FACULTAD DE INGENIERÍA - U.B.A. Departamento de Electrónica 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Albani Francisco Padrón: 84891 Código del trabajo: BT135 1.er cuatrimestre 2007 Resumen El informe comienza con una breve introducción al diseño y sı́ntesis de filtros orientada a aquellos que, sin haber cursado la materia Análisis de Circuitos, tienen la intención de leer este trabajo para ver de qué se trata. Se pretende cumplir con el enunciado propuesto y a la vez servir de guı́a para quienes, en el futuro, deban transitar el mismo camino; es por eso que se ha puesto especial esfuerzo en no dejar cabos sueltos y acompañar cada acción con su justificación teórica. El desarrollo comienza por el análisis espectral de todas las señales involucradas, para luego darle paso a la búsqueda del objetivo utilizando la Aproximación de Chebyshev. Finalmente, el filtro es sintetizado mediante una estructura circuital y su funcionamiento es probado con la ayuda de los programas MathCad, para cálculo simbólico, y PSpice, para simulación de circuitos. 2 Índice I Introducción 5 1. ¿Qué es un filtro? 5 2. Diseño de un filtro 7 3. Sı́ntesis de un filtro 8 4. Objetivo 4.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Desarrollo 9 9 10 11 5. Análisis de la señal de entrada 11 5.1. Resolución del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2. Descomposición armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6. Análisis de la señal de salida 19 6.1. Interpretación de la señal de AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2. Descomposición armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7. Búsqueda de la Transferencia 7.1. Análisis de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Búsqueda de una aproximación . . . . . . . . . . . . 7.3. Aproximación de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . 7.3.2. Pasa-bajos Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Transformación pasa-bajos −→ pasa-banda . 7.4. Búsqueda de los parámetros de Chebyshev . . . . . . 7.4.1. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Frecuencia central y ancho de banda relativo 7.4.3. Factor de ondulación . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Hallazgo de la Transferencia . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Extensión analı́tica jω −→ s . . . . . . . . . 7.5.2. Reconstrucción a partir de los polos . . . . . 7.6. Verificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Espectro de la salida . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Señal de salida en el tiempo . . . . . . . . . . 7.6.3. Armónicos residuales . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 24 24 27 29 31 31 31 33 34 36 36 36 40 40 40 41 8. Sı́ntesis circuital del Filtro 8.1. Confección de la estructura . . . . . . . . 8.1.1. Sallen-Key . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Infinite Gain Multiple FeedBack . 8.1.3. Elección de las admitancias . . . . 8.1.4. Estructura final . . . . . . . . . . . 8.1.5. Normalización de los componentes 8.2. Verificación de la transferencia definitiva . 8.3. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . 8.3.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . 8.4. Respuesta en tiempo . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Impulso δ(t) . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Escalón u(t) . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Onda cuadrada de 100 Hz . . . . . 8.4.4. Onda cuadrada de 300 Hz . . . . . 8.4.5. Senoidal de 1000 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 43 44 45 46 47 50 53 53 55 56 57 58 59 60 III Conclusión 61 IV Bibliografı́a 62 4 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Parte I Introducción 1. ¿Qué es un filtro? Filtro (De fieltro) 1. Materia porosa, como el fieltro, el papel, la esponja, el carbón, la piedra, etc., o masa de arena o piedras menudas a través de la cual se hace pasar un lı́quido para clarificarlo de los materiales que lleva en suspensión. 2. Manantial de agua dulce en la costa del mar y a veces hasta en lugares bañados por el mar. 3. Sistema de selección en un proceso según criterios previamente establecidos. 4. Electr. Dispositivo que elimina o selecciona ciertas frecuencias de un espectro eléctrico, acústico, óptico o mecánico, como las vibraciones. 5. Fı́s. Aparato dispuesto para depurar el gas que lo atraviesa. Como se puede leer en el extracto anterior, tomado del Diccionario de la Real Academia Española, la definición de filtro más adecuada, a los efectos de este trabajo, es la no 4, correspondiente al campo de la Electricidad. Puede pensarse un filtro como una transformación entre una entrada y una salida. La denominación de “filtro” tendrá sentido si la entrada puede descomponerse como la suma de alguna cantidad de partes diferenciables unas de otras, entre las cuales el filtro hará una selección y recomposición para obtener la salida. En el contexto de este trabajo, tanto la entrada como la salida serán magnitudes eléctricas comunmente llamadas señales. Desde el momento en que, mediante el Análisis de Fourier, se acepta que una señal periódica puede descomponerse como una suma infinita de señales senoidales puras, de distintas frecuencias y amplitudes bien determinadas, queda claro que aquello sobre lo que el filtro trabajará serán frecuencias. Los filtros más conocidos, simples y relevantes para este trabajo, son conocidos como selectores de frecuencia, y su especificación consiste en definir un rango de frecuencias fuera del cual las señales son rechazadas. Dependiendo la naturaleza de las frecuencias del rango, se los conoce como pasa-bajos, pasa-altos, pasa-banda o rechaza-banda. En la figura 1 pueden apreciarse algunos ejemplos. Albani Francisco 5 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Ganancia 2 1 0 0 20 40 60 80 100 Frecuencia Pasa-bajos ideal Pasa-altos ideal Pasa-banda ideal Figura 1: Algunos filtros ideales. Como se verá a continuación, este comportamiento sólo se logra aproximar en mejor o peor medida, y esa es una de las incumbencias del diseño de filtros. Albani Francisco 6 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 2. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Diseño de un filtro Pueden implimentarse filtros mediante una red de componentes eléctricos pasivos y activos (aprovechando las condiciones de resonancia de sus componentes), pensada de forma tal que la transferencia entre dos de sus variables eléctricas se aproxime al comportamiento deseado. En estas condiciones, a una de estas variables eléctricas se la llamará “excitación” y a la otra “respuesta”, y jugarán el papel de “entrada” y “salida”, respectivamente. Matemáticamente, esto se expresa como: Respuesta = Transferencia · Excitación donde cada uno de los factores es la transformada de Laplace correspondiente. Si se piensa que las funciones de Transferencia sintetizables mediante una cantidad finita de componentes eléctricos, resultan siempre racionales, se concluye rápidamente que existe una limitación importante en cuanto a los filtros que pueden representarse mediante redes eléctricas. En otras palabras, a partir de una especificación idealizada del comportamiento deseado, sólo se podrá lograr una aproximación que tanto mejor será en la medida en que haya más componentes reactivos involucrados. A raı́z de esto, a lo largo de la historia han surgido distintas aproximaciones pensadas con distintos objetivos en mente; comportamiento uniforme dentro de la banda pasante; fuerte atenuación fuera de banda; poca distorsión de fase, etc. Estas aproximaciones se representan mediante expresiones racionales cuyo orden está relacionado, como ya se dijo, con la cantidad de componentes reactivos, y por lo tanto, también con la calidad de la aproximación. En este trabajo, se intentará encontrar la mejor aproximación posible que no exceda la cantidad máxima de componentes reactivos permitida, y cumpla con el objetivo estipulado. Albani Francisco 7 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 3. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Sı́ntesis de un filtro Una vez terminada la descripción matemática del filtro mediante alguna aproximación racional, el próximo paso es sintetizar una estructura circuital que la lleve al mundo real. Aquı́ se deben combinar inmitancias y elementos activos de forma tal que la transferencia entre dos de sus nodos resulte ser la función racional que representa al filtro. Una estrategia muy común que suele simplificar mucho la sı́ntesis, es la separación en etapas independientes. Un ejemplo de esto es la combinación en “cascada” (serie) de estructuras de tal forma que la transferencia total resulte el producto de las transferencias de cada etapa. Para esto se busca expresar la transferencia deseada en el producto de transferencias de estructuras conocidas. Existen varias estructuras famosas que pueden adaptarse para alcanzar el objetivo propuesto. Algunas de las más simples son los divisores de tensión, los amplificadores inversores y no inversores, los derivadores y los integradores. Especial mención merecen las estructuras de realimentación múltiple como por ejemplo Sallen-Key, Infinite Gain Multiple FeedBack y KHN 1 . Finalmente, especial cuidado hay que tener con los valores de los componentes utilizados, pues en el mercado no se comercializan todos los valores posibles que una ecuación matemática puede arrojar. Existen distintas series de valores separados discretamente en “saltos” determinados por la tolerancia de fabricación. La elección de los valores debe hacerse teniendo en cuenta que luego deberán ser normalizados a los valores comerciales y esto puede llevar al filtro a no cumplir con las especificaciones para las que originalmente fue diseñado. 1 Kerwin-Huelsman-Newomb Albani Francisco 8 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 4. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Objetivo 4.1. Enunciado A continuación, se expone el enunciado que da nacimiento a este trabajo: N 4 0 0 TL082/301/TI 3 OUT + Filtro 1 3 8 5 - BS170/ZTX [1] Gate [2] Source [3] Drain 2 2 VOFF = 0 VAMPL = 1 FREQ = 100 1 V- 5 1k V+ VOFF = 0 VAMPL = 1 FREQ = 1000 3 P N 0 0 P Figura 2: Circuito generador de la señal de entrada. En el circuito de la figura 2, un transistor MOS2 BS170/ZTX de canal N se emplea como mezclador alineal, produciendo en el terminal source una poliarmónica que es empleada como entrada del filtro que deberá componer una señal de AM3 , representada por la siguiente expresión: 1 1 sin(2π · 900Hz · t) + sin(2π · 1000Hz · t) + sin(2π · 1100Hz · t) 3 3 El transistor se conecta de modo que Vg s = Vd s . En esas condiciones, con errores menores al 1 %, resulta que: √ Vd s (id ) = 1,824 + 4,0275 · id + 1,5716 · id La suma de los armónicos residuales contenidos en la señal de AM resultante no podrá superar los 10 mV RMS4 . 2 Metal-oxide-Semiconductor. 3 Amplitud 4 Root modulada. Mean Square (Valor eficaz). Albani Francisco 9 1.er cuatrimestre 2007 AM 66.06 Análisis de Circuitos 4.2. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Restricciones El circuito: deberá funcionar dentro del rango de frecuencias que va desde 50 Hz hasta 20 kHz. tendrá que aceptar señales del rango de amplitudes que va desde 1 mV hasta 10 V. deberá cumplir con las especificaciones sin alejarse más de 3 dB. poseerá menos de 10 polos. poseerá menos de 10 ceros. no contendrá etapas con ganancias que superen los 40 dB. no contendrá etapas con polos complejos conjugados cuyo Q sea mayor a 29. tendrá una entrada de impedancia constante (en frecuencia). estará compuesto por capacitores de poliéster metalizado cuyos valores estarán entre 1 nF y 470 nF con una tolerancia del 5 %. estará compuesto por resistores cuyos valores estarán entre 4,7 kΩ y 3,3 MΩ con una tolerancia del 2 % o 1 %.5 no contendrá más de 10 capacitores. no contendrá más de 12 amplificadores operacionales. 5 En caso de usar resistencias menores a 4,7 kΩ, deberá demostrarse que ello no engendrará en la salida de los amplificadores operacionales corrientes mayores que 5 mA. Albani Francisco 10 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Parte II Desarrollo 5.1. Análisis de la señal de entrada Resolución del circuito VAMPL = 1 FREQ = 1000 R iR id Vdg 3 5. 1 BS170/ZTX [1] Gate [2] Source [3] Drain 2 0 VAMPL = 1 FREQ = 100 Vsg OUT + 3 0 0 Figura 3: Circuito de entrada simplificado Suponiendo un comportamiento ideal del amplificador operacional6 , se puede plantear la ecuación de la diferencia de potencial entre el terminal negativo de la fuente constante de 3 Volts y la entrada inversora del amplificador operacional, obteniendo: 3 V + sin(2π · 100Hz · t) V + sin(2π · 1000Hz · t) V − iR (t) · R = 0 Como la corriente que atraviesa la resistencia R es igual a la corriente que entra por terminal drain del transistor, esta última estará descripta por la siguiente expresión: id (t) = 3 V + sin(2π · 100Hz · t) V + sin(2π · 1000Hz · t) V R El enunciado provee una expresión que vincula id (t) con la tensión del terminal drain con respecto al terminal source y afirma que, al usarla, se comete un error menor al 1 %. Utilizando esa expresión y teniendo en cuenta que Vg s = −Vs g = Vd s , se puede concluir que la tensión de salida del circuito de entrada estará descripta por: p Vin (t) = Vs g (t) = −(1,824 + 4,0275 · id (t) + 1,5716 · id (t)) 6 Esto es, en principio: impedancia de entrada infinita, impedancia de salida nula y ganancia de tensión infinita. Albani Francisco 11 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev A continuación, se exponen gráficos ilustrativos de las expresiones anteriores donde se las puede apreciar a lo largo de tres perı́odos: 0.006 0.0048 0.0036 0.0024 0.0012 0 0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 Tiempo [s] 0.021 0.024 0.027 0.03 0.021 0.024 0.027 0.03 id(t) [A] Figura 4: Corriente id (t). 2 2.05 2.1 2.15 0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 0.018 Tiempo [s] Vin(t) [V] Figura 5: Señal de entrada. Finalmente, en la figura 6, se presenta el resultado de la simulación del cicuito en PSpice. Albani Francisco 12 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev -1.95V -2.00V -2.05V -2.10V -2.15V 100ms V(IN) 105ms 110ms 115ms 120ms 125ms 130ms Time Figura 6: Señal de entrada simulada en PSpice. Albani Francisco 13 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 5.2. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Descomposición armónica Aplicando la herramientas matemáticas del Análisis de Fourier, se puede descomponer una señal periódica en suma de infinitas señales trigonométricas, y de esta forma confeccionar un mapa de las frecuencias presentes en la señal con sus respectivos pesos. De las varias formas de expresar esta igualdad, resulta conveniente, en esta oportunidad, utilizar la siguiente: f (t) = +∞ X cn eiωn t n=−∞ Donde: f (t) es la señal de perı́odo T a descomponer. cn ∈ C es el enésimo coeficiente de Fourier, definido como 1 T ωn es el enésimo armónico de la función, equivalente a n Z T f (t)e−iωn t dt. 0 2π . T eiωn t = cos(ωn t) + i sin(ωn t) es la función trigonométrica que genera la base ortonormal del espacio de funciones. Nunca deja de ser sorprendente7 la aparición de los números Complejos en la descripción matemática de los fenómenos del mundo Real. Estos números poseen numerosı́simas propiedades que los hacen candidatos por excelencia para representar ciertas magnitudes. En este caso, cada coeficiente cn guarda dentro de sı́, codificado, el ADN de una onda senoidal. Una onda senoidal queda completa e inequı́vocamente definida a partir de su amplitud, su frecuencia y su fase inicial. Como cn corresponde al armónico de frecuencia n 2π T , sólo resta obtener su amplitud y fase inicial. Estos dos valores no son ni más ni menos que el módulo y el argumento de cn , respectivamente. Puede probarse que, una forma equivalente de expresar la igualdad más arriba expuesta es: f (t) = +∞ X |cn | cos(ωn t + arg(cn )) n=0 donde se hacen explı́citos varios conceptos más claramente. En teorı́a, este análisis se completarı́a al calcular los infinitos coeficientes para describir completamente a f (t). En la práctica, esto no es necesario ya que se puede lograr una muy buena aproximación tomando la cantidad de coeficientes que sea necesaria. De todas formas, existen técnicas numéricas, basadas en la Transformada Discreta de Fourier, capaces de resolver este problema a partir de un conjunto finito de muestras de la señal. La precisión de los resultados será mayor cuanto más fino sea el muestreo. La técnica más difundida es 7 Llegando en algunas personas a ser hasta esotérico. Albani Francisco 14 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev conocida como Transformada rápida de Fourier, o por su sigla en inglés, FFT. Para construir el espectro de frecuencias de la señal de entrada utilizando la Transformada rápida de Fourier, es necesario antes, armar una colección de muestras de la misma a lo largo de un cierto intervalo de tiempo. Siendo una señal periódica, lo más inteligente es realizar dicha colección en un perı́odo completo. Un intervalo menor, provocarı́a una pérdida de información y los resultados no corresponderı́an con la señal tratada. Un intervalo mayor no múltiplo del perı́odo, provocarı́a el mismo problema. En el caso de ser múltiplo del perı́odo, habrı́a información redundante y menor precisión en los datos para una misma cantidad de muestras. La colección debe expresarse como un arreglo de valores que toma la señal a intervalos regulares de tiempo. Esto se logra realizando el cambio de variable i t → T , y definiendo el vector: n i mVin [i] = Vin T n Donde: mVin es el arreglo de muestras de Vin . n es la cantidad de muestras. i es la variable discreta que itera entre 0 y (n − 1). T es el intervalo de tiempo a lo largo del cual se realiza el muestreo. Este arreglo será procesado por la función FFT, resultando en un segundo arreglo conteniendo los coeficientes de Fourier anteriormente nombrados. Este arreglo representa al espectro de frecuencias discreto de Vin , muestreado a intervalos regulares iguales a la frecuencia fundamental, equivalente a la inversa de la duración del muestreo. Una propiedad importante de la Transformada Discreta de Fourier, es que cuando se aplica a colecciones de números reales, se dan ciertas condiciones de simetrı́a. Si a esto se suma que la cantidad de muestras es potencia de 2, la mitad de los coeficientes se repite y no necesitan ser calculados. Es por eso que para este análisis se ha elegido utizar n = 210 = 1024. En estas condiciones, la longitud del arreglo resultante será exactamente la mitad que la del arreglo de muestras. Debido a la normalización de la función FFT de MathCad, los elementos del vector resultante luego de la primera posición, guardan una relación de 1/2 con el valor de la amplitud de la sinusoide que representan. Es por esto que todos los gráficos expuestos en este trabajo, confeccionados con datos provenientes de Albani Francisco 15 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev la función FFT, han sido adaptados para “corregir” este hecho. Con todas las consideraciones anteriores, se realizó el análisis en MathCad y se obtuvo el espectro que puede observarse en la figura 7. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 500 1000 1500 Frecuencia [Hz] 2000 2500 Amplitud [V] Figura 7: Espectro de frecuencias de Vin . Es notable como la gran diferencia de amplitud entre la componente de tensión continua (frecuencia nula) y el resto de los armónicos, imposibilita apreciar correctamente la información en un gráfico. Es por esto que en la figura 8 puede observarse una versión del espectro donde el rango del eje vertical se adapta a la amplitud de los armónicos que apenas se ven en la figura 7. Albani Francisco 16 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 0.044 0.033 0.022 0.011 0 0 250 500 750 1000 1250 1500 Frecuencia [Hz] 1750 2000 2250 2500 Amplitud [V] Figura 8: Espectro de frecuencias de Vin . En esta nueva imagen, se puede notar la presencia de las frecuencias de 100 Hz y 1000 Hz producidas por los generadores del circuito de entrada, y la aparición de nuevas frecuencias producto del mezclado alineal del transistor. Ante la sospecha de la repetición de un patrón, se presenta una nueva versión del espectro donde el rango del eje vertical se reduce y el rango del eje horizontal se aumenta: 0.0038 0.0025 0.0013 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Frecuencia [Hz] 3500 4000 4500 5000 Amplitud [V] Figura 9: Espectro de frecuencias de Vin . Albani Francisco 17 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Repitiendo este procedimiento, se pudo verificar que el patrón se repite indefinidamente a cada 1000 Hz a lo largo de todo el espectro. 5.3. Conclusiones La señal de entrada contiene las tres frecuencias necesarias para componer la señal de salida, pero con una relación de amplitud distinta a la deseada. La amplitud del armónico de 1000 Hz es aproximadamente 11,47 veces más grande que la amplitud de los armónicos de 900 Hz y 1100 Hz. Existen también, frecuencias indeseables de magnitud no despreciable que deberán ser filtradas. Albani Francisco 18 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 6. 6.1. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Análisis de la señal de salida Interpretación de la señal de AM La señal de salida objetivo que el filtro deberá componer, está descripta por la siguiente expresión: Vobj (t) = 1 1 sin(2π · 900Hz · t) + sin(2π · 1000Hz · t) + sin(2π · 1100Hz · t) 3 3 Como puede verse, se trata de la composición de tres sinusoides de distinta frecuencia y amplitud. Es sabido que la suma de funciones periódicas da como resultado otra función periódica sólo si la relación de frecuencias es racional. El perı́odo resultante será el mı́nimo común múltiplo de los perı́odos de cada función, que se traduce en una frecuencia máxima común divisora de todas las frecuencias involucradas. Puede verificarse fácilmente que la frecuencia de Vobj será 100 Hz. A continuación, en la figura 10, pueden apreciarse 5 perı́odos de Vobj . 2 1 0 1 2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Vout(t) Figura 10: Vobj a lo largo de 5 perı́odos. 6.2. Descomposición armónica Utilizando nuevamente las herramientas del Análisis de Fourier y la función FFT, pudo construirse el espectro de frecuencias objetivo que puede verse en la figura 11, a partir de una colección de muestras a lo largo de 10 milisegundos. Albani Francisco 19 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Frecuencia [Hz] Amplitud [V] Figura 11: Espectro de frecuencias de Vobj . 6.3. Conclusiones Luego de este análisis, se refuerza la idea de que el filtro deberá hacer una corrección importante en las amplitudes para lograr que el armónico central sea tres veces más grande que los inmediatamente a su lado. También habrá que tener en cuenta que si las tres componentes no se encuentran en fase, la señal de AM resultante sufrirá cierta distorsión. Albani Francisco 20 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7. 7.1. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Búsqueda de la Transferencia Análisis de los datos A partir del análisis de la señal de entrada y de la señal de salida objetivo, puede concluirse que el filtro deberá, en teorı́a: 1. Evitar el paso de las componentes armónicas de frecuencias distintas a 900 Hz, 1000 Hz y 1100 Hz. 2. Llevar la relación de amplitud entre el armónico de 1000 Hz y los armónicos inmediatamente a su lado de 11,47 a 3. Esto puede lograrse atenuando el armónico de 1000 Hz, amplificando los armónicos de 900 Hz y 1100 Hz o realizando una combinación de ambas acciones. 3. Proveer una amplificación adecuada que, manteniendo la relación de amplitudes, consiga llevar la amplitud del armónico central a 1 V. Existen muchas maneras de alcanzar el objetivo. Una posible solución podrı́a implicar realizar tres procesos en paralelo, a lo largo de los cuales sólo una de las tres frecuencias necesarias pasarı́a, siendo amplificada lo suficiente. Otra solución, podrı́a estar compuesta por dos procesos en serie donde el primero sólo deje pasar frecuencias entre 900 Hz y 1100 Hz para luego, en el segundo, recibir una corrección de amplitud. Lo óptimo, serı́a encontrar un único proceso capaz de realizar todas las tareas. Albani Francisco 21 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.2. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Búsqueda de una aproximación Como ya se adelantó en la introducción, una parte del diseño de filtros consiste en llevar una especificación ideal a la realidad por medio de un circuito que sólo podrá aproximarla. Hasta aquı́, las únicas condiciones que debe cumplir la transferencia buscada, han sido establecidas en relación a su módulo. Éste deberá tener la forma caracterı́stica de un pasa-banda pero con una altura mayor en las frecuencias de 900 Hz y 1100 Hz que en la de 1000 Hz. Esto conduce inevitablemente a exigir que existan al menos dos máximos locales con un mı́nimo local en el medio de ambos. Teniendo en cuenta que no hay condiciones sobre el régimen transitorio y que resulta más fácil pensar en términos de la atenuación como inversa de la transferencia, el análisis se puede comenzar ası́: |A(jω)| = 1 = f (ω) |T (jω)| donde f (ω) es una función que produce una ondulación en la banda pasante y tiende a 0 fuera de ella. Esta oscilación se da alrededor del valor medio de atenuación que, a efectos cualitativos, puede suponerse que vale 1. De esta forma, se puede transformar lo anterior a: |A(jω)| = 1 + g(ω) donde g(ω) oscila alrededor de 0. Debido a que el módulo de un número complejo implica una raı́z cuadrada, el razonamiento se simplifica si se trabaja con el cuadrado del módulo, que resulta racional, y se adapta lo anterior a: |A(jω)|2 = 1 + k(ω) Con el objetivo en mente de encontrar una función racional en la variable s, se propone expresar a k(ω) como el módulo al cuadrado de una función K(s) evaluado en jω: |A(jω)|2 = 1 + |K(jω)|2 Una propiedad importante de las funciones racionales con coeficientes reales es que f (z) = f (z). Utilizando eso, puede llegarse a: A(jω) · A(−jω) = 1 + K(jω) · K(−jω) y mediante una extensión analı́tica, concluir en lo siguiente, en términos de s: A(s) · A(−s) = 1 + K(s) · K(−s) que se conoce como Ecuación de Feldtkeller [Miy91]. El procedimiento comienza buscando una función racional K(s) cuyo módulo al cuadrado evaluado en jω sea igual a k(ω), que define el comportamiento buscado. Luego, se obtiene A(s) · A(−s), que tiene ceros de la forma ±σ ± jω. Albani Francisco 22 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Es posible asignar a A(s) los de parte real negativa y a A(−s) los de parte real positiva, para asegurar la estabilidad temporal de la anti-trasformada de 1 T (s) = . A(s) Luego de conocer algunas de las alternativas históricas que existen en el diseño de filtros, se encontró y seleccionó como candidata una conocida como Aproximación de Chebyshev. La denominación es en honor a Pafnuty Chebyshev8 , por la estrecha relación que tiene con los polinomios homónimos. 8 Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821 - 1894) es considerado el fundador de las matemáticas rusas. Su apellido, como el de algunos otros chechenos, ha sufrido el cruel destino de ser transliterado de varias formas, entre las que se encuentran Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff y Tschebyscheff. Albani Francisco 23 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.3. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Aproximación de Chebyshev Consiste en proponer a los polinimios de Chebyshev como base para la construcción de la función k(ω). 7.3.1. Polinomios de Chebyshev Los polinomios de Chebyshev conforman una secuencia de polinomios ortogonales que puede ser definida recursivamente. Si bien existen dos tipos, a los efectos de este trabajo, sólo interesan los del primero. Estos emergen como solución de la ecuación diferencial (1 − x2 )y 00 − xy 0 + n2 y = 0 y pueden generarse con la siguiente relación recursiva: T0 (x) = 1 T1 (x) = x Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) Una definición alternativa, que no se necesitará usar en este trabajo pero merece ser presentada, es la trigonométrica: Tn (x) = cos(n arc cos x) = cosh(n arccosh x) El orden del polinomio está directamente relacionado con el orden del filtro, y este último, con la cantidad de componentes reactivos que se necesitan para construirlo. Es por eso que, en el diseño de filtros, no suelen considerarse polinomios de orden mayor que 4: T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − 1 T3 (x) = 4x3 − 3x T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1 En la figura 12 pueden observarse algunos de estos polinomios, donde es notable como todos se cortan en x = 1. Albani Francisco 24 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 2 1 0 1 2 2 1 0 x 1 2 n=2 n=3 n=4 Figura 12: Algunos polinomios de Chebyshev. Si a estos polinomios se los eleva al cuadrado, se logra hacerlos simétricos con respecto a la recta x = 0 y duplicar la cantidad de máximos y mı́nimos locales. En la figura 13 puede verse Tn (x)2 para algunos valores de n. Albani Francisco 25 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 2 1 0 1 2 2 1 0 x 1 2 n=2 n=3 n=4 Figura 13: Algunos polinomios de Chebyshev elevados al cuadrado. Es interesante notar que dentro del intervalo [−1 : 1], Tn (x)2 está acotada entre 0 y 1, y fuera de él crece muy rápidamente hacia infinito. Este comportamiento fuera de banda se asemeja al de un filtro pasa-banda ideal, que aplica una atenuación infinita. Es evidente que si a esta función se le suma 1, se obtiene la expresión de |A(jω)|2 que se presentó en la sección 7.2, donde Tn (x)2 juega el rol de k(ω). En la figura 14 puede observarse el resultado. Albani Francisco 26 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 2 1 0 1 2 2 1 0 x 1 2 n=2 n=3 n=4 Figura 14: 1 para algunos valores de n. 1 + Tn (x)2 La figura 14 devela que, mediante un desplazamiento horizontal de la función, podrı́a obtenerse la forma de un pasa-banda. Esto romperı́a la simetrı́a con respecto al eje vertical y, por cuestiones matemáticas que exceden (no por mucho) a este trabajo, serı́a imposible implementar una función racional estable cuyo módulo respondiera a dicha gráfica. Aún ası́, no hay motivos para desilusionarse, pues mediante una trasformación conforme se le puede asignar a un punto de la transferencia de un pasabajos, dos puntos de la transferencia de un pasa-banda, y de esta forma lograr el objetivo sin romper la simetrı́a. Es por esto que a continuación se busca primero la expresión de un pasa-bajos. 7.3.2. Pasa-bajos Chebyshev Considerando que sólo tienen sentido fı́sico los valores positivos de ω (o x, según el gráfico), puede verse que la expresión encontrada describe muy bien el comportamiento de un pasa-bajos normalizado. Si, efectivamente, se construye uno con todas las consideraciones anteriores pero parametrizado, se llega a la siguiente expresión para el módulo de la transferencia del mismo: A |Hn (jω)| = r h 1 + · Tn ω ω0 i2 Donde: Albani Francisco 27 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev es el factor de ondulación. ω0 es la frecuencia angular de corte, definida como aquella a partir de la cual termina la ondulación, dependiendo sólo del valor de (y no de n).9 Tn es el polinomio de primer tipo de Chebyshev de orden n. A es la ganancia. y su gráfico normalizado correspondiente puede verse en la figura 15. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 Frecuencia angular [1/s] 2 n=1 n=2 n=3 n=4 Fin de la ondulación Figura 15: |Hn (jω)| para algunos valores de n. Se ve cómo a medida que aumenta el orden, aumenta la atenuación fuera de banda. Esta caracterı́stica hace que estos filtros sean una buena opción en situaciones donde existan armónicos a eliminar muy cerca de la banda pasante. Debido a que éste no es el caso, no es esa la razón por la cual este tipo de filtro ha sido elegido. La caracterı́stica que lo hace óptimo para esta situación es la ondulación dentro de la banda pasante, que hace que dentro de ella haya frecuencias sustancialmente más amplificadas que otras. Ésta es la clave para poder cumplir con los tres puntos planteados en la sección 7.1. A Esta ondulación tiene máximos en A y mı́nimos en √ . Queda claro 1 + 2 que este rango sólo depende de y cuando este valor es igual a 1, se obtienen 9 Es importante notar que la tı́pica definición de frecuencia de corte como aquella a partir de la cual la atenuación vale más de 3dB no es válida para filtros Chebyshev. Albani Francisco 28 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 3dB de atenuación en banda. Si el objetivo se pudiera lograr con un pasa-bajos, éste serı́a el momento para hacer la extensión analı́tica jω → s y buscar la expresión racional de la transferencia. Como este no es el caso, será necesario previamente practicar una transformación a la expresión del pasa-bajos encontrada. 7.3.3. Transformación pasa-bajos −→ pasa-banda Para continuar la búsqueda, es necesario valerse de un resultado teórico muy importante que consiste en aplicar una transformación conforme adecuada a la transferencia de un pasa-bajos para lograr la transferencia de un pasa-banda. Esta transformación le asigna a cada punto del pasa-bajos, dos puntos del pasabanda. Puede expresarse de la siguiente manera: s ω0 1 + s −→ ∆ωr ω0 s donde ω0 es la frecuencia angular central de un pasa-banda de ancho relativo ∆ωr , que conserva la selectividad y amplitud máxima y mı́nima del filtro pasabajos del cual se partió. La frecuencia central de un filtro pasa-banda se define como aquella para la cuál el comportamiento resulta simétrico en una escala logarı́tmica. En otras palabras, la atenuación que sufren señales de frecuencia αω0 es igual a la atenuación que las de frecuencia ωα0 . Si la especificación del filtro está dada en función de sus frecuencias de corte, ω0 resulta ser la media √ geométrica entre ambas ω1 ω2 . El ancho de banda relativo no es ni más ni ω2 − ω1 menos que . ω0 Esta transformación conserva la simetrı́a y modifica la cantidad de polos y ceros de tal forma que se obtiene una transferencia racional correspondiente a un pasa-banda. Sin todavı́a realizar la extensión analı́tica, puede observarse el impacto sobre la expresión de |Hn (jω)| luego de la transformación: |Hn (jω)| = r A h 1 + · Tn ω ∆ωr ·ω0 − ω0 ∆ωr ·ω i2 donde el signo negativo de la transformación se justifica si se piensa que luego debe ser coherente con la extensión analı́tica. La figura 16 muestra algunos de los pasa-banda que se obtiene con parámetros normalizados. Albani Francisco 29 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 Frecuencia angular [1/s] 2 n=1 n=2 n=3 n=4 Fin de la ondulación Figura 16: Filtros Chebyshev pasa-banda para algunos valores de n. La última expresión de |Hn (jω)| es sobre la cual se hará el análisis siguiente. Albani Francisco 30 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.4. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Búsqueda de los parámetros de Chebyshev En esta seción, se buscarán los valores de A, , ∆ωr , ω0 y n que satisfagan las condiciones deseadas sobre el módulo de la transferencia. Una vez encontrados, extensión analı́tica mediante, se obtendrá la función racional a implementar mediante un circuito. 7.4.1. Orden Éste es sin duda el parámetro más fácil de encontrar ya que, en el caso particular de este trabajo, no requiere ningún tipo de cuenta o desarrollo teórico. Como se puede ver en la figura 16, el mı́nimo orden que produce dos máximos locales con un mı́nimo local en el medio es 2. Si este tipo de filtros se estuviera usando para aprovechar la fuerte atenuación fuera de banda, el orden deberı́a buscarse seguramente realizando cálculos con la expresión trigonométrica de Chebyshev hasta encontrar el mı́nimo orden necesario que cumpla la especificación. 7.4.2. Frecuencia central y ancho de banda relativo Normalmente, estos dos valores se obtienen de forma inmediata a partir de la especificación de la banda pasante. La frecuencia central resulta ser la media geométrica de las frecuencias de corte y el ancho de banda relativo el cocientre entre su diferencia y su media geométrica. Debido a que en el caso particular de este trabajo, la condiciones se establecen sobre las frecuencias a las cuales la transferencia es máxima, en lugar de las frecuencias de corte, habrá que encontrar una relación entre ambas que permita traducir estas condiciones. En primer lugar, se buscan las frecuencia dentro de la banda pasante que maximizan la transferencia. La expresión de |Hn (jω)| es máxima cuando su denominador es mı́nimo, y esto sucede cuando el término que contiene al polinomio de Chebyshev se anula: Tn ω0 ω − ∆ωr · ω0 ∆ωr · ω =0 Reemplazando por la definición del polinomio de orden 2, y acomodando algebraicamente se obtiene: ω ω0 1 ∆ωr · ω0 − ∆ωr · ω = √2 Quitando las barras de módulo pero conservando todas las soluciones, y multiplicando por ω a ambos miembros, puede concluirse en la siguiente ecuación de segundo orden: ∆ωr ω2 ± ω · √ − ω0 = 0 ω0 2 Albani Francisco 31 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev De donde pueden obtenerse las siguientes dos soluciones fı́sicas: s 2 ∆ω ∆ω √r + √r + 1 · ω0 para el primer máximo, rebautizado ωm1 . 2 2 2 2 −∆ω √ r + 2 2 ωm2 . s ∆ωr √ 2 2 2 + 1 · ω0 para el segundo máximo, rebautizado a partir de las cuales se llega a la siguiente conclusión: √ ω0 · ∆ωr = 2 ωm2 − ωm1 que establece la relación que hay entre la distancia entre frecuencias de corte (ω0 · ∆ωr ) y la distancia entre frecuencias de máximos, en términos absolutos. Puede obtenerse otro resultado interesante si se calcula la media geométrica de los máximos: v s s u 2 2 u √ ∆ωr ∆ω −∆ω u 2 ∆ωr r r √ + √ √ ωm2 · ωm1 = tω0 + 1 √ + + 1 = . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 v " # u 2 2 u ∆ωr ∆ωr 2 t √ √ + + 1 = ω0 . . . = ω0 − 2 2 2 2 Este último resultado permite calcular la frecuencia central como la media geométrica de los máximos, siendo equivalente a la forma en la cual habitualmente es calculalada, en función de las frecuencias de corte. Las conclusiones obtenidas en esta seción, permiten calcular la frecuencia central y el ancho de banda relativo en función de las frecuencias de los máximo siguiendo las dos siguientes expresiones: √ ω0 = ωm2 · ωm1 ωm2 − ωm1 √ ∆ωr = √ · 2 ωm2 · ωm1 Como se desea que estos máximos se alcancen en 900 Hz y 1100 Hz, reemplazando los valores en las expresiones anteriores, se concluye que: √ ω0 = 2π · 1100 Hz · 2π · 900 Hz ≈ 6251 1/s 2π · 1100 Hz − 2π · 900 Hz √ ∆ωr = · 2 ≈ 0,28427 ω0 Albani Francisco 32 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.4.3. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Factor de ondulación Como se vio anteriormente, dentro de la banda pasante, la transferencia osA cila entre A y √ . Esto hace que regule el ancho vertical de la ondulación. 1 + 2 Su trabajo será el de definir la corrección que se hará a la relación de amplitud de los armónicos. Si ro es la relación original entre la amplitud del armónico de 1000 Hz y las amplitudes de los armónicos de 900 Hz y 1100 Hz, rf es la relación final luego de pasar por el filtro, puede expresarse lo siguiente: rf = ro · |Hn (j2π · 1000 Hz)| |Hn (j2π · 900 Hz)| Como en 900 Hz se alcanza un máximo, la transferencia vale A y se cancela con su aparición en el numerador de |Hn (j2π · 1000 Hz)|, permitiendo escribir lo anterior como: ro rf = q 2 1 + [ · χ] donde, para simplificar, se representa con χ al valor que el polinomio de Chebyshev de orden 2 toma en la transformación pasa-bajos −→ pasa-banda para ω = 2π · 1000 Hz. A partir de esta última expresión, puede despejarse el valor de : v u u ro 2 − 1 t rf = χ2 que para el juego de valores ro ≈ 11,47, rf = 3, χ = −399 400 , da: ≈ 3,69949 Quizá a esta altura sea un tanto apresurado hacerla, pero hay una conclusión que necesita ser urgentemente considerada antes de continuar: por medio de los gráficos, se puede ver que cuanto más grande sea el parámetro , más finas serán las “campanas” que aparecen en los máximos. Esto está ı́ntimamente relacionado con el valor de Q del par de polos complejos conjugados que finalmente será el responsable de la resonancia a estas frecuencias. Habiendo una restricción que dice que Q debe ser menor que 29, es evidente que existe un máximo valor de a partir del cual el filtro deseado no cumple con la especificación. Encontrar ese máximo no es objetivo de este trabajo pero pudo probarse que 3,69949 lo supera y exige que Q ≈ 33. Una forma de rodear este problema, es separar el trabajo en dos etapas, de tal forma que cada una corrija una parte de la relación de amplitudes. Ası́, cada una tendrá un valor de más pequeño, que al combinarse dan el mismo Albani Francisco 33 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev resultado que una única etapa cuyo ≈ 3,69949. Para esto, habrá que aplicar matemáticamente el filtro 2 veces para ver como queda la relación final rf en función de . El razonamiento comienza por adaptar el cálculo anterior para 2 etapas: 2 |Hn (j2π · 1000 Hz)| rf = ro · |Hn (j2π · 900 Hz)| que, con las mismas consideraciones de antes, arroja la siguiente expresión para : s ro rf − 1 = χ2 Reemplazando, se obtiene ≈ 1,68449, valor que, como más adelante se verá, exige un valor de Q dentro de lo permitido pero exige duplicar completamente al filtro. 7.4.4. Amplitud Este parámetro es el encargado de dilatar o contraer la forma de amplitud definida por los parámetros anteriores para cumplir con el punto no 3 de la sección 7.1. Conociendo la amplitud inicial ai del armónico de 1000 Hz, y la amplitud final af deseada, puede establecerse la siguiente relación: 2 af = ai · |Hn (j2π · 1000 Hz)| de donde se obtiene la expresión: r af A= · [1 + ( · χ)2 ] ai que da como resultado 9,81562. A continuación, se muestra un gráfico fuera de escala que permite comparar la forma de la ganancia del filtro con el espectro de frecuencias de la señal de entrada: Albani Francisco 34 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 0 500 Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 1000 1500 2000 2500 Espectro de la señal de entrada Ganancia del filtro Figura 17: Comparación entre la ganancia del filtro y el espectro de la señal de entrada. Albani Francisco 35 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.5. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Hallazgo de la Transferencia Ha llegado el momento de encontrar una expresión racional en la variable s, cuyo módulo evaluado en jω sea el definido en la sección anterior, y que se transcribe a continuación: A |H(jω)| = r h 1 + · T2 ω ∆ωr ·ω0 − ω0 ∆ωr ·ω i2 donde: A = 9,81562 = 1,68449 ω0 = 6251,7 ∆ωr = 0,28427 T2 (x) = 2x2 − 1 7.5.1. Extensión analı́tica jω −→ s Siguiendo los pasos del proceso de aproximación que en la sección 7.2 se mostraron, se comienza escribiendo: 2 |H(jω)| = H(jω) · H(−jω) que mediante la tan anticipada extensión analı́tica, se convierte en: A2 H(s) · H(−s) = 1+ 2 2 j∆ωsr ·ω0 − jω0 ∆ωr ·s 2 2 −1 donde se hizo explı́cita la definición del polinomio de orden 2 de Chebyshev y s ω fue reemplazado por . Operando algebraicamente puede verificarse que esta j expresión corresponde a una función racional cuyo denominador es de orden 4 y su denominador es de orden 8. 7.5.2. Reconstrucción a partir de los polos Con la asistencia del programa de cálculo simbólico MathCad, se obtuvieron los polos de H(s) · H(−s), que se listan a continuación y en figura 18 se muestra la constelación a la que dan lugar: Albani Francisco 36 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev −197,99 − j · 6936,6 −197,99 + j · 6936,6 −160,69 − j · 5629,8 −160,69 + j · 5629,8 160,69 − j · 5629,8 160,69 + j · 5629,8 197,99 − j · 6936,6 197,99 + j · 6936,6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 Cuadro 1: Polos de H(s) · H(−s). 7500 6000 4500 3000 1500 250 200 150 100 [ 50 0 1500 ] 50 100 150 200 250 4 3000 4500 6000 7500 Figura 18: Constelación de polos y ceros de H(s) · H(−s). Como ya se dijo en la sección 7.2, es posible asignarle a H(s) los polos de parte real negativa, para asegurar la estabilidad temporal de su antitransformada. Tomando los primeros cuatro polos de la tabla, que inevitablemente conforman dos pares conjugados, se puede “reconstruir ” parcialmente a H(s). Parcialmente pues los polos no contienen toda la información; se ha “perdido” el valor de A, que no afecta a la posición de los mismos. Teniendo en cuenta que H(s) · H(−s) posee un cero de orden 4 en el origen, y dos corresponden a H(s), puede expresarse dicha reconstrucción como: s2 (s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )(s − p4 ) que a su vez puede separarse en el producto de dos estructuras idénticas muy conocidas: s s · (s − p1 )(s − p2 ) (s − p3 )(s − p4 ) Albani Francisco 37 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Estas estructuras responden a la transferencia genérica de un pasa-banda de orden 2: ω s Q0 s2 + s ωQ0 + ω02 Operando algebraicamente, pueden encontrarse los valores de Q y ω0 correspondientes a cada uno de los pares de polos conjugados. Esto se resume de la siguiente manera: s Qω11 s −→ 2 (s − p1 )(s − p2 ) s + s Qω21 + ω12 s Qω22 s −→ 2 (s − p3 )(s − p4 ) s + s Qω22 + ω22 Haciendo efectivos los cálculos, pueden encontrase los siguientes valores: ω1 ω2 Q1 Q2 6939,42502 5632,0928 17,52469 17,52469 Para poder reconstruir completamente a H(s), falta recuperar el valor de A que se perdió al calcular los polos. En otras palabras, las expresiones anteriores necesitan corregirse con un factor de escala. Encontrar la relación directa con A requiere muchas cuentas y no es necesario pues el factor puede obtenerse a partir del coeficiente del término s4 en el numerador de la expresión racional de H(s) · H(−s), luego de hacer que el término s8 del denominador sea igual a 1. Ese coeficiente es igual al que debe aparecer junto a s4 en el numerador de la transferencia final cuando el coeficiente del término s8 de su denominador ha sido también llevado a 1. Como todo ha sido calculado para que el objetivo se logre aplicando el filtro dos veces, la transferencia final resulta: H1 · s Qω11 " T (s) = [T1 (s) · T2 (s)]2 = H2 · s Qω22 #2 · s2 + s Qω21 + ω12 s2 + s Qω22 + ω22 donde H1 y H2 valen 8,50705 y fueron obtenidos con todas las consideraciones anteriores. A continuación, se pueden ver dos gráficos ilustrativos sobre T (s). Albani Francisco 38 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 100 80 60 40 20 0 800 850 900 950 1000 1050 Frecuencia [Hz] 1100 1150 1200 T(s) Figura 19: Transferencia final en escala lineal. 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Frecuencia [Hz] T(s) [dB] Figura 20: Transferencia final en decibeles. Albani Francisco 39 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 7.6. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Verificación 7.6.1. Espectro de la salida Teniendo el espectro de la señal de entrada, puede obtenerse el de la señal de salida multiplicándolo por el filtro, frecuencia a frecuencia. En la figura 21 puede observarse la comparación entre el espectro de salida logrado mediante el filtro y el espectro de la señal de salida objetivo. 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Frecuencia [Hz] Espectro logrado Espectro deseado Figura 21: Espectros de la señal de salida del filtro y de la señal de salida objetivo. 7.6.2. Señal de salida en el tiempo Ası́ como antes se utilizó el algoritmo de la transformada rápida de Fourier para construir espectros de frecuencias a partir de señales muestreadas, es el momento ahora de recorrer el camino inverso: obtener información temporal a partir de una muestra del espectro de una señal. Para esto, se dispone de la función IFFT de MathCad. Albani Francisco 40 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Tiempo [s] 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 Salida del filtro [V] Salida objetivo [V] Figura 22: Señal de salida del filtro y señal de salida objetivo. Pudo verificarse que las mı́nimas diferencias se deben a que los armónicos de la señal de entrada no entran al filtro en fase y éste no hace ninguna corrección. Utilizando las técnicas de animación de MathCad, pudo “demostrarse” que era imposible realizar una corrección de fase utilizando un circuito corrector de fase de primer orden, y utilizar más correctores habrı́a llevado a superar la cantidad máxima de componentes permitidos. Es por esto que en este trabajo no se realizarán correcciones de fase. 7.6.3. Armónicos residuales Los armónicos residuales son todos aquellos que no deberı́an sobrevivir luego del filtrado. Como la atenuación no llega a ser nunca infinita, pequeños “rastros” de señales de frecuencias fuera de la banda aparecen en la composición de la señal de salida. Para poder estudiarlos y conocer su peso, se hace uso de una técnica que bien podrı́a llamarse notch ideal 10 , pues consiste en tomar el espectro de la señal de salida logrado y anularlo para los valores de frecuencias de la banda pasante. De esa forma se obtiene el “espectro residual” y mediante la función IFFT puede conocerse su forma temporal. Esta forma, puede observarse en la figura 23. 10 Un filtro notch es una aproximación al filtro ideal rechaza-banda, donde la banda es muy estrecha y centrada en una frecuencia particular que se desea eliminar. Se usa, por ejemplo, para eliminar la interferencia que la señal de 50 Hz del tendido eléctrico introduce en algunos instrumentos, como por ejemplo los electrocardiógrafos. Albani Francisco 41 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 0.01 0.005 0 0.005 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Tiempo [s] 0.012 0.014 0.016 0.018 Armónicos residuales [V] Valor eficaz residual [V] Máximo valor permitido (10mV) Figura 23: Armónicos residuales. Pudo verificarse en MathCad, que el valor eficaz residual es ≈ 1,9 mV, y se encuentra muy por debajo del máximo permitido de 10 mV. Albani Francisco 42 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 8. 8.1. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Sı́ntesis circuital del Filtro Confección de la estructura La sección 7.5.2 concluyó encontrando la transferencia que definirá matemáticamente al filtro y a la que en esta sección se intentará buscarle un circuito que la lleve a la realidad. El orden de esta transferencia es igual a 8 y la estrategia elegida consiste en separarla en el producto de cuatro de orden 2. De las estructuras conocidas, las más simples y versátiles son las de realimentación múltiple. A continuación, se hace una presentación de la estructura Sallen-Key, para luego darle paso a la estructura Infinite Gain Multiple FeedBack, que será la utilizada finalmente. 8.1.1. Sallen-Key La estructura Sallen-Key 11 se compone por un amplificador de ganancia k con dos caminos de realimentación, y seis distintas inmitancias conectadas de forma tal que dan lugar a una gran cantidad de variaciones. Eligiendo adecuadamente los tipos de cada una, pueden obtenerse transferencias de distintos órdenes y naturaleza. 2 1 6 3 A k B Vo Vi 5 4 Figura 24: Estructura Sallen-Key. La transferencia entre Vi y Vo puede hallarse fácilmente mediante el método de resolución por nodos para los nodos A y B, aplicado en el espacio de la transformada de Laplace. Si bien en principio no se visualiza ninguna fuente de corriente, pueden imaginarse a Vi y Vo como generadores conectados a tierra que combinados con una admitancia se transforman en tales. A continuación se 11 Propuesta en 1955 por dos investigadores del M.I.T., R. P. Sallen y E. L. Key, esta estructura sustituye al elemento inductivo por un amplificador operacional combinado adecuadamente. Albani Francisco 43 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos presenta el sistema de Vi Y1 + Vo Y2 Vo Y6 Vo Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev ecuaciones resultante: = VA (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) − VB Y3 = − VA Y3 + VB (Y3 + Y4 + Y6 ) = k · VB cuya resolución permite encontrar la transferencia Vo buscada: Vi kY1 Y3 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 )(Y4 + Y6 ) + Y3 (Y1 + Y2 + Y5 ) − k(Y2 Y3 + Y6 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 )) 8.1.2. Infinite Gain Multiple FeedBack Esta estructura recibe su nombre por reemplazar la ganancia k del amplificador de la estructura Sallen-Key por una ganancia infinita. La transferencia resultante puede obtenerse calculando el lı́mite: lı́m k→∞ Vo Vi utilizando la expresión anterior o planteando nuevamente las ecuaciones del método de resolución por nodos con las nuevas condiciones. La inmitancia no 4 puede obviarse puesto que queda virtualmente cortocircuitada por los terminales de control del amplificador operacional ideal. 2 1 6 3 A B - Vi Vo OUT + 5 Figura 25: Estructura Infinite Gain Multiple FeedBack. El sistema de ecuaciones adaptado a esta nueva situación queda: VA (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) − VB Y3 Vi Y1 + Vo Y2 = Vo Y6 = − VA Y3 + VB (Y3 + Y6 ) VB = 0 Y la nueva transferencia resulta: Vo −Y1 Y3 = Vi Y2 Y3 + Y6 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) Albani Francisco 44 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Es importante notar que esta estructura, por naturaleza, provoca una inversión en la señal. Para el caso particular de este trabajo, no resulta un problema pues se utilizará una cantidad par de etapas donde finalmente no habrá inversión neta. La inclinación por esta última estructura se debe a que: para implementar un amplificador de ganancia k, debe, por lo menos, considerarse el uso de dos resistores adicionales para combinarlos con un amplificador operacional. elimina una inmitancia facilitando el análisis siguiente. es más estable frente a pequeñas variaciones en sus parámetros. 8.1.3. Elección de las admitancias Para simplificar este proceso, se decidió que todas las etapas serán pasabanda de orden 2. De esta forma, habrá que hacer sólo una elección para luego, en cada etapa, asignar los valores necesarios sin modificar los tipos de inmitancias. La transferencia racional genérica para un pasa-banda de orden 2, donde inevitablemente sus dos polos serán complejos conjugados, es: H0 s ωQ0 s2 + s ωQ0 + ω02 donde ω0 es la frecuencia central del filtro y equivalente a la distancia de los polos al origen, Q es igual al cociente entre ω0 y el doble de la parte real de los polos y H0 la ganancia. El objetivo de esta sección, es encontrar una combinación de tipos de inmitancias Y1 , Y2 , Y3 , Y5 e Y6 que permitan que la expresión siguiente: −Y1 Y3 Y2 Y3 + Y6 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) se convierta en la expresión anterior, teniendo en cuenta que Yn sólo podrá ser un capacitor (sCn ) o un resistor (Gn ).12 Antes de hacer la elección, debe decirse algo sobre el comportamiento real de un amplificador operacional. Debido a que se implementan utilizando transistores, y estos necesitan polarizarse, debe haber un camino resistivo entre la 12 Si bien no forma parte de las restricciones del trabajo explı́citamente, no se utilizan inductores por su voluminoso tamaño y costo. Albani Francisco 45 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev salida y el terminal de control de tal forma que pueda circular corriente continua. Otra limitación viene dada por los capacitores, que también necesitan un camino resistivo para poder cargarse inicialmente. La primera conclusión es que Y1 e Y3 no pueden ser capacitores al mismo tiempo, pues situarı́an un término de s al cuadrado en el numerador. Evidentemente, sólo una de ellas deberá serlo para situar el término lineal de s. Puede verificarse que si las admitancias Y2 e Y3 son capacitores, y las demás resistores, puede alcanzarse el objetivo sin violar las restricciones fı́sicas. Reemplazando, se obtiene: s2 C2 C3 −G1 sC3 + G6 (G1 + sC2 + sC3 + G5 ) que mediante pases algebraicos puede llevarse a: −G1 s C2 s2 + s G6 (C2 +C3 ) + C2 C 3 G6 (G1 +G5 ) C2 C3 a partir de donde se puede establecer el siguiente sistema de ecuaciones: H0 ω 0 −G1 Q = C2 G6 (C2 +C3 ) ω0 Q = C2 C3 G6 (G1 +G5 ) 2 ω0 = C2 C3 que con 5 incógnitas (G1 , G5 , G6 , C2 y C3 ) y 3 ecuaciones queda inevitablemente indeterminado con dos grados de libertad a la hora de elegir los valores. 8.1.4. Estructura final Puede observarse la estructura general de las cuatro etapas en la figura 26 y las cuatro etapas juntas en cascada en la figura 27. OUT + Figura 26: Infinite Gain Multiple FeedBack en configuración pasa-banda. Albani Francisco 46 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos - Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev OUT + OUT OUT + OUT + + Figura 27: Las cuatro etapas en cascada. 8.1.5. Normalización de los componentes Siendo quizá la parte más tediosa de todo el trabajo, y producto de incontables idas y venidas, la búsqueda de una combinación de 5 valores que cumplieran con las ecuaciones deducidas en la sección anterior y al mismo tiempo estuvieran dentro de los rangos establecidos por las restricciones, no pudo lograrse por simple inspección, prueba y error. Hizo falta la creación de un simple programa que, a partir de pequeñas variaciones, generase todas las posibles combinaciones de valores permitidos. Gracias a esto, pudo “demostrarse” que no existı́a combinación alguna capaz de cumplir con todo. Es por esto que se decidió extender el rango de resistores para que incluyera valores menores a 4,7 kΩ. Luego de esto, el programa fue capaz de encontrar algunas combinaciones, y se pudo evidenciar cómo a partir de valores mayores a 2,7 kΩ, no podı́a encontrar más. Sólo con propósitos anecdóticos, se anexa a continación el código fuente de dicho programa, escrito en el lenguaje de programacion funcional Haskell, sin consideraciones de optimización o buenas prácticas de programación en mente: Albani Francisco 47 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev import IO execList :: [IO()] -> IO() execList [] = return () execList (x:xs) = do execList xs condicion minrx maxrx mincx maxcx (r1,r5,r6,c2,c3) = (r1>=minrx)&&(r1<=maxrx)&&(r5>=minrx)&&(r5<=maxrx)&&(r6>=minrx)&& (r6<=maxrx)&&(c2>=mincx)&&(c2<=maxcx)&&(c3>=mincx)&&(c3<=maxcx) valores rx cx h q w = (-q/(h*w*cx), rx, q*(rx*h*w*cx-q)/((w*q*q*rx*cx+rx*h*w*cx-q)*(w*cx)), cx, -(w*q*q*rx*cx+rx*h*w*cx-q)/(w*q*q*rx)) candidatos h q w minrx maxrx mincx maxcx saltorx saltocx = [valores rx cx h q w|rx<-[minrx,(minrx+saltorx)..maxrx], cx<-[mincx,(mincx+saltocx)..maxcx], condicion minrx maxrx mincx maxcx (valores rx cx h q w)] main = do hSetBuffering stdin LineBuffering putStrLn ("Ingrese H: ") h <- getLine putStrLn ("Ingrese Q: ") q <- getLine putStrLn ("Ingrese w: ") w <- getLine putStrLn ("Ingrese la R minima: ") minrx <- getLine putStrLn ("Ingrese la R maxima: ") maxrx <- getLine putStrLn ("Ingrese el C minimo: ") mincx <- getLine putStrLn ("Ingrese el C maximo: ") maxcx <- getLine putStrLn ("Ingrese el salto de R: ") saltorx <- getLine putStrLn ("Ingrese el salto de C: ") saltocx <- getLine execList (map print (candidatos (read h) (read q) (read w) (read minrx) (read maxrx) (read mincx) (read maxcx) (read saltorx) (read saltocx))) print (length (candidatos (read h) (read q) (read w) (read minrx) (read maxrx) (read mincx) (read maxcx) (read saltorx) (read saltocx))) Albani Francisco 48 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Luego de algunas pruebas en PSpice, finalmente se eligieron las dos siguientes combinaciones de valores de las varias que mostraba la salida del programa: Componente R1 R5 R6 C2 C3 1 164913,37 Ω 2700 Ω 3352181,8 Ω 1,8 nF 1,295503 nF 2 203194,2 Ω 2700 Ω 3282382,67 Ω 1,8 nF 2,002478 nF que al normalizarse de la siguiente manera: Componente R1 R5 R6 C2 C3 1 162 kΩ 2700 Ω 3,32 MΩ 1,8 nF 1,3 nF 2 205 kΩ 2700 Ω 3,3 Ω 1,8 nF 2 nF provocan las siguientes alteraciones a los parámetros de las transferencias: Parámetros H1 ω1 Q1 H2 ω2 Q2 Albani Francisco Ideal −8,50705 6939,45222 17,52397 −8,50705 5632,09201 17,52397 Normalizado −8,59419 6961,94262 17,44708 −8,4724 5620,19281 17,5705 49 Error relativo 1,02427 % 0,32409 % 0,4388 % 0,4073 % 0,21127 % 0,2655 % 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 8.2. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Verificación de la transferencia definitiva Es necesario volver a realizar la verificación para asegurar que la normalización no desplazó al filtro fuera de las especificaciones. Se muestra en la figura 28 una comparación del módulo de las distintas transferencias: 50 40 30 20 10 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 Teórico Normalizado Real Figura 28: Comparación entre los gráficos del módulo de las transferencias ideal, normalizada y real, en decibeles. La notable diferencia que hay entre las transferencias teóricas y la simulación en PSpice son producidas, en parte, por las imperfecciones de los amplificadores operacionales TL084/301/TI. A continuación, en la figura 29, puede observarse el alejamiento que han sufrido las amplitudes. La del armónico de 1000 Hz vale ≈ 0,92 (error relativo del 8 %); la relación con el armónico de 900 Hz es de 2,87106 y de 2,92851 con el armónico de de 1100 Hz. En la figura 30, puede observarse una comparación entre las distintas salidas y en la figura 31 los armónicos residuales calculados a partir de MathCad, cuyo valor eficaz resulta ser de ≈ 2,05 mV. Para averiguar el valor eficaz residual a partir de los datos de PSpice, es necesario aplicar la función FFT que este programa provee, copiar los datos a algún programa de cálculo que permita confeccionar una tabla y calcular la raı́z cuadrada de la suma de los cuadrados Albani Francisco 50 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev √ de los valores de cada elemento de la tabla divididos por 2.13 Esta fórmula tiene su justificación en una propiedad que enuncia que el valor eficaz de una suma de señales √ senoidales es la suma cuadrática de los valores eficaces. La división por 2 es porque los datos de la FFT están expresados en amplitud máxima. Luego de hacer eso, sorpresivamente se obtuvo un valor de ≈ 1,8 mV. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 800 900 1000 1100 1200 Espectro de la salida Figura 29: Espectro de la salida del filtro con componentes normalizados. 13 No es posible utilizar los datos que arroja la función FFT de PSpice para aplicarles IFFT en MathCad pues es prácticamente imposible lograr una colección de exactamente 2n muestras, y recortala provoca en la anti-transformación, el surgimiento de componentes de alta frecuencia que no se condicen con la realidad y aumentan en gran medida el valor eficaz residual. Albani Francisco 51 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 2 1 0 1 2 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Salida del filtro normalizado Salida del filtro sin normalizar Salida objetivo Simulada en PSpice Figura 30: Alejamiento de la señal de salida. 0.01 0.005 0 0.005 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Tiempo [s] 0.012 0.014 0.016 0.018 Armónicos residuales [V] Valor eficaz residual [V] Máximo valor permitido (10mV) Figura 31: Armónicos residuales. Albani Francisco 52 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 8.3. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Respuesta en frecuencia 8.3.1. Diagramas de Bode Los Diagramas de Bode14 asintóticos se construyen a partir de la información de los polos y ceros y resultan útiles para tener una idea rápida del comportamiento de un filtro. Para el caso particular de los filtros Chebyshev, no resultan de gran ayuda pues en la zona de la banda pasante, la gráfica real se aleja mucho de las ası́ntotas. Puede apreciarse el diagrama para el módulo en la figura 32, para la fase en la figura 33 y una versión con detalle del diagrama de fase en la figura 34. 50 40 30 Ganancia [dB] 20 10 0 10 20 30 40 50 100 3 1 .10 Frecuencia [Hz] 1 .10 4 Real calculado en MathCad Asintótico Real simulado en PSpice Figura 32: Diagrama de Bode para el módulo. 14 Hendrik Wade Bode (1905-1982) fue un prolı́fico investigador e ingeniero nacido en Estados Unidos, pionero en la Teorı́a Moderna de Control y las Telecomunicaciones electrónicas. Albani Francisco 53 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 0 90 180 Fase [º] 270 360 450 540 630 720 10 3 1 .10 Frecuencia [Hz] 100 1 .10 4 1 .10 5 Real calculado en MathCad Asintótico Real simulado en PSpice Figura 33: Diagrama de Bode para la fase. 0 90 180 Fase [º] 270 360 450 540 630 720 500 600 700 800 900 1000 1100 Frecuencia [Hz] 1200 1300 1400 1500 Real calculado en MathCad Real simulado en PSpice Figura 34: Diagrama de Bode para la fase con detalle en la zona central. Albani Francisco 54 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 8.4. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Respuesta en tiempo En esta sección, se podrá apreciar el comportamiento del circuito ante distintas excitaciones, calculados utilizando la funcionalidad de anti transformación simbólica de Laplace de MathCad. Para complementar la información, se han confeccionado espectros de frecuencia de las respuestas temporales para analizar el contenido armónico, utilizando la Transformada rápida de Fourier. Previamente, deberá considerarse el siguiente párrafo, sugerido por el profesor Fernando Barreiro: La transformada rápida de Fourier es un caso especial de la serie trigonométrica de Fourier, y fue especı́ficamente concebida para el análisis de funciones periódicas; no obstante, es posible aplicarla a señales no periódicas de duración limitada. Aunque los contenidos armónicos de tal clase de señal, pueden obtenerse mediante la Integral de Fourier, en muchos casos esta integral no puede evaluarse por ser no integrable, de modo tal que se termina por muestrear la señal para calcularla aproximadamente usando el método de trapecios u otro. Sin embargo, también pueden evaluarse con el eficiente algoritmo de la transformada rápida de Fourier, y en este caso, la envolvente de los armónicos es similar (salvo cuestiones numéricas de normalización) a la Integral de Fourier. Ello justifica hacer un análisis de contenidos armónicos presentes durante un transitorio, pero debe interpretase que la presencia de la mayorı́a de los armónicos puede darse en fracciones temporales del muestreo y dejar de existir hacia el final del tiempo de análisis aunque exista regimen permanente. Albani Francisco 55 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos 8.4.1. Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Impulso δ(t) La Delta de Dirac 15 es sin duda una de las delicias matemáticas más sabrosas de los últimos tiempos. Puede definirse de muchı́simas formas distintas pero la más simple es sin duda la menos correcta: es nula en todos los puntos menos en 0, donde vale ∞, y su integral a lo largo de toda la recta real es igual a 1. Mediante el Análisis de Fourier, puede verificarse que esta función contiene todas las frecuencias. Su espectro es constante e igual a 1. La introducción de una δ(t) en un sistema provoca que el mismo responda con sus frecuencias naturales. La respuesta a una δ(t) es igual a la anti-transformada de Laplace de la Transferencia del sistema, por lo que a esta última suele llamársela respuesta impulsiva. La figura muestra los resultados obtenidos utilizando MathCad y PSpice. Inmediatamente a continuación, en la figura 36, puede observarse el espectro de la respuesta al impulso, donde el parecido con la forma del módulo de la transferencia es innegable. 4 2 .10 4 1 .10 4 Tensión [V] 3 .10 0 1 .10 4 2 .10 4 3 .10 4 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Calculada en MathCad Obtenida de PSpice derivando la respuesta al escalón Figura 35: Respuesta al impulso. 15 Paul Dirac (1902 - 1984) fue un fı́sico teórico británico y uno de los fundadores de la Mecánica Cuántica. Él fue quien formuló la equación de Dirac que describe el comportamiento de los fermiones y condujo a la predicción de la existencia de la anti-materia. Fue galardonado en 1933 junto a Erwin Schrödinger con el premio Nobel en fı́sica, por el descubrimiento de nuevas utilidades de la teorı́a atómica. Albani Francisco 56 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 4000 Amplitud [V] 3000 2000 1000 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Frecuencia [Hz] 1400 1600 1800 2000 Espectro de la respuesta al impulso Figura 36: Espectro de la respuesta al impulso. 8.4.2. Escalón u(t) El escalón simboliza un cambio finito en un instante nulo y permite ver el recurso del sistema para alcanzar el nuevo estado. Conocer la respuesta de un sistema al escalón es de gran importancia pues a partir de la misma, como ası́ también a partir de la del impulso, puede deducirse cualquier otra respuesta. Las figuras 37 y 38 muestran la respuesa al escalón y su espectro, respectivamente. 4 Tensión [V] 2 0 2 4 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Calculado en MathCad Simulado en PSpice Escalón Figura 37: Respuesta al escalón. Albani Francisco 57 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 0.8 Amplitud [V] 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Frecuencia [Hz] 1400 1600 1800 2000 Espectro de la respuesta al escalón Figura 38: Espectro de la respuesta al escalón. 8.4.3. Onda cuadrada de 100 Hz La descomposición armónica de una onda cuadrada de 100 Hz, devela la presencia de infinitas componentes de frecuencias múltiplos de 100 y de amplitud decreciente. Si una señal de tales caracterı́sticas atraviesa el filtro, la salida deberı́a componerse escencialmente de los armónicos de 900 Hz y 1100 Hz. La figura 39 deja vislumbrar la respuesta del filtro a una señal cuadrada y la figura 40 su correspondiente espectro. 10 Tensión [V] 5 0 5 10 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Calculado en MathCad Simulada en PSpice Cuadrada Figura 39: Respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz. Albani Francisco 58 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev 6 Amplitud [V] 4 2 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Frecuencia [Hz] 1400 1600 1800 2000 Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz Figura 40: Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 100 Hz. 8.4.4. Onda cuadrada de 300 Hz Siguiendo el mismo razonamiento anterior, puede verificarse que una onda cuadrada de 300 Hz contiene infinitas componentes de frecuencias múltiplos de 300 y de amplitud decreciente. Si una señal de tales caracterı́sticas atraviesa el filtro, la salida deberı́a componerse escencialmente del armónico de 900 Hz, pues es el único múltiplo que cae dentro de la banda pasante. La figura 41 deja vislumbrar la respuesta del filtro a una señal cuadrada y la figura 42 su correspondiente espectro. Tensión [V] 0.05 0 0.05 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Calculado en MathCad Simulada en PSpice Cuadrada Figura 41: Respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz. Albani Francisco 59 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Amplitud [V] 0.15 0.1 0.05 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Frecuencia [Hz] 1400 1600 1800 2000 Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz Figura 42: Espectro de la respuesta a una onda cuadrada de 300 Hz. 8.4.5. Senoidal de 1000 Hz Tensión [V] 5 0 5 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo [s] 0.03 0.035 0.04 0.045 Calculada en MathCad Simulada en PSpice Senoidal de 1000 Hz Figura 43: Respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz. 2.5 Amplitud [V] 2 1.5 1 0.5 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Frecuencia [Hz] 1400 1600 1800 2000 Espectro de la respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz Figura 44: Espectro de la respuesta a una onda senoidal de 1000 Hz. Albani Francisco 60 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Parte III Conclusión Aquı́ concluye la redacción del informe sobre el Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev, asignatura obligatoria para aprobar la materia Análisis de Circuitos, el primer cuatrimestre del año 2007. Muchos fueron los dı́as invertidos en su realización, y muchos han sido los conocimientos que necesité adquirir para lograr el producto final. El cumplimiento del objetivo hubiera podido lograrse en mucho menos tiempo y con mucha menos profundidad, pero no era mi voluntad dejar pasar la oportunidad de aprender sobre un tema tan atrapante. Espero que este trabajo pueda servir como guı́a a quienes en el futuro tengan que transitar el mismo camino, pues esa fue una de las intenciones principales al darme cuenta las muchas cosas que nadie me habı́a explicado y tuve que salir a buscar. La realización de este trabajo me llevó a concluir que prácticamente toda la materia fue construyéndose como una pirámide que apuntaba hacia el Diseño de Filtros, pero terminando sin poner el bloque final, acción que sólo tendrı́a lugar con la realización de este trabajo. No puedo terminar sin antes agradecer a Ariel Burman, por ayudarme a encontrar una estrategia adecuada con filtros Chebyshev, en los momentos en los que yo todavı́a poco entendı́a; a Santiago Gonzalez Zerbo, por las muchas horas de divague matemático que más de una vez me salvaron de perecer entre los números; a Gonzalo Figueroa, por la creación del logotipo para la carátula a altas horas de la noche; a Mercedes Lucero y Nicolás Tempone por servir de revisores; y, finalmente, al profesor Fernando Barreiro, por la dedicación extracurricular para con sus alumnos a la hora de responder consultas, el contagio de entusiasmo, y porque bien sabı́a a lo que se referı́a cuando en la entrega del enunciado, con una palmada en la espalda, me dijo: ¡Cómo te vas a divertir! Francisco Albani Buenos Aires, 3 de Agosto de 2007. Albani Francisco 61 1.er cuatrimestre 2007 66.06 Análisis de Circuitos Diseño y Sı́ntesis de un Filtro Chebyshev Parte IV Bibliografı́a Referencias [Miy91] Federico Miyara. “Filtros Activos” (1991) http://www.fceia.unr.edu.ar/enica3/filtros-t.pdf. [Hue72] Lawrence P. Huelsman. “Basic Circuit Theory” (1972) [Pue82] Hector Pueyo & Carlos Marco. “Análisis de modelos circuitales” [Per91] Antonio Pertence Junior. “Amplificadores Operacionales y Filtros Activos” (1991) [AN779] Kerry Lacanette. “National Semiconductor - Application Note 779 - A Basic Introduction to Filters: Active, Passive, and Switched-Capacitor” (1991) http://www.national.com/an/AN/AN-779.pdf. [Hsu70] Hwei P. Hsu. “Análisis de Fourier” (1970) [Man06] Margarita Manterola. “Apuntes de Análisis de Circuitos” (2006) http://www.marga.com.ar/~marga/6606/teoricas.pdf. [WP1] Comunidad de usuarios de Wikipedia. “Wikipedia” http://en.wikipedia.org/. Albani Francisco 62 1.er cuatrimestre 2007