Microeconomıa 1 Examen Final 19 de Enero 2011 12.00

Microeconomı́a 1
Examen Final
19 de Enero 2011
12.00-14.30
NOMBRE
GRUPO 1
DNI
Explica bien todas tus respuestas y escribe de forma legible, por favor! Escribe las respuestas en los espacios
adecuados en estas mismas hojas. Si no tienes sufiente espacio, puedes utilizar hojas extras. (Escibe tu nombre
y tu DNI en todas las hojas adicionales.) No está permitido copiar, dejarse copiar, utilizar el móvil o cualquier
tipo de material del curso, pasar material a otra persona (ni calculadora, ni papel, ni ninguna otra cosa). ¡Mucha
suerte!
1. Julián consume manzanas (x1 ) y peras (x2 ). Su función de utilidad es u(x1 , x2 ) = x21 x2 .
Su consumo anual del 2009 consistió en 5 kilos de manzanas y 20 kilos de peras, es decir su cesta óptima
del año 2009 fue (5, 20).
Su consumo anual del 2010 consistió en 10 kilos de manzanas y 10 kilos de peras, es decir su cesta óptima
del año 2010 fue (10, 10).
En los dos años el precio de un kilo de peras era p2 = 1, pero los precios de manzanas y la renta de Julián
han cambiado.
(a) Dibuja la curva de indiferencia que pasa por la cesta (5, 20) y la que pasa por la cesta (10, 10) en el
siguiente gráfico. Ten cuidado de posicionar las curvas correctamente en relación a las cestas (7.5, 7.5)
y (10, 5) , indicadas en el gráfico. Asegurate de que la pendiente de las curvas de indiferencia en las
cestas (5, 20) y (10, 10) sean reflejados correctamente.
x2
RM S(5, 20) = −8
e
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp p p
ppp p p
ppp p p
pp
ppp
pp
ppp
pp
ppp
pp
ppp
pp
pp
ppp
pp
p
ppp
pppp
pp
pppp
p
pp
p
ppp
pppp
pp
pppp
p
pp
p
p p p p ppp
pe
p p RM S(10, 10) = −2
p p p p pp
pp
p
p p p p pp
pp
p p pp
pp
ppp p p p p
pp
ppp p p p u
p
pp
p
ppp p p p p
pp
pppp
ppp
pp
p
pppp
ppp
pp
pppp
pp
ppp
p
u
p
pp
p
p
p
pp
RM S(10, 5)pppp = −1 p p p p p p p
ppp
pppp ppp
pppp pp
ppp
pppp pp
ppp
pppp pp
ppp
pppp pp
ppp
pppp pp
ppp
p p p pp p
ppp
pp
20
15
10
5
0
0
5
10
15
1
20
x1
(b) ¿Cuál de las dos cestas prefiere Julián, (5, 20) o (10, 10)? Justifica tu respuesta brevemente.
Prefiere (10, 10) porque U (10, 10) = 1000 > 500 = u(5, 20).
(c) Supongamos que en el año 2011 la renta de Julián y los precios de manzanas y peras son tales que
Julián podrı́a comprar exactamente 20 kilos de manzanas (y ninguna pera) o 30 kilos de peras (y
ninguna manzana). ¿Cuántos kilos de manzanas comprarı́a Julián en este caso?
Observa que los datos nos revelan que 20p1 = m = 30p2 , asi que m/p1 = 20 y m/p2 = 30.
La demanda del consumidor con estas preferencias tipo Cobb-Douglas es
2m m
40
(x∗1 , x∗2 ) =
, 10
,
=
3p1 3p2
3
(d) Pedro es un compañero de trabajo de Julián y tenı́a exactamente la misma renta que Julián en el año
2009. (Y obviamente, se enfrentaba a los mismos precios de consumo que Julián en el 2009.) Pero
las preferencias de Pedro son distintas porque Pedro considera manzanas y peras sustitutos perfectos:
Le da exactamente igual comer una pera o una manzana. ¿Cuántas manzanas y cuántas peras ha
consumido Pedro en el año 2009 (suponiendo que Pedro ha elegido la cesta que más felicidad le da)?
La funcion de utilidad de Pedro es v(x1 , x2 ) = x1 + x2 Julian en el 2009 maximizaba su
utilidad asi que
p1
2 × 5 × 20
− = RM S(5, 20) = −
= −8
p2
(5)2
Como sabemos que p2 = 1 concluimos que p1 = 8. La renta de Pedro y de Julian era,
m = 8 × 5 + 1 × 20 = 60. Como peras son mas baratas que manzanas Pedro gasta toda su
renta en peras: compra m/p2 = 60.
2
2. Considera un consumidor/trabajador que tiene preferencias sobre el ocio (L) y un bien de consumo (C)
representadas por la función de utilidad u(L, C) = L C. El individuo tiene una renta (no laboral) de
m = 20 euros y tiene disponible un máximo de 16 horas de ocio (que puede “vender”, es decir puede
trabajar T horas y disfrutar de 16 − T horas de ocio). El precio del bien de consumo es pC = 1.
(a) ¿Cuántas horas trabajará si el salario es de 6 euros por hora? Dibuja un gráfico ilustrando tu resultado.
C
e
e
e
e RM S = −6
e
e
e
e
e
e
etω
58
max L C s.a. 6L + C = 6 × 16 + 20 = 116
L,C
⇔ max L(116 − 6L)
L
116 − 12L = 0 ⇒ L = 116/12 = 9 23 . Asi que
T = 16 − 9 23 = 6 31 (= 6 horas y 20 minutos).
20
9 32
16
L
(b) Demuestra que, si el salario fuera de 8 euros por hora, el individuo trabajarı́a 6 horas y 45 minutos.
Calcula cuanto consumerı́a el individuo y la utilidad obtenido en total por el individuo. Dibuja un
gráfico ilustrando este resultado.
C
e
e
Se puede hacer como antes (con ”8” en lugar
de ”6”) o bien asi:
RM S = −C/L = −8/1, asi que C = 8L. Por
otro lado, 8L+C = 8×16+20 = 148. Sustituir
C = 8L nos da 8L + 8L = 148, por lo tanto
L = 148/16 = 9.25 y T = 16 − 9.25 = 6.75,
es decir 6 horas y 45 minutos. C = 8L = 74.
U (L, C) = 9.25 × 74 = 684.5.
e
74
20
e RM S = −8
e
e
e
e
e
e
etω
9 41
3
16
L
(c) Suponemos que ahora el salario es de 8 euros por hora si trabaja hasta 7 horas, y que el salario es de
10 euros la hora para las horas extras. Por ejemplo, si trabaja 11 horas el individuo cobra 7 horas ×
8 euros/hora + (11 − 7) horas × 10 euros/hora = 96 euros.
¿Cuántas horas trabaja el individuo en este caso? (Consejo: Calcula cuantas horas trabajarı́a en el
caso de que solamente tiene disponible 9 horas de ocio y que tiene una renta no laboral de 76 euros,
y que el salario es de 10 euros/hora!)
Sabemos del apartado anterior que, en el caso de trabajar menos de 7 horas (a 8 euros la
hora) lo mejor seria trabajar 6 horas y 45 minutos, dando una utilidad total de 684.5.
Consideramos ahora la posibilidad de trabajar 7 horas o mas. Es decir 7 horas trabaja seguro
y cobra por esto 56 euros. Le quedan 16−7 = 9 horas disponible. Es decir podemos considerar
que despues de las 7 horas trabajadas tiene una dotacion de 9 horas de ocio y de 56 + 20 = 76
euros y que el salario es de 10 euros la hora.
10L+C = 10×9+76 = 166. Asi que C = 166−10L. Maximizando (166−10L)L nos da una CPO de
166−20L = 0. L = 166/20 = 8.3 y C = 83. Su utilidad es entonces U (L, C) = 8.3×83 = 688.9 > 684.5.
Asi que es mejor trabajar mas de 7 horas. T = 16 − 8.3 = 7.7 = 7 horas y 42 minutos.
4
1/2
3. Las preferencias de un consumidor vienen dadas por la función de utilidad u(x1 , x2 ) = x2 + 2x1 . El
individuo tiene una renta m = 30 y los precios son p1 = 1 y p2 = 4.
(a) Calcula la cesta óptima del consumidor.
√
max x2 + 2 x1 s.a. x1 + 4x2 = 30
−1
p1
1
RM S = √ = − = −
x1
p2
4
Asi que x1 = 16 y x2 = (30 − 16)/4 = 3.5.
A
(xA
1 , x2 ) = (16, 3.5)
(b) Calcula el efecto sustitución y el efecto renta de Slutsky en la demanda del bien 1, por un aumento en
0
el precio del bien 1 de p1 = 1 a p1 = 2. Comenta y interpreta los resultados obtenidos. (Por ejemplo,
¿qué es el efecto sustitución?) Ilustra los resultados con un gráfico.
Con p01 = 2
√
RM S = −1/ x1 = −p01 /p2 = −2/4
Asi que x1 = 4 y x2 = (30 − 2 × 4)/4 = 5.5.
C
(xC
1 , x2 ) = (4, 5.5)
Si tuviera la renta necesaria para comprar la
cesta xA a los precios p01 = 2, p2 = 4, es decir,
x2
si tuviera m0 = 2 × 16 + 4 × 3.5 = 46, que compraria el consumidor realmente a los precios
nuevos?
11.5 H
otra vez
HH X B
r
H
√
0
X X HH
7.5 H
RM S = −1/ x1 = −p1 /p2 = −2/4
X
HH
HH
r XXX
XX
H rX A
H
X
HX
Asi que x1 = 4 y x2 = (46 − 2 × 4)/4 = 9.5.
X C HH
HX
HXXX
H
HH XXX
H
H
B
x1
(xB
1 , x2 ) = (4, 9.5)
4
15
23
30
El efecto sustitucion es la diferencia entre las
cestas xB y xA (4 − 16 = −12). El hecho
de que el precio del bien aumenta hace que
el consumidor sustituye el bien 1 por el bien
2, incluso cuando sea compensado por un aumento en la renta que le permite consumir su
cesta optima (optima con los precios antiguos)
El efecto renta es la diferencia entre las cestas
xC y xB (4 − 4 = 0).
5
4. Considera una empresa que produce un bien utilizando una cantidad positiva de dos factores de producción,
trabajo (L) y capital (K), que tienen un precio de w y r, respectivamente. La tecnologı́a de la empresa
está representada por la función de producción f (L, K) = 6L1/2 K 1/3 . El bien que produce se vende al
precio p.
(a) ¿Qué tipo de rendimientos de escala tiene la tecnologı́a? ¿Cómo hay que interpretar este tipo de
rendimientos de escala?
m
Tiene rendimientos de escala decrecientes ya que, para λ > 1,
f (λL, λK) = 6λ(5/6) L1/2 K 1/3 < λf (L, K)
Es decir, duplicando los factores la produccion no llega a duplicarse.
(b) Considera el plan de producción factible (L, K, y) = (1000000, 8000000, 1200000). Halla la relación
técnica de sustitución en el punto (L, K) = (1000000, 8000000). (Nota que 1000000 = 106 .) Si la
empresa quiere mantener la producción igual a 1200000 unidades pero utilizando solo 999999 unidades
de trabajo, ¿cuántas unidades de capital tiene que uutilizar extra (aproximademente)?
La relacion tecnica de sustitucion es
−
∂f /∂L
6 × (1/2) × L−1/2 K 1/3
3K
=−
=−
∂f /∂K
2L
6 × (1/3)L1/2 K −2/3
Entonces RT S(10000000, 800000000) = −24/2 = −12. Asi que tendria que utilizar 12 unidades
mas de capital para mantener la produccion constante.
(c) Calcula el plan de producción que maximiza los beneficios en el caso w = 3, r = 2, p = 3.
max 3 × 6L1/2 K 1/3 − 3L − 2K
L,K
Las CPO son
0 = 9L−1/2 k 1/3 − 3
0 = 6L1/2 K −2/3 − 2
Multiplicando por L y K respectivamente obtenemos
0 = 9L1/2 k 1/3 − 3L
0 = 6L1/2 K 1/3 − 2K
asi que 9/6 = 3L/2K. Por lo tanto L = K. Sustituir en cualquier de las CPO nos da
L = K = 36 = 729. La produccion es y = f (729, 729) = 1458.
plan de produccion optima
(L, K, y) = (729, 729, 1458)
6