de los racionales a los irracionales

DE LOS RACIONALES A LOS IRRACIONALES
Tomás Ortega.
Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática
Universidad de Valladolid
RESUMEN
El presente trabajo consta de dos partes bien diferenciadas: en la primera, partiendo de un
análisis de los contenidos curriculares desde el 1934, se describen los conceptos relativos a
Números y Análisis, se presenta el desarrollo que realizan algunos textos de los planes de
1938 y de 1957 sobre los números decimales, las fracciones y los reales; en la segunda,
dentro del marco curricular actual, se hace una propuesta de trabajo de aula para los números
racionales, otra para los números reales y se presenta una muestra de resolución de
problemas.
1. ANÁLISIS CURRICULAR
Si para desarrollar el concepto de número real el punto de partida debe ser el conjunto de los
números racionales, se debe tener bien presente que los currículos de Bachillerato lo
contemplan como soporte del Análisis Diferencial e Integral. El axioma del extremo superior
es el que establece la completitud de y, por tanto, el que permite abordar el concepto de
límite funcional y con él el estudio local de funciones y el cálculo integral. Por tanto, en el
análisis curricular que se hace, ademas de los conceptos relativos a , deben destacarse los
conceptos de partida, , y los de llegada, el Análisis diferencial e integral. Así pues,
comenzando en el plan de 1934, se hace un resumen de los conceptos relativos a los
conjuntos numéricos y al Análisis hasta el currículo LOGSE.
1.1. PLAN DE 1934
Se incluyen por primera vez nociones de Cálculo Diferencial e Integral (Ibañes, M. 1993).
Primer año:
Ejercicios de lectura y escritura de números en numeración decimal y romana.
Adición, sustracción, multiplicación y división. Propiedades de las desigualdades.
Múltiplos y divisores. Indicación de los principales caracteres de divisibilidad.
Fracciones ordinarias. Propiedades fundamentales.
Números decimales. Adición, sustracción, multiplicación y división. Conversión de
una fracción ordinaria en decimal. Aproximación decimal de un cociente hasta un
orden dado.
Segundo año:
Breve repaso del curso anterior.
Potencias de enteros y decimales. Raíz cuadrada. Reglas prácticas para extraer la raíz
1
cuadrada entera y para la aproximación por decimales.
Operaciones con fracciones ordinarias.
Proporciones. Magnitudes proporcionales. Regla de tres simple y compuesta.
... Longitud de la circunferencia y área del círculo,...
Tercer año:
Número natural. Representación geométrica. Numeración decimal. Idea de otros
sistemas de numeración. Divisibilidad. Descomposición de un número en factores
primos. m.c.d. y m.c.m.
Números negativos, representación. Concepto de número entero. Aritmética de
números enteros.
Potenciación de números enteros. Interpretación de los exponentes cero y negativos.
Radicación. Extracción de las raíces cuadradas y cúbicas enteras. Reglas de los signos
de la radicación.
... Teorema de Pitágoras. Relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, ...
Cuarto año:
Breve repaso del curso anterior.
Números fraccionarios. Representación. Concepto de número racional.
Propiedades de las fracciones. Conversión de una fracción en irreducible. Mínimo
común denominador. Signo de una fracción. Aritmética. Cálculo con potencias de
exponente negativo. Ejercicios de operaciones con fracciones de términos literales.
Propiedades de las proporciones y series de fracciones iguales.
Expresión decimal exacta o aproximada de una fracción ordinaria. Sucesiones
monótonas convergentes. Idea de límite de una sucesión. Conversión de fracciones
decimales en ordinarias.
Potenciación y radicación de fracciones. Condición para que una fracción ireducible
tenga raíza exacta. Expresiones decimales aproximadas de una raíz inexacta. Idea de
número irracional. Números reales. Interpretación de las potencias con exponente
fraccionario.
Razón de dos magnitudes,... Segmentos proporcionales. Triángulos semejantes.
División áurea de un segmento,...
Quinto año:
Expresiones radicales. Operaciones con radicales, Racionalización de denominadores.
Resolución de la ecuación de segundo grado. La función cadrática.
... Área de la esfera,...
Sexto año:
2
Revisión del concepto de número real. Representación geométrica, postulado de
continuidad. Definición de las operaciones con números reales. Operaciones con
potencias de exponente fraccionario.
Límite de una sucesión de números reales. Aritmética de sucesiones convergentes.
Función exponencial y función logarítmica. Progresiones geométricas e interés
compuesto.
... Trigonometría,...
Séptimo año:
Continuidad. Derivada y diferencial -significación física, la velocidad-. El número
“e”. Noción de integral definida como expresión de un área.
1.2. PLAN DE 1938
Es el primer plan de la Dictadura Franquista, incluye prácticas e instrucciones metodológicas:
los primeros cursos son más ambiciosos y se concede una importancia capital al examen de
estado, incluida su preparación.
Primer año:
Cálculo mental. Máquina de calcular. Conversión de fracciones a decimales y
viceversa. Elevación a potencias: operaciones con potencias de enteras de números
enteros y fraccionarios.
... Cálculo aproximado de π...
Segundo año:
Repaso del curso anterior utilizando leyes formales.
La raíz cuadrada
... Teorema de Pitágoras...
Tercer año:
Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m., ...
Radicación. Primera idea sobre números incomensurables.
Primeros elementos de la teoría de límites.
Números negativos.
... Longitud de la circunferencia y área del círculo. Áreas y volúmenes (cilindro, cono
esfera)...
En segundo y tercero los alumnos se iniciarán en las demostraciones. ... Ante
conceptos y figuras nuevas se utilizará el método inductivo y directo.
3
Cuarto año:
Nociones elementales sobre el número incomensurable.
Nociones elementales sobre los límites.
Números aproximados y operaciones abreviadas.
Quinto año:
Números complejos, ...
Teoría de progresiones y logaritmos. Interés compuesto.
... Trigonometría, ...
Sexto año:
Concepto de función. Ecuación de la recta.
Noción sobre límites de funciones. Primeras propiedades de funciones continuas
Repaso de los cursos anteriores para el Examen de Estado.
Séptimo año:
Derivada y diferencial. Ejemplos lo más elementales y sencillos.
El número “e” y la función elemental.
Nociones elementales sobre cuadraturas como límite de una suma de elementos
infinitesimales; su cálculo formal.
El currículo de estos dos años es un guión para que los alumnos de mayor nivel
científico vislumbren los fundamentos de los contenidos de análisis.
Se dejará suficiente tiempo para repasar los cursos anteriores para el Examen de
Estado.
1.3. PLAN DE 1953
Es el segundo plan de la Dictadura Franquista, reformula los contenidos del plan anterior, lo
reduce un año e incluye orientaciones metodológicas, destacando el sentido intuitivo de los
primeros cursos, dejando el rigor maemático para los últimos, para los alumnos que tengan
verdadero interés por la matemática (carreras de grado medio desde 4º de Bachillerato).
Primer año:
Aritmética de los naturales. Fracciones ordinarias, propiedades y operaciones.
Números decimales, propiedades y operaciones. Aproximación decimal de un
cociente.
Segundo año:
4
Potenciación de exponente natural de naturales y fraccionarios. Propiedades.
Divisibilidad. Reglas. La fracción generatriz de un decimal periódico.
Tercer año:
Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m...
Números negativos.
Concepto de función,...
... Teorema de Pitágoras. Longitud de la circunferencia y el número π. Área del
círculo...
Funciones circulares.
Cuarto año:
Potencias con exponente negativo. Cálculo de radicales. Cálculo de potencias con
exponente fraccionario.
La ecuación de segundo grado.
Idea de las funciones potencial y exponencial...
Cálculo de áreas de cuerpos geométricos.
Nociones elementales sobre los límites.
Números aproximados y operaciones abreviadas.
Quinto año:
Funciones exponencial y logarítmica. Cálculo con logaritmos. Interés compuesto y
anualidades.
...División áurea... Trigonometría,...
Sexto año:
Operaciones con números reales. Límite de una sucesión de números reales.
Infinitésimos. Cálculo de límites. El número “e”
Idea de función continua. Propiedades de funciones continuas.
Derivada y diferencial. Aplicaciones
... La curva normal...
1.4. PLAN DE 1957
Es un plan de conceptos. Los cuatro primeros cursos son comunes y en el quinto aparecen las
opciones de Ciencias y Letras. Se crea el curso de Preuniversitario con dos opciones. Los
5
conceptos del currículo aparecen estructurados en lecciones y son muy precisos. En el
segundo grado de bachillerato se pretende desarrollar una matemática racional extendiendo la
construcción deductiva, dando prioridad a la reflexión y al razonamiento, limitando el papel
de la memoria a los resultados finales.
Primer año:
Aritmética de los naturales. Fracciones ordinarias, propiedades y operaciones.
Aproximación decimal de un cociente.
Segundo año:
Divisibilidad. Reglas. La fracción generatriz de un decimal periódico.
Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m., ...
Fracciones: operaciones y paso a decimales.
Potenciación de exponente natura. Operaciones con Potencias (Teorema de
Pitágoras).
Raíz cuadrada.
...Longitud de la circunferencia y área del círculo. Volúmenes.
Tercer año:
Números negativos.
Operaciones con números racionales.
Relaciones métricas en los triángulos (Teorema de Pitágoras)
Cuarto año:
Radicales. Operaciones con radicales. Potenciación de exponente racional.
La ecuación de segundo grado.
Propiedades de las raíces.
... Cálculo de volúmenes...
Quinto año:
Iniciación al método racional: hipótesis, tesis, (dedicar ocho capítulos a aritmética y
uno a geometría)
Metodos de resolución de problemas.
Funciones exponencial y logarítmica. Cálculo con logaritmos. Progresiones
aritméticas y geométricas. Interés compuesto y anualidades.
... Trigonometría,...
Conceptos de función. Clases. Funciones continuas.
6
Noción de derivada.
Las funciones de proporcionalidad.
Sexto año:
Revisión del número racional. El campo de los números racionales. Permanencia de
las leyes formales. El problema de la medida. Ejercicios.
El número real. El número irracional: orígenes aritmético y geométrico. El campo de
los números reales. Valores decimales aproximados de un número real: errores
absoluto y relativo. Representación geométrica de los números reales: postulado de
continuidad. Ejercicios.
Calculatoria de los números reales. Igualdad y desigualdad de números reales.
Operaciones con números reales. Ejercicios.
Nociones sobre límites. Sucesiones de números racionales. Infinitésimos. Concepto de
límite: propiedades. Sucesiones monótonas acotadas. Infinitos. Ejercicios.
Cálculo de límites. Logaritmos neperianos. El número “e”
Las funciones (continuidad y propiedades). Derivada de una función. Cálculo de
derivadas. Aplicaciones. Representación gráfica de funciones. Diferencial de una
función.
La integral definida. El problema del cálculo de áreas. Concepto de integral definida.
La relación entre el área y la función primitiva. Integral indefinida. Teorema de la
media. Cálculo de áreas sencillas. Ejercicios.
Aplicaciones del cálculo integral. Volumen de un cuerpo definido por una integral.
Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. Aplicaciones a los cuerpos
de revolución. Estudio del movimiento uniformemente variado. Otras aplicaciones
físicas del cálculo integral. Ejercicios.
Preuniversitario:
Curso de estadística:
Estadística descriptiva, números índices, distribuciones y teoría de muestras.
Curso de matemáticas:
El número natural. Sistemas de numeración. Combinatoria. Potencia de
binomios y polinomios.
El número entero. Teoría de divisibilidad. Algoritmo de Euclides. Números
congruentes.
Algoritmo de diferencias. Fórmula de Newton. Progresiones geométricas de
orden superior.
El número racional. Fracciones continuas finitas.
Geometría y Trigonometría...
7
1.5. PLAN DE 1972
Creación de la EGB (preescolar, 1ª etapa y 2ª etapa) y B.U.P. E l currículo ed EGB esta
redactado en términos de Objetivos, contenidos y metodología, y ya en la segunda etapa se
pretende ir hacia una mayor profundidad en el formalismo matemático y que los alumnos se
inicien en el razonamiento lógico; para ello se incluyen las “matemáticas modernas”. El
Preuniversitario se sustituye por el COU y se prolonga en un año la enseñanza
preuniversitaria.
Sexto de EGB:
Construcción del conjunto de los números racionales positivos. Operaciones.
Ordenación. Semigrupos.
Números decimales. Multiplicación. Propiedades.
... Longitud de la circunferencia. Áreas de figuras planas...
Séptimo de EGB:
Construcción del conjunto de los números enteros. Suma. El grupo aditivo Z.
Ordenación. Producto. El anillo de los enteros.
Funciones de variable entera.
Volúmenes de cuerpos estudiados
Octavo de EGB:
Construcción del conjunto de los números racionales. Suma. El grupo aditivo q.
Ordenación. Producto. El cuerpo de los racionales.
Primero de BUP:
Introducción al número real. Aproximación decimal. Radicales.
Cuerpo de los números complejos.
Funciones polinómicas de variable real.
Sucesiones. Progresiones. Interés compuesto y anualidades.
Segundo de BUP:
Límite de sucesiones. El número “e”. Cálculo de límites.
Función real de variable real. Limite y continuidad. Funciones exponencial,
logarítmica y circulares. Representación gráfica y propiedades.
Concepto de derivada. Función derivada. Primitivas.
Tercero de BUP:
8
Trigonometría. Estudio de los números complejos.
Calculo diferencial. y Cálculo Integral. Aplicaciones.
Matemáticas Comunes de COU:
Lógica matemática. Combinatoria. Probabilidad y estadística.
Matemáticas Especiales de COU:
Álgebra y Geometría. Análisis. Probabilidad
1.6. LA SEGUNDA ETAPA DE EGB DE 1982
Supone un abandono del estructuralismo, volviendo a potenciar el cálculo.
1. Conjuntos Numéricos:
1.1. Simplificar fracciones numéricas. Distinguir entre fracción y número racional.
Distinguir N, Z y Q. Ordenar y representar en una recta N, Z y Q.
1.2. Adquirir el concepto de operación adición y multiplicación en Z y Q. Lograr el
automatismo del calculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en Z y Q
aplicando las propiedades de la adición y la multiplicación.
1.3. Escribir la fracción decimal de fracciones y viceversa. Adquirir el automatismo
del calculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de decimales.
1.4. Adquirir el automatismo de las operaciones con potencias en N, Z y Q
(exceptuando potencias que tengan exponente racional y base negativa). Adquirir el
concepto de radicación como inversa de potenciación. Escribir raíces en forma de
potencia y viceversa. Calcular la expresión decimal de raíces cuadradas.
1.7. LAS MATEMÁTICAS II DE 1988.
2.2 Análisis descriptivo de funciones y gráficas:
Funciones y gráficas. Significado, ejemplos y continuidad
La derivada. Significado, reglas, aplicaciones.
Interpolación.
La integral. Primitivas, la integral definida, cálculo de áreas.
1.8. EL CURRÍCULO DE LA LOGSE
Enseñanza Secundaria Obligatoria:
Contenidos
1. Números y operaciones. Significados, estrategias y simbolización.
Significado uso y notación de los números naturales, enteros, decimales y
9
fraccionarios.
Significado y uso de las operaciones con los diferentes tipos de números
(cálculo mental, algoritmos y calculadora)
Proporcionalidad de magnitudes. Porcentajes.
Margen de error en la aproximación de cantidades (transformación y
aproximación de números.
4. Interpretación, representación y tratamiento de la información.
Características globales de las gráficas: continuidad, crecimiento, valores
extremos, periodicidad, tendencia (relaciones entre magnitudes, noción de
función).
El simbolismo algebraico. Fórmulas y ecuaciones.
1º de MACS:
1. Aritmética y Álgebra.
Introducción a los números irracionales obtenidos mediante radicales.
Números radicales de especial interés: π, e, Φ.
Utilización de los números racionales e irracionales mediante estimaciones y
aproximaciones, controlando los márgenes de error acorde con las situaciones
estudiadas.
Utilización de la notación científica para expresar cantidades muy grandes o
muy pequeñas.
2. Funciones
Funciones en forma de tablas y gráficas. Interpolación. Funciones estándar.
Análisis global.
2º de MACS:
2. Análisis.
Aproximación al concepto de límite. Derivada. Aplicación del límite y
derivada a la determinación e interpretación de propiedades locales.
Aplicación del cálculo de derivadas.
Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. El problema del
cálculo de áreas.
1º de MCNS:
3. Funciones.
Familias de funciones... Interpretación de propiedades globales... Tratamiento
intuitivo y gráfico de ramas infinitas...
4. Aritmética y Álgebra.
Utilización de la notación científica para expresar cantidades muy grandes y
10
muy pequeñas y para realizar cálculos.
Introducción al número real. Existencia de medidas y soluciones no racionales.
Números irracionales.
Utilización de los números racionales e irracionales mediante estimaciones y
aproximaciones, controlando los márgenes de error acorde con las situaciones
estudiadas.
2º de MCNS:
2. Análisis.
Introducción a los conceptos de límite y derivada de una función en un punto.
Cálculo de límites y derivadas de las familias de funciones conocidas. Reglas
de derivación. Aplicación al estudio de propiedades locales de las funciones, a
la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser tratadas
mediante las funciones.
Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas
definidas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
Aplicación al cálculo de áreas.
2. ANÁLISIS DE ALGUNOS TEXTOS
Se describen los conceptos relativos a números racionales y reales tratados en algunos textos
de los planes de 1938 y 1957.
2.1. TEXTOS DEL PLAN DE 1938.
Primer curso. Julio Cenzano.
Lección 12. Números decimales. Lección 18. Operaciones con decimales. Lección 35.
Las fracciones. Lección 36. Números mixtos. Lección 40. Transformación de
fracciones. Lección 42. Fracciones decimales. Lección 45. Suma de fracciones.
Lección 47. Sustracción de fracciones. Lección 50. Multiplicación de fracciones.
Lección 52. División de fracciones.
Segundo curso. Julio Cenzano.
Lección 10. Raíz Cuadrada. Lección 14. Las fracciones. Lección 15. Igualdad de
fracciones. Lección 16. Desigualdad de fracciones. Lección 17. Fracciones decimales.
Lección 18. Suma de fracciones. Lección 19. Resta de fracciones. Lección 20.
Multiplicación de fracciones. Lección 21. División de fracciones. Lección 22.
Potenciación y radicación de fracciones. Lección 23. Razones. Lección 24.
Proporciones.
Cuarto curso. Julio Cenzano.
Lección 5. Radicación. Propiedades. Lección 6. Raíces aproximadas. Lección 7.
11
Sucesiones de números. Lección 8. Idea de número irracional (como limite oelemento
de separación de las sucesiones monótonas convergentes). Se llama número
irracional a toda expresión decimal, no periódica, de infinitas cifra decimales.
Cuarto curso. Julio Cenzano.
Lección 1. Potencias de exponente fraccionario. Lecciones 2, 3 y 4: logaritmos,
Logaritmos decimales, cálculos logarítmicos.
2.2. TEXTOS DEL PLAN DE 1957.
Primer curso. A. Rodríguez Sanjuán.
Lección 12. Números decimales. Lección 19. Las fracciones ordinarias. Lecciones 2022: Aritmética de las fracciones.
Tercer curso. Julio Cenzano.
Dedica 4 capítulos a los números racionales que define como el conjunto formado por
los enteros y los fraccionarios.
Cuarto curso. Salvador Segura.
Lección 5. Radicales. Lección 6. Operaciones con radicales. Lección 7. Potenciación
de exponente racional.
Sexto curso. S.M.
Lección 1. Los números reales: sucesivas ampliaciones del concepto de número, el
problema de la medida, magnitudes inconmensurables, concepto de número
irracional, números real, igualdad, desigualdad, operaciones, cálculo con números
aproximados.
Preuniversitario. Puig Adam.
Lección 6. El número racional: Origen de las fracciones, construcción algebraica de
Q, elementos canónicos, la suma y sus propiedades, el producto y sus propiedades,
números racionales enteros, representación, orden, numerabilidad.
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
El cuadro siguiente presenta la selección y organización de los contenidos en torno al número
racional.
12
La idea más sencilla para introducir el concepto de número racional es la de repartir. Esta
primera aproximación, aún muy lejana, permite definir, de forma natural, las fracciones de
denominador natural. Se pueden repartir bienes o “deudas” pero siempre entre debe haber
alguien a quien repartir.
REPRESENTACIONES
SIGNIFICADOS
Fracción
Relación parte/todo
División
Razón y proporción
Operador
Porcentaje
NUMERO
RACIONAL
Figurada
Gráficas
Geométricas
Recta racional
Equivalencia
Orden
Densidad
Aproximación
Aproximaciones
Estimaciones
Simbólica
Fracción
Fracción decimal
Escritura con coma
Porcentajes
Operaciones
Suma
Producto
Cuadro 1. Significado y representación del número racional.
No voy a insistir en los conceptos que ya están en la ilustración 1, pero sí voy a destacar
aspectos puntuales respecto a metodología y objetivos.
Metodología
- La clase debe ser activa, participativa y comunicativa.
- Los alumnos deben construir su propio conocimiento y para ello se deben combinar
tareas de significados con tareas de representaciones. Ellos son los que deben hacer
las tareas.
- La aritmética simbólica debe ser concisa, utilizando las propiedades de las
operaciones.
- La evocación de conocimientos previos y la resolución de problemas debe ser la
práctica continua.
Objetivos
Que los alumnos entiendan y sean capaces de aplicar el significado de fracción.
Saber usar las propiedades de las operaciones:
Eliminación de paréntesis
13
Sacar factor común y jerarquía
Afianzar la aritmética.
⎧3 x + 2 y = 17
Arrastrar el simbolismo: ¿Gauss? ⎨
⎩ 5x − 3 y = 3
4. LOS NÚMEROS REALES
Es de todos conocida definición axiomática de los números reales, definición que reproduzco
para guiar la exposición posterior:
1. Al menos existen dos números reales.
2. Existe una relación “menor que” denotada por “<” para la que es cierta una de las
relaciones a<b, b<a, a=b.
3. Si a, b y c son tres números reales tales que a<b y b<c, entonces a<c.
4. Está definida la suma.
5. La suma es asociativa
6. La suma es conmutativa.
7. Si a<b, entonces para cualquier c real, a+c<b+c.
8. Si a y b son reales, existe otro real c tal que a+c=b.
9. Está definida la multiplicación.
10. La multiplicación es asociativa
11. La multiplicación es conmutativa.
12. La multiplicación es distributiva respecto de la suma.
13. Si a<b y c<d, entonces ac<bd.
14. Si a y b son dos números reales y existe al menos un z, real, tal que b+c c (b 0),
existe un x tal que a=bx.
15. (Axioma de completitud) Cualquier conjunto no vacío de números reales,
acotado superiormente tiene extremo superior
Propiedad arquimediana. Para cualquier número real, r, existe un único entero, n, tal que
n<r<n+1.
El conjunto de los númeos irracionales es denso.
Aunque no se indique expresamente, por una parte, tienen que tratar de esclarecer los
axiomas y, por otra, se deben desarrollar en el aula tareas de aproximación, aritmética y
representación. Concretamente:
- Distinguir los racionales de los irracionales.
- Conocer irracionales con identidad propia.
- Aproximación racionales por irracionales y recíprocamente.
- La aritmética de racionales con irracionales.
14
- La no numerabilidad de ⎥.
- La recta real.
4.1. Racionales e Irracionales
Para distinguir unos números de otros, conviene dar una definición de número decimal.
Definición, por otra parte, que no es manipulable por razones obvias.
2
Figura 2. Diagonal y lado del cuadrado
Definición: Número irracional es una expresión que tiene infinitas cifras decimales no
periódicas.
¿Se pueden construir números de esta naturaleza? Si:
0,101001000100001...
3,271272273274275...
¿Se puede demostrar que existen otros números racionales? Si:
2 , es irracional.
p , p primo, es irracional.
¿Se pueden representar en la recta real los números irracionales de forma exacta? Todos no.
Son representables todos los irracionales que son raíces cuadradas de naturales.
4.2. Irracionales con identidad propia
Aparte de los de los irracionales algebraicos que surgen de manera natural, existen otros
cuya importancia destaca por si sola por la relación que encierra. Sin duda alguna, los más
importantes son: 2 , Φ, γ, e y π y 3 2 . El primero expresa la relación entre el cuadrado y
el lado; el segundo, la proporción áurea (la razón entre el lado del pentágono inscrito en una
circunferencia y el radio de ésta); el tercero es la constante de Euler- Marcheronni; el cuarto
es la base de los logaritmos naturales; el quinto la proporción entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro o entre el área del círculo y el cuadrado de su radio; y,
finalmente, el sexto a razón entre la altura de un triángulo equilátero y el lado, y también la
diagonal del cubo de arsta la unidad.
15
4.2.1. Diagonal del cuadrado y del cubo
Es bien conocido que la razón entre la diagonal y el lado de cualquier cuadrado es /2 y que
este número es irracional; véase la figura 1. En 1º de BUP a los alumnos se les solía hacer la
demostración por reducción al absurdo, que muy pocos entendían. Es más apropiado realizar
un estudio numérico y ver que 2 no es una fracción irreducible, p/q. Esto es imposible, ya
que la ultima cifra del número entero p2 no puede coincidir con la de 2q2, salvo que ambas
sean cero, en cuyo caso la fracción es reducible.
4.2.2. La razón áurea
A partir de un segmento AB de longitud dada, l, se trata de determinar un punto intermedio,
C, tal que la longitud, x, de una de las partes, AC, en que divide al segmento sea media
proporcional entre la longitud del propio segmento y la otra parte como se indica en la figura
2. Con simbolismo algebraico
esta relación se expresa mediante
l
x
la igualdad: =
x l−x
x
A
l-x
l
B
Figura3. Razón aúrea
Dividiendo el numerador y el denominador del segundo miembro por x, poniendo l/x=Μ y
agrupando términos se tiene la igualdad Μ2-Μ-1=0. Ecuación que tiene dos soluciones
algebraicas, de las que sólo una es geométrica, Μ=(1+/5)/2.
P
B
Figura 3. Representación del pentágono regular a partir de de la razón áurea.
A la proporción Φ=(1+ 5 )/2 , solución de la ecuación anterior, se la llama proporción
áurea, razón áurea o número de oro. ¿Fue el primer irracional descubierto, S. V a.C. por
Hipaso de Mesaponto?
Se trata de un número irracional algebraico, que es fácilmente construible, como se indica en
la figura 3, Φ =ML=LA, Φ -1=OP y (Φ -1)/2=OB. A partir de este irracional se puede
16
construir el pentágono regular ya que cos(2π/5)=( Φ -1)/2=0.309016994375...es la parte real
de dos de las raíces complejas de z5-1 (de z4+z3+z2+z+1) y coincide con la razón entre el
radio y el lado del decágono regular.
4.2.3. El número “e”
Una demostración de que es un número irracional trascendente puede verse en M. Spivak
(1972, 540-544). Aquí estamos más interesados en determinar aproximaciones decimales del
mismo. La propia definición,
lím ⎛
e=
⎜1 +
n → ∞⎝
1⎞
⎟
n⎠
n
aporta un método para calcular valores aproximados de e, sólo hay que dar valores a n
Tabla 1. Aproximaciones a “e”
n
(1+1/n)n
1+1/n
10
1,1
2,5937424601
100
1,01 2,70481382942153
1000
1,001 2,71692393223559
10000
1,0001 2,71814592682493
100000
1,00001
2,7182682371923
1000000
1,000001 2,71828046909575
10000000
1,0000001 2,71828169413208
100000000
1,00000001 2,71828179834736
1000000000
1,000000001 2,71828205201156
10000000000
1,0000000001 2,71828205323479
100000000000
1,00000000001 2,71828205335711
1000000000000
1,000000000001 2,71852349603724
10000000000000
100000000000000
1,0000000000001
2,7161100340869
1,00000000000001 2,71611003408702
También se puede obtener una aproximación de e evaluando la serie de potencias ex en x=1.
e=
1 1 1 1 1
+ + + + + ...
0! 1! 2! 3! 4!
Con la hoja de cálculo (con la calculadora de las cuatro reglas) se obtienen rápidamente
17
aproximaciones a e de forma inmediata. La tabla siguiente muestra las que se obtienen
sumando los trece primeros términos de la serie. Razonando sobre los términos de la tercera
columna se intuye la irracionalidad de e ya que al aumentar n el paso de un factorial, 1/n!, al
siguiente, 1/(n+1)!, se van introduciendo mayor número de ceros entre la coma decimal y el
primer valor significativo y, por tanto, no puede ser periódico.
Tabla 2. Aproximaciones a “e”
n
n!
Γ1/n!
1/n!
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
0,5
2,5
3
6
0,166666666666667
2,66666666666667
4
24
0,0416666666666667
2,70833333333333
5
120
0,00833333333333333
2,71666666666667
6
720
0,00138888888888889
2,71805555555556
7
5040
0,000198412698412698
2,71825396825397
8
40320
0,0000248015873015873
2,71827876984127
9
362880
0,00000275573192239859
2,71828152557319
10
3628800
0,000000275573192239859
2,71828180114638
11
39916800
0,0000000250521083854417
2,71828182619849
12
479001600
0,00000000208767569878681
2,71828182828617
4.2.4. El número pi
Los matemáticos egipcios ya habían
observado que la longitud de la circunferencia
era proporcional al diámetro. A esta constante
de proporcionalidad Descartes la denotó con
la letra griega π, es un número irracional y
Lindemann (1882) demostró que es
trascendente.
Aquí se va a determinar un valor aproximado
de π considerando como longitud de la
circunferencia 2 unidades de radio la
semisuma de los perímetros de dos
dodecágonos, uno inscrito y otro circunscrito
a dicha circunferencia.
OA=OG=OD=OH=AH=2,
B
A
G
F
E
D
C
O
H
Figura 4. Cálculo aproximado de π
18
AC=1,
OC=/3,
CD=2-/3,
AD2=AC2+CD2,
AD = 2 2 − 3 , AF = 2 − 3
OF2=OA2+AF2,
OF = 2 2 + 3
La semejanza de los triángulos OFA y OGB permite calcular
BG = 2
2− 3
2+ 3
= ... = 2( 2 − 3 )
Así pues, los dodecágonos tienen lados:
AD = 2 2 − 3 y BE=4(2-/3).
El cociente entre la semisuma de estos polígonos y el diámetro da como resultado
π ≈ 3,160609...
Este procedimiento se puede aplicar de forma
iterativa las veces que se quiera y con ello se
obtienen mejores aproximaciones de π.
l/2
a
Otro procedimiento muy interesante consiste en
determinarlo a partir del área de polígonos
regulares inscritos en la circunferencia de radio r.
r
O
Denotando por An al área del polígono regular de
n lados, se tiene:
An = P·a/2 = n·l·a/2,
l=2·sen(α/2),
a=r·cos(α/2),
Figura 5. Cálculo de π
An = n·r2·sen(α/2)·cos(α/2)=n·r2·sen(α)/2.
Por tanto, el área de cada polígono regular de n lados
es, lo mismo que el círculo, el producto de una
constante Kn = n·sen(α)/2 por el cuadrado del radio de
su circunferencia circunscrita. Es decir:
An = Kn ·r2.
A
Comparando esta expresión con la del área del círculo,
Ac = π ·r2, surge, de manera natural, un método de
cálculo para π :
π=
C
lím n
360
sen
n →∞2
n
O
D
B
E
Figura 6. Relación entre los lados ln y l2n
19
Por otra parte, denotando por l2n y por ln a las longitudes de los lados de los polígonos
regulares de n y 2n lados, respectivamente, inscritos en una circunferencia de radio unidad,
ver la figura 6, se verifica la relación:
l2 n = 2 − 4 − ln 2
En efecto, a la vista de la figura 6 en la que AB es un diámetro, CB=l2n y CE=ln, el área del
triángulo rectángulo ABC es AB·CD/2 y también AC·CB/2. Por tanto,
4 − l 2 n 2 l2 n
2·ln / 2
=
2
2
es decir, ln2=l2n2·(4-l2n2). Resolviendo esta ecuación bicuadrática se obtiene la relación del
enunciado.
Teniendo en cuenta, además, que sen(360º/2n)=ln/2, mediante radicales se pueden generar
sucesiones de aproximaciones de π, Kn = n·sen(α)/2=n/2·ln/2. La tabla siguiente genera los
primeros términos a partir del exágono (hexágono) regular. También es muy sencillo
generarla a partir del cuadrado.
Tabla 3. Aproximaciones a “e”
n
l
sen(360/n)=ln/2
6
1
3
2
Kn
=n/2·ln/2−Β
3 3
2
1
12
2− 3
1
24
2− 2+ 3
1
2− 3
2
3,10582854123025
48
2− 2+ 2+ 3
1
2− 2+ 3
2
3,13262861328124
2− 2+ 2+ 2+ 3
1
2− 2+ 2+ 3
2
3,13935020304687
3,1410319508905
2− 2+ 2+ 2+ 2+ 3
1
2− 2+ 2+ 2+ 3
2
96
192
2
El concurso de la hoja ed cálculo es importantísimo en estos menesteres. La siguiente Tabla
está elaborada con “QUATRO-PRO” siguiendo las pautas de cálculo de la anterior y en ella
se puede observar la permanencia de cifras decimales. Se pueden comparar con las que
aparecen después utilizado DERIVE. ¿Es fácil memorizar unas cuantas? Si, para ello sólo
hay que construir un texto apropiado de manera que cada palabra tenga tantas letras como
unidades indica la cifra correspondiente.
20
Tabla 4. Aproximaciones a “π”
n
2 + 2 + ... + 3
ln 1
=
2 − 2 + ... 3
2 2
24
1,73205080756888
0,258819045102521
3,10582854123025
48
1,93185165257814
0,130526192220052
3,13262861328124
96
1,98288972274762
0,0654031292301432
3,13935020304687
192
1,99571784647721
0,0327190828217764
3,14103195089053
384
1,99892917495273
0,0163617316264862
3,14145247228534
768
1,99973227581912
0,00818113960393652
3,14155760791162
1536
1,9999330678348
0,00409060402623559
3,14158389214894
3072
1,9999832668887
0,00204530629116977
3,14159046323676
6144
1,9999958167178
0,00102265368035255
3,14159210604305
12288
1,99999895417918
0,00051132690699677
3,14159251658816
24576
1,99999973854478
0,00025566346180345
3,14159261864079
49152
1,99999993463619
0,000127831731987354
3,14159264532122
98304
1,99999998365905
0,0000639158659936771
3,14159264532122
π =
n ln
22
4.2.5. La constante de Euler-Mascheroni
Se define mediante la relación:
γ =
lím ⎛
1 1
1
⎞
⎜ 1 + + + ... + − ln( n ) ⎟
n → ∞⎝
2 3
n
⎠
En la actualidad no se conoce si se trata de un número racional o irracional, lo que, una vez
más, pone en evidencia la complejidad de los problemas de este tipo.
Con la hoja de cálculo se pueden obtener aproximaciones de esta constante evaluando la
expresión que la define.
4.3. Actividades de aproximaciones numéricas
En este apartado vamos a tratar la aproximación de irracionales por racionales, tanto de forma
teórica como práctica, y el caso recíproco de forma teórica.
¿Cómo se puede hallar un número racional que tenga las mil primeras cifras decimales
iguales a las de Β de forma teórica?
Así:
[101000·Β]/101000 , donde [ ] indica la parte entera.
21
¿Cómo se puede construir un número irracional que difiera de 3´75 que tenga las mil
primeras cifras iguales que 3´75?
Por ejemplo, a partir del número de oro Φ, así:
3´75+ Φ /101001
¿Como se aproximarían irracionales por racionales de forma práctica?
Usando software de ordenador. Por ejemplo, con DERIVE o MAPLE se pueden obtener de
forma instantánea aproximaciones con miles de cifras decimales exactas. Se muestran las mil
primeras cifras del número π:
Φ=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592
3078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095
5058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038
1964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460
3486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209
6282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160
9433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749
5673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463
9522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513
2000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953
4301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598
1362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752
8865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823
53787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198.
4.4. Aritmética de racionales con irracionales
¿Cómo es la suma, u, de un racional, q, y un irracional, t?
Es un número irracional ya que si u=q+t fuese racional, entonces t=u-q también sería
racional, por ser la suma de dos racionales.
¿Cómo es el producto, v, de un racional, q, y un irracional, t ≠ 0 ?
Es un número irracional ya que si v=q·t fuese racional, entonces t=v/q también sería racional,
por ser el producto de dos racionales.
¿Cómo es la suma de dos números irracionales?
¿Cómo es el producto de dos números irracionales?
En ambos casos puede dar lugar, tanto a racionales como a irracionales:
(1+ 2 )+(1- 2 ) es racional.
(1+ 2 )+(1-2 2 ) es irracional
(1+ 2 )·(1- 2 ) es racional.
(1+ 2 )·(1-2 2 ) es irracional.
22
4.5. La no numerabilidad y la densidad de ⎥.
Dentro de la no numerabilidad de ⎥ es conveniente construir conjuntos de números
irracionales que tengan tantos elementos como el propio conjunto de los números racionales.
Aplicando las dos primeras propiedades del apartado anterior, los conjuntos V={q+π,
∀q ∈ Q } y W={q· π, ∀q ∈ Q , q ≠ 0 }, X={q+ 2 , ∀q ∈ Q } e Y={q· 2 , ∀q ∈ Q , q ≠ 0 }
están formados por números irracionales y cada uno de estos conjuntos tiene tantos números
como Q.
1+ 2 , 2+ 2 , 3+ 2 , ...
1+ 2 , 1/2+ 2 , 1/3+ 2 , ...
1· 2 , 2· 2 , 3· 2 , ...
1· 2 , 1/2· 2 , 1/3· 2 , ...
son cuatro sucesiones de números irracionales, las dos de la izquierda son divergentes y las
dos de la derecha son convergentes: la primera a 2 y la segunda a cero
Obtener mil números irracionales entre 0 y 0,1 a partir de /2.
Los mil números decimales 0´00009, 0´0001, 0´0002,..., 0´09 están comprendidos entre 0 y
0´1 y también lo están todos los que se obtienen al sumar a cada uno de los anteriores el
número que resulta de restar a 2 el número formado, al menos, por sus seis primeras cifras,
esto es, 2 -1,4142135623731 es un número irracional que al sumarlo a los mil anteriores se
obtienen mil irracionales comprendidos entre 0 y 1.
También los mil números
2 /100,
2 /101,...,
2 /1100 están en el intervalo (0, 0´1)
Densidad de los irracionales.
El razonamiento seguido en el ejercicio anterior permite ver que en cualquier intervalo (a,b),
siendo a y b racionales o irracionales hay infinitos irracionales. ¿Puede ser más fácil
considerar el intervalo (0´357284, 0´358431)? ¿Se podrán encontrar infinitos irracionales
en dicho intervalo?
Una solución consiste en encontrar infinitos números irracionales menores que 0´3584310´357284=0´000147 y sumárselos a 0´357284 o restárselos a 0´358431 y tales números se
pueden encontrar a partir de cualquier irracional. Así, por ejemplo, /2-1´4142, (/2-1´4142)/2,
(/2-1´4142)/3,... son infinitos irracionales menores 0´000147 y, por tanto, 0´357284+/21´4142, 0´357284+(/2-1´4142)/2, 0´357284+(/2-1´4142)/3,..., dan la solución. El
razonamiento sobre (a,b) es similar.
Hay más irracionales que racionales.
¿Será suficiente establecer que no es numerable el conjunto de los irracionales comprendidos
entre cero y uno? SI. Para ello se va a ver que no pueden estar escritos todos en una lista, ya
que siempre se puede construir un número decimal infinito diferente.
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
...
...
a 31
...
a 32
...
a 33
...
...
...
23
En efecto, el número 0’a1a2a3..., siendo a1 ≠ a11, a1 ≠ 0, a1 ≠ 9; a2 ≠ a22, a2 ≠ 0, a2 ≠ 9; a3 ≠ a33,
a3 ≠ 0, a3 ≠ 9;... es diferente de todos los de la lista y por lo tanto el conjunto de los números
irracionales no es numerable.
Este resultado manifiesta que hay más números irracionales que racionales, el infinito de los
números irracionales es mayor que el de los racionales.
4.6. El axioma del extremo superior
Este axioma, que establece la diferencia analítica entre y , es fundamental. Los alumnos
no podrán determinar el alcance del mismo mientras no analicen comportamientos
funcionales, pero será bueno que establezcan comparaciones entre intervalos de y de .
Conviene que al menos sepan qué números forman los reales.
El conjunto de los números reales, , está formado por la unión de los racionales, , y los
irracionales, . Tales conjuntos, e , no tienen ningún número en común; es decir, no existe
ningún números que sea racional e irracional a la vez.
Todos estos números se pueden representar en una recta, la recta real, para ello se fija un
origen y una unidad de medida. Así, a cada número le corresponde un punto y viceversa.
Sería interesante que los alumnos utilizaran DERIVE o MAPLEV para:
- Comparar números irracionales mediante aproximaciones.
- Realizar cálculos aritméticos aproximados.
- Realizar cálculos aritméticos simbólicos (RADICALES).
- Cálculos en {a+b/2, a,b0Q}, en {a+bΒ, a,b0Q}.
- Cálculos en {a+b/2+c/3, a,b,c0Q}, en {a+b/2+cΒ, a,b,c0Q}.
- Comparar las aritméticas.
- Analizar los errores de aproximación obteniendo cotas de error.
- Hacer exploraciones sobre el axioma del extremo superior.
- Hacer exploraciones sobre el orden usual.
5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Problema del colecionista. Cuántos cromos por término medio tiene que comprar un
coleccionista para completar una colección de n cromos.
2. Problema del área. Considerando que el área de una superficie es el número de cuadrados
de lado unidad (unidad de área) que contiene, establecer que el área del rectángulo de lados a
y b es a·b unidades cuadradas, para caualesquiera a y b de .
3. Problema de la primitiva
Información: Sobre el sorteo de "La Primitiva" celebrado el día 15 de febrero de 1997, en el
que cada apuesta vale 100 ptas.,"El Norte de Castilla" da la siguiente tabla:
24
Categorías
6 aciertos
5+Complem.
5 aciertos
4 aciertos
3 aciertos
Acertantes
2
5
180
12.776
267.838
Premios
128.802.946
10.659.554
592.197
11.820
1.194
Problema: ¿Podrías hallar la recaudación, el porcentaje destinado a premios y los
porcentajes de reparto que se aplican a cada categoría?
4. Problema de la telefónica.
Información: En el "ABC"de 18-8-96 se publicó el siguiente desglose de costes de una
"factura media" de Telefónica con un importe de 4.000 pesetas: 4% cuota de conexión (C.C.),
7% llamadas internacionales (INAC), 12% llamadas provinciales (PRO), 16%
metropolitanas (MET), 25% interprovinciales (IPRO) y, finalmente, 36% cuota de abono
(C.A.).
Problema: Suponiendo que en otras facturas los costes de los diferentes tipos de llamadas
siguen, entre ellos, la misma proporcionalidad que en la factura de "ABC" ¿Cómo se reparten
los costes de una factura de 10.000? ¿Cómo son los nuevos tantos por ciento? Ídem para una
factura de 12.000. ¿Cuántos y en qué porcentajes son los gastos mínimos?
5. Problemas bancarios. Interés compuesto, Anualidades
SOLUCIONES
1. Las probabilidades de comprar un cromo distinto de los i que posee es P(Ci+1)=(n-i)/n:
P(C1)=n/n, P(C2)=(n-1)/n, P(C3)=(n-2)/n, ..., P(Cn-1)=2/n, P(Cn)=1/n,
El número de compras esperadas para que el cromo sea distinto:
n/n, n/(n-1), n/(n-2), ..., n/2, n/1.
La suma está formada por los n primeros términos de la serie armónica. Una buena
aproximación es Ln(n) y la diferencia es la constante de Euler- Marscheroni.
2. Cuando a y b son naturales se reduce a aplicar el concepto de multiplicación.
Cuando a y b son fraccionarios hay que reducirlos a común denominador, D, dividir el
cuadrado unidad en D2 cuadraditos unidad y aplicar lo anterior. Después se simplifica el
resultado.
Si a y b son irracionales se van aproximando por racionales an y bn, y el área es el límite de
esas aproximaciones, límite (an·bn), que es lím an · lím bn=a·b unidades cuadradas.
3.
redondeos, ajustes, repartos, múltiplos
Acertant
2
5
180
12.776
267.838
Premios
128.802.946
10.659.554
592.197
11.820
1.194
Totales
257.605.892
53.297.770
106.595.460
151.012.320
319.798.572
6.440.147.300
1.332.444.250
4%
2.664.886.500 3.775.308.000 7.994.964.300
25
4,05%
6.360.639.309
1.315.994.321
2.631.986.667 3.728.699.259 7.896.261.037
4,45%
5.788.896.449
1.197.702.697
2.395.403.596 3.393.535.281 7.186.484.764
4,5%
5.724.575.378
1.184.394.889
2.368.788.000 3.355.829.333 7.106.634.933
4,55%
5.661.667.956
1.171.379.560
2.342.757.363 3.318.952.088 7.028.540.044
8,95%
2.878.278.123
595.505.810
1.191.010.726 1.687.288.492 3.573.168.402
9%
2.862.287.689
592.197.444
1.184.394.000 1.677.914.667 3.553.317.467
9,05%
2.846.473.945
588.925.635
1.177.850.387 1.668.644.420 3.533.685.878
12,7%
2.028.392.850
419.667.480
839.334.331 1.189.073.386 2.518.098.992
12,75%
2.020.438.369
418.021.725
836.042.824 1.184.410.353 2.508.224.094
12,8%
2.012.546.031
416.388.828
832.777.031 1.179.783.750 2.498.426.344
21,7%
1.187.123.926
245.611.843
491.223.318
695.909.309 1.473.726.138
21,75%
1.184.394.906
245.047.218
490.094.069
694.309.517 1.470.338.262
21,8%
1.181.678.404
244.485.183
488.970.000
692.717.064 1.466.965.927
26,95%
955.866.019
197.765.380
395.530.464
560.342.560 1.186.636.631
27%
954.095.896
197.399.148
394.798.000
559.304.889 1.184.439.156
27,05 %
952.332.318
197.034.270
394.068.244
558.271.054 1.182.249.804
30%
858.686.307
177.659.233
355.318.200
503.374.400 1.065.995.240
Los % de 1.184.394.900 son:
128.802.945´38, 10.659.554´10, 592.197´45, 11.819,85 y 267.827,99
4.
DATOS Pagos Nuevos Pagos Pagos Tantos Pagos Nuevos Pagos de Nuevos
de
tantos 12000 tantos por
:Tantos de 4000 tantos mínimo variabl por 1
1 de
por 1 de ptas. por 1 de s fijos es PV para 10000 por 1 de ptas.
12000
repartir ptas. 10000
1600
4000
C.C.
0,04
160
0,1
160
-
160
0,016
INAC
0,07
280
0
0
PROV
0,12
480
0
MET
0,16
640
280
0,11666
980
0,098 1213,33 0,10111
0
480
0,2
1680
0,168
0
0
640
IPRO
0,25
1000
0
0
1000 0,41666 3500
C.A.
0,36
1440
0,9
1440
-
-
1440
0,144
1440
0,12
Total
1
4000
1
1600
2400
1
10000
1
12000
1
0,26666 2240
2080
0,01333
0,17333
0,224 2773,33 0,23111
0,35
Tabla 1. Repartos de gastos y de porcentajes.
26
160
4333,33 0,36111
1
1600
4000
10000
1600
12000
4000
10000
12000
5000
0,8
4000
0,6
3000
0,4
2000
0,2
C.C.
1000
INAC
IPRO PROV MET
0
C.C.
C.A.
Figura 7. Variación de tantos por uno.
INAC IPRO PROV MET
C.A.
Figura 8. Variación de pagos por tipos
6. BIBLIOGRAFÍA
FISCHER, E. (1983). Intermediate Análisis. Springer Verlag. New York.
BETA, GRUPO. (1990): Proporcionalidad geométrica y semejanza. Síntesis. Matemáticas:
cultura y aprendizaje. Madrid.
BILLSTEIN, R., LIBESKIND, S. & LOTT, J. W. (1990): Mathematics for Elementary
School Teachers. The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. Redwood City,
California.
BOUVIER, A. y GEORGE, M., (1984): Diccionario de Matemáticas (bajo la dirrección de
F. Le Lionnais). Akal, Madrid.
BOYER, C. B. (1988): Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid.
COURANT, R Y ROBBINS, H. (1964): ¿Qué es la Matemática? Colección Ciencia y
Técnica. Aguilar S.A., Madrid.
CENTENO, J. (1988): Números decimales, ¿por qué?, ¿para qué? Síntesis, Madrid.
CUBILLO, C. (1997): Un estudio sobre las potencialidades que genera en los alumnos de
Secundaria el Modelo de Gestión Mental aplicado a las fracciones. Tesis doctoral.
Valladolid.
FERNÁNDEZ, S. (1990): Hª de las Matemáticas, una ejemplificación: Nicolas de Cusa y el
Número Β. Sigma, nº 7, págs. 36-41.
GUZMAN, M. (1991): Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
GHYKA, M.C. (1978): Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Poseidón
Barcelona.
GROUWS, D. A. (1992): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning.(A
Project of the N.C.T.M:) Macmillan Publishing Company. New York.
HAHN, L. S. (1990): Complex Number and Geometry. The mathematical Asociation of
America. Washington. USA.
27
HASEMANN, K (1980): On difficulties with fractions. Educational Studies in Mathematics.
IBAÑES, M. (1993)
KLEIN, F. (1931): Matemática Elemental desde un Punto de Vista Superior. Biblioteca
Matemática. Director J. Rey Pastor.
KLINE, M. (1992): El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza
editorial. Madrid.
LLINARES, S. y SÁNCHEZ, M. V, (1988): Fracciones. Síntesis, Madrid.
ORTEGA. T (197
NTCM (1972): Números racionales. Trillas, México.
ROBIN, A. (1990):Rational Aproximations. The Mathematical Gazette, 74,11-19.
ROMERO, I. M. (1995) La introducción del número real en Educación Secundaria. Tesis
Doctoral. Granada.
28