Indice general - Matesup
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Índice general 1. Vectores en el plano 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ¿Qué es un vector? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Dirección y sentido . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Módulo de un vector . . . . . . . . . . . . . 1.3. Representación geométrica de vectores en el plano . 1.3.1. Vectores iguales (o equivalentes) . . . . . . . 1.3.2. Vectores opuestos . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . 1.4. Representación analı́tica de vectores del plano . . . 1.4.1. Componentes de un vector . . . . . . . . . . 1.4.2. Módulo de un vector . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Operaciones con vectores del plano . . . . . 1.4.4. Producto punto y Ángulo entre dos vectores 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 9 9 10 13 14 Capı́tulo 1 Vectores en el plano 1.1. Introducción Cuando nos referimos al tiempo que demanda un suceso determinado, basta un número con una unidad de medida. Por ejemplo, se demoró 4 segundos, corrió durante 2 minutos, nos encontraremos en una semana, etc. Las magnitudes que pueden describirse de esta manera reciben el nombre de escalares, como por ejemplo el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura. Otras magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración, no pueden ser descritas sólo por un número. Por ejemplo, ¡camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, ¡camine 5 metros por la Alameda hacia el poniente! producirá el efecto solicitado. Estas magnitudes para las cuales hay que especificar, además de un valor numérico, la dirección y sentido en el que actúan, se denominan vectoriales. Los vectores dan origen a las magnitudes vectoriales 2 Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos los que operan según las leyes del Álgebra Vectorial. El concepto de vector se remonta a tiempos muy antiguos. Se cree que Arquı́medes lo utilizó implı́citamente. El término vector se debe a Hamilton, matemático y astrónomo irlandés (1805 - 1865) que lo introdujo para designar un segmento de recta orientado. 1.2. 1.2.1. ¿Qué es un vector? Dirección y sentido a) Dirección. Cuando dos rectas son paralelas se dice que ellas tienen la misma dirección. Las rectas d1 , d2 y d3 tienen la misma dirección que la recta AB. La recta s tiene una dirección distinta. b) Sentido. Si se dirige u orienta una recta, se determina un sentido sobre la dirección de dicha recta. En la dirección de una recta AB hay dos sentidos: un sentido es de A hacia B, y el otro es de B hacia A. Ambos sentidos son diferentes. Los dos sentidos posibles en la dirección de la recta AB 1.2.2. Vectores Definición. Un vector del plano (o del espacio) es un segmento de recta dirigido (u orientado). Instituto de Matemática y Fı́sica 3 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos Notación y representación. Es usual denotar un vector por una letra minúscula con una flecha encima, y representarlo geométricamente por una flecha. Por ejemplo, la siguiente − figura muestra un vector → v: Representación geométrica de un vector v 1.2.3. Módulo de un vector − − − La longitud de un vector → v recibe el nombre de módulo de → v y se denota por ||→ v ||. Nota. En aplicaciones en Fı́sica, el módulo de una fuerza es llamada intensidad de la fuerza. 1.3. Representación geométrica de vectores en el plano Un vector está definido por tres elementos: Una dirección, dada por la recta que contiene al segmento. Un sentido, señalado por la flecha (es uno de los dos sentidos posibles en la dirección de la recta que lo contiene). Una longitud, llamada módulo del vector, que corresponde a la longitud del segmento. Un vector del plano se puede definir también como asociado a dos puntos del plano. Definición. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. El segmento dirigido de P a Q es −→ un vector del plano, que se denota por P Q. Observaciones. −→ a) El vector P Q tiene por dirección, la dirección de la recta P Q; tiene por sentido, el sentido de P hacia Q; y su módulo es la longitud del segmento P Q. −→ b) P es el punto inicial del vector P Q. −→ Q es su punto terminal o extremo del vector P Q. Instituto de Matemática y Fı́sica 4 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos Nota. En mecánica, el punto inicial de un vector es el punto de aplicación de la fuerza. −→ −→ c) El módulo del vector P Q se denota ||P Q||. d) Vector nulo. Cuando el punto inicial P y el punto terminal Q coinciden, el vector −→ → − P P recibe el nombre de vector nulo, y se denota por 0 . El vector nulo no tiene dirección ni sentido, y su módulo es 0. 1.3.1. Vectores iguales (o equivalentes) − Una dirección, un sentido y una longitud definen un vector → v , existiendo muchos segmentos dirigidos que lo representan, como se muestra en la figura: − Representaciones geométricas del vector → v −→ −−→ −→ − Luego, el vector → v puede denotarse también como AB, CD o P Q. − − Definición. Dos vectores no nulos → u y→ v son iguales (o equivalentes), cuando ellos tienen − − la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Se denota → u =→ v. → − − − u =→ v =→ w → − − u 6= → z Observación. −→ − Dado un vector → v = AB y sea P un punto cualquiera del plano. Existe un único punto Q −→ − del plano tal que P Q = → v. Instituto de Matemática y Fı́sica 5 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos El punto Q es tal que AP QB es un paralelogramo. −→ Luego, para representar un vector AB se puede elegir un punto a nuestro gusto para que sea punto inicial del vector. 1.3.2. Vectores opuestos − Sea → v un vector. El vector que tiene la misma dirección, el mismo módulo y sentido contrario → − − − de v es llamado vector opuesto de → v y se denota −→ v. −→ −→ Nota. El vector opuesto del vector P Q es el vector QP . Luego: −→ −→ QP = −P Q 1.3.3. Operaciones con vectores Adición de vectores −→ − −−→ − Cualquiera sean los puntos A, B y C, la suma de los vectores → u = AB y → v = BC es el −→ − − vector → u +→ v = AC. El vector suma se llama resultante. −→ −−→ −→ AB + BC = AC Observaciones. a) Suma de vectores con el mismo punto inicial: se aplica regla del paralelogramo, ilustrada en el siguiente ejemplo. −→ − Ejemplo. Para obtener geométricamente el vector suma de los vectores → u = OA y −−→ −→ −→ − → − v = OB, se traza el vector AC tal que AC || → v. −→ −→ −→ −→ −−→ − − Como → u +→ v = OA + AC = OC. Luego, la suma de los dos vectores OA y OB es el −→ vector OC definido por la diagonal del paralelogramo OACB. Instituto de Matemática y Fı́sica 6 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos −−→ −→ − −→ −−→ → − v = OB = AC, → u = OA = BC b) Suma de dos vectores cualquiera. −→ − − − Para sumar dos vectores cualquiera → u y→ w , se traza un vector AB = → u , siendo A un −−→ → − − punto cualquiera, y luego se traza el vector BC = w tal que punto inicial de → w sea el − → → − → − → − punto terminal de v . Luego u + w = AC. − − − − c) ||→ u +→ v || 6 ||→ u || + ||→ v ||, relación llamada desigualdad triangular. d) Propiedades de la adición de vectores: • • • − − − − Es conmutativa: → u +→ v =→ v +→ u → − → − → − − − − Es asociativa: u + ( v + z ) = (→ v +→ u)+→ z −→ −→ → −→ −−→ −→ → − − AB + BA = 0 ; AB + BC + CA = 0 . e) Para sumar más de dos vectores, generalmente se usa el llamado polı́gono de fuerzas, el cual se obtiene uniendo el punto terminal de un vector con el punto inicial del siguiente. El vector resultante tiene su punto inicial en el inicial del primero, y su punto final es el extremo del último. Por ejemplo, la figura presenta la representación gráfica de la − − − suma de tres vectores → u +→ v +→ w: −→ → − u = OA, −→ → − v = AB, −−→ → − w = BC : −→ → − − − u +→ v +→ w = OC f) Diferencia entre vectores −→ − −−→ − − − La diferencia entre los vectores → u = OA y → v = OB es el vector denotado por → u −→ v, → − → − que se obtiene de sumar los vectores u y − v . Es decir: → − − − − u −→ v =→ u + (−→ v) Instituto de Matemática y Fı́sica 7 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos −−→ −→ → − − u −→ v = OD que es igual al vector BA g) La siguiente figura muestra la representación gráfica de la suma y la diferencia de los −→ −−→ vectores OA y OB: Multiplicación de un vector por un escalar − − − El producto de un número real c por un vector → v es el vector denotado por c→ v . El vector c→ v → − → − tiene la misma dirección que v , tiene el mismo sentido que v si c > 0 y sentido contrario − − de → v si c < 0, y su módulo es |c| ||→ v ||. Observaciones a) Algunas propiedades de esta operación son: • −v = (−1)v − − − • (c + d)→ v = c→ v + d→ v − − − − • c(→ v +→ u ) = c→ v + c→ u − − − − b) Si → u = c→ v , con c 6= 0, entonces → u y→ v tienen la misma dirección. Instituto de Matemática y Fı́sica 8 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano 1.4. Resumen de contenidos Representación analı́tica de vectores del plano Los vectores pueden representarse gráficamente o geométricamente por una flecha, quedando claramente establecido su punto inicial y su punto terminal, y también pueden representarse o expresarse analı́ticamente, con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares. Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas rectangulares (O; X, Y ), donde O es el origen del sistema, la recta horizontal OX es el eje de las abscisas (eje X), la recta vertical OY es eje de las ordenadas (eje Y ) y la unidad en cada eje. Los vectores del plano pueden expresarse analı́ticamente, mediante su descomposición en componentes con respecto al sistema de coordenadas rectangulares. 1.4.1. Componentes de un vector Observación. De acuerdo lo tratado anteriormente: a) Un vector es definido por un punto inicial y un punto terminal, y se representa geométricamente por una flecha o segmento dirigido. b) Todas las flechas o segmentos dirigidos del plano que tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, representan a un mismo vector, es decir, son vectores iguales. −→ − c) Sea → v = P Q un vector con punto inicial en P y punto terminal en Q. Se tiene que, −→ existe un único vector OA con punto inicial en el origen O del sistema de coordenadas, −→ −→ − tal que OA es igual al vector → v = P Q. −→ − − Definición. Sea → v un vector del plano, y sea OA el vector que representa a → v , tal que su punto inicial es O el origen del sistema de coordenadas y su punto terminal es el punto A = (ax , ay ). Instituto de Matemática y Fı́sica 9 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos −→ − El vector OA se denomina vector posición de → v. − Los números ax y ay se denominan las componentes del vector → v . Es decir, las com− → → − ponentes del vector v = OA corresponden a las coordenadas del punto A. −→ − Definición. El vector → v = OA se identifica con el punto A y se acostumbra denotarlo − − como → v = (ax , ay ). Esta forma de denotar al vector → v se denomina representación analı́tica → − de v . −→ −→ − Observación. Sea → v = AB, siendo A su punto inicial y B su punto terminal, y sea OC el −→ vector posición de AB. −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ − Notar que → v = AB = AO + OB = OB − OA = OC. Luego, si A = (ax , ay ) y B = (bx , by ) −→ entonces las componentes del vector AB son las coordenadas del punto C: c x = b x − ax c y = b y − ay −→ −→ Si el vector posición de AB es el vector OC, donde C = (cx , cy ), entonces la representación −→ analı́tica de AB es (cx , cy ). − Nota. La expresión ”→ v = (a, b)” se entiende que es un vector cuyo punto inicial es el origen O del sistema y su punto terminal es el punto A = (a, b). 1.4.2. Módulo de un vector − − El módulo del vector → v = (ax , ay ), denotado por ||→ v || es: q − ||→ v || = a2x + a2y −→ − Observación. Un vector → v = OA con punto inicial en el origen del sistema, queda definido en los siguientes casos: Instituto de Matemática y Fı́sica 10 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos a) Cuando se conocen las componentes del vector. −→ − Sea → v = OA = (ax , ay ). p − − • El módulo de → v es: ||→ v || = a2x + a2y . • La dirección y el sentido se puede obtener determinando el ángulo θ que forma el −→ vector OA con el semieje positivo de las abscisas: tg θ = ay ax donde el sentido es de O hacia A. −→ −→ b) Cuando se conoce el módulo del vector OA y el ángulo θ que forma el vector OA con el semieje positivo de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Instituto de Matemática y Fı́sica 11 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos − Las componentes de → v se pueden determinar mediante las expresiones: − ax = ||→ v || cos θ − ay = ||→ v || sen θ −→ − Luego OA = ||→ v || (cos θ, sen θ). Observaciones. → − a) El vector nulo del plano, se representa analı́ticamente O = (0, 0). − − b) El vector opuesto del vector → v = (ax , ay ) es el vector −→ v = (−ax , −ay ). c) Dos vectores son iguales cuando se representan por el mismo vector posición. Por ejemplo, −→ Ejemplos de vectores iguales a OC Nota. En los sistemas de coordenadas rectangulares del plano, se acostumbra utilizar los → − → − sı́mbolos i , j para definir los vectores de módulo 1: → − i = (1, 0) → − j = (0, 1) y − que representan las unidades de cada eje. El vector → v = (ax , ay ) de la figura se puede expresar también como: → − → − → − v = ax i + ay j Instituto de Matemática y Fı́sica 12 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano 1.4.3. Resumen de contenidos Operaciones con vectores del plano A continuación se describirán las operaciones con vectores, conocidas sus componentes rectangulares. −→ −−→ − − Dados los vectores → u = OA = (ax , ay ) y → v = OB = (bx , by ). − − a) Suma de vectores. La suma de los vectores → u y→ v obtenida analı́ticamente, es el vector que se obtiene sumando las componentes correspondientes de los vectores. → − − u +→ v = (ax , ay ) + (bx , by ) = (ax + bx , ay + by ) Observaciones. −→ El vector resultante obtenido coincide con el vector OP determinado geométricamente donde OP es la diagonal del paralelogramo OAP B. − − La diferencia entre los vectores dados, es el vector: → u −→ v = (ax − bx , ay − by ). −→ − b) Multiplicación por un escalar. El producto de un vector → u = OP = (ax , ay ) por un número real c es el vector: − c→ u = c (ax , ay ) = (c ax , c ay ) Instituto de Matemática y Fı́sica 13 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos − − c > 0: los vectores → u y c→ u tienen igual dirección y sentido 1.4.4. − − c < 0: los vectores → u y c→ u tienen igual dirección y sentido contrario Producto punto y Ángulo entre dos vectores −→ −−→ − − Definición. Sean → u = OA = (ax , ay ) y → v = OB = (bx , by ) dos vectores en el plano. El − − − − producto punto entre → u y→ v , denotado por → u ·→ v es el número real: → − − u ·→ v = (ax , ay ) · (bx , by ) = ax bx + ay by Nota. − − − − El sı́mbolo → u ·→ v se lee ”→ u punto → v ”. Teorema. − − Si θ es el ángulo que forman los vectores → u = (ax , ay ) y → v = (bx , by ), entonces: → − − − − u ·→ v = ||→ u || ||→ v || cos θ Ángulo entre dos vectores. La siguiente fórmula, que se deduce del teorema anterior, permite determinar el ángulo θ − − que forman los vectores → u = (ax , ay ) y → v = (bx , by ): cos θ = Instituto de Matemática y Fı́sica ax bx + ay by − − ||→ u || ||→ v || 14 Universidad de Talca Capı́tulo 9: Vectores en el plano Resumen de contenidos Esta fórmula es muy utilizada en aplicaciones de los vectores. Por ejemplo, para determinar el ángulo formado por los segmentos brazo y antebrazo conociendo los vectores que definen la posición de ambos. Instituto de Matemática y Fı́sica 15 Universidad de Talca
![1 Si v = [ 36 -12 ] , w = [ 9 -3 ] , y S = 1wl. Indique cuáles opciones](http://s2.studylib.es/store/data/004950498_1-7f0b4c506a631255d680bd90dfa0a3e5-300x300.png)
