Anexo: Cierre del Curso

Anexo: Cierre del Curso
Introducción
La Mecánica de las Estructuras es una disciplina inmersa en la Teoría de la Elasticidad la
que a su vez es una parte de la Mecánica de Sólidos Deformables. Esta última está gobernada
por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales cuya solución exacta es imposible para
geometrías y/o condiciones de contorno de cierta generalidad.
Una primera aproximación a la Mecánica de los Sólidos es limitar las características de
los modelos del material constitutivo y suponer que el material es elástico, es decir que
retiradas las solicitaciones el cuerpo retomará su forma original, dando lugar a la Teoría de la
1
Elasticidad. Una segunda hipótesis
es suponer que las ecuaciones diferenciales son lineales
lo cual implica por un lado una mayor limitación a las características del material y además
restricciones en el nivel de los desplazamientos (y/o rotaciones) y de las deformaciones. Las
hipótesis asociadas pueden vericarse luego de realizar el análisis.
El objetivo de la Mecánica de Estructuras es establecer expresiones simplicadas que
permitan un análisis aproximado sencillo, reduciendo el problema tridimensional a derivadas
parciales a uno en derivadas ordinarias cuya variable independiente es la coordenada medida
sobre el eje de la pieza. Para ello se introducen un conjunto adicional de hipótesis (Bernoulli,
Navier, Saint Venant, etc.) que pasan a tener carácter axiomático
2
dentro de un curso de
grado ya que no se verica su cumplimiento.
Una forma de evaluar el grado de cumplimiento o no de estas hipótesis adicionales es
estudiar ejemplos con geometrías típicas, bajo distintas solicitaciones y/o condiciones de
contorno. Como se mencionó antes, no resulta posible obtener una solución cerrada a las
ecuaciones que gobiernan la teoría de la elasticidad. Sin embargo si es posible obtener una
solución numérica sucientemente aproximada que permita observar el cumplimiento de las
hipótesis en casos particulares.
En este Anexo se presentan algunos ejemplos de vigas como sólidos tridimensionales,
resueltos utilizando la técnica del Método de Elementos Finitos (MEF). Se consideran distintas secciones típicas y se comparan las distribuciones de tensiones que resultan del análisis
numérico con el análisis simplicado de la Mecánica de Estructuras.
El MEF es una técnica numérica que permite resolver ecuaciones diferenciales a derivadas
parciales. Para resolver un problema se siguen los siguientes pasos:
Se divide el dominio de análisis en elementos pequeños no solapados. Para las vigas
1 Hipótesis:
2 Axioma:
Suposición de algo posible o imposible para sacar de ello una consecuencia.
Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría
1
utilizaremos elementos prismáticos (en la dirección de la viga) con base cuadrilátera o
triangular (en el plano de la sección).
Estos elementos comparten nudos en sus vértices y a la mitad de sus aristas. Las incógnitas a determinar son los desplazamientos de estos puntos, con lo cuales se determinan
deformaciones y con ellos las tensiones.
Para establecer condiciones de contorno en cada nudo y en cada dirección del espacio
pueden indicarse el valor del desplazamiento o la fuerza externa aplicada (no ambos).
A medida que se presenten los ejemplos será posible visualizar estas características y se
introducirán otros detalles asociados.
Hipótesis más importantes utilizadas en el curso
A continuación se mencionan las principales hipótesis introducidas a lo largo del curso,
se indican cuales pueden ser evaluadas a priori, cuales a posteriori y cuales requieren de
un análisis tridimensional para su evaluación (objetivo principal de este Apéndice).
Fundamentos de Elasticidad
Las principales hipótesis son:
1. Que la variación espacial de los desplazamientos (derivadas de los desplazamientos respecto a las coordenadas) es pequeña frente a la unidad (notar que son adimensionales).
Por pequeña frente a la unidad debe entenderse menores a
0,01.
Esto implica que
tanto deformaciones como rotaciones son pequeñas.
2. Que es válida la ley de Hooke. Es decir que las tensiones que aparecen en el material
son proporcionales a las deformaciones (con un factor de proporcionalidad constante).
Esto impone una mayor restricción sobre la hipótesis 1 ya que muchos materiales llegan
a su tensión límite de proporcionalidad con deformaciones mucho menores que
0,01
La primera hipótesis debe comprobarse a posteriori, es decir que una vez realizado el análisis debe vericarse que los desplazamientos y rotaciones no superen valores prejados. En
general esta comprobación está también asociada con condicionantes de diseño, así suele estar
limitada la relación entre el máximo desplazamiento y la luz (distancia entre apoyos) de la
estructura o el máximo giro permitido.
La segunda hipótesis requiere de dos vericaciones, primero que el material a utilizar
responda según la ley de Hooke, lo cual requiere ensayos de laboratorio (que es una evaluación
previa al análisis) y segundo que las tensiones no superen el límite de proporcionalidad del
material (o la tensión admisible si son las cargas de trabajo). Esta segunda evaluación es
posterior al análisis.
2
Fundamentos de la Resistencia de Materiales
3
Se enuncian los siguientes 3 principios , los cuales no son estrictamente principios (verdades indiscutibles):
1. Rigidez: Las ecuaciones de equilibrio se pueden formular sobre la geometría indeformada, es decir, sin considerar los movimientos provocados sobre el sistema de cargas.
2. Superposición: Los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura
son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema
actuando por separado
3. Saint Venant: En una pieza prismática, las tensiones que actúan sobre una sección
recta, alejada de los puntos de aplicación de un sistema de cargas, sólo dependen de
la fuerza y del momento resultante de las fuerzas situadas a un lado de la sección
considerada
El principio de rigidez es equivalente a la hipótesis de pequeños desplazamientos y giros.
Dice que la estructura original sin tensiones y la estructura deformada son indistinguibles.
La determinación de los desplazamientos y de la geometría deformada permiten evaluar si
esto es cierto en cada caso. Además debe observarse que no existan importantes esfuerzos de
compresión que puedan producir fenómenos de inestabilidad.
El principio de superposición, matemáticamente resulta de que las ecuaciones que se
resuelven son lineales. Lo que debe evaluarse es si no sólo cada análisis individual satisface
las hipótesis vistas en el punto anterior si no también la suma (por ej. que las tensiones
combinadas no superen el límite de proporcionalidad).
El de Saint Venant permite evaluar el comportamiento alejados de las cargas aplicadas,
pero también implica entender que la aplicación y/o transferencia de cargas requiere de
cuidados especiales para evitar concentraciones de tensiones y/o fallas del material. En estas
notas se mostrará mediante ejemplos la variación del comportamiento a medida que se aleja
del punto de aplicación.
Esfuerzo axil
Aquí se introduce la hipótesis de Bernoulli: durante la deformación de una pieza recta
sometida a esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma.
Esta hipótesis es relativamente sencilla y hay argumentos geométricos y/o matemáticos
que permiten aceptarla sin problemas. Es una hipótesis geométrica que implica la misma
deformación axial para todos los puntos. Cada bra de la pieza responde en función del
módulo de Young del material correspondiente.
Aquí también se introduce la idea de que la sección no se deforma durante la deformación,
lo que puede descomponerse en dos aspectos:
1. Que dos bras ortogonales entre sí se mantienen ortogonales, lo cual implica que no
hay deformación de corte
γyz
asociada. Esto no trae consecuencia alguna en este caso
ya que no son de esperar tales tensiones de corte debido a una fuerza axial
3 Principio:
Cada una de las primeras proposiciones o verdades fundamentales por donde se empiezan a
estudiar las ciencias o las artes.
3
2. Que las deformaciones axiales en el plano de la sección
εy
y
εz
son nulas. Debido al
efecto Poisson, si las bras longitudinales están traccionadas, las bras en el plano de la
sección se contraen. Esta contracción siempre se incluye en las relaciones constitutivas
utilizadas, pues de otra forma se obtendrían tensiones espurias.
Flexión pura
Aquí se extiende la hipótesis anterior y se la denomina de Bernoulli-Navier : en la
deformación de una pieza recta sometida a exión pura, las secciones rectas permanecen
planas y normales a la deformada de la directriz.
Esta hipótesis geométrica implica que:
las deformaciones axiales
εx
las deformaciones de corte
son proporcionales a su distancia al eje neutro
γxy
y
γxz son
nulas
Ambas hipótesis son razonables y existen argumentos para aceptarlas como válidas. En particular es posible observar que no se requieren tensiones de corte para equilibrar el momento,
por lo tanto las deformaciones asociadas pueden ser nulas.
Flexión simple
La misma hipótesis geométrica se aplica al caso de exión simple, donde la existencia de un
esfuerzo cortante
de corte
T
implica la aparición de tensiones de corte
τ
y por lo tanto deformaciones
γ . Claramente aquí la hipótesis no se cumple. Lo que debe entenderse es que desde el
punto de vista de la deformación global (o elástica) la inuencia de la deformación cortante es
muy baja (al menos para vigas esbeltas de material homogéneo). La ventaja de esta hipótesis
es que permite condensar el problema en una ecuación diferencial ordinaria en un única
variable. La consecuencia de esta hipótesis es que para evaluar las tensiones de corte
debe recurrir a condiciones de equilibrio globales (T
= M0 x )
τ,
se
y locales (teoría de Collignon-
Jourasky) además de otras aproximaciones dependientes de la geometría de la sección.
Flexión Esviada y Compuesta
No introducen nuevas hipótesis, sólo aplicaciones de los principios de superposición y
de rigidez. Lo que debe evaluarse es que la combinación de tensiones no supere el rango
proporcional, ni que el valor de esfuerzo axial (en el caso de que sea de compresión) sea
importante respecto a la carga de pandeo.
Esfuerzo de Corte
Para obtener la distribución de tensiones de corte en una sección se utiliza la técnica de
Collignon-Jourasky. Esta provee de la integral
q
de las tensiones de corte a lo largo de una
línea de la sección. La aplicación requiere de hipótesis adicionales en función de la forma de
la sección. La hipótesis habitual es que la tensión
τ
es constante a lo largo de la línea elegida.
En el caso de secciones macizas las líneas utilizadas son normales al esfuerzo de corte. En el
4
caso de secciones de pared delgada esas líneas son normales a la pared. Es posible también
obtener la distribución de tensiones de corte debido a un esfuerzo de corte
T
sobre una sección
en forma detallada resolviendo una ecuación diferencial a derivadas parciales de 2do orden
sobre el plano de la sección (similar al caso de torsión de Saint Venant). Esta técnica será
también usada aquí.
Esfuerzo de Torsión
Una hipótesis habitual aquí es que la sección puede alabear libremente (torsión de Saint
Venant). En tal caso la distribución de tensiones en una viga prismática bajo un momento
torsor constante puede obtenerse resolviendo una ecuación diferencial a derivadas parciales
en el plano de la sección (usando como incógnita el alabeo o la llamada función de tensión).
Si en alguna sección se restringe en parte o totalmente el alabeo (e.g. empotramiento) a
entonces la hipótesis no se cumple y se desarrollan mecanismos de equilibrio diferentes, que
hacen difícil determinar el estado tensional en forma sencilla. En general la restricción al
alabeo es beneciosa para el comportamiento a torsión ya que disminuye las deformaciones
y el nivel de tensiones.
Adoptando la hipótesis conservativa de que no hay restricción de alabeo, una forma de
evaluar cualitativamente el estado tensional es recurrir a la analogía de la membrana. Esto
conduce por ejemplo a las hipótesis utilizadas en secciones de pared delgada:
abiertas, las tensiones varían linealmente en el espesor, con valores máximos en las
caras y de sentido opuesto
cerradas, las tensiones con constantes en el espesor
El análisis de la torsión no-uniforme (cuando hay restricción de alabeo) requiere de teorías
más sosticadas (debidas a V.Z. Vlazov para el caso de secciones de pared delgada) si se pretende mantenerse dentro de una única ecuación diferencial ordinaria, o de modelo numéricos
tridimensionales.
Sobre los ejemplos
Antes de entrar de lleno a los ejemplos hay dos aspectos que deben estar claros.
Los programas basados en el MEF en general no resuelven estructuras hipostáticas. Es
decir que al menos deben impedirse los posibles movimientos de cuerpo rígido. Esto es así
porque desde el punto de vista de los desplazamientos el resultado no sería único. Para
ejemplicar esto, No es posible analizar una barra a tracción cuyas únicas condiciones de
borde sean las cargas aplicadas en sus extremos.
Si el objetivo es vericar una hipótesis de comportamiento, no deben impedirse aquellos
comportamiento que contradigan el de la hipótesis. Por ejemplo si se quiere vericar que la
sección se mantiene plana, debo permitir que alabee y luego vericar que no lo haga.
5
x/L=0
Min=0.999
Max=1.001
x/L=0.917
Min=0.94
Max=1.06
x/L=0.867
Min=0.987
Max=1.022
x/L=0.973
Min=0.
Max=2.3
x/L=1
Min=-2
Max=17
Figura 1: Tensión axial para distintas coordenadas
Viga de sección rectangular
Consideremos el comportamiento de una de las secciones más sencillas. Con relación
L
y
h
= 10 (h = 30cm, b = 10cm
y
h
b
=3
L = 3m)
Sometida a tracción axial
Supondremos que un extremo (x
= 0)
la carga
sobre toda la sección en tanto que el otro extremo
en forma uniforme pero sobre
P = hb se distribuye en forma uniforme
x = L la carga está distribuida también
1/8 de la sección. Esto último permite observar en que medida
se cumple del Principio de Saint Venant. En la Figura 1 se muestra la tensión axial para
distintos valores de la coordenada
x
donde
M in
y
M ax
indican los rangos gracados (azul
corresponde al mínimo y rojo al máximo). Puede observarse que para
x = 0,87L las tensiones
se encuentran en un rango del 5 % de la tensión media y luego van cambiando rápidamente
hasta el extremo de la viga donde los gradientes de tensiones son notorios
Sometida a corte constante
Supongamos que la viga está empotrada en el extremo izquierdo (x
tual aplicada en el extremo libre en la dirección negativa del eje
z.
= 0) y una carga punEn el empotramiento
todos los desplazamientos están restringidos, lo que implica que la sección no puede deformarse, con lo cual si el coeciente de Poisson no es nulo el estado tensional esperado (tracción
6
x/L=0
Min=0.50
Max=1.25
x/L=0.87
Min=0
Max=1.5
x/L=0.9
Min=0.0
Max=1.5
x/L=0.95
Min=0.00
Max=0.15
x/L=1
Min=-0.5
Max=-10.5
Figura 2: Tensión de corte para distintas coordenadas. Carga sobre el centro de la sección.
arriba y compresión abajo) conduciría a contracción en la parte superior y expansión en la
parte inferior. Esto da lugar a estados tensionales con fuertes gradientes tensionales. A los
ν=0.
P = 30 se ha supuesto de dos maneras, a)concentrada
efectos de este ejemplo utilizaremos una relación de Poisson
La aplicación de la carga en el extremo
sobre
1/8
de la sección y b) la que resulta de aplicar la técnica de Jourasky. En la Figura 2
se muestra lo que resulta del caso de carga a.
z sobre el eje de
x. El gráco a la
En la Figura 3 se muestran las distribuciones de corte en la dirección
simetría de la sección para distintas secciones (x/L) a lo largo del eje
izquierda corresponde con el caso a de carga y el de la derecha con el caso b. En este
último caso puede notarse el cumplimiento de la hipótesis de Jourasky (que da un valor
máximo
τxz = 1,5)
para todas las secciones salvo el empotramiento.
En la Figura 4 se muestran los perles de tensiones normales a lo largo de las mismas
líneas. Puede observarse la variación lineal de las mismas en todos los casos (asociado con la
hipótesis de Bernoullí-Navier)
Sometida a un momento torsor constante
Si consideramos la solución tabulada (Tabla 7.1 del libro), para un módulo de corte de
G = 100GPa
y un giro por unidad de longitud de
θ = 0,01[1/m]
el momento torsor y la
máxima tensión de corte son
Mt = Gβhb3 θ = 100E9 × 0,263 × 0,3 × 0,13 × 0,01 = 78,9 [kNm]
7
0.01
0.025
0.05
0.5
0.87
0.95
0
0.5
0.00
0.025
0.05
0.5
1.00
τxz
1
1.5
0
0.5
τxz
Figura 3: Distribución de las tensiones de corte para distintos valores de
distribuida sobre
1/8
1
1.5
x.
Izquierda: carga
de la sección. Derecha: carga distribuida en forma parabólica.
0.30
0.75
3.96
15.00
26.04
29.25
-60
-40
-20
0
σx
20
40
0.30
0.75
3.96
15.00
26.04
29.25
60
-60
-40
-20
0
σx
20
Figura 4: Distribución de las tensiones normales para distintos valores de
estados de carga utilizados.
8
40
x,
60
para los dos
Alabeo
τxy Max=76.5
τ
τxz Max=98.6
Figura 5: Torsión de una sección rectangular (Saint Venant)
τmax =
Gβbθ
100E9 × 0,263 × 0,1 × 0,01
Mt
=
=
= 98,5 [MPa]
2
αhb
α
0,267
La solución numérica de la ecuación diferencial del alabeo conduce a los resultados mostrados
en la Figura 5, donde puede verse la forma en que alabea la sección, la distribución de ambas
componentes de corte y el ujo de las tensiones de corte. El momento torsor calculado de esta
Mt
forma resulta Mt = 79,0 [kNm] con lo cual la Inercia a Torsión resulta It =
= 7900[cm4 ]
Gθ
Si sobre la viga:
se colocan en cada extremo fuerzas equivalentes a los momentos torsores
se restringen los movimientos de cuerpo rígido adecuadamente, es decir sin afectar el
movimiento de torsión ni el alabeo
entonces se obtendrá la distribución indicada en la Figura 5, al menos en la zona central
de la viga, y también en los extremos si los momentos torsores se aplican mediante de la
distribución de tensiones indicadas en la gura. Aquí, para el caso tridimensional vamos a
considerar dos casos, en ambos casos en el extremo
x=L
se aplicarán fuerzas equivalentes
a la distribución de tensiones mostrada en la Figura 5 en tanto que en el extremo
x = 0
consideraremos:
Empotramiento perfecto (u
= v = w = 0)
es decir que se restringirá el alabeo.
Empotramiento sin restricción de alabeo (v
= w = 0).
Esto no basta para restringir
los posibles movimientos de cuerpo rígido pues podría desplazarse en la dirección
rotar alrededor de los ejes en el plano de la sección en
x = 0.
x
y
Aquí se impondrá sobre
la sección el modo de alabeo, es decir se indicará la relación que hay entre los distintos
9
x/L=0.01
σx
x/L=0.01
τxy
x/L=0.01
τxz
x/L=0.5
τxy
x/L=0.5
τxz
Figura 6: Torsión de una sección rectangular con alabeo restringido
desplazamientos
u
de toda la sección. Esto puede hacerse con cierta facilidad en el
programa de MEF pero es muy difícil materializar en la realidad.
En la Figura 6 se muestran resultados del caso empotrado. Allí puede observarse resultados
correspondientes al empotramiento y a la mitad de la viga
Las tensiones axiales (σx ) en el empotramiento no son nulas y su distribución coincide
con la forma del alabeo de la Figura 5. Las
σx
a la mitad de la viga no se muestran
pero son prácticamente nulas
Las tensiones
τxy
en el empotramiento y a la mitad de la viga tienen la misma forma
pero son mayores en el empotramiento
Las tensiones
τxz
en el empotramiento disminuyen notoriamente respecto a las mismas
tensiones a la mitad de la viga
de las dos observaciones anteriores puede notarse que en el empotramiento el momento
torsor está resistido principalmente por tensiones
τxy
que es la forma más eciente de
lograrlo ya que ocurre en los puntos más alejados entre sí
En la Figura 7 se muestra la distribución de tensiones de corte para las mismas secciones
de la gura anterior. No se indican las tensiones
σx
que son prácticamente nulas. Puede aquí
observarse que no hay diferencia en la distribución de tensiones a lo largo de la viga.
Con estas dos variantes del mismo problema se ha intentado mostrar:
10
x/L=0.0
τxy
x/L=0.0
τxz
x/L=0.5
τxy
x/L=0.5
τxz
Figura 7: Torsión de una sección rectangular modo de alabeo impuesto
La inuencia de la restricción de alabeo en la distribución de tensiones (torsión no
uniforme)
La precisión de las hipótesis de Saint Venant cuando no hay restricción de alabeo
El cumplimiento del principio de Saint Venant. Observar que a la mitad de la sección (antes también) las distribución de tensiones es idéntica independientemente de la
condición de contorno en
x=0
Sección IPN
Consideremos ahora una viga similar a la anterior (empotrada-libre) pero con una sección
L
IPN200. La longitud de la viga es L = 300 cm de tal forma que la relación
= 15. El área
h
2
de la sección según tabla es A = 33,5cm
Sometida a exión (Tz y My )
Se ha utilizado una carga puntual
Pz = 33,5kN
(10MPa×Área) en el extremo libre,
distribuida en el alma de la sección. En la Figura 8 se muestra la distribución de tensiones
de corte obtenida resolviendo la ecuación diferencial correspondiente en la sección de la viga
(2D). En la parte inferior de la gura se han gracado los mapas de ambas componentes y
11
10
τxy
26
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
τxz
-10
0
Figura 8: Flexión de una sección IPN200 bajo
S_y
25
22.5
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
Tz
26
|τ|
0
25
22.5
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
constante. Tensiones de corte
el módulo. En tanto que en la parte superior se muestra el ujo de las tensiones de corte en
el ala y en la zona del cuello.
A los nes de comparar con las fórmulas simplicadas resultantes de la aproximación
de Collignon-Jourasky en la Figura 9 se muestran perles de variación de las componentes
de tensiones de corte. A la izquierda se muestra la variación de la componente
coordenada
(y
z.
τxz
con la
Se indican 2 perles uno correspondiente al eje de simetría de la sección
= 0) y otro que en la zona del alma coincide con la pared (y = 3,75mm). En la zona recta
del alma se observa la variación parabólica de las expresiones simplicadas, principalmente
en el eje de simetría, en tanto que en la línea de la pared hay un leve aumento de la tensión
al llegar a la zona de empalme. Luego una disminución rápida hasta 0. En la gura derecha
se ha gracado la componente
τxy
sobre el ala superior de la sección. La curva indicada
como externa se reere al borde superior del perl, en tanto que la línea indicada como
interna corresponde a la parte inferior del ala. Desde el extremo del ala hasta prácticamente
el comienzo de la zona de empalme con el alma las tensiones de corte varían linealmente y
tienen el mismo valor en ambos bordes.
Sometida a exión (Ty y Mz )
En el caso que la carga actúe según la dirección
y (Py = 33,5kN )
el ujo de corte en el
empalme de ala y alma y la distribución de tensiones de corte resultan las presentadas en la
12
10
8
externa
interna
6
4
τxy
2
0
-2
-4
zona curva
-6
-8
-10
-40
-20
0
20
40
Y
Figura 9: Flexión de una sección IPN200 bajo
Figura 10. Las tensiones
τxz
Tz
constante. Perles de tensiones de corte
son prácticamente nulas en todos los puntos salvo en las zonas
entrantes del empalme.
Finalmente en la Figura 11 se muestran los perles de tensiones
del ala y el borde interno del ala (b) a lo largo del eje
z
τxy
en (a) el borde externo
(eje de simetría). Puede verse que
en el caso (a) se obtiene la distribución parabólica salvo en la zona del empalme donde la
inuencia del mismo produce una disminución de la tensión en el borde externo y un aumento
en el interno. El gráco (b) muestra que en la zona del alma la tensión
τxy
es prácticamente
nula y luego rápidamente crece al llegar al empalme con el alma
Sometida a un momento torsor constante
It = 14,6cm4 , para un módulo de elasticidad transversal G = 100GP a y un giro por unidad de longitud θ = 0,01[1/m]. Se tiene que el momento
De la tabla de perles se obtiene que
torsor resulta
Mt = GθIt = 100 × 109 × 0,01 × 14,6 × 10−8 [N m] = 146[N m]
y la máxima tensión de corte es aproximadamente
N
Mt
tmax = Gθtmax = 109 × 11,3 × 10−3
= 11,3 [M P a]
=
It
m2
τmax
La solución de la ecuación diferencial del alabeo conduce a los resultados mostrados en
la Figura 12, donde puede verse la forma en que alabea la sección, la distribución de ambas
componentes de corte y el módulo de las tensiones de corte. Los valores indicados con
13
M ax
24
13
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
τxy
S_y
11.5
9.5
7.5
5.5
3.5
1.5
-0.5
-2.5
-4.5
-6.5
-8.5
-10.5
-12.5
τxz
0
14
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
|τ|
0
-13
Figura 10: Flexión de una sección IPN200 bajo
26
Ty
constante. Tensiones de corte
τxy
20
10
Externa
Interna
0
-40
empalme
-20
0
20
Y
40
τxy
20
10
Alma espesor constante
0
-100
-50
0
Figura 11: Flexión de una sección IPN200 bajo
50
Z
Ty
100
constante. Perles de tensiones de corte
son los valores extremos (+/−) de las líneas de nivel (salvo en el módulo que el valor mínimo
es 0), no los valores máximos obtenidos que siempre son un poco mayores, el objetivo es
poder relacionar mapas de tensiones en dos guras diferentes. El momento torsor calculado
4
es Mt = 132[Nm], y el It = 13,2[cm ]. Notar que las máximas tensiones de corte son un 50 %
mayores que las obtenidas por las fórmulas simplicadas.
Nuevamente para el caso tridimensional vamos a considerar dos casos, en ambos en el
x = L se aplicarán fuerzas equivalentes a la distribución de tensiones
Figura 12 (Mx = 132N m) en tanto que en el extremo x = 0 consideraremos
extremo
la
Empotramiento perfecto (u
= v = w = 0)
mostrada en
es decir que se restringirá el alabeo.
Empotramiento en el plano de la sección (v
= w = 0)
más la imposición del modo de
alabeo resultante del análisis 2D.
En la Figura 13 se muestran resultados del caso empotrado. Allí puede observarse resultados
correspondientes al empotramiento y a la mitad de la viga
Las tensiones axiales (σx ) en el empotramiento no son nulas y su distribución coincide
con la forma del alabeo de la Figura 12. Las
σx
a la mitad de la viga no se muestran
pero son prácticamente nulas
Las tensiones
τxy
en el empotramiento (a diferencia de la mitad de la viga) no se
equilibran en cada ala (en el ala superior hay una resultante negativa y en el ala inferior
una resultante positiva).
15
τxy Max=17
Alabeo
τxz Max=13.5
|τ| Max=18.2
Figura 12: Torsión de una sección IPN200 (Saint Venant)
Las tensiones
τxz
en el empotramiento son muy bajas salvo en la zona del cuello
En el empotramiento el mecanismo que equilibra el el momento torsor resulta de las
resultantes no nulas de las tensiones
τxy
en cada ala.
En la Figura 14 se muestra la distribución de tensiones de corte para las mismas secciones
de la gura anterior. No se indican las tensiones
σx
que son prácticamente nulas. Puede aquí
observarse que no hay diferencia en la distribución de tensiones a lo largo de la viga.
Las conclusiones de estas dos variantes del mismo problema son las mismas que en el
ejemplo anterior.
Sección HEB (IPB)
Consideremos ahora la misma viga de la sección anterior pero con una sección HEB200.
Sometida a exión (Pz y My )
Se ha utilizado una carga puntual
Pz = 78, 1kN
(10MPa×Área) en el extremo libre,
distribuida en el alma de la sección.
En la Figura 15 se muestra la distribución de tensiones de corte. En la parte inferior de la
gura se han gracado los mapas de ambas componentes. En tanto que en la parte superior
se muestra el ujo de las tensiones de corte en la zona del cuello.
A los nes de comparar con las fórmulas simplicadas resultantes de la aproximación
de Collignon-Jourasky en la Figura 16 se muestran perles de variación de las componentes
de tensiones de corte. A la izquierda se muestra la variación de la componente
coordenada
(y
= 0)
z.
τxz
con la
Se indican 2 perles uno correspondiente al eje de simetría de la sección
y otro que coincide con la pared. En la zona de espesor constante se observa la
16
x/L=0
σx
x/L=0.0
τxy Max=0.34
x/L=0.0
τxz Max=0.23
x/L=0.5
τxy Max=1.54
x/L=0.5
τxz Max=1.26
Figura 13: Torsión de una sección IPN200 con alabeo restringido
x/L=0.0
τxy Max=1.54
x/L=0.0
τxz Max=1.27
x/L=0.5
τxy Max=1.54
x/L=0.5
τxz Max=1.27
Figura 14: Torsión de una sección rectangular modo de alabeo impuesto
17
+16.4
49.0
S_y
14
11
8
5
2
-1
-4
-7
-10
-13
-16
τxy
48
42
36
30
24
18
12
6
0
τxz
0.00
-16.4
Figura 15: Flexión de una sección HEB200 bajo
Tz
constante. Tensiones de corte
variación parabólica de las expresiones simplicadas, principalmente en el eje de simetría, en
tanto que en la línea de la pared hay un leve aumento de la tensión al empezar a cambiar
el espesor y luego una disminución rápida hasta 0. En la gura derecha se ha gracado la
componente
τxy
sobre la parte izquierda del ala inferior de la sección. La curva indicada
como externa se reere al borde superior del ala, en tanto que la línea indicada como
interna corresponde a la parte inferior del ala. Desde el extremo del ala hasta muy cerca
del comienzo de la zona de empalme con el alma las tensiones de corte varían linealmente y
son prácticamente iguales entres sí.
Sometida a exión (Py y Mz )
En el caso que la carga actúe según la dirección
y (Py = 78,1kN )
el ujo de corte en el
empalme de ala y alma y la distribución de tensiones de corte resultan las presentadas en la
Figura 17. Las tensiones
τxz
son prácticamente nulas en todos los puntos salvo en las zonas
entrantes del empalme.
Finalmente en la Figura 18 se muestran los perles de tensiones
las caras del alma y (b) a lo largo del eje
z
τxy
en (a) a lo largo de
(centro del alma). Puede verse que en el caso
(a) se obtiene la distribución parabólica salvo en la zona del empalme donde la inuencia del
mismo produce una disminución de la tensión en la cara externa y un aumento en la interna.
El gráco (b) muestra que en la zona del alma la tensión
crece al llegar al empalme con el alma
18
τxy
es nula y luego rápidamente
100
0
-5
centro
pared
interna
externa
τxy
z [mm]
50
zona del alma
con espesor constante
0
-10
-50
zona curva
-15
-100
-80
-60
-40
-20
0
Y
-100
0
20
τxz
40
Figura 16: Flexión de una sección HEB200 bajo
Tz
constante. Perles de tensiones de corte
21.7
9.5 S_y
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
τxy
τxz
9.5
7.125
4.75
2.375
0
-2.375
-4.75
-7.125
-9.5
-9.5
0
Figura 17: Flexión de una sección HEB200 bajo
19
Ty
constante. Tensiones de corte
100
Z
15
τxy
Alma con espesor constante
50
20
0
10
empalme
5
-50
0
-100
-75
-50
-25
0
Y
25
50
75
100
-100
0
Figura 18: Flexión de una sección HEB200 bajo
Ty
5
10
τxy
15
constante. Perles de tensiones de corte
Sometida a un momento torsor constante
De la tabla de perles del INTI (tomadas de la vieja norma DIN de 1963) se obtiene
4
que It = 49,1cm , este valor está calculado en forma simplicada usando la expresión para
secciones delgadas
It =
1
2 × 200 × 153 + 170 × 93 × 10−4 = 49,1cm4
3
(en una tabla más moderna, provista por un fabricante alemán, para el mismo perl aparece
59,3),
para un módulo de elasticidad transversal
longitud
θ = 0,01[1/m].
G = 100GP a
y un giro por unidad de
Se tiene que el momento torsor resulta
Mt = GθIt = 100 × 109 × 0,01 × 49,1 × 10−8 [N m] = 491[N m]
y la máxima tensión de corte es aproximadamente
N
Mt
= 15 [M P a]
tmax = Gθtmax = 109 × 15 × 10−3
It
m2
τmax =
La solución de la ecuación diferencial del alabeo conduce a los resultados mostrados en la
Figura 19, donde puede verse la forma en que alabea la sección y la distribución de ambas
componentes de corte y el módulo de las tensiones de corte. Los valores indicados con
M ax
son los valores máximos obtenidos. El momento torsor calculado es 595Nm, que es en este
caso un 20 % superior al de la tabla del INTI y es casi idéntico al provisto por el fabricante.
20
Alabeo
τxy Max=20.6
τxz Max=18.25
|τ| Max=22.7
Figura 19: Torsión de una sección HEB200 (Saint Venant)
21
x/L=0
σx
x/L=0.0
τxz Max=20
x/L=0.0
τxy Max=18.9
x/L=0.5
τxy Max=20.4
x/L=0.5
τxz Max=18
Figura 20: Torsión de una sección HEB200 con alabeo restringido
Para el caso tridimensional vamos a considerar el caso con empotramiento perfecto (u
=
v = w = 0) en x = 0 y en el extremo x = L se aplicarán fuerzas equivalentes a la distribución
de tensiones mostrada en la Figura 19 correspondientes a un momento torsor Mx = 5,95kN m.
En la Figura 20 se muestran resultados. Allí puede observarse resultados correspondientes
al empotramiento y para
x/L = 0,792
Las tensiones axiales (σx ) en el empotramiento no son nulas y su distribución es similar
a la forma del alabeo de la Figura 19 pero las tensiones son mayores en las caras internas
del perl que en las externas.
τxy
Las tensiones
en el empotramiento (a diferencia de la mitad de la viga) no se
equilibran en cada ala (en el ala superior hay una resultante negativa y en el ala inferior
una resultante positiva). Esto es mas notorio aquí que en el el perl IPN.
Las tensiones
τxz
en el empotramiento son muy bajas salvo en la zona del cuello
En el empotramiento el mecanismo que equilibra el el momento torsor resulta de las
resultantes no nulas de las tensiones τxy en cada ala y también (en mucha menor medida)
el debido a
τxz
que en los extremos de cada ala son no nulos de sentidos opuestos y con
un brazo de palanca de todo el ancho del perl.
Finalmente en la Figura 21 se muestra una vista de la viga deformada (magnicada)
donde se han pintado las tensiones axiales
σx
que aparecen en el empotramiento debido a la
22
Z
Y
X
Figura 21: Torsión no uniforme de una sección HEB
torsión no uniforme. Estas tensiones tienen su mayor importancia en el empotramiento, a la
x
mitad de la viga ( = 7,5) están han bajado a un 10 % de las máximas.
b
Sección UPN
Consideremos ahora una sección con un sólo eje de simetría UPN200. A diferencia de los
casos anteriores el centro de gravedad de la sección no corresponde al centro de corte.
Sometida a exión
Supondremos una carga
Pz = 10[MPa] × A = 32,2[kN]
actuante en el centro de corte.
Según las tablas de perles estándar el centro de corte se encuentra (sobre el eje
y
debido a
y1 = −39,4 mm desde el centro de gravedad o y2 = 23,5 mm desde
el centro del alma o y3 = −19,3mm desde el borde externo del perl. Este valor se determina
la simetría) en la posición
para las tablas mediante fórmulas aproximadas.
Determinación del Centro de Corte
En este caso la solución de una ecuación diferencial en el plano de la sección permite
obtener la distribución de tensiones de corte. Obtenidas estas tensiones de corte, se determina
la linea de acción de la resultante de tales tensiones y se obtiene el centro de corte. Esta
determinación implica una integral de área de las tensiones calculadas que puede hacerse en
forma sencilla desde dentro del programa que resuelve la ecuación diferencial. En este caso
se obtiene que
y1 = −39,1
mm desde el centro de gravedad.
23
τxy
10.9S_x
10.5
8.4
6.3
4.2
2.1
0
-2.1
-4.2
-6.3
-8.4
-10.5
-10.9
τxz
|τ|
22.6S_y
mod
22.6
22.5
20.25
18
15.75
13.5
11.25
9
6.75
4.5
2.25
0
20.9524
18.8571
16.7619
14.6667
12.5714
10.4762
8.38095
6.28571
4.19048
2.09524
0
0.0
0.0
Figura 22: Flexión de una sección UPN200 bajo
Tz
constante. Tensiones de corte
En la Figura 22 se muestra la distribución de tensiones de corte. En la parte inferior de
la gura se han gracado los mapas de ambas componentes y el módulo. En tanto que en la
parte superior se muestra el ujo de las tensiones de corte en el ala superior y en la zona del
cuello.
A los nes de comparar con las fórmulas simplicadas resultantes de la aproximación
de Collignon-Jourasky en la Figura 23 se muestran perles de variación de las componentes
de tensiones de corte. A la izquierda se muestra la variación de la componente
coordenada
z
τxz
con la
a lo largo del alma en sus caras externa e interna. En la zona del alma se
observa la variación parabólica de las expresiones simplicadas en la zona de espesor constante
y luego una variación casi linea hasta 0 en los extremos. En la gura derecha se ha gracado
la componente
τxy
sobre el ala superior de la sección. La curva indicada como externa se
reere al borde superior del ala, en tanto que la línea indicada como interna corresponde
a la parte inferior del ala. En la zona recta del ala la variación es bastante parecida a una
lineal y son ligeramente diferentes entre los bordes hasta las cercanía de la zona de empalme
donde la tensión en el borde interno tiene un pico.
En el caso que la carga actúe según la dirección
y
el ujo de corte en el empalme de ala
y alma y la distribución de tensiones de corte resultan las presentadas en la Figura 24. Las
tensiones
τxz
son prácticamente nulas en las alas.
Finalmente en la Figura 25 se muestran los perles de tensiones
τxz
en (a) una línea a lo
largo de las caras del alma y (b)τxy a lo largo de las caras del ala superior . Puede verse que
24
100
12
zona curva
9
externa
interna
Interna
Externa
τxy
0
espesor constante
Z
50
6
3
-50
0
0
25
50
Y
-100
0
5
10
τxz
15
20
25
Figura 23: Flexión de una sección UPN200 bajo
τxy
31 S_x
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0.0
Tz
constante. Perles de tensiones de corte
τxz
|τ|
32.5mod
31.8S_y
31
27.9
24.8
21.7
18.6
15.5
12.4
9.3
6.2
3.1
0
28.0476
22.1429
16.2381
10.3333
4.42857
-1.47619
-7.38095
-13.2857
-19.1905
-25.0952
-31
-31.8
Figura 24: Flexión de una sección UPN200 bajo
25
0.0
Ty
constante. Tensiones de corte
100
30
externa
interna
exterior
Interior
25
Z
τxy
20
espesor constante
15
0
-100
-20
0
τxz
10
zona curva
5
0
-20
-10
0
10
20
Y
30
40
50
20
Figura 25: Flexión de una sección UPN200 bajo
Ty
constante. Perles de tensiones de corte
en el caso (a) se obtiene la distribución lineal salvo en la zona del empalme. El gráco (b)
muestra la variación esperada sobre la cara externa (recta), en tanto que en la cara interna
(curva) se puede ver el fuerte gradiente al llegar al empalme con el alma
Sometida a un momento torsor constante
It = 11,23cm4 (12.6 según otras
G = 100GP a y un giro por unidad de
De la tabla de perles se obtiene que
un módulo de elasticidad transversal
0,01[1/m].
tablas), para
longitud
θ =
Se tiene que el momento torsor resulta
Mt = GθIt = 100 × 109 × 0,01 × 11,23 × 10−8 [N m] = 112[N m]
y la máxima tensión de corte es aproximadamente
N
Mt
tmax = Gθtmax = 109 × 11,5 × 10−3
= 11,5 [M P a]
=
It
m2
τmax
La solución de la ecuación diferencial del alabeo conduce a los resultados mostrados en la
Figura 26, donde puede verse la forma en que alabea la sección y la distribución de ambas
componentes de corte y el módulo de las tensiones de corte. El momento torsor resulta
Mx = 122Nm
10 % mayor que el que indica la tabla del INTI (valores conservativos)
Para el caso tridimensional vamos a considerar el caso con empotramiento perfecto (u =
v = w = 0) en x = 0 y en el extremo x = L se aplicarán fuerzas equivalentes a la distribución
de tensiones mostrada en la Figura 26.
26
τxy Max=15.6
Alabeo
τxz Max=13.2
|τ| Max=16.6
Figura 26: Torsión de una sección UPN200 (Saint Venant)
En la Figura 27 se muestran resultados. Allí puede observarse resultados correspondientes
al empotramiento y para
x/L = 0,792
Las tensiones axiales (σx ) en el empotramiento no son nulas y su distribución es similar
a la forma del alabeo de la Figura 26 .
Las tensiones
τxy
en el empotramiento (a diferencia de la mitad de la viga) no se
equilibran en cada ala (en el ala superior hay una resultante negativa y en el ala inferior
una resultante positiva)..
Las tensiones
τxz
en el empotramiento son muy bajas comparadas con el resto de la
viga.
En el empotramiento el mecanismo que equilibra el el momento torsor resulta principalmente de las resultantes no nulas de las tensiones
τxy
en cada ala.
Finalmente en la Figura28 se muestra una vista de la viga deformada (magnicada) donde
se han pintado las tensiones axiales
σx
que aparecen en el empotramiento debido a la torsión
no uniforme. Estas tensiones tienen su mayor importancia en el empotramiento, a
x
mismo ( = 10) están han bajado a un 10 % de las máximas
b
27
0,9m
del
x/L=0
σx
x/L=0.0
τxy Max=1,37
x/L=0.0
τxz Max=1,0
x/L=0.79
τxy Max=15.3
x/L=0.79
τxz Max=11.7
Figura 27: Torsión de una sección UPN200 con alabeo restringido
X
Y
Z
Figura 28: Torsión no uniforme de una sección UPN
28