Contenidos

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1 Introducción al paquete estadı́stico S-PLUS
1.1 Introducción a S-PLUS . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Cómo entrar, salir y consultar la ayuda
1.2 Conjuntos de datos . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Manipulación de datos . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Operadores lógicos y valores perdidos .
1.3.5 Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Listas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Data.frames . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.9 Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.10 Lectura de datos . . . . . . . . . . . .
1.4 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Funciones estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Creación de funciones . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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en S-PLUS
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2 Introducción a la inferencia estadı́stica
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Teorı́a de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Variaciones sin repetición . . . . . . . . . .
2.2.2 Variaciones con repetición . . . . . . . . . .
2.2.3 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Permutaciones con repetición . . . . . . . .
2.2.5 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Espacio muestral y sucesos . . . . . . . . . .
2.3.2 Definiciones de probabilidad . . . . . . . . .
2.3.3 Probabilidad condicionada . . . . . . . . . .
2.3.4 Fórmula de Bayes y sucesos independientes .
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2.4
2.5
2.6
Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Distribución de una variable aleatoria . . . . . . . . .
2.4.2 Transformación de una variable aleatoria . . . . . . .
2.4.3 Distribución conjunta de variables aleatorias . . . . .
2.4.4 Distribución condicionada de variables aleatorias . . .
2.4.5 Transformación de variables . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Valores esperados de funciones de variables aleatorias
2.4.7 Momentos, varianza, covarianza y propiedades . . . .
2.4.8 Función generatriz de momentos . . . . . . . . . . . .
2.4.9 Desigualdad de Tchebychev y ley débil de los grandes
Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Distribución uniforme discreta . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Procesos de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Distribución geométrica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Distribución hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Distribución binomial negativa . . . . . . . . . . . . .
2.5.8 Distribución multinomial . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Distribución uniforme continua . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Distribución normal o Gaussiana . . . . . . . . . . .
2.6.3 Distribución exponencial (negativa) . . . . . . . . . .
2.6.4 Distribución gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Distribución de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 Distribución beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.7 Distribución normal bivariante . . . . . . . . . . . . .
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números
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3 Muestreo y distribuciones asociadas al muestreo
3.1 Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Muestreo aleatorio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Muestreo estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Muestreo aleatorio sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Muestreo por conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Parámetros en poblaciones infinitas . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Parámetros en poblaciones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Estadı́sticos o estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Distribución muestral de un estadı́stico en poblaciones infinitas . . . . .
3.4.1 Distribución en el muestreo de la media muestral . . . . . . . .
3.4.2 Distribución en el muestreo de la proporción muestral . . . . . .
3.4.3 Esperanza y varianza de la varianza y cuasivarianza muestrales .
3.5 Distribuciones asociadas a la distribución normal . . . . . . . . . . . .
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3.6
3.7
3.5.1 La distribución ji-cuadrado χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Distribución F de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducción al muestreo en poblaciones finitas . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Distribuciones muestrales de la media y la varianza en poblaciones
finitas. Muestreo sin reposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Distribuciones muestrales de la media y la varianza muestral en
poblaciones finitas. Muestreo con reposición . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Estimadores de la varianza poblacional y de la varianza de la media
muestral. Muestreo sin reposición . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Estimadores de la varianza poblacional y de la varianza de la media
muestral. Muestreo con reposición . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Estimación Paramétrica
4.1 Estimación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propiedades de los estimadores puntuales . . . . . . . .
4.2.1 Error cuadrático medio . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Estimadores centrados o insesgados . . . . . . .
4.2.3 Eficiencia o precisión . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Estimadores consistentes . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Estimadores robustos . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Métodos de estimación puntual . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Verosimilitud y estimadores máximo-verosı́miles
4.3.2 Método de los momentos . . . . . . . . . . . . .
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5 Intervalos de confianza
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 I.C. de la media de una población normal con varianza conocida . . . . .
5.2.1 Determinación del tamaño muestral . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 I.C. de la media de una población normal con varianza desconocida . . .
5.4 I.C. de la diferencia de medias en poblaciones normales independientes con
varianzas conocidas e iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 I.C. de la diferencia de medias en poblaciones normales independientes con
varianzas conocidas pero diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 I.C. de la diferencia de medias en poblaciones normales independientes con
varianzas desconocidas pero supuestamente iguales . . . . . . . . . . . .
5.7 I.C. de la diferencia de medias en poblaciones normales independientes con
varianzas desconocidas y distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 I.C. de la diferencia de medias en poblaciones normales dependientes . .
5.9 I.C. de la varianza en una población normal . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 I.C. del cociente de varianzas en poblaciones normales independientes . .
5.11 Intervalos de confianza basados en muestras grandes . . . . . . . . . . . .
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235
5.11.1
5.11.2
5.11.3
5.11.4
I.C. de la proporción poblacional . . . . . . . . . . .
I.C. de la diferencia de proporciones poblacionales . .
I.C. de la media de una variable aleatoria de Poisson
Determinación del tamaño muestral . . . . . . . . . .
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6 Contrastes de hipótesis
243
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2 Test uniformemente más potente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.2.1 Lema de Neyman-Pearson. Hipótesis simples. . . . . . . . . . . . 250
6.3 Hipótesis compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3.1 Función de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4 Contrastes de significación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.4.1 P-valor o nivel crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.4.2 Relación entre los contrastes de hipótesis y los intervalos de confianza258
6.4.3 De la media de una población normal con varianza conocida . . . 259
6.4.4 De la media de una población normal con varianza desconocida . 262
6.4.5 De la diferencia de medias en poblaciones normales con varianzas
conocidas: muestras independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.6 De la diferencia de medias en poblaciones normales con varianzas
desconocidas pero supuestamente iguales: muestras independientes 268
6.4.7 De la diferencia de medias en poblaciones normales independientes
con varianzas desconocidas y distintas: muestras independientes . 270
6.4.8 De la diferencia de medias en dos poblaciones normales con varianzas
desconocidas: muestras relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.4.9 De la varianza en una población normal . . . . . . . . . . . . . . 279
6.4.10 De la igualdad de varianzas en poblaciones normales: muestras
independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.4.11 De una proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.4.12 De la diferencia de proporciones en dos poblaciones: muestras
independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7 Métodos no paramétricos
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Test de rachas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Test de Mann-Whitney para 2 muestras independientes
7.4 Test de Wilcoxon de rangos con signos . . . . . . . . .
7.4.1 Una única muestra . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Muestras relacionadas . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Test de Kruskal-Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Test de Friedman para muestras relacionadas . . . . . .
7.7 Tests de la bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Test ji-cuadrado (χ2 ) . . . . . . . . . . . . . .
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313
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322
324
324
7.8
7.9
7.7.2 Test de Kolmogorov-Smirnov . . . .
Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Contraste de independencia en tablas
7.8.2 Test exacto de Fisher . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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I ×J
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8 Diseño de experimentos
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Estructuras básicas de un diseño de experimentos . . . . .
8.2.1 Estructura del diseño . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Estructura del tratamiento . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Experimentos factoriales con un único factor . . . . . . . .
8.4 Modelo de efectos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Análisis de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Coeficiente de determinación . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Estimación de los parámetros del modelo . . . . . .
8.5 Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 El efecto de las desviaciones de las hipótesis básicas
8.5.2 Test de homogeneidad de varianzas. Test de Levene
8.6 Modelo de efectos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Diseño completamente aleatorizado por bloques . . . . . .
8.7.1 Coeficientes de determinación parcial . . . . . . . .
8.8 Comparación múltiple de medias . . . . . . . . . . . . . .
8.8.1 Test de Scheffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.2 Test de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.3 Diferencia significativa mı́nima (LSD) . . . . . . . .
8.8.4 Contrastes ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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376
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398
404
408
416
416
418
423
424
429
9 Regresión Lineal
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 El modelo de regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 El modelo de regresión lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Estimadores de los coeficientes por mı́nimos cuadrados ordinarios (MCO,
OLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Modelo de regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Modelo de regresión lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Estimadores de los coeficientes por máxima verosimilitud . . . . . . . . .
9.6 Estimador máximo verosı́mil restringido (REML) de σ 2 . . . . . . . . . .
9.7 Propiedades de los estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Insesgadez de los estimadores de los coeficientes . . . . . . . . . .
9.7.2 Insesgadez del estimador máximo-verosı́mil restringido (REML) de
σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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450
453
454
454
455
456
458
461
461
461
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.7.3 Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los coeficientes462
9.7.4 Estimador BLUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.7.5 Modelo de regresión múltiple estandarizado . . . . . . . . . . . . 464
Intervalos de confianza de los coeficientes de regresión . . . . . . . . . . . 466
9.8.1 Modelo de regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
9.8.2 Modelo de regresión lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Contraste de hipótesis de los coeficientes de regresión . . . . . . . . . . . 468
ANOVA de la regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.10.1 Modelo de regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.10.2 Modelo de regresión lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
2
9.10.3 Coeficientes de determinación R2 y Rajustado
. . . . . . . . . . . . 472
Multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.11.1 Detección de multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
9.11.2 Número de condición de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
El mejor conjunto de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
9.12.1 Criterio del coeficiente de determinación múltiple RP2 . . . . . . . . 477
9.12.2 Criterio CP de Mallows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.12.3 Selección Paso a Paso (Stepwise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
9.13.1 Puntos de nivel y puntos influyentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
9.13.2 Residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
9.13.3 Residuales de Student estandarizados internamente . . . . . . . . 486
9.13.4 Residuales de Student estandarizados externamente . . . . . . . . 487
9.13.5 Medidas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Intervalos de confianza y de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9.14.1 Intervalo de confianza del valor esperado de la respuesta . . . . . 496
9.14.2 Intervalo de confianza simultáneo al nivel de confianza 1 − α . . . 499
9.14.3 Intervalo de predicción de un valor particular . . . . . . . . . . . 502
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
Tablas Estadı́sticas
Tabla 1. Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar . .
Tabla 2. Valores de cuantiles de la distribución t de Student . . . . . . . . . .
Tabla 3. Valores cuantiles de χ2 con ν grados de libertad . . . . . . . . . . . .
Tabla 4. Valores de Fν1 ,ν2 ;0.95 . P (Fν1 ,ν2 < x0 ) = 0.95 . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla 5. Valores de Fν1 ν2 ;0.99 . P (Fν1 ,ν2 < x0 ) = 0.99 . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla 6. Valores µde ¶
la función de distribución acumulativa binomial B(x; n, p).
n x
(X ≤ x) =
p (1 − p)n−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
Tabla 7. Valores de la función de distribución acumulativa de Poisson P (x, λ).
e−λ λx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (X ≤ x) =
x!
Tabla 8. Valores crı́ticos del test de rachas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
537
539
540
541
542
542
543
544
545
Tabla
Tabla
Tabla
Tabla
Tabla
Tabla
Tabla
Tabla
9. Valores crı́ticos del test de Kruskal-Wallis . . . . . . . . . . . . .
10. Valores crı́ticos del test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . .
11. Valores crı́ticos del test de Lilliefors para contrastar normalidad
12. Valores crı́ticos del test de Friedman para c = 3 . . . . . . . . .
13. Valores crı́ticos del test de Friedman para c = 4 . . . . . . . . .
14. Cuantiles del estadı́stico de Wilcoxon de rango con signos . . . .
15. Cuantiles del estadı́stico del test de Mann-Whitney . . . . . . .
16. Cuantiles de la distribución del rango estudiantizado . . . . . . .
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546
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551
Bibliografı́a
553
Lista de Figuras
559
Lista de Tablas
565
Índice
569