CAPÍTULO 2 Sistemas numéricos

CAPÍTULO 2
S is temas numér icos
2. SISTEMAS NUMÉRICOS
Objetivos
Al terminar este capítulo, el lector podrá:
✓ Identificar los elementos de los distintos
sistemas numéricos.
✓ Conocer sus propiedades y limitaciones.
✓ Efectuar las distintas operaciones definidas
entre sus elementos.
✓ Dominar las leyes que rigen estas operaciones.
Estructura del capítulo
k
Introducción
2.1. Números enteros y fraccionarios.
2.2. Números reales.
2.3. Leyes y propiedades.
2.4. Valor absoluto.
2.5. Aplicaciones.
2.6. El paquete Mathematica y los sistemas
numéricos.
Solución a los ejercicios propuestos
INTRODUCCIÓN
A Sí COMO ESTAMOS acostumbrados a ver el Sol, la Luna y las estrellas en el
1-Y cielo y no nos llama la atención su existencia ni valoramos su grandeza,
también aceptamos nuestro sistema de números . Pero hay una diferencia:
nos vemos forzados al aprendizaje de números y operaciones numéricas cuando
somos pequeños y no podemos apreciarlos , por lo que crecemos en la creencia de
que los números son monótonos y aburridos . Sin embargo , el sistema de números
merece toda nuestra atención, no sólo porque es la base de las matemáticas, sino
porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones.
Entre las civilizaciones del pasado , fueron los griegos quienes mejor evaluaron
el prodigio y las virtudes del concepto de número . Hubo otros pueblos bien dotados intelectualmente , pero debido a que no consideraron los números de manera
abstracta, no pudieron comprender su naturaleza . Para los griegos fue un maravilloso descubrimiento el hecho de abstraer de muchas y diversas colecciones de
objetos una propiedad como la cinquidad(de cinco).
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58
Álgebra básica
En este capítulo se presentan los sistemas numéricos más utlizados, sus propiedades y operaciones.
2.1. NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS
Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N= {l, 2, 3, 4, ...},
utilizados para contar y ligados siempre con objetos. Su justificación fue la necesidad de distinguir entre las diferentes cantidades de objetos , pues no es lo mismo
poseer tres animales que cinco y fue necesario diferenciarlos de alguna forma. Por
lo tanto, los números se utilizaban como calificativos de las cosas y era dificil
hacer una separación entre ellos y los objetos.
Por esta dependencia , no fue fácil concebir el número correspondiente a la ausencia de cosas, el cero, además de que presenta mayor dificultad distinguir entre
lo que es ausencia de cosas y lo que significa vacío. Los mismos griegos no lo
lograron. Esta distinción puede entenderse claramente en los siguientes ejemplos:
no es lo mismo no tener calificación por haber faltado a un curso que tener cero
después de haber presentado el examen ; asimismo , es distinto no tener cuenta en el
banco, y por consiguiente carecer de saldo, que tener en su cuenta bancaria un
saldo de cero. Al sistema formado por los números naturales y el cero se le representa por W= N u {0}.
Además, incluyendo al cero en el sistema numérico , fue posible establecer el
método actual de escritura de números: primero se cuentan las unidades , las grandes
cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de decenas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa 252. El 2 de la izquierda significa dos decenas de decenas, el 5 indica cinco veces 10 y el 2 de la
derecha simboliza dos unidades . El concepto de cero hace que sea práctico el sistema de escribir cantidades , pues permite, por ejemplo, distinguir entre 22 y 202.
Como el 10 desempeña un papel fundamental en el sistema numérico, se le llama
sistema decimal, en el cual el 10 es la base. Lo más seguro es que el uso del 10
resulte del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y,
habiendo pasado por todos los dedos de las manos , consideraba que el número al
que había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de un
número es lo que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional.
El sistema decimal de notación posicional que usamos es un legado hindú.
Pero volviendo a los griegos , es interesante resaltar las ideas de los seguidores de Pitágoras con respecto a los números ; a los pitagóricos les emocionaban
los números y, dado que eran místicos, les asignaban importancia y significados
que ahora juzgamos infantiles . Creían que el número "uno " era la esencia o la
2. Sistemas numéricos
59
naturaleza misma de la razón , pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doctrina. El número "dos" lo identificaban con la opinión , ya que ésta implica claramente la posibilidad de que exista opinión contraria y, por consiguiente , hay por
lo menos dos. En el "cuatro" reconocían la justicia , porque es el primer número
que resulta un producto de iguales. Los pitagóricos representaban los números
como puntos en la arena o por medio de piedritas . Para cada número, los puntos
o las piedritas se ordenaban de manera especial . El "cuatro", por ejemplo, se
representaba con cuatro puntos, que sugerían un cuadrado. Así quedaban vinculados también el cuadrado y la justicia . Hasta hoy, "cuadrar" significa en español
ajustar una cosa a otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primer
número masculino , tres, con el primer femenino , dos (los números impares eran
masculinos y los pares , femeninos). El número "siete " indicaba salud y el "ocho",
amistad o amor.
Operaciones aritméticas
Las operaciones aritméticas de adición, sustracción , multiplicación y división
nos resultan tan familiares que no percibimos que son en extremo complejas y, a la
vez, de notable eficiencia . Se remontan a los tiempos de los griegos y poco a
poco fueron evolucionando , a medida que mejoraban los procedimientos para
escribir números y aparecía el concepto de cero. Los europeos heredaron de los
árabes los procedimientos correspondientes . Primero, los europeos utilizaron el
sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron que
basarse en este sistema . En parte, porque estos procedimientos eran laboriosos y
en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían el
arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad , los procedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayoría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales habilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidos
como practicantes del "arte negro".
Una operación definida entre los números naturales es una función de Nx NO>
en N(operación : Nx N-> N), que asocia a cada par de números naturales otro
número llamado resultado de la operación . Se dice que una operación está bien
definida cuando satisface la cerradura, esto es, para cualquier par de números el
resultado es un número del mismo conjunto.
(1) A x B es producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es la colección de parejas ordenadas (a, b)
cona eAy beB.
60 Álgebra básica
Las operaciones bien definidas entre los números naturales son la adición y la
multiplicación (adición abreviada), pero al trabajar con la suma s de dos números
a y b se observó que no siempre era posible encontrar en los números naturales un
número b que al ser sumado con a diera s. Por ejemplo, no hay un número que
sumado a 5 dé 3, por esta razón la resta no está bien definida entre los números
naturales, ya que para encontrar la solución de b + 5 = 3 es necesario restar 5 de 3,
esto es, b = 3 - 5 y este número no está entre los naturales.
Para que fuera posible restar entre cualquier pareja de números fue necesario
ampliar el sistema numérico y agregar el cero y los números negativos. Cuando el
sistema numérico incluye el cero y los negativos se llama sistema de los números
enteros, Z= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, J. En este sistema están bien
definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
2.1.1. Los números negativos
Añadir los números negativos al sistema numérico fue también idea de procedencia hindú. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, en
particular las que se deben. Quizá porque la condición normal de los hindúes era la
de estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que representaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se conoce como números negativos; para distinguir claramente los números positivos
de los negativos se añade un signo - antes del número para indicar que es negativo.
En los bancos y las grandes empresas comerciales, que manejan constantemente
números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja, mientras para
los positivos utilizan tinta azul.
El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de
ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas
las temperaturas por debajo de 0° y como positivas las que están por encima de
esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar también
con números positivos y negativos, respectivamente. A veces, tiene sus ventajas
representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con números
negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como punto
de partida, el año 50 a.C. se podría indicar como el año -50.
Para sacar el máximo provecho al concepto de números negativos debe ser
posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender
las operaciones con números negativos, así como con números negativos y
positivos simultáneamente, si se tiene en mente el significado físico de estas
operaciones.
2. Sistemas numéricos
61
Como los números negativos representan deudas, y por lo regular la sustracción tiene el significado fisico de "quitar", entonces la resta de un número negativo
significa la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene, por
ejemplo, $3.00 y le pagan una deuda de $8.00, entonces la cancelación de ésta deja
a la persona con $11.00. En términos matemáticos se ve que +3 - (-8) = +11. Y en
palabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número positivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5.00
por día. A los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $15.00. Si denotamos la deuda de $5.00 con -5 y si se endeuda a razón de $5.00 por día durante tres días,
su deuda se representa matemáticamente como 3(-5) = -15. Así, la multiplicación
de un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor
numérico es el producto de los valores numéricos implicados.
Hay una definición más sobre los números negativos, cuya veracidad es fácil
de percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del cero que 3 es
mayor que 2, que 2 es menor que 12 y que cualquier número positivo es mayor que
cero. De los números negativos se dice que son menores que los positivos y que el cero.
Además, que -5 es menor que -3 o que -3 es mayor que -5.
Es fácil comprender la posición relativa de los números positivos, los negativos
y el cero imaginando estos números como los puntos de una línea que crecen hacia
la derecha, como en la figura siguiente. Lo que se aprecia en ella no difiere mucho
de lo que se observa cuando se pone la escala de un termómetro en posición horizontal (véase figura 2.1):
FIGURA 2.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Dirección de crecimiento
Los subconjuntos más importantes del conjunto Zson:
N= {1, 2, 3, 4, ...} los números naturales o enteros positivos.
W= {0, 1, 2, 3, 4, ...} los enteros no negativos.
{..., -4, -3, -2, -I } los enteros negativos.
{..., -4, -3, -2, -1, 0} los enteros no positivos.
62 Álgebra básica
Reglas de los signos
Para operar con los números enteros es importante tener presentes las reglas de los
signos:
• Para sumar dos elementos del conjunto Wsólo se suman y su resultado está
en W(la suma de positivos es positiva y con magnitud(2) igual a la suma de las
magnitudes), así 8 + 23 = 31.
• Para sumar dos elementos del conjunto de enteros negativos, se suman sus
magnitudes y al resultado se le asigna el signo negativo, -7 + (-13) = -20.
• La suma entre un número positivo y un negativo es igual a la resta de
sus magnitudes con el signo correspondiente al de mayor magnitud, 36 +
(-47) _ -11.
• La multiplicación de números con el mismo signo (positivo o negativo)
es igual al producto de los números con signo positivo, (5)(8) = (-5)
(-8) = 40.
• La multiplicación de dos números con distinto signo es igual al producto de las
magnitudes de los números y su signo es negativo, (7)(-8) = (-7)(8) = -56.
Ejercicios de 2.1.1
1. Supóngase que una persona tiene $3.00 y contrae una deuda de $5.00 . ¿Cuál es
su capital neto?
2. Una persona debe $5 .00 y luego adquiere una deuda nueva de $8.00 . Utiliza
números negativos para determinar su situación financiera.
3. Un comerciante debe $5.00 y gana $8.00. Utiliza números positivos y negativos para calcular su capital neto.
4. Supóngase que una persona debe $13.00 y paga una deuda de $8.00 . Utiliza
números positivos y negativos para calcular su capital neto.
5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $ 100.00 por semana.
Indica este cambio de capital con -100 , el tiempo futuro con números positivos
y el tiempo pasado con números negativos.
a) ¿Cuánto perderá esta persona en cinco semanas?
b) ¿Cuánto tenía hace cinco semanas?
(Z) Se llama magnitud a la distancia del número al cero en la recta.
2. Sistemas numéricos
63
2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones
Como ya se mencionó , en el sistema de los números enteros están bien definidas la
suma, la resta y la multiplicación, que son cerradas . La resta, además, es la operación inversa a la suma , deshace lo que la suma hizo. Pero la multiplicación no
posee una operación inversa, pues la división , que tiene este papel, no está bien
definida en este conjunto . Para que sea factible su definición es necesario ampliar
nuevamente el sistema de números , agregando las fracciones.
Así, los números fraccionarios deben su existencia a la operación división.
Se dice que un número b divide a otro número a, y se indica como b/a, si existe
un número c tal que cb = a, pero no todos los números son divisibles entre los
demás; cuando existe c tal que cb = a, se dice que c y b son factores o divisores de a.
Si b no divide exactamente a a, se indica como bYa, entonces el resultado no es un
número del mismo conjunto , es una fracción.
Es importante destacar que se deduce de la definición de la división que ésta no
es posible entre cero , pues para que Ola se requiere que exista c tal que Oc = a, lo
que no es cierto para ninguna a: 0 porque el resultado de multiplicar por cero es
siempre cero.
Cuando se empiezan a manejar fracciones y la división es también una operación bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales Q=
{p/q 1p, q E Z, con q;#- O}, es decir, Q es el conjunto de cocientes de enteros con
denominador diferente de cero.
Aunque el procedimiento común de escribir fracciones , por ejemplo 2/3 o 7/5,
para expresar partes de un todo no es dificil de comprender, las operaciones con
fracciones parecen tener algo de misterioso . Para sumar 2/3 a 7/5 se lleva a cabo el
siguiente proceso:
2 7 10 21 31
3 5 15 15 15
Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente,
de modo que los denominadores fueran iguales, y luego se sumaron los numeradores.
Para convertir una fracción en otra equivalente basta multiplicarla por la unidad
expresada como fracción , con el numerador y el denominador iguales. En este
caso, la primera se multiplicó por 5 /5 y la segunda por 3/3.
Los números fraccionarios se agrupan en clases de fracciones equivalentes, y
cada clase tiene un representante llamado fracción irreducible. Así, están en la
misma clase
1 _ 1(2) _ 2 —1(3) _ 3 _ 1(4) _ 4 _ 5
2 2(2) 4 2(3) 6 2(4) 8 10
64 Álgebra básica
El representante de esta clase es 1/2, el cual es irreducible. Una fracción se dice
irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, es
decir, sonprimosrelativos.(3) Es recomendable utilizar este representante irreducible
para simplificar los cálculos. La operación que consiste en reducir una fracción a
su representante irreducible se llama simplificación y se efectúa cancelando los
factores comunes a numerador y denominador.
En el ejemplo anterior los denominadores 3 y 5 son primos relativos, por eso
basta con cruzarlos; es decir, la primera fracción se multiplica por el denominador de
la segunda y la segunda por el denominador de la primera, y el común divisor resulta
ser el producto de los denominadores; pero, en general, el que funciona como
común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores, y para
averiguar el número por el que se debe multiplicar cada fracción, para convertirla
en otra equivalente con un denominador igual al denominador común, es necesario
dividir el máximo común divisor entre el denominador correspondiente:
3 5 3x3 5x2 9 10 19
8 12 8x3 12x2 24 24 24
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se obtiene descomponiendo los denominadores en sus factores primos y se multiplican todos los factores primos distintos
a la mayor potencia a la que aparecen. Así,
m.c m. (8, 12) =
2
2
2
12
6
3
1
2
2
3
8 = 23 12 = 22 x 3 entonces m.c.m. (8, 12 ) = 23 x 3 = 24
además 24/8 = 3 y 24/12 = 2
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores; ésta es la operación que se utilizó cuando se multiplicó cada fracción por
la unidad, convertida en una fracción con el numerador y el denominador iguales:
(') Dos números se dicen primos relativos cuando su máximo común divisor es 1.
2. Sistemas numéricos
65
1 7 7
--x-=3 5 15
o también
1
14
7
7
x -=2x
=
-2 x3 5 15 15
La operación de dividir una fracción entre otra consiste en multiplicar el numerador por el inverso del denominador, por ejemplo:
1.
21
3
2
2x36
3 1 1 1
2.
2
2
3
2 2 3 6
2=1x2=2=3
3
3.
lo
-s
z
3
10
10 _
3_30
5
_
2
5x2 103
3
Notación decimal
Las fracciones, como los números enteros , se pueden escribir en notación posicional.
Así,
1
25
20
5
2
5
4 100 100 100 10 100
Álgebra básica
66
Si se conviene en suprimir las potencias de 10, esto es, 10 y 100, así como las
mayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir 1/4:= 0.25. El punto
decimal recuerda que el primer número es en realidad 2/10, el segundo 5/100, y así
sucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional para las fracciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de 10, igual que para los números
enteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los algebristas
europeos del siglo Xvi.
Las operaciones con fracciones se pueden efectuar también en forma decimal.
Lo que resulta frustrante de la representación decimal de fracciones es que no todas
las fracciones simples se pueden escribir como decimales con un número finito de
dígitos. Así, cuando se trata de expresar 1/3 como decimal, resulta que no basta
con 0.3, ni con 0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de éste y
otros casos parecidos es que, agregando dígitos, es posible aproximarse cada vez
más a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta.
Este hecho se expresa con la notación:
1
3 = 0.333...,
en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un 3
para aproximarse más y más a la fracción 1/3. Es importante resalitar que la expresión decimal de los números fraccionarios es finita o periódica; en el ejemplo anterior el periodo que se repite es el número 3, lo cual también se indica como:
1
3 - = 0.333...,= 0.3
Cuando la expresión decimal de un número no es de ninguno de los tipos mencionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente no es
racional y se llama entonces irracional:
{irracionales} = Q'= complemento de los racionales Q.
Ejercicios de 2.1.2
1. ¿Cuál es el principio de la notación posicional?
2. ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional?
3. ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número?
4. ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones?
2. Sistemas numéricos 67
2.2. NÚMEROS REALES
2.2.1. Números irracionales
Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el concepto mismo de número y en tratar de emplear los números para describir los fenómenos fundamentales de los mundos físico y social. Para los pitagóricos, los números
también fueron interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les gustaron los números cuadráticos, es decir, números como 4, 9, 16, 25, 36, etcétera, y observaron que
las sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados perfectos, eran también
números cuadráticos. Por ejemplo, 9 + 16 = 25, 25 + 144 = 169 y 36 + 64 = 100.
También se pueden escribir así estas relaciones:
32+42=52, 52+ 122= 132 y 62+ 82=102
A los conjuntos de tres números, cuyos cuadrados satisfacen igualdades como
éstas, se les sigue llamando temas pitagóricas. Así, 3, 4 y 5 constituyen una tema
pitagórica porque: 32 +4 2 = 52.
Los pitagóricos trabajaron mucho con estas ternas, fundamentalmente porque
se prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras).
Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman el
ángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir, los catetos, entonces el tercer
número será la longitud de la hipotenusa (véase figura 2.2).
FIGURA 2.2
5
Los pitagóricos edificaron una filosofía, para ellos muy satisfactoria, en la que
se aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y sociales
no eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre números enteros.
Álgebra básica
68
Pero cierto día, a uno de los miembros de la secta se le ocurrió examinar el caso, al
parecer más sencillo, del Teorema de Pitágoras: supongamos que cada uno de los
catetos de un triángulo (figura 2.3) tiene una longitud de 1. ¿Cuál será entonces la
longitud de la hipotenusa? El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado (de
la longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.
Por lo tanto, si llamamos c a la longitud desconocida de la hipotenusa, de acuerdo
con el teorema tendremos que:
12+
c2=2
C 2=
12
FIGURA 2.3
1
Pero 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y entonces e
no es un número entero. Pero podría ser una fracción, esto es, seguramente habría
una fracción cuyo cuadrado fuera 2. La fracción 7/5 se acerca al valor correcto
porque (7/5)2= 49/25, que es casi 2. Pero por muchas pruebas que se hagan no se
encontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2.
Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así: se
requiere encontrar un número cuyo cuadrado sea 2. Supóngase ahora que 2 es la
fracción [a/b]2, en donde a y b son números enteros. Para simplificar más el problema, se supone que ya se han eliminado todos los factores comunes de ay b (a/b es
una fracción irreducible).
La operación inversa de elevar al cuadrado es obtener la raíz cuadrada:
(1)
De ser correcta la ecuación 1, entonces, elevando al cuadrado sus dos miembros,
paso que se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números
2. Sistemas numéricos
69
iguales dan resultados iguales (multiplicando el miembro izquierdo por
cho por alb ), se obtiene:
y el dere-
a2
2 = b2
Aplicando el axioma anterior, se multiplican ambos miembros de la ecuación
por b2 y se tiene:
2b2=
a2
(2)
El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2
como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número par.
Pero si a2 es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, a deberá ser par
también. Si a es par debe contener 2 como factor, esto es, a= 2d, en donde des un
número entero. Sustituyendo este valor de a en la ecuación 2 se obtiene:
2b2 = (2d )2 = (2d)(2d) = 4d 2
Como:
(3)
2b2 = 4d 2
se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener
b2
=
2d2
(4)
Por lo que b2 es número par y recurriendo una vez más al resultado del ejercicio 3,
b tendrá que ser igualmente número par.
Lo que demuestra esta argumentación es que si
= alb, entonces ay b deben
ser números pares. Pero la fracción es irreducible, y a y b siguen conteniendo 2
como factor común . ¡ Contradicción ! Como el razonamiento es correcto, la única
posible equivocación estriba en el supuesto de que
equivale a una fracción. En
otras palabras, _F no puede ser la razón de dos números enteros.
es un número porque representa la longitud de una línea, la
El símbolo
hipotenusa de un triángulo , pero este número no es ni un entero ni una fracción.
También descubrieron que hay una colección infinita de otros números que tampoco son enteros o fracciones . Así, j3, y f7 , en general, la raíz cuadrada de
cualquier número que no sea cuadrado perfecto , la raíz cúbica de cualquier número que no sea cubo perfecto , y así sucesivamente , son números que ni son enteros
ni son fracciones . El número n, que es la razón de la circunferencia a su diámetro,
tampoco es entero o fraccionario . Todos estos "nuevos" números se llaman números
7 0 Álgebra básica
irracionales. La palabra irracional significa ahora que estos números no pueden
expresarse como razones de números enteros, pero en tiempos de los pitagóricos
quería decir inmencionable, inescrutable o inconocible.
Al agregar los irracionales a los racionales se obtiene el sistema de números
reales 9Z = Q u {Irracionales}, en el que están bien definidas: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación (4) y la radicación (5) de números no negativos.
Para poder utilizar los números irracionales se debe establecer la manera de
operar con ellos; es decir, cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Es cierto que
(J2)(-/3) = -I
Para multiplicar raíces cuadradas es suficiente con multiplicarlos radicandos.
Para la división, ,,9 //4 , el procedimiento es semejante al caso de la multiplicación:
pues esta ecuación informa sencillamente que 3/2 = 3/2.
Ejercicios de 2.2.1
1. Demostrar que el cuadrado de cualquier número par es par también. (Sugerencia: por definición, todo número par contiene 2 como factor, es decir, se representa como 2n.)
2. Demostrar que el cuadrado de cualquier número impar es también impar. (Sugerencia: todo número impar termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y puede representarse
como 2n + 1.)
3. Sea a un número entero. Demostrar que si a2 es par, entonces a es par también.
(Sugerencia: utilizar el resultado del ejercicio 1.)
4. Establecer la verdad o la falsedad de la afirmación de que la suma de cualesquiera dos cuadrados es asimismo el cuadrado de un número.
(4) Potenciación es la operación inversa de la radicación: elevar a una potencia un número, multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente.
s> Radicación es la operación para obtener la raíz de un número.
2. Sistemas numéricos 71
5. Expresar las soluciones a estos problemas de la manera más concisa posible:
a) J7 +-7 b) -,F3- *V7- cJ ( )(i )
6. Simplificar las siguientes expresiones:
aj -J50
bj 200
c) -Y7-5-
(Sugerencia : 50 = (25 )(2) = 25 * 12)
7. Explicar qué significa la afirmación de que n no es un número racional. ¿Es
cierto que n = 22/7?
8. Dado
4= {3, -1/3, f3 , 1/7, 0, 272727..., x, -2, 8/7, 3, 1/4, 0, 1/2}
escribir los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes:
a) B= {xJ xe.4yxE Z}
b) C= {xI xE Ayxe Q}
c) D= {x1 xE Ayxe W}
d) E= {xi xE Ayxe N}
e) G= {x I x c- ,4 y x es irracional}
f) H= {x1 x e A y x es un entero positivo par}
g) J= {x i x E A y x es un número primo}
h) K= {x1 x c= A y x es el inverso aditivo de un número natural}
9. De los conjuntos siguientes , ¿cuáles son finitos y cuáles infinitos?
a) {x i x es número natural par}
b) {xI x es cualquiera del primer millón de números naturales}
c) {x i x E Q y x está entre 3 y 4}
d) {xi xE Qy xestá entre 1/4 y 1/3}
e) {xi x c- Q y x está entre 1/4000 y 1/3000}
f) {x1 x c= Wy x está entre 3000 y 4000}
g) {xi x c= Wy x está entre 3 y 3 billones}
h) {xi x c- Wy x es menor que 3 billones}
ij {x l x E Wy x es mayor que 3 billones}
72 Álgebra básica
Analizar las afirmaciones de los ejercicios 10 a 30 y marcar si son verdaderas o
falsas.
10. Wc N
11. Nc Q
12. Wc Q
13. Zc Q
14. QnQ'=0
15. 2 E Q
16. QuQ'=9?
17. Si a e Q, entonces a c= 9?
18. Si a E X, entonces a E Q
19. Si a E Z, entonces a c= Q
20. SiaE {0},aE 9?
21. ZuQ=V
22. O u N= W
23. {0} E N
24. Zu Q= Q
25. Nn W= {0}
26. 0 c {0}
27. -3 E W
28. -3 E Q
29. NE 9i
30. (ZuQ)c9?
Explicar por qué los números de los ejercicios 31 a 36 son racionales.
31. 0.3
32. 3.61
33. 1/7
34. 1416
35. 15%
36. 0.5%
En los ejercicios 37 a 46, encontrar el número decimal que es equivalente al
número dado.
37. 7/8
38. 3/500
2. Sistemas numéricos 73
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
5 2/3
1 /9
7/11
3 3/7
14
2/5%
0.7%
102%
Encontrar una fracción que sea equivalente a cada uno de los números decimales periódicos dados en los ejercicios 47 a 50.
47. 0.444
48. 0.707070...
49. 1.21414
50. 3.023023...
2.3. LEYES Y PROPIEDADES
2.3.1. Axiomas relativos a los números
Para entender el proceso deductivo de las matemáticas de los números es necesario
reconocer la existencia y el empleo de axiomas (verdades absolutas). Los más
importantes son los siguientes:
Axioma 1. Para cualesquiera dos números ay b:
a+b=b+a
Éste es el axioma conmutativo de la adición. Afirma que se puede conmutar, o
intercambiar, el orden de los dos números al sumarlos.
La sustracción no es conmutativa: 3 - 5 no es lo mismo que 5 - 3.
Si se tuviera que calcular 3 + 4 + 5, primero se podrían sumar 4 y 3 y luego
añadir 5 a este resultado; o se podrían sumar 5 y 4 y después el resultado a 3. Desde
luego, la suma será la misma en ambos casos, y esto es exactamente lo que afirma
el segundo axioma.
74
Álgebra básica
Axioma 2. Para cualesquiera números a, b y c.-
(a+b)+c= a+(b+c)
Éste es el axioma asociativo de la adición. Indica que se pueden asociar los tres
números de dos maneras diferentes al ejecutar la adición.
Los dos axiomas anteriores tienen sus correspondientes para la multiplicación.
Axioma 3. Para cualesquiera dos números a y b.ab=ba
Éste se llama axioma conmutativo de la multiplicación.
Axioma 4. Para cualesquiera tres números a, b y c.•
(ab)c = a(bc)
Éste se denomina axioma asociativo de la multiplicación. Significa que [(3)(4)]5 =
3 [(4)(5)].(6)
Como ya se destacó, la existencia del número 0 fue crucial para el avance de los
sistemas numéricos. Para reconocer formalmente que existe tal número y posee las
propiedades que requiere su significado fisico, se enuncia el siguiente axioma:
Axioma 5. Hay un único número 0 tal que
a) 0 + a = a para todo número a
b) 0 (a) = 0 para todo número a
c) si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambos son 0
El número 1 es otro número con propiedades especiales, que se especifican en
el sexto axioma.
Axioma 6. Hay un único número 1 tal que
1(a) = a para todo número a
(6) Observa el uso de los diferentes tipos de paréntesis para aclarar la forma de asociación.
2. Sistemas numéricos 75
Como ya se ha mencionado, además de la suma y la multiplicación se tienen
operaciones como la sustracción y la división. Se sabe que, dados cualesquiera dos
números a y b, hay otro número e que resulta de sustraer b a a. Pero la sustracción
es la operación inversa de la adición. Esto significa sencillamente que si se tiene
que encontrar la solución a 5 - 3 se puede preguntar, y de hecho así se hace, ¿cuál
es el número que agregado a 3 da 5? Si se sabe sumar se puede solucionar el
problema de restar. Aun cuando se obtiene la respuesta mediante un procedimiento
especial de sustracción, la comprobación consiste en sumar el resultado a la cantidad sustraída para ver si da el número original, o minuendo.(') Por lo tanto, es un
problema de sustracción, como 5 - 3 = x,• pero lo que en realidad se está pidiendo
es el número x que sumado a 3 dé 5: es decir, x+ 3 = 5. El axioma 7 establece la
existencia de la soluciónN de esta ecuación:M
,4xioma 7. Si ay b son dos números cualesquiera , hay un único . número x
tal que
a=b+x
El número x es lo que comúnmente se representa con a - b.
Con respecto a la multiplicación, la división es también su operación inversa.
Cuando se trata de calcular 8/2 se puede reducir el problema de división a problema de multiplicación, preguntando qué número x, multiplicado por 2, da 8, y si se
sabe multiplicar se encontrará la respuesta. También aquí, como en el caso de la
sustracción, aun si se aplica un procedimiento especial de división, larga, para
encontrar la respuesta, se comprobará el resultado multiplicando el divisor (10) por
el cociente para ver si el producto es el dividendo (cuando la división es exacta, de
otra manera es necesario sumar el residuo). Esto quiere decir sencillamente que el
significado básico de a/b es el de encontrar algún número x tal que b x = a.
(7) Los números que intervienen en la resta se llaman minuendo, el número del que se desea sustraer
otro; sustraendo, que es el que se quita al minuendo; y resta, que se refiere al resultado.
8> Se llama solución al número que hace cierta la igualdad establecida.
Se llama ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una
combinación de letras y números relacionados mediante operaciones aritméticas.
(lO) Divisor, dividendo y cociente son los nombres que reciben los números que intervienen en una
división. Dividendo es el número que se va a repartir, divisor es el número entre el que se va a
repartir el dividendo y cociente es el resultado de la operación.
76 Álgebra básica
Axioma 8. Si ay b son dos números cualesquiera, pero b :pe, 0, entonces hay
un único número x tal que
bx= a
Por supuesto, x es el número que se acostumbra designar con a/b.
El axioma que aparece a continuación no es tan obvio. Afirma, por ejemplo,
que (3 )(6) + (3)(5) = 3( 6 + 5). En este ejemplo se pueden hacer los cálculos para
saber si los miembros izquierdo y derecho son iguales. Supóngase que se tienen
dos lotes de producción , uno de 157 y el otro de 379 artículos, y que el costo de
producción por artículo no depende del tamaño del lote y es de $7.00; el costo total
entonces es de (7)(157) + (7)(379 ). Pero si todos estos artículos hubieran resultado
de una sola corrida, es decir, se hubieran producido (157 + 379), entonces el costo
habría sido de (7)(157 + 379). Los hechos muestran que, en estas condiciones, el
costo de producir dos lotes es el mismo que el de producir uno solo mayor , esto es:
(7)(157) + (7)(379) = (7)(157 + 379).
Dicho en términos generales , queda:
Axioma 9. Para cualesquiera tres números a, b y e.ab + ac = a (b + e)
Éste es el axioma distributivo o ley distributiva, que relaciona las dos operaciones, la suma y la multiplicación. Por ejemplo, para calcular 571 x 36 + 571 x 64 =
571(36 + 64) = (571) (100) = 57100. Ordinariamente se dice que se obtiene 571
como factor común de la suma (o bien, que se ha factorizado esta expresión). Se
observa que:
ab+ac=a(b+c)
y también:
ba+ca=(b+c)a
Además de los axiomas anteriores , se tienen otros que se refieren a propiedades
evidentes de los números:
Axioma 10. Números iguales a otro son iguales entre sí.
2. Sistemas numéricos 77
Axioma 11. Si a números iguales se suman o restan números iguales, los
resultados serán iguales ; y si números iguales se multiplican o
dividen entre números iguales, los resultados serán iguales. (No
olvidar que está prohibida la división entre 0.)
El conjunto de axiomas enunciados no está completo, es decir, no forma la base
lógica de todas las propiedades de los números enteros positivos y negativos, los
fraccionarios y los irracionales. Sin embargo, en estos axiomas se tiene la base
lógica de lo que se acostumbra hacer con los números en el álgebra básica.
Ejercicios de 2.3.1
1. ¿Es cierto que 256(437 + 729) = 256 x 437 + 256 x 729?
¿Por qué?
2. ¿Es correcto afirmar que a(b - c) = ab - ac?
(Sugerencia : b - c = b + (-c))
3. Completa las operaciones que se piden en los siguientes ejemplos:
a) 3a+ 9a Q b) a(3) +a (9) c) 7a- 9a q
d) 3(2a+ 4b) Q e) (4a+ 5b)7 j a (a+ b)
g) a(a-b)
4. Efectúa la multiplicación
(a+ 3)(a+ 2)
(Sugerencia : trata (a+ 3) como un solo número y aplica el axioma distributivo.)
5. Calcula (n+ 1)(n+ 1)
6. Si 3x = 6, ¿es x = 2?, ¿por qué?
7. ¿Es correcto que a+ (be) = (a+ b)(a+ c)?
8. Calcula:
a) 3/4 + 4/7 L, b) 3/5 - 4/7 q c) 4/7 - 3/5
d) 2/9 + 5/12 Q
e) 2/9 - 5/12
f) 2/9 - (-5 /12)
78
Álgebra básica
g) -2/9 +(-5/12)
h) a/b + c /d ij a/b -c/d
j) a/b - (-c/d)
k) 1/x+ 1/2
9. Calcula:
a) (3/5)(4/9)
b) (3/5)(-4/9) P
d) (-3/5)(-4/9)
e) (a/b)(c /d) f (a/b)( c/a) P
g) (a/b)(b/a)
h) (a/b)(-c/d)
j) 2/3 + 3/7
k) 3/5 + 6/10 ) 21/ 6 + 7/4 P
in) a/b - c/d
n) 21/8 - 5 (1/2) o)-8-2
c) (-3 /5)(-4/9)
) 2/5 + 1 /5
10. Calcula:
a) [(2)( 5)] x(2)(7)]
b) (2a)(2b) c) ( 2a)(3b)
d) (2x)(3y) q
e) (2x)(3y)(4z)
11. Calcula:
a) (3/4)(5/7) _ 3/2
b) (3 + 6a)/3
d) (4x + 8y)/2 q-
e) (ab + ac)la
c) (3a + 6b)/3
12. Calcula:
c) .19
,14
a) 49
'3
g) ,i2 -,,'4 h) 2 • r5
2. Sistemas numéricos 79
13. Simplifica:
a) ✓32 b) ^✓48 e) -172 d)
127 27
g) /- h) J 8
14. Escribe como fracción:
a) 0.294
b) 0.3742 c) 0.08
d) 0.003
15. Aproxima, con números que sean correctos, hasta una cifra decimal:
a) ✓3 b) - 1-5
c)_,7
2.3.2. Propiedades de igualdad
El símbolo = se usa entre conjuntos para indicar que ambos tienen los mismos elementos. También se escribe a = b para indicar que a y b representan el mismo
elemento de algún conjunto. Se requieren ciertas suposiciones acerca de la relación de igualdad respecto al conjunto de los números reales. Estas hipótesis pueden
parecer triviales, pero son extremadamente importantes en el desarrollo lógico de
este sistema.
Postulado 1. La propiedad reflexiva de la igualdad
Para cada a E 9?, a = a
Postulado 2. La propiedad de simetría de la igualdad
Si a, bE 9?y si a=b, entonces b=a
Postulado 3. La propiedad transitiva de la igualdad
Si a, b, c E=- 9Z y si a= b y b= c, entonces a= c
Postulado 4. La propiedad de sustitución de la igualdad
Si a, b e 9iy si a= b, entonces apuede ser sustituida por b en cualquier
expresión, enunciado específico o proposición abierta. Tal sustitución
Álgebra básica
80
no cambia el valor de la expresión ni altera la veracidad del enunciado
específico, ni el conjunto de verdad de la proposición abierta.
La primera de estas propiedades, la propiedad reflexiva, ciertamente parece obvia, pero debe destacarse que no todas las relaciones sobre el conjunto de los números reales tienen esta propiedad. Por ejemplo, no es cierto que a < a para cada
número real a. Nótese también que si a, b e 9? y si a < b, no se sigue que b < a. Es
decir, la relación menor que no tiene la propiedad de simetría. ¿Tendrá la propiedad transitiva?
2.3.3. Postulados de orden
Los postulados de la igualdad ayudan a comparar números que no son iguales, tales
como 13 y 2. En el caso de 13 y 2 se sabe que 2 es la cardinalidad de un conjunto que
se puede equiparar con un subconjunto propio de un conjunto de cardinalidad 13 y,
por tanto, 2 es menor que 13. Se dice que una persona con un cuarto de su problema
correcto tiene menor cantidad correcta que una persona con la mitad correcta; o que
un terreno de media hectárea es mayor que otro de un cuarto de hectárea. Éste es el
lenguaje que se requiere formalizar.
Se desea establecer una relación de orden entre los números reales. Esto significa que dados dos elementos diferentes de 9 uno debe ser menor que el otro y se
debe tener la posibilidad de decidir cuál es el más pequeño.
Como primer paso en el desarrollo de estas nociones se supone que el conjunto
de los números reales 9? tiene un subconjunto propio P con las propiedades descritas en los postulados siguientes, llamados postulados de orden.
2.3.4. Postulado de tricotomía
Si x e -T, entonces una, y sólo una, de las proposiciones siguientes es verdadera:
xE P, -xE P o x=0
Postulado de cerradura para P.Six,ye P, entonces x +yE PyxyE P.
Se procede a definir P.•
2. Sistemas numéricos
81
Todo elemento de Pse llama número real positivo.
x es negativo si y sólo si -x es positivo
Para cada par de números reales x y y, se dice que x es menor que y (se denota
por x < y) si y sólo si (y - x) E P
Para cada par de números reales x, y,
x es mayor que y (se denota por x >y) si y sólo s¡ y <x.
Las siguientes proposiciones se llaman desigualdades.•
x<y
x>y
(x es menor que y)
(x es mayor que y)
x<_ y (x es menor o igual que y)
x >- y (x es mayor o igual que y)
Así, el conjunto de los números reales se expresa como la unión de tres conjuntos ajenos: el de los números positivos, el que contiene sólo al 0 y el de los números
negativos.
9i=Pu{O}u{x1 -xEP}
Los números positivos son mayores tanto que 0 como que todos los negativos.
Entonces, todo número no nulo es positivo o negativo. De ser positivo es mayor
que 0 y si es negativo es menor que 0.
Teorema de tricotomía
Dados cualesquiera dos números reales xyy, una y sólo una de las proposiciones
siguientes es verdadera:
x <y,
y<x,
x=y
La desigualdad tiene propiedades similares a las de la igualdad, que son necesarias para encontrar la solución de ecuaciones.
82 Álgebra básica
Teorema. x <y=¿ (") x+z<y+z
x>y=> x+z>y+z
Se puede sumar cualquier número a ambos lados de una desigualdad y obtener una desigualdad equivalente. Sin embargo, el resultado de multiplicar ambos
lados por un número depende de si el multiplicador es positivo o negativo. Al
multiplicar por un número positivo se cumple:
x<y
x>y
y
y
z>0=xz<yz
z>0=xz>yz
Segunda proposición:
x>y
y Z>0^(12)
Y<x
y
z>O=>yZ <xz= xz >yz
Es muy importante destacar que cuando se multiplica una desigualdad por un
número negativo, se debe cambiar un menor que por un mayor que y viceversa.
2<4
z<0
z= -2
3>2
z<0
z=-2
al multiplicar por z.(-2)(2) > (-2)(4)
-4>-8
3(-2) < 2(-2)
-6<-4
Las relaciones de orden < y >, al igual que =, son transitivas.
Teorema de transitividad para desigualdades
x<y y y<z=x<z
x>y y y>z=> x>z
I") = es el símbolo de implicación, corresponde a si.., entonces...
(1 2) a es el símbolo de equivalencia, se lee ...siy sólo si...
2. Sistemas numéricos
83
También son ciertas:
x <y,
x >y,
a<b=x+a<y+b
a>b=x+a>y+b
x, y, a, b> 0, x<y
x, y,a,b>0, x>y
y
y
a<b=ax>by
a>b= ax> by
Ejercicios del 2.3
1. ¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 0?
2. ¿Es 1 = 0? Justifica la respuesta.
3. ¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 1?
4. ¿Qué expresa el teorema de tricotomía acerca del par de números 0 y 1?
5. ¿Qué dice el teorema de tricotomía acerca del par de números -1 y 1?
6. Aplica la definición de menor que a los siguientes hechos. ¿Qué se puede
concluir?
a)5<7
b) -3<-2 ),
c) 15 - 5 E P
d) 20-16EP
e) 14-18EP
f) -3(-2) E P
7. Aplica la definición de mayorquea los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir?
a) 5>2
b) -3>-7 P
c) 10>0
8. Aplica la definición de negativo a los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir?
a) -5 es negativo.
b) 4 es negativo.
c) a + b es negativo.
d) a + b es positivo.
e) xy es positivo.
f) xy es negativo.
gj (a+ b) es negativo.
h) (xy) es positivo.
84 Álgebra básica
9. Aplica la definición de > a cada una de las proposiciones del ejercicio anterior
¿Cuáles son las conclusiones?
10. Supón que cada una de las proposiciones siguientes es verdadeira y escribe una
conclusión que se pueda derivar de ella. La conclusión no es necesariamente
cierta. ¿Por qué?
a) -5>0
b)-2EP
c) a: b y a no es menor que b
d) 7-5E P
e) 7>0
f) -8-6E P
g) 3> 1
h) 5no es menor que 3y5:#- 3
i) 2y7EP
j) -4 es un número negativo
k) ano es mayor que 0 y ano es menor que 0
2.4. VALOR ABSOLUTO
¿Qué tienen en común los números 7 y -7? Son números enteros que constituyen
las coordenadas de dos puntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos
quedan a la misma distancia del origen (véase figura 2.4).
FIGURA 2.4
-7
0
En otras palabras, -7 está tan lejos a la izquierda de 0 como 7 a la derecha del
mismo. Este hecho se señala empleando la notación de valor absoluto en la forma
siguiente:
1-71 = 7, que se lee: el valor absoluto de -7 es 7.
171 = 7, que se lee: el valor absoluto de 7 es 7.
2. Sistemas numéricos
85
Geométricamente, para cualquier número real x, IxI es la distancia (sin tomar en
cuenta el sentido) del origen al número x. Observa que para un número positivo IxI =
x y para un número negativo IxI = -x
Así, la definición de valor absoluto es:
xi =
^x cuando x >- 0
-x cuando x < 0
Propiedades:
1. Para k> 0, IxI = k, si y sólo si , x= ko -x= k, además 101 0
2. Para k> 0, IxI < k, si y sólo si , -k< x< k
3. Para k>- 0, IxI > k, si y sólo si , x< -ko x> k
4. IxI = I-xI
5. Ixl ?x? -IxI
6. Ixyl = IxI Iyl
7. ¡x x
y y
cony^0
8. Ix+yl <- IxI +[y¡ desigualdad del triángulo
9. Ix"I =x" si n es un entero par
Ejemplos de 2.4
1. Resuelve x - 5 =1
x-51
Solución:
Esta ecuación se resuelve (`3) a partir de la definición de valor absoluto y del
conocimiento de las fracciones:
Ix-51=x-5 cuando x- 5 - 0=> x - 5,pero x=5=Ix-5I =0que no puede
aparecer en el denominador, entonces la solución es x> 5.
"'Resuelve se refiere a encontrar el o los valores de x que hacen cierta la ecuación.
86
Álgebra básica
2. Encuentra el conjunto solución que satisface 1x - 21 < 3.
Solución:
Por la propiedad 2 es equivalente a -3 <- x - 2:5 3 = -1 <- x<- 5
3. Grafica 1x + 11 > 2
Solución:
Esto es lo mismo que 1x-(-1)1 que se interpreta como la distancia entre xy -1
mayor que 2 .•. la representación gráfica se presenta en la figura 2.5:
FIGURA 2.5
-1 0 1
Ejercicios de 2.4
1. Califica cada proposición como falsa o verdadera:
a) -1- 2/31= 2/3
b) 1-10001 < 0
c) 1-1/21=2
d) I-(-1)1 =-1
e) Ix1 - Lv1 =x-y
f) 1x-y1=x-y
2. Resuelve para x y grafica
87
2. Sistemas numéricos
2.5. APLICACIONES
Uno de los usos frecuentes de la propiedad distributiva es la de abreviar los cálculos, así por ejemplo, el producto de 7(999) = 7(1000 - 1) = 7000 - 7 = 6993.
Ejercicio
Aplicar esta idea para realizar los siguientes cálculos:
1. 4(9995)
2. 6(99997)
3. 3(999992)
Otra muestra de la aplicación de esta propiedad es el juego de adivinanzas
numéricas:
Estrategia
• Piensa un número
• Súmale 3
• Triplica el resultado
• Réstale 9
• Divide entre el número que p ensaste
Operaciones
x
x+3
3(x+ 3) = 3x+ 9
3(x+3)-9=3x
3(x+3)-9
3
x
• El resultado es
3
4. ¿Cuál es el resultado del siguiente acertijo?
Estrategia
• Piensa un número
• Súmale 5
• Quintuplica el resultado
• Réstale 25
• Divide entre el número que pensaste
• El resultado es
Operaciones
88
Álgebra básica
5. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 120 km /hora en
carretera y de 80 km/hora en la ciudad . Maneja diariamente 6 horas y recorre
660 km . ¿ Cuánto tiempo conduce en carretera y cuánto en la ciudad?
Solución:
Si x es el tiempo que conduce en carretera, el tiempo que conduce en la ciudad
es 6 - x,- entonces la distancia de cada recorrido se expresa, recordando que la
distancia se calcula como el tiempo por la velocidad, como 120.x+ 80(6 - x) y
es de 660 km, entonces, 120x+ 80(6 - x) = 660, que se convierte, usando la ley
distributiva, en: 120x+ 80(6) - 80x= 40x+ 480 = 660 .•. x= (660 - 480)/40 =
4.5 en la ciudad conduce 6 - 4.5 = 1.5 horas y en carretera 4.5 horas.
6. El propietario de una tienda, con objeto de aumentar la venta de 30 kilos de
avellanas, que no ha podido vender, con precio de venta de $150.00 por kilo,
pretende mezclarlas con nueces, que vende a $120.00 el kilo y vender la mezcla
a $138.00. ¿Cuántos kilos de nueces debe agregar a las avellanas?
Solución:
Si ,r es el número de kilos de nueces que debe agregar, entonces la, mezcla será de
30 + x kilos, el precio de la mezcla se puede expresar como 120x + 150(30) =
138(30 +x), lo que se convierte en 120x+4500 =138(30) + 138x= 4140+ 138x.-.
18x= 360 x= 20; esto es, necesita agregar a las avellanas 20 kilos de nueces.
7. Con una pequeña sierra un talador clandestino puede limpiar en seis días un
kilómetro de camino en un bosque. Con una sierra mayor, puede hacerlo en tres
días. Si tuviera ambas a su disposición, ¿en cuánto tiempo podría terminar?
Solución:
Si con la sierra pequeña en seis días se tala un kilómetro, esto significa que cada
día limpia 1/6 de kilómetro, y con la grande, cada día avanza 1 /3 de kilómetro. Si
,res el número de días que necesita trabajar con ambas herramientas, entonces
1 1 (1 1 3 1
6x+3x=1 km .•.\^+3 =6x=2x=1=>x=2,
con las dos sierras juntas tardaría dos días en talar un kilómetro de bosque.
2. Sistemas numéricos 89
2.6. EL PAQUETE MATHEMATICA Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
Muchos programas pueden realizar cálculos numéricos . Mathematica va más allá,
ya que puede efectuar cálculos en los que la respuesta no es un número sino una
expresión como: 27x+ 8 . En vez de manejar : (5 + 4) ^7 (14) puede manejar (a+ b)
^7. Puede multiplicar : Expand ('s) [(a + b) ^7] = a7 + ...; integrar: Integrate (16)
[(a + b) ^7, a]; o efectuar cálculos simbólicos como Permutations(U ) [ {Jorge, eva,
daniel, fernando }]. (18)
Mathematica permite la manipulación de una amplia variedad de funciones
matemáticas , así como también de objetos , como matrices. Pueden efectuarse operaciones como suma , resta, multiplicación, inversión, composición de funciones o
matrices, cálculo de valores y vectores propios. También maneja datos, proporciona
sus estadísticas y efectúa análisis. De la misma manera, permite la interpolación y
el cálculo de mínimos cuadrados , pudiendo encontrar la función que mejor representa el comportamiento de una variable.
La diagonal / indica división y el asterisco * o el espacio significan multiplicación 2 * 3 * 4 = (2) (3) (4) = 24.
También utiliza la notación científica (potencias de 10). Dos diagonales al final
indican que se desea un resultado aproximado.
In[40]:= 2^100
Out[40]= 1267650600228229401496703205376
In[41]:= 2^100//
Out[41]= 1.26765x1031
( 14) ^ Este símbolo se usa para indicar exponente , por ejemplo x2 se indica como x ^2.
115) Expandsignifica desarrollar.
6> Integrate quiere decir integrar.
Permutations significa permutaciones , cambio de orden.
81 Mathematica cuenta con una sección de ayuda a la cual el usuario tiene acceso mediante el uso de
los siguientes símbolos , además del h'elp.? seguida del símbolo , función , comando, operador o aquello de lo cual se tiene duda. Por ejemplo, suponga que se desea información del comando Pb!.
o entonces el usuario deberá dar la inso para
trucción ? Plot,• la máquina mostrará la información básica de cómo usar el comando Pb!
graficar. Si se requiere más información , se usan entonces dos signos de interrogación : ??Plot.
Álgebra básica
90
En Mathematica no se efectúan automáticamente las aproximaciones de un cálculo numérico, a menos que se le indique. Por ejemplo, si se desea calcular la raíz
cuadrada de 12, el resultado que muestra es:
In[2]:= Sqrt(12)
Out[2]= 2 Sqrt [3]
Pero si se desea el cálculo numérico, debe indicarse añadiendo la función: N
In[3]:= N[Sgrt[12]], obteniéndose: Out[3]= 3.4641
Para encontrar el valor numérico del logaritmo de 4n, se procede:
In[4]:= N[Log [4 Pi]](19)
Out[4]= 2.53102
Si se desea una expresión con 40 decimales, entonces se agrega a ;[a función N
un segundo argumento que lo indica:
In[5]:= N [Log [4 Pi], 40]
Out[5]= 2.531024246969290792977891594269411847798
Cuando se aplica un exponente a un decimal, automáticamente contesta con
otro decimal, y cuando la operación se efectúa con fracciones la respuesta se obtiene
en fracciones.
In[6]:= Sqrt[2.5], responde
Out[6]= 1.4421
In[7]:= 3/4 + 5/8
Out[7]= 11/8
Cuando se manejan números racionales pueden elegirse resultados fraccionarios
o decimales; cuando se requieren decimales se agregan //N(20) al final.
(19) Las funciones se indican con la primera letra mayúscula y las demás minúsculas, y su argumento
se encierra entre corchetes, como ya se indicó.
20 La instrucción //N solicita un valor numérico.
2. Sistemas numéricos
91
In[42]:= 1/3 + 2/7
Out[42]= 13/21
In[43 ]:= 1/3 + 2/7 //N
Out[43]= 0.619048
Otra forma de indicar aproximaciones es el uso de un punto después del
número. 3 es un número exacto y 3. es un número aproximado.
La instrucción N[ ] puede convertir un número exacto en aproximado.
El paquete obtiene el valor exacto de factoriales y también sus resultados
aproximados.
In[44]:= 28!
Out[44]= 3048883446117138605015040000
In[45]:= 35! //N
Out[45]= 1.0331x104°
También maneja números complejos, pero la parte imaginaria que aparece multiplicada por el número i, la raíz cuadrada de -1, se representa con I(i mayúscula).
In[46]:= Sqrt[-16]
Out[46]= 41
Log/xJes el logaritmo natural , un logaritmo de otra base se representa añadiendo
dentro del paréntesis primero la base: Logl2, 2S6J se refiere al logaritmo base 2
del número 256, log2(256).
El signo % se usa para referirse a valores asignados anteriormente a las variables.
% obtiene el último resultado generado.
%% se refiere al penúltimo resultado generado.
% (n veces) obtiene el n-ésimo resultado previo.
%n se refiere al resultado de la entrada n, OutlnJ
Es importante resaltar que , una vez asignado un valor a una variable, éste se
mantiene mientras no se indique lo contrario mediante x =. o Clear/xJ.
92 Álgebra básica
La aplicación más sencilla es la de utilizar el paquete como calculadora para
realizar cálculos numéricos. Se teclea la operación que se desea efectuar y el paquete da el resultado. La capacidad del paquete es, sin embargo, mayor que la de
cualquier calculadora, soporta 750 operaciones y maneja no sólo operaciones numéricas, sino también simbólicas y gráficas.
In[1]:= 52+158
Out[1]= 210
Mathematica usualmente envía mensajes de aviso al usuario, cuando la entrada
de datos no es la correcta o la esperada por el sistema.
Los argumentos de las funciones deben aparecer dentro de corchetes; si no se
introduce de esta manera aparece el mensaje de error. En la imagen 2.1 se muestra
un mensaje de error para la raíz cuadrada de 12.
IMAGEN 2.1
_8x
athema ca lor Windows - INewnb-1]
File Edir, Cell Graph ,Action 5tyle Options
v rdow Help
In[2J:=
Sgrt(12)
Syntax::bktwrn:
Warning: "Sgrt(12)" should probably be "Sgrt[12]".
out(2J=
12 Sgrt
Inj3J:=
Sqrt [12]
Out[3]=
]
2 Sqrt[3]
Time = 0 .52 Seconds 7220K Bytes Free
2. Sistemas numéricos
93
La función raíz cuadrada debe tener un solo argumento y Mathematica envía un
mensaje cuando se ha dado entrada a dos argumentos:
In[1]:= Sqrt [4, 5]
Aparece, con letras rojas
Sqrt : : argx: Sqrt called with 2 arguments ; 1 argument is expected.
Out[1]= Sqrt [4, 5]
Esto es, el paquete no realiza alguna operación , así reacciona cuando se le hace
una solicitud incorrectamente.
Cada mensaje tiene un nombre y este mensaje se puede eliminar a partir de su
nombre y la instrucción Off
In[2]:= Off [Sqrt : : argx]
In[1]:= Sqrt [4, 5]
Out[ 11= Sqrt [4, 5]
Para activarla nuevamente se utiliza la instrucción On acompañada por el nombre del mensaje:
In[4]:= On [Sgrt:: argx]
Álgebra básica
94
En la siguiente tabla se muestra un diccionario de los símbolos más usados en
el paquete para las operaciones:
Símbolo
Significado
Ejemplos
A
Indica la operación de exponenciación .
2^3 = 2'
!
Expresa la operación de división .
1/2 = 0.5
*
Indica la operación de multiplicación. Este operador
puede sustituirse por un espacio.
34*89 = (34)(89)
34 89 = (34)(89)
()
Permite especificar la prioridad de las operaciones, al
igual que en álgebra .
observe que:
(x + 3)1x:# x + 3/x
[]
Se usa para especificar los argumentos de funciones y
comandos.
Sin [x]
{}
Permite especificar un conjunto a partir de la
enumeración de sus elementos.
{1; 3, 5, 7}
un conjunto con
cuatro números
%
Se utiliza para referirse al resultado del cálculo anterior .
5*8 = 40
% ^2 = 1600
Permite el cálculo de un factorial.
5!:= 120
=
Indica asignación, conservando el mismo valor a través
del cálculo conjunto.
a=5
=
Corresponde a la definición de una función; es una
ecuación expresada con una o varias variables .
F[x]:= 3x + 2
F[a.]= 17
Prueba la igualdad
3x + 2 = = 0
para x = -2/3
Diferente. Es el contrario de
<
=
Permite una comparación: menor que.
>
Expresa una comparación : mayor que.
>=
Indica una comparación : menor o igual.
Permite una comparación : mayor o igual.
La forma abreviada de expresar operaciones como suma y el producto de muchos términos es a partir de las funciones:
Sum[f, {i, imin, imax} ] suma la función fde r,' desde imin hasta imax.(2 )
«'> imin, imax son los extremos del intervalo en el que se hace variar i. Por ejemplo
sum[3i' + 8, {i, 2, 5}] da 3(22) + 8 + 3(32) + 8 + 3(42) + 8 + 3(52) + 8 = 194.
2. Sistemas numéricos
95
Sum[f, {i, imin, imax , di}] suma la funciónfde i, desde imin hasta imax , creciendo
en pasos de tamaño di.
Sum[3i2-3, {i 2, 10,2}] da 3(22)+8+3(42)+8+3(62)+8+3(82)+8+3(102)+
8 = 700
Sum[f, {i, imin, imax}, {j , jmin, jmax}] es la doble suma sobre ambos índices i, J
Product[f, { i, imin, imax} ] es el producto de la función ¡de i desde imin hasta imax.
El punto y coma (;) al final de un renglón tiene el efecto de efectuar las operaciones sin indicar el resultado , se usa para operaciones intermedias.
Cuando se desea interrumpir la operación que Mathematica está efectuando, ya
sea porque se cree que hay un error o porque se tarda demasiado y se quiere saber
qué está haciendo , se logra con las instrucciones : Controly Co,4lt y,. La respuesta
del paquete es el menú:
Continue para continuar.
Show para mostrar lo que está haciendo.
Inspecipara analizar el estado actual del cálculo.
Abori para abortar el cálculo actual.
Exit para salir del paquete.
Los siguientes son los alcances de Mathematica:
• Efectúa operaciones aritméticas con números de hasta 1000 dígitos.
• Desarrolla un polinomio con hasta 1000 términos.
• Factoriza polinomios en tres variables con hasta 500 términos.
• Aplica una regla recursiva con hasta 10 000 iteraciones.
• Encuentra la matriz inversa de una matriz de hasta 100 x 100.
Estas operaciones toman sólo unos segundos.
Los siguientes ejemplos corresponden a algunos de los ejercicios propuestos,
resueltos usando Mathematica : 10 d), 11 d), 11 e), 12f) y 12 h) de los ejercicios
2.3.1 (véase imagen 2.2).
Álgebra básica
96
IMAGEN 2.2
_ D x
EScs +C icios he sisterrxas nwneicos.nb
--propuestos Solución usando
el los paquete
ort[t]= al ~os de`
eje r cicios
on [2]= 1 + 2 n + nz
u
2 3 1 Ejercicio 10 ^7)
In [s7:= Expancl[2 x 3 y]
o^rc[?7=
6 x y
In[^9:= S :~ 1 - ! fy [( 4 x+8y)/2]
2.3.1. Ejercicio 11 d)
Out [5)= 2 (x + 2 y)
Fu]1Simplify [( a b+ar) /a]
2.3.1. Ejercicio 11 e)
b+c
Sgrt [ 2] ..Sgrt[8]
2.3.1. Ejercicio 12/
O.. [it).= 4
I,-[12]:=
Sgrt [2 ] w Sgrt [5 / 3]
twe[t 2]'
2.3.1. Ejercicio 12 h)
io
3
1
En la imagen 2.3 aparece el 3 a), 3 e), 3 d), 4, 8 a) y 8 b) de los ejercicios 2.3.1.
IMAGEN 2.3
E'rcicios sistemas nnrnéricas.nh '
mp4p = 3 a+ 9 a
2.3.1. Ejercicio 3 a)
Ool14= 12a
7a-9a
2.3.1. Ejercicio 3 e)
Üu 5",i= -2 a
m(,B]- 3 (2^a + 4d)
2.3.1. Ejercicio 3 d)
oNpfii= 3 (2'+ 4b)
1
in[nl:= Expand[e]
0*57]= 32'+ 12 b
(a+3) (a. 2)
2.3.1. Ejercicio 4
u^nltoi= (2+ a) (3+a)
in[13]:= 314 + 4 1 7
3^nilai=
2.3.1. Ejercicio 8 a)
J
37
28
1n(21]]- 3 / 5 -417
2.3.1. Ejercicio 8 b)
In¡,"- 219 +5112
I
^1
1i
2. Sistemas numéricos
97
En la imagen 2.4 se muestra el 8 d), 9 a) 9f), 9), 9 n) y 13f) de los ejercicios 2.3.1.
IMAGEN 2.4
_oX
°'_
J
35
In[2t]:= 2 1 9 + 5 / 12
2.3.1. Ejercicio 8 d)
23
36
in(1'i]. 3/ 5(-4/9)
2.3.1. Ejercicio 9 a)
r-]- - 15
m31J. (21/ 8) 1 (5 , 11 2)
2.3.1. Ejercicio 9 itt
o npaP 21
20
m¡2.]:= a/b . c:/a
2.3.1. Ejercicio 9J)
0 l24]b
In11'.]= 21/6 + 7 /4
2.3.1. Ejercicio 9
21
4
i2] Sgrt[19/41
2.3.1. Ejercicio 13 j9
Dirt¡1Pj=
2
"Si se escribe N antes y se agrega
.]
I
n,stero
de decimales deseados " se obtiene:`
Entre los ejemplos siguientes están : 6 b, 7 b), 10 b) de los ejercicios 2.3 y 1 a)
de los 2.4; como puede observarse , también califica de verdadera o falsa una proposición (véase imagen 2.5).
IMAGEN 2.5
lb "T"
F- rJE7C.—
"Si se escribe N antes y se agrega ", nímiero de decimales deseados" se obtiene: "
6(50): N[Sgrt[3], 8]
0 T(0]- 1.7320508
in¡3t1>= N[Sgrt [ 7], 12]
D^nptp 2.64575131106
-5 0
06 ¡?4]= True
0($]. -3 >-7
2.3. Ejercicio 7 b)
06.[01= True
16(56].. -3 < -2
2.3. Ejercicio 6 b)
061(30]= True
in¡z(5. -2 > 0
2.3. Ejercicio 10 b)
D^np7(. Fa15e
6(0]. _7fbs[_2/31
D rt¡?s]=
3
98 Álgebra básica
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Tema 2.1.1
1. -2
2. -13
3. 3
4. -5
5. a) -500
b) 500
Tema 2.1.2
1. La posición del número determina la cantidad.
2. Permite distinguir entre 55 y 505.
3. Se puede operar con él.
4. Con notación decimal y como cociente de enteros.
Tema 2.2.1
1. (2n)2= 4n2 = 2'n2
2. (2n + l)' = 2(2n2 + 2n) + 1
3. a impar = aZ impar .•. a es par
4. Falso 52+3 2 34
5. a) 27
b) 21
c) 6
6. (7) 5 2
b) 10 2
e) 53
7. No
8. a) f, 3, -2, 0}
b) 13, -1/3 , 1/7, 0.227 , --2, 8;7,
31/41, 0, l/21
e) {3, 0}
d) {3}
e) {3 7, 3}
f) {2}
g) {3}
h) {-2}
9. a) Infinito
b) Finito
c) Infinito
d) Infinito
e) Infinito
f Finito
g) Finito
h) Finito
i) Infinito
10. F
1l. V
12. V
13. V
14. V
15. F
16. V
17. V
18. F
19. V
20. V
21. F
22. V
23. 1
4V
2. Sistemas numéricos
25. F
26. F
27. F
28. V
29. F
30. V
31. Decimal
32. Decimal
33. Fracción
34. Decimal
35. Fracción
36. Fracción
37. .875
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
.006
5.66
.11
.6363
3.4285714
.4
.004
.007
1.02
419
70/99
601/495
3020/999
Terna 2.3.1
1. Sí, ley distributiva
2. Sí
3. a) 12a
b) a(12)
c) -2a
d' 6 u+ 12b
e) 28a+ 35b
f) a2+ah
4. a2+5a+6
5. nz+2n+ 1
6. (3(2) = 6)
7. No
8. a) 37/28
b) 1/35
e) -1/35
d) 28/36
e) -7/36
f) 23/36
g) -23/36
h) (ad+ bc)lbd
i) (bad+ bc)lbd
j) (ad+ bc)lbd
k) (2 + x)l2x
9. a) 4/15
b) -4/15
c) -4/15
d) 4/15
e) ac/bd
f) c/b
g) 1
h) -ac/bd
3/5
j^ 23/21
k) 6/5
63/12
m) ad/bc
n) 21/44
o) -10
10. aj 140
b) 4ab
c) 6ab
d) 6xy
e) 24xyz
11. a) 5/14
b) 1+2a
c) a + 2b
d) 2x+ 4y
e) b + c
99
100
Álgebra básica
12. a)7
b) 11
c) 3/2
d) 9/4
e) 3
f 4
g) 2-,,`-2
h) -,10]3
13. a) 4 /2
b) 4 ^3
c) 6J2
d) 2.!2
Tema 2.3
1. Un número real es 0,
positivo o negativo.
2. No.x+0=xx+1
3. 1 es positivo porque -1 es negativo
4. 0 < 1
5. l E P porque -1 (z P
6. a)7-5EP
e)15>5
d) 20>16
e) Falso
Tema 2.4
1. a) F
b) F
c) F
d) F
e) F
f) F
e) 3/2
f) (3,^2)°/2
g)
h) (3/2),/_3/1
14. a) 47/500
b) 1871/500
c) 2/25
d) 3/100
15. a) 1.732
b) 2.236
c) 2.645
7. a)5-2E P
b) -3 - (7) E P
8. b)-4EP
c) -(a + b) E P
d)-(a+b) E N
e) -(a + b) E N
f -xy e P
g)-(a+b) E P
h) -xy E N
10. No es cierta la proposición
2. a) x= 3/2 o -3/2
b) x=4ox=-2
e) x = 4/3
d)x=3/2ox=1/2
e) x es negativa
f) -2<-x<-4
g) -2/5 < x< 0
Z. Sistemas numéricos
101
BIBLIOGRAFÍA
Dorofeiev, G., etal., Temas selectos de matemáticas elementales, Mir, Moscú, 1983.
Kline, Morris, Matemáticaspara humanidades, Siglo XXI Editores, México, 1998.
Leithold, Louis, Álgebra superior CECSA, México, 1995.
Lovaglia, Florence, el al., .Ílgebra, Harla, México, 1997.