco Experimental
A3.1. Especímenes de prueba.
Los especímenes de prueba son barras de acero al carbono ASTM A-36 y AISI 1018. Las
configuraciones son:
A3.1.1. Espécimen I. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal cuadrada
Fig. A3.1. Espécimen de prueba I
Propiedades:
A = 1.024 X 10-3 m2
I = 2.184533 X 10-8 m4
G = 79.3 GPa
E = 200 GPa
  7850 Kg/m3
87
Apéndice III
Banco Experimental
A3.1.2. Espécimen II. Barra de acero AISI 1018 de sección transversal rectangular
Fig. A3.2. Espécimen de prueba II
Propiedades:
A = 6.4516 X 10-4 m2
I = 8.67148 X 10-9 m4
G = 80 GPa
E = 205 GPa
  7870 Kg/m3
A3.1.3. Espécimen III. Barra de acero ASTM A-36 de sección transversal rectangular
Fig. A3.3. Espécimen de prueba III
Propiedades:
A = 6.4516 X 10-4 m2
I = 3.468595 X 10-8 m4
88
Apéndice III
Banco Experimental
G = 79.3 GPa
E = 200 GPa
  7850 Kg/m3
A3.2. Martillo de impacto.
El martillo es de la marca Kistler del tipo 9724A2000. Tiene un intervalo de fuerza de 2000
N, intervalo de frecuencias de 6600 Hz, frecuencia de resonancia de 27 kHz y una sensibilidad
nominal de 2 mV/N. El martillo cuenta con varias puntas, que se seleccionan de acuerdo al
intervalo de frecuencias que se desea excitar.
Fig. A3.4. Martillo de impacto con diferentes puntas
A3.3. Sensor de respuesta del sistema
Para sensar la respuesta del sistema, se utilizó un acelerómetro marca Kistler 8628 B50, con
un intervalo de medición de 50g’s, una sensibilidad transversal de 103.1 mV/g, frecuencia de
resonancia de 22 kHz, y un intervalo de respuesta a la frecuencia de 0.5 Hz hasta 5 kHz.
89
Apéndice III
Banco Experimental
Fig. A3.5. Acelerómetro
A3.4. Sistema de adquisición de datos
Se utilizó un osciloscopio digital marca Tektronix TDS 2004 de cuatro canales. Tiene un
ancho de banda de 60 MHz y una velocidad de muestreo máxima de 1x109 muestras por
segundo.
Fig. A3.6. Osciloscopio digital
A3.5. Amplificador de señales.
Se utilizaron dos amplificadores de señales de 6 a 28 V de corriente directa de marca Kistler
tipo 5118A1, los cuales se instrumentaron entre el martillo de impacto y el osciloscopio, y
entre el acelerómetro y el osciloscopio.
90
Apéndice III
Banco Experimental
Fig. A3.7. Amplificadores de señales
A3.6. Cables
Se utilizaron cables de bajo ruido para conectar los sensores de excitación y de respuesta a los
amplificadores de señales, y de ahí al osciloscopio. El cable de conexión del acelerómetro al
amplificador de señal tiene una punta con conexión roscada 10-32 positiva y la otra punta
tiene terminación tipo BNC positiva. Los demás cables son de bajo ruido con terminaciones
BNC-BNC.
Figura A3.8. Cables de bajo ruido
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