Cambio de Base Archivo

Cambio de Base
Profesores
Omar Darı́o Saldarriaga Ortı́z
Iván Dario Gómez
Hernán Giraldo
2009
Definición
Sean X = {x1 , . . . , xn } y Y = {y1 , . . . , yn } bases para Rn , definimos la
matriz del cambio de base de la base X a la base Y como la matriz.
· · · (xn )Y .
Y IX = (x1 )Y
Ejemplo
1
0
1
1
Sean E = e1 =
, e2 =
y X = x1 =
, x2 =
, encontrar
0
1
1
−1
la matriz de cambio de base.
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn } y Y = {y1 , . . . , yn } bases para Rn y sea v ∈ Rn ,
entonces
vY =Y IX · vX .
Ejemplo
1
0
1
1
Sean E = e1 =
, e2 =
y X = x1 =
, x2 =
, encontrar
0
1
1
−1
la matriz de cambio de base.
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn } y Y = {y1 , . . . , yn } bases para Rn y sea v ∈ Rn ,
entonces
vY =Y IX · vX .
Ejemplo
−1
2
3
4
Sean X = x1 =
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
bases
0
1
1
1
2
para R y v = 2x1 + 3x2 , expresar a v en términos de la base Y .
Ejemplo
1
0
1
1
Sean E = e1 =
, e2 =
y X = x1 =
, x2 =
, encontrar
0
1
1
−1
la matriz de cambio de base.
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn } y Y = {y1 , . . . , yn } bases para Rn y sea v ∈ Rn ,
entonces
vY =Y IX · vX .
Ejemplo
−1
2
3
4
Sean X = x1 =
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
bases
0
1
1
1
2
para R y v = 2x1 + 3x2 , expresar a v en términos de la base Y .
Teorema
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn . Entonces Y IX = B −1 A.
Observaciones (Procedimiento para calcular la matriz del cambio de base)
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn entonces
1 Aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada
B A
hasta encontrar su forma escalonda reducida.
−1
I B
| {z A} . Luego en la parte
2 Al final del paso 1. obtenemos
Y
IX
derecha de la matriz aumentada se obtiene la matriz de cambio de base
Y IX .
Teorema
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn . Entonces Y IX = B −1 A.
Observaciones (Procedimiento para calcular la matriz del cambio de base)
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn entonces
1 Aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada
B A
hasta encontrar su forma escalonda reducida.
−1
I B
| {z A} . Luego en la parte
2 Al final del paso 1. obtenemos
Y
IX
derecha de la matriz aumentada se obtiene la matriz de cambio de base
Y IX .
Ejemplo
Sean X =
Y
1
1
2
1
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
, calcular
1
−1
−1
0
1
=
.
1
x1 =
IX y vY si vX
Teorema
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn . Entonces Y IX = B −1 A.
Observaciones (Procedimiento para calcular la matriz del cambio de base)
Sean X = {x1 , . . . ,xn } y Y = {y1 , . . . , yn} bases para Rn y sean
A = x1 · · · xn y B = y1 · · · yn entonces
1 Aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada
B A
hasta encontrar su forma escalonda reducida.
−1
I B
| {z A} . Luego en la parte
2 Al final del paso 1. obtenemos
Y
IX
derecha de la matriz aumentada se obtiene la matriz de cambio de base
Y IX .
Ejemplo
Sean X =
Y
1
1
2
1
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
, calcular
1
−1
−1
0
1
=
.
1
x1 =
IX y vY si vX
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , yn } y Z = {z1 , . . . , zn } bases de Rn
entonces tenemos que:
1. Y IX = (X IY )−1
2. Z IX =Z IY ·Y IX
Definición (La matriz de una transformacion con respecto a dos bases)
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases para Rn y Rm , respectivamente. Definimos la matriz
de T con respecto a las bases X y Y , denotada por Y TX como la matriz
· · · T (xn )Y .
Y TX = T (x1 )Y
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , yn } y Z = {z1 , . . . , zn } bases de Rn
entonces tenemos que:
1. Y IX = (X IY )−1
2. Z IX =Z IY ·Y IX
Definición (La matriz de una transformacion con respecto a dos bases)
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases para Rn y Rm , respectivamente. Definimos la matriz
de T con respecto a las bases X y Y , denotada por Y TX como la matriz
· · · T (xn )Y .
Y TX = T (x1 )Y
Observaciones
Si T : Rn −→ Rm es una transformación lineal y E = e1 , . . . , en y
E = e1 , . . . , em son las bases estándar de Rn y Rm , respectivamente, y S es
la matriz de T , es decir, la matriz tal que T (x) = Sx, para todo x ∈ Rn ,
entonces
S = E TE = T (e1 ) . . . T (en ) .
Teorema
Sean X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , yn } y Z = {z1 , . . . , zn } bases de Rn
entonces tenemos que:
1. Y IX = (X IY )−1
2. Z IX =Z IY ·Y IX
Definición (La matriz de una transformacion con respecto a dos bases)
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases para Rn y Rm , respectivamente. Definimos la matriz
de T con respecto a las bases X y Y , denotada por Y TX como la matriz
· · · T (xn )Y .
Y TX = T (x1 )Y
Observaciones
Si T : Rn −→ Rm es una transformación lineal y E = e1 , . . . , en y
E = e1 , . . . , em son las bases estándar de Rn y Rm , respectivamente, y S es
la matriz de T , es decir, la matriz tal que T (x) = Sx, para todo x ∈ Rn ,
entonces
S = E TE = T (e1 ) . . . T (en ) .
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal, sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases para Rn y Rm , respectivamente y sea v ∈ Rn .
Entonces
T (v)Y = Y TX vX .
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal, sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases
para Rn y Rm , respectivamente
y sean
A = x1 . . . xn y B = y1 . . . yn , entonces
−1 T (x1 ) · · · T (xn ) ,
Y TX = B
más aún
Y
TX = B −1 ·E TE · A.
En palabras el teorema dice que la matriz de T con respecto a las bases X y
Y es el producto de las matrices la inversa de la matriz de Y , la matriz de
T y la matriz de X.
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal, sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases para Rn y Rm , respectivamente y sea v ∈ Rn .
Entonces
T (v)Y = Y TX vX .
Teorema
Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal, sean X = {x1 , . . . , xn } y
Y = {y1 , . . . , ym } bases
para Rn y Rm , respectivamente
y sean
A = x1 . . . xn y B = y1 . . . yn , entonces
−1 T (x1 ) · · · T (xn ) ,
Y TX = B
más aún
Y
TX = B −1 ·E TE · A.
En palabras el teorema dice que la matriz de T con respecto a las bases X y
Y es el producto de las matrices la inversa de la matriz de Y , la matriz de
T y la matriz de X.
Observaciones (Procedimiento para calcular)
Y TX
1
Calcular T (xi ) para i = 1, . . . , n,
2
Aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada
y1 · · · yn | T (x1 ) · · · T (xn ) = B T (x1 ) · · ·
= B E TE · A
3
T (xn )
hasta llevarla a la forma escalonada reducida, donde
A = x1 · · · xn y
B = y1 · · · yn ,
"
#
I B −1 ·E TE · A
|
{z
}
Al final del paso 2. obtenemos
.
Y
TX
Ejemplo
x
2x − y
,
Sea T : R2 −→ R2 la transformación lineal dada por T
=
x+y
y
1
1
2
1
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
bases de
sean X = x1 =
1
−1
−1
0
1
R2 , calcular Y TX y T (v)Y si vX =
Observaciones (Procedimiento para calcular)
Y TX
1
Calcular T (xi ) para i = 1, . . . , n,
2
Aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada
y1 · · · yn | T (x1 ) · · · T (xn ) = B T (x1 ) · · ·
= B E TE · A
3
T (xn )
hasta llevarla a la forma escalonada reducida, donde
A = x1 · · · xn y
B = y1 · · · yn ,
"
#
I B −1 ·E TE · A
|
{z
}
Al final del paso 2. obtenemos
.
Y
TX
Ejemplo
x
2x − y
,
Sea T : R2 −→ R2 la transformación lineal dada por T
=
x+y
y
1
1
2
1
, x2 =
y Y = y1 =
, y2 =
bases de
sean X = x1 =
1
−1
−1
0
1
R2 , calcular Y TX y T (v)Y si vX =