ÁLGEBRA INTERMEDIA II

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE
BAJA CALIFORNIA
ÁLGEBRA INTERMEDIA II
GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO
DE COMPETENCIAS
SEXTO SEMESTRE
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE BAJA
CALIFORNIA
LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR
DIRECTOR GENERAL
ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ
DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA
Edición, febrero de 2012
Reimpresión, febrero de 2013
Diseñado por:
Mtro. Rafael Iván Ayala Figueroa
Arq. Juan Ramón Islas Sambrano
Lic. Irma González Carrión
Mtro. José Alejandro Andalón Estrada
Actualizado por: Fís. Norman Edilberto Rivera Pasos
La presente edición es propiedad del
Colegio de Bachilleres del Estado de
Baja California, prohibida la reproducción
total o parcial de esta obra.
En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES
EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIÓN, Elvia Munguía Carrillo / Gerardo Enríquez Niebla.
Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión de
la Dirección de Planeación Académica y reproducido por la Unidad
de Diseño Grafico e Imprenta del Colegio de Bachilleres del Estado
de Baja California. Blvd. Anáhuac #936, Centro Cívico, Mexicali,
B.C., México
ÍNDICE
PRESENTACIÓN
JUSTIFICACIÓN
COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN
EL PERFIL DEL EGRESADO
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL
CAMPO DE MATEMÁTICAS
BLOQUE I.
RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA,
Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
DOS Y TRES INCÓGNITAS ................................................................ 2
BLOQUE II.
RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE
INECUACIONES LINEALES ............................................................. 24
BLOQUE III.
RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO
LA TRIGONOMETRÍA ...................................................................... 34
PRESENTACIÓN
¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico que
pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice
para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.
En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la
formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un mundo
cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transfiera las
competencias desarrolladas.
Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los docentes,
donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso ante la formación de los jóvenes bachilleres; mismo que se presenta en dos modalidades: Guías de
actividades para el alumno y la planeación didáctica para el docente y se podrán consultar en la página web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx en la sección de alumnos o en
docentes respectivamente.
JUSTIFICACIÓN
¿Cómo abordar las secuencias didácticas en Álgebra Intermedia II?
Las Secuencias Didácticas son la interpretación del Programa de Estudios para la
enseñanza-aprendizaje en las aulas, de acuerdo a las necesidades y características formativas del estudiante, así mismo expresan los métodos, técnicas, actividades y tareas
de aprendizaje y evaluación que los estudiantes desarrollarán durante el curso para
conformar el perfil de egreso.
Por otra parte, partiendo del propósito de formación que tiene Álgebra Intermedia I y II
como materia propedéutica , que es la de contribuir en la formación de las competencias
en los estudiantes que le permitan continuar estudios superiores, además de tener la finalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los
estudiantes, mediante procesos de razonamiento y estructuración de ideas que conlleven
el despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores como lo establece el Marco Curricular Común, esta materia es parte fundamental de los procesos de
evaluación externa a las que se somete el estudiante.
Por las temáticas y desempeños a lograr en el estudiante, expresados en cada uno de
los bloques que integran Álgebra Intermedia II, y considerando el periodo de aplicación
de la prueba ENLACE, se vio la pertinencia de elaborar las secuencias didácticas y abordar los bloques, de la siguiente forma:
1) Resuelves problemas empleando ecuaciones lineales con una incógnita, y sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
2) Resuelves problemas mediante inecuaciones lineales.
3) Resuelves problemas empleando la trigonometría.
Lo anterior con el propósito de apoyar el aprendizaje y retroalimentación de los estudiantes en las temáticas relacionadas a la prueba ENLACE, previo a su aplicación.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL
CAMPO DE MATEMÁTICAS
1.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para
la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7.
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos ma
temáticos y científicos.
DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE
CONCLUIR EL BLOQUE:





AL
Reconoce a una ecuación lineal como relación entre dos variables.
Aplica los elementos de una recta para
solucionar problemas y/o ejercicios de la
vida cotidiana.
Representa relaciones entre los elementos de diversas situaciones del ámbito escolar y cotidiano.
Emplea sistema de ecuaciones con dos
incógnitas para resolver situaciones de
la vida cotidiana.
Representa gráficamente un sistema de
ecuaciones.
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Solución de problemas relacionados con
ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:














2
Crea y expresa argumentos matemáticos.
Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos.
Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simbólico y formal, y viceversa.
Estructura el campo o situación que va a modelarse.
Interpreta los modelos matemáticos en términos reales.
Trabaja con un modelo matemático.
Maneja enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas.
Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de vías.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis
de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas.
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
ECUACIONES LINEALES
TARIFAS TELEFÓNICAS
La tarifa telefónica es la manera en la que se determina el costo de una llamada, el cual
está en función del tiempo que dura. Las diferentes compañías tienen distintas tarifas dependiendo de quién será el receptor de la llamada.
En la ciudad donde vive Alberto operan dos
compañías de telefonía celular. La compañía
MarcaTel tiene las siguientes tres tarifas
Tipo de llamada.
Tarifa*
Celular-Celular de la misma compañia.
$1.80
Celular-Celular de diferentes compañias $2.90
Celular-Telefono fijo.
$3.20
Cada Tarifa está dada por minuto.
Alberto es cliente de esta compañía y habla frecuentemente con su novia Angélica. El pago que hace a la compañía de teléfonos es únicamente por concepto de llamadas a su
novia. En ocasiones él le habla desde su celular al de ella que también tiene un celular de
la misma compañía, algunas ocasiones Angélica olvida su celular y Alberto le habla al celular de la mamá de Angélica el cual es de la otra compañía y otras veces Alberto habla al
teléfono fijo de la casa de Angélica. Durante el mes antepasado Alberto le habló desde su
celular al celular de Angélica 8.3 horas y 1 hora y 22 minutos al teléfono de su casa.
3
Alberto vio en televisión un plan de la otra compañía que ofrece 400 minutos a teléfonos
de la misma compañía, 200 minutos para hablar a celulares de MarcaTel y 50 minutos a
teléfonos fijos por $700. Con la condición de que si el usuario rebasa la cantidad de minutos en alguna de las modalidades se aplicarán las siguientes tarifas.
Tipo de lla m a da .
Celular-Celular de la m ism a com pañia.
Celular-Celular de diferentes com pañias.
Celular-Telefono fijo.
Ta rifa *
$1.60
$3.00
$3.10
*Cada Tarifa está dada por minuto.
Actividad 1.
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Cuáles son las gráficas de cada una de las tarifas del cuadro anterior?
b) Si Alberto hubiera tenido el plan de la otra compañía, ¿cuánto hubiera pagado en cada uno de estos tres meses?
Una tercera compañía llamada Celufon pretende entrar al mercado con tarifas que se
cobran por segundo. La propuesta tarifaria es como sigue.
Tipo de llamada.
Celular-Celular de la misma compañia.
Celular-Celular de diferentes compañias.
Celular-Telefono fijo.
Tarifa
$0.026
$0.051
$0.052
c) Tomando en cuenta lo que ha pagado Alberto en los últimos meses, ¿cuál es la
compañía que más le conviene?
4
Actividad 2.
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
¿Cuánto dinero pagó Alberto durante ese mes?
El siguiente mes hablaron 8 horas y 42 minutos entre sus celulares, 1.2 horas él habló
al celular de la mamá de Angélica y 1.3 horas hablo él a casa de ella. ¿Cuál fue el cobro?
El último pago que tiene que hacer Alberto es de $1404.5, él recuerda que habló al teléfono de Angélica 500 minutos pero también habló al teléfono de su casa y al de su
mamá, ¿cuántos minutos crees que pudo hablar a los otros números?
¿Cuáles son las ecuaciones que representan cada una de las tres tarifas?
5
TEMPERATURA EN MANCHESTER
En los países anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir la temperatura.
En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 32 oF, y el de ebullición a
212 oF. En México oficialmente se utiliza la escala Celsius en la que los puntos de congelación y ebullición del agua son 0oC y 100oC respectivamente.
Mariana tiene un amigo en Manchester, Inglaterra con el que suele platicar por Chat. Ella
ha planeado visitarlo en las vacaciones de primavera.
Mientras ella planea la ropa que llevará, se pregunta cómo será el clima en esa época de
año. Busca en Internet y encuentra la siguiente gráfica.
Mariana observa que la línea azul es la temperatura más baja que se ha registrado y la
roja la temperatura más alta en cada uno de los meses de año. Sin embargo la gráfica
está en grados Fahrenheit.
6
Actividad 3.
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
1.
¿Cuál es la ecuación que relaciona los grados centígrados con los Fahrenheit?
2.
Si Mariana decide viajar en el mes de abril, ¿cuál es la temperatura más baja y
más alta que puede esperar?
3.
¿Cuál es la temperatura más alta del año en grados centígrados?
4.
¿Cuál es la temperatura más baja del año en grados centígrados?
5.
Finalmente Mariana decide viajar en el mes de diciembre pero ya tenía decidido
qué ropa llevaría. ¿Tendrá que volver a pensar en el tipo de ropa que debe llevar?
7
Ejercicio: Tablas y Ecuaciones Lineales.
Fecha:___/____/201___
Nombre: _______________________________________
Grupo: _________
Instrucciones: Expresa cada una de las siguientes tablas como una ecuación lineal.
a)
X
1
2
3
4
y
5
8
11
14
Ecuación:
b)
Kilos
1
2
3
4
$
2.7
5.4
8.1
10.
8
Ecuación:
c)
Cantidad
$
3
94.5
4
126
5
157.5
6
189
Ecuación:
d)
o
8
o
K
300
C
27
325
350
375
52
77
102
Ecuación:
Ejercicio: Tablas y Ecuaciones Lineales.
Fecha:___/____/201___
Nombre: _______________________________________
Grupo: _________
Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes problemas. Supón que las situaciones se describen adecuadamente para funciones lineales.
a).
Si una compañía puede fabricar 8 relojes en 1,100 dólares y 22 de ellos en 16,400
dólares, ¿cuánto cuesta hacer x relojes?
b)
Si el valor depreciado de un sistema de computación es de $120,000 pesos al
término de su vida fiscal de 15 años y su costo inicial fue de $1´320,000 pesos,
¿cuál es su valor fiscal al cabo de x años?
c)
Si durante el primer año una compañía vendió 6,720 bicicletas y en el sexto año
vende 8,320, ¿cuántas vende en x años?
d)
Si la longitud de una varilla metálica es de 108.75 cm. a 25 oC y de 109.08 cm. a
36oC, ¿Cuál es su longitud a x oC?
9
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
EN EL SUPERMERCADO
En el pueblo, donde vive la señora Alma Rentería y
doña Josefa, acaban de inaugurar una tienda de
autoservicio. Entre algunas de las ofertas de apertura se encuentran los artículos de limpieza. La señora Alma piensa comprar 3 suavizantes para ropa
y 2 detergentes al precio de 57 pesos, y a los mismos precios, doña Josefa compra un suavizante y
5 detergentes el costo de $80 pesos. ¿Cuánto
pagó la señora Alma si finalmente llevó 4 suavizantes y 3 detergentes para su ropa?
10
1.
Si llamas “x” al precio del suavizante, “y” al precio del detergente, ¿cómo expre
sarías con ecuaciones las compras de las dos señoras?
2.
¿Qué métodos conoces para resolver sistema de ecuaciones?
3.
¿Hay alguno en especial que te parece más sencillo?
4.
Resuelve el sistema por el método que elegiste y compara los resultados obteni
dos con algunos de los compañeros que utilizaron otro método.
5.
¿Cuál es el precio de cada artículo?
Representación gráfica
Método gráfico en la resolución de un sistema de ecuaciones
En una promoción de la empresa donde trabaja Marcos, al de mayor puntuación se le
entrega un premio al fin de mes. Se entregan puntos si llegan a tiempo a trabajar o se
restan puntos si llegan unos minutos tarde. De tal manera que si un trabajador tiene un
retardo y un día llega a tiempo a trabajar obtiene – 2 de puntuación.
En una ocasión Marcos llegó un día tarde y tres días a tiempo obteniendo 12 puntos.
¿Cuántos puntos se descuentan por faltar en esta empresa?
Actividad
1.
Si llamas “x” a los puntos descontados por cada retardo, “y” a los puntos obteni
dos por llegar temprano, ¿cómo expresarías cada una de las dos ecuaciones?
2.
Expresa cada ecuación anterior a su forma y = mx +b (pendiente – ordenada al
origen) y grafícalas en un mismo sistema cartesiano.
3.
¿Cuál es la coordenada del punto de intersección de las dos rectas?
4.
¿Cuántos puntos se descuentan por llegar tarde al trabajo? ¿Cuántos se obtie
nen por llegar temprano?
5.
¿Cuántos puntos obtendrá Marcos si en un mes llega temprano 18 días y tiene 6
retardos?
11
Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método
gráfico.
Nombre:
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
_________________________________________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas graficando
cada ecuación del sistema en un mismo plano cartesiano. De la misma manera resuelve
los siguientes sistemas de ecuaciones.
12
1.-
Se tienen dos tipos de monedas, si 6 monedas de un tipo equivalen en valor a una
moneda de la otra denominación más un peso, y 5 veces el valor de la primera mo
neda equivale al valor de una moneda del segundo tipo, ¿cuántas monedas se tie
nen de cada una?
2.-
En un concurso de Ciencias competirán equipos integrados de la misma manera.
Serán 6 integrantes entre hombres y mujeres. n total 5 veces la cantidad de hom
bres equivale a 12 personas más que 4 veces la cantidad de mujeres, ¿cuántos
hombres y mujeres son en cada equipo?
3.-
3x – y = 5
8x – 4y = 4
4.-
2x = 16 – y
x–y =-1
5.-
3x + 2 = 2x – y + 4
3x – 2y = 1
6.-
3x + 3 = - y + 12
5x + y = - 4x + 4y - 9
Métodos analíticos en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
TODAVÍA EN EL SUPERMERCADO
Ya en la sección de frutas y verduras, la señora Alma compra
10 duraznos y 4 chabacanos, como el precio de estas frutas
era de tan solo $62 pesos decidió regresar a comprar otros 3
duraznos y 5 chabacanos pagando ahora a 30 pesos.
Doña Josefa había comprado 1 docena de manzanas y algunos plátanos. Ya anteriormente la señora Alma había comprado 3 manzanas y 1 plátano a un precio de 15 pesos.
Como ya había gastado más de lo que tenía, doña Josefa regresó 4 plátanos y compró otras 5 manzanas, pagando solamente $8 pesos.
Actividad 2.
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
1.-
Para las compras de duraznos y chabacanos, encuentra las ecuaciones que for
man el sistema de ecuaciones con la información dada.
2.-
Determina el costo de cada durazno y chabacano, utilizando el método de reduc
ción (suma-resta).
3.-
Para las compras de manzanas y plátanos, encuentra las ecuaciones que forman
el sistema de ecuaciones.
4.-
Determina el costo de cada manzana y plátano, utilizando el método de sustitución
5.-
¿Qué ventajas y desventajas encuentras con estos métodos analíticos en relación
al método gráfico?
13
Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por los métodos
analíticos (suma-resta y sustitución)
Fecha: ___/_____/201___
Nombre:
Grupo: _________
_________________________________________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
alguno de los métodos analíticos vistos en clase. De la misma manera resuelve los demás sistemas de ecuaciones.
1.- Si Patricia le da a Cecilia $1 ambos tienen lo mismo; y si Cecilia le entrega a Patricia
$1; Patricia tendrá el triple de lo que le queda a Cecilia. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
2.- Marcos para ir a su trabajo recorre cierta distancia, pero de regreso se viene por otro
camino ya que tiene que ir por su esposa Alma que se encuentra estudiando un curso de
repostería. De ida recorre 5 kilómetros menos que el doble de la distancia que viaja de
regreso. Si en total recorre 55 km, ¿qué distancia se desplaza de ida y cuánto de regreso?
3.-
2x – 3y = 12
x + 4y = - 5
4.-
6x – y = 10
9x - 4y = - 5
5.-
4x + 3 = - 2(- x -3) + 3y
3x = 14 – 5y
6.-
7.-
8.-
14
3x
 y  11
2
y
x 7
2
2x 3
 y 1
3 4
5x y
  2
6 8
3x – 4y = 1
3y = 12 – 2x
Regla de Cramer (Determinantes) en la resolución de sistemas de ecuaciones con
dos incógnitas.
CONOCIENDO A LA FAMILIA DE ALMA RENTERÍA
Alma es esposa de Marcos, sus hijos son Patricia, Arturo, Pepe y
Cecilia. Viven con ellos los padres de Marcos.
SUS EDADES
Entre Marcos y su padre tienen la edad de 92 años y su diferencia
de edad es 20.
Si a la edad de Arturo le sumamos 1, se obtiene el mismo número
que si a la edad de Pepe le restamos 1 y multiplicamos el número
obtenido por 2. Si a la edad de Arturo le restamos 1 se obtiene la
misma cantidad que si a la edad de pepe le sumamos 1.
DE VISITA AL MUSEO
La familia de Patricia fue el pasado fin de semana al museo. Por la entrada de 4 adultos
(sus papás y abuelos) y 4 niños (ella y sus hermanos) pagaron 220 pesos. El día de hoy
piensan ir otra vez al museo, pero esta vez la promoción consiste en que los abuelos no
pagan entrada y Pepito que tiene menos de 6 años tampoco pagará. De esta manera el
costo de la entrada será de $130.
Actividad
1.-
Para determinar la edad de cada integrante forma sistemas de ecuaciones y re
suélve los por el método de determinantes.
2.
El primer sistema será para determinar la edad de Marcos y su padre, el segundo
sistema será para determinar la edad de Arturo y Pepe.
3.-
¿Cuál es la edad de cada uno?
4.-
Forma un sistema de ecuaciones con la información dada sobre los costos de bo
letos en el museo. Determina el valor de las variables mediante el método de de
terminantes.
5.-
¿Cuál es el precio del boleto en día normal para niños y adultos?
15
Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método de
determinantes.
Nombre: ________________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando
el método de determinantes. De la misma manera resuelve los demás sistemas de
ecuaciones.
1.-
El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es –
1, ¿cuáles son dichos números?
2.-
Doña Cuca para su tienda de dulces compró paletas de dos tamaños distintos,
una que le costó $2 y otras de $6, pagando un total de #352 pesos. En la caja se
indica que son por los dos tipos 80 paletas. ¿Cuántas paletas son de cada una?
3.-
3x + 2y = - 6
5x - 2y = - 10
4.-
2x – 3y = - 7
5x + 4y = 17
5.-
5x + 7y = 6
10x - 3y = 46
6.-
2x = 3 – 9y
5x + 8 = - 7y
7.-
3x y
 5
2 3
5x 2 y

 12
2
3
8.-
4x y
  2
5 4
x y
 0
5 8
9.-
16
1

x
5

x
3 16

y 5
4
5
y
Ejercicio Integrador: Sistema de ecuaciones 2 x 2
Fecha: ___/_____/201___
Integrantes: __________________________________
___________________________
_____________________________________
Grupo: _________
Equipo:_________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando
el método que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones.
1.-
¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene 72 cm de perímetro si la
base es 3 cm mayor que la mitad de la altura?
2.-
La edad de Santiago excede en 13 años a la edad de Luis, y el doble de la edad
de Luis excede en 29 años a la edad de Santiago. ¿Qué edad tiene cada uno?
3.-
A las hermanas Sofía y María les gusta intercambiar sus blusas. Si Sofía le pres
ta a María dos de ellas ambas tendrían lo mismo, y si María le presta a Sofía 2
blusas entonces Sofía tendrá el triple de lo que le quede a María. ¿Cuántas blu
sas tienen cada una?
4.-
Durante 6 días seguidos Jorge trabajó en un supermercado empacando mer
cancía, la misma cantidad de horas por día. A la siguiente semana disminuyó el
trabajo y sólo pudo trabajar 5 días y menor cantidad de horas por día, acumulan
do 63 horas en ambas semanas. Si la cantidad de horas trabajadas por día de la
segunda semana es equivalente a 21 horas menos que el triple de la cantidad de
horas trabajadas por día en la primera semana, ¿cuántas horas diarias trabajó
cada día de la primera semana?
5.-
¿Cuántos kilómetros corren Carmina y Antonio, si tres veces el recorrido que rea
liza Carmina más 2 veces el recorrido que hace Antonio equivale a 42 kilómetros
y el triple del recorrido de Carmina es la misma cantidad que 4 veces el recorrido
de Antonio más 24 kilómetros?
6.-
En una caja se tienen varias canicas entre rojas y azules. Si sacamos 3/7 de las
canicas azules y 3/8 de las canicas rojas tendríamos fuera de la caja 15 canicas.
Las volvemos a meter y dentro de la caja si a las 2/3 partes de las canicas rojas
le restamos las 3/4 partes de las canicas azules tendremos solamente dos.
¿Cuántas canicas de cada una tenemos?
17
CAMBIANDO PESOS POR DÓLARES
Marcos trabaja en una casa de cambio. Durante la primera hora de trabajo puso a la
venta 880 dólares en billetes de 5, 10 y 50 dólares. La suma total de billetes vendidos
fueron 44 y los billetes de 10 fueron dos veces la cantidad de 50 dólares.
En la siguiente hora Marcos puso a la venta menos
cantidad de billetes. De tal
manera que 5 veces la cantidad de billetes de $5 dólares más 10 veces la cantidad de billetes de $10 son
35 billetes más que 5 veces
la cantidad de billetes de
$50. Pero la cantidad de
billetes de $5 más 5 veces
la cantidad de billetes de
$50 equivale a 40 billetes
más que los billetes de
$10. Además, los billetes
de $5 más 21, es la misma
cantidad de billetes que el doble de la suma de billetes de $10 y $50 dólares.
¿A cuánto equivalen los dólares vendidos en la segunda hora?
Actividad 2.
18
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
1.-
Para determinar la cantidad de billetes de las tres denominaciones se deben for
mar sistemas de ecuaciones de tres incógnitas.
2.-
Asigna una literal para cada una de las cantidades de billetes de diferente deno
minación. Forma el primer sistema de ecuaciones con la primera información pro
porcionada. ¿Cuántas ecuaciones debes tener?
3.-
Toma una pareja de ecuaciones con tres variables y aplicando el método de re
ducción elimina una de ellas. ¿Cuál es la ecuación resultante?
4.-
Toma ahora otro par de ecuaciones de tres variables y utilizando también el
método de reducción elimina la misma variable. ¿Cuál es la ecuación resultante?
5.-
Ambas ecuaciones si las reúnes forman un sistema de ecuaciones que de igual
manera se puede resolver por un método analítico. ¿Cuáles son los valores para
ambas variables?
6.-
Ambos valores sustitúyelos en cualquiera de las ecuaciones que tienen tres
incógnitas. ¿Cuántos billetes son de cada denominación?
7.-
De la misma manera forma un sistema de ecuaciones con la información dada
sobre la venta de dólares en la segunda hora. Determina el valor de las variables
mediante el método analítico desarrollado anteriormente.
8.-
¿Cuántos billetes son de cada denominación?
9.-
¿En cuál de las dos horas obtuvo mayores ganancias en la venta de dólares?
19
Actividad 2
Realiza una investigación bibliográfica o en páginas electrónicas acerca del método de
determinantes, con expansión de columnas.
Realiza el ejercicio de la venta de dólares en la primera hora de trabajo de Marcos, utilizando el método de determinantes.
¿Crees que este método es más sencillo que un método analítico como el de reducción
- sustitución?
¿Cuáles son sus ventajas y cuáles sus desventajas?
Entrega el reporte escrito a tu profesor.
Ejercicio: Solución de un sistema de ecuaciones de tres
incógnitas
Fecha:___/_____/201___
Nombre: ________________________________________
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
el método indicado.
Analítico.
1.- En un banquete hay 43 personas entre hombres, mujeres y niños. En total el banquete costó $1,075 pesos. Cada hombre pagó $45 pesos, cada mujer $30 pesos y cada
niño $15 pesos. Si el número de hombres y mujeres es igual al número de niños menos
1, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
2.-
20
x  3 y  2z  1
2x  y  z  2
x yz 2
3.
2 1 1
  3
x y z
4 1 2
    1
x y z
1 1 3 5
  
x y z 2
Determinantes
1.-
2.-
Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. Si la edad del padre es la edad
del hijo, las edades del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces la edad del hijo
excede en 10 años la del abuelo.
2x  y  z  8
3x  2 y  z  4
x  y  z  14
3.-
x yz 2
2x  y  z  5
x  y  z  2
21
Ejercicio Integrador: Sistema de Ecuaciones 3 x 3
Integrantes: ___________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
______________________________________________ Equipo:_________
______________________________________________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
el método que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones.
1.- Patricia se fue de compras navideñas. Por la
envoltura pagó $5 pesos por cada regalo para sus
abuelos, $1 peso por la envoltura de los regalos de
sus hermanos y $3 pesos por las envolturas de los
regalos de sus papás, pagando en envolturas $17
pesos.
Por los moños le cobraron $2 pesos por cada regalo de los abuelos, $2 pesos por cada regalo de los
hermanos y $1 peso por los regalos de los papás,
pagando en moños $16 pesos.
Si el número de regalos para los hermanos es el
triple que el de los papás. ¿Cuántos regalos
compró en total y cuántos para cada uno?
2- Ricardo, Rubén y Ramiro compraron sus útiles
escolares en la misma papelería. Ricardo compró
tres lápices, dos plumas y cuatro cuadernos, pagando $34 pesos; Rubén compró dos lápices, una
pluma y un cuaderno y pagó $14 pesos; Mientras que Ramiro pagó $24 pesos por cuatro lápices, dos plumas y un cuaderno, ¿Cuál es el precio de cada uno de los artículos
que compraron?
3.- Una caja contiene clavos tornillos y tuercas. El número de clavos es el triple que el
de tornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. ¿Cuántos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja si en total suman 1,872 objetos?
4.- Entre María, Marcela y Marcelo tienen $140 pesos. Marcelo tiene la mitad de lo que
tiene María, y María $10 pesos más de lo que tiene Marcela. ¿Cuánto tienen cada una?
5.- La suma de tres números es 300. La suma de dos de ellos es igual a la mitad del tercero y su diferencia es igual a la cuarta parte del tercero. ¿Cuáles son los números ?
22
RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES LINEALES
Desempeños a demostrar:


Aplica las desigualdades para
comparar dos variables.
Aplica las desigualdades en la
toma de decisiones.
Objetos de aprendizaje
Solución de problemas relacionados con inecuaciones
lineales.
BLOQUE
II
RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE
INECUACIONES LINEALES
Competencias a desarrollar:

Crea y expresa argumentos matemáticos.

Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos.

Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simbólico y formal, y viceversa.

Estructura el campo o situación que va a modelarse.

Interpreta los modelos matemáticos en términos reales.

Trabaja con un modelo matemático.

Maneja enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas.

Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de
vías.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso
de las tecnologías de la información y la comunicación.
24
RENTA UN AUTO
José, Claudia y Mónica son tres viajeros que necesitan rentar un auto en el aeropuerto.
Las empresas “RentasAuto” y “SuperRentas” compiten por los clientes que desean rentar
un auto en el aeropuerto. Cada una de ella tiene su propia tarifa
RentasAuto cobra por la renta de autos medianos, $300.00 más $3.00 por cada kilómetro
recorrido, mientras que SuperRentas cobra por renta de autos medianos, $240.00 más
$3.5 por cada kilómetro recorrido
Actividad 1
1.
Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.
¿Cuál es la ecuación matemática que representa el cobro de cada empresa?
25
26
2.
José decide rentar un auto a RentasAuto. Piensa viajar al menos 120 Km, ¿cuál es
la cantidad mínima de dinero que deberá pagar?
3.
Si José piensa invertir cuando más $930 en la renta del auto, ¿cuál es la cantidad
máxima de kilómetros que podrá viajar?
4.
Claudia renta su auto en SuperRentas y también tiene la intención de pagar máxi
mo $930, ¿quién puede viajar más por esa cantidad de dinero, Claudia o José?
5.
Mónica va a viajar entre 90 Km y 180 Km ¿Cuál es la cantidad de dinero mínima y
máxima que deberá pagar si renta su auto en SuperRentas?
6.
Al final Mónica viajó menos de lo esperado, 83 Km. ¿Si hubiese rentado el auto en
la otra empresa hubiera pagado menos?
7.
Claudia viajó mucho más de lo esperado, 271 Km. ¿Cuánto más se excedió de lo
que ella había presupuestado? ¿Hubiera sido mejor rentar el auto en la otra empre
sa?
Ejercicio: Inecuaciones lineales.
Nombre: _______________________________________
Fecha:___/____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios.
A)
x  3  10
27
B)
C)
D)
E)
28
x47
3 x  3  21
2 x  3  10  x
2 x  7  5x  3
3.7 x  1.8  4.9
F
G).
Si
4.7 x  3.1  z y
0  x  5 ¿entre qué valores puede oscilar z ?
H).
Si 7.1r  6.1  A y 1  A  3 ¿entre qué valores puede oscilar r ?
29
Ejercicio: Aplicaciones de Inecuaciones lineales.
Nombre: _______________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes problemas. Supón que cada situación se describe adecuadamente para funciones lineales.
A)
Si F y C son grados en las escalas Fahrenheit y Celsius, respectivamente. Se sabe
que F = 1.8C +32. ¿Qué valores de C corresponden a 68 ≤ F ≤ 86?
B)
Supón que la fuerza F necesaria para deformar cierto resorte una distancia x es
F=6.5x. ¿Qué valores de F harán que 1/8 ≤ x ≤ 7/8?
C)
Supón que las resistencias R, R1, R2 satisfacen la ecuación:
1 1 1
 
R R1 R2
30
Si R1=15, determina los valores de R2 que hacen R≤10.
D)
Una furgoneta pesa 875 Kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el
peso de la carga que lleve no debe ser superior que 415 Kg. Si hay que car
gar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de
ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?
E)
Un padre y su hijo se llevan 22 años de diferencia. Determinar en qué período de
sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.
31
32
F)
Un automóvil se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre
100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del carro al punto de
partida al cabo de 3 horas?
G)
Una fábrica paga a sus vendedores $10 por artículo vendido más una cantidad fija
de $500. Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas.
¿Cuántos artículos debe vender un empleado de la competencia para ganar más
dinero que el primero?
RESUELVES PROBLEMAS
EMPLEANDO LA TRIGONOMETRÍA
DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR:

Aplica las razones trigonométricas en problemas reales o hipotéticos.

Aplica la ley de senos y ley de cosenos en problemas reales o hipotéticos.
OBJETO DE APRENDIZAJE

Solución de problemas relacionados con las
razones trigonométricas

Solución de problemas relacionados con las
leyes trigonométricas
BLOQUE
III
RESUELVES PROBLEMAS
EMPLEANDO LA TRIGONOMETRÍA
Competencias a desarrollar:


35
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de
situaciones reales o hipotéticas.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
SOMBRA DE UN VASO
En un COBACH de Baja California, se encuentran dos muchachas Yolis y Tere disfrutando de una soda en su horario de receso. De repente, Yolis se da cuenta que la sombra del vaso aumentaba al caer el atardecer y le comenta a Tere sobre su observación.
Entonces Tere dice que lo que el profesor explicó en la clase de trigonometría sobre las
relaciones que existen en un triangulo rectángulo, eran ciertas .
Figura 1.
(X es el ángulo de elevación en el triángulo rectángulo formado en la figura 1)
De lo anterior, Tere y Yolis necesitarán de tu ayuda para contestar las siguientes preguntas:
1.-
¿De quién dependerá el valor del ángulo de elevación X en la figura 1?
2.-
¿Qué pasa con el valor del ángulo X al aumentar la sombra del vaso? Y ¿en caso
contrario?
3.-
Escribe las 6 relaciones trigonométricas que se pueden establecer entre los la
dos del triángulo rectángulo y el ángulo X.
4.-
¿Qué relación trigonométrica se utilizaría para calcular el valor del ángulo X, da
da la longitud de la sombra y altura del vaso?
36
5.- ¿Cuál sería el valor de la longitud de la sombra si el ángulo de inclinación X vale 30
grados?
Ejercicio: Solución de problemas relacionados con
triángulos rectángulos.
Nombre: _____________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
una función trigonométrica. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de
37
1.-
Una escalera eléctrica debe ascender a una altura del piso de 20 pies, con un
ángulo de elevación de 30º respecto al piso. ¿Qué longitud tendrá la escalera?
2.-
Goku se prepara para un enfrentamiento con uno de sus enemigos. Si en cierto
momento del día, la longitud de su sombra es igual a la longitud de su altura.
¿Cuál sería el ángulo de elevación respecto al piso?
3.
Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 m del nivel del mar. Descubre a
una persona que necesita su ayuda, a un ángulo de depresión de 60º. ¿A qué
distancia de la base de la torre se encuentra esa persona?
4.-
Un helicóptero se mantiene a una altitud constante de 300 m y pasa directamente
por encima de un observador. Después de un minuto, el observador ve el
helicóptero con un ángulo de elevación de 65º. Determina la distancia que reco
rrió el helicóptero al cabo de un minuto.
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen65o = 0.9063
Cos65o = 0.4226
Tan65o = 2.1445
5.-
Una palma proyecta una sombra de 18.7 m de largo. Si el ángulo que se forma
desde el final de la sombra hasta el punto más alto de la palma es de 48º. ¿Cuál
es la altura de la palma?
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen48o = 0.7431
Cos48o = 0.6691
Tan48o = 1.1106
38
No.
6
7
8
9
10
39
Ejercicio
Desarrollo
Ejercicio Integrador: Solución de problemas con
triángulos rectángulos.
Nombre: _________________________________________
Fecha: ___/____/201___
Grupo: _________
Instrucciones:
1.- Calcula la longitud de la variable “x”
2.-
Resuelve los siguientes problemas.
a) Si un cono tiene una base con diámetro 8.4 cm y altura 8.5 cm, ¿cuánto mide
el ángulo generador del cono?
40
b)
Una escalera de 8.5 m de largo está apoyada en la cornisa de una casa. Si la
cornisa está a 7.5 m de altura, ¿Cuál es el ángulo que forma con la escalera con
el suelo?
c)
Un poste de 5m se fija con un tirante de 7m ¿Cuánto mide el ángulo que forman
el tirante y el poste?
d)
La altura de un triángulo isósceles es 16 cm y uno de los ángulos iguales mide
30°. Calcula el área del triángulo.
e)
Desde un barco se ve un faro hacia el este, y hacia el noreste, en un ángulo de
30°, una casa. Si se sabe que la distancia de la casa al faro, yendo hacia el sur,
es 2.5 kilómetros, ¿Qué distancia hay del barco al faro?
f)
41
Si una persona se coloca a 240 m de la base de la Torre Eiffel, ve la punta de la
estructura a un ángulo de elevación de 53°. Calcula la altura de la Torre Eiffel.
Sen53o = 0.7986
Cos53o = 0.6018
Tan53o = 1.3270
RALLY ESCOLAR.
En un Rally escolar, la última fase para ganar el concurso consiste en que un integrante
de los 2 últimos equipos deberá tomar un banderín y regresar a su lugar. Si los integrantes están separados 8 metros del banderín como se muestra en la figura. ¿a qué distancia de separación se encontraban los participantes?
A
B
Con base a la situación planteada, contesta las siguientes preguntas
1.-
Para encontrar la distancia entre A y B, ¿puedes utilizar las funciones senC, Co
sC y tanC? ¿Por qué?
2.-
egún tus conocimientos anteriores de trigonometría ¿que ley sugieres para hallar
la distancia entre A y B?
3.-
¿Cuales son los criterios que debes tomar en cuenta para utilizar la ley de Senos
o ley de Cósenos en la resolución de triángulos oblicuángulos?
4.-
¿Calcula la distancia de separación entre los participantes?
42
Ejercicio: Solución de problemas relacionados con
triángulos oblicuángulos.
Nombre: ________________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
la ley de Senos o Ley de Cosenos. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de triángulos oblicuángulos (los valores de ángulos básicos se obtendrán por
1.tud
Un poste inclinado con respecto a la vertical en un ángulo de 10° tiene una longide 6 m. Es sostenido por un tubo de 8.4 m enganchado desde la parte superior.
¿Con que ángulo de elevación se debe asegurar el tubo en el piso?
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen80o = 0.9848
Cos80o = 0.1736
Tan80o = 5.6712
2.- La distancia por aire entre Mexicali (A) y Culiacán (B) es de 1.1 km, la de Culiacán a
Monterrey (C) es de 0.6 km, y la Monterrey a Mexicali, de 1.3 km. Obtener la expresión
trigonométrica que permite calcular el valor de cada ángulo del triangulo de la situación
planteada.
43
3.
Las manecillas del reloj tienen 4 y 5 cm de largo respectivamente. Si el reloj mar
ca exactamente las 12:10 pm, en ese momento, ¿a qué distancia se encuentran
separadas las puntas de las manecillas? ¿Si bien es cierto que para el ángulo se
puede obtener una aproximación, ¿cómo podría encontrarse el valor exacto si la
diferencia es de 10 minutos?
No.
4
Ejercicio
Desarrollo
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen40o
Cos40o
Tan40o
=
=
=
0.6427
0.7660
0.8390
5
6
44
11
12
13
14
45
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
Sen10- Cos10- Tan100o
= 0o = - 0o = 0.9848 0.1736 5.6712
Ejercicio Integrador: Solución de problemas relacionados con triángulos oblicuángulos.
Nombre: _________________________________________
Fecha: ___/_____/201___
Grupo: _________
Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando
la ley de Senos o Ley de Cósenos. En el caso de encontrar un valor de un ángulo, redondearlo al valor entero de un ángulo básico.
1.-
Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de ob
servación en Phoenix y Los Ángeles, a 340 millas de distancia. En un instante
cuando el satélite está entre esas dos estaciones, simultáneamente observa que
el ángulo de elevación es de 60º en Phoenix y de 75º en los Ángeles, ¿A qué dis
tancia está el satélite de Los Ángeles? En otras palabras, encuentra la distancia
AC en la siguiente figura.
2.
Resuelve el triángulo de la siguiente figura.
Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas
46
Sen20o = 0.3420
Cos20o = 0.9396
Sen25o = 0.4226
Cos25o = 0.9063
Sen135o = 0.7071
Cos135o = -0.7071
3. Encuentra el ángulo B en el triángulo ABC, donde el
ÐA
= 45º , a = 7 2 , y b=7.
4.- Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río, una topógrafa selecciona los
puntos A y B que están separados 200 pies en un lado del río (véase la figura). Entonces ella escoge un punto de referencia C del lado opuesto del río y determina que
Ð BAC = 75 o
, y
(Sen75°=0.9659)
Ð ABC = 45 o
. Calcule aproximadamente la distancia de A a C.
5. Encuentra la distancia entre los puntos A y B en los lados opuestos de un lago a partir de la información que se da.
47
6. Se piensa construir un túnel a través de una montaña. Para estimar la longitud del
túnel, un topógrafo toma las medidas que aparecen en la figura siguiente. Utiliza los datos
del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.
7.
Un observador naval, desde el puente de un barco, ubica a otros dos barcos a
3800 y 4200 pies respectivamente. El ángulo entre las dos líneas visuales es de
30º. Estima la distancia entre los barcos observados.
48
8.- Encuentra el ángulo básico aproximado en la siguiente figura.
49