RESONANCIAS EN MECANICA CUANTICA

Revislll Mexicana de Física 28 no.]
(1982) 295-317
¡;(Ingreso
2 SIS
re~isi(in
RESONANCIAS EN
MECANICA CUANTICA
Arturo Cisneros S.
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto PoI itécnico Nacional
Héxico, D.F.
Harold V. Mclntosh
Instituto de Ciencias. Universidad
Autónoma de Puebla
Puebla, Pue.
RESINE."
Se presenta una discusión de la naturaleza de las resonancias en
mecánica cuántica desde el punto de vista de la teoría espectral de operadores. Para el caso de las resonancias de Bohr-Feshbach, se ilustra la teoría en gráficas que muestran el decaimiento de un estado meta estable doblemente excitado y la excitación de la resonancia por una partícula incidente
oon la energía adecuada. Se da una caracterización de las resonanrias y un
procedimiento para el cálculo de anchos mediante la función de densidad espectral. Se establece una condición suficiente para que una resonancia de
Bohr-Feshbach tenga la forma Breit-Wiqner.
296
ABSTRACf
A discussion of the nature of quanturn mechanical resonances is
presented froro the point of view of the spectral theory Di operators.
In
the case of Bohr-Feshbach resonances, graphs are presented to illustrate
the theory showing the decay of a doubly excited metastable state and the
excitation of the resonance by ao incident particle with proper energy. A
characterization
of resonances is given as well as a procedure to determine
widt~s using the spectral density function. A sufficient condition is
given for the validity oE the Breit-Wigner formula for Bohr-Fesbach
resonances.
Fn sistemas cuánticos se conocen dos tipos de resonancias o estados metacstables; estas son las resonancias de fo~~ y las resonancias
de Bohr-Feshbach. Las resonancias de forma, como su nombre 10 indica se
presentan por la forma del potencial el cual puede tener bordes que mantienen a lma partícula temporalmente dentro de una región limitada del e~
pacio. I~s resonancias de Bohr-Feshbach se presentan en problemas de muchos cuerpos y se deben a la interacción entre las partículas. Un estado
excitado colectivo que sería ligado en ausencia de la interacción resulta
no ser estacionario en presencia de la interacción si hay suficiente ene!
gÍa para expulsar a una o más de las partículas cayendo las otras a un ni
vel más bajo.
Un potencial que muestra resonancias de forma es el considerado
por Camow(l) y por Gurney y Condon(2) para explicar algunos aspectos de la
emisión de partículas alfa por núcleos. Estos trabajos son de importancia
histórica ya que constituyeron la primera aplicación exitosa de la mecánl
ca cuántica al núcleo, al explicar la regla experimental de (~iger-Nuttal.
El potencial se muestra en la Fig. 1. En el interior del núcleo se supone
a la partícula en un potencial constante,
y
fuera de él la partícula se en
cuentra afectada por el potencial de Coulomb. La inversa del tiempo de con
finamiento de la partícula dentro del núcleo se calcula, para una energía
E, multiplicando el coeficiente de transmisión por el número de veces por
unidad de tiempo que la partícula choca contra la barrera. De esta manera
se establece la ley de Ceiger-Ntittal. Sin embargo, no se explica por qué
los estados metaestables aparecen solamente a ciertas energías. La teoría
de los estados virtuales explica esto. Una discusión rle la teoría de los
297
Fig.
1
Potencial
considerado
para
el problema
de emisión
de partículas
alfa por núcleos.
estados virtuales
Nuclear
se puede encontrar
dado por Fermi (3).
en una dimensión
(Fig. 2a.).
afectada
en las notas de un curso de Física
Fermi trató primero
por un potencial
el caso de una partícula
tipo barrera
Se supone que los parámetros
cuadrado
V(x)
son tales que existe cuando me-
nos un estado ligado de energía Eo para el potencial escalón V' (x) (Fig.
2a.) COI1 la condición de frontera ~(O) = O. La función de onda de este
estado ligado se ilustra en la Fig. 2b.
espectro
de energías
siguiente
es continuo
desde cero, sin embargo,
para el caso en que el coeficiente
para la energía
tra un mínimo
E
o
E es ligeramente
ma1ización
Se encuentra
es pequeña.
mayor a E
menor a E
o
o
se encuentra
la razón de la amplitud
o
=
haciendo
O)
r2/4 )-1.
+
mues
(Fig. 2e).
la función de la Fig. 2e.
que cerca de E
en el estado descrito
o
la nunción de la Fig. 2d Y si
es tal que la amplitud
se prepara
10
de la barrera
externa a la interna
se encuentra
tiene forma lorenziana, o sea ( (E-E )2
~(x,t
de transmisión
de estas funciones
o
se encuentra
La función de onda para E cerca de E
en la razón de la amplitud
Si E es ligeramente
sistema
Regresando al potencial V(x), el
La nor
interna es constante.
interna
a la externa
Si al tiempo t
= O el
por la función u(x) de la Fig. 2b,
= u(x), se puede determinar su desarrollo en el tiempo ~(x,t)
una expansión
en términos
ciones que más contribuyen
de los estados estacionarios.
a esta expansión
son aquellas
Las fun
que tienen una r~
298
v
V'
al
bl
el
di
el
Fig.
2.
al Potencial
energía
barrera
E
b) Eigenfunc~ón
douJe
u(x)
V que tiene
el potencial
para
estados
metaestables
el estado
ligado
de energía
cíal v'.
c), d),
E .
o
e) Eigenfunciones
cerca
escalón V' tiene un estado
E
del
de la
ligado.
poten
o
para
el potencial
V cerca
de la energía
-
299
lación de amplitud
interna a externa
grande.
esto corresponde
a un ancho
de energía r alrededor de Ea
Si se hace la pregunta: ¿Si al tiempo
t = O se prepara al sistema en la función u(x), cuál es la probabilidad
de que después
el tiempo
de transolrrido
t
la configuración
sea la descrita por la mis~lfunción u(x)?
Se debe hacer la aclaración
de que el resultado
se puede extender
el decaimiento
depende
de las aproximaciQ
y de suponer que la integral que se hace sobre la función
nes mencionadas
bastante
(1)
1jJ(x,t»12 = e-rt .
I<u(x) I
lorenziana
del sistema
I~ respuesta es
hasta
:t
En rigor. para tiempos pequeños
<Xl.
no tiene forma exponencial.
El resultado
es, sin embargo,
bueno en muchas aplicaciones.
Después
de la anterior
ción de las resonancias
introducción
presentaremos
de forma en términos de la teoría espectral
radores.
Esta teoría da origen a una descripción
pendiente
de cualquier
los detalles
aproximación.
matemáticos
Consideremos
una descrip-
el potencial
ciones de frontera urO)
u(L)
mostrado
no será rigurosa;
en las Refs. 4 y 5.
en la Fig. 3a. con las condi
= O. El haffiiltoniano
d2
H = - --+ V(x)
dx2
tiene un conjunto
ind~
de las resonancias
La presentación
se pueden encontrar
de o~
(2)
infinito de eigenfunciones
u.(x) correspondiente
al con
)
junto discreto
de eigenvalores
ción nroporcional
.
Oiremos
wj.
Sea uj normalizada
y sea
Uj una fun-
en la reg ión x < x a .
de frontera unitarias.
r~tonces
a u.J que tiene ampl itud unitaria
que Ü. satisface
condiciones
)
uj
=
uj
hj
(3)
donde h. no depende de x. Fn la Fig. 3b se ilustran dos de estas funcio)
nes u .. Se define la función espectral p(w) como aquella función que es
J
-------constante para w 1 w. y tiene saltos de magnitud Ih.12 en w. (Fig. 4).
J
J
La función p(w) tendrá saltos grandes
la función u. tiene una razón grande de la amplitud
externa.
J
La región de una resonancia
donde p(w) está creciendo
Es fácil demostrar
rápidamente.
que se satisfacen
J
Ihjl2 para valores de wj tales que
corresponderá
Tomemos
interna a la amplitud
a la región de energía
ahora el lLmite L ~
las relaciones
de escalamiento
00
300
(4 )
w
j+1
-
W
j
'\,
(5)
1/L.
Fn este límite la función p(w) convergerá a una función derivable, que se
guiremos llamando p(w) ilustrada por la función derivable de la Fig. 4.
La derivada de la función espectral está dada por
Ih 12
~=
lrloCO
y
(6)
lim ~
I:::.w
se llama función de densidad esncctral.
a:
x
O
Fiq. 3. al Potencial V(x) arbitrario tipo barrera que muestra
de forma.
b) Eigenfunciones para el potencial V(x).
resonancias
Se podrá decir. que el potencial V(x) tiene resonancias c~~ndo
la función de densidad espectral tiene uno o más máximos relativamente angostos. Una resonancia será un estado no estacionario dado como una supc£
posición de estados estacionarios con un conjunto de coeficientes proporciQ
301
nal a la función de densidad espectral.
Si al tiempo t
= O se prepara al
sistema en uno de estos estados, la probabilidad f(t) de encontrarlo en la
misma configuración
después
de transcurrido
el tiempo
cuadrado de la transformada de Fourier-Stieltjes
t
está dada por el
de la función de densidad
espectral:
f(t)
=
2
Ife-iwt
d p(w)
1
(7)
w.
]
Fig.
4
Función
espectral
mostrando
la forma
característica
en
la región
de
una resonancia.
En muchos casos se encuentra
ción de densidad
ziana.
espectral
dp/dw
se
que en la región del máximo
la fun-
aproxima muy bien a una función lore~
Fn esos casos el decaimiento será aproximadamenteexponencial.
Sin
embargo el procedimiento nos permite caracterizar resonancias de cualquier
forma. se aproximen
o no a la fonna
lorenziana.
Este método se aplicó con éxito por primera vez por Hehenberger,
~tlntosh y Brandas(S)
al cálculo de los anchos de estados metaestables
el efecto Stark del átomo de hidrógeno
ca.
para campos grandes
en
a escala atómi-
302
Pasamos ahora al análisis de las resonancias de Bohr-Feshbach.
Para ilustrar
muestra
les.
la teoría se analizará
claramente
el efecto conservando
Consideremos
el problema
cirado, el hamiltoniano
H (x) = -
o
un ejemplo de los más simples que
d2
dx2
esenci~
todas las características
de una partícula
en un pozo de potencial cu~
es
+ V(x)
(8)
donde usamos unidades tales que h = 1, m = 1/2. El potencial particular
que usamos es de profundidad Vo
-12 y ancho 2 (Fig. 5). Imponernos las
condiciones de frontera w(!R) = O para R grande en comparación al ancho del
pozo. El espectro es discreto, pero el espaciamiento de niveles es muy fi
no para energías
R ~oo).
positivas
y lo llamaremos el "continuo" (lo es para
Hay tres estados ligados de energía
Eo
•
=
-10.53,
E,
=
Y
-6.33
E2 = -0.63 (Fig. 5) correspondientes a las eigenfunciones normalizadas
W, y w2" Las eigenfunciones del continuo serán designadas \~n'
I
WO'
I
R
R
t=tEo
Fig.
5
Potencial
pozo
Consideremos
satisfacen
ción, y en
partículas.
lI(x,y)
=
ligados.
de dos partículas
idénticas
que
+
Ho (y)
del problema
+
me-
g ó(x-y); g es la fuerza de la interac-
de la función delta aparece
El hamiltoniano
= Ho (x)
niveles
de Base dentro del mismo pozo y que interactúan
de contacto
el argumento
Cuando g
con tres
ahora el problema
estadística
diante el potencial
cuadrado
la distancia
entre las
es
(9)
gó(x-v)..
O el problema
es separable
y podemos
determinar
las
ci~enfunciones,
éstas son productos directos simetriz3l10s de las cigenfull-
ciones de una partícula y las energías son 13s stunas correspond ¡entes.
En principio el problema con interacción (g 1- O) se podría resol
ver de la siguiente manera: Las cigenfunciones del problema separahle fa..!:.
man un conjunto completo. Se pueden dctenninar todos los elementos Je roa
triz del hamiltoniano H en esta hase. La diagonalización de la matriz in
finita que resulta proporciona la solución del prohlema. No sorprendcr:í
a nadie que esto no se ha podido h..,cer.
,\fortunadarnente,para entenuer la
naturaleza de las resonancias de Bohr-Feshbach basta con considerar una
suhmatriz.
En la Fig. 6a se muestra el espectro de energía de una partícula
y en la Fig.
6b el espectro
de dos partículas
ticular el nivel 2E2 correSpOndiente
(g
O).
=
a la eigenftUlción
Observemos en pa,:
lV2
(x) lb (y).
rs-
te estado está casi degenerado con estados del tipo
[Wo(x)W (y) + Wo(Y)W (x)
n
n
tado base
y
J /n . que
corresponden"
una nartícul"
otra 1 ibre.
E
E
2E
6
al Espectro
b) Espectro
ción
de energías
de energías
mutua
O
b)
a)
Fig.
en el es
para
para
en un pozo.
estados
estados
de una partícula
en un pozo.
de dos partículas
sin interac
30~
El estado W2(X)W2(Y) es estacionario en ausencia de interacción.
\'0 es estacionario
cuando g i O ya que la interacción puede hacer que lUla
de las ~lrtículas caiga al estado base expulsando a la otra. Dicho de
otra ITklnera, la interacción mezcla a 105 estados
$0
~7(X)~2(Y),
[~o(X)Wn (y)
Qn
+ WO(yH'n (X)]
para un cierto rango de valores de n.
(IDa)
112
(10b)
Precisamente este conjtmto
limitado
de elementos de la base se tomará para representar al hamiltoniano H(x,y)
en la región de interés. Comentamos que la perturbación mezcla a $0 que
es par en x y en Y. solamente con estados $ tales que ~ es par ya que W
n
es par.
o
n
L1 función de onda de los estados ligados está limitada a la r~
gión del pozo, mientras que los de energía positiva tienen una función de
onda eS~lrcida en el rango de -R a +R. Por esto, Wo y W2 tienen un factor
de normalización de orden uno mientras que ~ n tiene un factor de normaliza_
ción proporcional a 1/~
Los elementos de matriz del hamiltoniano de pe~
turbación 11' = go (x-y) dependen de R de la manera siguiente:
II!' 1$n >
'V
1/~
(11 a)
<<:> 111' 1<:> >
n
m
'V
I/R
(11 b)
<$
O
La suhmatriz del hamiltoniano total (Ec. (9) ) en la base
($O'<Pn), tcrnando las nueve flll1ciones4J más cercanas en energía a 4J ' se
n
o
muestra en la Tabla 1 (hemos t~,do g =-~.S y R = 1100 para el ejemplo).
El cero de energía se ha desplazado para
puede diagonal izar dando los eigenvalorcs
(Tabla lIT). Los eigenvcctorcs aparecen
donde se ha tomado el primer coeficiente
1, ... 9)el j-ésimo eigenvector, entonces
lizada
u
que <<:>01111<:>0>= O. Esta rrk1trizse
(Tabla 11) y los eigenvectores
como renglones de la Tabla 111,
como uno. Sea C. ~i= O,
J1
la j-éS~1 función de onda norma
es
Ii c .. $
1
j
donde
N
J1
j
[Ic2.]l;'
)i
j
i
]1
1
(12 )
( 13)
305
TABLA 1
.011083 .011107 .011133 .011157 .011183 .011207
.000000.011009.011033.011058
.011Q09 -.068185
.011033
- .049717
.011058
-.031233
-.012733
.011083
.005784
.0111 07
.024317
. 011133
.042867
.011157
.061433
.011183
.080015
. 011207
TABLA
l.
Submatriz
del harniltoniano
problema de dos partículas
con interacción
en un pozo.
para
el
TABLA 11
-.070490
-.052494
-.035021
-.018423
-.003017
.012166
.028457
.045780
.063672
.081918
TABLA
11.
Eigenvalores
de la submatriz del hamiltoniano
teracción para el problema de dos partículas.
con
in
TABLA IJJ
1.00000
-4.81783
-.53467
-.28293
-.19230
-.14568
-.11715
-.09798
-.08419
-.07380
1. 00000
.70787
-3.99937
.52241
-.27934
-.19059
-.14460
-.11647
-.09749
-.08382
1.00000
.33492
.75581
-2.93181
- .49833
-.27219
-.18718
-.14260
-.11515
-.09655
- .45883
1. 00000
.22320
.35492
.86706
-1.95202
-.25987
-.18122
.. 13909
-.11283
1.00000
.17044
.23783
.39364
1.14311
-1.26208
-.40635
-.24207
-.17234
-.13377
1.00000
.13823
.17949
.25593
.44609
1.74051
-.91404
-:36177
-.22544
- .16370
1. 00000
.11493
.14208
.18608
.26965
.48987
2.68257
-.77081
-.33683
-.21543
1. 00000
.09746
.11631
.14422
.18982
.27770
.51749
3.81275
1. 00000
.08423
.09795
.11703
.14537
.19187
.28222
53385
1.00000
.07400
.08438
.09816
.11735
.14587
- 19283
- 28442
TABLA
-o
o
'"
III.Eigenvectores
de la submatriz
del
para el problema de dos partículas
hamiltoniano
en un pozo.
con
-.70958
-.32444
4.95974
-.67964
- 54220
5.83615
interacción
307
Definbnos
la función
espectral
para el caso de las resonancias
la Ec. (3)).
de la misma manera
de fonma
La única diferencia
(ver discusión
como se hizo
a continuación
de
es que en este caso "condición de front£.
ra unitaria" significa amplitud unitaria dentro del pozo. Calculando los
escalones Ih.
12 resulta la función espectral de la Fi~. 7.
De este punto
)
en adelante la definición de la función de densidad espectral (tomando el
limite R
ro) y la caracterización
7
la resonancia
lisis.
de forma.
Esto lo haremos
Para el caso particular
se tienen
los efectos
pares) para calcular los
la función
de onda interna
sible mostrar
físicamente
)
el aná
y para mostrar
que
con una resonancia,
cada par muestra
en la gráfica
usa-
superior
la re~ión del pozo (-3.3SxS3.3),
de onda externa
aparece
su amplitud
generalizando
(incrementado con otras nueve funciones im
-
ll.
densidad de probabilidad.para
función
más adelante
al caso de
resultados que se muestran en las Figs. 8 y 9.
pares de figuras,
rior muestra
es análoga
de este pozo cuadrado
que se asocian
mos el conjunto de funciones
Se presentan
de la resonancia
la
la infe-
(-750 ~ x:s.?50), a esta escala
muy reducida
real en relación
en amplitud
porque
a la amplitud
la
im~
sería
externa
en el pa-
pel. En la Fi~. 8 se muestra el desarrollo temporal de la densidad de pr£
habilidad cuando al tiempo t = O se prepara al sistema en el estado ~ .
Esto muestra
el decaimiento
Una de las partículas
del estado metaestable
muestra
excitado".
cae al estado base y la otra es expulsada
probabilidad de viajar a la derecha o a la izquierda.
babilidad
o
"doblemente
una oscilación
a pequeña
escala
con igual
La densidad de pr£
lo que hace que el trazo
de la pluma de la ~raficadora llene ciertas áreas de las figuras.
porciones
cercanas
integración
a la izquierda
es más ancho;
de onda ficticia
mayor,
Fn la Fig. 9 se muestra
encuentra
nivel
similar
sin embargo
la excitación
superior
central
de cada fi ~ra
esto hace que la oscilación
la envolvente
igual a la necesaria
41 y la separación de la onda transmitida
0
dada la cual se debe al decaimiento de la resonancia.
apreciable.
Una partícula
para excitar
Se observa
de
una longitud
es fácilmente
la otra en un paquete
al ancho de la resonancia.
En las
el intervalo
muestre
de la resonancia.
en el pozo en el estado base,
ssiano con energía
y ancho
y derecha
se
de ondas ga~
la resonancia
la excitación
del
de la onda retar
308
,
Fig. 7
(,,)
Función espectral para la resonancia de Bohr-Feshbach
diente al nivel doblemente excitado de dos partículas
~/\~
___~l~
corresponen un pozo.
(a)
~
I
________
eb
Fig. 8
_
(b)
309
~
____
•
(e)
~
____
~
(d)
~
___
~
(e)
~
__
~
(1)
~
~
(g)
~
~~
Fig.
B
Secuencia
de gráficas
(h)
que muestra
el desarrollo
temporal
de la den-
sidad de probabilidad para el decaimiento del estado metaestable
doblemente excitado pe.ra dos partículas en un pozo.
310
~
~~I
__
laJ
~
~~
Ib)
~
~
IC)
~
~
__
I_d)
~
.Al.
le)
--~-~
__
~~
__
Fig.
9
(1)
311
-~~
(g)
~
_~~
(h)
~
•.=~
_~~=---__
_~~_
O)
(k)
Fig.
9
312
(m)
=----( n)
( o)
(p)
--~
--==----=JL~==="'~==__(q)
~
I_==~(,--r)
Fig.
9
Secuencia de gráficas que muestra el desarrollo
temporal de la densidad de probabilidad
para la excitación
de la resonancia
correspondiente
al nivel doblemente
excitado para dos partículas
en un po_
zo.
313
Se puede abstraer la situación general del ejemplo estudiado.
Se tiene un estado localizado degenerado o casi degenerado con un continuo
de estados no localizados.
Una interacción
do una reso~1ncia o estado mctaestable.
mezcla a estos estados
gcnera~
Las ftlnciones de onda de los esta
dos no localizados contienen un factor de normalización l/1Ft por cada par
tícula no localizada, donde R es el radio del lmiverso del sistema. Este
factor es importante porque determina el orden de magnitud de los elementos de matriz de la perturbación ..
Tenemos una base de estados
TI =
(14 )
1,2,3
en la cual el h1Miltoniano
sin interacción
es diagonal.
El hamiltoniano
total representado en esta base tiene la forma
3
a*]
w]
o
1
a*2
a3
a2
W
(1 S)
W2
a~,
W
3
donde un
= <~ollll~n>;
precian.
w
O
los elementos no escritos
son de orden llR y se des
La ecuación secular de la matrlz (15) es
-Á
_ L a~
(16 )
-n~\
n
Si A es el j-ésimo eigenvalor de (15), el j-ésimo cigenvector está dado
j
por
(17)
donde
a*
(18)
n
CJO
A.-W
)
n
Las eigenfunciones
u.
J
están dadas por
(19)
314
donde
N.
(20)
)
El problema
calones
sin interacción
tiene una función espectral
con es-
dados por
IhOl2
~o
~
n
donde
(21a)
hOn$" n
=
(21b)
están nonnalizadas y
(~O'~)
~O';Pn)
satisfacen condiciones de fron
teTa unitarias.
El problema con interacción tiene una fUnción espectral con esca
Jones Ih.1 dados por
2
)
u
hIT
j j
j
(22)
1
Ih.12
J
IhO +
N.2
J
¿
n
C. hO
Jn n
2
(23 )
1
El resul taJo importante que obtenenos es que la tnleva función
espectral
se determina
escalones
la misma transfonnación unitaria
de la vieja función
espectral
En la Fig. lOa se ilustra la solución
rular para
TI
= 9. La intersección
detennina los eigenvalores
)...'
J
pectral la cual tiene escalones
efectuando
que diagonaliza
gráfica
sobre los
al hamiltoniano.
de la ecuación
se
I
3n
de la recta \-wo con la curva
X-wn
En la Fig. 10b se ilustra la func~ónes
de tamaño
Ihjl2
en las posiciones
-
'j.
En el 1ími te R 0+00 la fune ión de densidad espectral,
lim
Rcaracteriza
Ih I
.:-l.
2
6'
a la resonancia.
(24)
315
o (w)
b)
Fig.10
a)
Solución
b)
Función espectral para la región de la resonancia de BohrFeshbach.
gráfica de la ecuación
Consideramos un caso especial
secular de la matriz
de amplia aplicaci6n.
(15)
La interae
ción mezclará estados <to ,l1>n dentro de un ancho de energías de orden
f
ao 12 /6w
si dentro de este ancho las energías
w
n
están unifonnenente
316
espaciadas
y las an son constantes.entonces
el lado derecho
de la ecuación
secular (16) es la expansión de ~littag-Leffler de la cotangente, esta ec~
ción tomará la forma
l.-w
o
=
:,2
cot[ ~
(25 )
(l.-Wo)]
y el escalón de fUnción espectral
IhY [2
1
L
+
[e.Jn
n
¡hO
12
)J
h'a* t,w
~cot[~ t,w (l..-w
J
o
+
2
1
Ih.[2
J
na2
2+-(t,w) 2
substituyendo de la Ec. (25) se s]mplifica a
2 +
l..l~a2
T (l.
a2
(t.w)
.-W )2]
J
o
La función de densidad espectral se ruede detenninar:
[h [2
donde r
lim
_J_
R-
t.w
r
¡hO + h'
r2
4
+
2~
(l.-wo)/a('
(l.-w)
2
2~ l]m
REl resultado que obtenemos es que la función de densidad espectral
tiene
la foma de Breit-Wigner y
lar el ancho de la resonaocia.
aunQ-lc no se satisfaga
fonma lorenziana
un procedimiento
para calc~
Sin anbargo, es importante hacer notar q..Jc
el criterio
cJUlociado
podemos caracterizar
densidad espectral.
tenEmOS
para que la resonancia
resonancias
calculando
tenga
la función de
Comoen el caso de la rcsonanc ia de C(llma, ~C'fXlwe demostrar que
si el sistem,l se prepara a tiempo t = O ('TI el estado <Po • la probabi 1idad
de encontrarlo
en la misma configuración
des¡ués de transcurrido
t está dada por el cuadrado de la transfonnada de Fourier-Sticltjes
función de densidad espectral.
el tiempo
de la
REFEROCL\S
l.
2.
3.
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