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UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA
TRANSMISIÓN DE POTENCIA“
MONOGRAFÍA
Que para obtener el título de:
INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA
PRESENTA:
FRANCISCO JOAQUÍN MORA PARRAZALES
DIRECTOR:
DR. JOSÉ ALBERTO VELÁZQUEZ PÉREZ
XALAPA, VER.
DICIEMBRE 2011
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
MONOGRAFÍA
ii
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
A mi familia.
En especial a mis padres.
MONOGRAFÍA
iii
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
ÍNDICE
ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 1
1.
ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIÓN ......................................................................... 3
1.1.
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE FLECHAS O EJES .............................................................. 3
1.2.
FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA SOBRE FLECHAS O EJES ................ 5
1.2.1.
RUEDAS DENTADAS ..................................................................................................... 6
1.2.2.
ENGRANES HELICOIDALES ........................................................................................... 7
1.2.3.
RUEDAS O POLEAS DE CADENA ................................................................................... 7
1.2.4.
POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V ................................................... 8
1.2.5.
POLEAS DE BANDA PLANA ........................................................................................ 10
1.2.6.
COPLES FLEXIBLES ..................................................................................................... 10
1.3.
1.3.1.
VALORES PRELIMINARES DE DISEÑO Kt .................................................................... 11
1.3.2.
CUÑEROS ................................................................................................................... 11
1.3.3.
CHAFLANES DE HOMBROS ........................................................................................ 12
1.3.4.
RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIÓN .................................................................... 14
1.4.
TENSIONES DE DISEÑO PARA FLECHAS O EJES.................................................................. 15
1.4.1.
TENSIÓN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEÑO ....................................................... 15
1.4.2.
TENSIÓN NORMAL DE DISEÑO, CARGA QUE GENERA FATIGA ................................. 16
1.4.3.
FACTOR DE DISEÑO, N............................................................................................... 18
1.5.
2.
CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES .................................................. 11
FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIÓN Y TORSIÓN.................................................................. 19
ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA ...................................................................... 21
2.1.
RESISTENCIA ESTÁTICA ...................................................................................................... 24
2.2.
CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO ..................................................................................... 25
2.3.
HIPÓTESIS DE FALLA .......................................................................................................... 29
2.3.1.
MONOGRAFÍA
MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DEL EMC (TRESCA O GUEST) ............................. 32
iv
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.3.2.
MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN .................. 34
2.3.3.
MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA FRICCIÓN INTERNA ................................. 40
Ejemplo 2-1 ................................................................................................................................... 43
2.3.4.
CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES DÚCTILES .......... 44
2.3.5.
MATERIALES FRÁGILES: HIPÓTESIS DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO (RANKINE) . 47
2.3.6.
MATERIALES FRÁGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE MOHR .................. 48
2.4.
CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES FRÁGILES .................. 51
2.5.
QUÉ NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA ............................................................. 52
2.6.
CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA EN UN EJE ................................................................ 55
2.6.1.
CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA DE UN EJE: FLEXIÓN Y TORSIÓN ...................... 56
Ejemplo 2-2 ................................................................................................................................... 57
Ejemplo 2-3 DISEÑO PRELIMINAR DE UN EJE ............................................................................... 60
3.
ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA .................................................................. 65
3.1.
INTRODUCCIÓN A LA FATIGA EN METALES....................................................................... 65
3.2.
RELACIONES DEFORMACIÓN-VIDA ................................................................................... 67
3.3.
RELACIONES ESFUERZO-VIDA............................................................................................ 72
3.4.
LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................ 75
3.5.
RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................................. 77
3.6.
FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ............................. 78
3.6.1.
FACTOR DE SUPERFICIE ka ......................................................................................... 79
3.6.2.
FACTOR DE TAMAÑO kb ............................................................................................ 80
3.6.3.
FACTOR DE CARGA kC ................................................................................................ 82
3.6.4.
FACTOR DE TEMPERATURA Kd................................................................................... 84
3.6.5.
FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS ke ............................................................................ 87
3.7.
CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO Y SENSIBILIDAD A LA MUESCA ...................................... 89
Ejemplo 3-3 ................................................................................................................................... 94
3.8.
RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIÓN BAJO ESFUERZOS PULSANTES ....................... 100
3.9.
CARGAS COMBINADAS .................................................................................................... 101
Ejemplo 3-4 ................................................................................................................................. 102
MONOGRAFÍA
v
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4.
ANÁLISIS Y DISEÑO POR COMPUTADORA ............................................................................... 107
Ejemplo 4-1 ................................................................................................................................. 107
4.1.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO ............................................................................................ 107
4.2.
ARMADO DEL EJE ............................................................................................................ 109
4.3.
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS ............................................................................................ 111
CONCLUSIÓN ................................................................................................................................... 115
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................. 116
MONOGRAFÍA
vi
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
INTRODUCCIÓN
Los ejes de transmisión o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas
de flexión, tensión, compresión o torsión, que actúan individualmente o
combinadas. En este último caso es de esperar que la resistencia estática y la
fatiga sean consideraciones importantes de diseño, puesto que un eje puede estar
sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos estáticos, completamente
invertidos en forma alternante, y repetidos sin cambio de sentido.
El término “eje” abarca otras variedades, como los ejes de soporte y los
husillos. Un eje de soporte es el que no transmite carga de torsión y puede ser fijo
o rotatorio. Un eje de transmisión rotatorio de corta longitud se denomina husillo.
Cuando la deformación lateral o torsional de un eje debe mantenerse dentro
de límites estrechos, entonces hay que fijar sus dimensiones considerando tal
deformación antes de analizar los esfuerzos. La razón es que si un eje se hace lo
bastante rígido para que esas deformaciones no sean considerables, es probable
que los esfuerzos no rebasen la seguridad, pero de ninguna manera debe suponer
el diseñador que son seguros, casi siempre es necesario calcularlos para
comprobar que están dentro de límites aceptables.
Siempre que sea posible los elementos de transmisión de potencia, como
engranes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte. Esto reduce
el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por flexión.
En los siguientes capítulos se hablará de los antecedentes de los ejes de
transmisión así como el análisis y diseño por resistencia estática y resistencia a la
fatiga, también se explicará como manejar el programa “Autodesk Inventor
Professional 2010” para el análisis y diseño de ejes.
MONOGRAFÍA
1
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CAPÍTULO 1
ANTECEDENTES DE LOS EJES DE
TRANSMISIÓN
MONOGRAFÍA
2
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1. ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIÓN
Un eje, flecha o árbol es un elemento cilíndrico, de sección circular, que
puede estar fijo o estar girando, además es el componente de los dispositivos
mecánicos que transmite energía rotacional y potencia, Es parte integral de
dispositivos o artefactos como reductores de velocidad tipo engrane, impulsores
de banda o cadena, transportadores, bombas, ventiladores, agitadores y muchos
tipos de equipo para automatización. En el proceso de transmitir potencia a una
velocidad de giro o velocidad rotacional específica, el eje se sujeta, de manera
inherente, a un momento de torsión o torque. Por consiguiente, en el eje se genera
tensión por esfuerzo de corte por torsión. A su vez, por lo regular, un eje soporta
componentes transmisores de potencia como engranes, poleas acanaladas para
bandas o ruedas dentadas de cadena, ejercen fuerzas sobre el eje en sentido
transversal, es decir perpendicular a su eje. Estas fuerzas transversales provocan
que se generen momentos de flexión en el eje, ello requiere de un análisis de
tensión a la flexión.
1.1.
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE FLECHAS O EJES
Debido a la aparición simultánea de tensiones por esfuerzo de corte por
torsión y tensiones normales que se deben a la flexión, el análisis de una flecha o
eje virtualmente implica siempre el uso de un enfoque combinado para el aspecto
de las tensiones. El método que se sugieres para el diseño de ejes es el de la
teoría de la falla por distorsión de la energía. En ocasiones, se presentan también
por esfuerzo de corte vertical y tensiones normales directas que se deben a
cargas axiales, sin embargo, su efecto es, por lo regular, mínimo a tal grado que
es válido omitirlas. En ejes extremadamente cortos o en partes de ellos en los que
no se generan torsión o flexión, es probable que predominen tales tensiones.
Las actividades específicas que deben realizarse en el diseño y análisis de
una flecha o eje dependen del diseño que se haya propuesto, así como de la
forma en que se encargue y se soporte. Con esto en mente, se sugiere el
procedimiento siguiente para el diseño de un eje.
1. Determine la velocidad de giro del eje o flecha.
2. Calcule la potencia o el torque que va a transmitir el eje.
MONOGRAFÍA
3
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
3. Determine el diseño de los componentes transmisores de potencia u
otros dispositivos que se pretenda montar en la flecha y especifique su
ubicación que se necesita dar a cada dispositivo.
4. Precise la ubicación de los cojinetes en los que se apoyará el eje. Se
supone que las reacciones en los cojinetes que soportan cargas radiales
ejercen acción en el punto medio de los cojinetes. Por ejemplo, si se
utiliza un cojinete de bola de hilera única, se supone que la trayectoria
de la carga pasa directamente a través de los balines. Si en el eje
existen cargas de empuje, o sea axiales, deberá especificar que cojinete
debe diseñarse para que reaccione en contra de la carga de empuje.
Por consiguiente se permitirá que el cojinete que no ejerce resistencia
contra el empuje se desplace un poco en el sentido axial para asegurar
que no se ejerza carga axial indeseable e inesperada sobre ese cojinete.
Otro concepto importante es que casi siempre se utilizan dos cojinetes
para dar soporte a una flecha. Deben colocarse, de ser posible, en
cualquier extremo de los elementos que transmiten potencia para
proporcionar soporte estable a la flecha y generar una carga razonable
bien balanceada en los cojinetes; éstos se deben colocar cerca de los
elementos que transmiten potencia a fin de minimizar los momentos de
flexión. Además, la longitud total de la flecha debe ser mínima para
mantener las deflexiones en un nivel aceptable.
5. Proponga la forma general de la geometría para el eje o flecha,
considerando de qué manera se mantendrá en posición axialmente y
como se llevará a cabo la transmisión de potencia a partir de cada
elemento hacia el eje.
6. Calcule la magnitud del torque que se observa en todos los puntos del
eje. Se sugiere elaborar una gráfica de torque.
7. Calcule las fuerzas que ejercen acción sobre el eje, tanto radial como
axialmente.
8. Determine las fuerzas radiales en componentes en sentidos
perpendiculares, por lo regular tanto vertical como horizontalmente.
9. Calcule las reacciones en todos los cojinetes de soporte en cada plano.
MONOGRAFÍA
4
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
10. Elabore las gráficas completas de fuerza de corte y de momento de
flexión para determinar la distribución de los momentos de la flexión
sobre el eje.
11. Elija el material con que se va a fabricar el eje y especifique su
condición: extruido en frío con tratamiento térmico y demás.
12. Calcule una tensión de diseño adecuada, considerando la manera en
que se aplica la carga suave, de choque, sucesiva e inversa o de otro
tipo
13. Analice cada punto crítico del eje para determinar el diámetro mínimo
aceptable del eje para verificar la seguridad bajo aplicación de carga en
cada punto. En general, los puntos críticos son numerosos e incluyen
aquellos donde tiene lugar un cambio de diámetro, donde se generan los
valores más altos de torques y de momento de flexión y donde se
presentan concentraciones de tensión.
14. Especifique las dimensiones finales para cada punto en el eje. Por lo
regular, se utilizan los resultados del paso 13 a manera de parámetro,
después se elijen los valores convenientes. Deben especificarse, a su
vez, detalles como tolerancias, radio de los chaflanes, altura de los
hombros, y dimensiones de los cuñeros. A veces, el tamaño y la
tolerancia para el diámetro de un eje son dictados por el elemento que
va a montarse ahí. Poe ejemplo, los catálogos de los fabricantes de
cojinetes incluyen limites que se sugieren para los diámetros de los
asientos de los engranes en los ejes.
1.2.
FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA
SOBRE FLECHAS O EJES
Los engranes, poleas acanaladas para bandas, y otros elementos que casi
siempre son soportados por ejes o flechas, ejercen fuerzas sobre los ejes que dan
lugar a momentos de flexión. El siguiente es un análisis de los métodos que se
utilizan para calcular estas fuerzas, en algunos casos. En general, tendrá que
utilizar los principios de la estadística y la dinámica para determinar las fuerzas
para cualquier elemento en particular.
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1.2.1. RUEDAS DENTADAS
Como se ilustra en la figura 1-1, la fuerza que se ejerce sobre los dientes de
perpendicular, al perfil evolvente de los dientes. En el análisis de ejes, conviene
considerar los componentes rectangulares de esta fuerza que ejercen su acción
en sentido radial así como tangencial. Más conveniente aún es calcular la fuerza
tangencial, W t directamente del torque que se conoce, el cual es transmitido por el
engrane. Para unidades del sistema británico:
T = 63 000 (P)/n Ecuación (1-1)
Wt = T/(D/2) Ecuación (1-2)
Donde P es la potencia que se transmite en hp, n es la velocidad de giro en
rpm, T es el torque en libras por pulgada y D es el diámetro de holgura del
engrane en pulgadas.
El ángulo entre la fuerza total y el componente tangencial es igual al ángulo
de presión, ø, de la forma de los dientes. Por consiguiente, si se conoce la fuerza
tangencial, la fuerza radial puede calcularse directamente a partir de:
Wr = Wt tan ø Ecuación (1-3)
No es necesario calcular la fuerza total. Para engranes, el ángulo de
presión por lo regular es 14 1/2o, 20o o 25o.
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 1-1 Fuerzas en los dientes de engranes
1.2.2. ENGRANES HELICOIDALES
Además de las fuerzas tangencial y radial que se presentan con las ruedas
dentadas, los engranes helicoidales generan una fuerza axial. Primero, calcule la
fuerza tangencial a partir de las ecuaciones (1-1) y (1-2). Después, si el ángulo
helicoidal del engrane es Ψ, y el ángulo de presión normal es ø n, es posible
calcular la carga radial a partir de:
Wr = Wt tang øn/cos Ψ Ecuación (1-4)
La carga axial es:
Wa = Wt tan Ψ Ecuación (1-5)
1.2.3. RUEDAS O POLEAS DE CADENA
La figura 1-2 ilustra un par de ruedas o poleas de cadena que transmiten
potencia. La parte superior de la cadena se somete a una tensión y genera el
torque en cualquiera de las ruedas. A la parte inferior de la cadena se le da el
nombre de lado flojo, y no ejerce fuerza alguna en ninguna de las ruedas. Por
tanto, la fuerza total de flexión en el eje que soporta a la rueda es igual a la tensión
en el lado tenso de la cadena. Si se conoce el torque en alguna rueda,
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Fc = T/(D/2) Ecuación (1-6)
Donde D es el diámetro de la holgura de esa rueda. Observa que la fuerza,
Fc, actúa en el sentido del lado tenso de la banda. Debido a la diferencia de
tamaño entre las dos ruedas, ese sentido se encuentra a cierto ángulo respecto a
la línea del centro entre los centros del eje. Un análisis exacto exigiría que la
fuerza Fc, se despejara en componentes paralelos a la línea central, y
perpendiculares a ella. Esto es,
Fcx = Fc cos ө
y
Fcy = Fc sen ө
Figura 1-2 Fuerzas en ruedas dentadas de cadenas
Donde el sentido x es paralelo a la línea y el sentido y es perpendicular a
ella. El ángulo ө es el ángulo de inclinación del lado tenso de la cadena respecto al
sentido x.
1.2.4. POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V
El aspecto general del sistema impulsor mediante una banda en V es
similar al sistema impulsor por medio de cadena. No obstante, presenta una
diferencia importante. Ambos lados de la banda en forma de V se encuentran en
tensión, como indica la figura 1-3. La tensión en el lado tenso, F1, es de mayor
magnitud que la tensión en el “lado flojo”, F2, por consiguiente, existe una fuerza
neta de impulso en las poleas acanaladas que equivale a La magnitud de fuerza
neta de impulso puede calcularse a partir del torque que se transmite
FN = F1 – F2 Ecuación (1-7)
FN = T/(D/2) Ecuación (1-8)
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Observe, sin embargo, que la fuerza de flexión en el eje que soporta a la
polea acanalada depende de la suma F1 + F2 = FB. Para ser más exactos, deben
utilizarse los componentes de F1 y F2 paralelos a la línea de los centros de las dos
ruedas dentadas. No obstante, a menos que las dos ruedas dentadas sean muy
diferentes en el diámetro, será mínimo el error que presente como consecuencia
de FB = F1 + F2.
Para determinar la fuerza de flexión FB, se requiere de una segunda
ecuación en la que intervengan las dos fuerzas F1 y F2. Esto se obtiene al suponer
que existe entre la tensión del lado tenso y la tensión del “lado flojo”. Para
impulsores de banda en forma de V, se considera, por lo regular, que esta relación
es
F1/F2 = 5 Ecuación (1-9)
Es conveniente obtener una relación entre FN y FB a partir de la forma
FB = CFN Ecuación (1-10)
Donde C es una constante a determinar
Ecuación (1-11)
Sin embargo, a partir de la ecuación (1-9), F1 = 5 F2. Así,
Entonces, para bandas en forma de V, la ecuación (1-10) se convierte en,
FB = 1.5 FN = 1.5T/(D/2) Ecuación (1-12)
Se acostumbra considerar que la fuerza de flexión, FB, actúa como una sola
fuerza a lo largo de la línea de los centros de las dos poleas acanaladas, como se
ilustra en la figura 1-3.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 1-3 Fuerzas en poleas acanaladas para bandas o poleas
1.2.5. POLEAS DE BANDA PLANA
El análisis de la fuerza de flexión que ejercen sobre los ejes las poleas para
bandas planas es idéntico al de las poleas para bandas en forma de V, excepto
que por lo regular se considera que la relación entre la tensión del lado tenso y la
tensión del “lado flojo” es de 3 en lugar de 5. Si se utiliza la misma lógica que con
las poleas acanaladas para bandas en forma de V, podemos calcular que la
constante C es 2.0. Por consiguiente, para impulsores de banda plana.
FB = 2.0 FN = 2.0 T/(D/2) Ecuación (1-13)
1.2.6. COPLES FLEXIBLES
Un cople flexible se emplea para transmitir potencia entre varías flechas o
ejes en tanto se subsanan desalineaciones de menor importancia en los sentidos
radial, angular o axial. Por tanto, los ejes subyacentes a los coples se sujetan a
torsión, pero las desalineaciones no generan cargas axiales o por flexión.
MONOGRAFÍA
10
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1.3.
CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES
Para montar y ubicar en forma correcta los distintos tipos de elementos
mecánicos en los ejes, por lo regular, el diseño final incluye varios diámetros,
cuñeros, ranuras para anillos y otras discontinuidades geométricas que dan lugar
a concentraciones de tensión o esfuerzo.
Estas concentraciones de tensión deben ser tomadas en cuenta durante el
análisis de diseño. Sin embargo, se presenta un problema debido a que cuando se
inicia el proceso de diseño se desconoce los valores reales de diseño
correspondientes a los factores de concentración de tensión. La mayor parte de
los valores depende de los diámetros del eje y de la geometría de los chaflanes y,
las ranuras de éstos, son los objetivos del diseño.
El dilema puede superarse estableciendo un conjunto de valores
preliminares de diseño para factores de concentración de tensión, los cuales
pueden utilizarse para obtener estimados iniciales para los diámetros de los ejes
mínimos aceptables. Así, una vez que se seleccionan las dimensiones afinadas,
se puede analizar la geometría final para calcular los valores reales para los
factores de concentración de tensión. Comparar los valores finales con los
preliminares le permitirá juzgar la aceptabilidad del diseño.
1.3.1. VALORES PRELIMINARES DE DISEÑO Kt
Aquí se consideran los tipos de discontinuidades geométricas que se
encuentran con más regularidad en ejes que transmiten potencia: cuñeros,
chaflanes de hombros y ranuras para anillos de sujeción. En cada caso, de un
valor de diseño que se sugiere relativamente alto se obtiene un resultado
conservador para la primera aproximación hacia el diseño. De nuevo, se hace
énfasis que en el diseño final debe verificarse la seguridad. Esto es, si el valor final
es más bajo que el valor original de diseño, el diseño aún es seguro. Por el
contrario, si el valor final es más alto, habrá que analizar otra vez las tensiones
para el diseño.
1.3.2. CUÑEROS
Un cuñero consiste en una ranura longitudinal que se corta en un eje o una
flecha para montar una cuña, ello permite transferir torque a partir del eje hacia un
elemento que transmite potencia o viceversa.
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Dos son los tipos de cuñeros que se utilizan con mayor frecuencia: el de
perfil y el de corredera o rastra (figura 1-4). El cuñero de perfil se fresa en el eje o
flecha utilizando una punta en la fresa con diámetro igual al ancho de la cuña. La
ranura resultante tiene el fondo plano y en su extremo presenta una esquina
aguda a escuadra. El cuñero de corredera o rastra se fabrica con una cortadora
circular para fresar con espesor igual al ancho de la cuña. A medida que la
cortadora inicia o termina el cuñero, se obtiene un radio continuo. Por este motivo,
el factor de concentración de tensión para el cuñero de corredera o rastra es más
bajo que el del cuñero de perfil. Los valores de diseño que por lo regular se utilizan
son:
Kt = 2.0 (perfil)
Kt = 1.6 (de corredera o rastra)
Cada uno de estos valores debe aplicarse al cálculo de esfuerzo o tensión
por flexión de la flecha o eje. Los factores consideran tanto la reducción en
sección transversal, como el efecto de la discontinuidad. Si la tensión por esfuerzo
de corte por torsión es variable en lugar de constante, el factor de concentración
de tensión también se aplica a ello.
Figura 1-4 Cuñeros
1.3.3. CHAFLANES DE HOMBROS
Cuando en un eje se presentan cambios de diámetro para producir un
hombro contra el cual se coloca un elemento mecánico, se genera una
concentración de tensión que depende de la relación entre los diámetros y el
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
diámetro del chaflán (figura 1-5). Se sugiere que el diámetro del chaflán sea lo
más grande posible para minimizar la concentración de tensión; sin embargo, a
veces el diseño del engrane, el cojinete u otro elemento afecta el radio que puede
utilizarse para fines de diseño. Los chaflanes se clasificarán de acuerdo con dos
categorías: con bordes cortantes y con bordes redondeados.
Figura 1-5 chaflanes en ejes
En este caso el término con bordes cortantes en realidad no significa eso,
es decir, sin ningún radio de chaflán en absoluto. Tal configuración de hombro
tendría un factor de concentración de tensión en extremo alto y esto debe evitarse.
Por el contrario, con bordes cortantes describe un hombro con un radio de chaflán
relativamente pequeño. Una situación en la que es probable que se presente el
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
caso anterior es donde se va a colocar un cojinete de bola. El canal interno del
cojinete tiene un radio que se produce en la fábrica; no obstante, es pequeño. El
radio del chaflán en el eje debe ser aún más pequeño para que el cojinete asiente
debidamente contra el hombro. Cuando se coloca un elemento con un chaflán
más grande en su diámetro interior que asienta contra el hombro.
Cuando se coloca un elemento con un chaflán más grande en su diámetro
interior que asienta contra el hombro o cuando no asienta nada que se apoye en el
hombro, el radio del chaflán puede ser mucho más grande, bien redondeado, y el
factor de concentración de esfuerzo es más pequeño. Para el diseño de flexión
utilizaremos los valores siguientes
Kt = 2.5 (chaflán con bordes cortantes)
Kt = 1.5 (chaflán bien redondeado)
En la gráfica para factores de concentración de tensión podrá observar que
estos valores corresponden a relaciones de r/d de aproximadamente 0.03 para el
caso del chaflán con bordes cortantes y de 0.17 para el chaflán con los bordes
bien redondeados para un relación D/d de 1.50.
1.3.4. RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIÓN
Los anillos de sujeción se utilizan en muchos tipos de aplicaciones en los
ejes. Los anillos se colocan en ranuras que se hacen en las flechas o ejes,
después que se ubica en su lugar el elemento que se va a sujetar. La geometría
de la ranura la establece el fabricante del anillo. Su configuración común es una
ranura hueca con los bordes de las paredes rectas al igual que su fondo y un
chaflán pequeño en la base de la ranura. Se puede obtener una idea aproximada
del comportamiento de la flecha en el área que circunda la ranura si se considera
dos hombros con chaflán de bordea cortantes colocados casi juntos. En
consecuencia, el factor de concentración de tensión o esfuerzo para una ranura es
alto.
Cuando existe flexión, utilizaremos Kt =3.0 para diseño preliminar como un
factor estimado que considera los chaflanes y la reducción en diámetro para
calcular el diámetro para calcular el diámetro nominal del eje o flecha antes de
correr la ranura. Cuando se presenta torsión junto con la flexión o cuando sólo
existe torsión en una sección que interesa, el factor de concentración de la tensión
no se aplica a la tensión por esfuerzo de corte por torsión porque es constante. Sin
embargo, para considerar la disminución de diámetro en la ranura aumente el
diámetro resultante que calculó en aproximadamente 6%, un valor típico para
anillos de sujeción comerciales. Pero después de que haya especificado el
MONOGRAFÍA
14
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
diámetro final del eje y la geometría de la ranura, deberá calcular la tensión o
esfuerzo en la ranura con el factor de concentración de tensión adecuado para la
geometría de la ranura.
1.4.
TENSIONES DE DISEÑO PARA FLECHAS O EJES
En una flecha o eje en particular puede existir al mismo tiempo condiciones
distintas que generan esfuerzo o tensión. Para cualquier parte del eje que
transmite potencia, habrá una tensión por esfuerzo de corte por torsión, mientras
la tensión por esfuerzo de flexión se presenta en esas mismas partes. Quizá haya
otras partes en las que sólo se genere tensiones por esfuerzos de flexión. Algunos
puntos tal vez no se sujeten a flexión, tampoco a torsión pero experimentarán
tensión por esfuerzo de corte vertical. Sobre las otras tensiones o esfuerzos
pueden sobreponerse esfuerzos por tracción o por compresión. Entonces habrá
algunos puntos en los que no se genere en absoluto tensiones o esfuerzos
significativos.
En consecuencia, decidir qué tensión de diseño utilizar depende de la
situación particular en el punto que interesa. En muchos proyectos de diseño y
análisis de flechas o ejes deben hacerse cálculos en distintos puntos para
considerar en su totalidad la variedad de condiciones de carga y de geometría que
existen.
Se supone que las tensiones o esfuerzo de flexión son por completo
inversos y sucesivos debido a que el eje gira. Dado que los materiales dúctiles
muestran un mayor desempeño bajo tales cargas, se supone que el material con
que se fabrica el eje o flecha es dúctil. Se supone, también, que la carga por
esfuerzo de torsión es relativamente constante y actúa en un sentido.
1.4.1. TENSIÓN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEÑO
El método más preciso para prever fallas en materiales dúctiles debido a
una tensión constante por esfuerzo de corte era la teoría de la distorsión de la
energía, en la cual la tensión por esfuerzo de corte de diseño se calcula a partir de
Ecuación (1-14)
Utilizaremos este valor para tensión por esfuerzo de corte por torsión
constante, tensión por esfuerzo de corte vertical o tensión por esfuerzo de corte
directo en una flecha o eje.
MONOGRAFÍA
15
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1.4.2. TENSIÓN NORMAL DE DISEÑO, CARGA QUE GENERA FATIGA
Para la flexión inversa sucesiva en un eje provocada por cargas
transversales que se aplican a un eje que gira, la tensión de diseño se relaciona
con la resistencia por durabilidad del material con que se fabrica el eje. Las
condiciones reales bajo las cuales se fabrica y opera el eje deberán tenerse en
cuenta cuando se especifique la tensión de diseño.
1. Se calcula la resistencia máxima a la tracción del material, s u, a partir de los
resultados de pruebas que se realizan, de las especificaciones del
fabricante o de información publicada. Es necesario utilizar la información
más exacta y confiable. Cuando surjan dudas de la exactitud de la
información tendrán que utilizarse factores de diseño mayores que el
promedio.
2. Se calcula la resistencia estimada por durabilidad, su, del material, con base
en la figura 1-6. Recuerde que en los datos de esta figura se considera la
manera que se fabrica el objeto de estudio, además de la relación entre la
resistencia por durabilidad básica y la resistencia máxima. Si la resistencia
máxima es mayor que el límite que se indica en la figura 1-6, es decir, 220
Ksi o 1500 MPa, utilice los valores que corresponden a su = 220 Ksi.
Figura 1-6 Tensión por durabilidad contra resistencia al esfuerzo por tracción para acero forjado para varias
condiciones superficiales
3. Se aplica un factor de tamaño Cs para considerar el gradiente de tensión
dentro del material y la probabilidad de que una sección particular presente
una oclusión específica que puede ser el lugar que se inicie una fractura por
MONOGRAFÍA
16
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
fatiga. La referencia (1) sugiere lo siguiente: Para diámetros de menos de
2.0” (D en pulgadas).
Cs = (D/0.3)-0.068
Para diámetros menores de 50 mm (D en mm)
Cs = (D/7.6)-0.068
Para diámetros de más de 2.0” hasta 10” (D en pulgadas)
Cs = D-0.19
Para diámetros de más de 50 mm hasta 250 mm (D en mm)
Cs = 1.85 D-0.19
La figura 1-7 muestra una gráfica de estas fórmulas. Los dos conjuntos de
fórmulas se toman de fuentes distintas y existe cierta discontinuidad mínima de la
pendiente cerca de D = 2.0” (50 mm). La línea punteada corta integra las curvas y
proporciona valores ligeramente conservadores.
Figura 1-7 Factor de tamaño para diseño de ejes
4. Se aplica un factor de confiabilidad CR. La información de la resistencia por
durabilidad que se reporta, consta de valores promedio que se obtienen con
base en varias pruebas, lo cual implica, una confiabilidad de 0.50 (50%).
MONOGRAFÍA
17
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Suponiendo que la información real de fallas sigue una distribución normal,
se pueden utilizar los factores siguientes de ajustes para un alto grado de
confiabilidad
Observe que cualquier factor de concentración de tensión que se presente se
considerará en la ecuación de diseño que se desarrolla más adelante. Otros
factores, que se toman en cuenta aquí, podrían surtir un efecto adverso en la
resistencia por durabilidad del material con que se fabrique el eje y, en
consecuencia, en la tensión de diseño, son las temperaturas por arriba de
aproximadamente 400o F (200o C), variación en los niveles pico de tensión por
arriba de la resistencia nominal por durabilidad durante algunos lapsos, vibración,
tensiones residuales, endurecimiento, ajustes por interferencia, corrosión, ciclaje
térmico, chapas o recubrimientos superficiales y tensiones que no se consideran
en el análisis básico de tensiones. Para tales condiciones se sugiere realizar
pruebas con componentes reales.
5. Se calcula s’n = snCsCR.
6. Para piezas del eje o flecha que sólo ven sujetas a flexión inversa, la
tensión de diseño es igual a
Ecuación (1-15)
1.4.3. FACTOR DE DISEÑO, N
Bajo condiciones industriales típicas se sugiere el factor de diseño de N = 3.
Si la aplicación es en extremo suave, tal vez se justifique un valor tan bajo como
N = 2. Bajo condiciones de choque o impacto de emplearse N = 4 o más alto y se
recomienda llevar a cabo pruebas exhaustivas.
MONOGRAFÍA
18
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1.5.
FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIÓN Y TORSIÓN
Aquellos que soportan engranajes rectos o cilíndricos, poleas acanaladas
en forma de V o ruedas dentadas de cadena son ejemplos de flechas o ejes que
sólo se ven sujetos a flexión o torsión. La potencia que es transmitida genera
torsión y las fuerzas transversales en los elementos originan flexión. En el caso
general, no todas las fuerzas transversales actúan en el mismo plano. En tales
casos, primero se elabora las gráficas momento de flexión para dos planos
perpendiculares. Después, se calcula el momento de flexión resultante en cada
punto que interesa.
Ahora se desarrolla una ecuación de diseño con base en el supuesto de
que el esfuerzo o tensión por flexión en el eje es sucesivo e inverso conforme gira
el eje, pero que la tensión por esfuerzo de corte por torsión es casi uniforme. La
ecuación de diseño se basa en el principio que se muestra de manera gráfica en la
figura 1-9, en la que el eje vertical es la relación del esfuerzo por tensión inverso
con la resistencia por durabilidad del material. El eje horizontal es la relación de la
tensión por esfuerzo de corte por torsión con la resistencia a punto cedente del
material ante esfuerzo de corte. Los puntos que tienen valor de 1.0 en estos ejes
indican falla inminente ante flexión simple o tensión simple respectivamente. La
información basada en experimentos muestra que la falla anti combinaciones de
flexión y torsión sigue, en general, la trayectoria de la curva que conecta estos dos
puntos, ello obedece a la ecuación.
Figura 1-9 base para la ecuación de diseño de ejes para tensión por esfuerzos de flexión inversa y tensión por
esfuerzos de corte por torsión
MONOGRAFÍA
19
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA
ESTÁTICA
MONOGRAFÍA
20
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2. ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA
La resistencia es una propiedad o característica de un elemento mecánico.
Esta propiedad resulta de la identidad del material, del tratamiento y
procesamiento incidental para crear su geometría, y de la carga; asimismo, se
encuentra en el punto de control crítico. Estos elementos se deben identificar y
considerar antes de poder hablar de la resistencia de una parte como una
característica útil de valor descriptivo. Las tablas de las propiedades de los
materiales de ingeniería no informan sobre las resistencias de las partes. La
resistencia de una parte mecánica no depende de que esa parte se someta a su
carga proyectada. De hecho, esta propiedad de resistencia es una característica
del elemento antes de que se ensamble con otros elementos en una máquina o en
un sistema. La resistencia de una parte es un indicador valioso, pero sólo existe si
se cumplen todas las calificaciones enumeradas antes.
Además de considerar la resistencia de una parte individual, se debe estar
consciente de que las resistencias de las partes producidas en masa, diferirán en
cierto grado de las otras del conjunto o ensamble debido a variaciones en las
dimensiones, el maquinado, el formado y la composición. Los indicadores de la
resistencia son por necesidad de naturaleza estocástica e involucran parámetros
estadísticos (a menudo la media y la desviación estándar) y una identificación.
Una carga estática es una fuerza estacionaria o un par de torsión que se
aplica a un elemento. Para ser estacionaria, la fuerza o el par de torsión no deben
cambiar su magnitud, ni el punto o los puntos de aplicación, ni su dirección. Una
carga estática produce tensión o compresión axial, una carga cortante, una carga
flexionante, una carga torsional o cualquier combinación de estas. Para que se
considere estática, la carga no puede cambiar de ninguna manera.
Consideraremos las relaciones entre la resistencia y la carga estática con
objeto de tomar decisiones respecto al material y a su tratamiento, fabricación y
geometría para satisfacer los requisitos de funcionalidad, seguridad, confiabilidad,
competitividad, facilidad de uso, manufacturabilidad y comercialización. El grado
de detalle de esta lista está relacionado con el alcance de los ejemplos.
La “falla” puede significar que una parte se ha separado en dos o más
piezas; se ha distorsionado permanentemente, arruinado de esta manera su
geometría; se ha degradado su confiabilidad; o se ha comprometido su función,
por cualquier razón. Un diseñador cuando habla de falla quizá se refiera a
cualquiera o todas estas posibilidades. Nuestra atención se enfocará en la
MONOGRAFÍA
21
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
predicción de la distorsión o separación permanente. En situaciones sensibles al
esfuerzo el diseñador debe separar el esfuerzo medio y la resistencia media en el
punto crítico de manera suficiente para lograr sus propósitos.
En las figuras 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5 y 2-6 se muestran fotografías de partes
que han fallado. Las fotografías ejemplifican la necesidad, por parte del diseñador,
de estar muy al tanto de la prevención de fallas. Hacia este fin se considerarán
estados de esfuerzos en una, dos y tres dimensiones, con y sin concentraciones
de esfuerzos, para materiales tanto dúctiles como frágiles.
Figura 2-1 Falla por impacto de la masa de impulsión de la cuchilla de una podadora de césped. La cuchilla
impacta un tubo metálico de marcación de cotas de topografía.
Figura 2-2 Falla de un perno de sujeción de una polea elevada en una máquina de levantamiento de pesas.
Un error de fabricación causó una separación que provocó que el perno soportara toda la carga de momento.
Figura 2-3 Falla de una manija interior de la puerta de un automóvil fundida. La falla ocurrió después de un
servicio de aproximadamente 72 000 km. Las causas probables fueron el material de electrochapeado, la
MONOGRAFÍA
22
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
concentración del esfuerzo, el largo de brazo de palanca requerido para operar el mecanismo de apertura de
la puerta “pegado” y las fuerzas de accionamiento elevadas.
Figura 2-4 Falla de un resorte de válvula causada por la reacción elástica en un motor sobre/revolucionado. La
o
fractura presenta la falla a 45 clásica por cortante
Figura 2-5 Fractura frágil de una arandela de presión en la mitad de un ciclo. La arandela falló cuando se
instaló.
Figura 2-6 Falla en un engrane de un motor fuera de borda de 7 ½ hp (5.6 kW) hecho en Estados Unidos. El
engrane mayor tiene un diámetro exterior de 1 2/8 (47.6 mm) y 21 dientes de los cuales 6 se rompieron. La
falla ocurrió cuando la propela choco con una sonda de acero en el fondo del lago como anclaje. El propietario
había reemplazado el pasador de cortante con uno no diseñado para esa función.
MONOGRAFÍA
23
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.1.
RESISTENCIA ESTÁTICA
Idealmente, al diseñar cualquier elemento de máquina el ingeniero debe
tener a su disposición los resultados de una gran cantidad de pruebas de
resistencia al material elegido. Estos ensayos se deben realizar en probetas que
tengan el mismo tratamiento térmico, acabado superficial y tamaño que el
elemento que el diseñador se propone diseñar; además, las pruebas se deben
conducir exactamente bajo las mismas condiciones de carga a que se someterá la
parte en servicio. Esto significa que si la parte se va a someter a carga flexionante,
se debe ensayar con una carga flexionante. Si se va a someter a flexión y torsión
combinadas, se debe ensayar bajo flexión y torsión combinadas. Si se hace de
acero tratado AISI 1040 estirado a 500oC con un acabado esmerilado, las
probetas que se ensayen deben ser del mismo material preparado de la misma
manera. Esos ensayos proporcionarán información muy útil y precisa. Cuando
esos datos están disponibles para propósitos de diseño, el ingeniero puede estar
seguro de que está haciendo el mejor trabajo de ingeniería.
El costo de reunir esa gran cantidad de datos antes del diseño se justifica si
la falla de la parte puede poner en peligro la vida humana, o si la parte se fabrica
en cantidades suficientemente grandes. Ejes para la transmisión de potencia y
aparatos electrodomésticos, por ejemplo, tienen grados de confiabilidad muy altos
porque las partes se hacen en grandes cantidades, de manera que se pueden
ensayar por completo antes de su manufactura. El costo de realización de estos
ensayos es muy bajo cuando se divide entre el número total de partes fabricadas.
Ahora se pueden apreciar las cuatro categorías de diseño siguientes:
1. La falla de la parte pondrá en peligro la vida humana, o la parte se hace en
cantidades extremadamente grandes; en consecuencia, se justifica un
elaborado programa de ensayos durante el diseño.
2. La parte se hace en cantidades muy grandes, que es posible una serie
moderada de ensayos.
3. La parte se hace en cantidades tan pequeñas que los ensayos no se
justifican de ninguna manera, o el diseño se debe complementar tan rápido
que no hay tiempo para los ensayos.
4. La parte ya se ha diseñado, fabricado y ensayado, y se ha determinado
que es insatisfactoria. Se requiere un análisis para entender porqué la parte
es satisfactoria y lo que se debe hacer para mejorarla.
MONOGRAFÍA
24
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Con mucha frecuencia no es necesario diseñar empleando sólo valores
publicados de la resistencia de fluencia, de la resistencia última, del porcentaje de
reducción del área y del porcentaje de elongación.
2.2.
CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO
La concentración del esfuerzo es un esfuerzo muy localizado. En algunos
casos puede deberse a una ralladura superficial. Si el material es dúctil y la carga
estática, la carga de diseño puede causar fluencia en el punto crítico sobre la
muesca. Esta fluencia puede implicar endurecimiento por deformación del material
y un incremento de la resistencia de fluencia en el punto crítico de la muesca.
Como las cargas son estáticas, esa parte puede soportarlas de manera
satisfactoria, sin presentar una fluencia general. En estos casos el diseñador
establece que el factor geométrico de la concentración del esfuerzo (teórico) K t es
igual a la unidad.
La razón se puede expresar como sigue. El escenario, en el peor de los
casos, es el de un material no endurecido por deformación, como el que se
muestra en la figura 2-7. El lugar geométrico esfuerzo-deformación se incrementa
linealmente hasta la resistencia de fluencia Sy, luego se comporta como esfuerzo
de constante, que es igual a Sy. Considere una barra rectangular con muesca
como se representa en la figura 2-8, donde el área de la sección transversal del
cuerpo pequeño es 1 pulg2. Si el materiales dúctil, con un punto de fluencia de40
kpsi y el factor teórico de concentración de esfuerzo (FCE) Kt es 2.
Figura 2-7 Curva esfuerzo-deformación idealizada. La línea discontinua representa un material endurecido por
deformación.
MONOGRAFÍA
25
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-8 Barra redonda ranurada en torsión.
, donde c=d/2 y
Una carga de 20 kip induce un esfuerzo de tensión de 20 kpsi en el cuerpo,
como se presenta en el punto A de la figura 2-7. El FCE es
Una carga de 30 kip induce un esfuerzo de tensión
de 30 kpsi en el punto B. En el punto crítico del chaflán, el esfuerzo es 40 kpsi y el
FCE
.
Con una carga de 40 kip el esfuerzo de tensión inducido (punto C) es 40
kpsi en el cuerpo. En el punto crítico del chaflán, el esfuerzo (en el punto E) es 40
kpsi. El FCE
.
Para materiales que se endurecen por deformación, el punto crítico en la
muesca tiene una Sy mayor. El área del cuerpo se encuentra a un nivel de
esfuerzo un poco menor que 40 kpsi, está soportando carga y está muy cerca de
su condición de falla por fluencia general. Ésta es la razón por la que los
diseñadores no aplican Kt en la carga estática de un material dúctil cargado
elásticamente, en vez de eso establecen Kt = 1.
Cuando se usa esta regla para materiales dúctiles sometidos a cargas
estáticas, se debe tener la seguridad que el material no es susceptible a la falla
frágil en el entorno de uso. La definición usual del factor geométrico (teórico) de
concentración del esfuerzo para el esfuerzo normal Kt, o el esfuerzo cortante Kts,
es:
(a)
(b)
Como la atención se pone sobre el factor de concentración del esfuerzo y la
definición de
o
está dada en la leyenda de la gráfica o mediante un
MONOGRAFÍA
26
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
programa de cómputo, se debe asegurar que el esfuerzo nominal sea apropiado
para la sección que está soportando la carga, y no para lo que el dibujante de la
gráfica encontró conveniente presentar.
Los materiales frágiles no presentan un intervalo plástico. Un material frágil
“siente” el FCE Kt y el Kts, y el Kt o Kts se aplica usando la ecuación (a) o (b).
Una excepción a esta regla es un material frágil que contenga
inherentemente una concentración del esfuerzo en una microdiscontinuidad, peor
que la macrodiscontinuidad que el diseñador tiene en mente. El modelo en arena
introduce partículas de arena, burgrafito (con poca resistencia), las cuales
literalmente son grietas que se introducen durante el proceso de solidificación.
Cuando se realiza un en sayo de tensión de una fundición de hierro, la resistencia
que se señala incluye esta concentración del esfuerzo. En esos casos no se
necesita aplicar Kt o Kts.
Una fuente importante de factores de concentración del esfuerzo es la obra
de R.E. Peterson, quien los compiló mediante su propio trabajo y el de otros.
Peterson desarrolló el estilo de presentación en el que el factor de concentración
del esfuerzo Kt se multiplica por el esfuerzo nominal
para estimar la magnitud
del esfuerzo mayor en la localidad. Sus aproximaciones se basaron en estudios
fotoelásticos de tiras bidimensionales (Hartman y Levan, 1951; Wilson y White,
1973), con algunos datos limitados de los ensayos fotoelásticos tridimensionales
de Hartman y Levan. En la presentación de cada caso se incluye una gráfica de
contorno. Los ejes con chaflán en tensión se basaron en tiras bidimensionales.
La herramienta del análisis de elemento finito (FEA, por sus siglas en
inglés) la empleó Tipton, Sorem y Rolovic. No sólo se ha mejorado la exactitud,
sino que también se debe observar el cambio en el estilo de la presentación.
Tipton y sus colegas emplearon el FEA del hombro de un eje a tensión axial. Los
resultados se presentaron en la forma
(c)
En la ubicación del chaflán ø del esfuerzo principal máximo
punto [denotada
en la ecuación (a)] y la
en el
se presenta en forma de
curva adimensional ajustada. Para una tensión axial P,
se establece
como
(d)
MONOGRAFÍA
27
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Si la situación implica un material frágil sometido a carga axial, el esfuerzo
principal máximo en el punto está dado por
(e)
Si el criterio de falla se expresa en términos del esfuerzo principal mayor,
entonces uno está listo para proceder. Si el material es dúctil, entonces todos los
esfuerzos de von Mises (u octaédrico), en el cual el valor mayor ocurre en otro
lugar y se procede como sigue:
(f)
Donde el esfuerzo de von Mises
está dado por
(g)
Tipton y cols., definieron un factor de concentración del esfuerzo
reemplazando los pasos implicados por las ecuaciones (f) y (g) de la forma
(h)
Relacionando el esfuerzo de von Mises,
nominal
, directamente con el esfuerzo
, si esto es conveniente para el usuario. Para un eje con chaflán
sometido axial,
, se estableció como
(i)
Para el eje con chaflán sometido a tensión axial, Tipton y otros
establecieron un factor de concentración del esfuerzo,
para aplicarse el
esfuerzo nominal
ordenado, y otro,
, a fin de estimar el esfuerzo el esfuerzo principal máximo
, para aplicarse al esfuerzo nominal
a fin de
estimarel esfurzo mayor de von Mises en el punto. El método produjo información
más exacta y dos factores de concentración del esfuerzo. No es probable que se
confundan estos factores, pero se debe elegir el apropiado de acuerdo a las
circunstancias. Tipton y otros también determinaron ecuaciones para el ángulo ø
en el chaflán, en donde aparece el esfuerzo principal máximo ordenado, y un
MONOGRAFÍA
28
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
ángulo distinto ø, en donde el esfuerzo mayor de von Mises aparece. Las
concentraciones de esfuerzos en el eje con chaflán sometido a tensión y flexión
estudiadas por Peterson y otros son bajos, especialmente en radios agudos del
chaflán.
2.3.
HIPÓTESIS DE FALLA
Sucesos como la deformación permanente, el agrietamiento, y la ruptura se
encuentran entre las formas en que falla un eje o un elemento de máquina. Las
máquinas de ensayo aparecieron en los años 1700 y las probetas se jalaban,
doblaban y torcían en procesos simples de carga. La experiencia al reunir estos
datos fue el instrumento para establecer el concepto de deformación. Cauchy
relacionó el esfuerzo, la deformación y las constantes elásticas en lo que
actualmente llamamos teoría de la elasticidad. La humanidad siempre preservó en
la búsqueda por un “mecanismo” simple y visionario de falla. Al igual que con
todas las cosas, los postulados conducen predicciones, y éstas se analizan
mediante el uso de datos adicionales. Las ideas se modifican y el proceso
continúa, al igual que lo hace el proceso de comprensión. La historia de la
hipótesis de falla es una recitación de nuestra experiencia de aprendizaje.
Figura 2-9 Círculos de Mohr para el esfuerzo triaxial
Si el mecanismo de falla es simple, entonces unos ensayos simples pueden
dar pistas. ¿Pero qué es simple? El ensayo a la tensión es uniaxial (eso es simple)
y las elongaciones son mayores en la dirección axial, por tanto las deformaciones
se pueden medir y los esfuerzos se pueden inferir hasta que ocurra la “falla”.
Entonces ¿qué es importante: un esfuerzo crítico, una deformación crítica, una
energía crítica? ¿Los círculos crecientes de Mohr, como los que se presentan en
la figura 2-9, se expanden hasta que “chocan con algo”? Si es así, ¿con qué? Si
no, ¿qué es lo importante?
MONOGRAFÍA
29
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
 El origen de la falla ocurre cuando un tipo particular de esfuerzo alcanza el
nivel de una resistencia correspondiente del material.
 Se puede graficar un lugar geométrico de falla que separa un dominio
“seguro” de uno “inseguro”.
 Un lugar geométrico de esfuerzos posibles, llamado línea de carga, corre
(normalmente) de manera radial desde el origen e interseca el lugar
geométrico de falla. La intersección define el origen de la falla.
 Se puede identificar un factor de seguridad para el caso determinístico y se
puede identificar una probabilidad de falla para el caso estocástico.
Una hipótesis de falla que explica todos los datos y continúa haciéndolo a
medida que se añaden más datos, se puede elevar al nivel de teoría.
Cuando una parte se somete a una carga de manera que el estado de
esfuerzos es uniaxial, entonces el esfuerzo y la resistencia se pueden comparar
directamente para determinar el grado de seguridad, o para aprender si la parte
fallará. El método es simple, porque sólo hay un valor del esfuerzo y sólo un valor
de resistencia última, resistencia cortante o cualquier otra; según sea apropiado.
El problema se complica cuando el estado de esfuerzos es biaxial o triaxial.
En esos casos hay una multitud de esfuerzos, pero aún sólo una resistencia
significativa. Así que, ¿cómo aprenderemos si la parte es segura o no?, y si ése es
el caso, ¿qué tan segura es?
Como un ejemplo, considere la más antigua de las hipótesis de falla
atribuida a Rankine, llamada hipótesis del esfuerzo normal máximo. Se estipula
que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales iguala a la
resistencia. Suponga que se ordenan los esfuerzos principales
(a)
Entonces la falla ocurre cuando:
(b)
Donde St y Sc son resistentes de tensión y de compresión (normalmente la
resistencia de fluencia o la resistencia última) respectivamente. En las figuras 2-10
y 2-11 se ilustran los estados asociados con la seguridad (dentro) y la falla (fuera).
El lugar geométrico de la falla separa a estas regiones. En la figura 2-12, para
estos datos de esfuerzos biaxiales, se emplean los esfuerzos principales
diferentes de cero
. Ya que
, sólo existe el lugar geométrico de falla
representada por la línea continúa. El lugar geométrico de falla representado por la
línea discontinua realmente no es parte del diagrama. Se acostumbra retener la
MONOGRAFÍA
30
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
imagen de espejo respecto a la línea diagonal porque, cuando se grafican los
datos de falla, la congestión de los puntos de datos se puede “corregir” si se
grafican sobre la imagen de espejo, así se reduce la aglomeración y se mejora la
claridad. La línea de carga 1 es el lugar geométrico de estados de esfuerzos
posibles para una circunstancia dada. El punto es la condición del esfuerzo en el
punto crítico. El punto
es la resistencia correspondiente en el lugar geométrico
de falla. El factor de seguridad de Pilo se puede expresar como
sus proyecciones en el eje
, o como
:
(c)
La pendiente de la línea de carga es
es para el caso de torsión pura, por tanto
seguridad
es
.
La
, y el factor de seguridad es
. La línea de carga 2
,
, y el factor de
pendiente
de
la
línea
3
es
.
Figura 2-10 Hipótesis del esfuerzo normal máximo (ENM) en tres dimensiones. El prisma rectangular de la
derecha contiene todos los valores seguros de cualquier combinación de los componentes del esfuerzo. La
resistencia a la compresión SC no necesita ser igual a la resistencia a la tensión St. Para la hipótesis, estas
pueden ser resistencias de fluencia o últimas. También note que las resistencias siempre son cantidades
positivas, pero los esfuerzos pueden ser positivos o negativos.
MONOGRAFÍA
31
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-11 Gráfica de la hipótesis de falla del esfuerzo normal máximo (ENM) para estados de esfuerzos
triaxiales, cuando Sc>St. Los estados de esfuerzo contenidos que se grafican dentro del lugar geométrico de
falla son seguros.
Figura 2-12 Hipótesis de falla del esfuerzo normal máximo (ENM) para estados de esfuerzos triaxiales
mostrando las líneas de carga.
2.3.1. MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DEL EMC (TRESCA O
GUEST)
La hipótesis del esfuerzo cortante máximo estipula que la fluencia comienza
cuando el esfuerzo cortante máximo de cualquier elemento iguala al esfuerzo
cortante máximo en una probeta de ensayo a la tensión del mismo material
cuando esa probeta comienza a fluir.
Si se ordenan los esfuerzos normales principales como
,
entonces la hipótesis del esfuerzo cortante máximo predice que la fluencia ocurrirá
cuando
Ecuación (2-1)
Note que esta hipótesis también está dada por la ecuación:
Ecuación (2-2)
MONOGRAFÍA
32
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Para desarrollar un conocimiento aún mejor de esta hipótesis, aquí se utiliza
la siguiente ecuación para los tres esfuerzos cortantes principales. Éstos son
Ecuación (2-3)
El mayor de
,
y
es
de la ecuación (6-1). Suponga que los
esfuerzos principales normales se descomponen en las componentes
(a)
De tal forma que
(b)
Los esfuerzos en la ecuación (b) se llaman componentes hidrostáticos,
puesto que son iguales. Si sucediera que
, entonces los tres
esfuerzos cortantes, dados por la ecuación (2-3), serían iguales a cero y no podría
haber influencia, sin importar las magnitudes de los esfuerzos hidrostáticos. Por lo
que las componentes hidrostáticas no tienen efecto sobre el tamaño del círculo de
Mohr, sino que solamente sirven para desplazarlo a lo largo del eje del esfuerzo
normal. Por esta razón el criterio de fluencia para el estado general de esfuerzos
se puede representar mediante el cilindro hexagonal regular oblicuo de la figura 213. En la figura 2-14 se ilustra la hipótesis para los esfuerzos biaxiales.
MONOGRAFÍA
33
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-13 Hipótesis del esfuerzo cortante máximo (ECM) representada gráficamente en tres dimensiones.
EL cilindro hexagonal contiene todos los componentes seguros (libres de fluencia) del estado de esfuerzos
dado por ,
y . El eje de cilindro está inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones
principales, y es el lugar geométrico de los puntos descritos por la tríada de componentes hidrostáticas
y
,
.
Figura 2-14 Hipótesis del esfuerzo cortante máximo (ECM) para esfuerzos biaxiales
y
, los cuales son
esfuerzos principales diferentes de cero.
Esta hipótesis predice que los esfuerzos hidráulicos no producen fluencia.
También predice que la resistencia de fluencia por cortante es la mitad de la
resistencia de fluencia por tensión. Esto es aproximadamente 15% menos. Es
simple de aplicar y es útil en la tecnología de la soldadura porque otras
consideraciones (forma geométrica) conducen a errores aún mayores. Como no
predice datos existentes, no se le ha dado el rango de teoría, pero no obstante
tiene un uso ocasional.
Un cuerpo sometido a enormes esfuerzos hidrostáticos, muy por arriba del
esfuerzo usual de falla uniaxial, no fluye ni se rompe. Cuando los esfuerzos se
liberan, el cuerpo se recupera elásticamente. Por tanto, los esfuerzos hidrostáticos
no contribuyen a la falla. Por esta razón la hipótesis del esfuerzo cortante máximo
fue útil hasta que se sustituyó con la teoría de la energía de la distorsión para
materiales dúctiles.
2.3.2. MATERIALES
DÚCTILES:
HIPÓTESIS
DE
LA
ENERGÍA
DE
DEFORMACIÓN
La hipótesis de la energía de deformación máxima predice que la falla por
fluencia ocurre cuando la energía de deformación total en un volumen unitario
alcanza o excede la energía de deformación en el mismo volumen
correspondiente a la resistencia de fluencia en tensión o en compresión.
MONOGRAFÍA
34
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
La energía de deformación almacenada en un volumen unitario cuando se
aplica axialmente hasta la resistencia de fluencia se puede determinar mediante la
ecuación:
Por tanto:
(a)
Con la ayuda de las relaciones de esfuerzo-deformación triaxiales de la
tabla 2-1, se obtiene que la energía de deformación total en un volumen unitario,
sometido a esfuerzos combinados, es:
(b)
Debido a que esta hipótesis ha dejado de emplearse, aquí no se presenta
ninguna gráfica y las ecuaciones del esfuerzo biaxial no se muestran. Sin
embargo, quizá se desee determinar estos esfuerzos para satisfacer su propia
curiosidad.
La hipótesis de la energía de distorsión se originó debido a la observación
de que los materiales dúctiles sometidos a esfuerzos hidrostáticos presentan
resistencias de fluencia que exceden en gran medida los valores dados por el
ensayo de tensión simple. Por lo tanto, se postuló que la fluencia no era un
fenómeno de tensión o compresión simples, sino más bien, que estaba
relacionada de alguna manera con la distorsión angular del elemento esforzado.
Para desarrollar la teoría, observe en la figura 2-15a, el volumen unitario sometido
a cualquier estado de esfuerzos tridimensionales, designado por los esfuerzos
. El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15b es de tensión
hidrostática debida a los esfuerzos
que actúan en cada una de las mismas
direcciones principales, como en la figura 2-15a. La fórmula para
es
(c)
MONOGRAFÍA
35
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
De esta manera, el elemento de la figura 2-15b experimenta un cambio de
volumen puro; es decir, sin distorsión angular. Si se considera
como un
componente de
, entonces este componente se puede restar de ellos,
dando como resultado el estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15c.
Éste está sometido a distorsión angular pura; es decir, no hay cambio de volumen.
La ecuación (b) proporciona la energía de deformación total para el
elemento de la figura 2-15a. La energía de deformación para producir sólo un
cambio de volumen se puede obtener sustituyendo
para
en la
ecuación (b). El resultado es
(d)
Si ahora se sustituye el cuadrado de la ecuación (c) en la ecuación (d) y se
simplifica la expresión, se obtiene
Ecuación (2-4)
Entonces la energía de distorsión se obtiene restando la ecuación (2-4) de
la ecuación (b). Esto da
Ecuación (2-5)
Observe que la energía de distorsión es cero si
.
Expresada con palabras, la hipótesis de la energía de distorsión predice
que la fluencia ocurrirá cuando la energía de distorsión en un volumen unitario
iguale la energía de distorsión en el mismo volumen cuando se someta a un
esfuerzo uniaxial hasta la resistencia de fluencia. Para el ensayo de tensión
simple, sea
,
. La energía de distorsión es:
Ecuación (2-6)
Igualando las ecuaciones (2-5) y (2-6) se obtiene
Ecuación (2-7)
Por lo tanto se predice que la fluencia ocurrirá cuando
Ecuación (2-8)
MONOGRAFÍA
36
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
El esfuerzo
debe tener un nombre especial porque representa el estado
de esfuerzos completo
. Los nombres preferidos son esfuerzo efectivo y
esfuerzo de von Mises, en honor de Dr. R. von Mises, quien contribuyó a la
hipótesis.
Para el estado de esfuerzos biaxial, sean
y
los dos esfuerzos
principales diferentes de cero. Entonces, de la ecuación (2-7), se obtiene
Ecuación (2-9)
La hipótesis de la energía de deformación también se denomina:
 La hipótesis de la energía cortante
 La hipótesis de von Mises-Hencky
 La hipótesis del esfuerzo cortante octaédrico
Con el nombre de hipótesis del esfuerzo cortante octaédrico, la falla se
supone que ocurre cuando el esfuerzo cortante octaédrico para cualquier estado
de esfuerzos es igual o excede al esfuerzo cortante octaédrico para la falla de la
probeta de ensayo de tensión simple. La ecuación es:
(e)
Usando los resultados del ensayo de tensión
, como
antes; mediante la ecuación (e) se determina que
(f)
Resolviendo las ecuaciones (e) y (f) para
se obtiene
(g)
Para los ejes coordenados xyz convenientes del esfuerzo de von Mises
de la ecuación (g) se puede escribir como:
(h)
Y para el esfuerzo plano:
(i)
MONOGRAFÍA
37
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
En la figura 2-16 se muestra la hipótesis de la energía de distorsión para
estados de esfuerzos triaxiales. Note que las componentes hidrostáticos
,
y
, según se definieron en la ecuación (a) del tema “Materiales dúctiles: hipótesis
del esfuerzo cortante máximo (Tresca o Guest)”, siempre se encuentran en el eje
del cilindro, sin importar cuánto se extienda desde el origen. La representación de
los estados de esfuerzos biaxiales se muestra en la figura 2-17. Ésta es una
representación más fiel de la elipse, debido a la distorsión inherente de la
representación esquemática.
La manipulación matemática implicada en el desarrollo de una hipótesis, a
menudo tiende a oscurecer el valor real y la utilidad del resultado. Las ecuaciones
(2-7) y (2-8) indican que una situación de esfuerzo complejo se puede representar
por medio de un solo valor. ¡El esfuerzo de von Mises Hencky se puede usar para
representar la situación más complicada del esfuerzo que se pueda imaginar! Por
ejemplo, el estado de esfuerzos
se puede representar por el
valor individual
.
Además, la hipótesis de la energía de distorsión no predice falla bajo
presión hidrostática y concuerda con todos los datos. Se le ha dado el rango de
teoría y, por consiguiente, es muy empleada. Es un fino ejemplo de elegancia, una
palabra que proviene del vocabulario de las matemáticas, la cual significa que se
introduce simplicidad donde antes había complejidad.
Tabla 2-1 Relaciones elásticas esfuerzo-deformación
MONOGRAFÍA
38
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-15 a) Elementos con esfuerzos triaxiales, este elemento experimenta cambio de volumen y distorsión
angular. b) Elemento sometido a tensión hidrostática que sólo experimenta cambio de volumen. c) Elemento
con distorsión angular sin cambios de volumen.
Figura 2-16 Teoría de la energía de distorsión (ED) representada gráficamente en tres dimensiones. El cilindro
elíptico oblicuo contiene todos los valores seguros (libres de fluencia) de los componentes generales del
esfuerzo
,
y
. El eje del cilindro está inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones
principales, y es el lugar geométrico de los puntos descritos por la tríada de componentes hidrostáticas
y
MONOGRAFÍA
,
.
39
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-17 Teoría de energía de distorsión (ED) para estados de esfuerzos biaxiales. Ésta gráfica real de
puntos obtenidos mediante la ecuación
(2-9) con
.
2.3.3. MATERIALES DÚCTILES: HIPÓTESIS DE LA FRICCIÓN INTERNA
La hipótesis de Mohr se remonta a 1900, una fecha que es relevante para
su presentación. No había computadoras, sólo reglas de cálculo y curvas
francesas. Los procedimientos gráficos, comunes en ese tiempo, aún son útiles.
La idea de Mohr se basa en tres ensayos “simples”, tensión, compresión y
cortante, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura. Es más fácil definir la
resistencia de fluencia por cortante como
que realizar su ensayo.
Poniendo a un lado las dificultades prácticas, la hipótesis de Mohr era
valerse de los resultados de los ensayos de tensión, compresión y cortante a fin
de elaborar los tres círculos, como se muestran en la figura 2-18, con objeto de
definir una envolvente falla, representada como una línea en la figura, arriba del
eje . La envolvente de falla no es necesario que sea recta. El argumento se
basaba en los tres círculos de Mohr que describen el estado de esfuerzos en un
cuerpo (véase figura 2-19) y que crucen durante la carga hasta que uno de ellos
se hace tangente a la envolvente de falla, definiendo la falla. ¿Era la forma de la
envolvente de falla recta, circular o cuadrática? Un compás o una curva francesa
definían la envolvente de falla. Ahora se puede estipular la hipótesis de Mohr.
Ponga que el material tiene resistencias iguales de tensión y de
compresión. Si la envolvente de falla es una línea recta paralela al eje
de la
MONOGRAFÍA
40
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
figura 2-18, entonces para un estado de esfuerzos de un cuerpo, según la figura 219.
Ecuación (2-10)
Lo cual es el mismo resultado que proyecta la hipótesis del esfuerzo
cortante máximo. Ésta es una señal de que la envolvente de falla no puede ser
. Una envolvente de falla de la forma:
Donde
es el esfuerzo normal en el plano del esfuerzo cortante máximo,
el cual proporciona el resultado de la energía de distorsión para resistencias
iguales de compresión y de tensión.
Hay una derivación útil de la envolvente de falla de línea recta de Mohr.
Dadas las resistencias de fluencia de tensión y de compresión, la resistencia de
fluencia torsional se puede predecir por medio de la ecuación
Ecuación (2-11)
Una hipótesis de la fricción interna se puede basar en la línea envolvente de
falla de la recta de la figura 2-18. Esto aún le da propiedades de esfuerzo cortante
máximo. Se llama la hipótesis de Coulomb-Mohr. Ésta se basa en la suposición de
que la línea BCD de la figura 2-18 es recta. Los tres esfuerzos principales se
ordenan de manera que
Luego para cualquier estado de esfuerzos que
produzca un círculo tangente a la línea BCD, entre los puntos B y D, se cumple
que
y
tienen signos opuestos. Para este estado de esfuerzos se aplica la
hipótesis de Mohr y los dos estados y las resistencias se relacionan por medio de
la ecuación
Ecuación (2-12)
MONOGRAFÍA
41
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-18 Tres círculos de Mohr (uno para el ensayo de compresión uniaxial, otro para el ensayo de cortante
puro, y otro más para el ensayo de tensión uniaxial) se utilizan para medir la falla mediante la hipótesis de
Mohr. Las resistencias St y Sc son las resistencias de tensión y de compresión, respectivamente; se pueden
usar para la resistencia de fluencia o última.
Figura 6-25 Gráfica de la fricción interna, o hipótesis de falla de Coulomb-Mohr, para estados de esfuerzos
triaxiales con
.
Para estados de esfuerzos biaxiales en los cuales
y
tienen signos
iguales, la hipótesis de la fricción interna es la misma que la hipótesis del esfuerzo
normal máximo y la falla se predice mediante:
(2-13)
Se puede usar la resistencia a la fluencia o la resistencia última con las
ecuaciones (2-12) y (2-13). Note de nuevo que las resistencias siempre se tratan
como valores positivos. La hipótesis de la fricción interna se muestra en la figura
2-20 para un estado de esfuerzos biaxial. Los esfuerzos diferentes de cero son
MONOGRAFÍA
42
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
y
Esta figura se grafica para un material, como una función gris, en donde
Ejemplo 2-1
Un eje de 25 mm de diámetro se somete a un par de torsión estático de 230
Nm. El eje esta hecho de Aluminio fundido 195-T6, con una resistencia de fluencia
en tensión de 160 MPa. El eje se maquina hasta el diámetro final. Calcule el factor
de seguridad en el cuerpo de 25 mm.
Solución: Como Nm, cm Mpa forman un conjunto consistente de dimensiones, el
diámetro se expresa en cm:
Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son 75 y -75 MPa, lo cual
hace que los esfuerzos principales ordenados
,
y
. De
la ecuación (2-12),
Respuesta:
En forma alterna, de la ecuación (2-11),
Respuesta:
MONOGRAFÍA
43
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.3.4. CRÍTICA
A
LAS
HIPÓTESIS
POR
MEDIO
DE
DATOS
EN
MATERIALES DÚCTILES
El primer requisito para que una hipótesis obtenga el rango de teoría es la
habilidad para explicar los hechos conocidos en ese momento y para continuar
haciéndolo en el futuro. Las hipótesis están en “buen comportamiento”, lo cual se
puede terminar en cualquier momento. Cuando hay suficiente datos y todos se
consideran explicados lo suficientemente bien por casi toda la comunidad
científica implicada, a una hipótesis se le da el rango de teoría.
EVIDENCIA
En esta sección nos limitamos a materiales y partes que se sabe que fallan
en una forma dúctil. Para ayudar a decidir las hipótesis apropiadas y manejables
de falla dúctil del material, se reunieron datos de muchas fuentes. Algunos de los
puntos de datos para materiales dúctiles se muestran en la gráfica de la figura 221. Se recolectaron muchos datos para aleaciones de cobre y níquel; si se
mostraran, los puntos de datos se mezclarían con los ya representados en el
diagrama. En la figura 2-21 se muestra que en el cuarto cuadrante la teoría de la
energía de distorsión es aceptable para el diseño y el análisis. Puede graficar
otras hipótesis usando un lápiz azul o rojo sobre la figura 2-21, para mostrar por
qué no son aceptables o por qué sólo se usan en dominios específicos.
En la figura 2-21 se presentan unos datos adimensionales,
abscisa y
como la
como la ordenada. Sin recurrir a la calidad del ajuste de los
programas estadísticos, se puede ver que la hipótesis del esfuerzo máximo está
sesgada por “debajo”. El lugar geométrico de la hipótesis de la energía de
distorsión se encuentra entre los datos. La hipótesis de la energía de distorsión es
la más válida y la más útil para predecir el origen de la fluencia. Además, tiene el
rango de teoría. Esta evidencia es para fluencia estática. Se analizará con mayor
detalle la energía de distorsión en fatiga.
MONOGRAFÍA
44
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-21 datos experimentales superpuestos de la hipótesis de falla.
Para materiales dúctiles con resistencias de fluencia diferentes
tensión y
en
en compresión, la hipótesis de Mohr es la más válida. Se puede
llevar a cabo gráficamente con los resultados de los ensayos de tensión, de
compresión y de cortante. Considere que se requiere:
 El ensayo del material implicado en tres modos
 Una curva francesa o un lugar geométrico de un arco circular de falla,
trazado gráficamente.
 La superposición del círculo de Mohr mayor asociado con el estado de
esfuerzos.
Los ensayos de tensión eliminan el empate con la teoría del esfuerzo
cortante máximo. La alternativa a las gráficas es un programa de cómputo que
pueda ajustar un polinomio que se elija, u otra curva, tangente a los tres círculos.
Luego se obtiene el centro del círculo de Mohr mayor del estado de esfuerzos, se
encuentra el diámetro y la intersección en la abscisa. En una situación de
aprendizaje, los códigos de programación de “caja negra” no proporcionan un
significado y una visión para la experiencia del problema. Otra desventaja es la
necesidad de ensayos del material.
MONOGRAFÍA
45
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-22 Los modelos describen datos y los datos critican a los modelos. Este protocolo representa lo que
se conoce acerca de la falla estática. Note que sólo una categoría tiene teoría. Cuando se usan hipótesis en
su aplicabilidad angosta restringida se consideran como “teorías pequeñas”, pero la palabra teoría nos e debe
usar a menos que se reciten todas las oraciones de restricción.
Figura 2-23 Una línea de carga, un estado de esfuerzos descrito por
y
y la intersección con el lugar
geométrico de falla descritos por SA y SB. El factor de seguridad n, esta dado por
y
y escribiendo
o
o midiendo
o sus proyecciones en los ejes. Los factores de escala en la ordenada y la
abscisa deben concordar. a) Hipótesis de Mohr mod. ll (M2M); b) hipótesis del esfuerzo normal máximo
(ENM); c) Hipótesis de Coulomb-Mohr dúctil (CMD); d) Teoría de la energía de distorsión (ED).
MONOGRAFÍA
46
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.3.5. MATERIALES FRÁGILES: HIPÓTESIS DEL ESFUERZO NORMAL
MÁXIMO (RANKINE)
La hipótesis del esfuerzo normal máximo (ENM) estipula que la falla ocurre
cuando uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia.
Suponga que se disponen los tres esfuerzos principales para cualquier estado de
esfuerzos en la forma ordenada.
(2-14)
Entonces la hipótesis predice que la falla ocurre cuando:
(2-15)
Donde
y
son resistencias a la tensión y a la compresión, normalmente
la resistencia de fluencia o la resistencia última, respectivamente. En las figuras 210 y 2-11 se ilustran los estados de esfuerzos asociados con la seguridad o la
falla. Las combinaciones sin pérdida de la función de los esfuerzos principales
yacen dentro de éste. La superficie del prisma define la de la falla o el lugar
geométrico de falla.
La hipótesis del esfuerzo normal máximo no puede predecir la falta de daño
debida a esfuerzos hidrostáticos. Hay poca información en segundo y tercer
cuadrante del diagrama de esfuerzo biaxial. En las figuras 2-24 y 2-25 se
muestran datos para el hierro fundido en el primer y segundo cuadrantes
siguiendo la hipótesis del ENM en la región
fuera de los cuales la
hipótesis del ENM es conservadora. La hipótesis del ENM tiene uso limitado para
la falla frágil entre los datos, como se muestra en la figura 2-25.
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-24 Datos SA SB en el cuarto cuadrante para un hierro fundido grado 40, comparados con un lugar
geométrico de fractura de Mohr mod. ll.
Figura 2-25 Datos de figura biaxial de hierro fundido gris comparados con varios criterios de falla.
2.3.6. MATERIALES FRÁGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE
MOHR
Cuando se grafican los datos de la falla estática de un material frágil en la
gráfica biaxial de Coulomb-Mohr, los datos en la parte inferior del cuarto cuadrante
están debajo del lugar geométrico de falla (véase las figuras 2-24 y 2-25). Se hizo
una modificación cuando
y la línea de falla se dibujó, como se muestra
mediante una línea continua en la figura. Las modificaciones al esquema de
Coulomb-Mohr se llama hipótesis de Mohr modificada, Mohr mod. I, Mohr mod. II,
o en forma abreviada M1M o M2M.
Bajo condiciones de esfuerzo biaxial, usando esfuerzos principales
y
diferentes de cero, las hipótesis de Coulomb-Mohr y las modificaciones se pueden
expresar cuantitativamente como sigue.
 Coulomb-Mohr
(2-16a)
(2-16b)
MONOGRAFÍA
48
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
O, en términos de la pendiente de la línea de carga r,
(2-16c)
 Mohr Mod. I:
(2-17a)
(2-17b)
O, en términos de la pendiente de la línea de carga r,
(2-17c)
 Mohr mod. II:
(2-18a)
(2-18b)
O, en términos de la pendiente de la línea de carga
(2-18c)
Donde:
(2-18d)
Véase la figura 2-24. El lugar geométrico de la hipótesis de Mohr mod. II
pasa entre los datos.
MONOGRAFÍA
49
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
La hipótesis de Mohr original, establecida mediante ensayos de tensión, de
compresión y de torsión, con un lugar geométrico de falla curvo, es la mejor
hipótesis que se tiene, pero la dificultad para aplicarla sin una computadora
propicia que los ingenieros elijan modificaciones, a saber, Coulomb-Mohr, Mohr
mod. I, o Mohr mod. II. Incluso la de Mohr original aún es una hipótesis, porque
hay una escasez de datos en el segundo y tercer cuadrante. Las hipótesis sólo se
deben usar en sus dominios verificados. La Mohr mod. II ajusta mejor los datos.
Véase la tabla 2-2 y la figura 2-22 para un resumen respecto a la carga estática de
materias frágiles y dúctiles, y de los métodos efectivos de análisis.
Tabla 2-2 Hipótesis de Mohr modificada ll estática bajo condiciones de esfuerzo biaxial para materiales
frágiles.
MONOGRAFÍA
50
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.4.
CRÍTICA A LAS HIPÓTESIS POR MEDIO DE DATOS EN
MATERIALES FRÁGILES
Se ha identificado la falla o la resistencia de materiales frágiles que se
asemejan al significado usual de la palabra frágil, al relacionar los materiales cuya
deformación real a la fractura es 0.05 o menor. También nos hemos familiarizado
con materiales normalmente dúctiles que por alguna razón pueden desarrollar una
fractura frágil o una grieta si se usan debajo de la temperatura de transición. En la
figura 2-26 se muestran datos para una fundición de hierro de grado 30 tomado
bajo condiciones de esfuerzo biaxial y que muestra varias hipótesis de falla frágil,
superpuestas. Se observa lo siguiente:
 En el primer cuadrante los datos aparecen en ambos lados y a lo largo del
lugar geométrico de falla del esfuerzo normal máximo, Mohr-Coulomb, Mohr
mod. I Mohr mod. II. Todos los lugares geométricos de falla son los mismos
y los datos se ajustan bien.
 En el cuarto cuadrante sólo la hipótesis de Mohr mod. II produce un lugar
geométrico de falla, el cual está dentro y entre los lados.
 En el tercer cuadrante los puntos A, B, C y D son muy pocos para hacer
alguna sugerencia respecto al lugar geométrico de la fractura.
 Es claro que a menos que el diseñador esté preparado para hacer ensayos
considerables, deberá evitar cargas en el segundo y tercer cuadrantes en
un concepto contemplado. El cambio de concepto para estar en el primer o
cuarto cuadrante es el camino menos costoso.
MONOGRAFÍA
51
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-26 Gráfica de puntos de datos experimentales obtenidos de ensayos de hierro fundido. También se
muestran las gráficas de tres hipótesis de falla de utilidad posible para materiales frágiles. Note los puntos A,
B, C y D. Para evitar congestión en cualquier cuadrante, los puntos se han graficado para
así como
para el sentido opuesto.
La presión para hacer las cosas provoca que los ingenieros utilicen cargas
que se entienden cuantitativamente. En cualquier momento, se debe saber qué
hacer y qué no hacer, a fin de actuar como corresponde.
2.5.
QUÉ NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA
En el caso de materiales dúctiles con resistencias de fluencia iguales en
tensión y compresión, la teoría de la energía de distorsión es la explicación de los
datos. Esto significa que si acepta esta tesis y se actúa conforme a ella, las
predicciones serán congruentes con la naturaleza. En el tema Materiales dúctiles:
hipótesis de la energía de deformación, las ecuaciones (2-7) y (2-8) son el punto
esencial, junto con la siguiente ecuación (h). Como la configuración media de los
datos fue la base de las relaciones, estas ecuaciones son relaciones entre medias.
Un enunciado más poderoso es “la probabilidad de encontrar una pérdida de
funcionalidad por fluencia, es la probabilidad que un caso del esfuerzo de von
Mises exceda una instancia caso de una resistencia de fluencia ”
Se podría aproximar la incertidumbre, usando el método Pilo y escribiendo
MONOGRAFÍA
52
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
(2-19)
Donde el factor de diseño proviene de la experiencia acumulada de los
éxitos y fallas de ingeniería anteriores. Otra metodología es el factor de diseño
estocástico donde:
(6-20)
Una más es el método estocástico.
Examine la figura 2-21. El diseñador necesita establecer una elipse de falla
que se define por
Si ésta es información histórica de todas las coladas, como
en la figura 2-27b, el CDV de
y
para aceros clasificados 1035 es 5.36/49.5=0.108
. Si el diseñador o su compañía no han ordenado todavía
un acero 1035 y si falla tanto tiempo para la manufactura de la parte que el acero
aún no se ha fundido entonces, éste es todo el conocimiento que está disponible.
La habilidad para ubicar la elipse ED para la falla por fluencia está obstaculizada
por el nivel de incertidumbre de nuestro conocimiento de
. Si una colada
particular se encuentra almacenada en el patio del distribuidor de acero, entonces
se puede construir mediante ensayos. Si se suministra la población real a partir
de la cual se seleccionarán las piezas de trabajo, entonces está disponible. El
CDV será menor que en la figura 2-27b, pero la media puede ser mayor o menor.
La contracción del CDV de
es importante.
Figura 2-27 Histograma de propiedades a la tensión del acero 1035 laminado en caliente, en la condición
como sale la laminación. Estos ensayos se realizaron partiendo de varillas redondas, variando su diámetro de
1 a 9 pulg. a) Distribución de la resistencia a la tensión de 930 coladas:
b)
Histograma de la resistencia a la fluencia de 899 coladas
MONOGRAFÍA
53
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Es conveniente ver la elipse ED como la mitad de una dona, presionada
para formar una huella elíptica en las figuras 2-17 y 2-21. Las rebanadas de línea
de carga radial definen las FDP. Se podrán dibujar elipses anidadas para
representar contornos de probabilidad de la resistencia de fluencia.
De manera similar, nuestro conocimiento del esfuerzo de von Mises
es
estocástico por razones de variabilidad en la carga y en la geometría. El factor de
diseño estocástico
se puede obtener a partir de nuestro conocimiento
de
y
. A menudo se puede usar
y
, y proceder de manera
determinística para lograr un riesgo aceptable de falla (fluencia).
En el caso de materiales frágiles, las hipótesis del ENM, de Coulomb-Mohr,
de Mohr mod. Y Mohr mod. II coinciden en el primer cuadrante para el caso de
esfuerzo biaxial. En el cuarto cuadrante la hipótesis de Coulomb-Mohr es
conservadora y las otras tres coinciden y están entre los datos de la región
. En la región
la Mohr mod. I es conservadora y la
Mohr mod. II se encuentra entre los datos. Para la totalidad del primer y cuarto
cuadrantes, sólo la Mohr mod. I es congruente con los datos.
En el caso de materiales frágiles, el método de Pilo se puede expresar
como:
(2-21)
Donde
se fija igual a la expresión para
en las ecuaciones (2-16a) o (2-
216c), para (2-17a) o (6-17c), o para las expresiones (2-18a) o (2-18c).
Al abordar la incertidumbre y la probabilidad de falla sólo la hipótesis de
Mohr mod. II se puede usar para
así que
y
se determinan mediante la
propagación del error por medio de la ecuación (2-18c) y sus auxiliares, las
ecuaciones (2-18d). Los efectos de la carga y la geometría sobre
se manejan
como se hizo con los materiales dúctiles:
(2-22)
O de esta manera:
(2-23)
MONOGRAFÍA
54
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
2.6.
CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA EN UN EJE
La construcción cinemática fundamental de nuevo universo mecánico es la
rueda y el eje. Una parte esencial de esta junta de revolución es el eje. Es un buen
ejemplo de un cuerpo cargado dinámicamente estático o cuasiestático.
El esfuerzo en un elemento ubicado en la superficie de un eje redondo
sólido de diámetro d, sometido a flexión, carga axial y torcedura es:
(a)
(b)
Donde la componente axial del esfuerzo normal
puede ser aditiva o
sustractiva. Se observa que las tres cargas M, F y T ocurren en una sección que
contiene el elemento superficial específico bajo estudio.
Usando el círculo de Mohr se puede demostrar que los dos esfuerzos
principales diferentes de cero
y
son:
(2-24)
Estos esfuerzos principales se pueden combinar para obtener el esfuerzo
de von Mises como:
(2-25)
Si es útil la hipótesis del cortante máximo,
(2-26)
Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en las ecuaciones (2-24) y (2-25), se
obtiene:
(2-27)
Para el esfuerzo de von Mises, y mediante la ecuación (2-26) para la
aproximación del esfuerzo cortante máximo, se obtiene:
(2-28)
MONOGRAFÍA
55
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Las ecuaciones (2-27) y (2-28) permiten realizar una estimación de
o
cuando se da el diámetro, o una estimación de d cuando se da un valor
permisible de
o
. Para un factor de diseño de
la teoría de la energía de
distorsión de falla dúctil proporciona el esfuerzo permisible de:
(2-29)
Para un factor de diseño de
la hipótesis del cortante máximo de falla
dúctil proporciona un esfuerzo cortante permisible
de:
(2-30)
2.6.1. CARGA ESTÁTICA O CUASIESTÁTICA DE UN EJE: FLEXIÓN Y
TORSIÓN
Bajo muchas condiciones, la fuerza axial F en las ecuaciones (2-27) y (228) es cero, o tan pequeña que su efecto se puede ignorar. Con F=0, las
ecuaciones (2-27) y (2-28) se convierten en:
(2-31)
(2-32)
Es más fácil resolver estas ecuaciones para el diámetro d que las
ecuaciones (2-27) y (2-28). Sustituyendo los esfuerzos permisibles en las
ecuaciones (2-29) y (2-30) se obtiene, para la teoría de falla de von Mises:
(2-33)
(2-34)
Y para la aproximación del esfuerzo cortante máximo:
(2-35)
(2-36)
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Ejemplo 2-2
El ejemplo con piñón integrado que se muestra en la figura 2-28 se va a
montar en cojinetes en las ubicaciones que se muestran, y también va a tener un
engrane montado (no se muestra) en el extremo sobresaliente de la derecha. El
diagrama de carga (véase figura 2-29b) muestra que la fuerza del piñón A y la
fuerza del engrane en C están en el mismo plano. Los pares de torsión y opuestos
TA y TB se representan como concentrados en A y C. igual que las fuerzas. El
diagrama del momento flexionante de la figura 2-28c muestra un máximo en A y B.
El diámetro menor en B hace que ésta sea el punto crítico en el centro del cojinete
de la derecha. Como el eje se usa en emergencias esporádicas, su uso no
sobrepasará 1000 rpm con carga total, por lo que el problema se puede tratar
como cuasiestático.
a) El material es un acero al carbono tratado térmicamente con una
resistencia a la fluencia media de 66 kpsi. En esta circunstancia el
ingeniero de proyecto decide usar un factor de diseño de 1.80 ¿Cuál es
el diámetro menor del cojinete de la derecha determinado a partir de la
energía de distorsión y por medio de la aproximación de la hipótesis del
cortante máximo?
b) El material tiene una resistencia de fluencia Sy~LN(66.0, 5.3) kpsi y el
momento aplicado M~LN(1925,96) lbf·pulg y un par de torsión
correlacionado T~LN(3 300, 765) lbf·pulg. Si la confiabilidad contra la
fluencia en el cojinete de la derecha, de acuerdo con la estimación de la
teoría de la energía de distorsión y calculado mediante el método de la
hipótesis del cortante máximo?
Solución:
a) De la ecuación (2-33),
De la ecuación (2-35),
El diámetro depende de la decisión para el factor de diseño.
b) La ecuación (2-33) se puede expresar de manera estocástica como:
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Ya que no hay factor de concentración del esfuerzo para carga estática.
Puesto que T y M están correlacionados (ρ=1), el cociente T/M es una constante
determinística,
. La variabilidad en el esfuerzo es la misma que en M. De la
siguiente ecuación:
De la ecuación (2-33),
Y de la ecuación (2-35)
En la respuesta del inciso b) se utiliza un conocimiento estocástico de la
carga (M y T) y de la resistencia (Sy); asimismo, responde a una meta
especificada de confiabilidad.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-28 El diámetro del cojinete izquierdo es 1 pulg, el diámetro del hombro del cojinete izquierdo es 2
pulg, el diámetro de la cabeza del engrane es 3.43 pulg; el diámetro del hombro del cojinete de la derecha es
2 pulg; el hombro sobresaliente es 1 1/8 pulg por 1 1/4 pulg de longitud; el diámetro del asiento del engrane
sobresaliendo es 1 pulg.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-29 Formas de las curvas de la gráfica R1 R2. En cada caso el área sombreada es igual a 1-R y se
obtiene por integración numérica. a) Curva típica para distribuciones asintóticas; b) forma de la curva obtenida
a partir de distribuciones inferiores truncadas como la Weibull.
Ejemplo 2-3 DISEÑO PRELIMINAR DE UN EJE
Un estudio conceptual ha producido el dibujo para una banda
transportadora que se representa en la figura 2-30. La tarea inmediata es crear un
diseño aproximado para el eje de la polea. Las condiciones nominales son:
Tensión de la banda: 3600 lb
Ancho de la banda: 30 pulg
Velocidad de la banda: 100 ft/min
Diámetro de la polea: 16 pulg
El eje propuesto se hará en pequeñas cantidades, puesto que no se espera
una venta de más de 250 unidades. El dibujo del eje se desarrollará y archivará
hasta que alguien diseñe la polea en detalle. El eje debe tener una vida larga y no
debe dar problemas.
Concepto: Los conos interiores de los cojinetes de rodillos cónicos van a tener un
ajuste a presión recomendado por el fabricante. El eje estará sujetado al bastidor
de la banda transportadora en el extremo. Para tomar en cuenta variaciones en el
ancho de la banda, la polea se hará con una longitud de 32 pulg. Se proporciona
una holgura de 1 pulg entre los extremos de la polea y de los elementos
estructurales de soporte. Se espera que los elementos estructurales sean ángulos
de 4 pulg. Esto hace que la longitud objetivo global del eje, como se muestra en la
figura 2-31 del bosquejo del concepto.
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60
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Se usará un acero al carbono simple, estirado en frío para incrementar la
resistencia, lo cual garantiza que el tamaño sea el menor. El diseño final del eje
dependerá de la selección del cojinete. El eje está sujeto esencialmente a una
carga estática. El eje tiene una carga estática flexionante no rotatoria. Las cargas
y las reacciones se van a considerar como fuerzas concentradas. Las
concentraciones del esfuerzo en el hombro y en los chaflanes del asiento se
ignoran debido a la carga estática de un material dúctil. Se tiene a la mano un
acero 1018 estriado en frío del cual se reservará el material para la pieza de
trabajo. La resistencia de fluencia es
la falla sería de
deformación permanente general (fluencia). Para una producción total de 250, es
aceptable una probabilidad de falla de un eje del 10%, por lo que la meta de
confiabilidad es R=1-(1/10)(1/250)=0.9996(z=-3.355). La tensión máxima en la
banda será una variable, incluso una función de contratiempos en uso. Se
estimará el CDV de la carga máxima como 0.20. De esta manera:
2F~2(3600) LN(1,0.20)
Y se deduce que el CDV del factor de diseño es
El factor de diseño medio
está dado por:
El momento flexionante máximo M es:
M= 3600 LN(1,0.20)(9.5) lb pulg
Y su media es
. La ecuación resistencia-esfuerzo es
De donde el diámetro d se determina que es:
Decisiones:
Material del eje de la polea: Acero 1018 estriado en frío
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Longitud de la polea: 32 pulg
Soporte estructural C a C: 38 pulg
Ancho del soporte estructural: 4 pulg
Los diámetros finales del eje se hacen de 2.10 pulg. El diámetro del cojinete
d1 depende de d1 y w del cojinete seleccionado. El diámetro d2 reflejará el hombro
recomendado por el fabricante.
La tarea resultó ser simple, pero sólo debido a los muchos temas
analizados en este capítulo.
Figura 2-30 a) Dibujo de un estudio conceptual para un ensamble de polea de cola de 16 pulg de diámetro. La
banda transportadora tiene una tensión nominal de 3600 lb, una banda plana de 30 pulg de ancho que viaja a
una velocidad de 100 ft/min. b) Vista lateral de la polea de cola que muestra la carga del eje.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 2-31 Bosquejo conceptual que muestra la geometría global del eje, antes que el diseñador la refine con
dimensiones y características de trabajo.
Figura 2-32 Bosque conceptual refinado del eje con los asientos de los cojinetes para montar la pista interior
(copa) del cojinete de rodillos cónicos cuando se seleccionen. Los chaflanes de los hombros se
dimensionarán de acuerdo con las recomendaciones del fabricante de los cojinetes.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CAPÍTULO 3
ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA
A LA FATIGA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
3. ANÁLISIS Y DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA
3.1.
INTRODUCCIÓN A LA FATIGA EN METALES
En la mayoría de los ensayos para determinar las propiedades de los
materiales que se relacionan con el diagrama esfuerzo-deformación, la carga se
aplica en forma gradual, para proporcionar suficiente tiempo a fin de que la
deformación se desarrolle en su totalidad. Además, la muestra se ensaya hasta su
destrucción, y por tanto los esfuerzos sólo se aplican una vez. Así los ensayos de
esta clase se aplican bajo lo que se conoce como condiciones estáticas, que se
aproximan en gran medida a las condiciones reales a las que se someterán
muchos elementos estructurales y de máquinas.
Sin embargo, con frecuencia se tiene una condición para la cual los
esfuerzos varían o fluctúan entre ciertos niveles. Por ejemplo, una fibra particular
en la superficie de un eje rotatorio sometido a la acción de cargas flexionantes
experimenta tensión y compresión por cada revolución del eje. Si el eje es una
parte de un motor eléctrico que gira a 1725 rpm, la fibra se somete a un esfuerzo
de tensión y compresión a 1725 veces en cada minuto. Si además el eje
experimenta una carga axial (como sería el caso, por ejemplo, de un engrane
helicoidal o un tornillo sinfín), una componente axial del esfuerzo se superpone a
la componente flexionante. En este caso, siempre está presente determinado
esfuerzo en una fibra, pero ahora el nivel del esfuerzo es fluctuante. Éstas y otras
clases de carga que ocurren en elementos de máquinas producen esfuerzos que
se llaman esfuerzos variables, repetidos, alternantes o fluctuantes.
A menudo, se determina que los elementos de máquinas han fallado bajo la
acción de esfuerzos repetidos o fluctuantes; no obstante el análisis más cuidadoso
revela que los esfuerzos máximos reales estuvieron debajo de la resistencia última
del material y con mucha frecuencia incluso debajo del límite elástico. La
característica más notable de estas fallas consiste en que los esfuerzos se
repitieron un gran número de veces. Por tanto, a la falla se le llama falla por fatiga.
Una falla por fatiga comienza con una grieta pequeña. La grieta inicial es
tan diminuta que no se puede detectar a simple vista y aun es muy difícil de
localizar en una inspección mediante Magnaflux o con rayos X. La grieta se
desarrollará en un punto de discontinuidad en el material, como en un cambio en
la sección transversal, en un cuñero o en un agujero. Los puntos menos obvios en
que es probable que las fallas por fatiga se inicien son en las marcas de
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65
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
inspección o identificación, en las grietas internas o incluso en las irregularidades
causadas por el maquinado. Una vez que se inicia una grieta, el efecto de
concentración de esfuerzo se hace mayor y ésta progresa más rápido. A medida
que el área sometida a esfuerzo disminuye de tamaño, la magnitud del esfuerzo
se incrementa hasta que al fin el área resultante falla de manera repentina. Por lo
tanto, una falla por fatiga se caracteriza por dos regiones (figura 3-1). La primera
se debe al desarrollo progresivo de la grieta, en tanto que la segunda a causa de
la fractura repentina. La zona de fractura repentina tiene una apariencia muy
similar a la fractura de un material frágil, tal como una fundición de hierro que ha
fallado por tensión.
Cuando las partes de máquinas fallan estáticamente, por lo general
desarrollan una deflexión una muy grande, ya que el esfuerzo sobrepasó el límite
elástico; así que la parte se reemplaza antes de que en realidad suceda la
fractura. De esta manera la falla estática proporciona una advertencia visible.
¡Pero una falla por fatiga no proporciona una advertencia! Es repentina y total y
por ende, peligrosa. Es relativamente simple diseñar contra la falla estática porque
nuestro conocimiento acerca de este tipo de falla es muy completo. La fatiga es un
fenómeno mucho más complejo, comprendido sólo de manera parcial, por lo que
el ingeniero que pretenda obtener habilidades debe adquirir todo el conocimiento
del tema que le sea posible. Quienquiera que no tenga conocimiento de la fatiga
puede duplicar o triplicar los factores de diseño y formular un diseño que no falle.
Sin embargo, esos diseños y los ingenieros que los realizan no podrán competir
en el mercado.
Figura 3-1 Falla por fatiga de una pieza forjada de 7 ½ pulg de diámetro con ajuste a presión. La probeta es
de acero UNS G10450, normalizado y revenido, que se sometió a flexión rotativa.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
3.2.
RELACIONES DEFORMACIÓN-VIDA
A la fecha, la mejor y más avanzada hipótesis para explicar la naturaleza d
la falla por fatiga algunos la llaman hipótesis deformación-vida y se utiliza para
estimar las resistencias a la fatiga, pero cuando se emplea de esta manera es
necesario conformar varias abstracciones, y por tanto existirá cierta incertidumbre
en los resultados. Por tal motivo, la hipótesis aquí se presenta sólo debido para
explicar la naturaleza de la fatiga.
Una falla por fatiga casi siempre comienza en una discontinuidad local
como una muesca, grieta u otra área de concentración de esfuerzo. Cuando el
esfuerzo en la discontinuidad excede el límite elástico, ocurre la deformación
plástica. Para que se presente una falla por fatiga es necesario que existan
deformaciones plásticas cíclicas, por lo que se requiere investigar el
comportamiento de los materiales sujetos a una deformación cíclica.
En 1910, Baistow verificó mediante expresiones la teoría de Bauschinger
respecto a que los límites elásticos del hierro y el acero se pueden cambiar, hacia
arriba o hacia abajo, mediante las variaciones cíclicas del esfuerzo. En general,
los límites elásticos de los aceros recocidos es probable que se incrementen
cuando se someten a ciclos de inversiones del esfuerzo, en tanto que los aceros
estirados en frío presentan un límite elástico decreciente.
Las probetas de ensayo sometidas a flexión invertida no son adecuadas
para los ciclos de deformación, debido a la dificultad de medir las deformaciones
plásticas. En consecuencia, la mayor parte de la investigación se realizó con
muestras sometidas a esfuerzo axial. Mediante transductores eléctricos, se puede
generar señales proporcionales al esfuerzo y a la deformación, respectivamente.
Luego, las señales se visualizan en un osciloscopio se representan en un
graficador XY. R.W. Landgraf investigó el comportamiento a la fatiga de ciclos
bajos de un gran número de aceros de resistencia muy alta y durante su
investigación hizo muchas gráficas esfuerzo-deformación cíclica. La figura 3-2 se
elaboró para mostrar la apariencia general de estas gráficas para los primeros
ciclos de deformación cíclica controlada. En este caso la resistencia disminuye con
las repeticiones del esfuerzo, como se comprueba por el hecho de que las
inversiones ocurren en niveles de esfuerzo cada vez menores. Como se hizo notar
con anterioridad, otros materiales se refuerzan mediante las inversiones cíclicas
del esfuerzo.
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Se obtienen resultados que difieren un poco si la primera inversión ocurre
en la región de compresión; esto quizás se debe al efecto de endurecimiento por
fatiga de la compresión.
El artículo de Landgraf contiene una variedad de gráficas que comparan las
relaciones monótonas esfuerzo-deformación en tensión y compresión con la curva
de esfuerzo deformación cíclica. Dos de estas gráficas se dibujaron de nuevo y se
muestran en la figura 3-3. La importancia de estas gráficas es que enfatizan la
dificultad para tratar de predecir la resistencia a la fatiga de un material, a partir de
valores conocidos de las resistencias monótonas de la resistencia a la fluencia y o
la resistencia última en la región de ciclos bajos.
El SAE fatigue Design and Evaluation Steering Commitee emitió un informe
en 1975, en donde la vida en inversiones a la falla se relaciona con la amplitud de
la deformación. El informe contiene una gráfica de esta relación para el acero SAE
1020 laminado en caliente, la cual se reprodujo en la figura 3-4. Para explicar la
gráfica, primero se definen los siguientes términos:
Figura 3-2 Ciclos de histéresis esfuerzo real-deformación real que presentan las 5 primeras inversiones de
esfuerzo de un material suavizado por ciclos. La gráfica se ha exagerado para mayor claridad. Observe que la
pendiente de la recta AB es el modulo de elasticidad E. El intervalo de esfuerzo es
es el intervalo de
deformación plástica y
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es el intervalo de deformación elástica. El intervalo de deformación total es
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 3-3 Resultados monótonos y cíclicos de esfuerzo-deformación. a) Acero ausformado H-11, de 660 Bhn;
b) Acero SAE 4142, de 400 Bhn.
Coeficiente de ductilidad a la fatiga
es la deformación real
correspondiente a la fractura en una inversión (punto A en la figura 3-2). La línea
de la deformación plástica comienza en este punto en la figura 3-4.
Coeficiente de resistencia a la fatiga
es el esfuerzo real correspondiente
a la fractura en una inversión (punto A en la figura 3-2). Observe en la figura 7-4
que la línea de la deformación elástica comienza en
.
Exponente de ductilidad a la fatiga c es la pendiente de la línea de la
deformación plástica de la figura 3-4 y la potencia a la cual se debe elevar la vida
2N para que sea proporcional a la amplitud real de la deformación plástica.
Exponente de la resistencia a la fatiga b es la pendiente de la recta de la
deformación elástica y la potencia a la cual debe elevar la vida 2N para que sea
proporcional a la amplitud del esfuerzo real.
Ahora bien, en la figura 3-2 se observa que la deformación total es la suma
de las componentes elástica y plástica. Por lo tanto la amplitud de la deformación
total corresponde a:
(a)
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
La ecuación de la línea de la deformación plástica en la figura 3-4 se
determina mediante:
Ecuación (3-1)
La ecuación de la recta de la deformación elástica se obtiene con:
Ecuación (3-2)
Por tanto, de acuerdo con la ecuación (a), se tiene para la amplitud de la
deformación total:
Ecuación (3-3)
La cual es la relación Manson/Coffin entre la duración a la fatiga y la
deformación total.
Figura 3-4 Gráfica log-log donde se muestra cómo se relaciona la vida a la fatiga con la amplitud de la
deformación real para el acero SAE 1020, laminado en caliente
Los datos para las curvas similares a las figuras 3-4 tienen de 3 a 15 puntos
en cada curva. Las intersecciones
y
y las pendientes b y c se
MONOGRAFÍA
70
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
establecen mediante procedimientos de regresión. Una regresión lineal quizá sea
robusta en el intervalo de los datos, pero las intersecciones ordinarias tienen una
dispersión más amplia. Si se consideran como una medida, las intersecciones son
imprecisas e inexactas. Lo anterior se debe a que éstas se eliminan de los datos y
se basan en una extrapolación hasta una región sin datos. Los números de las
intersecciones ayudan a describir una recta robusta en el intervalo de los datos,
pero otro conjunto de datos tal vez dé una intersección muy diferente. Es
conveniente tomar un número de una tabla, como la 3-1, pero note que no hay
mención respecto al número de puntos, a su intervalo o a su presión. Un sentido
de la naturaleza de estos conjuntos de datos lo expresan Boller y Seeger. El
álgebra de las ecuaciones de deformación-vida es exponencial.
La ecuación (3-2) en la forma
se conoce como la relación de
Basquin. En ese tiempo (1910) se pensaba que el número de inversiones del
esfuerzo 2N podría acelerar el daño por fatiga. Más tarde se demostró que éste no
era el caso, pero la notación se ha convertido en parte de la literatura.
Los datos deformación-vida se originan a partir de muestras pulidas. La
metodología para ajustar superficies de partes de máquinas aún está en
desarrollo. De esta manera similar, los efectos del tamaño, de la resistencia y los
de la muesca necesitan un tratamiento cuantitativo. Además, la ecuación de
Manson-Coffin no presenta un límite de durabilidad, lo cual significa un problema
en aceros, para los cuales aún hay trabajo por realizar. No obstante las facetas de
la investigaciones de deformación-vida han demostrado ser útiles.
Se está hablando de una división arbitraria entre fatiga de bajo ciclaje y alto
ciclaje. El método depende de cuánto se conozca.
Se ha presentado el modelo de falla de deformación-vida con mucho
detalle. El modelo se resume a continuación para tener una referencia a la mano:
 Vida de bajo ciclaje:
 Vida de alto ciclaje:
 Vida de transición NT entre dominios de bajo y alto ciclaje:
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
 General:
Y
y
son el esfuerzo real y la deformación real, respectivamente.
Cuando se expresa
y
son el esfuerzo real y la deformación real,
respectivamente. Cuando se expresa
como una resistencia S, se acostumbra a
convertir la resistencia nominal de ingeniería. En altos ciclajes hay poca diferencia.
3.3.
RELACIONES ESFUERZO-VIDA
Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de
fatiga, las probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes
específicas, mientras se cuentan los ciclos o inversiones del esfuerzo hasta su
destrucción. El dispositivo de ensayo a la fatiga que se emplea con más frecuencia
es la máquina de viga rotativa de alta velocidad de R. R. Moore. En esta máquina
la muestra se somete a flexión pura (sin cortante transversal) mediante pesos. La
probeta, como la de la figura 3-5, se maquina y se pule con mucha meticulosidad,
con un pulido final en una dirección axial para evitar ralladuras circunferenciales.
Se dispone de otras máquinas de ensayo a la fatiga para aplicar esfuerzos
fluctuantes o inversos, esfuerzos de torsión o esfuerzos combinados a las
muestras de ensayo.
Figura 3-5 Geometría de la probeta de ensayo para la máquina de viga rotativa de R. R. Moore. El momento
flexionante es uniforme en la parte curva, en la porción de esfuerzo mayor, un ensayo válido del material; un
tanto que una fractura en otra parte es la base para sospechar que existe un defecto del material.
Para establecer la resistencia a la fatiga de un material, se necesita un
número muy grande de ensayos debido a la naturaleza estadística de la fatiga.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Para el ensayo con viga rotativa, se aplica una carga constante de flexión y se
registra el número de revoluciones (inversiones del esfuerzo) de la viga para que
se presente la falla. El primer ensayo se hace con un esfuerzo que es un poco
menor que la resistencia última del material. El segundo ensayo se realiza a un
esfuerzo que es menor que el usado en el primero. Este proceso se continúa y los
resultados se grafican como un diagrama S-N (figura 3-6). La gráfica se hace en
papel semilogarítmico o en papel log-log. En el caso de metales ferrosos y
aleaciones, la gráfica se hace horizontal después de que el material se sometió a
esfuerzo durante un cierto número de ciclos. Al graficar en papel logarítmico, se
acentúa la curvatura en la línea, la cual quizá no sea visible si los resultados se
graficaran en coordenadas cartesianas.
La ordenada del diagrama S-N se llama resistencia a la fatiga Sf; un
enunciado de esta resistencia siempre se debe acompañar por su correspondiente
número de ciclos N.
Pronto se verá que los diagramas S-N se determinan para una probeta de
ensayo o para un elemento mecánico real. Aun cuando el material de la muestra
de prueba y el del elemento mecánico sean idénticos, habrá diferencias
significativas entre los diagramas de los dos.
En el caso de los aceros, se presenta un cambio brusco de dirección en la
gráfica, y más allá de este cambio no ocurrirá la falla, sin importar qué tan grande
sea el número de ciclos. La resistencia correspondiente al cambio en la gráfica se
llama límite de resistencia a la fatiga Se, o límite de fatiga. La gráfica de la figura 36 nunca se hace horizontal para metales no ferrosos y aleaciones, de aquí que
estos materiales no presentan un límite de fatiga.
Se observa que un ciclo de esfuerzos (N=1) constituye una sola aplicación y
una remoción de una carga y luego otra aplicación y remoción de la carga en la
dirección opuesta. De esta manera, N=1/2 significa que la carga se aplica una vez
y luego se quita, que es el caso de la prueba a la tensión simple.
El conjunto de conocimientos disponibles sobre la falla a la fatiga, desde
N=1 hasta N=1000 ciclos, por lo general se clasifica como fatiga de bajo ciclaje,
como se indica en la figura 3-6. Entonces la fatiga de alto ciclaje tiene que ver con
la falla correspondiente a ciclos de esfuerzos mayores que 10 3 ciclos.
En la figura 3-6 también se hace una distinción entre región de vida finita y
región de vida infinita. La frontera entre las regiones no se puede definir con
claridad excepto para un material específico; pero se ubica en algún punto entre
106 y 107 ciclos para aceros, como se ilustra en la figura 3-6.
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73
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Como se hizo notar con anterioridad, siempre es una buena práctica de
ingeniería realizar un programa de ensayos sobre los materiales que se van a
emplear en el diseño y manufactura. Esto, de hecho, es un requisito, no una
opción, para evitar la posibilidad de una falla por fatiga. Debido a esta necesidad
de ensayos, realmente sería innecesario proceder más adelante en el estudio de
la falla por fatiga, excepto por una razón importante: el deseo de conocer por qué
ocurren las fallas por fatiga de manera que se pueda utilizar el método o los
métodos más efectivos para mejorar la resistencia a la fatiga. De esta manera,
nuestro propósito principal al estudiar la fatiga es entender por qué ocurren las
fallas, de tal manera que podamos evitarlas de manera óptima. Por esta razón, los
métodos analíticos de diseño que se presentan en este libro, o en cualquier otro
sobre el tema, no producen resultados precisos. Los resultados se deben tomar
como una guía, como algo que indica lo que es importante y lo que no es al
diseñar para evitar la falla por fatiga.
Figura 3-6 Diagrama S-N graficado a partir de los resultados de ensayos a la fatiga axial completamente
invertidos. Material: acero UNS G41300, normalizado; S ut=116 kpsi, Sut máxima=125 kpsi.
Los métodos de análisis de la falla por fatiga representan una combinación
de ingeniería y ciencia. A menudo la ciencia no puede proporcionar las respuestas
que son necesarias. Pero el aeroplano aún se debe hacer para que vuele con
seguridad. Y el automóvil hay que fabricarlo con una confiabilidad que garantice
una vida larga y sin problemas, y al mismo tiempo para que produzca utilidades
para los accionistas de la industria. Sin embargo, aunque la ciencia no ha
explicado por completo el mecanismo real de la fatiga, el ingeniero debe diseñar
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74
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
sin embargo, cosas que no fallen. En cierto sentido, éste es un ejemplo clásico del
verdadero significado de la ingeniería en contraste con la ciencia.
3.4.
LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA
La determinación de los límites de la resistencia a la fatiga mediante
ensayos a la fatiga, en la actualidad es una rutina, aunque resulta un
procedimiento extenso. En general, los ensayos de esfuerzo se prefieren a los
ensayos de deformación par los límites de fatiga.
Figura 3-7 Gráfica de límites de resistencia a la fatiga contra resistencias a la tensión de resultados de
ensayos reales para un gran número de hierros forjados y aceros de aleación. Las relaciones de S’e/Sut de
0.60, 0.50 y 0.40 se indican por líneas continuas y discontinuas. También, observe que la línea discontinua
horizontal para S’e=107 kpsi. Los puntos que presentan y que tienen una resistencia a la tensión mayor que
214 kpsi presentan un límite medio de resistencia a la fatiga de S’e=107 kpsi y una desviación estándar de
13.5 kpsi.
Para el diseño preliminar y de prototipos, así como para algunos análisis de
falla, se requiere un método rápido para estimar los límites de fatiga. Existen
grandes cantidades de datos en la literatura técnica sobre los resultados de
ensayos con viga rotativa y de ensayos a la tensión simple de probetas tomadas
de la misma barra o lingote. Graficando estos datos, como en la figura 3-7, se verá
si hay alguna correlación entre los dos conjuntos de resultados. La gráfica parece
sugerir que el límite de fatiga varí desde aproximadamente 40 hasta 60% de la
resistencia a la tensión para aceros, y hasta casi 200 kpsi (1400 Mpa).
Comenzando en alrededor de Sut=200 kpsi (1400 MPa), la dispersión parece
MONOGRAFÍA
75
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
incrementarse, pero la tendencia parce nivelarse, como sugiere por la línea
horizontal discontinua en S’e=1000 kpsi (700 MPa).
Ahora bien, es importante observar que la dispersión del límite de
resistencia a la fatiga no se debe a la dispersión en las resistencias a la tensión de
la probeta, sino más bien a que la dispersión ocurre aun cuando las resistencias a
la tensión de un gran número de probetas permanecen exactamente iguales.
Tenga esto en cuenta cuando elija factores de seguridad.
Ahora se analizará el método de corrección de la resistencia a la tensión
para estimar los límites de fatiga. La relación
se llama relación de
fatiga. La mayor parte de los metales ferrosos presentan un límite de fatiga y éste
se usa como un numerador. Para materiales que no tienen un límite de resistencia
a la fatiga, se usa y se anota una resistencia a la fatiga en un número específico
de ciclos a la falla. Gough informó sobre la naturaleza estocástica de la relación de
fatiga para varias clases de metales, que se presentan en la figura 3-8. El primer
punto importante consiste en que el coeficiente de variación es del orden de 0.10 a
0.15 y la distribución se modifica según las clases de metales. El segundo punto a
observar es que los datos de Gough incluyen materiales sin interés para los
ingenieros. En ausencia de ensayos, los ingenieros emplean la correlación que
representa
para estimar el límite de resistencia a la fatiga
, a partir de la
resistencia última media
.
Figura 3-8 Probabilidad de densidad FDP log-normal de la relación de fatiga
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de Gough
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Los datos de Gough se aplican para ensambles de metales, algunos se
eligieron por interés metalúrgico e incluyen materiales que no suelen
seleccionarse para partes de máquina. Mischke analizó datos para 133 aceros y
tratamientos comunes con diámetros diferentes en flexión rotativa, en resumen:
(3-4)
Donde
prima en
representa la resistencia última media a la tensión. La marca de
se refiere a la propia muestra sometida a tensión con viga rotativa. El
símbolo sin marca de prima
se reserva para el límite de resistencia a la fatiga
de un elemento de máquina particular (en la ubicación crítica y en la geometría y
condición de uso). Las resistencias,
y son muy diferentes, como se verá más
adelante.
3.5.
RESISTENCIA A LA FATIGA
Como se muestra en la figura 3-6, una región de la fatiga de bajo ciclaje se
extiende desde N=1 hasta casi 103 ciclos. En esta región la resistencia a la fatiga
Sf sólo es un poco menor que la resistencia a la tensión
. Mischke suministró un
método analítico para las regiones de bajo y alto ciclaje, en donde se requieren los
parámetros de la ecuación de Manson-Coffin, más el exponente de
endurecimiento por deformación m. Con frecuencia los ingenieros habrán de
trabajar con menos información.
En la figura 3-6 se indica que el dominio de fatiga de alto ciclaje se extiende
desde 103 ciclos para los aceros hasta la vida de resistencia a la fatiga límite Ne,
que es aproximadamente de 106 a 107 ciclos. La experiencia ha mostrado que los
datos de fatiga de alto ciclaje se rectifican por medio de una transformación
logarítmica para el esfuerzo y los ciclos a la falla.
En forma empírica, el ajuste común de la curva está dado
, donde
N es ciclos a la falla y las constantes a y b se definen por los puntos 103, Sf y 106,
se con
:
(3-5)
(3-6)
MONOGRAFÍA
77
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Si se da un esfuerzo completamente invertido
, el número de ciclos a la
falla se expresa como:
(3-7)
3.6.
FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A
LA FATIGA
Se ha visto que la probeta para el ensayo en máquina rotativa estilizada en
el laboratorio para determinar los límites de resistencia a la fatiga, se prepara con
mucho cuidado y se ensaya bajo condiciones muy controladas. No es posible
esperar que el límite de resistencia a la fatiga de un elemento mecánico o
estructural iguale los valores obtenidos en el laboratorio. Algunas diferencias
incluyen
 Material: composición, base de falla, variabilidad.
 Manufactura: método, tratamiento térmico, corrosión por frotamiento,
condición superficial, concentración de esfuerzo.
 Entorno: corrosión, temperatura, estado de esfuerzos, tiempos de
relajación.
 Diseño: forma, vida, estado de esfuerzos, concentración de esfuerzo,
velocidad, rozamiento, ludimiento.
Marin identificó factores que cuantifican los efectos de la ecuación
superficial, el tamaño, la carga, la temperatura y varios otros puntos. La cuestión
respecto a ajustar el límite de resistencia a la fatiga por medio de correcciones
substractivas o multiplicativas se resolvió mediante un extenso análisis estadístico
de acero 4340 (horno eléctrico, calidad de aeronave), en el que se determinó un
coeficiente de correlación de 0.85 para la forma multiplicativa, y 0.40 para la forma
aditiva. Por lo tanto, una ecuación de Marin se escribe
(3-8)
Donde:






ka = factor de modificación de la condición superficial.
kb= factor de modificación del tamaño (determinística).
kc= factor de modificación de la carga.
kd= factor de modificación de la temperatura.
Ke= factor de modificación de efectos varios.
S’e= límite de resistencia a la fatiga en viga rotatoria.
MONOGRAFÍA
78
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
 Se= límite de resistencia a la fatiga en la ubicación crítica de una parte de
máquina en la geometría y condición de uso.
Cuando nos e dispone de ensayos de resistencia a la fatiga de partes, las
estimaciones se hacen aplicando los factores de Marin al límite de resistencia a la
fatiga.
3.6.1. FACTOR DE SUPERFICIE ka
El factor de modificación depende de la calidad del acabado de la superficie
de la parte y de la resistencia a la tensión. A fin de determinar expresiones
cuantitativas para acabados comunes de parte de máquinas (esmerilada,
maquinada o estriada n frío, laminada en caliente y forjada), las coordenadas de
los puntos de datos se volvieron a recopilar de una gráfica del límite de resistencia
a la fatiga contra la resistencia última a la tensión, a partir de datos colectados por
Lipson y Noll y reproducidos por Horger. El resultado del análisis de regresión de
Mischke resultó en
(3-9)
Donde la tabla 3-1 proporciona los valores a, b y C para varias condiciones
de superficie. El símbolo LN(1,C) es una variable unitaria distribuida en forma
lognormal, con una media de 1 y una desviación estándar (y coeficiente de
variación) de C. la media y la desviación estándar de ka están dadas por:
y
Tabla 3-1 Parámetros en el factor de la condición superficial de Marin
MONOGRAFÍA
79
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
3.6.2. FACTOR DE TAMAÑO kb
El factor de tamaño se evaluó en 133 conjuntos de puntos de datos. Los
resultados para flexión y torsión se expresan como:
(3-10)
Para carga axial no hay efecto de tamaño, por tanto
Kb=1
(3-11)
Pero véase kc.
Uno de los problemas que se originan al emplear la ecuación (3-10) es qué
hacer cuando una barra redonda en flexión no está girando, o cuándo se utiliza
una sección no circular. Por ejemplo, ¿cuál es el factor de tamaño para una barra
de 6 mm de espesor y 40 mm de ancho? En el método que se analizará aquí se
emplea una dimensión efectiva de obtenida al igualar el volumen de material
sometido a esfuerzo igual o superior a 95% del esfuerzo máximo con el mismo
volumen en la probeta en viga rotativa. Resulta que cuando los dos volúmenes se
igualan, las longitudes se cancelan, y por tanto sólo se necesita considerar las
áreas. Para una sección redonda rotativa, el área de 95% de esfuerzo es la de un
anillo con un diámetro exterior d y un diámetro interior de 0.95d. Por tanto,
designando el área de 95% de esfuerzo como
se tiene:
(3-12)
La ecuación también es válida para una sección redonda hueca rotatoria.
Para secciones redondas sólidas o huecas no rotativas, el área de 95% de
esfuerzos significa el doble del área fuera de las dos cuerdas paralelas que tienen
un espaciamiento de 0.95D, donde D es el diámetro. Usando un cálculo exacto,
esto es:
(3-13)
Cuando se redondea. Al igualar la ecuación (3-12) con la (3-13) permite
despejar el diámetro efectivo. Esto da:
(3-14)
Como el tamaño efectivo de una sección redonda correspondiente a una
sección redonda sólida o hueca no rotativa.
MONOGRAFÍA
80
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Una sección rectangular con dimensiones h x b tiene
. Con
el mismo método que antes, se tiene, como se representa en la tabla 3-2,
(3-15)
Estas secciones se ilustran en la figura 3-9 junto con un perfil en canal y
una viga de patín ancho o viga I. Para el canal,
Figura 3-9 a)Barra redonda sólida b) barra de sección rectangular c) perfil en canal; d) perfil de patín ancho
(3-16 y 3-17)
El área de 95% de esfuerzo para la viga de patín ancho se determina por
(3-18 y 3-19)
Ejemplo 3-1
Un eje de acero sometido a flexible tiene un diámetro de 32 mm y colinda
con un hombro biselado de 38 mm de diámetro. El material del eje presenta una
resistencia última a la tensión media de 690 MPa. Calcule el factor de tamaño de
Marin kb, si el eje se emplea en:
a) Modo rotativo
b) Modo no rotativo
Solución:
a) De la ecuación (3-10),
MONOGRAFÍA
81
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Respuesta:
b) De la tabla 3-2,
De la ecuación (3-10),
Respuesta:
3.6.3. FACTOR DE CARGA kC
Cuando se realizan ensayos a la fatiga con carga de flexión rotativa, axial
(tiro y empuje) y torsional, los límites de la resistencia a la fatiga difieren, como se
muestra abajo, con
en kpsi,
Si se sustituye
para
para S’e en la ecuación (3-8) sin importar la
carga, entonces resulta claro que se define kc, con
en kpsi, como:
(3-20)
(3-21)
(3-22)
Hay menos datos para estudiar la fatiga axial. La ecuación (3-21) se dedujo
a partir de los datos de Landgraf y de Grover, Gordon, y Jackson (como se citó
antes).
MONOGRAFÍA
82
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Los datos de torsión son escasos y la ecuación (3-22) se establece a partir
de datos de Grover y colaboradores. Note la sensibilidad moderada para la
resistencia en el factor de carga axial y torsional, por tanto en estos casos kc no es
constante. Los valores promedio se muestran en la última columna de la tabla 3-3
y como notas de pie de página en las tablas 3-4 y 3-5. En la tabla 3-6 se observa
la influencia de las clases de materiales sobre el factor de carga kc. La teoría de la
energía de distorsión predice que
para materiales donde se
aplica la teoría de la energía de distorsión.
Tabla 3-2 Diámetro equivalente para el factor de tamaño
Tabla 3-3 Parámetros en l factor de carga de Marin
Tabla 3-4 Factor de carga promedio
MONOGRAFÍA
83
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Tabla 3-5 Factor de carga promedio de Marin para carga de torsión
Tabla 3-6 Factor de carga de torsión promedio ke Marn para varios materiales.
3.6.4. FACTOR DE TEMPERATURA Kd
Cuando las temperaturas de operación son menores que la temperatura
ambiente, tal vez reúna la fractura frágil. Cuando las temperaturas de operación
son mayores que la temperatura ambiente, se debe investigar la fluencia primero
porque la resistencia a la fluencia disminuye con rapidez con la temperatura;
véase la figura 3-10. Cualquier esfuerzo inducirá flujo plástico en un material que
opera a temperaturas elevadas. Debido a la resistencia a la fatiga reducida, el
proceso de falla depende, hasta cierto punto, del tiempo.
La cantidad limitada de datos disponibles indica que el límite de la
resistencia a la fatiga para aceros se incrementa un poco a medida que la
temperatura aumenta y luego comienza a disminuir en el intervalo de 400 a 700 oF,
que no es diferente del comportamiento de la resistencia a la tensión ilustrada en
la figura 3-10. Se emplearan las mismas relaciones para predecir el límite de la
resistencia a la fatiga a temperaturas elevadas que como se usa a temperatura
ambiente.
MONOGRAFÍA
84
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Figura 3-10 Gráfica de los resultados de 145 ensayos de 21 aceros al carbono y de aleación que muestra el
efecto de la temperatura de operación en la resistencia a la fluencia S y y la resistencia última Sut. La ordenada
es la relación de la resistencia a la temperatura de operación y la resistencia a temperatura ambiente. Las
desviaciones estándares fueron
para Sy y
para Sut.
La tabla 3-7 se obtuvo a partir de la figura 3-10 empleando sólo los datos de
la resistencia a la tensión. Note que la tabla representa 145 ensayos de 21
diferentes aceros al carbono y aleados, que la desviación estándar máxima sólo
es 0.110. Un ajuste de la curva polinominal de 4 o orden para los datos
subyacentes de la figura 5-11 proporciona un lugar geométrico medio, que se
multiplica por LN(1,0.11) para dar kd como:
(3-23)
Donde
Se originan dos tipos de problemas cuando se toma en cuenta la
temperatura. Si se conoce el límite de la resistencia a la fatiga de una viga rotativa
a temperatura ambiente, entonces se emplea:
(3-24)
De la tabla 3-7 y se produce como es usual. Si no se conoce el límite de la
resistencia a la fatiga de una viga rotativa, entonces se calcula con la ecuación (7MONOGRAFÍA
85
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4) y la resistencia a la tensión con temperatura corregida obtenida mediante el
factor de la tabla 3-7. Entonces use
.
Tabla 3-7 Efecto de la temperatura de operación en la resistencia a la tensión de acero. (S t= resistencia a la
tensión a temperatura ambiente, SRT=resistencia a la tensión a temperatura ambiente
)
Ejemplo 3-2
Un acero 1035 presenta una resistencia última a la tensión media de 70 kpsi y se
va a emplear en una parte que operará a una temperatura de 450 oF. Estime el
factor de modificación de la temperatura de Marin y
Si:
a) El límite de la resistencia a la fatiga, a temperatura ambiente a temperatura
ambiente mediante ensayo está dada por
b) Sólo se conoce la resistencia última a la tensión media a temperatura ambiente.
Solución:
a)
La media de
MONOGRAFÍA
Primero, de la ecuación (3-23).
está determinada por:
86
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Y la desviación estándar corresponde a:
Y el límite de la resistencia a la fatiga se escribe como:
Respuesta:
b) En la tabla 3-7 el valor de la interpolación es (1.018+0.995)/2=1.007. Así
Entonces:
Respuesta:
El inciso a) proporciona una mejor estimación debido a los ensayos del material
particular, en vez de recitar la historia de los aceros con una resistencia a la
tensión de 70 kpsi a temperatura ambiente cuando se ensaya para el límite de
resistencia a la fatiga.
3.6.5. FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS ke
Los esfuerzos residuales mejoran el límite de resistencia a la fatiga o
afectan de manera negativa. En general, si el esfuerzo residual en la superficie de
la parte es de compresión, el límite de resistencia a la fatiga mejora. Las fallas por
fatiga parecen ser fallas de tensión, o al menos las provoca un esfuerzo de
tensión. Por tanto, cualquiera cosa que reduzca el esfuerzo de tensión también
reducirá la posibilidad de una falla. Las operaciones como el granallado, el
martillado y el laminado en frío acumulan esfuerzos de compresión en la superficie
de la parte y mejoran mucho el límite de resistencia a la fatiga. Por supuesto, el
material no se debe trabajar hasta dejarlo exhausto.
MONOGRAFÍA
87
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CORROSIÓN
Es de esperar que las partes que operen en una atmósfera corrosiva tengan
una menor resistencia a la fatiga. La corrosión y el esfuerzo ocurren al mismo
tiempo. Básicamente esto significa que al paso del tiempo cualquier parte fallará
cuando se someta a esfuerzos repetidos en una atmósfera corrosiva. No existe el
límite de fatiga. Por consiguiente el problema del diseñador se reduce a tratar de
minimizar los factores que afectan la vida a la fatiga; éstos son:









Esfuerzo medio o estático
Esfuerzo alternante
Concentración del electrolito
Oxígeno disuelto en el electrolito
Propiedades y composición del material
Temperatura
Frecuencia cíclica
Rapidez del movimiento del fluido alrededor de la probeta
Hendiduras locales
RECUBRIMIIENTO ELECTROLÍTICO
Los recubrimientos metálicos, como los hechos con cromo, níquel o cadmio,
reducen el límite de resistencia a la fatiga hasta en 50%. La oxidación anódica de
aleaciones ligeras reduce los límites de resistencia a la fatiga hasta 39%, pero no
tiene efecto en el límite de resistencia a la fatiga en torsión.
METALIZADO POR ASPERSIÓN
El metalizado por aspersión provoca imperfecciones superficiales que
pueden iniciar grietas. Ensayos limitados muestran reducciones de 14% en la
resistencia a la fatiga.
FRECUENCIA CÍCLICA
Si por alguna razón, el proceso de fatiga llega a depender del tiempo,
entonces también dependerá de la frecuencia. Bajo condiciones normales, la falla
por fatiga es independiente de la frecuencia. Pero cuando hay corrosión o
temperaturas elevadas, o ambas, la frecuencia cíclica resulta importante. Entre
menor sea la frecuencia y mayor la temperatura, mayor será la rapidez de
propagación de las grietas y menor será la vida a un nivel de esfuerzo dado.
MONOGRAFÍA
88
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CORROSIÓN POR FROTAMIENTO
El fenómeno de corrosión por frotamiento es el resultado de movimiento
microscópico de partes o estructuras de ajuste a presión. Entre éstas se
encuentran las uniones atornilladas, los ajustes de las pistas de cojinetes, las
masas de ruedas y cualquier conjunto de partes ajustadas a presión. El proceso
implica decoloración superficial, picadura y a la larga fatiga. El factor de
frotamiento ke depende del material de los pares de acoplo y varía de o.24 a 0.90.
3.7.
CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO Y SENSIBILIDAD A LA
MUESCA
La sensibilidad a la muesca q es:
(3-25)
Donde Kt es el factor teórico (o geométrico) de concentración de esfuerzo,
una cantidad determinística. Se relacionan los parámetros estadísticos del factor
de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf con los de la sensibilidad a la muestra
q. Se deriva que:
Donde
y
(3-26)
El factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf se ha investigado más
en Inglaterra que en Estados Unidos. Los valores de CKf para agujeros
transversales, hombros y ranuras se especifican en la tabla 3-8. Una vez que se
describe Kf, q también se puede cuantificar mediante el conjunto de ecuaciones (326).
MONOGRAFÍA
89
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Tabla 3-8 Parámetros de Heywood para
y CKf para aceros.
La ecuación modificada de Neuber (según Heywood) proporcional el factor
de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf como:
(3-27)
Donde Kf está distribuida de manera log-normal, r es el radio de la muesca
y
es una función de la resistencia última a la tensión media
. En la tabla 3-8
se dan los valores de
para aceros. Las ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-27)
tienen sus contrapartes en cortante, si se emplean qs, Kts y Kfs.
El siguiente resumen práctico del factor de concentración de esfuerzos se
proporciona para una fácil referencia:
 Material frágil
o Estático: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts
o Dinámico: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts
 Material dúctil:
o Estático: Establezca Kt = Kts = 1
o Dinámico: Establezca Kt = Kt, Kts = Kts, Kf = f1(Kt,q), Kfs = f2(Kts, qs)
Aplique en ambas
y
siempre y cuando no ocurra fluencia.
La ecuación de Neuber se expresa como:
(3-28)
De la ecuación (7-28) se deduce que la sensibilidad a la muesca es:
(3-29)
MONOGRAFÍA
90
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Un ajuste de la curva polinomial de tercer orden de los datos de tercer
orden de los datos para
, con
en kpsi, está dada por:
(3-30)
Sustituyendo
,
y
La razón por la que se incluyen las figuras 3-11 y 3-12 es que se utilizan
ampliamente, por lo que el lector debe familiarizarse con ellas. Note que ni estas
ecuaciones ni las (3-28) y (3-29) hacen la distinción entre las clases de muescas
(como gráficas). Si desea usar las ecuaciones (3-28) y (3-29) para torsión de baja
aleación, incremente la resistencia última a la tensión media 20 kpsi en la
ecuación (3-30) y aplique este valor de
.
Como nuestro conocimiento de la dispersión en q proviene de datos que
apoyan la ecuación modificada de Neuber (según Heywood), y como se puede
hacer una distinción en las clases de muescas, se empleará la ecuación (3-27) en
conexión con el factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf y la sensibilidad
a la muesca q.
Cuando los ciclos a la falla son menores que 10 6 existe evidencia que el
factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf es menor. Los ensayos de
resistencia a la fatiga de probetas con muescas y sin ella manifiestan, como se
hizo notar antes, que los datos de falla sin muesca para muestras sin muesca son
lineales en papel log-log. El lugar geométrico de falla se representa por
,
y si se
emplea la
ecuación
(3-6).
Figura 3-11
Gráficas de
sensibilidad a
la muesca de
acero y de
aleaciones de
aluminio
forjado UNS
A92024-T
MONOGRAFÍA
91
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
sometidas a cargas invertidas de flexión y axial. Para radios de muescas mayores, utilice los valores de q
correspondientes a la ordenada r=0.16 pulg. (4mm).
Figura 3-12 Curvas de sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsión invertida. Para radios de
muesca mayores, use los valores de q correspondientes a r=0.16 pulg (4mm).
(3-31)
Donde se presentan valores de las ordenadas en 103 y 106 ciclos a la falla de:
Como debería ser. Con una probeta con muesca, se define la sensibilidad a
la muesca
donde
es
y
(3-32)
MONOGRAFÍA
92
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Donde
está en kpsi,
y
es el factor de concentración de
6
esfuerzo a la fatiga para 10 ciclos. Las ordenadas para el lugar geométrico de
falla con muesca son
, que se abreviará como
; y la ordenada
para el lugar geométrico de falla a 103 ciclos a la falla está dada por
, que
se abreviará como
Los datos aún son una recta en una gráfica en papel
log-log, por tanto con estas ordenadas se tiene:
(3-33)
Donde se presentan ordenadas a 103 y 106 ciclos a la falla de:
Como deberían ser. Ahora
es igual a
y empleando esto
resulta:
(3-34)
Si se verifica en N=103 y 106 ciclos a la falla, se obtiene:
Como debería ser. Una forma alterna de la ecuación (7-34) está dada por:
(3-35)
MONOGRAFÍA
93
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Ejemplo 3-3
En la figura 3-13a se muestra un eje rotativo soportado en cojinetes de
bolas en A y B y sometido a una fuerza no rotativa F de 6.8 kN. Mediante
resistencias ASTM “mínimas”, estime la vida de la parte.
Solución:
De la figura 3-13b se tiene que la falla probablemente ocurrirá en B en vez
de C o en el punto de momento máximo. El punto B muestra una sección
transversal menor, un momento flexionante mayor y un factor de concentración de
esfuerzo mayor que C; además, la ubicación del momento máximo presenta un
tamaño mayor sin factor de concentración de esfuerzo.
El problema se resuelve primero calculando la resistencia en el punto B,
puesto que la resistencia será diferente en las otras partes: después esta
resistencia se compara con el esfuerzo en el mismo punto.
De la tabla 3-9 se tiene
resistencia a la fatiga
se calcula como:
y
. El límite de
De la tabla 3-1,
Por la ecuación (3-10),
Para encontrar el factor de concentración de esfuerzo Kt se utiliza la tabla 3-10 con
D/d=38/32=1.1875 y r/d=3/32=0.09375 y se lee Kt=1.65. De la tabla 3-8,
De la ecuación (3-27),
Dicho factor de concentración de esfuerzo se aplica a 106 ciclos o mayor.
Como kc=kd=kc=1,
MONOGRAFÍA
94
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Se=0.787(0.858)341.1=235.7 Mpa
El siguiente paso es estimar el esfuerzo flexionante en el punto B. El momento
flexionante corresponde a:
El módulo de sección se da por
El esfuerzo
flexionante es, suponiendo una vida infinita,
Este esfuerzo es mayor es mayor que Se y menor que Sy. Lo que significa que hay
una vida finita sin fluencia en el primer ciclo. El factor de concentración de
esfuerzo KN, en vez de aplicarlo al esfuerzo , se corregirá nuestra resistencia a la
fatiga reduciéndola. Nuestro esfuerzo es:
De la tabla 3-11, K6=1.51 y
Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación b),
Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación c),
Del tema: “Resistencia a la Fatiga”, ecuación a),
Gracias a la ecuación (3-5),
MONOGRAFÍA
95
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Con a=964.5 Mpa y b=-0.102 se describe el material corregido por la superficie y
el tamaño sin concentración de esfuerzo:
De la ecuación (3-33),
Haciendo:
Entonces:
Con 476.8/432.1=1.103=K3 y 235.7/156.5=1.52=K6 se tiene una idea de que la
reducción de esfuerzo está completa. De la ecuación (3-34),
Para un nivel de esfuerzo de
, los ciclos a la falla son:
Respuesta:
MONOGRAFÍA
96
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Si se hubiera conocido KN al principio, la vida se calcularía mediante:
ciclos
a) Dibujo de un árbol donde se dan todas las dimensiones en milímetros; todos los redondeos tienen
un radio de 3 mm. El eje gira y la carga es estacionaria; el material se maquina de acero AISI 1060
estriado en frío. b) Diagrama de momento flexionante
MONOGRAFÍA
97
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Tabla 3-9 Resistencias mínimas determinísticas a la tensión y a la cedencia ASTM para algunos
aceros laminados en caliente (HR) y estriados en frío (CD). (Las resistencias listadas son valores
ASTM mínimos estimados en el intervalo de tamaños de 18 a 32 mm, 3/4 a 1 1/4 pulg).
MONOGRAFÍA
98
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Tabla 3-10
MONOGRAFÍA
99
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Tabla 3-11
3.8.
RESISTENCIA
A
LA
FATIGA
POR
TORSIÓN
BAJO
ESFUERZOS PULSANTES
Extensos ensayos proporcionan algunos resultados muy interesantes sobre
la fatiga por torsión pulsante, el primer resultado, basado en 72 ensayos,
demuestra que la existencia de un esfuerzo uniforme torsional no mayor que la
resistencia a la fluencia en torsión no tiene efecto al límite de resistencia a la
fatiga por torsional, a condición de que el material sea dúctil, pulido, libre de mellas
y cilíndrico.
MONOGRAFÍA
100
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
El segundo resultado se aplica a materiales con esfuerzos concentrados,
mellas o imperfecciones superficiales. En este caso, determina, que el límite de
fatiga por torsión disminuye en forma monótona con el constante esfuerzo por
torsión.Al construir el diagrama de Goodman, Joerres utiliza:
(3-36)
Asimismo, del capítulo 2,
el factor de carga media
constante.
3.9.
de acuerdo con la teoría de distorsión, y
está dado por la ecuación (3-22) o 0.577, si se emplea una
CARGAS COMBINADAS
Se analizó que un factor de carga kc se necesita para obtener el límite de
resistencia a la fatiga y de aquí que el resultado depende de si la carga es axial,
de flexión o de torsión. ¿Cómo se procede cuando la carga es una mezcla de
cargas, digamos axial, de flexión y de torsión? Además de la complicación
aumentada por el hecho de asociar un límite de resistencia a la fatiga con cada
modo de carga, es probable que también existan esfuerzos concentrados
múltiples, uno para cada modo de carga. Por fortuna la respuesta resulta un tanto
simple:
 Para la resistencia, se utiliza el límite de resistencia a la fatiga





completamente corregido para la flexión, Se.
Se aplican los factores de esfuerzos concentrados a la fatiga,
apropiados para las componentes del esfuerzo de torsión, del esfuerzo
de flexión y del esfuerzo axial.
Se multiplica cualquier componente del esfuerzo axial alternante por el
factor
Se incluyen los esfuerzos resultantes en una análisis mediante el círculo
de Mohr y se calculan los tres esfuerzos principales.
Con los resultados del paso 4, se determina el esfuerzo alternante de
von Mises
o la variante del esfuerzo
Se compara
con Sa para encontrar el factor de seguridad, o se
infiere
con Sa para proporcionar la confiabilidad.
Este método se basa en la suposición de que todas las componentes del
esfuerzo son completamente invertidas y siempre están en fase de tiempo entre
sí. Si no están en fase pero tienen la misma frecuencia, los máximos se
determinan expresando cada componente en términos trigonométricos, usando
ángulos de fase y luego obteniendo la suma. Si dos o más componentes del
MONOGRAFÍA
101
“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
esfuerzo presentan frecuencias distintas, el problema es difícil; una solución
consiste en suponer que las dos (o más) componentes a menudo alcanzan una
condición en fase, de manera que sus magnitudes son aditivas.
Si también hay esfuerzos medios, entonces para éstos se repiten los pasos
4 y 5 y la componente resultante del esfuerzo uniforme de von Mises
usada
con
para obtener una solución de la energía de distorsión de Gerber o la
energía de distorsión elíptica. Ambas componentes, la uniforme y la amplitud, se
aumentan por un factor de concentración de esfuerzo Kf o Kfs. Vale la pena notar
que en el perfil del análisis anterior se incorpora un factor de tamaño para carga
axial, que es el mismo para la flexión y torsión. Cuando existe flexión, la existencia
de una componente axial es relativamente pequeña, por lo que en la mayoría de
los casos esta pérdida de precisión es pequeña y siempre conservadora.
Ejemplo 3-4
Un eje rotativo está hecho con un tubo de acero, AISI 1018 estirado en frío
de 42x4 mm y tiene un agujero de 6 mm de diámetro taladrado en la dirección
transversal de lado a lado. Calcule el factor de seguridad que protege contra fallas
por fatiga y estática para las siguientes condiciones de carga:
a) El eje se somete a un par de torsión completamente invertido de 120 N·m
en fase con un momento flexionante completamente invertido de 150 N·m.
b) El eje se somete a un par de torsión pulsante de 20 a 160 N·m y un
momento flexionante constante de 150 N·m.
Solución:
Aquí se sigue el procedimiento de calcular las resistencias y después los
esfuerzos, luego se relacionan los dos.
En la tabla 3-9 se tiene que las resistencias mínimas son Sut=440 MPa y
Syt=370 MPa. El límite de la resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria
es 0.506(440)=223 MPa. El factor de superficie, obtenido de la tabla 3-11,
comprende a:
En la tabla 3-11 el factor de tamaño se calcula mediante:
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Los restantes factores de Marin son iguales a la unidad, por tanto la
resistencia a la fatiga Se está determinada por:
Se=0.886(0.833)223=165 Mpa
a) Los factores de concentración de esfuerzo teóricos se obtienen mediante
una tabla parecida a la 3-9 y 3-10. Si a/D=6/42=0.143 y d/D=34/42=0.810, y
si se realiza una interpolación lineal, se obtiene A=0.798 y Kt = 1.75 para
torsión. Así, para flexión,
Y para torsión:
Luego, mediante las figuras 3-11 y 3-12 se determina que las sensibilidades
a la muesca son 0.78 para la flexión y 0.96 para torsión. Los dos factores de
concentración de esfuerzo por fatiga se obtienen de la siguiente ecuación:
Ahora se determina que el esfuerzo flexionante corresponde a:
Y el esfuerzo torsional se obtiene por:
La componente del esfuerzo uniforme de von Mises
componente de la amplitud
está dada por:
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es cero. La
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Como Se = Sa, el factor de seguridad contra la falla por fatiga
determina con:
se
El factor de seguridad contra fluencia en el primer ciclo se calcula como:
No hay fluencia localizada; el riesgo es por fatiga. Véase la figura 3-14.
b) En este inciso se pide encontrar los factores de seguridad cuando la
componente alternante se origina por torsión pulsante, y una componente
constante se debe a torsión y a flexión. Se tiene Ta = (160-20)/2 = 70 N·m y
Tm = 20 + 70 = 90 N·m. las componentes correspondientes de la amplitud y
del esfuerzo constante se obtiene mediante:
La componente del esfuerzo flexiónate constante
Las componentes de von Mises
y
se calcula a través de:
se calcula a través de:
La pendiente de la recta de carga es
componente de la amplitud de la resistencia constante Sm son:
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AL
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
El factor de seguridad contra la falla por fatiga nf se determina como:
Respuesta:
No hay fluencia en la muesca. El riesgo es por fluencia en el primer ciclo en
la muesca. Véase la gráfica de la figura 3-14.
Figura 3-14 Diagrama de fatiga del diseñador para el ejemplo 7-4
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CAPÍTULO 4
ANÁLISIS Y DISEÑO POR
COMPUTADORA
MONOGRAFÍA
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4. ANÁLISIS Y DISEÑO POR COMPUTADORA
En este capítulo analizaremos un ejemplo típico planteado en el capítulo 2,
mediante el programa “Autodesk Inventor Professional 2010” (el cual entró en el
mercado en 1999) para el diseño de elementos y piezas mecánicas, su verdadero
potencial no radica en diseñar piezas que se pueden combinar en ensamblajes,
sino el poder hacer cálculos de una manera rápida y sencilla, se explicará a detalle
el uso y manejo del mismo para el análisis y diseño de ejes, el ejemplo mostrado
es similar al del capítulo mencionado.
Ejemplo 4-1
4.1.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO
El ejemplo con piñón integrado que se muestra en la figura tiene montados
cojinetes en las ubicaciones que se muestran, y también tiene un engrane
montado (no se muestra) en el extremo sobresaliente de la derecha. El diagrama
de carga (véase figura) muestra que la fuerza del piñón A y la fuerza del engrane
en C están en el mismo plano. Los pares de torsión y opuestos TA y TB se
representan como concentrados en A y C. igual que las fuerzas. El diagrama del
momento flexionante de la figura 2-28c muestra un máximo en A y B. El diámetro
menor en B hace que ésta sea el punto crítico en el centro del cojinete de la
derecha.
El material del eje es acero inoxidable.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
1. Lo primero que debemos hacer es abrir el programa, seleccionar archivo
nuevo y seleccionar el tipo de archivo con el que queremos trabajar, en
este caso seleccionamos “normal (pul).iam”.
2. El segundo paso es darle clic en la pestaña “Diseño”, seleccionando la
opción “Eje”, luego en la pestaña de “Diseño” se van seleccionado las
partes que van a comprender el eje, tanto en forma como en medidas. Una
vez terminado de seleccionar las partes que armarán al eje se da clic en el
botón aceptar.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4.2.
ARMADO DEL EJE
3. Aquí se muestran dos imágenes del eje ya armado.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4. El cuarto paso seleccionar la pestaña “Cálculo”, en esta opción, podemos
seleccionar, el tipo de material, los tipos de fuerzas y reacciones que
actúan sobre el eje, colocarlos en cualquier parte del mismo, y solo con dar
clic en calcular, el programa nos calcula, los esfuerzos y otros datos
importantes. A continuación se mostrará este paso con imágenes:
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
4.3.
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
5. Por último en la pestaña “Gráficos” podemos observar distintas gráficas, en
cualquiera de los planos que nosotros seleccionemos, como: esfuerzo de
corte, esfuerzo flector, ángulo de flexión, etc.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
Como pudimos observar, el programa “Autodesk Inventor Professional
2010” es muy versátil, y fácil de manejar.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
CONCLUSIÓN
Hoy en día los ejes son una parte fundamental de la industria y la sociedad,
su diseño es de suma importancia, ya que un mal cálculo puede no solo costar
pérdidas económicas y materiales, sino también pérdidas humanas, un buen
ingeniero debe de poseer las herramientas adecuadas para diseñar los mismos.
Actualmente se cuentan con muchos programas de computadora que nos
facilitan el cálculo y diseño de ejes. El poseer dichas herramientas no nos
garantiza no tener errores o fallas, es importante saber y tener conocimientos
sobre el tema, en este trabajo se analizaron y diseñaron ejes por resistencia
estática y resistencia a la fatiga, con estos análisis podemos realizar el diseño de
un eje de forma segura y confiable, apoyándonos con el programa “Autodesk
Inventor Professional 2010”, del cual también se trató en el presente trabajo.
Este trabajo deja en claro varias situaciones, como por ejemplo, no siempre
el diseño es el que falla, aprendimos que la fabricación del material, los ensayos a
los que fue sometido, las pruebas en general, son un parte medular para que no
existan fallas. No es correcto, ni ético, fabricar ejes sin saber la procedencia del
material, o sin estar seguros de la confiabilidad del mismo.
Por último cabe mencionar que aunque se cuenten con programas que nos
faciliten el diseño de un buen eje, nosotros somos quienes lo manejamos, así que
debemos de ser cuidadosos al utilizar dicha herramienta.
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“ANÁLISIS Y DISEÑO DE EJES PARA LA TRANSMISIÓN DE POTENCIA”
BIBLIOGRAFÍA
SHIGLEY, J. y Mischke, C. (1985). Diseño en ingeniería mecánica. Edo. de
México: Mc Graw Hilli interamericana editores.
MOTT R. (1992). Diseño de elementos de máquinas. Edo. México: Prentice Hall.
NORTON R., (1999). Diseño de máquinas. Edo. De México: Pearson.
FUENTES ELÉCTRONICAS:
http://ocw.upm.es/ingenieriaaeroespacial/helicopteros/contenidos/material/transmision.pdf (Consulta
18/09/2011)
http://ingenieria-cad.blogspot.com/ (Consulta 22/10/2011)
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