Crónica del Oscilador Armónico - UAM-I

Crónica del Oscilador Armónico*
José Marı́a Filardo Bassalo,
Fundación Minerva, Prof. retirado de la Universidad de Pará
www.bassalo.com.br
* Traducido por el Dr. Eleuterio Castaño Depto. de Fı́sica,
UAM-I.
ContactoS 82, 47–52 (2011)
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Resumen
En este artı́culo estudiamos la evolución histórica
del Oscilador Armónico desde los primeros estudios
realizados durante la primera mitad del siglo XVIII,
hasta el momento presente.
Uno de los primeros estudios matemáticos sobre osciladores armónicos simples (OAS) fue realizado por
el fı́sico y matemático suizo Leonhard Euler (17071783), en 1739,1 al resolver la ecuación diferencial:
mẍ + kx = 0,
k = ω02 m,
(1)
donde ω0 es la frecuencia natural del OAS, por medio de un método de cuadraturas. En ese mismo trabajo Euler redescubrió el fenómeno de resonancia al
obtener, por el mismo proceso de cuadraturas, la solución del oscilador armónico forzado (OAF):
mẍ + kx = F sen (ωα t),
(2)
y observar que la solución resulta en oscilaciones forzadas que se vuelven cada vez mayores conforme la
frecuencia natural ωo se aproxima a la frecuencia externa de forzamiento, ωα , y sus amplitudes tienden
a infinito.
Otra cuestión también ligada al OA se refiere al problema de obtener su ecuación de movimiento a partir del Lagrangeano. Este problema comenzó con
los trabajos de Euler y del matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813); en estos trabajos
se buscaba encontrar la ecuación de movimiento de
un sistema fı́sico cualquiera a partir de un principio de mı́nima acción. Veamos cómo.
El matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665)
formuló, entre 1653 y 1662,2 el famoso principio del
tiempo mı́nimo, según el cual la luz, al propagarse
entre dos puntos de su trayectoria, escoge un camino
cuyo tiempo de recorrido es mı́nimo. En lenguaje
moderno este principio dice que la integral
J=
Z
t2
t1
dt =
Z
P2
P1
ds
,
v
del principio de Fermat, enunció su famoso principio de mı́nima acción. Como en aquella época habı́a una controversia con respecto a la velocidad de la luz, entre que ésta era proporcional al ı́ndice de refracción (n), tal como aseguraban el filósofo y matemático francés René du Perron Descartes
(1596-1650) y el fı́sico y matemático inglés Sir Isaac
Newton (1642-1727), o que era inversamente proporcional, como aseguraba Fermat, Maupertuis abandonó la idea del tiempo mı́nimo y utilizó otra cantidad llamada ACCIÓN, definida como el producto de la masa (m), por la velocidad (v) y por la distancia (s) recorrida por una partı́cula dada. [Es oportuno destacar que además de razones fı́sicas, Maupertuis (y el propio Euler) daban razones teológicas para su principio, pues, decı́an ellos, que las leyes del comportamiento de la naturaleza poseen una
perfección digna de la creación de Dios.]
Por lo tanto, según Maupertuis, se tenı́a que:
mvs = acción ≡ mı́nimo .
Ese mismo año de 1744,4 Euler escribió el principio de la mı́nima acción de Maupertuis de la siguiente forma:
Z
Z
δ v ds = δ v 2 dt = 0
(5)
expresión que indicaba que la acción de Maupertuis era mı́nima para movimientos de partı́culas a
lo largo de curvas planas.
Es muy desafortunado que a pesar de que Euler haya esbozado esta primera interpretación dinámica
del principio de Maupertuis, el crédito del uso del
principio de mı́nima acción en la Mecánica sea
atribuido a Lagrange. Éste, en 1760-1761,5 partiendo del principio de mı́nima acción de Euler, formuló entonces su principio de mı́nima acción y
lo aplicó a un conjunto de partı́culas. Su principio es definido ası́:
δ
Apenas comenzó el siglo XVIII los matemáticos ya
poseı́an varios ejemplos de que la Naturaleza tiende maximizar o minimizar algunas cantidades importantes. De manera semejante, el matemático francés
Pierre Louis Moureau de Maupertuis (1698-1759), en
1744,3 trabajando con la teorı́a de la luz y partiendo
Z
t2
T dt = 0,
(6)
t1
(3)
toma un valor mı́nimo cuando la luz, con velocidad
v, viaja entre los puntos P1 y P2 .
(4)
donde T , la energı́a cinética de un sistema de
partı́culas, está dada por:
T =
X1
i
2
mi vi2 =
X1
i
2
mi ẋ2i
(7)
Partiendo de este Principio, y considerando la condición adicional de que la energı́a total de un sistema de partı́culas, esto es, T + V (siendo V la energı́a
potencial) es constante para caminos muy cercanos
Crónica del Oscilador Armónico. José Marı́a Filardo Bassalo.
entre sı́, considerados entre dos configuraciones fijas, Lagrange usó el actualmente conocido Cálculo de Variaciones, que ya habı́a sido desarrollado por Euler, a partir de 1734,7 y demostró la famosa Segunda Ley de Newton:8
mi ẍ2i = −
∂V
= Fi .
∂xi
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183511 Hamilton enunció su Principio, desde entonces conocido como Principio de Hamilton, y que
toma la siguiente forma:
Z t2
L(qi , q̇i , t)dt = 0,
(11)
δ
t1
(8)
Al estudiar, en 1782, sistemas de n masas puntuales, Lagrange introdujo el concepto de coordenadas
generalizadas (pi , qi ), como cualquier conjunto de
coordenadas que puede, sin ambigüedades, definir la
configuración de estos sistemas. Entonces, a partir
de esta consideración, en su Mécanique Analytique, publicada en 1788, Lagrange presentó el Principio de Mı́nima Acción de Maupertuis-Euler
en términos de estas coordenadas y usando, una vez
más el método variacional obtuvo la ahora famosa Ecuación de Euler-Lagrange:
d ∂T
∂T
∂V
−
+
=0
(9)
dt ∂ q̇i
∂qi
∂qi
Otra gran contribución al estudio del Principio de
Mı́nima Acción aplicado a la Mecánica fue dada
por el matemático francés Siméon Denis Poisson
(1781-1840), en 1809.9 De manera semejante, partiendo de la Ecuación de Euler-Lagrange, la modificó introduciendo el ahora llamado lagrangeano
L = T − V . Veamos cómo. Utilizando V (qi ) y T (q̇i )
como funciones de las coordenadas generalizadas, la
expresión (9) puede ser escrita en la forma conocida como Ecuación de Euler-Lagrange-Poisson:
d ∂L
∂L
−
=0
(10)
dt ∂ q̇i
∂qi
Antes de terminar el Siglo XIX, otra modificación
fue propuesta por el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865). Como resultado, entre 1824 y 1832,10 Hamilton estudió la óptica con el objetivo de darle una estructura matemática dentro de los moldes que Lagrange utilizara para la Mecánica. De manera similar, y observando que
para algunos fenómenos la Naturaleza maximiza su
acción en lugar de minimizarla, Hamilton prefirió entonces hablar de un Principio de Acción Estacionaria. Aun más, Hamilton observó que el Principio
de Euler-Lagrange-Poisson se referı́a tan sólo a
sistemas conservativos, esto es, aquéllos para los cuales el potencial V es solamente una función de las
coordenadas qi , es decir que V = V (qi ). De este modo, Hamilton generalizó entonces este Principio con
el objetivo de incluir sistemas no-conservativos, para los cuales V = V (qi , q̇i , t). De tal manera que en
donde L = T −V es la llamada función lagrangeana, que fue introducida, conforme vimos, por Poisson, en 1809. A partir de este Principio, y aplicando
el Cálculo de Variaciones de Euler-Lagrange, Hamilton reobtuvo las Ecuaciones de Euler-LagrangePoisson.
Las Ecuaciones de Euler-Lagrange-Poisson
conforman las ecuaciones de movimiento de un sistema cualquiera caracterizado por la función lagrangeana L [vea la expresión (10)]. Para el caso del OAS, cuyo L vale:
1 2 1
mq̇ − mω02 q 2 ,
(12)
2
2
estas ecuaciones llevan a la siguiente ecuación:
L=T −V =
q̈ + ω02 q = 0
(13)
que es, justamente, la ecuación de movimiento del
OAS.
Conforme vimos anteriormente, la obtención de la
ecuación de movimiento del OAS [expresión (13)] fue
relativamente fácil, porque fue posible escribir a función lagrangeana L de este tipo de oscilador [expresión (12)]. En contraste, el caso del Oscilador
Armónico Amortiguado (OAA) como lo es, por ejemplo, un péndulo oscilando en un medio disipativo,
es un problema que se torna más complicado, pues,
hasta el presente momento, no ha sido posible encontrar L. Varias tentativas para encontrar L han
sido realizadas, conforme veremos en los párrafos
siguientes.
Una primera tentativa para salvar esta dificultad
fue presentada, probablemente por primera vez, por
el fı́sico inglés John William Strutt, Lord Rayleigh
(1842-1919; PNF, 1904) en su libro The Theory
of Sound, publicado en 1877-1878, al introducir
en forma ad hoc en las Ecuaciones de EulerLagrange-Poisson [expresión (10)] un término relacionado con una función disipativa F, esto es (en
el caso unidimensional):12
d ∂L
∂L ∂F
−
+
=0
(14)
dt ∂ q̇
∂q
∂ q̇
De este modo, tomando una función disipativa F
del tipo proporcional a la velocidad (caracterı́stica
del OAA), es decir:
F =
1 2
λq̇ ,
2
(λ = constante )
(15)
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más el lagrangeano del OAS [expresión (12)], la expresión (14) reproduce la ecuación de movimiento
del OAA unidimensional:
λ
(16)
q̈ + γ q̇ + ω02 q = 0,
γ=
m
En vista del resultado anterior, Ray afirmó que
LBCK (HBCK ) no representaba a los sistemas disipativos, pero sı́ a los sistemas fı́sicos de masa variable en el tiempo, como, por ejemplo, un balde de
agua oscilando en un región donde existe una precipitación de agua que hace que la masa M del agua
del balde varı́e siguiendo la expresión:
donde γ es la llamada constante de amortiguamiento.
A pesar de que la ecuación de Euler-LagrangePoisson-Rayleign reproduce la ecuación de movimiento de sistemas disipativos, es apenas una descripción fenomenológica de estos sistemas, ya que no
hay ningún lagrangeano ni ningún principio variacional que hayan sido involucrados. Las primeras tentativas para enfrentar esta dificultad fueron presentadas por H. Bateman, en 1931,13 P. Caldirola, en
1941,14 y Y. Kanai, en 1948,15 al presentar el siguiente lagrangeano
1 2 1
LBCK = eγt
(17)
mq̇ − mω02 q 2 ,
2
2
conocido desde entonces como lagrangeano de
Bateman-Caldirola-Kanai (LBCK ), y la respectiva acción de Bateman-Caldirola-Kanai
(SBCK ):
Z t
LBCK dt′ .
(18)
SBCK =
M = meγt .
Una dificultad de LBCK señalada por Ray en el trabajo arriba referido antes,17 se relaciona con el momento canónico (pBCK ) dado por:
pBCK =
HBCK
∂LBCK
− LBCK
= pq̇ − LBCK =
∂ q̇
1 2 1
(19)
mq̇ + mω02 q 2 ,
= eγt
2
2
es aparentemente dependiente del tiempo, no representa, de un modo general, los sistemas disipativos.
Como resultado, en 1979,16 J. R. Ray usó la solución de la ecuación de movimiento del OAA [expresión (16)], dada por:
− γt
2
q(t) = Ae
r
cos(ωt),
γ2
ω = ω02 − ,
4
A = q(0)
1
mω02 A.
2
(25)
Una tentativa novedosa para enfrentar las dificultades de LBCK lo es el tratamiento del OAA fue presentada por L. Herrera, L. Nuñez, A. Patiño y H. Rago, en 1986,19 los cuales proponen la siguiente acción SHN P R :
SHN P R =
Z
t
dt′ exp(λt′ )L(q, q̇),
(26)
0
donde L(q, q̇) está dado por la expresión (12), y
la correspondiente Ecuación de Euler-LagrangePoisson está dada por:
∂ λt
d
λt ∂L
e
−
(e )L = 0
(27)
dt
∂ q̇
∂q
reproduce la ecuación de movimiento del OAA representada por la expresión (16). Por otro lado, como el lagrangeano de Herrera et al. es el mismo de la
Mecánica Hamiltoniana, el hamiltoniano correspondiente también permanecerá el mismo que el de esa
Mecánica, el cual es:
H = pq̇ − L =
1 2 1
mq̇ + mω02 q 2 ≡ T + V,
2
2
(28)
(20)
(21)
(22)
y demostró que la energı́a total media del OAA es
una constante, la cual es:
E=
∂LBCK
= eγt mq̇,
∂ q̇
que es diferente del momento linear mq̇ y, por
lo tanto, viola el principio de incertidumbre de
Heisenberg.18
0
Muy afortunadamente cuando LBCK es llevado a la
expresión (10) (en el caso unidimensional, esto es:
i = 1) reproduce la expresión (16), y el correspondiente Hamiltoniano HBCK :
(24)
(23)
y su valor medio sobre cualquier perı́odo es una función decreciente del tiempo indicando, de este modo una disipación. Es oportuno observar que, en tanto la acción SHN P R preserva el lagrangeano clásico, SBCK cambia este lagrangeano tradicional.
Además de la obtención del lagrangeano (y su correspondiente acción), otro problema relacionado con los
sistemas disipativos (el caso del OAA) es el que se refiere al de su cuantización. Una de las maneras de
Crónica del Oscilador Armónico. José Marı́a Filardo Bassalo.
cuantizar un sistema fı́sico es obtener su hamiltoniano en función del momento canónicamente conju∂
, en el caso unidimengado p y substituirlo por ih̄ ∂q
sional. De manera que, ya obtenida la ecuación de
Schrödinger20 resultante de este proceso de cuantización, resta resolverla. Una de las maneras de obtener la solución de esta ecuación es a partir del principio de mı́nima acción cuántica formulado por el fı́sico norteamericano Richard Philips Feynman (19181988; PNF, 1965), en 1948:21
La amplitud de transición entre los estados
|ai y |bi de un sistema mecánico cuántico es la suma de las contribuciones elementales de cada una de las trayectorias
que pasa por |ai al tiempo ta y por |bi
al tiempo tb . Cada una de estas trayectorias tiene la misma magnitud, pero su fase es la acción clásica Scl de la trayectoria
seguida.
Z
a
b
i
exp[ Scl (b, a)D(q, t)]
h̄
(29)
donde:
Scl (b, a) =
Z
b
L(q, q̇, t)dt
(30)
a
es la acción clásica, y D(q, t) es la medida de
Feynman. Esta última indica que debemos realizar la integral sobre todas las trayectorias que conectan los puntos (a, ta )y (b, tb ). La integral que define K(b, a) es la llamada integral de trayectoria
(“path integral”), o propagador de Feynman.22
Ya obtenido este propagador, la función de onda
ψ(q, t), solución de la ecuación de Schrödinger,
está dada por:23
Z ∞
K(q, t; q0 , t0 )ψ(q0 , t0 )dq0 .
(31)
ψ(q, t) =
−∞
En 1951,24 el fı́sico norteamericano Julian Seymour
Schwinger (1918-1994; PNF, 1965) formuló otro
Principio de Mı́nima Acción Cuántica, con el
siguiente enunciado:
Si se realizan variaciones en un sistema
mecánico cuántico, el correspondiente cambio de la amplitud de transición entre los
estados |ai y |bi es (i/h̄) veces el elemento de matriz que conecta los estados de la
variación de la acción clásica Scl .
Este principio de Schwinger se traduce en la siguiente expresión:
i
δhb|ai =
h̄
Z
tb
L(q, q̇, t)|aidt,
(32)
ta
donde a y b son un conjunto de números cuánticos escogidos entre los tiempos ta y , tb respectivamente.25
A modo de conclusión de esta Crónica del Oscilador
Armónico, destacamos que el tratamiento cuántico
de este ente fı́sico ha sido abordado en varios artı́culos que se encuentran en el Handbook of Feynman Path Integrals, de C. Grosche y F. Steiner
[Springer Tracts in Modern Physics 145 (1998)].
Notas y referencias
Este principio se traduce en la siguiente expresión:
K(b, a) =
51
1. Euler, L. 1739. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 11, 128.
2. Fermat, P. 1679. Oeuvres.
3. Maupertuis, P. L. M. 1744. Mémoires de
l’Académie des Sciences, Paris. (Vea el excelente texto sobre Maupertuis y su Principio, en: Moreira, I. C. 1999. Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica 21, 172.)
4. Euler, L. 1744. Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes.
5. Lagrange, J. L. 1762. Miscellanea PhilosophicaMathematica Societatis Privatae Taurinensis 22
(1760-1761), 196.
6. En la época de Lagrange, era usado mi vi2 , lo cual
era denominado como fuerza-viva, en lugar de
mi vi2 /2. Se sabe que el concepto de fuerza-viva fue
introducido por el filósofo y matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1746), en 1686.
En alguna ocasión, él llegó a afirmar que, cuando un cuerpo cae, su “fuerza-viva” se transforma en “fuerza-muerta”, representada por su peso; en su afirmación (la cual es un poco más
larga) al caer y chocar con el suelo, el cuerpo
transmitı́a su movimiento a las partı́culas invisibles del suelo mismo. Por otra parte, fue el fı́sico francés Gustav Gaspard Coriolis (1792-1843),
en 1829, quien observó que para el movimiento de
un cuerpo era importante la mitad de la “fuerzaviva” de Leibniz, dándole entonces el nombre de
energı́a cinética. (KLINE, M. 1972. Mathematical Thought from Ancient to Modern
Times. Oxford University Press.)
7. Bassalo, J. M. F. 1998. Crónicas da Fı́sica, Tomo 5. Edufpa; Kline, op. cit.
8. Yourgrau, W. and Mandelstam, S. 1979. Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory. Dover Publications, Inc.
9. Poisson, D. S. 1809. Journal de l’Ecole Polytechnique 8, 266.
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52
10. Kline, op. cit.
11. Hamilton, W. R. 1835. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Part I, 95.
12. Goldstein, H. 1980. Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company.
13. Bateman, H. 1931. Physical Review 38, 815.
14. Caldirola, P. 1941. Nuovo Cimento 18, 393.
15. Kanai, Y. 1948. Progress of Theoretical Physics
3, 440.
16. Ray, J. R. 1979. American Journal of Physics
47, 626.
17. En 1986, D. H. Kobe, G. Reali y S. Sieniutycz
publicaron un trabajo (American Journal Physics 54, 997) en el cual demuestran que la igualdad H = Y (energı́a total) propuesta por Ray
(op. cit.) sólo se aplica a los sistemas conservativos. Para sistemas disipativos, como el OAA,
ellos proponen que:
H = eγt E.
En esta expresión, γ representa la constante de
amortiguamiento arriba referida y, para llegar a
esta expresión, estos fı́sicos partieron del LBCK .
18. Este principio fue formulado por el fı́sico alemán Werner Karl Heisenberg (1901-1976;
PNF, 1932), en 1927 (Zeitschrift für Physik 43, 172) con el siguiente enunciado: - “Es imposible obtener exactamente los valores simultáneos de dos variables, a no ser dentro de un lı́mite mı́nimo de exactitud”. Para el caso de la posición (x) y del momento linear (px ) de una partı́cula desplazándose en la dirección x, este principio se traduce en la
expresión:
∆px ∆x ≥
h̄
,
2
donde ∆px y ∆x miden, respectivamente, los
errores de las medidas del momento linear y de
la posición de la partı́cula referida.
19. Herrera, L., Nuñez, L., Patiño, A. and Rago, H.
1986. American Journal of Physics 54, 273.
20. En 1926, en trabajos publicados en los Annales de Physique Leipzig 79, 361; 489; 734;
747, el fı́sico austrı́aco Erwin Schrödinger (18871961; PNF, 1933) desarrolló su famosa Mecánica Cuántica Ondulatoria, cuyo principal resultado principal es la ahora famosa ecuación de
Schrödinger:
Ĥψ(q, t)
Ĥ
p̂
= ih̄
∂
ψ(q, t),
∂t
p̂2
+ V (q, t),
2m
∂
= −ih̄ .
∂q
=
21. Feynman, R. P. 1948. Reviews of Modern Physics 20, 367.
22. En 1997, los fı́sicos brasileños Antonio Boulhosa Nassar (n.1953), José Maria Filardo Bassalo
(n.1935), Paulo de Tarso Santos Alencar (n.1940),
Luis Sergio Guimarães Cancela (n.1946) y Mauro
Sergio Dorsa Cattani (n.1942) publicaron un trabajo en Physical Review E 56, 1230, en el cual dedujeron un propagador de Feynman con una acción cuántica, usando la Mecánica Cuántica de
de Broglie-Bohm.
23. Feynman, R. P. and Hibbs, A. R. 1965. Quantum Mechanics and path Integrals.
McGraw-Hill Book Company.
24. Schwinger. S. 1951. Physical Review 82, 914.
25. En 1988, Nassar, Bassalo, Henrique Santos Antunes Neto (1952-1989) y Alencar publicaron un
artı́culo en el Journal of Physics A: Mathematical and General 21, L451, en el cual demostraron que los principios de Feynman y de Schwinger dan resultados idénticos cuando, al menos, son aplicados a acciones cuadráticas no
locales.
cs