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Curso de Estadı́stica
Examen final (Solución) 3-7-2013
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¶ – Ejercicio
a) En una distribución bidimensional la varianza para la variable X es 30 75 y la varianza para la
variable Y es 70 40. ¿Puede ser el coeficiente de regresión de Y sobre X b = 10 44? (1 punto)
b) Las medias en una distribución bidimensional son Mx = 16 My = 12, y sus varianzas verifican
5σx = 4σy , siendo el coeficiente de correlación r = 00 75. ¿Qué valor se puede esperar para la
variable x cuando y = 4? (1 punto)
Solución:
a) Es conocido por teorı́a
σxy
=⇒ σxy = bσx2 = 10 44 · 30 75 = 50 4
σx2
de esta forma, el coeficiente de correlación será
b=
r=
σxy
50 40
50 4
√
= √
= 0
= 10 025
0
0
σx · σy
5 27
3 75 7 40
b) Se ha visto en teorı́a:
rxy ≡ x − Mx =
absurdo.
σxy
(y − My )
σy2
Puesto que
r=
3
3
σxy
= =⇒ σxy = σx σy
σx · σy
4
4
reulta
σxy =
además
σx =
4
σy
5
3 2
σy
4
Ası́ pues,
b0 =
3 2
σy
3
σxy
= 5 2 =
2
σy
σy
5
De esta forma
rxy ≡ x − 16 =
3
(y − 12)
5
Para y = 4
x = 16 +
3
(4 − 12) = 110 2
5
· – Ejercicio
Una máquina envasa azúcar en bolsas de peso teórico de 1 kilogramo. El peso real en kilos de las bolsas
es una v.a. X que sigue una distribución N (1, σ = 00 025). Estas bolsas se distribuyen en cajas de 30
unidades cada una. Una bolsa se considera aceptable si su peso está entre 950 y 1050 gramos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de qué una bolsa elegida al azar sea aceptable? (1 punto)
b) ¿Cuál es el porcentaje de cajas que tienen más de cuatro bolsas no aceptables? (2 puntos)
c) A cada caja se le asigna un valor Y que depende del número de bolsas no aceptables que contenga,
de modo que

si el no de bolsas no aceptables es mayor que 4
 0
20
si el no de bolsas no aceptables es menor que 2
Y =

10
resto
Se pide la función de probabilidad, función de distribución y media de esta v.a. (3 puntos)
Solución:
0
a) Sea la v.a X =peso de una bolsa con X ≡ N (1,
σ 0= 0 025)
0
95
−
1
X −1
10 05 − 1
0
0
P (bolsa aceptable)= P (0 95 < X < 1 05) = P
< 0
<
=
00 025
0 025
00 025
0
= P (−2 < N (0, 1) < 2) = 0 9545
b) P (bolsa no aceptable)= 1 − 00 9545 ≈ 00 04.
Sea la v.a T =número de bolsas no aceptables en una caja con T ≡ B(30, 00 04)
P (caja con más de 4 bolsas no aceptables)= P (T > 4) ≈ P (P(10 2) > 4)
pues T ≈ P(30 × 00 04)
P (P(10 2) > 4) = 1 − 00 992 = 00 008.
Por tanto, el 00 8 % de las cajas tienen más de 4 bolsas no aceptables.

T >4
 0
10
2≤T ≤4
c) Y =

20
T <2
P (Y = 20) = P (T < 2) ≈ P (P(10 2) < 2) = P (P(10 2) ≤ 1) = 00 663
P (Y = 0) = P (T > 4) = 00 008
P (Y = 10) = 1 − (P (Y = 20) + P (Y = 10)) = 00 329.
La función de distribución de la v.a. Y será

0
y<0


 0
0 008
0 ≤ y < 10
F (y) =
00 337
10 ≤ y < 20



1
20 ≤ y
P
E(Y ) =
kP (Y = k) = 10P (Y = 10) + 20P (Y = 20) = 160 55
¸ – Ejercicio
Se ha estudiado el beneficio anual (pérdida en el caso de valores negativos) de las empresas de una
determinada localidad, y se ha caracterizado por una distribución poblacional Normal, con dos millones
de euros de desviación tı́pica. Si se elige una m.a.s. de 25 empresas con x = 00 5 millones, determina el
intervalo de confianza del 90 % y del 95 % para el beneficio medio anual de las empresas de la localidad.
¿Cuál de los dos intervalos es mayor? ¿por qué? Justifica la respuesta. (2 puntos)
Solución:
A la vista del enunciado del problema se define la v.a. y se establece su distribución poblacional
X ≡ Beneficio o pérdida anual de las empresas ; N (µ, 2)
Hay que estimar el valor de µ mediante intervalos de confianza. Se parte de una m.a.s. de n = 25 empresas.
Puesto que las distribuciones poblacionales de la m.a.s. son Normales se considera como cantidad pivotal
Z=
X −µ
√σ
n
lo que nos lleva a considerar un intervalo de confianza para µ de la forma
σ
σ
x − √ zα/2 , x + √ zα/2
n
n
a) Para un nivel del confianza del 90 % resulta
P (Z > zα/2 ) = α/2 =⇒ P (Z > z00 05 ) = 00 05 ⇐⇒ P (Z 6 z00 05 ) = 00 95 =⇒ z00 05 = 10 64
con lo cual el intervalo de confianza queda
2
2
I90 = 00 5 − 10 64 · √ , 00 5 + 10 64 · √
= (−00 158, 10 158)
25
25
b) Para un nivel del confianza del 95 % resulta
P (Z > zα/2 ) = α/2 =⇒ P (Z > z00 025 ) = 00 025 ⇐⇒ P (Z 6 z00 025 ) = 00 975 =⇒ z00 025 = 10 96
con lo cual el intervalo de confianza queda
2
2
= (−00 284, 10 284)
I95 = 00 5 − 10 96 · √ , 00 5 + 10 96 · √
25
25
Es inmediato darse cuenta que
I90 ⊂ I95
Por tanto al aumentar el nivel de confianza aumenta el intervalo de confianza y disminuye la precisión. Esto
es ası́, como consecuencia de la expresión
σ
P |X − µ| 6 zα/2 √
=1−α
n
En cierta manera, la precisión se puede relacionar con la cantidad |X − µ|. Si se quiere que la precisión sea
elevada entonces |X − µ| debe ser pequeña. Si la confianza se impone grande, entonces el valor zα/2 es grande
y la cota zα/2 √σn es grande. Como consecuencia, el intervalo de confianza es grande y disminuye la precisión.