Entendiendo la autoinductancia

E nte ndiendo la a utoinducta ncia
J.L.Jim ¶
e ne z1 ,N .A q uino 2 e I.C a m p os3
De p to.de F¶
³sica,Faculta dde C ienciasUN A M,e n a n~ o sa b¶
a tico de UA M-I,
2
3
De p to.de F¶
³sica ,UA M-I, De p to.de F¶
³sica ,Fa cultadde C ienciasUN A M
1
R e ci
bi
d
o : 13 de e ne r o de 2 006 .
A ce p ta d
o : 2 7 de a br ilde 2 006 .
do a lg¶
u n \tr uco " adhoc p a r a e ste p r oblem a ,p e r o
no discute n e lo r ige n delp r o blem a m ism o,lo cua l
e n ge ne r a lco nfunde a le studiante .N ue str o p r o p ¶
o sito e n e ste tr a ba jo e sdiscutir uno de dicho se je m p lo s: e lc¶
a lculo de la a utoinducta ncia de un ca ble co a xial,y m ostr a r q ue se p ue den e vita r confusione ssi
se ge ne r a liza cor r e cta m e nte e lconce p to de e slabona m iento de °ujo y p or lo ta nto e lde co e ¯ciente de
a uto inducci¶
o n.
R e sum e n
E lcono cim iento cient¶
³¯co se ca r a cte r iza p o r su e str uctur a ci¶
o n conce p tua l,q ue p o dr¶
³a m os visua liza r
com o una r e dq ue r e laciona losconce p tose ntre s¶
³a
tr av¶
e sde leye s.E n e lectr o m a gne tism o te ne m oslos
conce p tosde inducta ncia m utua y a uto inducta ncia,
q ue se r e laciona n co n losconce p tosde e ne r g¶
³a y densidadde e ne r g¶
³a ,a s¶
³co m o con lo sconce p to sde °ujo m a gn¶
e tico y e slabona m iento de °ujo (°ux linkage ).E n e lp r e se nte tra ba jo se a na liza la a uto inducta ncia p o r unida dde longitudde un ca ble co a xial,
q ue a lse r ca lcula da m e diante e lconce p to de densidadde e ne r g¶
³a da un r e sulta do y a lse r ca lculada m e diante e lco nce p to de e sla bona m iento de °ujo da un r e sulta do dife r e nte ,si¶
e ste se a p lica e n fo r m a ina p r op iada.
La i
nd
ucta nci
a y l
a a uto i
nd
ucta nci
a
Usua lm e nte se intr o duce e lconce p to de inducta ncia com o e lco e ¯ciente q ue r e la ciona a la cor r iente
co n e l°ujo delca m p o m a gn¶
e tico.Sise tiene n doscircuito sC 1 y C 2 (¯gur a 1)y r e p r e se nta m o sp or S 1 y
S 2 lassup e r ¯ciesq ue e ncier r a n dicho scircuitos,e nto nce s,sie n e lcircuito C 1 hay una co r r iente I 1,e ste circuito p r o duce un ca m p o m a gn¶
e tico B~1,p a r te
delcua la tr aviesa e lcircuito C 2 ,e sta bleciendo e l°ujo m a gn¶
e tico
Sin e m ba r go,a ltom a r e n cue nta q ue un ca ble de r a dio ¯nito debe se r co nsider a do co m o un n¶
u m e r o in¯nito de ca bles ¯lifor m e s,r e q uiriendo a s¶
³la ge ne r a liza ci¶
o n delconce p to de e slabona m iento de °ujo ,
se e ncue ntr a q ue e lr e sulta do co incide con e lo bte nido m e diante la densidadde e ne r g¶
³a .
©12 =
Z
S2
B~1 ¢dS~2
(1)
De la ley de B iot{Sava r tse tiene q ue e lca m p o B~1
e sdire cta m e nte p r o p o r ciona la I 1,p o r lo q ue
Intro d
ucci
on
¶
Losconce p tosde inducta ncia m utua y a uto inducta ncia [1-3]so n funda m e nta lese n la p r e p a r a ci¶
o n de f¶
³sicose inge nier o sq ue r e q uier a n delco no cim iento de
la te or¶
³a e lectr om a gn¶
e tica .E sosco nce p to sse intr oduce n desde loscur sosb¶
a sicosde e lectr o m a gne tism o y a p a r e ce n e n to doslo ste xto sdelte m a ,desde inte r m e diosha sta ava nza dos.La se xp r e sione sinvo lucr a dase n la sde¯nicione sso n e xa cta m e nte la sm ism a s; sin e m ba r go ,una de la se xp r e sione sco n la q ue
se de¯ne la a uto inducta ncia no siem p r e e s a p lica ble dire cta m e nte .E sta de¯nici¶
o n e sla q ue invo lucr a e lconce p to de e slabo na m iento de °ujo (°ux linkage ).E n a lgunosde lose sca soste xto se n lo sq ue se
ilustr a a lg¶
u n e je m p lo de e ste tip o ,lo sa utor e sse dedica n p or lo r e gula r a r e so lve r e lp r o blem a e m p lea n-
©12 = L 0
12 I 1
(2 )
La \0" indica q ue e lcircuito consta de una so la vue lta
de cor r iente ¯lifor m e .Sie lcircuito C 2 tiene N vue lta se sla bo na da sp o r e lm ism o °ujo m a gn¶
e tico ,e ntonce se sconve niente intr o ducir ¤12 ,e le sla bona m iento o e nlace de °ujo
¤12 = N ©12
(3)
E n e ste ca so se de¯ne la inducta ncia m utua com o
L 12 =
59
¤12
I1
(4)
60
C o nta cto S 6 4
,59 {6 3 (2 007 )
La a uto inducta ncia delcircuito C 1 se de¯ne com o
e le sla bona m iento o e nla ce de °ujo p or unidadde
cor r iente sobr e e lm ism o circuito ,e sto e s
L 11 =
¤11
I1
¹0rI ^
Á; 0 ·r·a;
2 ¼a2
¹0I ^
Á; a·r·b;
2 ¼r
B~
1 =
B~
=
2
(5)
(10)
do nde Á^ e se lve cto r unita r io a so ciado a la co o r dena da p ola r Á
do nde
¤11 = N 1©11 = N
1
Z
S1
B~¢dS~1
(6 )
A diciona lm e nte se intro duce e lconce p to de e ne r g¶
³a
m a gn¶
e tica y se dem ue str a q ue p a r a N circuito s
N
UB =
N
1X X
L ijI iI j
2 i=1 j=1
(7 )
E n p a r ticular ,p a r a un solo circuito ,
UB =
M¶
e to d
o I (e r r ¶
o ne o )
Inge nua y e r r ¶
o ne a m e nte ,lo p r im e r o q ue se o cur r e e s
ca lcular dire cta m e nte e l°ujo © y lue go dividir e ntr e
la co r r iente p a r a obte ne r L ,co m o cua ndo hay un
solo ca ble involucr a do.V e a m osa d¶
o nde no sco nduce
e sto .E l°ujo p or unidadde lo ngitude st¶
a dado p or
1 2
LI
2
(8)
©=
2UB
I2
a
0
B~
d~
r+
1¢
Z
b
a
B~
d~
r
2 ¢
(11)
do nde d~
r e sla dife r e ncialde sup e r ¯cie p o r unida d
de longitud,
d~
r = dS~su p =`
Usa ndo (10)e n (11)da com o r e sulta do
do nde he m o se lim ina do lossub¶
³ndice s.E nto nce sr e sulta e vidente q ue
L =
Z
©
=
(9 )
Po r otr a p a r te ,se intr o duce e lco nce p to de densida d
de e ne r g¶
³a m a gn¶
e tica ,u B = B 2 =2 ¹0,p a r a e lva c¶
³o
o m e diosno m a gn¶
e ticos,de m a ne r a q ue la e ne r g¶
³a
m a gn¶
e tica e sla inte gr a lde vo lum e n de la densida d
de e ne r g¶
³a .
C om o ve r e m os a co ntinua ci¶
o n la a p lica ci¶
o n dire cta de la se cua cione s(5)y (9 )p ue de conducir a situa cione sq ue confunden a le studiante y p o r e llo consider a m osconve niente discutirla s.
A uto i
nd
ucci
o n e n un ca bl
¶
e co a xi
al
C onsider e m os una l
¶
³ne a de tr a nsm isi¶
o n co a xial; e l
conductor inte r no tiene r a dio a,m ientr a sq ue e le xte r no e sm uy delga do y tiene r a dio b.E lca ble lleva una co r r iente I >C u¶
a nto va le la a uto inducta ncia p o r unida dde longitud?
A nte to do,p a r a e ncontr a r lo s°ujo s,ha ce fa lta cono ce r losca m p osm a gn¶
e ticosdentr o delca ble.E sto sso n f¶
a cilesde ca lcula r m e diante la ley de A m p ¶
e re ,
r e sulta ndo
=
Z a
Z b
¹0I
¹0I
1
r
dr+
dr
2
2 ¼a 0
2¼ a r
¹0I
¹0I
b
+
ln
4¼
2¼
a
(12 )
co n la de¯nici¶
o n de L da da p o r la e cua ci¶
o n (5)se
o btiene de inm e diato
L =
¹0 ¹0 b
+
ln
4¼ 2 ¼ a
(13)
E ste r e sulta do p a r e ce convince nte ,p e r o conviene r e solve r e lp r o blem a usa ndo o tro m ¶
e to do.
M¶
e to d
o II (co r r e cto )
Pa r a p o der usa r la e cua ci¶
o n (9 )debe m o sca lcula r la
e ne r g¶
³a m a gn¶
e tica p o r unidadde longitude n e lca ble
co a xial,da da p or la e cua ci¶
on
UB =
1
2 ¹0
Z
B 2 dV
(14)
V
Usa ndo las e cua cione s (10) o bte ne m o s la e ne r g¶
³a
m a gn¶
e tica p o r unida dde lo ngitud,
E nte ndiendo la a uto inducta ncia. J.L.Jim ¶
e ne z,N .A quino e I.C am po s.
61
¶2 #
Z a" µ
Z 2¼
1
¹
I
0
0
2
d' +
UB =
r rdr
2 ¹0 0
2 ¼a2
0
#
Z a" µ ¶2
Z 2¼
1
1
¹0I
rdr
d' =
2 ¹0 0
2¼
r2
0
¹0I 2
¹0I 2
b
+
ln
16 ¼
4¼
a
(15)
De la e cua ci¶
o n (9 )se obtiene de inm e diato
L =
¹0 ¹0 b
+
ln
8¼ 2 ¼ a
C om o p ue de ve r se di¯e r e de (13)p o r un fa ctor
e lp r im e r m iem br o della do der e cho .
(16 )
Fi
gur a 1.Do se sp i
r a sco n a co p lam i
e nto m a gn¶
e ti
co .
1
2
en
Di
scusi
o n.
¶
E lq ue haya do sr e sulta do sm ue str a clar a m e nte q ue
uno de e llo se sinco r r e cto; e sne ce sa r io e nto nce sdete r m ina r cu¶
a lde e llo slo e s.N osinte r e sa e lp r im e r
t¶
e r m ino dellado der e cho de la s e cua cione s (13) y
(16 ),e lq ue se r e ¯e r e a la a uto inducta ncia delca ble
inte r ior ,q ue e sdo nde a p a r e ce la dife r e ncia.Sise r e visa cuida dosa m e nte la fo r m a e n q ue se ca lcul¶
o la a uto inducta ncia delca ble inte r ior se no ta q ue e le slabona m iento de °ujo no se ha consider a do cor r e cta m e nte e n e lp r im e r m ¶
e to do,ya q ue im p l
¶
³cita m e nte se ha
to m a do N = 1.E sto e scier to s¶
o lo p a r a r> a,p ue sto
q ue la sim e tr¶
³a cil
¶
³ndrica delp r o blem a p e r m ite co nsider a r to da la co r r iente I co m o una cor r iente ¯lifo r m e e n e lce ntr o delcilindro.Sin e m ba r go e lca ble inte r ior debe co nsider a r se for m a do p o r m uchosca bles
¯lifo r m e sq ue tr a nsp or ta n una fr a cci¶
o n de la co r r iente I ,debi
¶
e ndose e nto nce stom a r e n cue nta e le slabona m iento de °ujo co r r e sp ondiente ,ta lco m o se m ue str a e n la ¯gur a 2 (p ¶
a g.6 2 ).
E sp r e cisa m e nte e n e lco nce p to de e slabona m iento
de °ujo donde ya ce la di¯culta dco nce p tua l,p ue se s
ne ce sa r io ge ne r a liza r de un n¶
u m e r o N e nte r o y ¯nito
de circuitos¯lifo r m e se slabona do so a tr ave sa dos,p or
e lm ism o °ujo m agn¶
e tico,a una ca ntidadcontinua .
E ste p r o blem a se tra ta e n e llibr o de C he ng [1]
,q ue
p a r a e vita r inte r p r e ta cione se r r ¶
o ne a str a nscr ibim os
a continua ci¶
o n.
Di
scusi
on d
¶
e C he ng.
R em ¶
³ta se a la ¯gur a 5-16 .Sup o nga q ue una co r r i
e nte I °uye p o r e lco nducto r i
nte r no y r e gr e sa e n la di
r e cci
o n co ntra r i
¶
a p o r e lco nducto r e xte r no .B so lo ti
ene co m p o ne nte e n © debi
do a la si
m e tr¶
³a ci
l
¶
³ndri
ca .Sup o nga ta m bi
¶
e n q ue la co r r i
e nte I se di
stri
buye de m a ne -
r a uni
fo r m e p o r la se cci
o n tra nsve r sa ldelco nducto r i
¶
nte r no .Pr i
m e r o ha llam o slosva lor e sde B .
a )E n e lco nducto r i
nte r no 0 ·r·a.
A p a r ti
r de la e cua ci
o n (5-11),
¶
B 1 = a © B ©1 = a ©
¹0rI
:
2 ¼a2
(5:86 )
b)E ntre losco nducto r e si
nte r no y e xte r no a·r·b.
A p a r ti
r de la e cua ci
o n (5-12 ),
¶
B 2 = a © B ©2 = a ©
¹0I
:
2 ¼r
(5:87 )
C o nsi
der e a ho r a una r e gi
o n a nular e n e lco nducto r i
¶
nte r no ,co n r a di
o sr y r+ dr.La co r r i
e nte e n una uni
dadde longi
tudde e sta r e gi
o n a nular e st¶
¶
a li
ga da a l°ujo q ue p ue de o bte ne r se a li
nte gr a r lase cua ci
o ne s(5.86 )
y (5.87 ).Te ne m o s
d©0=
Z
a
B Á1dr+
r
=
=
¹0I
2 ¼a2
Z
Z
b
B Á2 dr
a
a
rdr+
r
¹0I
2¼
Z
b
a
dr
r
(5:88)
¹0I
¹0I
b
(a2 ¡r2 )+
ln :
4¼a2
2¼
a
Pe r o la co r r i
e nte e n la r e gi
o n a nular e ss¶
¶
o lo una fr a cci
on
¶
(2 ¼rdr=¼a2 = 2 rdr=a2 )de la co r r i
e nte to ta lI .Po r e llo,
e l°ujo li
ga do a e sta r e gi
o n a nular e s
¶
d¤0=
2 rdr 0
d© :
a2
E l°ujo to ta lli
ga do p o r uni
dadde longi
tude s
(5:89 )
62
C o nta cto S 6 4
,59 {6 3 (2 007 )
do nde
¤0 =
=
+
=
Z
r=a
d¤0
©(r)=
r=0
¹0I
¼a2
³
· Z
1
2a
´Z
b
ln
a
¹0I
2¼
³
a
2
0
a
Z
(a ¡r )rdr
r
Po r lo ta nto ,
¸
rdr
0
d¤ =
´
1
b
+ ln
:
4
a
¤0 ¹0
¹0 b
=
+
ln
(H =m):
I
8¼
2¼ a
¤ =
(5:9 0)
E lp e q ue n~ o p ¶
a r r a fo q ue sigue a la e cua ci¶
o n (5.88)de
C he ng e se lp unto cr ucialde su a r gum e nta ci¶
o n a s¶
³com o de¯nir dÁ com o una inte gr a l,lo cua la um e nta la co nfusi¶
o n,a h¶
³se debe r¶
³a discutir la ge ne r a liza ci¶
o n delconce p to de e slabona m iento ,p e r o e n luga r de e llo nose nco ntr a m osco n una sim p le a ¯r m a ci¶
o n,p o co usua le n e ste e xce lente te xto .A q u¶
³se e sta blece la fr a cci¶
o n de la cor r iente I e n la r e gi¶
o n a nular e ntr e ry r+ dry de a h¶
³sa lta a l°ujo liga do .>Pe r o d¶
o nde e st¶
a e ln¶
u m e r o de circuito s e sla bo na dos,
e s decir,a trave sa do s,p o r e lm ism o °ujo m a gn¶
e tico? E lca ble inte r no e sa ho r a un n¶
u m e r o in¯nito de
ca bles¯lifor m e sq ue e sne ce sa r io \conta r ",p a r a ge ne r a liza r la e xp r e si¶
o n de la e cua ci¶
o n (3).
E n la ¯gur a 1(p ¶
a g.6 1)se m ue str a la fr a cci¶
o n de circuito se sla bo na dosp o r e l°ujo m a gn¶
e tico e ntr e r y
a,q ue e s la p a r te p r o blem ¶
a tica delp r oblem a ba jo la m ism a sup o sici¶
o n de una co r r iente unifo r m e m e nte distr ibuida so br e la se cci¶
o n tr a nsve r sa l.Dicha fr a cci¶
o n e sp r e cisa m e nte 2 rdr=a2 .Po r lo ta nto
p o dem o sp la nte a r q ue la ge ne r a liza ci¶
o n de la e cua ci¶
o n (3)e s
2 rdr
©(r)
a2
¹0I ` 2
(ar¡r3 )dr
2 ¼a4
E ntonce se ltota lde e sla bona m iento sse r ¶
a
E lp r i
m e r t¶
e rm i
no ,¹0=8¼,p r ovi
e ne del°ujo li
ga do a l
co nducto r i
nte r no s¶
o li
do; se co no ce co m o i
nd
ucta nci
a
i
nte r na p o r uni
dadde longi
tuddelco nducto r i
nte r no .E l
se gundo t¶
e rm i
no p r ovi
e ne del°ujo li
ga do q ue e xi
ste e ntre e lco nducto r i
nte r no y e le xte r no ; e ste t¶
e rm i
no de co no ce co m o i
nd
ucta nci
a e xte r na p o r uni
dadde longi
tudde la l
¶
³ne a co a xi
a l.E lt¶
e rm i
no ¹0=8¼ no e xi
sti
r¶
³a si
e lco nducto r i
nte r no fue r a un tubo hue co delga do; u¶ni
ca m e nte ha br¶
³a co nducta nci
a e xte r na (¯n de la di
scusi
o n de C he ng).
¶
d¤ =
¹0I r
¹0I ` 2
¢`dr=
(a ¡r2 )
2 ¼a2
4¼a2
2
La i
nducta nci
a p o r uni
dadde longi
tudde la l
¶
³ne a de
tra nsm i
si
o n co a xi
¶
a le se nto nce s
L 0=
a
=
¹0I `
2 ¼a4
¹0I `
8¼
Z
a
(a2 r¡r3 )dr=
0
µ
¶
¹0I ` a4 a4
¡
2 ¼a4 2
4
co n lo q ue o bte ne m o se lr e sulta do co r r e cto,co nsiste nte con la e cua ci¶
o n (16 ),q ue da e lm ¶
e to do de la
e ne r g¶
³a .
Fi
gur a 2 .Un ca ble de longi
tud¯ni
ta ,e n donde se m ue stra n losci
r cui
to sde co r r i
e nte ¯lam e nta r e s.
C o ncl
usi
o ne s
La sleye sde la f¶
³sica y lo sco nce p to sq ue ¶
e sta sr e la ciona n e ntr e s¶
³im p lica n co ndicione sm uy e sp e c¶
³¯ca sp a r a su a p lica bilida d.Por e je m p lo,e n m e c¶
a nica cl¶
a sica te ne m o se lconce p to de p a r t¶
³cula,q ue e sla
idea liza ci¶
o n de un cue r p o f¶
³sico visto desde una dista ncia m uy gr a nde,e n e sta m a ne r a se co nsider a a
un p la ne ta e n su m ovim iento de tr a slaci¶
o n a lre dedo r delSo l.E n e le lectr o m a gne tism o ta m bi
¶
e n te ne m o se lco nce p to a n¶
a logo,la ca r ga p untua ly la cor r iente ¯lifo r m e .
E nte ndiendo la a uto inducta ncia. J.L.Jim ¶
e ne z,N .A quino e I.C am po s.
E n e lp r o blem a q ue he m osa na liza do e n e ste tr a ba jo ,la soluci¶
o n cor r e cta se o btiene a ltom a r e n cue nta q ue dentr o delca ble la co r r iente debe de se r consider a da com o un n¶
u m e r o in¯nito de cor r iente s¯lifo r m e s.E n la m e c¶
a nica te ne m ossitua cione se n la sq ue
loscue r p o sya no p ue den consider a r se co m o p a r t¶
³culas,sino co m o distr ibucione sco ntinua sde p a r t¶
³culas.Por lo ta nto e s la ge ne r a liza ci¶
o n delco nce p to
de e slabona m iento de °ujo a distr ibucione s in¯nita sde cor r iente s¯lifo r m e slo q ue p e r m ite ca lcula r sin
a m bigÄ
u e da d.
R e fe r e nci
as
1. R .R e snick,D.Ha lliday y K .S.K r a ne ,F¶
³sica
vo l.2 ,C E C SA ,M¶
e xico 19 9 9 .
63
2 . A .F.K ip ,Fundam e ntosde E lectr icida dy Ma gne tism o ,Mc Gr aw -Hill,M¶
e xico 19 7 2 .
3. R .A .Se r w ay y R .J.B e ichne r ,F¶
³sica p a r a la
cienciasy la inge nier¶
³a ,Mc Gr aw -Hill,M¶
e xico
2 002
4. J.R .R e itzy F.J.Milfo r d,Funda m e ntosde la
te o r¶
³a e lectr om a gn¶
e tica ,p a r te II,UT E A ,M¶
e xico 19 7 2
5. DavidK .C he ng,Fundam e nto sde e lectr om a gne tism o p a r a inge nier¶
³a ,A ddiso n-W e sley Ibe r oa m e r ica na ,E .U.A 19 9 7 ,p ¶
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